Ejercicios Tema 2.

Ejercicios Tema 2.
blemas Cálculo)
1
(Pro-
Ejercicio 53
En primer lugar definimos la función con la que vamos a trabajar.
-->
f(x):=-1/3*x^3-x^2-1;
−1 3
x − x2 − 1
3
Calculamos los puntos que anulan la derivada de f.
(%o1) f (x) :=
-->
solve(diff(f(x),x)=0,x);
(%o2) [x = −2, x = 0]
Los valores anteriores son las primeras componentes de los puntos buscados.
Para conocer las segundas componentes evaluamos f en ellos.
-->
f(-2);
f(0);
(%o3)
−
(%o4)
2
7
3
−1
Ejercicio 54
En el ejercicio anterior buscábamos puntos de la gráfica con recta tangente
horizontal y ahora queremos que sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
En primer lugar definimos la función con la que vamos a trabajar.
-->
kill(all);
f(x):=-1/3*x^3-x^2-1;
(%o0) done
−1 3
x − x2 − 1
3
Calculamos los puntos que hacen 1 a la derivada de f.
(%o1) f (x) :=
1
-->
solve(diff(f(x),x)=1,x);
(%o2) [x = −1]
Y finalmente calculamos la segunda componente del punto de la gráfica buscado
-->
f(-1);
(%o3)
−
3
5
3
Complemento Ejercicios 53-54
Vamos a representar la gráfica de f y las rectas tangentes en los puntos calculados
en los ejercicios 3 y 4. Necesitaremos evaluar la derivada en diferentes puntos.
Por este motivo utilizamos el comando ”at” que evalua una expresión en un
valor determinado. (vea ayuda Maxima para más detalles)
-->
df(x):=at(diff(f(y),y),y=x);
(%o5) df (x) := at (diff (f (y) , y) , y = x)
Ahora representamos la gráfica de f y las rectas entre x=-3.2 y x=1.2
-->
wxplot2d([f(x),
df(0)*x-1,
df(-2)*(x+2)-7/3,
df(-1)*(x+1)-5/3],
[x,-3.2,1.2]);
(%t6)
(%o6)
2
4
Ejercicios 56, 57 y 58
Las derivadas solicitadas se calculan mediante el comando diff. Fı́jese en cómo se
escriben las distintas expresiones en Maxima y la importancia de los paréntesis.
-->
diff(sin(x)*cos(x),x);
diff(sec(x),x);
diff(sin((1+cos(x))^2),x);
diff(sin(%e^(x^2)+(x+1)*log(x^2)),x);
2
(%o7) cos (x) − sin (x)
2
(%o8) sec (x) tan (x)
2
− 2 (cos (x) + 1) sin (x) cos (cos (x) + 1)
2
2
2 (x + 1)
cos 2 (x + 1) log (x) + ex
(%o10) 2 log (x) + 2 x ex +
x
(%o9)
Como complemento representamos las gráficas de las funciones que han aparecido en estos ejercicios.
-->
wxplot2d([sin(x)*cos(x),sec(x),sin((1+cos(x))^2),sin(%e^(x^2)+(x+1)*log(x^2))],
[x,-%pi/2+0.11,%pi/2-0.1]);
(%t10)
(%o10)
5
-->
Ejercicio 59
kill(all);
(%o0) done
3
Después de limpiar la memoria de Maxima, introducimos en Maxima las expresiones de las funciones de las que queremos representar su gráfica.
-->
f(x):=sqrt(2+x^(1/3));
g(x):=%e^(x/(x+1));
diff(f(x),x,1);
diff(g(x),x,1);
q
1
(%o22) f (x) := 2 + x 3
x
(%o23) g (x) := e x+1
1
(%o24)
6
(%o25)
p
1
3
2
x + 2 x3
1
x
−
x + 1 (x + 1)2
!
x
e x+1
Representamos en primer lugar f y f’. Como conocemos sus dominios fijamos
que la variable esté entre -7.99 y 8 ¿Qué ocurre si trata de representar estas
funciones entre -8 y 10? ¿Por qué?
-->
wxplot2d([f(x),diff(f(x),x)],[x,-7.99,8]);
(%t3)
(%o3)
Ahora representamos las gráficas de las funciones g y g’. Como sabemos que
x=-1 no está en el dominio de ninguna de esas funciones tomamos, por ejemplo,
que la variable esté en (-1,2).
-->
wxplot2d([g(x),diff(g(x),x)],[x,-1,2]);
plot2d : expressionevaluatestonon−numericvaluesomewhereinplottingrange.plot2d :
expressionevaluatestonon − numericvaluesomewhereinplottingrange.
4
(%t6)
(%o6)
Fı́jese en la advertencia de Maxima antes de realizar la representación: ha
obtenido valores no númericos (más grandes o más pequeños que los números
que puede manejar) al intentar realizar la representación. Hagamos ahora que
la variable tome valores a la izquierda de -1. Representaremos g y g’ de forma
independiente porque sus conjuntos imágenes son muy distintos.
-->
wxplot2d(g(x),[x,-1.4,-1.1]);
wxplot2d(diff(g(x),x),[x,-1.4,-1.1]);
(%t7)
(%o7)
5
(%t8)
(%o8)
6
Ejercicio 60
Derivamos la expresión del ejercicio mediante la instrucción ”diff” Fı́jese que
”cot” es la cotangente en Maxima y que ”csc” es la cosecante (1/sen).
-->
(%o9)
7
diff(cot(x^3),x);
2
− 3 x2 csc x3
Ejercicio 62
Derivamos la función dada por arcocoseno (”acos” en Maxima) de la raiz cuadrada
de x. Representando sus gráficas a continuación.
-->
h(x):=diff(acos(sqrt(x)),x);
√ (%o3) h (x) := diff acos x , x
-->
wxplot2d([acos(sqrt(x))], [x,0,1])$
wxplot2d(h(x), [x,0.01,0.99])$
wxplot2d([h(x),acos(sqrt(x))], [x,0.01,0.99]);
6
(%t4)
(%t5)
(%t6)
(%o6)
7
8
Ejercicio 65
Mediante la instrucción diff obtenemos la expresión buscada. Hemos utilizado
otra variable para poner de manifiesto que no juega ningún papel utilizar x como
hemos venido haciendo hasta ahora.
-->
diff(y^(1/y),y);
1
log (y)
1
y
−
(%o7) y
y2
y2
9
Ejercicio 68
-->
kill(all);
(%o0) done
Después de limpiar la memoria, definimos la función.
-->
f(x):=abs(x);
(%o1) f (x) := |x|
Calculamos con la ayuda de Maxima los lı́mites por la derecha y la izquierda de
[f(0+h)-f(0)]/h que definen las derivadas laterales de la función f.
-->
limit((f(0+x)-f(0))/x,x,0,plus);
limit((f(0+x)-f(0))/x,x,0,minus);
(%o5) 1
(%o6)
−1
Fı́jese cómo define Maxima la derivada de f
-->
(%o8)
diff(f(x),x);
1
p
1
3
2
6 x + 2 x3
Obteniendo una expresión que vale -1 para x<0, 1 para x>0 y no está definida
para x=0.
10
Ejercicios 73, 74, 75 y 76
Calculamos los lı́mites pedidos mediante la instrucción limit. Además mediremos el tiempo que le lleva a Maxima calcular cada uno de ellos. Para ello
8
definimos la constante de maxima showtime como true (su valor por defecto es
false).
-->
showtime:true;
Evaluationtook0.0000seconds(0.0000elapsed)
(%o9) true
Maxima tiene una constante para establecer el número Maximo de veces que
utilizará la regla de L’Hopital para calcular un lı́mite. El nombre de esta constante es lhospitallim y su valor por defecto es 4. Se establece este tope para
prevenir la aparición de bucles infinitos.
-->
lhospitallim;
Evaluationtook0.0000seconds(0.0000elapsed)
(%o10) 4
-->
limit(((log(x^2)+1)/(2*log(x)))^(log(x)),x,inf);
Evaluationtook0.4300seconds(0.4300elapsed)
√
(%o11) e
-->
limit((log(1+x)-x)/(1-sqrt(1-x^2)),x,0);
Evaluationtook0.1200seconds(0.1200elapsed)
(%o12) 0
-->
limit((x^5+x^4-x^2+1)/(x^4-1),x,-1);
Evaluationtook0.0000seconds(0.0000elapsed)
3
(%o13) −
4
-->
limit((sin(x)+exp(x))/(cos(x)+exp(x)),x,inf);
Evaluationtook0.0200seconds(0.0200elapsed)
(%o14) 1
11
Ejercicios 77, 78, 79 y 80
Calculamos los lı́mites con la ayuda de Maxima.
-->
limit((2-log(cos(x)))/(2+tan(x)),x,%pi/2,plus);
Evaluationtook0.0000seconds(0.0000elapsed)
9
(%o15) 0
-->
limit(x^(1/(x+1)),x,inf);
Evaluationtook0.0200seconds(0.0200elapsed)
(%o16) 1
-->
limit(x*log(x),x,0,plus);
Evaluationtook0.0000seconds(0.0000elapsed)
(%o17) 0
-->
limit(x^(x^2),x,0,plus);
Evaluationtook0.0000seconds(0.0000elapsed)
(%o18) 1
Devolvemos la constante showtime al valor false.
-->
showtime:false;
(%o19) f alse
12
Ejercicio 81
Calculamos el lı́mite solicitado con la instrucción limit. En primer lugar definimos la función que vamos a utilizar. Aunque no siempre lo hemos hecho ası́
hasta ahora en este documento, es conveniente porque podemos observar con
más facilidad la expresión introducida.
-->
kill(all);
f(n):=log((n+1)/n)/log((n+2)/(n+1));
(%o0) done
(%o1) f (n) :=
-->
n+1
n n+2
log n+1
log
limit(f(n),n,inf);
(%o2) 1
13
Ejercicio 82 y 84
En este ejercicio nos apoyaremos en Maxima para calcular las iteraciones del
método de Newton. En primer lugar definimos la función del ejercicio 82.
10
-->
kill(all);
f(x):=x^2;
(%o0) done
(%o1) f (x) := x2
Ahora definimos la expresión que define las iteraciones del método de Newton.
-->
MN(x):=x-f(x)/at(diff(f(y),y),y=x);
f (x)
at (diff (f (y) , y) , y = x)
Ahora calculamos las iteraciones partiendo del dato inicial x0=0.4. Recuerde
que con ”%” Maxima hace referencia a la última salida que ha generado.
(%o2) MN (x) := x −
-->
MN(0.4);
MN(%);
MN(%);
(%o3) 0.2
(%o4) 0.1
(%o5) 0.05
Ahora redefinimos f para calcular las iteraciones del ejercicio 84 utilizando la
función que hemos definido con anterioridad MN.
-->
f(x):=exp(-x)-x;
(%o6) f (x) := exp (−x) − x
Calculamos tres iteraciones primero con condición inicial 0.5
-->
MN(0.5);
MN(%);
MN(%);
(%o7) 0.56631100319722
(%o8) 0.56714316503486
(%o9) 0.56714329040978
Y ahora con condición inicial 5.0 (Fı́jese en que si en lugar de 5.0, escribe 5 Maxima calcula las iteraciones de forma simbólica y no numérica como deseamos).
-->
MN(5.0);
MN(%);
MN(%);
(%o10) 0.040157105545709
11
(%o11) 0.50963753116057
(%o12) 0.56653450904105
-->
MN(5);
MN(%);
MN(%);
(%o13) 5 −
e−5 − 5
−e−5 − 1
e−5 −5
(%o14) −
e −e−5 −1
−e
e
−5
+
e−5 −5
−e−5 −1
e−5 −5
−5
−e−5 −1
−5
−1
e−5 −5 −5
−5
−5 −1
e −e
+ e −5−5 −5
−5
−e
−1
+ e −5−5 −5
−5
e
−5
−e
−1
−5 −1 −5
−e
−e
−1
−e
14
+
−5
+ e −5−5 −5
−e
−1
−5
e
−5 −5
−e−5 −1
+
e−5 −5
−e−5 −1
−5
−1
e−5 −5 −5
−5 −1
e −e
e
e−5 −5 −5
e −e−5 −1
−e
(%o15) −
e−5 −5
−5
−e−5 −1
e−5 − 5
+5
−e−5 − 1
−
−e
+
e−5 −5
−e−5 −1
e−5 −5
−5
−e−5 −1
−5
−5
+ e −5−5 −5
−5
−e
−1
+ e −5−5 −5
−5
e
−5 −5
−e
−1
−5 −1
−1
−e −e
−1
−5
−
−1
e −5
+5
−e−5 − 1
Ejercicio 86
Utilizaremos Maxima para calcular las iteraciones generadas por el método del
punto fijo.
-->
kill(all);
f(x):=exp(-x);
(%o0) done
(%o1) f (x) := exp (−x)
Utilizando la condición inicial tenemos.
-->
f(1.0);f(%);f(%);f(%);
(%o2) 0.36787944117144
(%o3) 0.69220062755535
(%o4) 0.50047350056364
(%o5) 0.6062435350856
12
−
-->
limit((abs(sin(2.0*(0.5+h)*%pi))-0)/(h),h,0,minus);
rat : replaced1.0by1/1 = 1.0rat : replaced2.0by2/1 = 2.0
(%o11) − 2 π
15
Ejercicio 92
Maxima tiene definidas las funciones seno y coseno hiperbólicas
-->
diff(cosh(x),x);
diff(sinh(x),x);
(%o6) sinh (x)
(%o7) cosh (x)
Para comprobar si sumar el seno y el coseno hiperbólico es una constante primero
realizamos la operación con Maxima y la respuesta no nos saca de dudas por
lo que representamos graficamente y observamos que la suma no es una función
constante.
-->
sinh(x)+cosh(x);
(%o8) sinh (x) + cosh (x)
-->
wxplot2d(sinh(x)+cosh(x),[x,-2,2]);
(%t9)
(%o9)
Repetimos la operación con la diferencia de los cuadrados del coseno y seno
hiperbólicos.
13
-->
(cosh(x))^2-(sinh(x))^2;
2
2
(%o10) cosh (x) − sinh (x)
-->
wxplot2d((cosh(x))^2-(sinh(x))^2,[x,-3,3]);
(%t11)
(%o11)
La gráfica no es constante y parece oscilar cada vez más de forma irregular!!
Esto es debido a los errores de redondeo que comete el ordenador. Utilizando
la caracterización de las funciones constantes no hay ninguna duda.
-->
diff((cosh(x))^2-(sinh(x))^2,x);
(%o12) 0
16
Ejercicio 93 y 94
Representaremos gráficamente las derivadas que aparecen en los enunciados de
los ejercicios y decidiremos la opción correcta en base a esas gráficas.
-->
wxplot2d(sin(%pi*x)*exp(2*x^2),[x,-2.5,2.5]);
wxplot2d(log(x^2+2),[x,-5,5]);
14
(%t13)
(%o13)
(%t14)
(%o14)
La primera gráfica cambia de signo y por lo tanto la función no tiene la misma
monotonı́a en todo R. La segunda parace ser siempre positiva, y en la resolución
del ejercicio vemos que es ası́. Por lo tanto, la función de la que es derivada es
estrictamente creciente en R.
17
Ejercicio 95
Podemos determinar el intervalo de decrecimeinto con Maxima. Comenzamos
definiendo la función y su derivada:
-->
f(x):=exp(2*x^2-x);
define(d1f(x),diff(f(x),x));
(%o13) f (x) := exp 2 x2 − x
15
(%o14) d1f (x) := (4 x − 1) e2 x
2
−x
Ahora vamos a ver cuándo es negativa. Lo podemos hacer con el paquete
fourier elim:
-->
load(fourier_elim);
fourier_elim ( [d1f(x)<0], [x] );
(%o17) C : /ARCHIV 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.27.0/share/f ourier elim/f ourier elim.lisp
(%o18) [x <
18
1
]
4
Ejercicios 97 y 98
Realizaremos las representaciones gráficas con Maxima. En el caso de la representación de (x^3+1)/x restringiremos el rango de valores a representar para
obtener una mejor representación.
-->
wxplot2d((x^3+1)/x,[x,-5,7],[y,-20,20]);
wxplot2d(sin(x)+1/2*sin(2*x),[x,0,2*%pi]);
plot2d : somevalueswereclipped.
(%t15)
(%o15)
16
(%t16)
(%o16)
17