MODELO DE FLUJO TRIDIMENSIONAL El movimiento tridimensional de agua subterránea de densidad constante a través de un medio poroso heterogéneo y anisotrópico es descrito por la siguiente ecuación diferencial parcial ∂h ∂ ∂h ∂ ∂h ∂h ∂ K X + K Y + K Z = S s −R ∂x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂z ∂t DESCOMPOSICIÓN DEL DOMINIO EN CELDAS Figura 1.1 ECUACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS De acuerdo con la ecuación de continuidad, expresando el balance de flujo en una celda, la suma de todos los flujos de entrada y salida a cada celda debe ser igual a la razón de cambio en el almacenamiento de esa misma celda [Todd. 1980], o bien: ∆h (1.1) Q =S ∆V ∑ i s ∆t donde: Qi = razón de flujo hacia la celda, unidad de volumen por unidad de tiempo[L-3 T-1 ] Ss = almacenamiento específico por unidad de volumen, por cambio de la ∆V ∆t ∆h carga piezométrica. [L-1 ] = volumen de la celda [L3 ] = intervalo de tiempo [T] = cambio de la carga piezométrica [L] CELDAS ADYACENTES Figura 1.2 LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIA Para las celdas adyacentes el cálculo de los caudales de entrada a la celda i,j,k y con base en la ley de Darcy, es lo siguiente (figura 1.2): De i, j-1, k qi , j − 1 2,k = KRi , j − 12 ,k ∆ci ∆vk hi , j −1,k − hi , j ,k (1.2) ∆r j − 1 2 donde: KRi,j-1/2,k es la conductividad hidráulica a lo largo de i entre los dos nodos en cuestión [LT-1 ]. El índice -1/2 significa el espacio entre los dos nodo. De i, j+1, k qi , j + 12, k = KRi , j + 12, k ∆ci ∆vk De i+1, j, k qi + 12, j , k = KCi + 12, j , k ∆rj ∆vk De i-1, j, k qi − 12, j , k = KCi − 12, j , k ∆rj ∆vk De i, j, k+1 qi , j , k + 12 = KVi , j , k + 12 ∆rj ∆ci De i,j, k-1 qi , j , k − 12 = KVi , j , k − 12 ∆rj ∆ci hi , j +1,k − hi , j , k ∆r j + 1 2 hi +1, j , k − hi , j , k ∆ci + 12 hi −1, j , k − hi , j , k ∆ci − 12 hi , j , k +1 − hi , j , k ∆vk + 12 hi , j , k −1 − hi , j , k ∆vk − 12 (1.3) (1.4 ) (1.5) (1.6 ) (1.7 ) LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIA Llamando conductancia al producto de la conductividad hidráulica por el área, dividida entre la separación de nodos: CRi , j − 12 , k = KRi , j − 12 , k ∆ci ∆vk ∆rj − 12 [L T ] 2 (1.8) −1 Sustituyendo (1.8) en (1.2) a (1.7) se obtiene: qi , j − 12,k = CRi , j − 12,k ( hi , j −1,k − hi , j ,k ) qi , j + 12,k = CRi , j + 12, k ( hi , j +1, k − hi , j ,k ) qi − 12, j ,k = CCi − 12, j ,k ( hi −1, j ,k − hi , j , k ) qi + 12, j ,k = CCi + 12, j ,k ( hi +1, j ,k − hi , j ,k ) qi , j ,k − 12 = CVi , j ,k − 12 ( hi , j ,k −1 − hi , j ,k ) qi , j ,k + 12 = CVi , j ,k + 12 ( hi , j , k +1 − hi , j ,k ) (1.9 ) (1.10 ) (1.11) (1.12 ) (1.13) (1.14 ) FUENTES EXTERNAS • Las entradas a la celda i, j, k, provenientes de otras fuentes se pueden hacer depender de la carga piezométrica de la celda que las recibe. La expresión general puede ser: ai , j ,k ,n = pi , j ,k ,n hi , j ,k + qi , j ,k ,n L3T −1 donde ai , j ,k ,n es el flujo de la fuente n pi , j ,k ,n es una contante [L2T -1 ] qi , j ,k ,n es una contante [L3T -1 ] (1.15) FUENTES EXTERNAS • Para una celda que recibe un caudal de un pozo recarga (n=1) se puede considerar: • a) que es independiente de la carga hi,j,k,1 de la celda i,j,k; Para este caso pi,j,k,1 = 0 ∴ ai,j,k,1 = qi,j,k,1 (1.16) • b) que depende de una carga. Para este caso: ai,j,k,1 = pi,j,k,1hi,j,k + qi,j,k,1 (1.17) FUENTES EXTERNAS • Para una celda que recibe un caudal de la filtración de un río, (n=2), dicho caudal depende de la carga hi,j,k de la celda y en su caso de la diferencia de cargas. Q= K RIV ( Ri , j ,k − hi , j , k ) CRIV i , j ,k ,2 = D K RIV i , j ,k ,2 , y su conductancia es: D por lo que ai , j , k ,2 = CRIV ( Ri , j ,k − hi , j ,k ) , o bien: ai , j ,k ,2 = −CRIVi , j ,k ,2 hi , j ,k + CRIVi , j ,k ,2 Ri , j , k pi , j ,k ,2 = −CRIVi , j , k ,2 qi , j ,k ,2 = CRIVi , j ,k ,2 Ri , j , k (1.19 ) (1.20 ) (1.21) FUENTES EXTERNAS • Para todas las fuentes externas se puede llegar a una solución tal como: N ∑a i , j ,k ,n N N n =1 n =1 = QSi , j , k = ∑ pi , j , k , n hi , j , k + ∑ qi , j ,k , n (1.22 ) n =1 donde N Pi , j ,k = ∑ pi , j , k ,n N Qi , j , k = ∑ qi , j , k , n n =1 n =1 y el flujo externo hacia la celda i, j , k es: QSi , j ,k = Pi , j , k hi , j ,k + Qi , j ,k (1.23) BALANCE DE FLUJO • el balance de flujo es: qi, j − 12,k + qi, j + 12,k + qi− 12, j ,k + qi+ 12, j ,k + qi, j,k − 12 + qi, j ,k + 12 + QSi, j ,k = Ssi , j ,k donde: Ssi , j ,k ∆hi, j ,k ∆hi, j ,k ∆rj ∆ci ∆vk ∆t es el almacenamiento específico [L-1 ] (1.24) es el cambio de h con respecto al tiempo t [LT -1 ] ∆t ∆rj ∆ci ∆vk es el volumen [L3 ] BALANCE DE FLUJO • La ecuación (1.24) se puede utilizar para evaluar los términos de flujo en el tiempo avanzado tm y la pendiente ∆h/∆t se puede obtener como sigue: ∆him, j ,k ∆tm = him, j ,k − him, j−,1k tm − tm−1 (1.25) • Esta aproximación es hacia atrás, pues el valor de depende del correspondiente anterior en el tiempo t. De esta forma, la ecuación (1.24) queda expresada como: CRi , j − 1 2, k ( him, j −1,k − him, j , k ) + CRi , j + 1 2, k ( him, j +1,k − him, j , k ) +CCi − 12 , j , k ( him−1, j ,k − him, j ,k ) + CCi + 1 2, j ,k ( him+1, j ,k − him, j ,k ) +CVi , j ,k − 1 2 ( him, j ,k −1 − him, j , k ) + CVi , j ,k + 12 ( him, j , k +1 − him, j ,k ) m i , j ,k i , j ,k +P h + Qi , j ,k = S si , j ,k ( ∆rj ∆ci ∆vk ) (h m i , j ,k − him, j−,1k ) tm − tm −1 (1.26 ) ITERACION m ,0 h i • , j ,k representa la solución inicial de prueba en el nodo i, j, k y him, j,0, k la que a su vez es la solución de prueba usada en la iteración 2 (ver figura 1.3). Rearreglando la ecuación (1.26) CVi , j ,k − 12 him, j ,k −1 + CCi − 12, j , k him−1, j , k + CRi , j − 12, k him, j −1, k ( + −CVi , j ,k − 12 −CRi , j + 12,k − CCi − 12, j ,k − CCi + 12, j ,k − CRi , j − 12, k − CVi , j , k + 12 ) + HCOFi , j , k him, j , k +CRi , j + 12, k him, j +1, k + CCi + 12, j , k him+1, j , k + CVi , j ,k + 12 him, j ,k +1 = RHSi , j ,k donde HCOFi , j ,k = Pi , j , k − RHSi , j , k = Qi , j , k − SC1i , j , k tm − tm −1 SC1i , j , k him, j−,1k tm − tm −1 SC1i , j , k = SSi , j ,k ∆rj ∆ci ∆vk (1.27 ) ITERACION Figura 1.3 DISEÑO DEL PROGRAMA Figura 1.4 DISEÑO DEL PROGRAMA Lista de paquetes DISEÑO DEL PROGRAMA Programa principal: 1. Controla el orden de ejecución de los módulos primarios. 2. Es el que establece el intercambio de información. RIVER • The River boundary condition is used to simulate the influence of a surface water body on the groundwater flow. Surface water bodies such as rivers, streams, lakes and swamps may either contribute water to the groundwater system, or act as groundwater discharge zones depending on the hydraulic gradient between the surface water body and the groundwater system. The MODFLOW River Package simulates the surface water / groundwater interaction via a seepage layer separating the surface water body from the groundwater system (see figure below). • GHB • The function of the General-Head Boundary (GHB) Package is mathematically similar to that of the River, Drain, and ET Packages. Flow into or out of a cell from an external source is provided in proportion to the difference between the head in the cell and the reference head assigned to the external source. The application of this boundary condition is intended to be general, as indicated by its name, but the typical application of this boundary conditions is to represent heads in a model that are influenced by a large surface water body outside the model domain with a known water elevation. The purpose of using this boundary condition is to avoid unnecessarily extending the model domain outward to meet the element influencing the head in the model. As a result, the General Head boundary condition is usually assigned along the outside edges of the model domain. This scenario is illustrated in the following figure.