XII EDICION PREMIOS JORGE JUAN PROBABILIDAD CURSO 09/10

XII EDICION PREMIOS JORGE JUAN
CURSO 09/10
PROBABILIDAD
Hoy toca, como decía Sabina, “una de romanos”. La infantería romana estaba
constituida en su estructura básica por 8 hombres que formaban un contubernio. Diez
contubernios formaban una centuria, compuesta por tanto por 80 hombres puesto que su
nombre proviene de centurión y nada tiene que ver con el número cien. Dos centurias
formaban un manipulo y tres manipulos formaban una cohorte. Finalmente, un grupo
indeterminado de cohortes, generalmente en torno a diez, formaban la famosa legión. Estas
unidades estaban formadas por tres tipos de soldados, hastati, los más jóvenes e inexpertos,
princeps, menos jóvenes pero más curtidos y triarii, los más veteranos y, por tanto, con
mayor experiencia. Cada contubernio estaba formado por soldados del mismo tipo, que
dependiendo de las caracteísticas del enfrentamiento se situaban, en distinto orden, en filas
componiendo el resto de formaciones, con la particularidad de que los hastati solían estar
intercalados entre contubernios del resto de soldados. El motivo de no situar contubernios de
hastati juntos se creía que era para compensar su inexperiencia con la del resto de soldados,
aunque hoy en día se sabe que, como los más jóvenes que eran, en cuanto se juntaban unos
cuantos montaban un botellón y así no hay forma de conquistar un imperio.
Preocupados como estamos en evitar esta situación y sabiendo que en cada centuria hay tres
contubernios de hastati, cuatro de princeps y tres de triarii, calcular la probabilidad de que, al
situarlos al azar en las centurias, no haya contubernios de hastati juntos en cada una de las
tres unidades (centuria, manipulo y cohorte) que forman una legión.
PUNTUACIÓN: resolver correctamente la centuria: 5 puntos, el manipulo 7 puntos y la
cohorte 10 puntos. Si no resolvéis ninguno, almenos habréis adquirido algo de culturilla sobre
el apasionante mundo de las legiones romanas. ¡Hala, a contar romanos!
RESOLUCION:
CENTURIA: En primer lugar, y como parte importante de la resolución del problema, al
margen del rollo sobre las legiones romanas, el problema se reduce a ordenar n elementos k
de un tipo y n-k de otro. En el primer apartado, la centuria está formada por 10 contubernios,
3 de hastati y 7 del resto, por tanto el problema consiste en ordenar 3 H y 7 R de forma que no
haya dos H juntas.
Evindentemente los casos posibles son C10,3 = 120, de los cuales habrá que
contabilizar en cuántos casos no hay dos H juntas. Para ello construimos la situación
favorable inicial que será
HRHRH
y, nos quedarán 5 R para situar en cuatro posiciones. Aunque algunos casos son inmediatos,
con el objetivo de mantener la estructura, utilizaremos permutaciones con repetición para
contabilizar los casos favorables:
RP41,3  RP41,1,2  RP41,1,2  RP41,2,1  RP42,1,1  RP41,3  56
por lo que la probabilidad de que en la centuria no haya dos contubernios de hastati juntos es:
p cent 
56
 0.4667
120
Aunque no es relevante para este apartado, sí lo será para los siguientes, por tanto
vamos a ver de qué tipo son estos 56 casos favorables atendiendo a la letra por la que
empiezan y acaban. Siguendo el razonamiento anterior tendremos:
a) Empiezan por H y acaban por H: RP21,1  RP21,1  RP21,1  6
b) Empiezan por H y acaban por R: RP31,2  RP31,1,1  RP32,1  RP31,2  15
c) Empiezan por R y acaban por H: …por simetría con el anterior… = 15
d) Empiezan por R y acaban por R: RP41,3  RP41,1,2  RP43,0  20
MANIPULO: En el caso del manipulo, puesto que esta formado por dos centurias, los casos
posibles serán 1202. Los casos favorables serían, en principio, los 562 en los que no hubiese
contubernios de hastati juntos, pero de estas posibilidades habrá que excluir aquellos cuya
primera centuria acabe en H y la segunda comience también por H.
Siguiendo el razonamiento anterior, el esquema inicial sería el mismo pero ahora
disponemos de 5 R para tres posiciones, no podemos introducir una R al final en la primera
centuria o al principio en la segunda (por simetría, el número de uno y otro caso es el mismo).
RP31,2  RP31,1,1  RP31,1,1  RP31,2  RP32,1  21
y por tanto, los casos que habrá que excluir de los, en principio, 562 favorables serán 212, y la
probabilidad de que no haya dos contubernios de hastati juntos en un manipulo será
p man 
562  212 3136 441 2695


 0.1872
14400
14400
1202
Igual que en el caso anterior, y con el fin de saber la letra por la que empieza y acaba
cada secuencia, podemos resolver el problema directamente, contabilizando los manipulos
favorables en función de la forma de las centurias que los forman.
a) Empiezan por H y acaban por H: 615 + 156 + 1515 = 405
b) Empiezan por H y acaban por R: 620 + 1515 + 1520 = 645
c) Empiezan por R y acaban por H: …por simetría… = 645
d) Empiezan por R y acaban por R: 1520 + 2015 + 2020 = 1000
Evidentemente el resultado es el mismo.
COHORTE: En cuanto a las cohortes, recordando que están compuestas por tres manipulos,
los casos posibles serán 1206. De éstos habrá que contabilizar las que no contengan
contubernios de hastati juntos, es decir, en cuántas de las 26953 cohortes que no contienen
manipulos con hastati juntos, el final de un manipulo y el principio del siguiente no son,
simultaneamente de hastati.
De nuevo podemos recurrir al complementario que es más rápido y sencillo. Hemos
visto que hay 1050 manipulos que acaban en H, y otros tantos que empiezan por H, por tanto
debemos excluir los 1050 que acaban por H (1er manipulo)  los 1050 que empiezan por H (2º
manipulo)  todos los disponibles (3er manipulo) + todos los disponibles (1er manipulo)  los
1050 que acaban por H (2º manipulo)  los 1050 que empiezan por H (3er manipulo). Al
resultado habrá que restar aquellos casos que contabilizaríamos dos veces (los que el primer
manipulo acaba en H, el segundo comienza por H y acaba por H y el tercero comienza por H:
10504051050). Con lo que el número de casos que habría que restar serán:
2  1050  1050  2695 – 1050  405  1050 = 5.495.962.500
y la probabilidad de que no haya dos contubernios de hastati juntos en una cohorte será:
26953  2 10501050 2695 1050 4051050 14.077.889.875
p cohor 

 0.0047
1206
1206