eman ta zabal zazu 1. 2. 3. Tema 5 Acciones básicas de control. Controlador PID. Control en el dominio del tiempo. PID Estudio del Lugar de las raíces Control en el dominio de la frecuencia. Compensadores Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio del tiempo. PID eman ta zabal zazu DIAGRAMA DE BLOQUES R(s) + E(s) - Gc(s) U(s) H(s) G(s) Y(s) R(s)= señal de referencia E(s)= señal de error U(s)= señal de control Y(s)= señal de salida controlada Gc(s)= F.T. del controlador G(s)= F.T. del sistema H(s)=F.T. de la realimentación Control proporcional: Gc(s)= Kp ACCIONES BASICAS DE CONTROL Control proporcional-Derivativo (PD): Gc(s)= Kp(1+Td s) Control proporcional-Integral (PI): Gc(s)= Kp(1+ 1/Ti s) Control proporcional-Integral-Derivativo(PID): Gc(s)= Kp(1+Td s +1/Ti s) 2 Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio del tiempo. PID eman ta zabal zazu CONTROL PROPORCIONAL R(s) + E(s) - K U(s) G(s) Y(s) R(s) K G(s) 1 + K G ( s) H ( s) Y(s) H(s) U (s) ⎯⎯→U ( s ) = Kp E ( s ) ⇒ Gc ( s ) = = Kp u (t ) = Kp e(t ) ⎯Laplace E (s) Función de transferencia en lazo cerrado GLC ( s ) = K G(s) 1 + K G ( s) H ( s) Conclusiones: *Ante cambios bruscos de la salida o referencia produce también cambios bruscos en al señal de control * No corrige la señal de error no nula en el permanente 3 Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio del tiempo. PID eman ta zabal zazu CONTROL PROPORCIONAL-DERIVATIVO R(s) + E(s) - Kp(1 +Td s) G(s) Y(s) R(s) Kp (1 + Td s ) G ( s ) 1 + Kp (1 + Td s )G ( s ) H ( s ) Y(s) H(s) d e(t ) ⎯Laplace ⎯⎯→U ( s ) = Kp (1 + Td s ) E ( s ) u (t ) = Kp e(t ) + KpTd dt Conclusiones: U (s) Gc ( s ) = = Kp (1 + Td s ) *Mejora el amortiguamiento y reduce E (s) rebose el *Reduce el tiempo de pico y el de establecimiento. Amplifica el ruido. * No corrige la señal de error no nula en el permanente 4 Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio del tiempo. PID eman ta zabal zazu CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL R(s) + E(s) - Kp(1 + 1/Tis) G(s) Y(s) R(s) Y(s) Kp (1 + 1 / Ti s ) G ( s ) 1 + Kp (1 + 1 / Ti s ) G ( s ) H ( s ) H(s) u (t ) = Kp e(t ) + Kp Ti ∫ e(t )dt ⎯Laplace ⎯⎯→U ( s ) = Kp (1 + 1 / Ti s ) E ( s ) U (s) Gc ( s ) = = Kp (1 + 1 / Ti s ) E (s) Conclusiones: *Mejora el amortiguamiento y reduce el rebose. *Aumenta el tiempo de pico y filtra el ruido de alta frecuencia. *Elimina los errores en regimen permanente 5 Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio del tiempo. PID eman ta zabal zazu CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO R(s) + - Kp(1+Tds+1/Tis) G(s) Y(s) R(s) Y(s) Kp(1 + Td s + 1 / Ti s) G ( s) 1 + Kp(1 + Td s + 1 / Ti s ) G ( s) H ( s) H(s) d e(t ) Kp u (t ) = Kp e(t ) + Td e(t )dt ) ⎯Laplace + ⎯⎯→ U ( s ) = Kp (1 + Td s + 1 / Ti s ) E ( s ) ∫ Ti dt U (s) Gc ( s ) = = Kp (1 + Td s + 1 / Ti s ) Conclusiones: E ( s) *Reúne las ventajas y desventajas de los controladores por separado. *El valor de cada una de las constantes determina que acción es la dominante. 6 Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio del tiempo. PID eman ta zabal zazu EJERCICIO PID CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO R(s) + - Kp(1+Tds+1/Tis) G(s) Y(s) R(s) Y(s) Kp(1 + Td s + 1 / Ti s) G ( s) 1 + Kp(1 + Td s + 1 / Ti s ) G ( s) H ( s) H(s) Escribir un programa en MATLAB, que realice el control PID de un sistema cualesquiera. El programa tiene que solicitar el valor de la ganancia, los ceros y los polos del sistema en lazo abierto (suponer H(s)=1) y devolver la respuesta de manera grafica tanto del sistema con el PID como del sistema sin el PID. Nota: para introducir un valor por teclado utilizar la función input y para pasar del formato cero-polo al formato función de transferencia utilizar la función zp2tf 7 Tema 5. Acciones básicas de control. Estudio del Lugar de las raíces eman ta zabal zazu “ Lugar geométrico de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado cuando un parámetro (k) o varios de la función de transferencia en lazo abierto varia de 0 a ∞” R(s) + E(s) - U(s) K G(s) Y(s) R(s) K G(s) 1 + K G ( s) H ( s) Y(s) H(s) Ecuación característica: 1 + K G ( s ) H ( s ) = 0 ⇒ K G ( s ) H ( s ) = −1 G(s) H (s) = 1 k Arg (G ( s ) H ( s )) = (2n + 1)180º 8 Tema 5. Acciones básicas de control. Estudio del Lugar de las raíces eman ta zabal zazu SISTEMA DE ORIENTACION R(s) + E(s) - K U(s) 10 .5 s (12 s + 14 ) Θ(s) 1 R(s)=1/s θ(s) 10 . 5 K 12 s 2 + 14 s + 10 . 5 K Punto de dispersión: d G ( sd ) H ( sd ) ds = 0 ⇒ sd = −0.58 1 = G ( sd ) H ( sd ) ⇒ K d = 0.38 Kd CUESTION G=tf(10.5,[12,14,0]) rlocus(G) a) Dibujar y analizar la influencia de añadir un cero en -3 (PD) en el lugar de las raíces del sistema. Analizar también la estabilidad. b) Realizar el mismo estudio pero para el caso de introducir un polo en -3 (PI) 9 Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio de la frecuencia. Compensadores eman ta zabal zazu El objetivo es presentar algunos procedimientos para el diseño y la compensación de sistemas de control mediante métodos frecuenciales. Compensación: Es la modificación de la dinámica del sistema para satisfacer las especificaciones requeridas. (Las especificaciones pueden ser márgenes de fase y ganancia determinados, error en el permanente etc..) COMPENSACION SERIE R(s) + E(s) - Gc(s) U(s) G(s) COMPENSACION EN ADELANTO Y(s) COMPENSACION EN ATRASO H(s) COMPENSACION EN ATRASO-ADELANTO 10 eman ta zabal zazu Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio de la frecuencia. Compensadores COMPENSACION EN ADELANTO Compensador de adelanto Gdb Ts + 1 , 0 < α < 1, wn = 1 Gc( s ) = k αT αTs + 1 Técnica de compensación: El sistema se compensa añadiéndole un desfase, mediante el cual se consigue el margen de fase deseado. 1/T 1/αT log w Φ(w) Φmax(wn) wn log w 1−α sen(φm ) = 1+ α 11 eman ta zabal zazu Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio de la frecuencia. Compensadores COMPENSACION EN ADELANTO Sistema compensado MF=50º Sistema sin compensar kG ( s ) = 40 s ( s + 2) Ts + 1 Gc( s ) = k αTs + 1 k = 10, α = 0.24, T = 0.227 Compensador de adelanto 0.227 s + 1 Gc( s ) = 10 0.054s + 1 Programa en MATLAB: ?????? MF=17º Sistema sin compensar 12 eman ta zabal zazu Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio de la frecuencia. Compensadores COMPENSACION EN ATRASO Compensador de atraso Gdb 1/βT 1/T log w wn log w Ts + 1 , β > 1, wn = 1 Gc( s ) = k βT βTs + 1 Técnica de compensación Φ(w) Se basa en encontrar la frecuencia a la cual se consigue el margen de fase deseado. Φmin(wn) 13 eman ta zabal zazu Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio de la frecuencia. Compensadores COMPENSACION EN ATRASO Sistema compensado Sistema sin compensar MF=41º 5 k G ( s) = s ( s + 1)(0.5s + 1) Ts + 1 βTs + 1 k = 5, α = 9.1, T = 11.44 Gc( s ) = k -180 Compensador de atraso 11.44 s + 1 Gc( s ) = 5 104.16 s + 1 Programa en MATLAB: ?????? MF=-13º Sistema sin compensar 14 eman ta zabal zazu Tema 5. Acciones básicas de control. Control en el dominio de la frecuencia. Compensadores COMPENSACION EN ATRASO-ADELANTO Compensador de atraso-adelanto Gc( s ) = k c Técnica de compensación: T1s + 1 T2 s + 1 , α = 1/ β , αT1s + 1 βT2 s + 1 Gdb Φ(w) 1/βT2 Es una combinación de las dos técnicas anteriores, donde a unas frecuencias se realiza un atraso y a otras un adelanto de fase. 1/T1 1/αT1 log w 1/T2 wn log w 15