Transporte Transbordo y asignacion

Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
Lección 8. Problemas del transporte, transbordo y asignación
8.1. El problema de transporte
8.1.1.Propiedades del sistema de transporte.
8.1.2.Método general de solución- algoritmo de transporte.
8.1.3.Determinación de una solución inicial
8.1.3.1.Método de la esquina noroeste (MEN).
8.1.3.2.Método de Aproximación de Vogel (MAV)
8.1.3.3.Soluciones degeneradas (ε posiciones)
8.1.4.Optimalidad y mejora de una solución.(MODI)
8.2 Problema de transbordo
8.3. Extensiones y consideraciones prácticas
8.4. El problema de asignación
8.4.1.Algoritmo del transporte
8.4.2.Método Húngaro
8.4.3.Algunas consideraciones
8.4.4.Problema de emparejamiento
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
En los dos próximos capítulos estudiaremos un conjunto de modelos lineales
con una estructura especial. Tradicionalmente estos modelos se han
considerado como subclases de la programación lineal, sin embargo, las
variables de decisión que aparecen en ellos sólo toman valores enteros, por lo
que realmente deben considerarse como problemas de programación entera.
Un aspecto notable de los métodos de solución de estos problemas, es la
complejidad computacional. Un enfoque primitivo de resolución consiste en
evaluar cada posible solución, es decir, cada posible combinación de valores
enteros para las variables del problema. En este caso incluso en un problema
pequeño como podría ser con diez variables y diez valores para cada variable
tendría un número grande (diez mil millones) de posibles soluciones, lo que
hace necesario planteamientos de solución inteligentes.
8.1. El problema de transporte
Uno de los primeros problemas que se formuló como problema de
programación lineal y que en su día tuvo gran motivación debido al escaso
desarrollo de los medios de transporte, es el denominado problema de
transporte o distribución.
Consiste en llevar unidades de un producto homogéneo de m puntos de
origen a n puntos de destino con coste mínimo. Dada su estructura
particular, se han desarrollado algunas heurísticas y métodos específicos que
resultan mucho más eficientes que la resolución del correspondiente
programa lineal. Esta denominación de problema de transporte o distribución
es el resultado de la tradición.
Ej: llevar unidades de un cierto bien de tres almacenes u orígenes con sus
respectivas capacidades o disponibilidades a tres puntos de venta o destinos
que presentan unas demandas que hay que satisfacer. Este problema.
Hay un total de 9 arcos, que son las conexiones entre cada origen y destino, y
vienen a ser las posibles rutas de transporte. Asociado a cada uno de los arcos
aparece un número, que es el coste de transporte por unidad entre el origen y
el destino que une, y que se supone constante. Bajo la hipótesis de que el
coste es función lineal de las unidades transportadas, el problema consiste
en determinar la forma de transporte con coste mínimo.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
La formulación del problema mediante un programa lineal standart sería:
Minz= 3xa1+2xa2+5xa3+4xb1+3xb2+2xb3+7xc1+3xc2+3xc3
Sujeto a:
Xa1+xa2+xa3=10
Xb1+xb2+xb3=20
Xc1+xc2+xc3=15
Xa1+xb1+xc1=15
Xa2+xb2+xc2=5
Xa3+xb3+xc3=25
Xij>=0
Para resolverlo habría que añadir variables artificiales para obtener una
solución inicial y aplicar el método simplex. Sin embargo hasta para valores
pequeños de m y n el problema puede resultar excesivamente grande. Por
ello, se han propuesto métodos más eficientes que la resolución del Simplex
que se apoyan en la forma matricial.
La forma matricial de problema del transporte denominada tabla del
transporte es la siguiente:
Siendo:
En cada posición aparecen tres valores:
cij= coste del transporte de una unidad desde el origen i hasta el destino j
Xij: número de unidades transportadas desde el origen i al destino j.
α ij: se denomina Valor indicador, y desempeña el mismo papel que el de los
elementos de la fila indicador en la tabla del Simplex, es decir, nos van a
indicar si la tabla es óptima y si no es así, como determinar una nueva mejora
de la solución.
PROPIEDADES DEL SISTEMA DE TRANSPORTE.
Teorema 1. El problema de transporte tiene una solución factible,
Un solución básica factible para el problema de transporte es un solución
entera que verifica las restricciones de disponibilidad y demanda y con a lo
sumo m+n-1 posiciones localizadas.
Teorema 2. El problema del transporte (equilibrado) tiene una solución básica
factible.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
Teorema 3. Si para un problema de transporte se determina una solución
básica factible inicial entonces todas las soluciones que se obtengan a partir
de ella mediante el método del simplex son soluciones básicas factibles.
Teorema 4. El problema del transporte es acotado.
MÉTODO GENERAL DE SOLUCIÓN- algoritmo de transporte.
I. Fase inicial
Paso 0. Dado un problema de transporte, ponerlo en la forma matricial.
Transformar el problema en equilibrado si no lo fuera, e ir al paso 1.
Si la disponibilidad es mayor que la demanda, se crea un destino ficticio que
absorba el exceso de disponibilidad. Siendo el coste de transporte cij=0
Si el problema original es tal que la disponibilidad es menor que la demanda
se crea un origen ficticio que provea el exceso de demanda con una
disponibilidad.
Fase I
Paso 1. Determinar una solución básica factible inicial.
Asi en la fase I se determina una solución inicial, lo que es posible mediante alguno de los métodos existentes, entre los que estudiaremos el de la
Esquina Noroeste y el Aproximado de Vogel.
Fase II
Paso 2. Si la solución obtenida en el paso anterior es óptima, parar. En otro
caso, ir al paso 3.
Paso 3. Determinar una nueva solución que mejore la anterior e ir al paso 2.
La fase II consiste en determinar si la solución obtenida en la I es óptima.
Si no es óptima, la mejora es posible y ésta se puede llevar a cabo mediante
distintos métodos y el que estudiaremos es el conocido como MODI (MOdified
DIstribution) o también u — v.
En un problema de transporte con m orígenes y n destinos una solución no
degenerada tendrá m+n-1 posiciones con valor positivo que llamaremos
básicas. Ya que del total de m+n restricciones sólo m+n-1 serán
independientes y pueden formar una base.
Es importante destacar que una solución óptima puede ser degenerada, y por
ello no hay inconveniente alguno. Sin embargo, no puede serlo la solución a
partir de la cual se vaya a obtener otra mejor. Por ello veremos cómo
convertir una solución degenerada en una que no lo sea.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN INICIAL
Método de la esquina noroeste (MEN).
Este método conduce a una solución factible con a lo sumo m + n -1 posiciones
localizadas. Las variables asociadas con tales posiciones se toman como
variables básicas iniciales. El método viene dado por los siguientes pasos:
Paso 1. Sea (i, j) la posición de la esquina noroeste (posición superior
izquierda) de la tabla de transporte (inicialmente i = j = 1).
Paso 2. Hacer xij = min (disponibilidades, demandas), y reducir el valor de la
disponibilidad o de la demanda en la cantidad xij situada en (i, j), de forma
que una fila o una columna o ambas quedan satisfechas y se pueden eliminar
de la tabla.
Paso 3. Si no queda alguna fila o columna, parar. En otro caso, volver al paso
1 (y aplicar una nueva iteración a la tabla reducida en la fila y/o columna del
paso 2).
Método de Aproximación de Vogel (MAV)
Este método requiere mayor esfuerzo que el MEN pero conduce a una solución
inicial bastante mejor, pues tiene en cuenta la información de los costes de
transporte a través de penalizaciones de fila y columna, que representan el
posible coste de penalización que se obtendría por no situar unidades a
transportar en una determinada posición.
Definimos las penalizaciones de fila:
PF= valor absoluto de la diferencia entre los dos costes menores de la fila i
Y de columna:
PC= valor absoluto de la diferencia entre los dos costes menores de la
columna j
y las situamos para las respectivas filas y columnas en las partes derecha e
inferior de la tabla de transporte. El método, que parte de una matriz de
transporte equilibrada, es el siguiente:
Paso 1. Determinar las penalizaciones de fila PFi y de columna PCj de la
matriz de transporte.
Paso 2. Considerar la fila o columna con mayor penalización y situar el mayor
número posible de unidades en la posición con mínimo coste cij de la fila o
columna anteriormente seleccionada (a igualdad de penalización, elegir una
fila o columna arbitrariamente).
Paso 3. Disminuir la disponibilidad de la fila i y la demanda de la columna j
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
en la cantidad asignada a la posición (i, j) y suprimir la fila y/o columna cuya
disponibilidad o demanda, respectivamente, haya pasado a valer cero.
Paso 4. Si todas las unidades están asignadas, parar. En otro caso, volver al
paso 1.
Soluciones degeneradas (ε posiciones)
Hemos apuntado que una solución óptima puede ser degenerada, sin embargo para comprobar sí la solución actual es o no óptima y en el segundo caso
mejorarla, es necesario que sea no degenerada.
Existen varios métodos para tratar con soluciones degeneradas. Desarrollaremos aquí el conocido como de ε posiciones, que consiste en asignar
convenientemente el valor ε (que se supone una cantidad positiva próxima a
cero) a posiciones no localizadas hasta alcanzar m + n — 1 posiciones
localizadas.
Por ejemplo, en un problema de transporte en el que se ha obtenido una
solución con 9 posiciones localizadas y tiene m=6 orígenes y n= 8 destinos,
para que la solución anterior sea no degenerada, puesto que 6 + 8 — 1 = 13,
habrá que añadir 13 — 9 = 4 ε-posiciones. Estas ε-posiciones se tienen en
cuenta durante todo el proceso de solución de la fase II como si fueran
posiciones básicas y únicamente al terminar el proceso de solución, al
alcanzar la optimalidad, se hacen los ε igual a cero.
Para designar las ε-posiciones es necesario el concepto de ciclo en una tabla
de transporte que construimos con el siguiente algoritmo:
Paso 1. Fijar una posición vacia y asignarle τ +.
Paso 2. Un ciclo se construye considerando una sucesión de segmentos
alternativamente verticales y horizontales con orígenes y extremos en
posiciones básicas y que comienza y termina en la posición vacía inicialmente
elegida.
Paso 3. A las posiciones del ciclo construido se les asigna alternativamente τ+
τ -, comenzando con el τ+ de la posición vacía.
La asignación de ε-posiciones se hace a posiciones independientes
definidas como aquellas posiciones vacías para las que no es posible
construir un ciclo. En todo caso, la determinación de las posiciones
independientes debe comenzar por aquellas (vacías) con coste más bajo, ya
que la asignación de ε-posiciones a éstas puede conducir más rápidamente a
la solución final.
Una propiedad importante para llevar a cabo esta elección es que “siempre
es posible construir un ciclo a partir de una solución básica factible”. Esto nos
permite obtener siempre una solución no degenerada de una generada y así
entrar en la fase II.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
Optimalidad y mejora de una solución.(MODI)
Un vez terminada la fase I que ha proporcionado una solución básica factible
no degenerada queremos saber si es optima y si no es así construir una nueva
solución con menor coste que la actual.
El método que desarrollaremos se conoce como MODI o u-v y utiliza el dual
del problema de transporte.
Desarrollamos el algoritmo correspondiente a este método, y para hacerlo
más fácil de aplicación, introducimos los números MODI, que se definen.
Si =—ui (número MODI de la fila i)
Tj= —vj (número MODI de la columna j)
(se sitúan en las respectivas filas y columnas a la derecha y en la parte
inferior de la tabla de transporte) y el valor indicador de cada variable xij:
αij= Si+Tj+cij
Los pasos del algoritmo MODI son:
Paso 1. Dada una solución no degenerada (obtenida inicialmente en la fase 1)
hacer arbitrariamente igual a O cualquier Si, o Tj, y para cada posición básica
imponer que Si+Tj +cij =0
Paso 2. Para cada posición no básica, determinar su valor indicador.
αij= Si+Tj+cij y situarlo en su respectiva posición (αij = O para las posiciones
básicas).
Paso 3. Si para toda posición (i, j) es αij no negativo, la actual solución es
óptima. Si algún αij es negativo, ir al paso 4.
Paso 4. Considerar la posición (i, j) con el valor indicador αij más negativo y
redistribuir las unidades de la tabla construyendo un ciclo para esa posición
(en caso de igualdad de valores αij elegir uno arbitrariamente).
Paso 5. El número máximo de unidades a asignar a la posición vacía (i, j) viene
dado por ρ= min (xij)con τPaso 6. Para obtener la nueva solución básica factible, restar la cantidad ρ a
las variables del ciclo con designación τ-, sumarla a aquellas con designación
τ+ y el resto de las variables permanecen igual. Volver al paso 1 y continuar el
proceso hasta alcanzar la optimalidad.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
8.2 Problema de transbordo
En algunas aplicaciones del problema de transporte los orígenes y destinos
pueden servir como puntos de transbordo, de manera que las unidades de
producto se pueden enviar a través de orígenes y destinos intermedios hasta
su destino final.
Este planteamiento, más general que el del problema de transporte, permite
por tanto en la representación mediante una red que los arcos sean aristas y
que los orígenes entre sí, y también los destinos, estén unidos por aristas.
Veamos que este problema se puede plantear como un problema de
transporte extendiendo algunos de los conceptos utilizados anteriormente.
Dado un problema de transporte equilibrado con m orígenes y n destinos, la
tabla de transbordo es una matriz cuadrada de orden m + n formada por
cuatro submatrices:
ƒ A, que es la matriz de orígenes-orígenes;
ƒ B, la de orígenes-destinos, que es precisamente la matriz de transporte
sumergida en el problema de transbordo;
ƒ C es la destinos-orígenes; y
ƒ D, la de destinos-destinos.
En la fila inferior (demandas) y columna derecha (disponibilidades) aparece la
cantidad M= ∑demandas(bj) =∑disponibilidades(ai) sola o sumada, según el
caso, a los ai o bj. Tal cantidad es una cota superior del número de unidades
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
que pueden pasar a través de cada origen o destino, es decir, la máxima
cantidad que se puede transbordar por cada uno.
Como en el problema de transporte, los costes son datos del problema,
excepto los situados en la diagonal principal, que son cero, ya que
representan el envío de unidades de un vértice a sí mismo. Obviamente los
métodos de solución del problema de transporte son aplicables al de
transbordo. Indiquemos únicamente que la solución básica factible inicial se
puede obtener, bien como se indicó en la fase I (con los métodos MEN o MAV),
bien resolviendo previamente el problema de transporte sumergido (submatriz
B), situando la solución obtenida en las correspondientes posiciones de la
tabla de transbordo y completando ésta con la asignación de la cantidad M a
las posiciones de la diagonal principal. Este segundo método generalmente
proporciona una buena solución inicial.
El mayor inconveniente del problema del transbordo es el tamaño de la tabla
de transporte resultante. Por ejemplo, un problema con 60 orígenes y 200
destinos tendría una tabla de transporte con 12000 posiciones, mientras que
planteado como transbordo tendría 67600 posiciones.
8.3. Extensiones y consideraciones prácticas
1.Los costes de un problema pueden ser beneficios. En ese caso, ya que el
algoritmo propuesto es para la forma de minimización, habría que adaptarlo a
la de maximización transformando para ello la matriz. Esta transformación se
puede llevar a cabo bien multiplicando todos los cij por — 1.
2. Otro aspecto interesante es la existencia de soluciones óptimas alternativas
Si el indicador αij = O para alguna posición no básica en la tabla final,
entonces existen soluciones óptimas alternativas que se pueden determinar
relocalizando esa posición.
3. Finalmente, si hubiera aristas que no son factibles porque no esté
permitido el transporte de unidades entre dos vértices (origen-destino,
origen-origen, destino-origen, destino-destino) para evitar que aparezca la
correspondiente posición con valor positivo en la solución final (lo que no
siempre ocurre), se le asigna un coste grande (bajo la forma de
minimización), en comparación con los restantes costes de la tabla. En todo
caso, sí al final aparece localizada esa posición, debe darse su correcta
interpretación física.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
8.4. El problema de asignación
Otro tipo de modelo de distribución es el problema de asignación, que
específicamente trata de asignar un número de orígenes (individuo, tareas,
etc.) a un mismo número de destinos (tareas, máquinas, etc.) de manera que
se optimice alguna medida de eficacia. Usualmente esta medida es coste o
tiempo, de forma que los algoritmos que se consideran son de minimización.
El problema de asignación forma una subclase del problema de transporte y
por tanto también de los problemas de programación lineal. El nombre lo
toma de la aplicación particular que inicialmente motivó el problema de
asignar un conjunto de individuos a tareas o trabajos.
De una manera formal, el problema se puede establecer como sigue: Dados
m individuos que hay que asignar a m tareas, siendo cij el coste de asignar
al individuo i la tarea j se trata de determinar una asignación con coste
total mínimo.
Introduciendo las variables de decisión:
xij = 1 si el individuo i se asigna a la tarea j
O en otro caso
Notemos que cada variable de decisión está restringida a tomar el valor O ó 1,
de manera que el primer conjunto de restricciones conlleva que cada
individuo i se asigne a una única tarea, mientras que para el segundo conjunto
de restricciones cada tarea j se asigne a un único individuo. Además, teniendo
en cuenta los valores que pueden tomar las variables, vemos que el modelo se
ha formulado como un problema de programación entera 0-1.
Por otra parte, si tales restricciones se reemplazan por xij>=0 en tal caso el
problema de asignación sería un problema de transporte con igual número de
orígenes y destinos y donde cada disponibilidad y demanda es igual a la
unidad.
Como consecuencia, el problema de asignación tiene la misma propiedad que
el de transporte (teorema 3), que dice: Si tenemos una solución básica
factible inicial para el problema de asignación, el método del simplex
converge a una solución básica factible (en este caso tal solución está
obviamente formada por ceros y unos, ya que a tales valores están
restringidas las variables de decisión Xij).
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Son varios los métodos para resolver el problema de asignación. Entre ellos
están el método del simplex, algoritmo de transporte, método Húngaro,
ramificación y acotación (capítulo 9), método del simplex dual.
Algoritmo de transporte.
Como el problema de asignación es una subclase del problema de transporte,
es posible aplicar el algoritmo de transporte para su resolución. Sin embargo,
ya que el problema de asignación tiene siempre la solución degenerada se
hace necesario introducir ε-posiciones, lo que hace poco eficiente al método.
Notemos que cada solución en un problema de asignación con m filas y
columnas tiene una única posición localizada por fila o columna (asignación
independiente) y por tanto m asignaciones. Como para que el problema no sea
degenerado tiene que tener 2m — 1 asignaciones, serán necesarias en la faseII
del algoritmo de transporte m-1 ε-localizaciones que da un problema
altamente degenerado. Así un problema con 200 filas (y columnas) necesitaría
199 ε-localizaciones, por lo que ya incluso para problemas de tamaño
moderado resulta poco atractivo este enfoque.
Método Húngaro
El método Húngaro, propuesto por Kuhn en 1954, es más eficiente que el
algoritmo de transporte para resolver el problema de asignación. Está
inspirado en los algoritmos del camino mínimo y flujo máximo de la teoría de
redes.
El método de Kuhn, que no aparece en forma explícita hasta principios de
los años setenta, se basa en el hecho de que la asignación óptima no queda
afectada si se suma o resta una misma constante a una fila o columna de la
matriz de asignación. El objetivo es entonces obtener el mayor número de
ceros en la matriz de coste convenientemente transformada de forma que sea
posible encontrar m ceros que correspondan a una solución factible. Supuesto
entonces que todos los cij son no negativos, el método lleva por tanto a
transformar el problema en uno "equivalente" con mínimo coste total cero, lo
que será cierto si es posible obtener una asignación independiente de ceros.
El algoritmo que hace esto es
Paso 0. Poner el problema en la forma de minimización con todos los
elementos (costes) cij>)0
Paso 1. Restar el mínimo elemento de cada fila de la matriz de asignación, a
cada elemento de su fila.
Paso 2. En la matriz obtenida en el paso 1, repetir la operación anterior, pero
para las columnas.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
Paso 3. Buscar la fila con el menor número de ceros, encuadrar uno de los
ceros de la fila y tachar el resto de ceros que se encuentran en la misma fila o
columna que el cero encuadrado. Proceder de forma análoga con las restantes
filas, comenzando con aquella que contenga el menor número de ceros (no
tachados), y así sucesivamente hasta que no sea posible encuadrar más ceros.
Si todas las filas tienen un cero encuadrado, hemos obtenido una asignación
independiente de ceros, y parar. En otro caso, ir al paso 4.
Paso 4. Determinar el mínimo número de líneas (verticales y/u horizontales)
que cubran todos los ceros de la matriz obtenida en el paso anterior. El
procedimiento es como sigue:
i) Se marcan (con x) todas las filas que no contienen un cero encuadrado.
ii) Se marcan todas las columnas que tienen un cero tachado en filas
marcadas.
iii) Se marca toda fila que tenga un cero encuadrado en una columna
marcada.
iv) Se repiten ii) y iii) hasta que no haya más filas y columnas que marcar.
v) Pasar líneas (√) a través de las filas no marcadas y columnas marcadas,
obteniendo así el mínimo número de líneas que cubren lodos los ceros de la
matriz.
Paso 5. Para generar ceros adicionales, se selecciona el menor de los costes
no cubiertos (que no estén en una fila ni en una columna marcada con √ ).
Restarlo a todos los elementos no cubiertos y sumarios a los elementos
cubiertos que estén en la intersección de dos líneas (elementos que están en
una fila y una columna marcada con √).
Paso 6- Volver al paso 3.
El paso O es de inicialización.
La validez de los pasos 1 y 2 se apoya en el hecho de que, si se resta una
constante k a todos los elementos de una fila o columna, la asignación de
mínimo coste es la misma.
El paso 3 es una heurística para determinar si es posible una asignación
independiente de ceros y por tanto óptima.
En el paso 4 se considera otra heurística para obtener el número mínimo de
líneas que cubren todos los ceros de la matriz de asignación obtenida.
El paso 5 es equivalente a restar la misma constante a todos los costes no
cubiertos de cada fila y sumársela a todos los costes cubiertos de cada
columna, lo que lleva, como hemos justificado (pasos 1 y 2), a un problema
equivalente.
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Capítulo 8. Problema de Transporte y asignación
El algoritmo se fundamenta en el teorema de Konig que establece que: "El
numero de ceros independientes es igual al mínimo número de líneas
necesarias para cubrir todos los ceros de la matriz". Con este proceso queda
también asegurada la convergencia del método.
ALGUNAS CONSIDERACIONES
Algunas consideraciones de tipo practico son:
1. Si el problema es la forma de maximización es posible aplicar el método
Húngaro, pero transformando la matriz. Esta transformación se puede llevar a
cabo como se indicó multiplicando lodos los elementos de la matriz original
por — 1 .
2. Si el problema no es equilibrado, es decir, tiene distinto número de filas
que de columnas, se transforma en equilibrado de la misma forma que en el
algoritmo de transporte, introduciendo filas o columnas ficticias hasta igualar
su número. Los costes para estas nuevas posiciones generalmente se
supondrán nulos, y por ejemplo, una asignación de un individuo a una tarea
ficticia significaría que el individuo queda ocioso y, recíprocamente, una
asignación de un individuo ficticio a una tarea significaría que la tarea queda
sin asignar a un individuo y por tanto no se va a realizar.
3. Finalmente notemos que como en el problema de transporte, puede haber
ciertas asignaciones no permitidas. En tal caso se les pondría unos costes muy
grandes comparados con el resto de costes de la matriz.
PROBLEMA DE EMPAREJAMIENTO
Un caso particular de! problema de asignación es el problema de emparejamiento, cuya matriz de costes está formada únicamente por ceros y unos
(matriz de emparejamiento). Sí un elemento cij = 1, significa que el individuo
i puede hacer la tarea j y si cij = O, que el individuo i no puede realizar la
tarea j. Es posible obtener una representación mediante un grafo en el que
existe una arista que une dos vértices (el primero corresponde a un origen o
individuo y el segundo a un destino o tarea), si el individuo es capaz de hacer
la tarea, en cuyo caso aparece 1 en la correspondiente posición de la matriz
de emparejamiento.
Matemáticamente, la formulación del problema de emparejamiento es igual
que la de asignación, salvo que ahora la función objetivo es de la forma de
maximización.
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