Transferencia de Masa 2012-09-11-11ª

Transferencia de Masa
2012-09-11-11ª
Temas a tratar
• Expresiones de flux molar Ni y Ji*;
• Primera ley de Fick;
• Experimento de Stefan-Boltzman;
• Flux difusivo y convectivo.
Ejemplo 16.1-1 BSL
Objetivos:
1) Encontrar la relación que hay entre las expresiones de flux molar: J i * y Ni
n
2) Demostrar que  J i*  0
i 1
Solución
Por definición, Ni es el flux molar de i referido a un un punto fijo: Ni  ci vi
J i* es el flux molar de i referido a una diferencia de velocidades: J i*  ci  vi  v* 
n
como: v 
*
c v
i 1
n
n
i i
donde:
c
i 1
c
i 1
i
c

i
c
y: i  xi
c
como: Ni  ci vi

n
n

ci vi


J i*  ci  vi  i 1
c




Ni  J  xi  ci vi ... (1)
*
i
i 1


c
  ci vi  i
c



n
J  Ni  xi  ci vi
*
i
i 1
n
c v
i 1
i i
n
2) Demostración de que  J i*  0
i 1
n
Como: J  ci vi  xi  ci vi
*
i
i 1
n
n
n
n
n

 n


  J    ci vi  xi  ci vi    ci vi   xi  ci vi   ci vi 1   xi 
i 1
i 1 
i 1
i 1
i 1
i 1
 i 1
 i 1 
n
n
*
i
n
como:
x
i 1
i
1

n
J
i 1
*
i
 0 ... (2)
En un sistema binario: J A*  J B*  0
 J A*   J B*
Esto implica que la magnitud del flux molar de A es igual al de B pero se transporta en
dirección opuesta.
Primera ley de Fick
Básicamente, expresa el flux molar de A en términos de la difusión molecular:
J A*   DAB cA
moles A  L2   1   moles A 
   

2
3
tL
t
L
L




 
como: cA  cx A
 J A*   DAB cxA   DAB cxA
n
Por otro lado: Ni  J  xi  ci vi
*
i
i 1
 N A  J A*  xA  cAvA  cB vB 
además: cAvA  N A ... cB vB =N B
 N A  cDAB xA  xA  N A  N B 
Esta ecuación indica que el flux molar de A puede estar compuesto por el flux molar
difusivo de A y el flux molar convectivo de A y de B.
Tabla 16.1-3 BSL… más expresiones de flux para sistemas binarios
Para que la definición (o forma) de flux esté completa deben
especificarse tanto las unidades como el sistema de referencia.
En una buena parte de sistemas comunes en Ingeniería Química se
prefiere el uso de flux molar relativo a coordenadas estacionarias, es
decir Ni
Ejemplo : “Experimento de Stefan”
Considere el caso de un tubo de ensaye que contiene dos materiales, uno es aire (a) y el
otro es agua (w); una parte de w se encuentra en su estado líquido en el fondo de la
probeta, y está saturado con a; la otra parte se encuentra mezclada con a en la fase gas
(a esta “humidificada” con w).
La cantidad relativa de w y de a que hay en las fases gaseosa y líquida depende de las
condiciones del sistema (temperatura y presión, principalmente).
Considere además, que en la parte superior del tubo circula a, con una concentración
de w constante y conocida (xwδ) .
Suponiendo que el sistema esta en equilibrio térmico, a una temperatura tal que la
presión de vapor w es mayor que la presión parcial w en la fase gas (es decir, w tiene
potencial suficiente para pasar de la fase líquida a la gaseosa); y que la presión total
dentro del tubo es igual a la presión externa (esto implica que no hay transporte de
masa producido por un gradiente de presión), obtener las expresiones (modelo
matemático) de:
i)
Composición (fracción molar) del w en la fase gas: xw;
ii)
Flux y flujo molar en la superficie del líquido y a la salida del tubo.
Esquema
xw  xw
z 
a y w
x w  x w0
z 0
wya
Características del experimento:
# Hay gradientes (claros) de w y a respecto a la coordenada z;
# Los gradientes de w y a son opuestos;
# En la fase líquida, w está saturada de a; además, a no puede salir a través del fondo
de la probeta;
# Hay un flux de w; es hacia arriba, y puede ser por difusión y por convección.
Balance diferencial molar de A en coordenadas cilíndricas
Tabla 18.2-1 de BSL
En términos de NA
C A
t
1 N A N Az 
1 


 r N Ar  
  RA
r 
z 
 r r
En términos de CA
C A
t
C A 
1 C A
 C A
  vr
 v
 vz

r 
z 
 r
 1   C A  1  2C A  2C A 
DAB 
 2   RA
r
 2
2
z 
 r r  r  r 
Plawsky, Figuras 2.12b. Sistema coordenado: cilíndrico
C A
t
1 N A N Az 
1 


 r N Ar  
  RA
r 
z 
 r r
Modelo (restricciones)
d
 0
dt
2) Temperatura y presión constantes
1) Estado estacionario:
3) Flux de w ocurre solamente en la dirección z
 Nwz  0
4) No hay reacción: Rw  0
5) Flux de w puede ser difusivo y convectivo
Para obtener el perfil de la composición de la fase gaseosa en términos de la fracción
molar de w –x(z) – se debe hacer un balance de w, y tomar en consideración las
restricciones del modelo.
Analizando la ecuación de conservación de w en términos del flux, se tiene:
Tabla 18.2-1 ... Coordenadas cilíndricas
Cw 1 
1 N w N wz


 Rw
 r N wr  
t
r r
r 
z
1
3
3
4
N wz
 0  N wz  constante   ... (1)
z
Notar que esta igualdad es el balance de w en términos del flux

N w   ... (1)
Esta conclusión tiene una utilidad limitada, en cuanto a que no hay “medidores de
flux”. Por lo tanto, es necesario expresar al flux en términos de “medibles”.
De acuerdo con las posibilidades de transporte y la definición de flux, se tiene:
 N w   Dwa Cw  vCw
N w  N w  difusión  N w convección
El transporte ocurre solamente en la dirección z, por lo tanto:
N w   Dwa
dCw
 v z Cw
dz
Para obtener el modelo de la fracción molar de w en función de z – xw(z) – se
considera que la concentración molar Cw y la fracción molar xw del componente w y la
concentración molar total C están relacionadas de la siguiente manera:
Cw  C x w
 N w   Dwa C
dxw
 vC xw
dz
 L   moles total 
como: vC    
 =flux molar total  N w  N a
3
t
L
 

dxw
 N w   Dwa C
  N w  N a  xw
dz
como: N w   Dwa C
dxw
  N w  N a  xw
dz
Esta ecuación tiene como variables a Nw, xw z y Na; por lo tanto, para que sea útil es
necesario poner a una de dichas variables en función de otra y/o hacer suposiciones que
permitan simplificar el modelo, como las siguientes:
1) Solución diluida: (Nw+Na) xw=0
2) Contradifusión equimolar : Nw= Na
3) Transporte de w en un medio estático: Na =0 ;
4) El flux neto de a es cero: Na=0
5) Otras Nw=f (Na) atendiendo a la estequiometría, electroneutralidad…
A manera de ejemplo, se considera que en el sistema se cumple la restricción 4, es
decir que el flux neto de a es cero (luego se comentará al respecto): Na=0; entonces , el
modelo que describe el flux de w en términos de variables medibles es:
como: N w   Dwa C
 N w   Dwa C
dxw
 N w xw
dz
dxw
  N w  N a  xw
dz
 Nw  
Dwa C dxw
1  xw dz
... (2)
Por lo tanto, el modelo que describe el flux de w de este sistema es (2):
Dwa C dxw
 Nw  
1  xw dz
... (2)
Notar que (1) este modelo no considera solamente la difusión molecular de w [ley de
Fick].
Por otro lado, cuando se analizó el balance de w (expresado en términos del flux Nw, se
asumió que el sistema esta en estado estacionario y no hay reacción química, por lo que
se concluyó que en este sistema el flux total de w es constante:
N wz
0
z

N w  constante   ... (1)
Combinando las expresiones que describen el balance de w en términos del flux (1) y la
del flux de w (2), se tiene:
Nw  
Dwa C dxw

1  xw dz
con la condiciones límite: x  xwo en z  0 y x  xw en z  
Como: N w  
Dwa C dxw

1  xw dz
con la condiciones límite: x  xwo en z  0 y x  xw en z  
 
dxw


dz
1  xw Dwa C

Dwa C

 ln 1- xw    z  b
Para expresar las constantes ε y b en términos conocidos, se utilizan las condiciones
límite:
b  ln 1- xwo 
 1
 ln 1- xw    ln
 
1  1- xw 
  ln 

  1- xwo 
 1- xw  

  z  ln 1- xwo 
 1- xwo  
 1- xw  z  1- xw 
 ln 
  ln 

1x

1x
wo 
wo 


 1- xw  z  1- xw 
Como: ln 
  ln 

1x

1x
wo 
wo 


1- xw  1- xw 



1- xw0  1- xw0 
z

Por lo tanto, el modelo que describe el perfil de la fracción molar de w es el siguiente:
 1  xw 
xw  1  1  xwo  

1

x
wo 

z

... (3)
 1  xw 
z
donde:   1  xwo  ...   
 ... v 
1

x

wo 

Aprovechando que ahora ya se conoce el perfil xw(z), se puede obtener la expresión
del flux de w -Nw- aplicando su definición y se evaluándolo en la frontera de interés,
v
En forma mas simple: xw  1   
Como: N w  
z
Como: xw  1    v

Dwa C dxw
1  xw dz
se debe conocer
z
dxw d

 1    v
dz dz
 1  xw 
dxw
  1  xwo  

dz
1

x
wo 

z



dxw
dz
dxw
 dv 
  v ln  
dz
 dx 
   1  xw   1   
ln  
   
1

x
wo      
  

Por lo tanto, las expresiones de Nwo y Nwδ se obtienen combinando las ecuaciones:
Nw
z
D C dxw
  wa
1  xw dz
 1  xw 
xw  1  1  xwo  

1

x
wo 

z
 1  xw 
dxw
  1  xwo  

dz
1

x
wo 

 Nw
z
z

z

   1  xw   1   
ln  
   
1

x
wo      
  

   1  xw   1   
  DwC ln  
      constante
   1  xwo       z
 Nw  N o  N 
z
Resultó que Nwo=Nwδ porque el sistema se cumplen las siguientes condiciones: está
en estado estacionario; no hay flux neto de a; no hay ni transformación (química) que
alteren concentración de w; y el área de flujo es constante.
Así mismo. el flujo de w en toda la probeta es constante
Como: qw  N w  r 2  ... r es el radio de la probeta
qw  qw0  qw   r
2

  1- xw   1   
 Dwa C ln 
   
1x
wo      
 

Nota
Significado de la consideración (restricción, suposición…): flux neto de a es cero
Na=0
De acuerdo con la definición de flux total (difusivo + convectivo), el flux de a es:
N a   Dwa
dCa
 vCa
dz
Como: N a  0  Dwa
dCa
 vCa
dz
Este resultado indica que hay un flux convectivo de a que es igual a un flux difusivo
de a, pero de sentido contrario; esto explica porque el flux total de a puede ser cero.
Sin embargo, para explicar cómo se producen dichos flux de a, se hacen las siguientes
consideraciones:
Por definición de flux total (difusivo + convectivo):
N w   Dwm
dCw
dC
 vCw ... N a   Dwa a  vCa
dz
dz
como: Cw  Cxw ... Ca  Cxa
dxw
dxa
 N w   DwmC
 vCxw ... N a   DwaC
 vCxa
dz
dz
 N w  N a   DwmC
dxw
dx
 vCxw  DwaC a  vCxa
dz
dz
Como: N w  N a   DwmC
dxw
dx
 vCxw  DwaC a  vCxa
dz
dz
dxw
dxa
 N w  N a   DwmC
 DwaC
 vC  xw  xa 
dz
dz
como: N w  N a  vC
y
xw  xa  1
dxw
dx
 Dwa C a
dz
dz
Este resultado indica que el flux difusivo de b da lugar a un flux difusivo de a, pero
tienen sentido contrario; por lo tanto, para que se cumpla que el flux total de a sea
cero se requiere que haya un flux convectivo de a en dirección contraria al flux
difusivo de a, como fue establecido anteriormente:
  DwmC
dCa
N a  0  Dwa
 vCa
dz
Como quedaría el modelo si se hiciera uso de las otras suposiciones:
1) Solución diluida: (Nw+Na) xw=0
2) Contradifusión equimolar : Nw= Na
3) Transporte de w en un medio estático: Na =0 ;
4) El flux neto de a es cero: Na=0
5) Otras Nw=f (Na) atendiendo a la estequiometría, electroneutralidad…
como: N w   Dwa C
dxw
  N w  N a  xw
dz
Y cual sería la interpretación de los resultados.
No.
CARR
CUENTA
ALUMNO
1
21
308034598 ALVAREZ TALAVERA IRAN ALEXA
2
21
307185745 CEDILLO RODRIGUEZ CESAR
3
21
306075797 CERECEDO MARTINEZ EDGAR
4
21
408068048 CHAVEZ DIAZ OSCAR IVAN
5
21
307112190 CHAVEZ PEREZ ERVAR FRANCISCO
6
21
410088762 CHAVEZ TOVAR JOHAN MICHEL
7
21
307179915 GARCIA DAMIAN LAURA ISELA
8
21
307568023 GONZALEZ LOYOLA JORGE ALEJANDRO
9
21
410002838 GONZALEZ SUAREZ LUIS MARIO
10
21
307058537 GUADARRAMA ZEMPOALTECA YESICA
11
21
307105301 GUTIERREZ MEJIA ARACELI
12
21
306270765 JOAQUIN GUERRERO JOSE ANTONIO
13
21
307220691 OLVERA CARREON DAVID
14
21
409065648 SALAZAR CARCAÑO JESUS MANUEL
15
21
307257754 SERRALDE RAMIREZ KARLA CRISTINA
16
21
308129171 SERRATO LUGO ALMA YESENIA
17
21
307683265 SILVA BENGOCHEA SANDRA MAREVA
18
21
411018142 TORRES ANGELES HECTOR IGNACIO
19
21
306036273 VERGARA BALMORI GERARDO
EQUIPO
1