Revista INTEGRACIÓN Universidad IndU8trial de Santander Escuela de MatemáticasVol. 13, No 2, p. 67-70, julio-diciembre de 1995 Acerca de la construcción de ideales· DIANA·· JARAMILLot YANETH ORELLANAt Resumen El prop6sito del presente artículo es el de exponer una forma de construir ideales de un anillo, utilizando el anulador de uno o más elementos del mismo. Los ideales conforman la espina dorsal de la teoría de anillos. En ellos se basa la construcción de radicales de anillos, de extensiones de anillos, de anillos cocientes y de suma directa de anillos, entre otros. Por esta razón es útil tener a la mano un método que permita construir ideales de forma segura, sin que se haga necesaria la verificación del criterio para ideales. Con base en algunos problemas planteados en [1], y en comentarios realizados en [2]y [3], describimos a continuación un método que satisface esta condición. Definición 1 (Anulador derecho). Sea R un anillo y S cualquier subconjunto no vacío de R; entonces el conjunto Definición 2 (Anulador izquierdo). Sea R un anillo y S cualquier subconjunto no vacío de R; entonces el conjunto • A la memoria del Profesor Carlos LEZAMA. tEstudiante de la Maestría. en Enseñanza de la Matemática, Escuela. de Matemáticas de la Universidad Industrial de Santander, A.A.678, Bucaramanga, COLOMBIA. Observación 1. Cuando R es un anillo conmutativo solamente decimos anu- lador de S (annS). (i) CVMI.dS(anniS) es un ideal derecho (izquierdo) de R. (ii) Si S es un ideal derecho (izt¡tJ.ierdo) de R, entonces anndS un ideal de R. . (anniS) es Demostración. ideales. Veamos: (i) a) anndS =1= 0, puesto que O E anndS, b) Si rI, r2 E anndS, entonces ar¡ = O = ar2, para todo a E S. Así, a(r¡ -r2) = Opara todo a E S, lo cual implica que rI -r2 E anndS, c) Sean x E R Y r E anndS. Entonces ar = O, para todo a E S, luego arx = O para todo a E S, es decir a(rx) = O, para todo a E S; por tanto, rx E annd de S. . De a), b) y c) tenemos que el anndS es un ideal derecho de R. El lector puede demostrar, análogamente, el resultado para anniS, (ii) Del resultado anterior se tiene que anndS es un ideal derecho de R; solo falta ver que también es un ideal izquierdo de R. Sea x E R Y r E anndS; entonces ar = Opara todo a E S, en particular para ax, luego a(xr) = O. Es decir, xr E anndS, Así, anndS es ideal izquierdo de R. El lector puede demostrar, análogamente, el resultado para anniS, • Vemos de la parte (i) del teorema que, hallando el anuladoI\ derecho (izquierdo) de un elemento cualquiera del anillo, automáticamente se obtiene un ideal derecho (izquierdo) del anillo. Calculando el anulador derecho (izquierdo) de este último ideal derecho (izquierdo) encontramos, por (ii), un ideal del anillo. Ilustraremos lo anteriormente Ejemplo 1. Sea R = tanto, (12) es Z24 y un ideal de expuesto con algunos ejemplos: S = {2}. Entonces annS = (12), Y por 10 Z24. Nota 1. El lector puede verificar fácilmente que (12) es un ideal de Z24, recordando que los ideales de Zn son de la forma (d), donde d es divisor de n. Ejemplo 2. Sea R :;:. M2 (Z2). Si estamos interesados Eln hallar un ideal, digamos un ideal izquierdo de R, basta tomar cualquier elemento del anillo y calcular su aDulador izquierdo. Veamos: sea [~ ~ J E M2 (~); ann, {[ ~ ~ J} se tiene que = {[ ~ : J ' [~ ~ J ' [~ ~ J ' [~ ~ j} ~A es un ideal izquierdo de M2 (Z2) .. Si quisiéramos encontrar un ideal del anillo M2 (Z2), bastaría con calcular el anulador izquierdo de A. El lector puede realizar este sencillo cálculo y verificar que el ideal buscado es { [~ ~ J }. Tomemos ahora otro elemento, digamos [~ ann¡ {[ ~ ~ J} = { [~ J; se tiene que ~ ~ J } = B. En forma similar al C8.''10 anterior, podemos encontrar un ideal del anillo calculando el anulador izquierdo de B, el cual resulta ser M2 (Z2). Observación 2. Los dos ideales obtenidos eran de esperarse, pues todo ideal de M2(R) es de la forma M2(I). donde 1 es un ideal de R, y en nuestro caso R = Z2. el cual es un anillo simple. Ejemplo 3. Sean R anndS = M2(Z4) = { [~ ~ y S = {[ ~ ~ 1,[~ ~ J ' [~ J ' [~ ~ J}; se tiene que ~ J ' [~ ~ J} = e, Para construir COn él un ideal de R, basta encontrar respectivos cálculos encontramos que: anndC = {[ ~ :] I w,x,y,z E el anndC; haciendo los {O,2}}, el cual es un ideal1 para M 2 (Z4). Nota 2. Se deja al lector la tarea de realizar los cálculos respectivos2 para encontrar los anuladores de los correspondientes ejemplos, así como la de construir otros ideales. [1] D. M. BURTON,A First Course in Rings and 1deals, Addison- Wesley Publishing Company, Philippines, 1970. [2] J. B. FRALEIGH, Álgebr'a Abstracta, Addison- Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1987. [3] N. JACOBSON, Basic AIgebra 1, Il, W.H. Freeman and Company, San Francisco, 1980. lRecordemos que {O,2} es un ideal de Z4. 2Puede hacerlos manualmente, o si prefiere, y más rápidamente, con ayuda del programa Matlab, el cual nos permitió encontrar este curioso dato: en M2(Z4) existen 2464 multiplicaciones entre los elementos, por parejas, cuyo producto es la matriz nula.