ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 Obtener la solución general de las edos: (1) xy 0 = p x2 − y 2 + y (2) (x2 + xy + 3y 2 ) dx − (x2 + 2xy) dy = 0 (3) 3x − 4y + (2x − y)y 0 = 0 (4) 2 y + x cos dy = dx x y x ; y(1) = π 4 (5) y dx + x(ln x − ln y − 1) dy = 0; y(1) = e canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003. 1 2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 Respuestas (1) Obtener la solución general de las edo: p xy 0 = x2 − y 2 + y Dividiendo entre x p x2 − y 2 y dy = + = dx r x x 2 2 y x −y = + 2 x r x 2 2 x y y − 2+ = 2 r x x x y y dy = 1− + dx x x (A) Se efectua un cambio de variable Si y = w ⇒ y = xw x De donde dy dw =x +w dx dx Sustituyendo en (A) x √ dw + w = 1 − w2 + w dx dw √ x = 1 − w2 dx Separando variables √ dw dx = 2 x 1−w Integrando Z Z dw dx √ = 2 x 1−w arcsen w = ln x + c1 = ln x + ln c arcsen w = ln(cx) ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 De donde w = sen(ln cx) Pero w = y , entonces x y = sen(ln cx) x Por lo que y = x sen(ln cx) (2) Obtener la solución general de las edo: (x2 + xy + 3y 2 ) dx − (x2 + 2xy) dy = 0 (x2 + 2xy) dy = (x2 + xy + 3y 2 ) dx dy x2 + xy + 3y 2 = dx x2 + 2xy y2 y 2 x 1+ +3 2 x x = y x2 1 + 2 x y 2 y 1+ +3 dy x x = y dx 1+2 x (B) si y dy dw = w ⇒ y = xw ⇒ =x +w x dx dx Sustituyendo en (B) se obtiene x 1 + w + 3w2 dw +w = dx 1 + 2w 1 + w + 3w2 1 + w + 3w2 − w − 2w2 dw = −w = x dx 1 + 2w 1 + 2w 2 dw w +1 x = dx 2w + 1 Separando variables 2w + 1 dx dw = 2 w +1 x 3 4 ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 Integrando Z Z Z 2w dw dx dw + = 2 2 w +1 w +1 x 2 ln(w + 1) + arctan w = ln x + c Pero w= y x Entonces y2 y ln + 1 + arctan = ln x + c 2 x x 2 2 y +x y ln − ln x + arctan = c 2 x x y ln(y 2 + x2 ) − ln x2 − ln x + arctan = c x y 2 2 ln(x + y ) − 3 ln x + arctan = c x y 2 2 3 ln(x + y ) − ln x + arctan = c x 2 x + y2 y ln + arctan = c x3 x (3) Obtener la solución general de las edo: 3x − 4y + (2x − y)y 0 = 0 (2x − y) (C) dy = 4y − 3x dx dy 4y − 3x = = dx 2x − y y x 4 −3 = x y x 2− y x −3 4 dy x = y dx 2− x Si y dy du = u ⇒ y = xu ⇒ =x +u x dx dx ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 Sustituyendo en (C) se tiene que x du 4u − 3 +u= dx 2−u De donde du 4u − 3 4u − 3 − 2u + u2 = −u= dx 2−u 2−u u2 + 2u − 3 du = x dx 2−u x Separando variables u2 dx 2−u du = + 2u − 3 x Integrando (mediante fracciones parciales el primer miembro) Z Z −u + 2 dx du = (u + 3)(u − 1) x 1 5 − ln(u + 3) + (u − 1) = ln x + c1 4 4 Multiplicando por 4 −5 ln(u + 3) + ln(u − 1) = 4 ln x + c2 ln(u − 1) − ln(u + 3)5 = ln x4 + ln c u−1 u−1 4 ln ) ⇒ = cx4 = ln(cx (u + 3)5 (u + 3)5 y ⇒ u − 1 = cx4 (u + 3)5 ; pero u = x Entonces 5 5 y + 3x y y−x 4 y − 1 = cx +3 ⇒ = x x x x 5 (y + 3x) ⇒ y − x = cx5 ⇒ y − x = c(y + 3x)5 5 x (4) Obtener la solución general de las edo: dy = dx y + x cos2 x y x ; y(1) = π 4 5 6 ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 (D) dy y 2 y = + cos dx x x Si y dy dw = w ⇒ y = wx ⇒ =x +w x dx dx Sustituyendo en (D) se obtiene x dw + w = w + cos2 w dx dw x = cos2 w dx Separando variables dw dx = cos2 w x Integrando Z Pero w = 2 sec w dw = Z dx ⇒ tan w = ln x + c x y , entonces x tan y x = ln x + c π se tiene que 4 π = ln 1 + c tan 4 Considerando que y(1) = de donde c = 1, por lo tanto y tan = ln x + 1 = ln x + ln e = ln(ex) x y ⇒ = arctan(ln ex) ⇒ y = x arctan(ln ex) x ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 (5) Obtener la solución general de las edo: y dx + x(ln x − ln y − 1) dy = 0; y(1) = e x(ln x − ln y − 1)dy = −y dx dy y = dx x(ln x − ln y − 1) y x = ln y + 1 − ln x y x = ln y + ln e − ln x y dy = xye dx ln x y dy x = y dx ln e x (E) Si dy du y = u ⇒ y = xu ⇒ =x +u x dx dx Sustituyendo en (E) se obtiene x du u u +u= = dx ln eu 1 + ln u du u u − u − u ln u x = −u= dx 1 + ln u 1 + ln u du u ln u x =− dx 1 + ln u Separando variables dx 1 + ln u du = − u ln u x 7 8 ECUACIONES HOMOGÉNEAS E100 Integrando Z Z Z du du dx + =− u ln u u x ln(ln u) + ln u = − ln x + c ln(ln u) + ln u + ln x = c ln(xu ln u) = c y , entonces h hx y y i yi = c ⇒ ln y ln =c ln x ln x x x Considerando que y(1) = e, se tiene que h ei ln e ln =c⇒c=1 1 Por lo que Pero u = h yi =1 ln y ln x De donde y ln y =e x