Solucions a “Ejercicis i problemes”

9
Solucions a “Ejercicis i problemes”
PÀGINA 203
Pàg. 1
■Resol problemes
38
Completa la taula d’a-questa distribució en què sabem que
la mitjana és 2,7.
Llamamos z a la frecuencia absoluta del dato xi = 2.
Aplicamos la definición de la media:
Sf x
x– = i i 8 2,7 = 3 + 2z + 21 + 20 15 + z
Sfi
xi
fi
1
2
3
4
3
…
7
5
2,7 · (15 + z) = 44 + 2z
40,5 + 2,7z = 44 + 2z 8 0,7z = 3,5 8 z = 5
39
Si a totes les dades d’una distribució sumem un mateix nombre, què li ocorre a
la mitjana? I a la desviació típica? I si multipliquem totes les dades per un mateix
nombre?
Llamamos a al valor sumado a cada dato de la distribución:
•media
(x + a)f1 + (x2 + a)f2 + … + (xn + a)fn
=
1
n
x f + x f + … + xn fn + a(f1 + f2 + … + fn)
=
= 1 1 2 2
n
Sf x
Sf
Sfi n
= i i + a i = x– + a, puesto que
= = 1
n
n
n
n
La nueva media es el valor de la media original más el valor que hemos sumado a cada
dato.
•desviación típica:
Sfi (xi + a)2
Sf x 2 + Sfi a2 + Sfi 2xi a – 2 2
– (x– + a) 2 = i i
– x – a – 2x–a =
Sfi
Sfi
2
Sf x
Sf x 2
= i i + a 2 + 2ax– – x– 2 – a 2 – 2x– a = i i – x– 2
Sfi
Sfi
La desviación típica no se ve alterada al sumar a todos los datos de la distribución un
mismo número.
Supongamos ahora que todos los datos se multiplican por un mismo valor a:
ax f + ax2 f2 + … + axn fn
= ax– 8 la media queda multiplicada por
•media = 1 1
n
dicho valor.
•desviación típica:
Sfi (xi a)2
a2 Sfi xi2
Sfi xi2 – 2
– (x–a) 2 =
– a 2 x– 2 = a 2
–x
Sfi
Sfi
Sfi
(
)
La varianza quedaría multiplicada por a 2, luego la desviación típica queda multiplicada por a.
Unitat 9. Estadística
9
Solucions a “Ejercicis i problemes”
40
En un grup d’alumnes, cada un compta el nombre de persones i el nombre de gossos
que viuen en el seu portal. Ajunten els resultats i n’obtenen una mostra amb la qual es pot
estimar el nombre de gossos que hi ha a la ciutat.
Per exemple, suposem que en la seua observació obtenen un total de 747 persones i
93 gossos. I saben que a la seua ciutat viuen 75 000 persones.
a)Quants gossos estimen que hi ha a la ciutat?
b)Com és de fiable aquesta estimació?
c)És aleatòria la mostra que han utilitzat?
x
8 x = 93 · 75 000 = 9337,3
a) 93 =
747 75 000
747
Estiman que habrá unos 9 337 perros, aproximadamente.
b)No es fiable. La muestra estudiada no es representativa de la ciudad.
c)No es aleatoria.
41
Per a fer un estudi sobre els hàbits ecològics de les famílies d’una ciutat, s’han
seleccionat per sorteig les adreces, carrer i número, que es visitaran.
Si en un portal viu més d’una família, se sortejarà entre elles la que serà seleccionada.
N'obtindrem amb aquest procediment una mostra aleatòria?
☞ Pensa si té la mateixa probabilitat de ser inclosa en la mostra una família que viu
en una vivenda unifamiliar que una altra que viu, per exemple, en un bloc de 32
vivendes.
No se obtiene una muestra aleatoria, porque una familia que vive en una vivienda unifamiliar tiene más probabilidades de ser elegida que una familia que vive en un bloque
de viviendas.
■Problemes “+”
42
En una fàbrica s’ha mesurat la longitud de 1 000 peces de les mateixes característiques i se n’han obtingut les dades que pots veure en aquesta taula.
(en mm)
67,5-72,5
72,5-77,5
77,5-82,5
82,5-87,5
87,5-92,5
longitud
nre. de peces
   5
  95
790
100
  10
a)Representa’n l’histograma corresponent.
b)Es consideren acceptables les peces la longitud de les quals està en l’interval [75,
86]. Quin és el percentatge de peces defectuoses?
☞ Del 2n interval caldrà rebutjar les que mesuren entre 72,5 i 75. Calcula quin tant per cent
de l’amplitud representa la diferència 75 – 72,5 i troba el percentatge de la freqüència corresponent. Procedix anàlogament en el 4t interval.
a)Por tener todos los intervalos la misma longitud, la altura de cada una de las barras
coincidirá con la frecuencia de cada intervalo.
Unitat 9. Estadística
Pàg. 2
9
Solucions a “Ejercicis i problemes”
Pàg. 3
fi
800
700
600
500
400
300
200
100
67,5 72,5 77,5 82,5 87,5 92,5
LONGITUD
(mm)
b)Construimos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas:
fi
interval
5
67,5 - 72,5
95
72,5 - 77,5
77,5 - 82,5 790
82,5 - 87,5 100
87,5 - 92,5 10
Fi
en
5
100
890
990
1 000
%
0,5
10
89
99
100
•Calculamos el porcentaje de piezas que hay por debajo de 75 mm:
9,5 = x 8 x = 4,75
5
2,5
10 – 0,5 = 9,5%
x
Por
0,5%
debajo de 75 mm están el
4,75 + 0,5 = 5,25% de las piezas.
2,5
72,5
75
5
77,5
•Calculamos el porcentaje de piezas que están por debajo de 86 mm:
x
99 – 89 = 10%
3,5
10 = x 8 x = 7
5 3,5
Por debajo de 86 mm están el
89%
89 + 7 = 96% de las piezas.
82,5
86
87,5
5
El porcentaje de piezas que hay en el intervalo [75, 86] es:
96 – 5,25 = 90,75%
Por tanto, el 100 – 90,75 = 9,25% de las piezas serán defectuosas.
Unitat 9. Estadística
9
Solucions a “Ejercicis i problemes”
43
S’ha passat un test de 80 preguntes a 600 persones. Aquest és el nombre de
respostes correctes:
respostes
correctes
[0-10) [10-20) [20-30) [30-40) [40-50) [50-60) [60-70) [70-80]
nre. de
persones
40
60
75
90
105
85
80
65
a)Comprova que la mediana està en l’interval [40-50). Assigna-li un valor repartint
homogèniament els 105 individus que hi ha en l’interval.
b)Fes el mateix per als quartils.
a)mediana 8 El 50% se alcanza en el intervalo 40 - 50.
interval
50 – 44,17 = 5,83
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
61,67 – 44,17 = 17,5%
x
44,17%
40
Me
50
10
fi
40
60
75
90
105
85
80
65
Fi
en
%
40
100
175
265
370
455
535
600
6,67
16,67
29,17
44,17
61,67
75,83
89,17
100
10 = x
8 x = 3,33 8 Luego Me = 40 + 3,33 = 43,33
17,5 5,83
b)cuartiles
Q1 8 El 25% se alcanza en el intervalo 20 - 30.
25 – 16,67 = 8,33
29,17 – 16,67 = 12,5%
x
16,67%
20
10
Q1
10 = x 8 x = 6,66
12,5 8,33
Q1 = 20 + 6,66 = 26,66
30
Q3 8 El 75% se alcanza en el intervalo 50 - 60.
75 – 61,67 = 13,33%
75,83 – 61,67 = 14,16
x
61,67%
10 = 10 8 x = 9,41
14,16 13,33
Q3 = 50 + 9,41 = 59,41
50
10
Unitat 9. Estadística
Q3 60
Pàg. 4
9
Solucions a “Ejercicis i problemes”
44
a) Per a estimar l’estatura mitjana dels 934 soldats d’un regiment, n’extraiem
una mostra de 53. La mitjana de la mostra és 172,6 cm. Expressa aquest resultat
sabent que en la fitxa tècnica es diu que l’error màxim és de ±1,8 cm, amb una probabilitat de 0,90.
b)Si amb el mateix estudi anterior admetem que es cometa un error de ±2,6 cm, el
nivell de confiança serà superior o inferior al 90%?
c)Com podríem augmentar el nivell de confiança mantenint la fita d’error en
±1,8 cm?
a)La altura media de los soldados está en el intervalo (170,8; 174,4) con un nivel de
confianza del 90%.
b)El nivel de confianza, al aumentar la longitud del intervalo, también aumenta. Por
tanto, será superior al 90%.
c)Tendríamos que aumentar el tamaño de la muestra. Es decir, habría que estudiar a más
de 53 soldados.
Unitat 9. Estadística
Pàg. 5