MICROTONALISMO Y AFINACIONES ALTERNATIVAS: La música contemporánea actual tiene una gran riqueza. Existe un sinnúmero de estilos y corrientes: Pop, New Age, Trip-hop, Electrónica, Jazz, etc. Y con el tiempo cada uno de ellos se van ramificando vetas artísticas por explotar. Esto está muy bien, pero sin embargo, se han olvidado, o bien se omiten por comodidad, ciertos tipos de estructuras que son igualmente válidas y que están desperdiciándose. Si bien es cierto, corrientes clásicas como el dodecafonismo, la música estocástica de Iannis Xenakis, la música aleatoria de John Cage, el minimalismo de Philip Glass, se han mantenido en un ámbito más bien restringido, de academia o bien se han contemplado como curiosidad. Sin embargo, uno de los elementos fundamentales de la música, lo que parece establecido e inamovible, se han dejado muertas. Nos referimos a las notas musicales. Se llegó a la convención de que existen doce semitonos en una octava y se acabó. Es decir, do, do#("# " significa sostenido), re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, y si. Atrás quedó Alois Hába, con su sistema de cuartos de tono, quien hizo algunas obras que eran más manifiestos de su pensamiento, que música propiamente como tal. LA PRISIÓN DE LOS SEMITONOS Examine un teclado de piano. Entre la primera nota y la última hay una octava, de Do a Do. Examine ahora este teclado. Escuche esto: entre la primera nota y la última nota de este extraño teclado también hay una octava, de Do a Do. Este teclado no está incorrecto. Es una representación gráfica de un teclado microtonal, con el que, en lugar de sólo 12 semitonos -es decir, olvidándonos de las bemoles, para no enredarnos, sería: do, do#(do sostenido), re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, y sicontamos con muchos microtonos, lo que nos permite alcanzar nuevas y fascinantes armonías. T e c l a d o M i c r o t o n a l Un microtono, como ya lo habrá adivinado, significa cualquier fracción de tono que existe entre, por ejemplo, do y do#. En otras palabras, cualquier nota que se encuentre entre las dos teclas "juntas", en un piano, por ejemplo. Aunque no se vean o parezca una tontería. Hace ya muchos años, un teórico musical llamado Alexander J. Ellis se percató de esto y determinó una nueva unidad de medida para intervalos o notas: el cent. Un cent no es otra cosa que la centésima parte entre un tono y un semitono. Es decir, entre do y do# tenemos 100 cents. Entonces, en una octava de 12 semitonos tendremos 1200 cents He aquí una tabla de ejemplo para que se entienda de lo que hablamos: Escala Tradicional de 12 tonos (12 Tone Equal-Temperament) Grado de tono Valor en Cents Nombre del Intervalo Den. 1 0 unísono - 2 100.000 semitono diatónico menor men2 3 200.000 tono mayor íntegro may2 4 300.000 tercia menor men3 5 400.000 tercia mayor may3 6 500.000 cuarta perfecta 4ta 7 600.000 tritono tritono 8 700.000 quinta perfecta 5ta 9 800.000 sexta menor men6 10 900.000 sexta mayor may6 11 1000.000 séptima menor pitagórica dom7 12 1100.000 séptima clásica mayor may7 Excelente. Tenemos 1200 "teclas" para fabricar acordes y escalas. El grado de nota 13 corresponde a una "octava". Observe que se hablamos de "grado de nota" en lugar de DO, RE, etc. Porque en microtonalismo, las notas do, re y siguientes no existen, solo existen intervalos. Y tenemos también la distancia en cents entre los grados, de 100 en 100 con respecto al grado 1, como hablamos al principio. Cada intervalo tiene un nombre. El intervalo es la diferencia de tono entre dos notas. ¿Significa entonces que el teclado que tocamos todos los días tiene una distancia, entre cada semitono, de 100 cents equidistantes? Sí. Y no hay posibilidad de variarlo, a menos que posea un sintetizador afinable, como el Kurzweil 1000, el Kurzweil 150FS u otros semejantes o bien mediante algún demo o software de internet, herramientas con las que además puede construir sus propias escalas y afinaciones, además, algunos tienen preseteadas varias afinaciones de las que hablaré luego. Ahora bien, ¿Cómo se ha llegado a la escala de doce tonos equitativos por octava? Por un principio matemático investigado por el físico Hermann von Helmoltz. Es calculada tomando la duodécima raíz de cada potencia sucesiva de 2, de 0 a 11, con las "octavas" más graves o agudas de esas doce notas asumidas como equivalentes. La duodécima raíz de 2 puede ser escrita como 2 (1/12), el siguiente grado, la duodécima raíz de 22, como 2 (2/12). Como cualquier número elevado a la potencia cero es uno, la nota principal de la escala, 2(0/12) tiene el radio o intervalo(distancia entre nota y nota) de 1:1. Con excepción de esta nota, todas las demás resultan en números irracionales. Esta escala nunca fue afinada con precisión absoluta - con excepción de las "octavas de las notas principales"- sino hasta la aparición de instrumentos electrónicos1.Como el sintetizador, cuya tecnología actual permite "deslizarse" prácticamente por cualquier tono de la frecuencia auditiva. En este caso, ya estamos hablando decents "con decimales". Entonces, la escala de la que hablamos es una escala cuyos "pasos" o "notas", logarítmicamente tienen intervalos iguales entre ellos. Veamos ahora una escala "típica" de 31 tonos por octava, con igual distancia entre cada intervalo. Pero en lugar de 100 cents, aquí hay intervalos de 38.70098 cents aproximadamente. Verá nuevos y extraños nombres (quizá más extraños que los anteriores), pero no se enrede, es sólo una manera de ponerle un nombre a esos tonos tan nuevos, raros, que se esconden entre las teclas del piano o en cualquier instrumento afinable. Escala Temperada de 31 tonos (31 Tone Equal Temperament) Grado de Nota Valor en cents Nombre del Intervalo 1 0 unísono 2 38.710 1/5-tono 3 77.419 semitono clásico cromático 4 116.129 semitono menor diatónico 5 154.839 segunda septimal neutral 6 193.548 tono mayor completo 7 232.258 tono septimal íntegro 8 270.968 tercio septimal menor 9 309.677 tercia menor 10 348.387 tercio neutral undecimal 11 387.097 tercia mayor 12 425.806 cuarta clásica disminuida 13 464.516 cuarta estrecha 14 503.226 cuarta perfecta 15 541.935 cuarta aumentada septimal 16 580.645 tritono septimal 17 619.355 tritono de Euler 18 658.065 quinta septimal disminuida 19 696.774 quinta perfecta 20 735.484 quinta ancha 21 774.194 quinta clásica aumentada 22 812.903 sexta menor 23 851.613 sexta undecimal neutral 24 890.323 sexta mayor 25 929.032 sexta séptima mayor 26 967.742 séptima armónica 27 1006.452 séptima menor pitagórica 28 1045.161 21/4-tono, séptima undecimal neutral 29 1083.871 séptima clásica mayor 30 1122.581 octava clásica disminuida 31 1161.290 octava -comma septimal Podemos ver entonces, que para algo sirven los cents, después de todo. Tenemos una escala basada en una afinación alternativa, que tiene armonías no escuchadas antes y a la que se le puede sacar mucho partido, si uno se lo propone. ¿Y si le dijera que existen muchas afinaciones? ¿Y muchas escalas?. Imagino que si es músico se le "harán agua los oídos". AFINACIONES DESCONOCIDAS Hasta aquí vamos bien. Doce tonos, 100 cents entre cada uno, 1200 cents. Sólo tuvimos que variar el intervalo a 38.70098 cents y tenemos una escala de 31 tonos. Fácil ¿no? No lo es. Parece sencillo construir escalas con tantas "notas" pero existen reglas, tradiciones y/o compromisos auditivos y matemáticos que nos impiden hacer lo que queramos. Hay que preguntarse ¿Cómo ejecutar determinado acorde en una escala de, por ejemplo, "re -53 cents mayor", en que se omiten algunas notas? ¿Cuáles de estas 1200 teclas (¡sin contar los decimales!) nos sirven para construir una escala? ¿Cómo saber la distancia en cents entre intervalos para que exista una armonía--o desarmonía?. Afortunadamente, durante años muchos, teóricos del microtonalismo y de las afinaciones (tunings) han trabajado y expuesto sus investigaciones. Muchos de ellos se basan, como dije antes, generalmente en las matemáticas, con complejísimos enrejados(lattices), que parecen verdaderos mandalas chinos, otros recurren a los números primos, a la serie Fibonacci, ecuaciones, matrices, etc. Lo que nos permite contar con un gran número de escalas o afinaciones alternativas,( ya sea con más de 12 o menos de 12 notas, porque lo que importa no es la cantidad de notas, sino cómo elegirlas) como por ejemplo, éstas son algunas escalas descubiertas o investigadas por importantes teóricos y/o músicos: La escala de 19 tonos de Joseph Yasser La escala de Harry Partch de 43 tonos El sistema de estructuras musicales simétricamente armónicas llamada Combination Product Sets (CPS) inventada por Ervin M. Wilson a fines de los 60, basada en procedimientos matemáticos, con los que se creó las escalas Hexany, de 6 tonos, Eikosany, de 20 tonos, Dekatesserany de 14 tonos. Wilson también creo los Ciclos Diafónicos. El sistema Euler Genos o Euler-Fokker Genera, descubierto por Leonhard Euler, del que deriva la escala Octony, de ocho notas de intervalos simétricos. La Bohlen-Pierce de 13 tonos de intervalos simétricos. La escala Enharmonica Exacta de 25 tonos de Ben Johnston La escala de 24 tonos de Jon Catler La escala de 16 tonos de Lou Harrison. Alpha, de 19 notas; Beta,de 23 notas; Gamma, de 36 notas,Armónica, y SuperExacta descubiertas por Wendy Carlos. La escala de 53 tonos de Larry Hanson. Un número de 700 tonos encontrados en una octava por el músico Kyle Gann. Además, el microtonalismo ha fomentado el interés porlas escalas de otras culturas y etnias, las que tienen ideas distintas de lo que es "armonía" o "música",como por ejemplo: La escala javanesa Slendro tradicional, de 5 tonos. La escala siamesa tradicional de 7 tonos. Una escala del oeste de África, de 7 tonos. Raga Shruti, de 22 tonos, India. Tailandesa tradicional, de 8 tonos. Lu, de 12 notas, por Huai-nan-dsi, de la era Han, en China. Ceremonial, Tibetana. Arábiga tradicional. Pelog Armónica y Pelog Melódica de Bali. Antiguas escalas en desuso, también están a nuestra disposición gracias a la magia de los cents y la electrónica: Kimberger I, Kimberger II y Kimberger III, escalas inventadas por Johann Philipp Kirnberger (1721-1783).Músico del siglo 18. Escala temperada de Thomas Young. Escala Mayor de Ptolomeo. Temperadas Pitagóricas. 1/4 de comma. 1/5 de comma. Escala Vallotti & Young. Escala Temperada III (circa 1681)de Andreas Werkmeister. ALGUNOS EJEMPLOS En un excelente artículo que aparece en http://www.wendycarlos.com/ tenemos varias afinaciones y/o escalas: Cuadro de afinaciones Recuerde que la nota cero (original) es la nota "centrada", que puede ser un do, un fa#, cualquier nota, y a partir de esta nota se construirá la escala. La escala 12 ET (Equal-Temperament) es la común, en la que encontramos 100 cents entre dos semitonos, y cada nota tiene un valor cero de afinación centesimal. Las siguientes tienen el valor, positivo o negativo, en el que se debe variar el tono para la correspondiente escala. Ejemplo: En la afinación Clásica Exacta, al tono 1 (men2) debemos disminuirle 29 centésimas de tono, (-29); al tono 2 (may2), debemos aumentarle 4 centésimas, etc. Esta tabla puede ser útil si posee un sintetizador Kurzweil 1000 o 150FS. Si no, puede grabar cada nota de un teclado a su ordenador, de DO a SI, y editarla en algún software que permita afinar en centésimas de tono, como el Sound Forge. Luego probar algunos acordes, en MIDI o cualquier programa que sirva para mezclar los sonidos. Por cierto, estas afinaciones producen acordes que, respecto a los que estamos acostumbrados, se les pueden dar varios adjetivos: suaves, exóticos, raros, pero no por eso carentes de valor. Cada uno tiene sus ventajas y desventajas respecto a la pureza de ciertos tipo de acordes. La afinacion 1/4 Comma produce una escala que, si se toma como nota de referencia (origin) un DO, debe tocarse de este modo: DO - DO# -RE -MIb -MI - FA - FA# - SOL - LAb - LA - SIb - SI - DO Esta afinación produce bellos tritonos. Pero no debe tomarse C# como la raíz de Db mayor, o LAb como la tercia mayor de FA# mayor. Un acorde muy bello puede obtenerse con esta misma afinación, con la misma nota de referencia(DO), tocando el acorde LAb 7ma. Una de las más increíbles es la Afinación Circular Werkmeister. Las notas sostenidas son forzadas a mezclarse, como en un círculo, en las notas bemoles después de 12 notas. Como una serpiente mordiendo su cola. Es decir, cada nota tiene un sonido distinto, con su propio color. Las notas cercanas a la fundamental son muy suaves, a expensas de las lejanas. Compárese los sonidos con el teclado 12 ET(Equal Temperament) Tradicional. (ver ejemplo en: http://www.apocatastasis.com/microtonalismo-afinaciones-alternativas.php ) Otra escala interesante es la Armónica. Cuando la obtenga, pruebe lo siguiente: apriete (o monte) un puñado de teclas, con la mano, muchas teclas juntas. Si te das cuenta, no hay disonancias, todas las notas refuerzan la nota base. CONSEJOS PARA «MICROTONALEAR» Manejar sonidos que tengan las siguientes características (en teclado). Un sonido brillante y sólido. Sin efecto de coro (chorus) Sin vibrato Envolvente sostenida (no percusiva) Sin procesamiento externo o reverberación CONCLUSIONES La curiosidad -y acaso fascinación -de tanto número decimal y tonos con nombres extraños no debiera ser lo que el músico que ha tenido la paciencia de recorrer este artículo, saque en limpio. El microtonalismo y las afinaciones alternativas debieran ser un medio, no un fin. Todo arte tiene la simiente de la investigación y exploración de ideas y conceptos nuevos, pero estos elementos deben ser una herramienta que posibilite la ampliación de recursos disponibles para la creación. En otras palabras, es necesario aplicar estos conceptos, no quedarse en la mera teoría. Después de todo, ahora podemos elegir las notas con las que deseamos trabajar una composición. Y precisamente la razón de estas palabras ha sido fomentar el interés por estas armonías y acordes que he presentado -cuyo efecto al oído es decididamente inusual, pero agradable (como decía Claude Debussy "amo todo lo que satisfaga a mi oído"). Dichos tonos son tan fascinantes, tan alejados de nuestros actuales conceptos de armonía occidental de 12 tonos, que producen un placer estético sin precedentes. Obviamente, el microtonalismo no es la panacea, la piedra filosofal, ni el nuevo arte del milenio. Puede haber obras microtonalistas buenas y malas, mediocres y sublimes, por supuesto. Pero el músico que desee "ir un poco más allá", debiese detenerse un momento a considerar estos conceptos, enriqueciendo así, su quehacer creativo. APÉNDICE: Escalas y sus valores en cents ¿Por qué la escala Alpha que al principio se dice que tiene 19 notas, aparece en la tabla de afinaciones con solo 12? Porque esta tabla funciona sólo para teclados. Pero si desea saber, en distancias de 0 a +1200 cents, cuáles son los valores de Alpha y algunas otras escalas con todas sus "tonos irracionales", aquí van. A modo de despedida, y como una manera de tratar de despertar el interés por salir de los claustrofóbicos 12 tonos. No tengo nada contra los 12 ET, pero, si existen más herramientas ¿porqué no usarlas2? Ahí están, estas notas, escondidas, esperando que las usemos. Después de todo, ¿Quién sabe si algún día, cuando los músicos del mundo se decidan a entrar de lleno en el microtonalismo, se rebase el schisma, que es el concepto actual que indica el límite del oído humano para reconocer pequeñísimas diferencias de tono? Escala Alpha Carlos de 19 tonos por octava Escala Exacta Enarmónica de Ben Johnston de 25 tonos por octava Escala de Harry Partch de 22 tonos por octava Escala India Shruti de 22 tonos por octava Escala China Lu por Huai-nan-dsi, de la era Han, Kurt Reinhard: “Chinesische Musik” Nota: A diferencia del cuadro de afinaciones en donde los valores de cents se sumaban o restaban tomando como referencia los intervalos exactos de 100 cents, para los valores en cents de las siguientes tablas se toma como referencia el tono origin(unísono o cero). 1.Escala Alpha Carlos de 78 cents exactos Grado de Tono Valor en cents Nombre del Intervalo 1 0 unísono 2 78.000 semitono menor 3 156.000 segundo séptimal neutral 4 234.000 tono íntegro séptimal 5 312.000 tercia menor 6 390.000 tercia mayor 7 468.000 cuarta estrecha 8 546.000 cuarta septimal aumentada 9 624.000 tritono de Euler 10 702.000 quinta perfecta 11 780.000 sexta mayor 12 858.000 sexta septimal mayor 13 936.000 séptima menor exacta 14 1014.000 séptima mayor clásica 15 1092.000 octava - comma septimal 16 1170.000 1/4-tono, diesis septimal + 1 octava 17 1248.000 - 18 1326.000 semitono mayor diatónico + 1 octava 19 1404.000 novena mayor 2.Escala Exacta Enharmónica de Ben Johnston de 25 notas por octava Grado de Tono Valor en cents Nombre del Intervalo 1 0 unísono 2 70.67245 semitono clásico cromático 3 92.17876 limma mayor, chroma larga 4 111.7313 semitono menor diatónico 5 182.4038 tono íntegro menor 6 203.9100 tono íntegro mayor 7 274.5825 segunda clásica aumentada 8 315.6414 tercia menor 9 386.3139 tercia mayor 10 407.8201 tercia mayor pitagórica 11 427.3727 cuarta clásica disminuida 12 498.0452 cuarta perfecta 13 519.5515 cuarta aguda 14 590.2239 tritono 15 631.2828 quinta clásica disminuida 16 701.9553 quinta perfecta 17 772.6278 quinta clásica aumentada 18 813.6866 sexta menor 19 884.3591 sexta mayor 20 905.8654 sexta mayor pitagórica 21 976.5379 sexta aumentada 22 996.0905 séptima menor pitagórica 23 1017.596 séptima menor exacta 24 1088.269 séptima mayor clásica 25 1129.328 octava clásica disminuida 3.Escala de Harry Partch de 43 tonos por octava Grado de Tono Valor en cents Nombre del Intervalo 1 0 unísono 2 21.50629 comma sintónico 3 53.27296 comma undecimal 4 84.46723 semitono menor 5 111.7313 semitono menor diatónico 6 150.6371 3/4-tono, segunda undecimal neutral 7 165.0043 4/5-tono 8 182.4038 tono íntegro menor 9 203.9100 tono íntegro mayor 10 231.1741 tono íntegro septimal 11 266.8710 tercia septimal minor 12 294.1351 tercia menor pitagórica 13 315.6414 tercia menor 14 347.4080 tercia undecimal neutral 15 386.3139 tercia mayor 16 417.5081 - 17 435.0843 tercia septimal mayor 18 470.7811 cuarta estrecha 19 498.0452 cuarta perfecta 20 519.5515 cuarta aguda 21 551.3181 cuarta armónica aumentada 22 582.5125 tritono septimal 23 617.4880 tritono de Euler 24 648.6823 quinta armónica disminuida 25 680.4490 quinta estrecha 26 701.9553 quinta perfecta 27 729.2194 quinta ancha 28 764.9162 sexta septimal menor 29 782.4924 - 30 813.6866 sexta menor 31 852.5924 sexta undecimal neutral 32 884.3591 sexta mayor 33 905.8654 sexta mayor pitagórica 34 933.1295 sexta septimal mayor 35 968.8264 séptima armónica 36 996.0905 séptima menor pitagórica 37 1017.596 séptima menor exacta 38 1034.996 - 39 1049.363 21/4-tono, séptima undecimal neutral 40 1088.269 séptima clásica mayor 41 1115.533 - 42 1146.727 - 43 1178.494 octava - comma sintónico 4.Escala India Shruti de 22 notas por octava Grado de Tono Valor en cents Nombre del Intervalo 1 0 unísono 2 90.22504 limma pitagórica 3 111.7313 semitono menor diatónico 4 182.4038 tono íntegro menor 5 203.9100 tono íntegro mayor 6 294.1351 tercia menor pitagórica 7 315.6414 tercia menor 8 386.3139 tercia mayor 9 407.8201 tercia mayor pitagórica 10 498.0452 cuarta perfecta 11 519.5515 cuarta aguda 12 590.2239 tritono 13 611.7302 tritono pitagórico 14 701.9553 quinta perfecta 15 792.1803 sexta menor pitagórica 16 813.6866 sexta menor 17 884.3591 sexta mayor pitagórica 18 905.8654 sexta mayor 19 996.0905 séptima menor pitagórica 20 1017.596 séptima menor exacta 21 1088.269 séptima mayor clásica 22 1109.775 séptima mayor pitagórica 5.Escala China Lu por Huai-nan-dsi, de la era Han. Kurt Reinhard: "Chinesische Musik" Grado de Tono Valor en cents Nombre del Intervalo 1 0 unísono 2 98.955 dedo índice de Laúd Arábe 3 203.910 tono mayor íntegro 4 315.641 tercia menor 5 394.347 - 6 498.045 cuarta perfecta 7 608.352 - 8 701.955 quinta perfecta 9 800.910 - 10 905.865 sexta mayor pitagórica 11 1017.596 séptima menor exacta 12 1106.397 - Notas: * 1: (Sobre esto, un cent, poniéndonos más complicados, pero exactos, es también la 1200va raíz de 2, o 2 (1/1200), lo que da el intervalo infinitesimal de 1:1.0005777895.) *2 : Un bello ejemplo de utilización de escalas alternativas puede apreciarse en la obra Beauty in the Beast de la músico Wendy Carlos ( Sello ESD 81552, año 2000 ) . En ésta se utilizan exóticas escalas armónicas y subarmónicas, como Tibetana, Pelog, Slendro, Gamelan, Alpha, Beta, Harmonic, en donde logra extrañas y hermosas armonías teniendo nada menos que ¡144 notas por octava! En otra obra de esta excelente músico, podemos apreciar también la aplicación de escalas alternativas: Tales of Heaven & Hell Por otro lado, en su obra Switched-On Bach 2000 (CD-80323, Sello Telarc, año 1992) utiliza escalas afinadas en torno a la nota principal de cada tema(Meantone), además de usar una variación de la escala Circular Werkmeister que aparece en el Cuadro de afinaciones. Internet: Palabras clave- Keywords Tunings, Microtonal, Microtonalism, Microtono, Semitonos, cent, lattices, tunes, tunings, Alternative Tunings, triad,scales, afinación, escalas, música electrónica,harmonic scales, subharmonic scales, enharmonic scales, Iannis Xenakis, John Cage, alexander ellis, dodecafonism, Philip Glass, música aleatoria, aleatoric music, minimalism, Alois Haba, 12 tone equal-temperament, pythagorean tuning, Just Tuning, Purely Harmonic Partials, Asymmetric Divisions, tritono, intervalo, kurzweil 1000, Hermann Von Helmoltz, 31 tone equal temperament, Fibonacci, combination productsets, cps, ervin m. wilson, hexany, eikosany, dekatesserany, ciclos diafónicos, diaphonic cycles, euler genos, euler-fokker genera, Leonhard Euler, schisma, octony, Bohlen-Pierce, Ben Johnston, ragas, Jon Catler, Lou Harrison, Larry Hanson, Wendy Carlos, Alpha Carlos Scale, Beta Carlos Scale, gamma carlos scale, Switched-On Bach 2000, Beauty in the Beast, Kyle Gann, Slendro, Pelog, Johann Philipp Kirnberger, Vallotti & Young, Andreas Werkmeister, meantone, Robert Moran Referencias (en inglés) Alles, H. 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W., 1980, "rr Contribuciones de lectores 22-tone equal temperament (4-diciembre-2007) Scale archetypes: 0-218-436-655-709-927-1145-1200 0-218-327-655-764-982-1091-1200 0-55-109-436-491-818-873-1200 0-218-436-545-764-873-1091-1200 0-109-382-655-764-927-1036-1200 0-109-327-545-764-982-1091-1200 0-109-218-327-655-764-873-1200 Keyboard design: The diatonic notes are: 0-218-436-655-709-927-1145-1200 Or else, the WHITE notes are 0-218-436-655-709-927-1145-1200 Just fill in the other notes on top of the diatonic (white) notes and you have the most efficient keyboard design for 22-tone equal temperament." Thanks, Robert Thomas Martin! (Australia)