GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO PROBABILIDAD UNIDAD UNO

GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN
PROBABILIDAD
UNIDAD UNO
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
ELABORADO POR: ALDO ZIRAHUEN CERDA GARCIA
INGENIERIA INDUSTRIAL
2° SEMESTRE
2 de Febrero del 2007
UNIDAD 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
El estudiante obtendrá, analizara y representara gráficamente los resultados o soluciones obtenidas y
comprenderá las características de las medidas de dispersión y tendencia central y aplicara sus propiedades
para resolver problemas a partir de datos tomados de situaciones reales en el área de ingeniería en estudio
sintetizándolos mediante descripciones numéricas y representándolos de una forma ya sea mediante un
histograma, ojiva o polígono de frecuencia.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Se conoce como medidas de tendencia central a:
• La media aritmética: es la suma de los valores de cierto número de cantidades dividido entre su
número.
• Mediana: se define como el valor que divide a un conjunto de datos previamente ordenados de menor
a mayor, y es el punto intermedio entre todos ellos.
• Moda: es un conjunto de datos de una distribución de frecuencias, la moda es el valor que ocurre con
mayor frecuencia, por ejemplo en los valores: 1,2,5,5,6,6,6,6,7,8,9,9,9 la moda es el 6. La moda es el
valor más representativo o típico de una serie de valores en el sentido que ocurre con mayor
frecuencia.
• Rango medio: es el promedio aritmético de las medidas de mayor a menor.
EJEMPLOS:
1
Ejemplo 1: Los totales anuales en miles de millones de dólares para las exportaciones agrícolas de Estados
unidos de América de 1996 a 2006 son de 21.9, 21.9, 23.0, 23.6, 29.4, 34.7, 41.2, 43.3, 39.1, y 33.7,
Determinar la media, moda, mediana y rango medio.
RESULTADO:
Ejemplo 2:
Los datos siguientes son las docenas/mes de calcetines fabricados en Cannon, mills:
104,102,85,60,93,103,94,97,81,75,79,104,97,95,65,75,89,104,103,100,90,104,71,69,88.
−Encontrar las medidas de tendencia central.
RESULTADO:
MEDIA GEOMETRICA Y MEDIA ARMONICA:
La geométrica ayuda a conocer las tasas de crecimiento y la armónica es mas referida a los rendimientos ya
sea de una producción y ayuda a localizar también para el estudio de costos.
EJEMPLOS:
Ejemplo geométrico:
La población de un pueblo cercano a la ciudad de Uruapan en los últimos 6 años a sido de 3 200 000
habitantes a 3 570 000 habitantes.
Calcular la tasa de crecimiento total en los 6 años y el promedio anual.
RESULTADO:
Ejemplo armónica:
Se toman los datos de dos obreros donde se arma una pieza, el primero lo logra en tres días seguido del
segundo que logra el objetivo en cuatro días. Calcular el rendimiento de un trabajador representativo de los
rendimientos de los dos obreros.
Rendimiento representativo=
MEDIDAS DE DISPERSION:
2
Para emplear las medidas de dispersión se emplea el uso del rango, desviación cuartil, la desviación media, la
varianza y la desviación estándar.
−Rango= es la diferencia del numero menor y el numero mayor.
−Desviación cuartil: Hace referencia a los números de separación de los valores d x: el primer cuartil
corresponde al 25% (), el segundo representa al 50% representado con , y así sucesivamente siguiendo la
misma referencia para el cuartil tres. Nota si en lugar de dividir en cuatro partes iguales se hace en diez partes,
se tienen nueve puntos de división, correspondiendo a cada uno un decil: de donde el primer decil es el valor
por debajo del cual esta el diez por 10% de las observaciones, para el segundo decil el 20% y así
sucesivamente.
−Desviación media (DM): es una medida de dispersión muy objetiva, y cuanto mayor sea su valor mayor es la
dispersión de los datos.
−Varianza: sirve de base para calcular la desviación estándar o desviación típica.
−Desviación estándar o típica: es la raíz cuadrada de la varianza es la más importante de todas las medidas de
dispersión ya que incluye más o menos el 68% de los términos de una distribución normal.
EJEMPLOS:
Ejemplo 1:
En la tabla siguiente se representan las longitudes en centímetros de ochenta piezas de madera que fueron
seleccionadas en una bodega. Presentar datos en forma resumida y ordenada.
50.1 50.6 51.1 50.8 52.2 51.9 51.2 52
50.6 49.1 51.8 51 50.8 51.8 51.1 49.7
50.7 51.4 51.9 50.4 51.7 51 49.5 52
51.1 51.8 50.3 51.5 51.7 50.3 49.9 49.7
52 51.3 51.1 50.8 49.4 50.3 51.1 51.2
50.8 51.5 51.1 51.2 50.3 51.3 51.7 51.8
51.4 51 51.7 50.1 52.1 51 52.8 51.1
49.9 50.9 50.2 51.5 51 50.2 49.6 51.3
51.8 50.3 50.5 51.7 51.7 50.4 49.6 51.2
51.3 51.2 51.6 51.5 51.9 51.6 53.1 51.8
Clases limites de clase tr fr Cuenta
I 49−<50 49.5 9 IIII/ IIII
II 50−<51 50.5 20 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/
3
III 51−<52 51.5 44 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII
IV 52−<53 52.5 6 IIII/ I
V 53−<54 53.5 2 I
80
FREC. REL FREC. REL. ACUMULADA
Fr
0.112 0.112
0.25 0.362
0.055 0.912
0.075 0.987
0.0125 1
Ejemplo dos:
La tabla siguiente muestra los costos por litro de gasolina de alto octanaje en las ciudades del mundo.
CIUDADES COSTO X LITRO
Ámsterdam 57
Bruselas 53
Buenos aires 38
Hong kong 57
Johannesburgo 48
Londres 56
Madrid 59
Manila 46
México 25
Montereal 47
Nairobi 57
New Cork 40
4
Oslo 65
Paris 58
Rió de Janeiro 42
Roma 76
Singapur 59
Sydney 43
Tokio 79
Ejemplo tres:
Calcular el cuartil en el cuadro de frecuencias agrupadas, en donde se han registrado las alturas de un grupo de
alumnos.
Clases
121.5−126.5
126.5−131.5
131.5−136.5
136.5−141.5
141.5−146.5
146.5−151.5
151.5−156.5
156.5−161.5
161.5−166.5
total=
Frecuencias
2
3
8
23
27
20
16
3
2
N=104
EL PRIMER CUARTIL ESTA EN LA CLASE 136.5−141.5
SUMAMOS 2+3+5=13 Para calcular los trece alumnos que faltan y para realizar este cálculo hacemos:
13:5::1: x NOTA: el 5 se obtiene de 141.5−136.5=5
Despejamos x
13x=5
x=
Este valor lo multiplicamos por 13 que era el valor faltante de conocer y obtenemos:
Obteniendo el valor 5 más 13 obtenemos que el valor del cuartil es igual a 18.
Ejemplo cuatro:
5
Los datos acontinuacion hacen referencia al número de cigarros fumados durante un fin de semana por un
grupo de quince fumadores:
X
F
10
1
15
3
17
5
20
2
22
4
X f fx
10 1 10 100 100
15 3 45 225 675
17 5 85 289 1445
20 2 40 400 800
22 4 88 484 1936
HISTOGRAMA, POLIGONO DE FRECUENCIA Y OJIVA:
Histograma:
Para realizar el histograma utilizas para Y los valores de fr y para X los valores de tr.
Basándonos de los datos del ejemplo uno anteriormente realizado obtenemos una grafica de:
Fr
9
20
44
6
1
tr
49.5
50.5
51.5
52.5
53.5
Grafica Ojiva:
En la grafica ojiva empleas para x los valores de la frecuencia acumulada (Fr) que se obtiene este valor de ir
sumando la frecuencia relativa hasta llegar ala unidad y para Y son los valores del límite de clase.
Ejemplo: basándonos de los datos del ejercicio uno obtenemos la siguiente grafica:
Fr
49
50
51
52
53
54
Limite de clase
0
0.112
0.25
0.55
0.75
1
Polígono de frecuencia:
6
Para realizar estos datos se toma como X los valores de t0 (antes del valor de tr) y para los valores de Y se
toman los datos de frecuencia relativa y con los datos del ejemplo uno obtenemos la siguiente grafica:
tr0,tr6
48.5
49.5
50.5
51.5
52.5
53.5
54.5
fr´
0
0.112
0.25
0.55
0.075
0.0125
0
CONCLUSIÓN:
Este tipo de medidas con ciertas tendencias centrales o dispersas son muy importantes y tienen una gran
aplicación en la solución de problemas en el área de estudio apartir de datos agrupados o datos no agrupados
para poder entender mejor el comportamiento de algunas variables que para algunas empresas representa
tiempo, esfuerzo o costos y que se pueden optimizar mediante la aplicación de este tipo de cálculos
estadísticos y que se pueden representar de una manera fácil y entendible mediante de gráficos e histogramas
con la información necesaria para el interesado ayudándolo a un mejor entendimiento y comprensión del
problema en cuestión.
GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN
PROBABILIDAD
UNIDAD DOS
FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
ELABORADO POR: ALDO
INGENIERIA INDUSTRIAL
2° SEMESTRE
de Marzo del 2007
UNIDAD DOS: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
7
El estudiante obtendrá, analizara y representara los resultados o soluciones obtenidas y comprenderá las
características de un Teorema de Bayes así como el espacio muestral y eventos, combinaciones y
permutaciones, ayudando para entender mejor la Probabilidad condicional así como unos axiomas de
probabilidad y aplicara sus propiedades para resolver problemas a partir de datos tomados de situaciones
reales en el área de ingeniería en estudio sintetizándolos mediante descripciones numérica.
TEOREMA DE BAYES:
Formula de Bayes = también se le conoce como la probabilidad de las causas debido a que las son una
partición del espacio muestral S, uno y solo una de los sucesos ocurre es decir que uno de los sucesos debe
ocurrir y solamente uno. ( Es la causa donde B ya ocurrió).
Ejemplos:
Ejemplo uno:
En una empresa de circuitos para computadora se toman encuenta la producción de tres grupos de trabajadores
el primero A produce el 68% de la producción total de la maquiladora mientras que el grupo B produce el
32% del total. Obteniendo que el grupo A el 2% de su producción es defectuosa en tanto el del grupo B el 5%.
¿Calcular la probabilidad de que al revisar al azar un circuito sea defectuoso y la probabilidad de que al
revisar aleatoriamente un circuito defectuoso este provenga del grupo B?
RESPUESTA:
Para obtener la probabilidad de revisar a azar un circuito y sea defectuoso lo hacemos multiplicando el
porcentaje de producción defectuosa multiplicándolo por la producción que produce a esto sumándole el
porcentaje del grupo B que se multiplica por su producción. Como de la siguiente manera:
Obteniendo este valor es ya más fácil conocer la probabilidad del que el circuito defectuoso sea del B, esto se
obtiene con la ayuda del Teorema de Bayes de la siguiente manera:
Ejemplo dos:
Una fábrica con tres sucursales produce 40,35 y 25 por ciento del total de la producción. Obteniendo como
resultado de artículos defectuosos un porcentaje del 4%, 6% y 8%. Si se elige aleatoriamente un artículo
calcular la probabilidad de: a) de que no sea defectuoso, b) si resulto defectuoso cual es la probabilidad de que
proceda de la primera sucursal y c) si no resulto defectuoso cual es la probabilidad de que proceda de la
segunda sucursal.
RESPUESTA:
El producto es de la primera sucursal.
El producto es de la segunda sucursal.
El producto es de la tercera sucursal.
B: El producto es defectuoso.
a) Probabilidad de que no sea defectuoso.
8
b) Si salio defectuoso la probabilidad de que proceda de la primera sucursal?
c) Si no resulto defectuoso cual es la probabilidad de que proceda de la sucursal
Ejemplo tres:
En una escuela el 40% de los alumnos son de tercer grado, el 25% de cuarto año el 20% de quinto año y el
15% del sexto año. Todos los de tercer grado cursan ingles, el 40% de cuarto grado, 20% de quinto año y 10%
de sexto. ¿Si aleatoriamente escogemos a un alumno y este cursa ingles cual es la probabilidad de que sea de
cuarto grado?
RESPUESTA:
Cursa el tercer año
Cursa el cuarto año
Cursa el quinto año
Cursa el sexto año
B: Cursa ingles
Cursa tercer año y cursa Ingles
Cursa cuarto año y cursa Ingles
Cursa quinto año y cursa Ingles
Cursa sexto año y cursa Ingles
ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.
−Espacio muestral: Es la colección de todos los datos posibles de un experimento y se representa con la letra
S.
−Evento: Es cualquier subcoleccion o subconjunto de un espacio muestral S y se representa con diagrama de
Venn.
Ejemplos:
Ejemplo uno:
Suponga que un experimento consiste en examinar 3 fusibles, cada fusible puede ser defectuoso D o no
defectuoso N.
• Listar el espacio muestral para este experimento:
b) Anotar los datos que conforman a cada uno de los experimentos siguientes:
El primer fusible esta defectuoso.
9
El primer fusible y el último están defectuosos.
Todos los fusibles son buenos.
Al menos un fusible esta defectuoso
A lo mas un fusible esta defectuoso
RESPUESTAS:
a) S=(NNN,NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)
D=defectuoso
N=no defectuoso
b)(DND,DNN,DDN,DDD)
(DND,DDD)
(NNN)
(NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)
= (NDN,NND,DNN,NNN)
Ejemplo dos:
Considere el experimento de tirar un dado rojo y uno negro y observar como cae; Un espacio muestral de 36
resultados posibles es como sigue donde la primera entrada es el resultado del dado rojo y la segunda la del
dado negro.
S= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
a) De una descripción para los eventos siguientes:
El dado negro muestre 1= {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)}
Los dados coinciden, ambos muestren el mismo numero= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
La suma de los dados es siete = {(3,4), (4,3), (5,2), (2,5), (6,1), (1,6)}
10
La suma de los dados es once= {(5,6), (6,5)}
Los dados muestran uno= {(1,1)}
Los dados muestran cuatro = {(4,4)}
Ejemplo tres:
Del ejemplo anterior de los dados buscar:
a) La suma es par: {(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2),
(6,4), (6,6)}
b) La suma es divisible entre cinco: {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,5), (6,4), (4,6)}
c) La suma es un número primo: {(1,1), (1,2), (1.4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2),
(5,6), (6,1), (6,5)}
d) El número del dado negro es dos unidades mayor que el del dado rojo: {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6)}
e) L a suma es impar: {(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4),
(5,6), (6,1), (6,3), (6,5)}
f) La suma no es divisible exactamente entre cinco: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,4), (2,5),
(2,6), (3,1), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3),
(6,4), (6,5), (6,6)}
Evento no E: Si E es un evento contenido en un espacio muestral S, entonces el evento no denotado por () es
el que contiene todos los resultados en S que no están contenidos en E. Ejemplo S= {(1, 2, 3, 4, 5,6)} E=
{(4,6)} y = {(1, 2, 3,5)}.
Eventos compuestos: Cuando los eventos son conjuntos, los operadores de unión y de intersección pueden
usarse para formar eventos compuestos; si E y F son eventos, entonces y son eventos compuestos.
: es el evento de que ocurren E o F o ambos.
: es el evento de que tanto E como F ocurran al mismo tiempo.
Ejemplos:
Ejemplo uno:
Alejandro va a una estación de servicio automotriz rápido a comprar ¼ de liquido para transmisión y un ¼ de
aceite para su coche, si hay disponibles 3 marcas de liquido para transmisión (x, y, z) y 6 marcas de aceite (A,
B, C, D, E, F) Alejandro puede hacer 18 compras, suponga además que las 3 marcas del liquido de
transmisión y las 6 de aceite coinciden cada una en el precio. Como Alejandro no sabe mucho sobre el aceite
que usa su coche decide hacer sus compras adivinando sea E el evento de que Alejandro compre la marca X o
la Z del líquido de transmisión y F el evento de que compre la marca de aceite A o B. Calcule lo siguiente:
RESPUESTA:
a) El espacio muestral del experimento:
11
Liquido: X, Y, Z
Aceite: A, B, C, D, E, F
{(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Y,C), (Y,D), (Y,E), (Y,F), (Z,A), (Z,B), (Z,C),
(Z,D), (Z,E), (Z,F)}
b) Evento
{(Y,A), (Y,B), (Y,C), (Y,D), (Y,E), (Y,F)}
c) Evento
{(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Z,A), (Z,B), (Z,C), (Z,D), (Z,E), (Z,F)}
d) Evento
{(X,A), (X,B), (Z,A), (Z,B)}
E= Alejandro compre X o Z (liquido)
F= Alejandro compre A o B (aceite)
Ejemplo dos:
Un experimento consiste en preguntar al azar a tres consumidores si compraron la marca A de mantequilla de
cacahuate. Use una S para si y una N para no.
a) Espacio muestral:
S= {(SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNN)}
El evento de que al menos dos personas digan si y F el que la primera encuestada diga no, contestar los
eventos siguientes:
b) E= {(SSS, SSN, SNS, NSS)}
F= {(NSS,NSN,NNS,NNN)}
c) ={(SNN,NSN,NNS,NNN)}
d) ={(SSS,SSN,SNS,NSS,NSN,NNS,NNN)}
e) = {(SSS,SSN,SNS)}
FACTORIAL:
El producto de cualquier numero entero positivo n por todos los enteros menores que n se llama FACTORIAL
de n y se expresa con el símbolo n!
Ejemplos:
12
0!= 1 (por definición)
1!= 1 (1)= 1
2!= 2 (1)= 2
3!= 3 (2) (1)= 6
4!= 4 (3) (2) (1)= 24
5!= 5 (4) (3) (2) (1)= 120
PERMUTACIONES:
Se le conoce como permutación del conjunto cuando el problema de un conteo consiste en ordenar elementos
de un conjunto.
Las permutaciones se pueden clasificar en:
• Lineales: Se presenta cuando los elementos se ordenan en una fila.
• Circulares: Se presenta cuando los elementos deben ser colocados alrededor de un círculo en una
secuencia cíclica o cerrada. La formula es= (n−1)!
Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos,
tomados todos a la vez y es igual a n!
−Para ordenar r objetos de entre n objetos distintos:
nPr=
7, 6, 5, 4= en la calculadora seria 7 nPr 4= 840
−Para permutaciones con objetos repetidos del tipo 1, del tipo 2, del tipo 3, se utiliza la siguiente formula:
Per=
Ejemplos:
Ejemplo uno:
a) Hallar el número de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra
CAMARA.
b) ¿Cuántas de ellas principian y terminan con A?
c) ¿Cuántas tienen tres A juntas?
d) ¿Cuantas empiezan con A y terminan con M?
RESULTADOS:
a) nPr=
13
b) A− −4!− − A = 24
c) 4, 3, 2, 1= 24 (se toma a la A como un solo objeto)
d) A − − − − M= 12
Ejemplo dos:
a) ¿De cuantas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila?
b) ¿De cuantas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también?
c) ¿De cuantas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas?
d) ¿De cuantas maneras pueden sentarse si se sientan alternados?
RESPUESTA:
a) 5!= 120
b) (2! 3!)2= 24
c) 2 4!= 48
d) (H) (M) (H) (M) (H)= 3*2*2*1*1= 12
Ejemplo tres:
a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir en un autobús?
b) Si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuantas formas es esto posible?
c) Si dos personas se rehúsan a seguirse una a la otra, ¿en cuantas formas es esto posible?
RESPUESTA:
a) 6!=
b) 4! 3!= 144
c) 6! − (5! 2)= 480
Ejemplo cuatro:
Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehículos cuyas capacidades son de 2,4 y 5 pasajeros
respectivamente. ¿En cuantas formas es posible transportar a las nueve personas con todos los vehículos?
RESPUESTA:
2
2
2
4
4
3
5
3
4
TOT. 9
9
9
14
2
1
1
2
4
3
5
4
5
9
9
9
Ejemplo cinco:
Suponga que se desea determinar el numero de permutaciones de 5 objetos tomados 3 a la vez, podemos
pensar este problema como el de colocar cinco objetos distintos en tres cajas.
RESPUESTA:
Aplicando la formula de
Donde r=3 y n= 5
Tenemos que:
COMBINACIONES:
Una colección de n objetos tomados r a la vez es una selección de r o de n objetos donde el orden no se toma
en cuenta. (El orden no afecta).
Su formula es:
Ejemplos:
Ejemplo uno:
Una señora tiene 11 amigos de confianza:
a) ¿De cuantas maneras puede invitar a cinco de ellos a comer?
b) ¿De cuantas maneras si dos de ellos son casados y no asisten el uno sin el otro?
c) ¿De cuantas maneras si dos de ellos no la llevan bien y no asisten juntos?
RESPUESTA:
a)
b)
C)
Ejemplo dos:
Un estudiante tiene que resolver diez preguntas de 13 en un examen.
a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?
b) ¿Cuántas maneras si las dos primeras son obligatorias?
15
c) ¿Cuántas si una de las dos primeras es obligatoria?
d) ¿Cuántas si tiene que contestar exactamente tres de las cinco primeras?
e) ¿Cuántas si tiene que contestar por lo menos tres de las cinco primeras?
RESPUESTA:
a)
b)
c)
d)
e)
Ejemplo tres:
Hay 10 puntos A, B en un plano; en una misma línea no hay 3.
a) ¿Cuántas líneas forman los puntos?
b) ¿Cuántas líneas no pasan por A o B?
c) ¿Cuántos triángulos determinan los puntos?
d) ¿Cuántos triángulos de estos se forman con los puntos A?
e) ¿Cuántos triángulos contienen el la AB?
RESPUESTA:
a)
b)
c)
d)
e)
TEORIA CLASICA DE LA PROBABILIDAD
P(A)=
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
1) Entre mas cercano al 1 la incertidumbre es menor. Tenemos más seguridad de que ocurrirá lo previsto.
16
2) P (S)= 1 La probabilidad del universo es la unidad.
3) P ()= P (A) + P (B) − P (A
Ejemplos:
Ejemplo uno:
Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales, 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad (p) de que:
a) Ninguna sea defectuosa.
b) Una exactamente sea defectuosa.
c) Una por lo menos sea defectuosa.
RESPUESTA:
a) P (ninguna sea defectuosa)=
b) P (una exactamente sea defectuosa)=
c) P (una por lo menos sea defectuosa)=
Ejemplo dos:
Se lanza una moneda 9 veces ¿Cuál es la probabilidad de obtener:
a) 4 águilas y 5 soles
b) A lo mucho 3 águilas
RESULTADO:
a) P (4a y 5s)=
b) P (a lo mucho 3a)=
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
La probabilidad condicional se aplica en el calculo de sucesos cuando se sabe que a ocurrido otro con el cual
se relacionan(los sucesos son dependientes).
Ejemplos:
Ejemplo uno:
En cierta ciudad 40% de la población tiene cabellos castaños 25% tienen ojos castaños y 15% tiene cabellos y
ojos castaños. Se escoge una persona al azar
a) Si tiene cabellos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños.
17
b) Si tiene ojos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni ojos no cabellos castaños?
RESPUESTA:
a) P (OC. /CC.)=
b) P (
c) P (
Ejemplo dos:
La victima de un accidente, morirá a menos de que reciba en los próximos 10 minutos una cantidad de sangre
tipo ARH positiva, que sea suministrada por un solo donante. Se tarda 2 minutos en definir el tipo de sangre
de un posible donante y 2 minutos en realizar la transfusión. Hay una gran cantidad de donantes diferentes
cuyo tipo de sangre se desconoce y 40% de ellos tienen el tipo de sangre ARH positivo, ¿Cuál es la
probabilidad de que sobreviva la victima si solamente se dispone de un equipo para determinar el tipo de
sangre?
RESPUESTA:
10 minutos de vida
2 minutos definir el tipo de sangre
2 minutos de transfusión
40% tiene ARH positivo
1° persona− 0.4
2° persona− 0.4
3° persona− 0.4
4° persona− 0.4
P−−− 0.4+ (0.6*0.4) + (0.6*0.6*0.4) + (0.6*0.6*0.6*0.4)= 0.8704x100= 87.04%
Ejemplo tres:
Una caja A contiene nueve cartas numeradas de 1 a 9 y otra caja B contiene 5 cartas numeradas de 1 a 5. Se
escoge una caja a azar y se saca una carta, si la carta indica un numero par se saca otra carta de la misma caja;
si la carta es impar, se saca una carta de la otra caja.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas muestren números pares?
b) Si ambas cartas muestran números pares, ¿Cuál es la probabilidad de que procedan de A.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 cartas tengan números impares?
18
RESPUESTA:
a) P (PP)=
b) P (Proc.A/PP)=
c) P (II)=
CONCLUSIÓN:
Este tipo de teoremas, eventos, espacios, combinaciones, permutaciones entre otros son aplicables para
resolver diferentes tipos de problemas tomando en cuenta cierto tipo de limitaciones o característicos del
problema que el alumno entendiendo una vez el tema puede aplicar estas características que son de suma
importancia para resolver diversos problemas en el área de estudio partiendo de datos reales encontrando
soluciones reales. Con la finalidad de minimizar costos esfuerzos y tiempos y optimizar adecuadamente
ciertos procesos logrando una mayor productividad para la empresa.
GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN
PROBABILIDAD
UNIDAD TRES
MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS DISCRETOS
ELABORADO POR: ALDO
INGENIERIA INDUSTRIAL
2° SEMESTRE
de Abril del 2007
UNIDAD TRES: MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS DISCRETOS.
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
El estudiante obtendrá, analizara y representara los resultados o soluciones obtenidas y comprenderá las
características ya sea de una distribución normal, así como otras distribuciones como la de Poisson además de
la Hipergeometrica, las binomial además de la binomial negativa que ayudaran para resolver los problemas
tomados de situaciones tanto de área de Ingeniería así como de momentos cotidianos.
DISTRIBUCION DE PORBABILIDAD:
19
La variable que asocia a un numero con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable
aleatoria.
Una variable aleatoria es una función que asigna un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un
experimento aleatorio. También la variable aleatoria es la asignación de un número con los posibles resultados
de un experimento.
Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango finito o infinito contable.
La distribución de probabilidad o distribución de una variable aleatoria, es una descripción del conjunto de
valores posibles de x, junto con la probabilidad asociada con cada una de esos valores. La distribución de
probabilidad de una variable aleatoria, es el resumen más útil de un experimento aleatorio; para una variable
aleatoria que pueda tomar un número pequeño de valores, lo más simple es proceder como una distribución de
probabilidad, listando los valores posibles junto con las probabilidades respectivas.
−Datos discretos: generalmente se cuentan enteros.
−Datos continuos: generalmente se miden intervalos.
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
Un ingeniero pide prestado el diseño de un proceso el cual cuenta con 5 claves para el arranque, intenta con
cada una de las 5 claves hasta que consigue activarlo. Sea la variable x el número de intentos necesarios para
arrancar el proceso. Encuentre la distribución de probabilidad.
RESOLUCION:
x
1
2
3
4
5
p(x)
1/5
1/4
1/3
1/2
1
Ejemplo dos:
En un laboratorio experimental se realizo una prueba a tres visitantes, se les pide que hagan corresponder cada
una de las tres sustancias con la formula química que identifica a cada sustancia. Si un visitante asigna
aleatoriamente las tres formulas a las tres sustancias, encuentre la distribución de probabilidad para Y, el
numero de correspondencias correctas.
RESOLUCION:
Y
0
1
3
P(Y)
2/6
3/6
1/6
20
1
/
/
/
0
0
X
x
x
z
y
z
y
P(y)
3/6
2/6
1/6
Y
0
1
3
Y
y
z
y
x
x
z
Z
z
y
x
z
y
x
3
1
1
1
0
0
Ejemplo tres:
−Cinco pelotas numeradas 1, 2, 3, 4, 5 se encuentran en una hurna. Se sacan dos pelotas al azar de las cinco y
se anotan sus números. Encuentra la distribución de probabilidad para lo siguiente:
a) El mayor de los dos números seleccionados.
b) La suma de los dos números seleccionados.
RESOLUCION:
a)
Y
2
3
4
5
P(Y)
1/10
2/10
3/10
4/10
12
13
14
15
23
24
25
34
25
45
Ó
b)
Y
3
4
5
6
7
P(Y)
1/10
1/10
2/10
2/10
2/10
21
8
9
1/10
1/10
1
DISTRIBUCION BINOMIAL:
Una distribución binomial tiene las siguientes propiedades:
1) El experimento consiste en n intentos repetidos.
2) Los resultados de cada uno de los intentos, pueden clasificarse como un éxito o como un fracaso.
3) La probabilidad de éxito permanece constante para todos los intentos (p).
4) Los intentos repetidos son independientes.
Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x, el número de éxitos en las n pruebas:
Donde:
b= probabilidad de éxito
q= 1−p probabilidad de fracaso
x= la variable aleatoria, el numero de éxitos en las n pruebas.
n= el numero de pruebas.
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
Si 20% de las piezas de televisión que fabrica una maquinaria recientemente reparada son defectuosas, calcula
la probabilidad de que en cinco piezas elegidas al azar se obtengan:
a) Una pieza defectuosa.
b) Ninguna defectuosa.
c) A lo mas dos piezas defectuosas.
RESOLUCION:
=
Con:
n=5
x=1
p=20%=0.2 piezas defectuosas.
22
q=1−p=1−0.2=o.8
a) P (una pieza defectuosa) =
b) Ninguna pieza defectuosa.
n=5
x=0
p=0.2
q=0.8
p (cero piezas defectuosas)
c) A lo más 2 piezas defectuosas:
n=5
x=2
p=0.2
q=0.8
p (2 piezas defectuosas)=
AHORA:
P(a lo mas 2 piezas defectuosas)= P (0 piezas defectuosas)
=0.3276+0.4096+0.2048= 0.942
Ejemplo dos:
En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robo, la necesidad de dinero para
comprar droga. Encuentra la probabilidad de que dentro de los cinco próximos asaltantes reportados en esa
área.
a) Entre 1 y 3 se debieron a la necesidad de dinero para comprar drogas.
b) Exactamente 2 se debieron a la necesidad de dinero para comprar drogas.
c) Cuando mucho 3 se debieron a la misma razón.
RESOLUCION:
a) p=0.75
q=0.25
23
n=5
x=1, 2, 3
p ()= p (1)+p (2)+p (3)
b=
b) P (2)=
0.70
0.4718
0.80
0.2627
c) p(x= F (3)−acumulado a 3=
a=x−0.4718
b=0.2627−0.4718=−0.2091
c=0.75−0.70=0.05
d=0.80−0.70=0.10
x=0.36705
Ejemplo tres:
La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0.9 ¿Cuál es la
probabilidad?
a) De que exactamente cinco de los próximos siete pacientes sobrevivan.
b) Por lo menos dos sobrevivan de los siete pacientes.
c) Exactamente uno muera de entre los siete.
RESOLUCION:
a) p(x=5)
n=7
p=0.9
q=0.1
b=
UTILIZANDO TABLAS:
b (x=5)=F(5)−F(4)
24
=0.1497−0.0257=0.12
b) b (2)+b (3)+b (4)+b (5)+b (6)+b (7)=1−0=1
c) como ahora se busca la probabilidad de muerte, se intercambian las p. de éxito y fracaso. p=0.1 y q=0.9
b (x=1)=
USANDO TABLAS:
b(x=1)= 0.5503−0.4783= 0.372
p=0.1
DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA
Contiene las mismas propiedades indicadas para un experimento binomial, con la excepción de que los
intentos se repetirán hasta que ocurra un numero determinado de éxitos, esta es, en lugar de encontrar la
probabilidad de x éxitos en n intentos donde n es fijo, ahora se buscara la probabilidad de que el k−esimo
éxito ocurra en el x−esimo intento.
Si repetidos intentos independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad P y en un fracaso con
una probabilidad Q=1−P entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X el número del
intento en el cual ocurre el k−esimo intento es:
donde:
x=el numero del intento en el cual ocurre el k−esimo éxito
k=numero de éxitos
p=probabilidad de éxito.
q=probabilidad de fracaso (1−p).
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja tendrá que elaborar el inventario de un almacén. Si
todas las monedas caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos
de 4 lanzamientos.
RESOLUCION:
2*2*2=8
+
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
25
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
−
p (1)+p (2)+p (3)
p (éxito)=6/8
p (fracaso)=2/8
si k=1 es una distribución geométrica.
g=
g (1)+g (2)+g (3)
g=
Ejemplo dos:
Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una
empresa manufacturera es 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de que?
a) La 6° persona escucha tal historia sea la 4° que la crea
b) La 3° persona que escucha la historia sea la 1° en creerla.
RESOLUCION:
a) x=6
k=4
b) x=3 g= (0.8) (0.2)
k=1
DISTRIBUCION DE POISSON
Un experimento de poisson contiene las siguientes propiedades:
−El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo a región específicos es independiente del
numero que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto. De esta
manera se dice que el proceso de poisson no tiene memoria.
−La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región
pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende del
número de resultados que ocurran fuera de ese intervalo.
−La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan
pequeña, es despreciable.
26
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson x, que representa el número de resultados
que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región específica indicada por t es:
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
El número de partículas radioactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo es de 4 ¿Cuál
es la probabilidad de que entren:
a) 6 partículas en 1 milisegundo.
b) Entre 3 y 5 partículas en 1 milisegundo.
c) Menos de 5 partículas en 1 milisegundo.
RESOLUCION:
a) F (6)−F (5)= 0.8893−0.7851= 0.1042
FORMULA:
p(x=6)=
b) p (3
c) p (x<5)= f (4)= 0.6288
Ejemplo dos:
Si la probabilidad de que en una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico es de
0.001. Calcular la probabilidad de que un total de 3000 pacientes sufran el malestar:
a) De exactamente 3 personas.
b) Mas de 2 presenten reacción dañina.
RESOLUCION:
a)
P(X personas sufran reacción )
con
p (3 personas sufran reacción)=
b) Mas de 2 personas.
P(mas de dos sufran reacción)
P(0 reacciona)=
27
P(1 reacciona)=
P(2 reacciona)=
total=
NOTA:
EN GENERAL SE APLICA LA DISTRIBUCION DE POISSON CUANDO EL NUMERO DE
REPETICIONES DEL EXPERIMENTO ES AL MENOS DE 50(n) Y np ES MENOR QUE 5. EN ESTOS
CASOS LA DISTRIBUCION BINOMIAL SE APROXIMA A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y
CUANDO SE APLICA ESTA, GENERALMENTESE CONOCEN LOS VALORES DE n Y p.
Ejemplo tres:
Las llamadas deservicio entran aun centro de mantenimiento y en promedio entran 2.7 llamadas por minuto.
Encuentre la probabilidad de que:
−Menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera.
RESOLUCION:
−p(x<2)=
DISTRIBUCION HIPERGEOMETIRCA
Su interés se centra en la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k posibles resultados o artículos también
considerados éxitos y n−x fracasos de los N−K posibles resultados o artículos también considerados fracasos,
cuando una muestra aleatoria de tamaño n, se selecciona de N resultados o artículos totales.
La distribución de la variable aleatoria hipergeometrica x, el numero de éxitos en una muestra aleatoria de
tamaño n, seleccionada de N resultados posibles, de los cuales k, son considerados como éxitos y N−K como
fracaso.
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que
contiene 9 píldoras de vitaminas que son similares en apariencia.
Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero no sea
arrestado?
n=3
N=15
k=9
x=3
28
Ejemplo dos:
Una compañía esta interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50
artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra
que no más de dos están defectuosas ¿Que proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados?
RESOLUCION:
N=50
n=5
k=10
x=0, 1, 2
Ejemplo tres:
De un lote de10 misiles, se seleccionan 4 al azar y se lanzan. Si el lote contiene 3 misiles defectuosos que
explotara ¿Cuáles la probabilidad de que
a) los 4 exploten ?
b) a lo mas 2 fallen ?
RESOLUCION:
a) N=10
n=4
k=7
x=4
b) N=10
n=4
k=3
x=2
|
CONCLUSIÓN:
GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN
29
PROBABILIDAD
UNIDAD CUATRO
MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS CONTINUOS
ELABORADO POR:
INGENIERIA INDUSTRIAL
2° SEMESTRE
de Abril del 2007
UNIDAD CUATRO: MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS CONTINUOS.
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
El estudiante analizara y comprenderá los conceptos y características de una variable aleatoria continua,
función de densidad y acumulativa y será capaz de calcular un valor esperado así como la varianza y la
desviación estándar, además podrá desarrollar ciertos tipos de distribuciones como uniforme, binomial y
normal así como el teorema de Chebyshev y aplicara sus propiedades a casos reales.
DISTRIBUCION NORMAL
Su grafica recibe el nombre de curva normal, es la curva en forma de campana, la cual, describe en forma
aproximada, algunos fenómenos de la naturaleza, la industria y la investigación.
Una variable aleatoria continua se llama variable aleatoria normal si tiene la distribución en forma de
campana.
Las propiedades de la curva normal son las siguientes:
−La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo, ocurre en X=M.
−La curva es simétrica alrededor de su eje vertical, donde se tiene la media (M).
−La curva tiene sus puntos de inflexión en x=M
−La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asintótica en cualquier de los 2 direcciones alejándose
de la media.
−El área total bajo la curva y arriba del eje horizontal es igual a 1.
30
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
Dada una distribución normal con M=30 Y Encontrar:
a) A la derecha de x=17
b) El área de la curva normal a la izquierda de x=22
c) El área de la curva normal entre x=32 y x=41
d) El valor de x que tiene el 80% del área de la curva normal a la izquierda.
e) Los dos valores de x que contiene un intervalo central del 75% de la mitad del área de la curva normal.
RESOLUCION:
a) P(X>17)=
Entonces:
P (Z>−2.16)=1−P (Z<−2.16 (tablas))=1−0.0154=0.9846=98.46%
b) P(x<22)= P (X<−1.33)=0.0918
c) P (32<x<41)=
P (0.33<Z<1.83)= P (Z<1.83)−P (Z<0.33)=0.9664−0.6293=0.3371=33.7%
d) para 0.7995; Z=0.84
e) z−−−1.15
Ejemplo dos:
31
Estadísticas publicadas por la Nacional Highway Traffic Safety muestran que una noche de fin de semana, en
promedio, 1 de cada 10 conductores esta ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente
noche del sábado ¿Cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea:
a) Menos de 32?
b) Mas de 49 ?
c) Al menos 35 pero menos de 47?
d) 35 exactamente ?
RESOLUCION:
a) Menos de 32
M=40
=6
b) Mas de 49
c) al menos 35 pero más de 47
M=40
=6
P(35<Z<47)=P34.5−P46.5=1.083−0.916=0.167=0.5636
d) 35 exactamente
P(X=35)=P (34.5<Y<35.5)=
P (Z<−0.75)−P (Z<−0.91)=0.2266−0.1844=0.0452
Ejemplo tres:
El coeficiente intelectual de los aspirantes aprobados para ingresar a la Escuela medico Militar tiene una
distribución normal de M=100 y una desviación estándar de 10. Calcula cuál es la proporción de reclutas que
tienen un coeficiente intelectual entre 100 y 107 en términos de la calificación estándar z.
RESOLUCION:
Ahora como z es positivo y mayor que 0.5000 entonces obtenemos que:
0.5000−0.2580= 0.2420=24.20% de los alumnos tiene un coeficiente intelectual entre 100 y 107 o decir que
los alumnos que se encuentran entre 100 y 107 es de 0.2420.
APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION NORMAL A LA BINOMIAL
Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando n es
32
pequeña, de la formula de la distribución binomial o de las tablas.
La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta, cuando esta
ultima toma la forma de campana simétrica.
Para aproximar propiedades binomiales cuando n es suficiente mente grande utilizamos el siguiente teorema:
Donde:
M=np
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
−Una moneda se lanza 400 veces, encuentre:
a) La probabilidad de obtener entre 185 y 210 caras.
b) Exactamente 205 caras.
c) Menos de 176 o más de 227 caras.
RESOLUCION:
a) n=400
p=0.5
q=0.5
M=np=(400)(0.5)=200
P
b) P(X=205)=P (204.5)
c) P (176
P ()
Ejemplo dos:
−Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras tiene un ingrediente que esta por
debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora.
¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200 sea ineficaz?
RESOLUCION:
p=0.05
33
q=0.95
n=200
M=np=200(0.05)=10
Ejemplo tres:
−Si 20% de los residentes en una ciudad prefiere un automóvil blanco que cualquier otro color disponible.
¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 automóviles que produzca la industria automotriz :
a) Entre 170 y 185 sean blancos?
b) Al menos 210 sean blancos?
p=0.2
q=0.8
n=1000
M=np=200
a)
P (169.5
b)
P (Y
TEOREMA DE CHEBYSHEV
La desviación estándar muestral S indica la dispersión de los datos respecto a la media muestral, si los valores
de los datos se acumulan cerca de la media, entonces S es pequeña; si se dispersan considerablemente respecto
a la media, entonces S es grande, pero ¿Cómo podemos determinar cuales valores de S son grandes y cuales
son pequeños?
Un teorema que lleva el nombre del matemático Ruso Pafnuty Luovich Chebyshev (1821−1894) nos da
alguna información útil sobre como la magnitud de la desviación estándar de cualquier conjunto de datos se
relaciona con la concentración de estos en torno a la media, según el teorema de Chevyshev la afirmación
siguiente es cierta para cualquier conjunto de datos cuantitativos, tanto poblacionales como muéstrales.
El teorema de chebyshev se describe como:
La expresión representa la proporción mínima de los datos que dista no mas de k desviaciones estándar de la
media S
NOTA:
Note que el resultado del calculo es una fracción, al multiplicarla por 100 se obtiene el porcentaje mínimo de
los datos que no distan mas de k desviaciones estándar de la media de acuerdo con el teorema de Chevyshev
34
para cualquier conjunto de medidas.
Ejemplos:
Ejemplo uno:
−Suponga que la asistencia promedio a un estadio de baseball de ligas mayores para juegos locales es de
35500 personas, con una desviación estándar de 4200. Use el teorema de Ch evyshev para determinar el
intervalo que contenga al menos el 80% de las asistencias a los juegos locales.
RESULTADO:
Ejemplo dos:
Suponga que las calificaciones de un grupo de alumnos tiene una media de 25 y una desviación estándar de
3.2.Determinar un intervalo que contenga al menos 90% de las medidas de la muestra.
RESOLUCION:
Ejemplo tres:
Suponga que la muestra tiene como media 540 y como desviación estándar 10.5. Determinar un intervalo que
contenga al menos 92% de las medidas de la muestra.
RESOLUCION:
CONCLUSIÓN:
En la mayoría de los procesos industriales intervienen diferentes variables que afectan a la línea de
producción, mediante el conocimiento y la aplicación de los temas antes mencionados podemos determinar
que parte del proceso esta fallando haciendo una distribución de su comportamiento que nos permita dar una
solución o hacer una mejora, buscando siempre la optimización y mejor calidad.
GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN
PROBABILIDAD
UNIDAD CINCO
REGRESION Y CORRELACION SIMPLE
INGENIERIA INDUSTRIAL
35
2° SEMESTRE
De ABRIL del 2007
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
El estudiante será capaz de establecer un modelo matemático razonable que describa las relaciones entre las
variables bajo estudio y será capaz de medir el grado de dicha relación, además podrá pronosticar la
ocurrencia de un evento en determinado periodo de tiempo.
UNIDAD CINCO: REGRESION Y CORRELACION SIMPLE
Una curva de regresión es una función que relaciona cada valor particular x de una variable independiente x
con el correspondiente valor esperado de la variable dependiente y.
Para obtener una curva de regresión es necesario establecer la distribución de probabilidad conjunta, la cual es
difícil de conocer generalmente.
Existen algunos métodos para estimar la curva de regresión a partir de una muestra representativa de la
población. Entre ellos se encuentra el método grafico y el método de los mínimos cuadrados.
−método grafico: se basa en un diagrama denominado de dispersión en el cual se encuentra graficados los n
elementos ocultos () con i=1, 2,3 n. obtenidos de una muestra representativa.
Podemos encontrar 4 diagramas de dispersión:
De la figura a) y b) se puede considerar que la curva de regresiones una línea recta. En el inciso a) con
pendiente positiva y en el inciso b) con pendiente negativa.
En el inciso c) puede suponerse una parábola como curva de regresión y en el inciso d) se puede considerar
una recta horizontal pues no se percibe ninguna relación entre las variables.
El método para estimar la curva de regresión es subjetiva y cambia de una persona a otra, pero puede usarse
para determinar que tipo de curva (recta, exponencial, logaritmica, etc) es la mas apropiada para estimar la
curva de regresión.
EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS
Consiste en estimar la curva de regresión de Y dado X mediante una función de tal manera que para una
muestra de tamaño n, se minimice la función.
El método de mínimos cuadrados se puede usar para aproximar funciones algebraicas a la curva de regresión,
solo se tratara el ajuste de una línea recta de la forma que es la más utilizada. Se puede demostrar que los
coeficientes a y b obtenidos con el método de mínimos cuadrados, son buenos estimadores de a y b.
Para encontrar los coeficientes a y b se evalúa en X=s.f. y se sustituye en la ecuación de regresión.
Y se obtiene que:
a=
b=
36
El método de mínimos cuadrados se basa en la distancia vertical entre los puntos de la muestra, y las
ordenadas correspondientes de la recta y no toma en cuenta las distancias horizontales.
EJEMPLOS:
Ejemplo uno:
El número de ingenieros egresados de las escuelas de educación superior y el número de ingenieros recibidos
del 2001 al 2007 fueron como se muestra a continuación:
AÑO
2001
EGRES.(miles)
8.81
TITULADOS(miles) 3.78
2002
9.24
3.99
2003
9.77
4.2
2004
10.25
4.41
2005
10.74
4.62
2006
11.3
4.57
2007
11.78
5.01
MEDIANTE EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS:
A) ¿Cuál es la estimación de la recta de regresión del numero de ingenieros titulados dado el numero de
egresados?
B) Si en un año egresan 20,000 estudiantes ¿Cuántos de ellos pueden esperarse que obtengan el titulo?
RESOLUCION:
A) x= Nº egresado
y= Nº titulados
x
8.81
9.24
9.77
10.25
10.74
11.3
11.78
71.94
y
3.78
3.99
4.2
4.41
4.62
4.87
5.01
30.88
s.f.
33.3
37.0671
41.034
45.2025
49.6188
55.031
59.0178
320.273
77.6161
86.3041
95.4529
105.0625
115.3476
127.69
138.7684
749.2416
a==
b=
B) ecuación de pronóstico
Ejemplo dos:
MESES
E
F
M
AÑO 1
15
18
20
AÑO 2
52
54
55
AÑO 3
?
37
A
M
J
J
A
S
O
N
D
25
27
30
32
40
45
48
50
51
60
61
65
67
68
70
75
78
83
?
?
a==
b==
AHORA:
=14.5688+2.7978x
PARA ENERO DEL AÑO 3
=14.5688+2.7978 (25)=84.51
PARA JUNIO DEL AÑO 3
=14.5688+2.7978 (30)=98.5025
PARA DICIEMBRE DEL AÑO 3
=14.5688+2.797(36)=115.2896
Ejemplo tres:
Con los datos siguientes encuentre la ecuación de prediccion para el año 2000 y pronostique Diciembre y
Septiembre.
MES
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
1998
104
100
97
95
98
85
72
70
65
60
51
41
1999
37
27
26
25
10
13
9
7
6
5
5
1
2000
?
?
38
a==
b==
PARA SEPTIEMBRE DEL2000
=109.7572+ (−5.0839) (33)=−58.0115
PARA DICIEMBRE DEL 2000
=109.7572+ (−5.0839) (36)=−73.2632
DISTRIBUCION t DE STUDENT
Ejemplos:
−Ejemplo uno:
Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes de 500
gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmar toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si
el valor de t calculado cae entre −t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Que conclusión estriaría
de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos?
Suponga que la distribución de rendimiento es aproximadamente normal.
Solución:
Tabla= t 0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711 si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre −1.711 y
1.711 se calcula:
Es un valor arriba de 1.711 si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de
libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximado de 0.02. De esto se concluye el fabricante
de que el proceso produce un mejor producto del que se piensa.
CONCLUSIÓN:
Mediante el método de mínimos cuadrados podemos hacer que una curva de dispersión tenga una tendencia
lineal que nos sea mas favorable para un resultado esperado, también nos es de mucha utilidad para
pronosticar las fachas en un sistema de producción o las ventas de determinado producto en un periodo de
tiempo establecido, en fin estos métodos son de mucha importancia y de mucha aplicación para la industria.
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sección, inicia al resolver los ejercicios de menor a mayor grado de análisis.
39
UNIDAD I ESTADISTICA DESCRIPTIVA
1.− Los totales anuales en miles de millones de dólares para las exportaciones agrícolas de Estados unidos de
América de 1996 a 2006 son de 21.9, 21.9, 23.0, 23.6, 29.4, 34.7, 41.2, 43.3, 39.1, y 33.7, Determinar la
media, moda, mediana y rango medio.
R= Media:31.18
Mediana: 31.55
Moda: 21.9
Rango medio: 32.6
2.− Los datos siguientes son las docenas/mes de calcetines fabricados en Cannon, mills:
104,102,85,60,93,103,94,97,81,75,79,104,97,95,65,75,89,104,103,100,90,104,71,69,88.
−Encontrar las medidas de tendencia central.
R=
89.08
Me=93
Moda=104
Rango medio= 82
3.− La población de un pueblo cercano a la ciudad de Uruapan en los últimos 5 años a sido de 3 200 000
habitantes a 3 570 000 habitantes.
Calcular la tasa de crecimiento total en los 5 años y el promedio anual.
R=
En 5 años=0.1156x100= 11.56%
Anual= 0.0192x100= 1.92%
4.− Se toman los datos de dos obreros donde se arma una pieza, el primero lo logra en tres días seguido del
segundo que logra el objetivo en cuatro días. Calcular el rendimiento de un trabajador representativo de los
rendimientos de los dos obreros.
R=
Rendimiento representativo=
5.− En la tabla siguiente se representan las longitudes en centímetros de ochenta piezas de madera que fueron
seleccionadas en una bodega. Presentar datos en forma resumida y ordenada .Obtener sus frecuencias, sus
medidas de tendencia central y sus medidas de dispersión así como su curtosis y sus coeficientes de asimetría.
40
50.1 50.6 51.1 50.8 52.2 51.9 51.2 52
50.6 49.1 51.8 51 50.8 51.8 51.1 49.7
50.7 51.4 51.9 50.4 51.7 51 49.5 52
51.1 51.8 50.3 51.5 51.7 50.3 49.9 49.7
52 51.3 51.1 50.8 49.4 50.3 51.1 51.2
50.8 51.5 51.1 51.2 50.3 51.3 51.7 51.8
51.4 51 51.7 50.1 52.1 51 52.8 51.1
49.9 50.9 50.2 51.5 51 50.2 49.6 51.3
51.8 50.3 50.5 51.7 51.7 50.4 49.6 51.2
51.3 51.2 51.6 51.5 51.9 51.6 53.1 51.8
R=
Clases limites de clase tr fr Cuenta
I 49−<50 49.5 9 IIII/ IIII
II 50−<51 50.5 20 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/
III 51−<52 51.5 44 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII
IV 52−<53 52.5 6 IIII/ I
V 53−<54 53.5 2 I
80
FREC. REL FREC. REL. ACUMULADA
Fr
0.112 0.112
0.25 0.362
0.055 0.912
0.075 0.987
0.0125 1
51.125
41
Me= 51.25
Mo= 51.23
Rango= 4
Varianza= 1.1843
Desviación estándar= 1.088
Coeficiente de asimetría= −0.29
0.6731
−0.1621
1.4201
Curtosis= 0.134
6.− Del ejercicio anterior realizar una grafica de Ojiva
Fr
49
50
51
52
53
54
Limite de clase
0
0.112
0.25
0.55
0.75
1
7.− La tabla siguiente muestra los costos por litro de gasolina de alto octanaje en las ciudades del mundo.
CIUDADES COSTO X LITRO
Ámsterdam 57
Bruselas 53
Buenos aires 38
Hong kong 57
Johannesburgo 48
Londres 56
Madrid 59
Manila 46
México 25
42
Montereal 47
Nairobi 57
New Cork 40
Oslo 65
Paris 58
Rió de Janeiro 42
Roma 76
Singapur 59
Sydney 43
Tokio 79
Obtener las medidas de dispersión:
R=
SS=3011
167.2
S=12.9
Rango= 54
=53.15
DM=−.2552
8.− Los datos a continuación hacen referencia al número de cigarros fumados durante un fin de semana por un
grupo de quince fumadores:
X
F
10
1
15
3
17
5
20
2
22
4
−Obtener las medidas de dispersión así como sus frecuencias.
R=
X f fx
10 1 10 100 100
15 3 45 225 675
43
17 5 85 289 1445
20 2 40 400 800
22 4 88 484 1936
=17.8
SS=167.74
11.98
S=3.46
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UNIDAD II FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
1.− En una empresa de circuitos para computadora se toman encuentra la producción de tres grupos de
trabajadores el primero A produce el 68% de la producción total de la maquiladora mientras que el grupo B
produce el 32% del total. Obteniendo que el grupo A el 2% de su producción es defectuosa en tanto el del
grupo B el 5%.
¿Calcular la probabilidad de que al revisar al azar un circuito sea defectuoso y la probabilidad de que al
revisar aleatoriamente un circuito defectuoso este provenga del grupo B?
R=Probabilidad (defectuoso)=2.96%, −Provenga de grupo B= 54.05%
2.− Suponga que un experimento consiste en examinar 3 fusibles, cada fusible puede ser defectuoso D o no
defectuoso N.
a) Listar el espacio muestral para este experimento:
b) Anotar los datos que conforman a cada uno de los experimentos siguientes:
El primer fusible esta defectuoso.
El primer fusible y el último están defectuosos.
Todos los fusibles son buenos.
44
Al menos un fusible esta defectuoso
A lo mas un fusible esta defectuoso
R= a) =(NNN,NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)
b) (DND,DNN,DDN,DDD)
(DND,DDD)
(NNN)
(NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)
= (NDN, NND, DNN, NNN)
3.− Alejandro va a una estación de servicio automotriz rápido a comprar ¼ de liquido para transmisión y un ¼
de aceite para su coche, si hay disponibles 3 marcas de liquido para transmisión (x, y, z) y 6 marcas de aceite
(A, B, C, D, E, F) Alejandro puede hacer 18 compras, suponga además que las 3 marcas del liquido de
transmisión y las 6 de aceite coinciden cada una en el precio. Como Alejandro no sabe mucho sobre el aceite
que usa su coche decide hacer sus compras adivinando sea E el evento de que Alejandro compre la marca X o
la Z del líquido de transmisión y F el evento de que compre la marca de aceite A o B. Calcular lo siguiente:
a) El espacio muestral del experimento:
b) Evento
c) Evento
d) Evento
R= a) {(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Y,C), (Y,D), (Y,E), (Y,F), (Z,A), (Z,B),
(Z,C), (Z,D), (Z,E), (Z,F)}
b) Y,A), (Y, B), (Y, C), (Y, D), (Y, E), (Y, F)}
c) {(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Z,A), (Z,B), (Z,C), (Z,D), (Z,E), (Z,F)}
d) {(X, A), (X, B), (Z, A), (Z, B)}
4.− a) Hallar el número de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra
CAMARA.
b) ¿Cuántas de ellas principian y terminan con A?
c) ¿Cuántas tienen tres A juntas?
d) ¿Cuantas empiezan con A y terminan con M?
R= a) 120, b) 24, c) 24 (se toma a la A como un solo objeto), d) 12
5.− Se lanza una moneda 9 veces ¿Cuál es la probabilidad de obtener:
45
a) 4 águilas y 5 soles
b) A lo mucho 3 águilas
R=a) P (4a y 5s)= 0.24, b) P (a lo mucho 3a)= 0.25
6.− Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehículos cuyas capacidades son de 2,4 y 5 pasajeros
respectivamente. ¿En cuantas formas es posible transportar a las nueve personas con todos los vehículos? R=
4410
7.− Una señora tiene 11 amigos de confianza:
a) ¿De cuantas maneras puede invitar a cinco de ellos a comer?
b) ¿De cuantas maneras si dos de ellos son casados y no asisten el uno sin el otro?
c) ¿De cuantas maneras si dos de ellos no la llevan bien y no asisten juntos?
R= a) 462, b) 210, C) 378
8.− Un estudiante tiene que resolver diez preguntas de 13 en un examen.
a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?
b) ¿Cuántas maneras si las dos primeras son obligatorias?
c) ¿Cuántas si una de las dos primeras es obligatoria?
d) ¿Cuántas si tiene que contestar exactamente tres de las cinco primeras?
e) ¿Cuántas si tiene que contestar por lo menos tres de las cinco primeras?
R= a) 286, b) 165, c) 110, d) 80, e) 276
9.− Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales, 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad (p) de
que:
a) Ninguna sea defectuosa.
b) Una exactamente sea defectuosa.
c) Una por lo menos sea defectuosa.
R= a) P (ninguna sea defectuosa)= 26%
b) P (una exactamente sea defectuosa)= 49%
c) P (una por lo menos sea defectuosa)= 0.73
10.− En cierta ciudad 40% de la población tiene cabellos castaños 25% tienen ojos castaños y 15% tiene
cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar
46
a) Si tiene cabellos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños.
b) Si tiene ojos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni ojos no cabellos castaños?
R=a) P (OC. /CC.)=
b) P (
c) P (
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UNIDAD TRES MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS DISCRETOS.
1.− Un ingeniero pide prestado el diseño de un proceso el cual cuenta con 5 claves para el arranque, intenta
con cada una de las 5 claves hasta que consigue activarlo. Sea la variable x el número de intentos necesarios
para arrancar el proceso. Encuentre la distribución de probabilidad.
R=
x
1
2
3
4
5
p(x)
1/5
1/4
1/3
1/2
1
2.− Si 20% de las piezas de televisión que fabrica una maquinaria recientemente reparada son defectuosas,
calcula la probabilidad de que en cinco piezas elegidas al azar se obtengan:
a) Una pieza defectuosa.
b) Ninguna defectuosa.
c) A lo mas dos piezas defectuosas.
R=
47
a) 0.4096
b) 0.3276
c) 2 piezas= 0.2048
P(a lo mas 2 piezas defectuosas)= P (0 piezas defectuosas)
=0.3276+0.4096+0.2048= 0.942
3.− Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja tendrá que elaborar el inventario de un almacén.
Si todas las monedas caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre la probabilidad de que se necesiten
menos de 4 lanzamientos.
R=0.9843
4.− El número de partículas radioactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo es de 4
¿Cuál es la probabilidad de que entren:
a) 6 partículas en 1 milisegundo.
b) Entre 3 y 5 partículas en 1 milisegundo.
c) Menos de 5 partículas en 1 milisegundo.
R= a) 0.1042
b) 0.547
c) 0.6288
5.− Si la probabilidad de que en una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico
es de 0.001. Calcular la probabilidad de que un total de 3000 pacientes sufran el malestar:
a) De exactamente 3 personas.
b) Mas de 2 presenten reacción dañina.
R= a) 0.2240
b) 0.751
6.− Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella
que contiene 9 píldoras de vitaminas que son similares en apariencia.
Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero no sea
arrestado?
R=0.1846
7.− Una compañía esta interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50
artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra
48
que no más de dos están defectuosas ¿Que proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados?
R= 0.95
8.− En un laboratorio experimental se realizo una prueba a tres visitantes, se les pide que hagan corresponder
cada una de las tres sustancias con la formula química que identifica a cada sustancia. Si un visitante asigna
aleatoriamente las tres formulas a las tres sustancias, encuentre la distribución de probabilidad para Y, el
numero de correspondencias correctas
R= RESOLUCION:
Y
0
1
3
P(Y)
2/6
3/6
1/6
1
/
/
/
0
0
X
x
x
z
y
z
y
P(y)
3/6
2/6
1/6
Y
0
1
3
Y
y
z
y
x
x
z
Z
z
y
x
z
y
x
3
1
1
1
0
0
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UNIDAD CUATRO: MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS CONTINUOS.
1.− Dada una distribución normal con M=30 Y Encontrar:
a) A la derecha de x=17
b) El área de la curva normal a la izquierda de x=22
49
c) El área de la curva normal entre x=32 y x=41
d) El valor de x que tiene el 80% del área de la curva normal a la izquierda.
e) Los dos valores de x que contiene un intervalo central del 75% de la mitad del área de la curva normal.
R: a) 0.9846=98.46%
b) 0.0918
c) Z1=0.33
Z2= 1.83
0.3371=33.7%
d) 35.04
e) X1=23.1
X2= 36.9
2.− Estadísticas publicadas por la Nacional Highway Traffic Safety muestran que una noche de fin de semana,
en promedio, 1 de cada 10 conductores esta ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la
siguiente noche del sábado ¿Cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea:
a) Menos de 32?
b) Mas de 49?
c) Al menos 35 pero menos de 47?
d) 35 exactamente?
R=a) −1.47 (tablas)=0.0793
b) 0.0571
c) Z1=1.083 Z2=−0.916=0.167=0.5636
d) Z1=−0.91 Z2=−0.75=0.2266−0.1844=0.0452
3.− El coeficiente intelectual de los aspirantes aprobados para ingresar a la Escuela medico Militar tiene una
distribución normal de M=100 y una desviación estándar de 10. Calcula cuál es la proporción de reclutas que
tienen un coeficiente intelectual entre 100 y 107 en términos de la calificación estándar z. Interpretar el
resultado.
R= 0.70
Ahora como z es positivo y mayor que 0.5000 entonces obtenemos que:
0.5000−0.2580= 0.2420=24.20% de los alumnos tiene un coeficiente intelectual entre 100 y 107 o decir que
50
los alumnos que se encuentran entre 100 y 107 es de 0.2420.
4.− Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras tiene un ingrediente que esta
por debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora.
¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200 sea ineficaz?
R= 0.4364
5.− Si 20% de los residentes en una ciudad prefiere un automóvil blanco que cualquier otro color disponible.
¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 automóviles que produzca la industria automotriz:
a) Entre 170 y 185 sean blancos?
b) Al menos 210 sean blancos?
R= a) 0.1191
b) 0.2266
6.− Suponga que la asistencia promedio a un estadio de baseball de ligas mayores para juegos locales es de
35500 personas, con una desviación estándar de 4200. Use el teorema de Ch evyshev para determinar el
intervalo que contenga al menos el 80% de las asistencias a los juegos locales.
R= X1= 26134
X2= 44866
7.− Suponga que las calificaciones de un grupo de alumnos tiene una media de 25 y una desviación estándar
de 3.2.Determinar un intervalo que contenga al menos 90% de las medidas de la muestra.
R= 15.11−35.11
8.− Suponga que la muestra tiene como media 540 y como desviación estándar 10.5. Determinar un intervalo
que contenga al menos 92% de las medidas de la muestra.
R=
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cada sección, inicia al resolver los ejercicios de menor a mayor grado de análisis.
UNIDAD CINCO: REGRESION Y CORRELACION SIMPLE
51
1.− El número de ingenieros egresados de las escuelas de educación superior y el número de ingenieros
recibidos del 2001 al 2007 fueron como se muestra a continuación:
AÑO
2001
EGRES.(miles)
8.81
TITULADOS(miles) 3.78
2002
9.24
3.99
2003
9.77
4.2
2004
10.25
4.41
2005
10.74
4.62
2006
11.3
4.57
2007
11.78
5.01
Mediante el método de mínimos cuadrados obtener:
A) ¿Cuál es la estimación de la recta de regresión del numero de ingenieros titulados dado el numero de
egresados?
B) Si en un año egresan 20,000 estudiantes ¿Cuántos de ellos pueden esperarse que obtengan el titulo?
R=
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LABORATORIO DE CIENCIAS EXPERIMENTALES
Practica Nº
Nombre de la práctica: Medidas de tendencia central y de Dispersión.
Introducción:
¿Cómo se pueden realizar las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión a partir de datos
numéricos?
Se empieza por conocer si se debe de realizar de la forma agrupada o no agrupada esto para facilitar más la
forma de poder sacar tanto las medidas de tendencia central así como las medidas de dispersión.
OBJETIVOS:
El estudiante establecerá un modelo matemático ya sea del modo agrupado o no agrupado esto para un
desempeño positivo en la resolución del problema.
Hipótesis________________________________________________________________________________________
52
Actividades:
Dar respuesta al siguiente problema obteniendo sus medidas de tendencia central así como las de dispersión
de una forma agrupada y no agrupada.
−El siguiente conjunto de datos corresponde a las faltas de 40 alumnos del tercer grado de secundaria durante
todo el ciclo escolar pasado.
1,8,7,15,20,2,7,9,12,18,2,3,21,17,15,14,13,12,12,18,19,16,16,16,17,0,8,9,11,12,11,12,21,22,6,6,10,3,14,0
DATOS NO AGRUPADOS:
0
0
1
2
2
3
3
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
11
12
12
12
12
12
13
14
14
15
15
16
16
16
17
17
18
18
19
20
21
21
22
−rango= dato mayor−dato menor= 22−0=22
− Numero de clase= se ajusta a la clase 6
NOTA mínimo debe de haber 5 clases.
−Amplitud de clase= se ajusta a 4 la amplitud de clase.
−Moda=12 es el dato que mas se repite.
−Media=
−Mediana: 16
−Varianza:
53
−Desviación estándar=
−Coeficiente de variación=
MEDIDAS DE ASIMETRIA=
−Coeficiente de asimetría:
Coeficiente de asimetría:
−Curtosis=
Es menor que cero entonces es lepticurtica
DATOS AGRUPADOS:
−Rango= 22−0=22
−Amplitud de la clase=
clase
limites clase conteo
frecuencia
tr
1
2
3
4
5
6
total=
0−4
7
4
7
10
8
4
40
2
6
10
14
18
22
FREC.
Relativa fr.
0.175
0.1
0.175
0.25
0.2
0.1
1
frec.rela.acumulada
0.175
0.275
0.45
0.7
0.9
1
−Media=
Mediana=
−Moda=
Varianza=
−Desviación estándar=
−Coeficiente de asimetría:
MEDIDAS DE ASIMETRIA:
Coeficiente de asimetría=
54
Curtosis=
La curtosis es lepticurtica.
PROBLEMA:
Para investigar la distribución de los diámetros de ejes de acero producidos en un proceso de laminación, se
midieron los diámetros de 90 vigas, como se muestran a continuación.
2.51
2.527
2.529
2.52
2.535
2.533
2.525
2.531
2.518
2.517
2.536
2.523
2.514
2.523
2.51
2.515
2.545
2.527
2.522
2.506
2.523
2.512
2.526
2.542
2.52
2.524
2.511
2.522
2.541
2.523
2.534
2.525
2.524
2.519
2.522
2.519
2.511
2.515
2.528
2.53
2.522
2.521
2.527
2.519
2.527
2.519
2.521
2.543
2.532
2.502
2.522
2.522
2.519
2.529
2.532
2.536
2.538
2.526
2.53
2.535
2.542
2.529
2.528
2.543
2.529
2.518
2.523
2.522
2.54
2.54
2.522
2.519
55
2.51
2.512
2.519
2.526
2.532
2.53
2.526
2.52
2.531
2.525
2.524
2.534
2.52
2.514
2.528
2.528
2.513
2.521
EN FORMA DE DATOS AGRUPADOS SE OBTIENE:
−Rango: 2.545−2.502=0.043
−Amplitud de clase: A=
0.005+2.502= 2.507
CLASE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
LIMITES
2.502−2.507
2.507−2.512
2.512−2.517
2.517−2.522
2.522−2.527
2.527−2.532
2.532−2.537
2.537−2.542
2.542−2.547
CONTEO
fr
i.e.
2
lllll
5
lllllll
7
lllllllllllllllll
17
lllllllllllllllllllllll 23
lllllllllllllllll
17
llllllllll
10
llll
4
lllll
5
90
90
ir
2.504
2.509
2.514
2.519
2.524
2.529
2.534
2.539
2.544
fr.
0.0222
0.0555
0.0777
0.1888
0.2555
0.1888
0.111
0.0444
0.0555
FR
0.0222
0.0777
0.1554
0.3442
0.5997
0.7885
0.8995
0.9439
1
−Media Aritmetica:
−Mediana==
k=5
−Moda=
−Varianza=
=12.826−6.3705=6.456
−Desviación estándar= SX=
−Coeficiente de variación=
56
−Coeficiente de Asimetría:
−Curtosis=
AHORA CON DATOS NO AGRUPADOS:
−Media:
−Moda= 2.522
−Mediana=
−Amplitud o Rango= (DATOS MAYOR−DATOS MENOR)
= 2.545−2.502=0.043
−Varianza=
−Desviación estándar=
−Coeficiente de variabilidad=
−Coeficiente de asimetría=
1.16
4.41
13.26
−Curtosis=
FORMULARIO:
DATOS AGRUPADOS:
−RANGO= DATO MAXIMO−DATO MINIMO
−Amplitud de clase: A=
Media Aritmetica:
−Mediana==
h= valor de cada clase
−Moda=
j=al subíndice que corresponde a la clase modal
57
Al límite interior del intervalo j
−Varianza=
−Desviación estándar= SX=
−Coeficiente de variación=
−Coeficiente de Asimetría:
−Curtosis=
AHORA CON DATOS NO AGRUPADOS:
−Media:
Moda: el numero que se repite mas veces.
Mediana=
−Amplitud o Rango= (DATOS MAYOR−DATOS MENOR)
−Varianza=
−Desviación estándar=
−Coeficiente de variabilidad=
−Coeficiente de asimetría=
−Curtosis=
k= al subíndice que corresponde al intervalo de clase que contiene a la mediana
= a la frecuencia relativa acumulada hasta el intervalo k−1
F´K= a la frecuencia relativa del intervalo k
h= al tamaño del intervalo de clase.
Li= al limite inferior del intervalo k
58