EXAMEN TIPO SEGUNDO PARCIAL MICROECONOMÍA I SEMESTRE 2012-1 Teóricas 1. Demuestre las condiciones para las que en el modelo de equilibrio general en las que hay i consumidores y k productores, las soluciones que se presentan son simultáneas y únicas. 2. Si al menos un consumidor no presentará una relación de preferencias estrictamente convexas en un conjunto de i consumidores, ¿cuáles son las implicaciones para que este sistema alcance el equilibrio? ¿explique si este contexto se tratará de la eficiencia debil? 3. Demuestre para un caso bidimensional en una economía sin producción, que la existencia del equilibrio y por tanto de los excesos de demanda (Z) sean nulos se debe a que existe un simplex unitario definido como Sk-1 en el que PZ(P) ≡ 0 si y solo si X1~ X2, siendo Xi la cesta de consumo. 4. Represente gráficamente y explique el resultado sub-óptimo a la unicidad del equilibrio consistente en la existencia de múltiples equilibrios cuando ese conjunto es: a) Finito b) Infinito 5. “El subastador, que no siempre es equivalente al planificador central, anuncia un vector de precios de equilibrio en cada ronda. Si este proceso es convergente, el subastador llega a anunciar un vector de precios de equilibrio. Tal convergencia supone que el subastador “aprende” el proceso que es, entonces, iterativo y convergente. Ello no está garantizado siempre.”: a) Deduzca las condiciones bajo las que está garantizada la convergencia del equilibrio walrasiano y demuestre su respuesta. b) Describa y explique las consecuencias de que no se cumplan las condiciones de convergencia 6. Para una caja de Edgeworth muestre que si se relaja el supuesto de convexidad estricta de las curvas de indiferencia para ambos consumidores, la curva de contrato se convierte en un área. 7. Explique el conjunto de supuestos que permiten demostrar el llamado “teorema de la existencia.” 8. Demuestre porque en un orden de preferencias sociales R, el conjunto de alternativas de la economía, no es una función de bienestar social en el sentido de Arrow. 9. Explique por qué un monopolista con costo marginal cero y con una demanda de mercado lineal, debe producir en donde la elasticidad es -1. ¿Cuál es el valor del índice de Lerner en ese punto? 10. Demuestre que con solamente dos firmas: a) Puede obtenerse el equilibrio competitivo en el duopolio de Bertrand b) No puede obtenerse el equilibrio competitivo en el duopolio de Cournot c) Explique los motivos de que ocurra los descrito en los incisos anteriores 11. Demuestre que desde el modelo de Cournot si la proporción de la industria tiende a 1, el equilibrio de la empresa es el equilibrio de monopolio y que si tiende a cero es equilibrio competitivo. 12. Explique porque en que punto el equilibrio del modelo de Cournot puede ser un equilibrio de Nash. Ejercicios 1. Supongamos que el individuo A tiene la siguiente función de utilidad: U A ( x A , y A ) x y . Encuentre gráficamente la curva de contrato, así como los precios relativos que permiten alcanzar el equilibrio walrasiano cuando el B B B consumidor B tiene las siguientes preferencias: U ( x , y ) ax by 2. Supongamos que el individuo A tiene una función de utilidad descrita en la 1.1 y el consumidor B tienen la función descrita en 1.2. Encuentre analítica y gráficamente la curva de contrato. Determine los precios relativos que permiten alcanzar el equilibrio walrasiano. A A 1.1 U A (X A ,Y A ) min X a Y b B B B B B 1.2 U (X ,Y ) (X Y ) 1 2 3. Suponga una economía de intercambio puro con la particularidad de que existe el mismo número de bienes que de individuos, I = L; y donde además todos tienen la misma función de utilidad cuasi-lineal definida por: Ui = x1 + log(x2,x3, … ,xL) Por simplicidad, considerar que la dotación inicial de cada individuos es wi = (0, . . . , s, . . . ,0) para s > 0. Lo que significa que el consumidor 1 dispone de toda la dotación social, el número s, del bien 1, y nada más. El consumidor 2 dispone del monto social s del bien 2, y nada más; y así sucesivamente. a) Encontrar las L – funciones de demanda excedente y verificar que son homogéneas de grado cero y cumplen la Ley de Walras. b) Encontrar el vector de precios de equilibrio walrasiano. c) Calcular las asignaciones de equilibrio general ¿Qué puedes concluir acerca de los bienes x2, . . . , xL? 4. Suponga una economía de intercambio puro con L-bienes y donde las funciones de utilidad de todos los I-consumidores son estrictamente cóncavas, estrictamente crecientes y diferenciables. Además, la dotación agregada w > 0. a) Demostrar que si (x*, p*) >> 0 es una asignación de equilibrio walrasiano, entonces para una elección de pesos de a1, ...,aI > 0, (x*, p*) maximiza la función de bienestar social utilitarista. W iU i (x i ) iI Sujeto a la restricción de recursos: x iI i l i l l L iI b) Utilizar el resultado anterior, haga una prueba alternativa del primer teorema del bienestar. 5. Existen dos insumos, trabajo (L) y capital (K), y dos bienes, el bien x y el bien y. La función de producción del bien x es: 1/4 3/4 X L x K x y la función de producción del bien y, 1/4 Y L1/4 y Ky La dotación disponible de trabajo es 100 y la dotación de capital es de 25. Además, en esta economía solo existen dos consumidores, A y B, cuyas preferencias por los bienes X e Y se representan por las siguientes funciones de utilidad: U A (X,Y ) log X A logY A U B (X,Y ) X B Y B a) Determinar el conjunto de asignaciones eficientes de la producción y la frontera de posibilidades de producción. b) Calcular el nivel óptimo de producción y encontrar las asignaciones de consumo que son eficientes en el sentido de Pareto. 6. Sean cinco estados sociales, {v,w,x,y,z} y tres individuos, {1,2,3} con las siguientes preferencias: 1. X~YZWV 2. YZVWX 3. Z~YWVX ¿Cuáles estados sociales son óptimo de Pareto?, indique por qué las alternativa no son óptimas de Pareto. 7. Considere una economía con dos agentes cuya función de utilidad social es: 1 2 1 2 W (U ,U ) (U ) (U ) y cuyas funciones de utilidad estan definidas como: U i 1 2 logX i 1 2 logYi i 1,2. La frontera de posibilidades para esta economía se determina como: 4X 3Y 72. a) Encuentre los niveles de producción agregado que maximizan el bienestar social. b) Encuentre la distribución de producción entre consumidores, (X1,Y1,X2,Y2) que maximizan el bienestar social. (Nota: terminarás con una ecuación que solo puede ser resuelta numéricamente, no la resuelvas, solo proporciónala). 8. En una industria existen tres empresas idénticas, con demanda p = 10 – 1/Y, en donde Y = y1 + y2 + y3. El costo marginal es 5. (a) Calcule el equilibrio de Cournot para precios y cantidades. (b) ¿Existe un equilibrio de Cournot simétrico? Esto es, en donde alguna de las empresas produce un monto diferente que las otras. 9. Considere un duopolio de Cournot en el cual las firmas tienen un costo igual a 10 por unidad producida y función inversa de demanda dada por p(q) = 20-0.5q. Obtenga: a) La cantidad y precio de monopolio b) La cantidad y precio competitivos socialmente óptimos c) La función de mejor respuesta de la firma j . d) Grafique y explique detalladamente el significado de la función de mejor respuesta, incluyendo en ella curvas de isoganancia bien comportadas convenientemente situadas. e) Calcule, represente gráficamente y explique el punto de equilibrio de Nash, si es que existe para el problema planteado. 10. En los siguientes juegos encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras. Jugador 1 Jugador 1 arriba abajo izquierda (1,0) (0,3) Jugador 2 centro (1,2) (0,1) derecha (0,1) (2,0) arriba centro abajo izquierda (0,4) (4,0) (3,5) Jugador 2 centro (4,0) (0,4) (3,5) derecha (5,3) (5,3) (6,6) 11. Considerando el juego “dilema del prisionero”: a) Represente sus formas extensiva y normal b) Determine las estrategias dominantes y dominadas, estricta y débilmente, en caso de existir c) De ser necesario, efectúe el proceso de eliminación iterada que corresponda y obtenga una solución única para el juego y explique las implicaciones de esa solución. d) Determine si la solución única del inciso anterior es un equilibrio de Nash y explique por qué.