Apuntes

Tema 5. Respuesta temporal de sistemas CLI
1.
Introducción
1.
2.
3.
Conceptos básicos
Señales de ensayo
Cálculo de la respuesta temporal a partir de la f.d.t
2.
Sistemas de 1er orden
1.
2.
3.
Sistemas de 2do orden
1.
2.
3.
4.
4.
Respuesta temporal. Tipos de respuestas en función del amortiguamiento
Parámetros característicos de un sistema de subamortiguado: ganancia, frecuencia de
oscilación, tiempo de subida, tiempo de pico, sobrepico, tiempo de asentamiento
Identificación
Relación tipo de respuesta y posición de los polos de la f.d.t
Sistemas de orden superior
1.
2.
3.
5.
Respuesta temporal
Parámetros característicos: ganancia, constante de tiempo, tiempo de asentamiento
Polos en el origen
Efecto de los ceros de la f.d.t
Simplificación de la f.d.t
Análisis de la respuesta temporal
1.
2.
Estabilidad: criterio de Routh-Hurwitz
Errores estacionarios
Introducción: conceptos básicos
1) Respuesta temporal depende de:
–Sistema (función de transferencia).
–Estímulos aplicados (señales de entrada).
–Estado inicial (condiciones iniciales)
2) Respuesta temporal tiene dos partes bien diferenciadas:
y(t)=yt(t)+yss(t)
–La respuesta transitoria (yt(t)), es aquella parte de la respuesta del sistema
que se anula al transcurrir el tiempo desde el instante de aplicación de la
entrada. Así, limt→∞ yt(t)=0.
–La respuesta estacionaria o de régimen permanente (yss(t)), es aquella parte
de la respuesta del sistema que no se anula al transcurrir el tiempo desde el
instante de aplicación de la entrada. Así, yss(t)=limt→∞ y(t)=0.
3) El análisis de la respuesta temporal permite estudiar:
–La estabilidad del sistema. ¿Entrada acotada implica salida acotada?
–Error en régimen estacionario (para los sistemas de control indica la
diferencia entre la salida del sistema y la salida deseada en régimen
estacionario)
1
Introducción: señales de ensayo
1) La señales de ensayo son funciones sencillas en el tiempo que
permiten estudiar el comportamiento dinámico del sistema.
2) Tipos:
–Periódicas:
•Señales sinusoidales, útiles para el estudio de la respuesta en frecuencia.
–No periódicas:
•Función impulso δ(t). 1 si t=0 y 0 si t≠0. Util para estudiar entradas de choque.
•Función salto o escalón 1(t). 0 si t<0 y 1 si t≥0. Util para estudiar cambio súbitos.
•Función rampa. 0 si t<0 y t si t≥0. Util para estudiar cambios suaves.
•Función parábola. 0 si t<0 y t2 si t≥0. Util para estudiar cambios suaves.
3) Transformada de Laplace de las señales de ensayo:
–Función impulso δ(t). F(s)=1.
–Función salto o escalón 1(t). F(s)=1/s
–Función rampa. F(s)=1/s2
–Función parábola. F(s)=2/s3
Introducción: cálculo de la respuesta temporal
a partir de la f.d.t
• Conocida la respuesta del sistema en el dominio de Laplace ,y(s),
se aplica la transforma inversa de Laplace y se calcula y(t).
• Podemos calcular y(s) usando:
– y(s)=N(s)/D(s)·u(s)-Po(s)/D(s)
– Donde G(s)=N(s)/D(s) es la f.d.t del sistema.
– Si las condiciones iniciales son nulas Po(s)=0 ⇒y(s)=G(s)·u(s)
• Así,
–Si conocemos:
• La función de transferencia G(s).
• La transformada de Laplace de la señal de entrada u(s)
– Si las condiciones iniciales son nulas.
– Entonces, aplicando la transformada inversa de Laplace tendremos que:
• y(t)=L-1(y(s))=L-1(G(s)·u(s))
2
•Para calcular y(t):
– Recurriremos a tablas de transformadas inversas
– y(s) puede ser complicada y no tener transformada inversa tabulada.
– Entonces se reduce y(s)=G(s)·u(s)=N(s)/D(s)·u(s) a una suma de fracciones
simples y1(s)+y2(s)+…yn(s), cuyas transformadas inversas están tabulada.
– Entonces y(t)=L-1(y1(s))+L-1(y2(s))+…+L-1(yn(s))
•Sobre la función de transferencia G(s)=N(s)/D(s) se definen:
– Los ceros de N(s), valores de s tales que N(s)=0, se denominan ceros del
sistema.
– Los ceros de D(s), valores de s tales que D(s)=0, se denominan polos del
sistema.
– También a D(s)=0 se la denomina ecuación característica del sistema.
– Los polos y los ceros van a caracterizar la respuesta temporal del sistema.
– Los polos y los ceros son números complejos y se representan gráficamente
en el plano complejo.
2. Sistemas de 1er orden
• Son aquellos cuyo modelo matemático en forma
de ODE es una ecuación diferencial de 1er orden
de la forma: dy(t)
τ
dt
+ y( t ) = Ku( t )
• Aplicando la transformada de Laplace (con c.i
nulas) tienen la siguiente f.d.t:
U(s)
K
τs + 1
Y(s)
• Presentan un polo en s=-1/τ y no tienen ceros.
• Ganancia estacionaria K=G(s=0)=y(t=∞)/u(t=∞)
6
3
Ejemplo de sistemas de primer orden
Fi
τ
h
d ∆ h (t )
+ ∆h (t ) = K ·∆F (t )
dt
F
A·∆h′(t ) +
h0
g
2· A
τ=
k g
∆h(t ) = ∆Fi (t )
2 h0
h0
g
2
K=
k
k
h0
g
k
h0
2·A
g
s +1
k
2
Función de transferencia: ∆F(s)
Polo:
s=−
1
τ
=−
2· A
k
h0
∆h(s)
g
7
Respuesta a una entrada salto en u(t)
desde el equilibrio
dy( t )
+ y( t ) = Ku( t )
dt
Y(s)
U(s)
K
τ
u=0
u(t)=u
τs + 1
t=0
β
α(s + 1 τ)
βs
K u
Kτ u α
=
= +
=
+
(τs + 1) s (s + 1 τ) s s s + 1 τ s(s + 1 τ) s(s + 1 τ)
α = Ku
para s = 0 ⇒ Ku τ = α τ;
β = − Ku
para s = − 1 τ ⇒ Ku τ = − β τ;
Y (s) =
1
1
);
Y (s) = Ku ( −
s s +1 τ
−
⎛ ⎡1⎤
⎡ 1 ⎤⎞
y( t ) = L−1 [Y (s)] = Ku⎜⎜ L−1 ⎢ ⎥ − L−1 ⎢
⎥ ⎟⎟
⎣s + 1 τ ⎦ ⎠
⎝ ⎣s ⎦
t
y( t ) = Ku (1 − e τ )
Comprobación:
t
⎡
−
⎢ e τ
τ ⎢ Ku
τ
⎢
⎢⎣
⎤
t
−
⎥
⎥ + Ku (1 − e τ ) = Ku
⎥
8
⎥⎦
4
τ
dy( t )
+ y( t ) = Ku( t )
dt
U(s)
Y(s)
K
τs + 1
1
s
u (t ) = 1(t ) ⇒ u ( s ) =
−t
K 1
y(s) =
· ⇒ y (t ) = Ku (1 − e τ )
1 + τ ·s s
y(t)
τ > 0 constante de tiempo
Ku
Respuesta estable, sin retardo ni
cambio de concavidad y
sobreamortiguada
Ganancia ⇒ y(t=∞)/u(t=∞) = Ku/u=K
t
u
Plano s
τ s+1=0
x
polo en la parte real
izquierda del plano s
polo = -1/τ
9
Estabilidad. Interpretación en s (τ<0)
−t
τ
y( t ) = Ku (1 − e )
U(s)
K
τs + 1
Y(s)
τ s+1=0
Si el polo = -1/τ fuese positivo
y(t)
t
Plano s
x
polo en la parte real
derecha del plano s
Si τ < 0
Respuesta inestable
10
5
Otros tipos de entradas
U(s)
Ejemplo: Impulso
U(s)=u
de magnitud u
Y(s)
K
τs + 1
Im puls e Response
K
Kτ
Y (s) =
u=
u
(τs + 1) (s + 1 τ )
From: U(1)
4
3.5
3
To: Y (1)
2.5
Am plitude
Ku −1 ⎡ 1 ⎤
y (t ) = L−1[Y ( s )] =
L ⎢
⎥
τ
⎣ s +1 τ ⎦
2
1.5
t
Ku − τ
y (t ) =
e
1
τ
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tim e (sec.)
La estabilidad viene determinada por la posición
del polo, no por el tipo de entrada
11
Constante de tiempo
Constante de tiempo (τ) es el tiempo
que se tarda en alcanzar el 63.2% del
valor final ante una entrada tipo salto
U(s)
K
τs + 1
Y(s)
−t
y (t ) = Ku (1 − e τ )
y (τ ) = Ku (1 − e −1 ) = 0.632 Ku
Derivada en el origen
Ku
t
τ
y(t)
−t
d y( t ) Ku τ
=
(e )
dt
τ
d y( t )
Ku
=
dt t = 0
τ
0.632·Ku
Ku
t
t=τ
12
6
Constante de tiempo
El sistema es más rápido cuanto menor sea la constante de tiempo
o también cuanto el polo esté más cerca de - infinito.
Ku
y(t)
0.632·Ku
U(s)
K
τs + 1
τ1 < τ2
Y(s)
t
Plano s
−t
τ
y( t ) = Ku (1 − e )
x
-1/τ1
x
-1/τ2
13
Tiempo de asentamiento
Tiempo de asentamiento (t95) es el tiempo que tarda en alcanzar
el 95% del valor final ante una entrada tipo salto
−t
τ
y( t ) = Ku (1 − e )
y(t)
0.95Ku
y( t 95 ) = 0.95Ku = Ku (1 − e
−
t 95
τ
)
t 95 = 3τ
t95
t
14
7
Identificación
El modelo se obtiene a partir de
datos experimentales de
entrada-salida del proceso
U
U
Y
Y
Proceso
t
t
Modelo
15
Identificación
u(t)
∆u
t
Si la respuesta desde el
equilibrio a un salto ∆u en
u(t) es como la figura ⇒
sistema de primer orden
Estimación de parámetros:
y(t)
K = ∆y/ ∆u
τ dos métodos:
y(t)
0.63 ∆y
∆y
•Tiempo en que se alcanza
0.632 valor final
•Pendiente en el origen
K·u/τ
t=τ
t
16
8
3. Sistemas de 2do orden
• Son aquellos cuyo modelo matemático en forma de ODE
es una ecuación diferencial de 2do orden de la forma:
d 2 y( t )
dy( t )
+ 2δωn
+ ω2n y( t ) = Kω2n u( t )
2
dt
dt
• Aplicando la transformada
de Laplace (con c.i nulas)
tienen la siguiente f.d.t:
U(s)
Kω2n
s + 2δωn s + ω2n
Y(s)
2
• Parámetros:
K ganancia (G(s=0))
δ amortiguamiento
ωn frecuencia propia no amortiguada
17
Sistemas de segundo orden. Polos
U(s)
s 2 + 2 δω
s =
si
n
− 2 δω
ω
s+ω
n
±
2
n
= 0
4δ 2ω
2
n
− 4ω
2
n
Y(s)
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
2
n
= − δω
n
±ω
n
δ
2
−1
> 0
si
δ ≥1
2 raices
reales
si
δ <1
2 raices
complejas
− δω
n
± jω
n
negativas
1−δ
conjugadas
2
18
9
Respuesta a un salto en u, δ >1
U(s)
u=0
t=0
Y(s)
Kab
(s + a)(s + b)
u(t)=u
a = δωn − ωn δ2 −1
b = δωn + ωn δ2 −1
β
γ
Kab
u α
= +
+
=
(s + a )(s + b ) s s s + a s + b
α ( s + a)( s + b)
βs ( s + b)
γs ( s + a )
=
+
+
s ( s + a )( s + b) s ( s + a )( s + b) s ( s + a )( s + b)
para s = 0
⇒ Kabu = αab
α = Ku
Y (s) =
para s = −a
⇒ Kabu = β (−a )(− a + b)
para s = -b
⇒ Kabu = γ (-b)(-b + a)
β = Kub /(a − b) = Ku
γ = − Kua/(a - b) = Ku
− δ − δ 2 −1
2 δ 2 −1
δ − δ 2 −1
2 δ 2 −1
19
Respuesta a un salto en u, δ >1
2 constantes de tiempo 1/a, 1/b
α
β
γ
+
Y (s) = ( +
);
s s+a s+b
⎡ γ ⎤
⎡ β ⎤
⎡α ⎤
y( t ) = L−1 [Y (s)] = L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢
+ L−1 ⎢
⎥
⎣ s + b ⎥⎦
⎣s + a ⎦
⎣s⎦
− δ − δ 2 − 1 − at − δ + δ 2 − 1 − bt
e −
e )
2 δ2 −1
2 δ2 −1
función monótona creciente
y( t ) = α + βe − at + γe − bt = Ku (1 +
y ( 0) = 0
y(∞) = Ku
Respuesta estable, sin retardo
con cambio de concavidad y
sobreamortiguada
y(t)
Ku
t
Ganancia = K = Ku/u
u
20
10
Interpretación en s
U(s)
Kab
(s + a)(s + b)
El polo más a la derecha
(lento) domina en la
desaparición del transitorio
Y(s)
RESPUESTA
SOBREAMORTIGUADA
y( t ) = α + β e − at + γe − bt
y(t)
Plano s
-b -a
x x
Ku
t
polos en la parte real
izquierda del plano s
u
21
u(t)
∆u
Identificación
t
y(t)
Si la respuesta desde el
equilibrio a un salto ∆u
en u(t) es como la figura
⇒ sistema de segundo
orden con raíces reales
Estimación de parámetros:
K = ∆y/ ∆u
constantes de tiempo (1/a
y 1/b) son difíciles de
estimar
t
y(t)
∆y
t 22
11
Aproximación
y(t)
Kab
(s + a)(s + b)
t
d
Ke − ds
τs + 1
La respuesta del sistema de
segundo orden puede
aproximarse por la de uno de
primer orden más un retardo
23
Identificación con un salto en u
tg de máxima pendiente
y
valor estacionario
∆y
t
d
u
Κ= ∆y/∆u
τ
∆u
t
Ke − ds
τs + 1
24
12
Identificación con un salto en u
y
0.632∆y
0.283∆y
Ke − ds
τs + 1
∆y
t
t1 t2
u
τ = 1.5 (t2 - t1)
d = t2 - τ
∆u
t
Κ= ∆y/∆u
25
Respuesta a un salto en u, δ =1
U(s)
Y ( s) =
=
Ka2
(s + a) 2
Ka 2
(s + a )
2
± ωn
δ
2
−1
s = −ω n ⇒ a = ω n
2
+
βs ( s + a )
s( s + a)
2
+
para s = 0
⇒ Ka 2 u = αa 2
para s = − a
⇒ Ka 2 u = γ (−a )
para s = a
n
u α
β
γ
= +
+
=
s s s + a (s + a )2
α ( s + a) 2
s( s + a)
Y(s) polos s = − δω
γs
s( s + a) 2
α = Ku
γ = − K ·u·a = − K ·u·ω n
⇒ Ka 2 u = Ku 4a 2 + β 2a 2 − Kua 2
β = -Ku
26
13
Respuesta a un salto en u, δ =1
Y (s) = (
α
s
+
β
s+a
+
γ
( s + a) 2
U(s)
);
y (t ) = L−1 [Y ( s )] =
⎤
⎡α ⎤
⎡ β ⎤ −1 ⎡ γ
= L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢
⎥ + L ⎢ ( s + a) 2 ⎥
s
s
a
+
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎦
⎣
y (t ) = α + βe − at + γte − at =
y(t)
= Ku (1 − (1 + ω n ·t )·e −ω n ·t )
y (0) = 0
Y(s)
Ka2
(s + a) 2
RESPUESTA
CRITICAMENTE
AMORTIGUADA
Ku
y (∞) = Ku
Función monótona
creciente
u
27
Respuesta a un salto en u, δ <1
U(s)
Y(s) =
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
polos s = − δω
n
± j ·ω
n
1−δ
2
Kω2n
u
s + 2δωn s + ω2n s
2
1
⎡
⎤
y( t ) = L-1 [Y(s)] = Ku ⎢1 −
e − δωn t sen (ωn 1 − δ 2 t + φ) ⎥
2
1− δ
⎣
⎦
φ = arctg
1 − δ2
δ
Si δωn>0
Respuesta estable,
sin retardo y
subamortiguada
y(t)
t 28
14
Ganancia y frecuencia de oscilación
U(s)
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
1− δ2
1
⎤
⎡
e − δωn t sen (ωn 1 − δ 2 t + φ) ⎥
φ = arctg
y( t ) = Ku ⎢1 −
2
δ
1− δ
⎦
⎣
y(0) = 0;
y(∞) = Ku;
Ganancia : Ku/u = K
Frecuencia de oscilación :
y(t)
Ku
ωd = ω n 1 − δ 2
t
Parámetros característicos: tiempo de subida, tiempo de pico, sobrepico,
tiempo de asentamiento
29
Tiempo de subida
tr = Tiempo que transcurre para que
el sistema pase del 10% al 90%
(sobreamortiguados), 5% al 95% o
0% al 100% (subamortiguados)
y(t)
Ku
t
tr
⎤
⎡
1
1− δ 2
φ = arctg
y (t ) = Ku ⎢1 −
e −δωnt sen(ωn 1 − δ 2 t + φ )⎥;
δ
1− δ 2
⎦
⎣
1
y (t r ) = Ku ⇒
e −δωntr sen(ωn 1 − δ 2 t r + φ ) = 0 ⇒
2
1− δ
⇒ sen(ωn 1 − δ 2 t r + φ ) = 0 ⇒ ωn 1 − δ 2 t r + φ = K ·π , con K = 0,±1,±2,...
cos φ = δ y φ>0, la primera vez que se alcanza el 100% es
Como
para K=1: ωn 1 − δ 2 tr + φ = π
tr =
π − arccos δ
ωn 1 − δ 2
30
15
Tiempo de pico
y(t)
tp = Tiempo que
transcurre hasta el
primer máximo
Ku
tp
⎡
⎤
1
1− δ 2
y (t ) = Ku ⎢1 −
e −δω nt sen(ω n 1 − δ 2 t + φ )⎥;
φ = arctg
δ
⎢⎣
⎥⎦
1− δ 2
d y (t )
− Ku
− δωn e −δω t sen(ωn 1 − δ 2 t + φ ) + e −δω t cos(ωn 1 − δ 2 t + φ )ωn 1 − δ 2
=
dt
1− δ 2
[
n
n
t
]
d y (t )
=0
d t t =t
p
δωn e
−δωn t p
sen(ωn 1 − δ 2 t p + φ ) = e
1− δ 2
tg (ωn 1 − δ 2 t p + φ ) =
δ
−δωn t p
cos(ωn 1 − δ 2 t p + φ )ωn 1 − δ 2
= tg (φ )
tp =
ωn 1 − δ 2 t p = ± nπ
π
π
=
ω n 1 − δ 2 ωd
31
Sobrepico
Exceso de alcance,
sobrepico o
sobreelongación
M p ( %) =
y (t ) max − y ss
y ss
y(t)
Ku
tp
t
100
⎡
⎤
1
y (t ) = Ku ⎢1 −
e −δωnt sen(ωn 1 − δ 2 t + φ )⎥
2
1
−
δ
⎣
⎦
y (t p ) − Ku
π
Mp =
100 en %
tp =
Ku
ωn 1 − δ 2
Mp =−
=
100
1−δ 2
100
1−δ 2
e
e
−
−δωn
π
ω n 1−δ 2
sen(π + φ ) =
100
1−δ 2
φ = arctg
e
−
1− δ 2
δ
πδ
1−δ 2
sen(φ ) =
πδ
1−δ 2
1−δ 2
M p = 100e
−
πδ
1−δ 2
en %
32
16
Tiempo de asentamiento
Tiempo de asentamiento o de
establecimiento. Tiempo a partir del y(t)
cual la señal de salida está
comprendida en una banda del ± 5%
(criterio 1) o del ± 2% (criterio 2)
⎡
⎤
1
y (t ) = Ku ⎢1 −
e −δωnt sen(ωn 1 − δ 2 t + φ )⎥
2
1− δ
⎣
⎦
± 5%
Ku
tss
t
1− δ 2
φ = arctg
δ
⎡
⎤
1
0.95Ku = Ku ⎢1 −
e −δωnt ss sen(ω n 1 − δ 2 t ss + φ )⎥ ó
1− δ 2
⎣
⎦
Aproximadamente:
⎡
⎤
1
1.05Ku = Ku ⎢1 −
e −δωnt ss sen(ωn 1 − δ 2 t ss + φ )⎥
2
1− δ
⎣
⎦
máximo t ss tal que
1
1− δ
2
Ecuación
implícita
e −δωnt ss sen(ωn 1 − δ 2 t ss + φ ) = 0.05
Para el criterio 2:
tss =
tss =
3
δωn
4
δωn
33
Interpretación en s
U(s)
Y(s)
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
ωn 1 − δ 2
− δωn
ωn 1 − δ 2
polos complejos conjugados
con la parte real en el
semiplano izquierdo
t
1
⎡
⎤
y( t ) = Ku ⎢1 −
e − δωn t sen (ωn 1 − δ 2 t + φ) ⎥
2
1− δ
⎣
⎦
si δωn < 0 sistema inestable
x
Plano s
− δωn ± jωn 1 − δ 2
y(t)
Plano s
x
Polos:
x
y(t)
− δωn
t
x
34
17
u(t)
∆u
Identificación
t
Si la respuesta desde el
equilibrio a un salto ∆u
en u(t) es como la figura
⇒ sistema de segundo
orden con raíces
complejas conjugadas
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
y(t)
∆y
t
tp
Estimación de
parámetros:
M p = 100e
tp =
K = ∆y/ ∆u
−
πδ
1− δ 2
en %
π
π
=
ω n 1 − δ 2 ωd
35
Respuesta a un salto en u, δ =0
U(s)
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
Kω2n
s + ω2n
Y(s)
2
u(t)=u
u=0
U(s)
Y(s) =
Kω2n u
s 2 + ω2n s
π ⎤
⎡
y( t ) = L-1 [Y(s)] = Ku ⎢1 − sen (ωn t + )⎥
2 ⎦
⎣
t=0
Como δ = 0 la respuesta no
se amortigua nunca.
+ jω n
y(t)
OSCILANTE ó
CRITICAMENTE
ESTABLE.
Respuesta en el límite de la
estabilidad
Ku
x
Plano s
t − jωn x
Polos sobre el eje imaginario:
36
límite de estabilidad
18
Plano s
OSCILANTE (δ=0)
SUBAMORTIGUADO
+ jω n
x
(0<δ<1)
x
− δω n + jω n 1 − δ 2
⎛ − δ − δ 2 − 1 ⎞ω
⎜
⎟ n
⎝
⎠
x
−ω n
INESTABILIDAD
x
− δω n − jω n 1 − δ 2
x
⎛ − δ + δ 2 − 1 ⎞ω
⎜
⎟ n
⎝
⎠
x
CRITICAMENTE
AMORTIGUADO (δ=1)
x
− jωn
37
SOBREAMORTIGUADO (δ>1)
INESTABLE (δ<0)
OSCILANTE (δ=0)
SUBAMORTIGUADA (0<δ<1)
CRITICAMENTE AMORTIGUADA (δ=1)
SOBREAMORITGUADA (δ>1)
y(t)
Ku
t
38
19
4. Sistemas de orden superior
U(s)
Y(s)
G(s)
La transformada de Laplace de la respuesta en el tiempo ante
una entrada escalón de un sistema de orden superior (sin ceros)
podemos descomponerla en la suma de fracciones simples:
Y ( s) = (
α
s
+
β
s+a
+
γ
s+b
+
υ
( s + b) 2
y (t ) = L−1 [Y ( s )] =
+ ... +
σ
s 2 + 2δωn s + ωn2
+ ....);
⎤
σ
⎡α ⎤
⎡ β ⎤ −1 ⎡ γ ⎤ −1 ⎡ υ ⎤
−1 ⎡
= L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢
⎥ + L ⎢ s + b ⎥ + L ⎢ ( s + b) 2 ⎥ + ... + L ⎢ s 2 + 2δω s + ω 2 ⎥ + ...
⎣s⎦
⎣s + a⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
n
n ⎦
⎣
y (t ) = α + βe −at + γe −bt + υte −bt + ... + e −δωnt sen(ωn 1 − δ 2 + φ ) + ...
La estabilidad y tipos de respuesta la determinan los polos.
Los ceros modifican la forma de la respuesta pero no la estabilidad
39
Polos en el origen: Integradores
u(t)=u
Respuesta a un salto
u en la entrada u=0
U(s)
t=0
Ka
s(s + a)
Y(s)
Ejemplo función de transferencia que relaciona el
ángulo girado en el eje de un motor DC y el voltaje
aplicado en los terminales de armadura
Ka u α β
γ
αs ( s + a ) β ( s + a )
γs 2
= + 2+
= 2
+ 2
+ 2
(s + a )s s s s s + a s ( s + a) s ( s + a) s ( s + a)
para s = 0
⇒ Kau = βa
β = Ku
Y (s) =
para s = −a
⇒ Kau = γa 2
γ = Ku/a
para s = a
⇒ Kau = α 2a + β 2a + γa 2
2
Ku = α 2a + 2 Ku + Ku ⇒ α = -Ku/a
Y ( s) =
Ka
(s + a )s
u α β
γ
= +
+
s s s2 s + a
⎡α ⎤
⎡β ⎤
⎡ γ ⎤
y (t ) = L−1[Y ( s )] = L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢ 2 ⎥ + L−1 ⎢
⎥
⎣s⎦
⎣s ⎦
⎣s + a⎦
1
⎡1
⎤
y (t ) = α + βt + γe − at = Ku ⎢ + t + e − at ⎥
a
⎣a
⎦
40
20
Polos en el origen: Integradores
Respuesta a un
impulso u en la
entrada
u(t)=u
u=0
U(s)
Ka
s(s + a)
Y(s)
t=0
Ejemplo función de transferencia que relaciona el
ángulo girado en el eje de un motor DC y el voltaje
aplicado en los terminales de armadura
para s = 0
β
α (s + a)
βs
+
=
+
s s + a s(s + a) s(s + a)
⇒ Kau = αa
α = Ku
para s = −a
⇒ Kau = − βa
Y ( s) =
Ka
(s + a )s
u=
α
β = − Ku
Ka
ku
ku
α
β
=
−
Y (s) =
u= +
(s + a )s s s + a s s + a
⎡ Ku ⎤
⎡ Ku ⎤
y (t ) = L−1[Y ( s)] = L−1 ⎢ ⎥ − L−1 ⎢
⎣ s ⎦
⎣ s + a ⎥⎦
− at
− at
y (t ) = ku − kue = Ku 1 − e
[
]
41
Efecto de ceros sobre la respuesta
1
1
G(s)( s + 1) = G(s) + sG(s)
c
c
La respuesta a la misma entrada del sistema con un cero
en s = -c, se obtiene sumando a la respuesta del sistema
sin cero su derivada multiplicada por un factor 1/c
42
21
Efecto de ceros sobre la respuesta
Con c > 0, se adelanta la
respuesta.
u
No produce oscilaciones si la
respuesta sin cero no la tiene,
pero puede producir sobrepico
(overshoot).
y(t)
d y( t )
dt
Sistema de fase mínima.
+1/c
-c -b -a
x x
Plano s
cero en la parte real
izquierda del plano s
43
Efecto de ceros sobre la respuesta
u
Con c < 0, se produce una respuesta
inversa inicialmente.
Sistema de fase no mínima.
y(t)
La respuesta del sistema presenta un
subpico (undershoot)
Sistemas peligrosos y difíciles de
controlar
d y( t )
dt
+1/c
-b -a
x x
Plano s
-c
cero en la parte real
derecha del plano s
44
22
Aproximación del retardo
• Aproximación de Pade de primer orden
e − Td · s
Td
s
2
=
Td
1+
s
2
1−
• Aproximación de Pade de segundo orden
e
− Td · s
1
1
(Td ·s )2
Td · s +
2
12
=
1
1
1 + Td · s +
(Td ·s )2
2
12
1−
45
Simplificación de la f.d.t
• Calcular la respuesta en el tiempo de un sistema de
orden superior puede ser complicado.
• En ocasiones se pueden simplificar la función de
transferencia:
– Despreciando las dinámicas del sistema que no sean
dominantes (rápidas, ctes de tiempo menores, polos
más lejos del eje imaginario) frente a las dominantes
(lentas , ctes de tiempo mayores, polos más cerca del
eje imaginario).
– Cancelando un polo con un cero, cuando ambos estén
muy próximos.
46
23
• Ejemplo:
G (s) = K
( s + z1 )·( s + z 2 )·( s + z 2 )
( s + p1 )·( s + p2 )·( s + p3 )·( s + p 4 )·( s + p4 )
S
-z2
ox
-p4
-z1
ox
-p2
x
-p3
x
-p1
-p4
x
-z o
2
47
• Polo p2 muy próximo a z1:
G (s) = K
( s + z1 )·( s + z 2 )·( s + z 2 )
( s + p1 )·( s + p2 )·( s + p3 )·( s + p 4 )·( s + p4 )
G ( s) ≈ K
z1
( s + z 2 )·( s + z 2 )
p2 ( s + p1 )·( s + p3 )·( s + p4 )·( s + p 4 )
S
S
-z2
ox
-p4
x
-p3
-z1
ox
x
-p2 -p1
x-p4
-z2o
-z2
ox
-p4
x
-p3
x
-p1
x-p4
-z2o
48
24
• Polo p4 muy próximo a z2 (y sus conjugados)
G ( s) ≈ K
z1
( s + z 2 )·( s + z 2 )
p2 ( s + p1 )·( s + p3 )·( s + p4 )·( s + p 4 )
G ( s) ≈ K
z1 · z 2 · z 2
1
p2 · p4 · p4 ( s + p1 )·( s + p3 )
S
S
-z2
ox
-p4
x
-p3
x
-p3
x
-p1
x
-p1
x-p4
-z2o
49
• Polo p3 muy próximo a -∞ y p1 muy próximo
al eje imaginario. p1 es dominante frente a p3.
G ( s) ≈ K
z1 · z 2 · z 2
1
p2 · p4 · p4 ( s + p1 )·( s + p3 )
G ( s) ≈ K
z1 · z 2 ·z 2
1
p2 · p3 · p4 · p 4 ( s + p1 )
S
S
Para que no se
modifique la ganancia
-p3
x
x
-p1
x
-p1
50
25
5. Análisis de la respuesta temporal
• Estabilidad:
– Sea el sistema realimentado de la figura
p(s)
w(s)
R(s)
u(s)
G(s)
y(s)
+
-
+
e(s)
+
H(s)
G ( s) R( s)
H (s)
w( s ) +
p( s)
1 + G ( s) R( s)
1 + G ( s) R( s)
– Un sistema realimentado es estable cuando estando en reposo:
y ( s) =
• Cualquier perturbación es amortiguada con el tiempo
• Señales de entrada acotadas producen salidas acotadas
– Determinación de la estabilidad
• Polos del sistema (valores de s que satisfacen la ecuación característica
D(s)=1+G(s)·R(s)= 0), están todos situados en semiplano complejo con la parte
real negativa.
51
• Estabilidad:
– En ocasiones, establecer las raíces de D(s) resulta laborioso, en
especial si dicho polinomio depende de algún parámetro
desconocido y queremos determinar la estabilidad del sistema
en función del valor del mismo
– Ej:
e(s)
w(s)
+
-
K
u(s)
G(s)
y(s)
H(s)
y(s) =
K ·G ( s)
w( s)
1 + K ·H ( s )·G ( s)
– ¿Estabilidad en función de K?
– Uso del criterio de Routh-Hurwith
52
26
• Criterio de Routh-Hurwitz
– Sea la ecuación característica del sistema:
D( s ) = an ·s n + an −1 ·s n −1 + an − 2 ·s n − 2 + ... + a0 = 0
• Si D(s) tiene coeficientes de signos diferentes, o
coeficientes cero, entonces tiene al menos una raíz en el
semiplano derecho o en el eje imaginario.
• Si D(s) tiene todos sus coeficientes del mismo signo, no
podemos extraer conclusiones a priori sobre la ubicación de
sus raíces.
– Es necesario realizar otro tipo de pruebas antes de establecer la
estabilidad o no del sistema (tabla de Routh)
Criterio de Routh-Hurwitz
El número de raíces de D(s) en
el semiplano derecho es igual al
número de cambios de signo
que se suceden en la primera
columna de la tabla de Routh de
dicho polinomio.
53
• Método para construir la tabla de Routh
– Dado el polinomio denominador
D( s) = an ·s n + an −1 ·s n−1 + an − 2 ·s n − 2 + ... + a0 = 0
– Se construyen las dos primeras líneas según:
– Cada nueva línea se construye con
información de las dos líneas inmediatamente
anteriores.
– Para calcular el término j-ésimo de una línea
(cj) se efectúa la operación
– Ejemplo:
54
27
• Algunos aspectos de la construcción de la matriz de Routh:
– El número de filas del arreglo disminuye progresivamente: cada dos filas se
disminuye una columna.
– El término que está en la última columna justo antes de desaparecer ésta es
siempre el mismo,
• debido a que éste se calculará siempre como:
• Así en el sistema cuya denominador es:
– La tabla de Routh nos dice que tiene dos
raíces en el semiplano complejo positivo
– Se puede comprobar que las raíces de p(s)
son: 1.0 ± 2.0i; -1.0 ± 1.0i; -1
55
• Problemas en la construcción de la matriz de Routh:
– Ceros en la primera columna:
• Surge una dificultad cuando en la primera columna aparece un cero,
pues para calcular los términos de las columnas siguientes será
necesario dividir por cero.
– Ejemplo:
– Para calcular los términos de la siguiente columna sería necesario
dividir por cero.
• Una estrategia para obviar este problema consiste en reemplazar 0
por ε, completar el arreglo, y luego analizar el límite cuando ε
tiende a cero por la derecha.
– Ejemplo:
» Tendremos dos raíces en el semiplano complejo positivo, como
puede verse al calcular las raíces del polinomio: 0.4057 ± 1.2928i;
-0.9057 ± 0.9020i
56
28
• Problemas en la construcción de la matriz de Routh:
– Fila con todos los términos nulos:
• Una dificultad mayor surge cuando todos los términos de una fila se hacen
cero. Este hecho se conoce como la terminación prematura del arreglo, y está
relacionada con polinomios cuyas raíces están ubicadas en forma simétrica
respecto al origen, como por ejemplo cuando existen raíces en el eje
imaginario.
– Ejemplo:
• La estrategia a emplear en este caso consiste en escribir el polinomio q(s) que
se obtiene con los coeficientes de la fila inmediatamente superior a la que
quedó con ceros; el orden del primer monomio está dado por el término a la
izquierda de la línea vertical (4 en el ejemplo) y el de los demás monomios se
decrementa en dos:
– Ejemplo: q(s)=s4+5s2+4
• La matriz de Routh lo continuamos remplazando la fila de ceros por los
coeficientes de la derivada de q(s):
– Ejemplo: q’(s)=4s3+10s
57
Error estacionario
Uno de los objetivos de los esquemas de control como el que se muestra en la
figura suele ser el asegurar que la señal de error sea nula, al menos después de
que las respuestas transitorias hayan desaparecido. Por ese hecho, se estudia la
respuesta de estado estacionario de la señal de error, comúnmente
denominada el error de estado estacionario.
w(s)
e(s)
+
-
y(s)
G(s)
e( s ) =
1
w( s )
1 + G ( s)·H ( s)
H(s)
Se denomina error en estado estacionario a:
ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim s
t →∞
s →0
s →0
1
w( s )
1 + G ( s )·H ( s )
El error en estado estacionario se determina ante entradas de tipo salto (A/s),
rampa (A/s2) ó parábola (A/s3), hablándose de errores estáticos de posición
(essp), velocidad (essv) y aceleración (essa).
58
29
Error estático de posición,
velocidad y aceleración
e(s)
w(s)
+
-
y(s)
G(s)
A
s
1
w( s )
1 + G ( s)·H ( s)
ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim s
H(s)
w( s ) =
e( s ) =
t →∞
essp = lim s
s →0
s →0
s →0
1
A
A
=
1 + G ( s )·H ( s ) s 1 + K p
1
w( s )
1 + G ( s )·H ( s )
K p = lim G ( s )·H ( s )
s →0
Kp se denomina coeficiente de error de posición y depende de las características propias del sistema.
w( s ) =
A
s2
essv = lim s
s →0
1
A
A
=
1 + G ( s )·H ( s ) s 2 K v
K v = lim s·G ( s )·H ( s )
s →0
Kv se denomina coeficiente de error de velocidad y depende de las características propias del sistema.
w( s ) =
A
s3
essa = lim s
s →0
1
A
A
=
1 + G ( s )·H ( s ) s 3 K a
K a = lim s 2 ·G ( s )·H ( s )
s →0
Ka se denomina coeficiente de error de aceleración y depende de las características propias del sistema.
59
Tipo de sistema y errores estacionarios
w(s)
e(s)
+
-
y(s)
G(s)
e( s ) =
1
w( s )
1 + G ( s)·H ( s)
ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim s
H(s)
t →∞
s →0
s →0
1
w( s )
1 + G ( s )·H ( s )
•
Dado el sistema en lazo cerrado se define el tipo del sistema como el número de polos
en s=0 que tenga G(s)·H(s)
•
Si: G ( s )·H ( s ) =
– Tipo 0, G(s)H(s) no tiene polos en s=0, (i=0)
– Tipo 1, G(s)H(s) tiene un polo en s=0, (i=1)
– Tipo 2, G(s)H(s) tiene dos polos en s=0, (i=2)
•
K p = lim G ( s )·H ( s )
K ( s + z1 )( s + z 2 )···( s + z m )
s i ( s + p1 )( s + p2 )···( s + pn )
Si Tipo 0,
– Kp=valor finito,
essp=valor finito
– Kv=0, essv=∞
– Ka=0, essa=∞
•
Si Tipo 1,
– Kp=∞, essp=0
– Kv =valor finito,
essv=valor finito
– Ka=0, essa=∞
s →0
K v = lim s·G ( s )·H ( s )
s →0
K a = lim s 2 ·G ( s )·H ( s )
s →0
essp =
A
1+ K p
•
essv =
A
Kv
essa =
A
Ka
Si Tipo 2,
– Kp=∞, essp=0
– Kv =∞, essv=0
– Ka=valor finito,
essa=valor finito
60
30
Resumiendo …
e(s)
w(s)
+
-
y(s)
G(s)
1
w( s )
1 + G ( s)·H ( s)
ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim s
H(s)
G ( s )·H ( s ) =
e( s ) =
t →∞
K ( s + z1 )( s + z 2 )···( s + z m )
s i ( s + p1 )( s + p2 )···( s + pn )
s →0
s →0
1
w( s )
1 + G ( s )·H ( s )
Tipo del sistema como el número de
polos en s=0 que tenga G(s)·H(s)
K p = lim G ( s )·H ( s )
s →0
K v = lim s·G ( s )·H ( s )
s →0
K a = lim s 2 ·G ( s )·H ( s )
s →0
essp
A
=
1+ K p
essv =
A
Kv
essa =
A
Ka
61
31