Aplicaciones de la integral - Departamento de Matemáticas

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Análisis
Matemático
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Aplicaciones
de la integral
HEDIMA
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Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
auto-aprendizaje para Matemáticas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
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Matemático
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Aplicaciones
de la integral
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Introducción
Bloque: Análisis Matemático
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Tema: Aplicaciones de la integral
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Análisis
Matemático
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Aplicaciones
de la integral
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Índice
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Introducción
Cálculo de áreas de superficies planas
Longitud de un arco de curva plana
Volumen de un sólido de revolución
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Matemático
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Aplicaciones
de la integral
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Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Introducción
Introducción
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Análisis
Matemático
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Aplicaciones
de la integral
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Introducción
En muchos fenómenos fı́sicos, económicos, sociales,... el área bajo la curva
de una función representa una magnitud relevante que conviene saber medir.
Por ejemplo, si representamos la velocidad de un móvil en función del
tiempo, el área bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
En esta lección usaremos el cálculo integral para formalizar conceptos
sencillos e intuitivos como el de área de una región, volumen de un cuerpo, y
longitud de curvas planas.
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Matemático
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Aplicaciones
de la integral
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Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Cálculo de áreas de superficies
planas
Cálculo de áreas de superficies planas
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Matemático
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de la integral
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I. Área determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f (x)
b
Z
Si f (x) ≥ 0, entonces el valor del área es
f (x)dx.
a
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
b
Z
Si f (x) ≤ 0, entonces el valor del área es −
f (x)dx.
a
Cálculo de áreas de superficies planas
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Matemático
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Aplicaciones
de la integral
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Introducción
I. Área determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f (x)
Si la función tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar los
intervalos donde f (x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Por
ejemplo, si f (x) ≥ 0 en [a, c] y f (x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor del
área es:
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Z
c
b
Z
f (x)dx −
a
f (x)dx.
c
Cálculo de áreas de superficies planas
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Matemático
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Aplicaciones
de la integral
II. Área determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f (x) e
y = g(x)
Si f (x) ≥ g(x), entonces el valor del área es:
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Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
a
Z
(f (x) − g(x))dx.
b
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes en
cada intervalo.
Cálculo de áreas de superficies planas
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Matemático
Ejemplo: Área del cı́rculo
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de la integral
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Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que
el cı́rculo tiene su centro en el origen de
coordenadas.
Gracias a la simetrı́a de la figura, el área
será igual a cuatro veces el área de la parte del
cı́rculo encerrado en el primer cuadrante.
La curva que define el contorno de un cı́rculo de centro (0, 0) y radio r es
√
x2 + y 2 = r2 , luego y = r2 − x2 y el área será
r
Z
4
Z
p
r2 − x2 dx = 4r
0
= 4r2
0
Z
0
π
2
cos2 tdt = 4r2
π
2
Z
0
r
s


 Cambio de variable 
x2
x
= sent
1 − 2 dx =
=
r
 dx

r
= rcost
1 + cos(2t)
dt = 4r2
2
t
sen(2t)
+
2
4
π
2
0 = πr2
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Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Longitud de un arco de curva
plana
Longitud de un arco de curva plana
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Matemático
Longitud de un arco de curva
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de la integral
Sea f : [a, b] ⊂ D −→ R una función derivable en D y tal que su derivada f 0
es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del arco de curva
L = {(x, y) ∈ R2 :
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Introducción
Áreas
viene dada por
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Z
L=
a
b
p
1 + f 0 (x)2 dx
x ∈ [a, b]},
Longitud de un arco de curva plana
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Áreas
Una curva
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Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Ejemplo
√
Calculemos la longitud L del arco de curva y = x3 entre los puntos (0, 0) y
(4, 8). Se tiene que
Z 4r
Z 4r
√
3 1
9
8
1 + ( x 2 )2 dx =
1 + x dx =
(10 10 − 1).
2
4
27
0
0
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Una curva
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Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Volumen de un sólido de
revolución
Volumen de un sólido de revolución
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Matemático
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de la integral
Sólidos de revolución
Los sólidos de revolución son cuerpos que se generan al girar una región
plana alrededor de un eje.
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Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Por ejemplo:
El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Volumen de un sólido de revolución
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Introducción
Volumen de un sólido por secciones
∀x ∈ [a, b], sea A(x) el área de la sección de obtenida al cortar un sólido
como el de la figura por un plano transversal al eje OX.
Áreas
Una curva
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Longitud de
arco
El volumen del mismo
vendrá dado por
Volumen de
revolución
b
Z
V =
A(x)dx
a
Volumen de un sólido de revolución
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Introducción
Volumen de un sólido de revolución
Sean
Áreas
Una curva
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Longitud de
arco
Volumen de
revolución
f : [a, b] −→ R una función continua en [a, b]
A(x) la sección transversal al eje x del sólido generado al girar la
función alrededor del eje OX. Se tiene que:
A(x) = πf (x)2
∀x ∈ [a, b]
Volumen de un sólido de revolución
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Matemático
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Aplicaciones
de la integral
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Volumen de un sólido de revolución
Teniendo en cuenta que A(x) = πf (x)2 ∀x ∈ [a, b], se tiene que el volumen
del sólido obtenido al girar y = f (x) alrededor del eje OX viene dado por
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Z
V =π
a
b
f (x)2 dx
Volumen de un sólido de revolución
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Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la integral
HEDIMA
Ejemplo
El volumen
del cuerpo de revolución engendrado al girar el trozo de parábola
√
y = x, para los valores x ∈ [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por:
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
4
Z
Introducción
V =π
0
√
( x)2 dx = π
4
Z
x dx = π
0
x2
2
4
= 8π
0
Volumen de un sólido de revolución
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Matemático
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de la integral
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Introducción
Ejemplo: Cálculo del volumen de una esfera de radio r
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en el
origen de coordenadas.
√
En ese caso la esfera es generada al girar el semicı́rculo y = + r2 − x2 ,
x ∈ [−r, r], en torno al eje OX, por tanto
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Z
r
π
−r
Z
p
2
r2 − x2 dx = π
r
x3
4
(r2 − x2 )dx = π r2 x −
= πr3 .
3 −r
3
−r
r