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Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA EN LAS CARRERAS DE INGENIERÍA: UNA PROPUESTA DE ALTERNATIVAS METODOLÓGICAS PARA EL TRATAMIENTO DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON. STATISTICS TEACHING IN ENGINEERING CAREERS A PROPOSITION OF METODOLOGICAL ALTERNATIVES FOR THE POISSON DISTRIBUTION TREATMENT. Salvador Álvarez Reyes. Francisco Pérez Santos. Antonio Otero Diéguez. Israel Tamayo Carralero. Universidad de Holguín “Oscar Lucero Moya” sar@facinf.uho.edu.cu Palabras claves: estadística, alternativas metodológicas, proceso de enseñanza aprendizaje, distribución de Poisson Keywords: statistic, methodological alternatives, teaching-learning process, Poisson distribution. Abstract In this paper we present methodological alternatives of teaching, which can be used in the teaching-learning process of Statistic, in particular, in the treatment of the so-called Poisson distribution. Moreover, the work provides some suggestions about the possibilities that methodologically can be used in order to motivate and strengthen the learning of such matter. Resumen En el presente trabajo se muestran alternativas metodológicas, vías y formas de enseñanza que se pueden utilizar en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Estadística, en particular, en el tratamiento de la distribución de Poisson. Se brindan algunas sugerencias y reflexiones acerca de posibilidades que en el orden metodológico pueden aprovecharse en función de incentivar y potenciar el aprendizaje de dicho contenido. INTRODUCCIÓN La Estadística ha devenido en una asignatura de obligatorio estudio en la educación universitaria. Tal es así que ninguna o casi ninguna carrera deja de tener en su currículo un programa de esta asignatura. Más, si se trata de las carreras de Ingeniería, la necesidad de analizar grandes cantidades de datos recopilados de procesos experimentales para la 88 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 obtención de conclusiones y la toma de decisiones sobre los fenómenos objeto de estudio hacen las herramientas estadísticas un recurso de importancia trascendental. Por ejemplo, las distribuciones de Poisson y Exponencial constituyen contenidos básicos de la Estadística que tienen una gran aplicación en problemas de las diferentes carreras de Ingeniería, ya sea de mecánica, industrial, automática o informática. Sin embargo la práctica del proceso de enseñanza aprendizaje muestra que los resultados en el rendimiento académico de los estudiantes no siempre son los esperados y que luego de transcurrido cierto tiempo de impartida la asignatura de Estadística, ya han olvidado importantes contenidos y no los pueden aplicar a problemas de su perfil profesional, en otras palabras, la durabilidad y solidez del conocimiento es insuficiente. De ahí que el perfeccionamiento continúo de la enseñanza de la Estadística constituya una tarea fundamental que deben desarrollar los colectivos de profesores que se ocupan de la misma. Teniendo en cuenta lo anterior se ofrecen en el presente trabajo alternativas metodológicas que muestran diferentes vías y formas de enseñanza que se pueden utilizar en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Estadística, en particular, en el tratamiento de la distribución de Poisson. Ello se hace desde la óptica de concebir dicha distribución como una aproximación de la distribución binomial y como un proceso de Poisson con el propósito de brindar algunas sugerencias acerca de posibilidades que en el orden metodológico pueden aprovecharse en función de incentivar y potenciar el aprendizaje de dicho contenido. DESARROLLO Las alternativas metodológicas para la enseñanza del contenido seleccionado que se presentan a continuación, no se enmarcan o limitan necesariamente al espacio del salón de clase, tienen un carácter más general. Se trata de brindar alternativas de enseñanza aprendizaje para estos contenidos que el profesor puede considerar y adecuar al contexto del proceso docente que desarrolla y a las características de los estudiantes con los cuales trabaja. La distribución de Poisson puede enfocarse fundamentalmente desde dos perspectivas metodológicas, como aproximación de la distribución binomial B(n; p) o como un proceso que cumple ciertas propiedades relacionadas con la ocurrencia de sucesos o arribos en una unidad de tiempo o unidad de espacio, denominado proceso de Poisson. Destacamos a continuación los aspectos metodológicos que direccionan las acciones de enseñanzaaprendizaje desde ambas perspectivas. El tratamiento de la distribución de Poisson como aproximación de la distribución binomial Reactivación de los conocimientos previos Es conocido que un factor fundamental que influye en el aprendizaje se refiere a la relación que se establece entre el nuevo conocimiento que el estudiante debe adquirir y sus conocimientos previos. Por ello a la hora de abordar la distribución de Poisson es necesario hacer un recordatorio sobre los aspectos fundamentales del contenido relacionados con la distribución binomial. 89 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 Este recordatorio de los conocimientos previos puede realizarse a partir de un problema en cuya solución, participen activamente los estudiantes. Con ese fin puede seleccionarse el siguiente problema: 1. En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo que deja ocasionalmente la pieza indeseable para su venta. Se sabe que, en promedio, uno de cada 10 de estos artículos que se producen tiene una o más burbujas. Determine la probabilidad de que: a) Una muestra aleatoria de 10 tenga 3 artículos con burbujas. b) Una muestra aleatoria de 15 tenga al menos 4 artículos con burbujas. 2. Resuelva el problema considerando que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos que se producen tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 4000 tenga menos de siete artículos con burbujas? La conducción del proceso de enseñanza aprendizaje debe dirigirse a resaltar aspectos como: - La denominación de la variable de interés y su clasificación: Se destaca que la variable se llama número de productos de vidrio con burbujas que se manufacturan en el proceso de fabricación y que es una variable discreta. - La identificación de los parámetros de la distribución: Se resalta que n = 10 y p = 0,4; n = 15 y p = 0,4; n = 4000 y p = 0,001 respectivamente. - Las propiedades que caracterizan los experimentos relacionados con las variables aleatorias que tienen distribución binomial (clasificación dicotómica de los posibles resultados, pruebas repetidas e independientes y probabilidad de éxito constante de prueba a prueba): Se hace énfasis en que los productos de vidrio se clasifican en dos tipos: tiene burbujas o no, las producciones de los productos son independientes unos de otros y la probabilidad de éxito (que el producto tenga burbuja) se mantiene constante de una prueba a otra igual a 0,4 para la situación 1 e igual a 0,001 para la situación 2. - La fórmula de cálculo, si la vía utilizada es mediante ella. Si no es el caso bastaría recordar el procedimiento para el cálculo de probabilidades usando la tabla. - El reconocimiento de que los conocimientos que se disponen no son suficientes para dar una respuesta a la situación 2 y la necesidad de la búsqueda de un nuevo conocimiento que permita solucionar el problema. Esto se reconoce teniendo en cuenta la magnitud de los parámetros n = 4000 y p = 0,001 que hacen imposible el uso de la tabla estadística y la fórmula de cálculo se convierte en una vía excesivamente compleja. Como puede observarse el problema considerado como punto de partida se ha formulado con dos propósitos didácticos: la reactivación de los conocimientos previos (situación 1) y la incentivación del nuevo aprendizaje (situación 2). En esta etapa pueden usarse diferentes alternativas, según las condiciones de la enseñanza, por ejemplo: 90 Pedagogía Universitaria - Vol. XVI No. 2 2011 Orientar mediante el trabajo independiente la solución del problema en una actividad anterior, donde los estudiantes tengan previamente toda la información de las interrogantes a responder y cuando se enfrenten a la solución de la situación 2 descubran que las herramientas cognitivas que disponen hasta el momento no son suficientes para encontrar una solución al problema en cuestión. Esta variante tiene la ventaja que racionaliza el uso del tiempo de enseñanza. - Colocar la tarea de aprendizaje en una plataforma interactiva, con todas las orientaciones necesarias, para luego discutirla en el salón de clase, o evaluar su solución mediante la interacción que permite dicho medio con el estudiante. - Otra alternativa podría ser dictar el problema a inicio de la clase y resolverlo conjuntamente con los estudiantes mediante un diálogo o conversación heurística como paso previo para introducir el nuevo contenido de la distribución de Poisson. Esta variante consume más tiempo de enseñanza. Creación de situaciones problemáticas La creación de situaciones problemáticas en el proceso de enseñanza aprendizaje puede constituir una alternativa apropiada para incentivar y potenciar un aprendizaje significativo en el sentido de que al mismo tiempo que se establece una contradicción entre lo conocido y la necesidad de la búsqueda de lo desconocido, se crea el motivo que estimula ese proceso de búsqueda del nuevo conocimiento. Se trata de introducir la distribución de Poisson (como aproximación de la distribución binomial) como una necesidad de resolver la contradicción mencionada. Con el propósito de crear situaciones problemáticas y hacer reflexionar a los estudiantes e implicarlos desde el punto de vista intelectual y resolver el problema en cuestión (situación 2), podrían formularse interrogantes como las siguientes: - ¿Podrá resolverse este problema utilizando la distribución Binomial? - ¿Se podría usar la tabla estadística para resolverlo? ¿Por qué? ¿Se podría usar la función de distribución? ¿Por qué? ¿Sería racional utilizar este procedimiento? - ¿Cómo se llama la variable de interés? Clasifícala. ¿Cuáles son los valores de los parámetros de la distribución? - ¿Qué características con respecto a su magnitud poseen los parámetros n y p de esta distribución en comparación con los valores utilizados en situaciones anteriores usando la tabla o la fórmula? (n es un número muy grande y p es un número pequeño próximo a cero). - ¿Existirá otra distribución de probabilidad análoga, de variable aleatoria discreta, que nos permita dar respuesta al problema? A partir de estas preguntas que brindan la posibilidad de establecer un diálogo con los estudiantes se revela la necesidad de adquirir un nuevo conocimiento, en este caso, conocer una nueva distribución probabilística para resolver el problema. Presentación del nuevo contenido Con el objetivo anterior se plantea en esta etapa la fórmula de probabilidad de una variable aleatoria discreta X que tiene distribución de Poisson mediante la función que la define: 91 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 P(x) = (e-λλx)/x!; para x = 0, 1, 2,… donde λ es una constante positiva y representa el parámetro de la distribución. No es necesario hacer la deducción del valor esperado y la varianza de dicha variable E(x) = λ y V(x) = λ, teniendo en cuenta que se trata de estudiantes de carreras de Ingeniería, aunque en caso de estudiantes con intereses especiales por la Matemática puede orientarse de manera individual. En general basta informar que utilizando procedimientos matemáticos (función generadora de momentos) se pueden deducir dichos resultados. Para dar continuidad a la solución del problema puede explicarse a los estudiantes, a manera de generalización, que en la distribución binomial cuando p es muy pequeño (menor que 0,1) y n es muy grande (mayor que 50) el valor esperado en la distribución de Poisson resulta un valor aproximado adecuado del valor esperado en la distribución binomial y por tanto puede ser sustituido por este, o sea, la cantidad λ = np permanece constante y se puede usar la distribución de Poisson como aproximación de la binomial. y que, aunque no existe una regla aplicable a todos los casos, la práctica indica que la aproximación es buena si se cumple que: λ ≤ 5 y (n ≥ 50 ó p ≤ 0,1) donde λ = np. Finalmente la solución iniciada del problema puede llevarse a su fin, de forma sencilla, usando la tabla estadística de cálculo de probabilidades de la distribución de Poisson. λ = np = 8000 . 0,001 = 8; luego, P(x < 7) = P(x ≤ 6) = 0,3133 Con el mismo objetivo anterior, podría usarse una variante inductiva para que el propio estudiante sea el que arribe a la conclusión de que cuando el valor de p tiende a cero y n se incrementa en magnitud superior a 50, los valores de probabilidad en la distribución binomial se aproximan cada vez más a los valores en la de Poisson; esto podría orientarse como una actividad investigativa usando las tablas estadísticas de la distribución binomial y de Poisson comparando los valores de probabilidad en cada una de las distribuciones. Otra manera sería remitiendo a los estudiantes al análisis de la tabla presentada en las págs. 309 y 310 del libro de Probabilidades de Luís Hernández, donde a través de un proceso inductivo se llega a la hipótesis de que efectivamente se establece esa relación. Presentación de ejemplos de identificación. El estudiante debe tener la posibilidad de reconocer situaciones que se modelen a través de distribuciones de Poisson y a partir de ellos identificar el intervalo o región específica en los cuales suceden los eventos o éxitos. A manera de ejemplos se muestran los siguientes: - El número de clientes que llegan a un taller de servicio en un día - El número de llamadas recibidas en una central telefónica de una empresa en una hora - El número de fallos de un equipo durante una semana - El número de juegos de béisbol suspendidos por lluvia durante una temporada. - El número de errores digitales que comete una secretaria por página. - El número de átomos desintegrados por segundo en cierta cantidad de material radioactivo. 92 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 Estos ejercicios pueden utilizarse al inicio de una actividad de consolidación del nuevo contenido introducido. En cada una de ellos es importante que el estudiante reconozca: - La denominación del evento o tipo de variable. - El intervalo o región específica donde ocurren los sucesos o éxitos - La magnitud en que se expresa el intervalo: tiempo, longitud, área, etc. También podría seleccionarse alguno de los ejemplos anteriores como medio para incentivar la introducción del nuevo contenido teniendo en cuenta que se refieren a situaciones de la práctica que pudieran resultar de interés. Podrían constituir el motivo y punto de partida para orientar el propósito de estudiar una nueva distribución de variable aleatoria discreta. El tratamiento de la distribución de Poisson a partir de las propiedades de un proceso de Poisson. Otra manera de introducir en la enseñanza de la Estadística la distribución de Poisson es a partir de las propiedades que caracterizan un proceso de Poisson (Walpole, p.136), Este enfoque resulta de importancia debido a que dichas propiedades se aplican en problemas propios de ingeniería. Puede abordarse haciendo las siguientes consideraciones: Presentación de ejemplos para incentivar el aprendizaje del nuevo contenido. A partir de ejemplos de situaciones reales como las mencionadas anteriormente puede inducirse a los estudiantes las características de los ejemplos presentados a partir de interrogantes como: ¿Cómo se llama la variable de interés o evento que ocurre? ¿Cómo se clasifica dicha variable? ¿En qué intervalo o región específica ocurren los eventos? ¿Cuál es la magnitud en que se expresa el intervalo o región específica? Esto puede justificar el objetivo del estudio de una nueva distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, análoga a la distribución binomial. Presentación del nuevo contenido Siguiendo la secuencia de ideas obtenidas a través de las respuestas a las interrogantes anteriores, se informa que cada una de esas situaciones representan ejemplos de lo que se denominan experimentos de Poisson, pues proporcionan resultados que ocurren durante un intervalo dado o región específica y pueden generar observaciones para una variable discreta X. A los eventos que se obtienen como resultado de los experimentos de Poisson también se le llama “cambios”. A partir de estas consideraciones se introduce el concepto de proceso de Poisson como aquel proceso en el cual se pueden observar sucesos o éxitos discretos que ocurren en un intervalo continuo (expresado por una variable temporal o espacial), de forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente, se cumplen las tres propiedades siguientes: - La probabilidad de observar exactamente un suceso ó un éxito en el intervalo, es estable o constante. 93 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 - La probabilidad de observar dos o más sucesos ó éxitos en el intervalo es cero. - La ocurrencia de un suceso ó éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de sucesos en cualquier otro intervalo. De lo anterior puede comprenderse que el experimento de Poisson se deriva de un proceso de Poisson. En función de lograr una mejor comprensión del significado de las propiedades, los enunciados anteriores pueden complementarse con las siguientes consideraciones: La primera propiedad significa que la probabilidad de ocurrencia del suceso en el intervalo es proporcional a la longitud del intervalo, lo que equivale a plantear la relación: P = θ. Δt (Probabilidad que ocurra un suceso en Δt), donde Δt indica un intervalo pequeño y θ una constante que representa el promedio de sucesos que ocurren en la unidad en que se expresa el intervalo. La segunda propiedad significa que la probabilidad de que ocurra más de un suceso en el intervalo es despreciable, lo que se puede expresar mediante la relación P ≈ 0. Aquí puede informarse que es usual utilizar el símbolo λ para indicar el valor esperado o promedio de los resultados y que λ = θ . t, donde θ es el número promedio de sucesos que ocurren en la unidad de medida t del intervalo. Sobre esta base se establece la definición de la variable aleatoria de Poisson de la manera siguiente: “El número X de resultados que ocurren durante un experimento de Poisson se llama variable aleatoria de Poisson y su distribución de probabilidad se denomina distribución de Poisson”. A continuación se plantea la función o fórmula de la distribución de Poisson: P(X = x) = (e-λ (λ)X)/x! = (e-θt (θt)X)/ x!, donde λ es un número positivo y el parámetro que caracteriza la distribución con λ = θ . t. La deducción de dicha fórmula, que se puede realizar a partir de las tres propiedades, está fuera del alcance de los objetivos de la asignatura, aunque pudiera orientarse a estudiantes con intereses especiales por la Matemática. La comprensión de las propiedades del proceso de Poisson resulta compleja si la explicación del contenido sólo se realiza a partir de formulaciones generales, o sea, teniendo en cuenta una variante deductiva; pues exige un nivel elevado de abstracción. Por ello es recomendable complementar la explicación de cada uno de ellas con ejemplos concretos, en otros términos, complementar la variante deductiva con una variante inductiva. Dicha explicación podría desarrollarse de la siguiente manera: Se estudian las llamadas recibidas por hora en la central telefónica de una cierta empresa. Cualquier llamada que se reciba es un evento discreto en un punto determinado durante un intervalo continuo de una hora. Si se conoce que se reciben 180 llamadas como promedio y se dividiera el intervalo de una hora en 3600 intervalos consecutivos de un segundo, se tendría λ = θ . t = 180/3600 = 0,05/seg. (θ = 180/hora) - La cantidad esperada o promedio de llamadas recibidas en cualquier intervalo de un segundo sería 0.05, es decir, sería estable. λ = θ. t = 0,05. 1 = 0.05. En otras palabras, la probabilidad de ocurrencia de una llamada en un segundo permanecerá constante. 94 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 - La probabilidad de recibir más de una llamada en cualquier intervalo de un segundo es cero. - Recibir determinada llamada en cualquier intervalo de un segundo no tiene efecto (es decir, es estadísticamente independiente) sobre recibir una llamada en cualquier otro intervalo de un segundo. De manera análoga podría desarrollarse la explicación a partir de la división del intervalo de una hora en 60 intervalos consecutivos de un minuto. Planteamiento de problemas de aplicación A continuación se presentan dos problemas de cálculo de probabilidades con el propósito de mostrar varias alternativas de solución, incluyendo el uso del software STATGRAPHICS y brindar sugerencias para la conducción del proceso de enseñanza aprendizaje. Problema 1. Se conoce que en la planta telefónica de una cierta empresa se reciben 300 llamadas por hora. Conociendo que la variable de interés sigue una distribución de Poisson. Determine la probabilidad de que: a. Se reciba una llamada en un minuto. b. Se reciban a lo sumo 2 llamadas en un minuto. c. Se reciban al menos 2 llamadas en minuto y medio. d. Calcule el número promedio de llamadas que se esperan en 5 minutos. Para que los estudiantes comprendan el problema y la vía de solución, pueden realizarse preguntas como las siguientes: - ¿Qué datos se dan en el problema? ¿Cómo representarlos? - ¿Cuál es la variable(o evento) de la cuál se habla en el problema? - ¿Qué se pide en el problema? - ¿Para calcular la probabilidad qué dato fundamental nos hace falta? (el parámetro de la distribución). - Si el promedio de llamadas que ocurren en una hora es 300, ¿Cuál será el promedio de llamadas en un minuto? ¿Cómo obtenerlo? (λ = θ . t = 300/60 = 5) Después de las reflexiones que se derivan de las preguntas anteriores y de determinar el valor del parámetro λ, se ilustra cómo se procede para el inciso a) del problema, que puede resolverse usando tres vías diferentes. Una primera vía consiste en la utilización de la tabla estadística: Entrando en la tabla por λ = 5 y x = 1, se obtiene P(x = 1) = 0,0337. Una segunda vía es mediante el uso del software, para lo cual se orienta seguir el siguiente algoritmo: Hacer clic en el menú descripción. 95 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 Hacer clic en Distribuciones. Hacer clic en Distribuciones de probabilidad. Seleccionar distribución de Poisson en el cuadro de diálogo y dar aceptar. En la ventana distribución de probabilidad hacer doble clic para maximizar. Hacer clic derecho y en el cuadro de diálogo que se abre introducir el valor promedio o esperado λ = 5 y dar aceptar. En la ventana distribución acumulativa hacer doble clic para maximizar. Hacer clic derecho del Mouse, introducir el valor para la variable x = 1 y dar aceptar. Identificar el valor encontrado. P(x =1) = 0, 0336897(en el software el resultado se da con una aproximación de 7 cifras decimales). La tercera vía consiste en usar la propia fórmula que define la distribución de Poisson y hacer uso de la tabla de la función exponencial (Selección de Tablas Estadísticas, p. 22): P(X = 1) = (e-λ (λ)X)/x! = (e-5 (5)1)/1! = e-5. (5) = 0, 03370. Aunque esta vía no es usual utilizarla en la enseñanza en las carreras de Ingeniería, no deja de ser una opción que pudiera considerarse para el caso de estudiantes con intereses por la Matemática. Problema 2. Los cambios en los procedimientos de los aeropuertos requieren una planeación considerable. Los índices de llegadas de los aviones es un factor importante que se debe tomar en cuenta. Suponga que los aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto, de acuerdo con un proceso de Poisson, con un índice de 6 por hora. De esta manera, el parámetro de Poisson para las llegadas en un período de t horas es λ = 6t. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro aeronaves pequeñas lleguen durante un periodo de una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro lleguen durante un periodo de una hora? c) Si definimos un día laboral como 12 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 75 pequeñas aeronaves lleguen durante un día? d) Si en este momento acaba de arribar una aeronave pequeña, ¿cuál es la probabilidad de que la próxima tarde en arribar no más de dos días? El segundo problema, al igual que el anterior, está dirigido a que los estudiantes apliquen el conocimiento aprendido a nuevas situaciones de aprendizaje. El inciso d) se ha formulado con el propósito de incentivar un nuevo aprendizaje que es la distribución exponencial, muy relacionada con la distribución de Poisson y que pudiera considerarse como punto de partida para el tratamiento de dicha distribución mediante un enfoque de solución de problemas. 96 Pedagogía Universitaria Vol. XVI No. 2 2011 CONCLUSIONES Las alternativas metodológicas que hemos ofrecido (alternativas u opciones de variantes en cuanto al uso de los métodos de enseñanza y formas de organización del contenido), responden a los objetivos de los programas de la asignatura en las carreras de Ingeniería y se orientan a incentivar y potenciar el aprendizaje mediante el planteamiento de problemas y la creación de situaciones problemáticas. El enfoque general que se revela en este trabajo es el de una enseñanza predominantemente presencial para cursos regulares o diurnos, aunque también se ha mostrado la posibilidad del uso de plataformas interactivas para el tratamiento del contenido; no obstante este puede estructurarte basado en el uso de plataformas interactivas en correspondencia a una enseñaza predominantemente semipresencial más apropiada para cursos por encuentros o para trabajadores (CPT) que se desarrollan quincenalmente o por períodos más largos. En el tratamiento de la distribución de Poisson (como aproximación de la binomial o mediante las propiedades del proceso de Poisson) deben considerarse ambas perspectivas metodológicas donde el uso del software debe constituir una herramienta de obligatoria utilización. BIBLIOGRAFÍA Colectivo de autores. Diccionario enciclopédico de matemática. Moscú, 1988. Espallargas, I. D.: Guía de Estadística Matemática para la Municipalización. Facultad de Economía. Dpto. Estadística e Informática. Universidad Central de Las Villas. Hernández, L. M, Del Castillo, A: Probabilidades. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de La Habana. 1987. Linares, F. G, Martínez, C. C: Probabilidades y Estadística. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de La Habana, 1983. Selección de Tablas Estadísticas. Editorial Félix Varela. La Habana, 2005. Walpole, R. E; Myers, R. H; Myers, S. L.: Probabilidad y Estadística, Parte I. Sexta Edición. Editorial Félix Varela. La Habana, 2008 97
