Cálculo Diferencial (CA54

Universidad Autónoma Metropolitana (Iztapalapa)
Cálculo Diferencial (CA54-13i)
Tarea # 3
Los problemas marcados con
deben ser entregados al inicio de la clase del
dı́a acordado. El resto de los problemas deben ser resueltos en tu cuaderno.
√
I. Si f (x) = x2 − 1 y g(x) = 2/x, encuentra fórmulas para las expresiones
siguientes y da sus dominios
(a) (f ◦ g)(x)
(b) (g ◦ f )(x)
II. Algunas veces es útil ver a una función dada como la composición de
otras. Esto es lo que se te pide que hagas en los siguientes dos problemas.
1. Encuentra f y g tales que F = g ◦ f , para:
√
(a) F (x) = x + 7
(b) F (x) = (x2 + x)15
√
2.
Escribe p(x) = 1/ x2 + 1 como la composición de tres funciones de
dos maneras diferentes.
III. Un avión está volando a una velocidad de 350 mi/h a una altitud de una
milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t = 0.
1. Expresa la distancia horizontal d (en millas) que el avión a volado como
una función de t.
2. Expresa la distancia s entre el avión y la estación de radar como una
función de d.
3. Usa una composición para expresar s como una función de t.
IV. Usa las gráficas de f y g en la figura 1 para evaluar cada expresión, ó
indica porqué no está definida.
(a) f (g(2))
(d) (g ◦ f )(6)
(b) g(f (0))
(e) (g ◦ g)(−2)
Prof. Antonio Hernández-Garduño
(c) (f ◦ g)(0)
(f) (f ◦ f )(4)
1
x
1
2
3
4
5
6
f !x"
3
1
4
2
2
5
t!x"
6
3
2
1
2
3
51. Use the given graphs of f and t to evaluate each expression,
or explain why it is undefined.
(a) f ! t!2""
(b) t! f !0""
(d) ! t ! f "!6"
(e) ! t ! t"!!2"
(c) ! f ! t"!0"
(f) ! f ! f "!4"
one mile and passes direc
(a) Express the horizontal
has flown as a functio
(b) Express the distance s
station as a function o
(c) Use composition to ex
57. The Heaviside function H
H!t" !
y
g
It is used in the study of e
sudden surge of electric c
instantaneously turned on
(a) Sketch the graph of th
(b) Sketch the graph of th
switch is turned on at
instantaneously to the
terms of H!t".
(c) Sketch the graph of th
switch is turned on at
f
2
0
2
x
Figura 1
V. Expresa h(x) como la composición de tres funciones, una de las cuales es
f (x), si se sabe que1 :
1. La gráfica de h se obtiene a partir de la gráfica de f estirándola verticalmente por un factor de 3 y transladándola horizontalmente 5 unidades
a la izquierda.
2.
La gráfica de h se obtiene a partir de la gráfica de f contrayéndola
horizontalmente por un factor de 1/2 y transladándola verticalmente 7
unidades hacia abajo.
VI. Usa las fórmulas
2
para el seno y coseno de la suma de dos ángulos para
obtener las fórmulas de sen(3x) y cos(3x).
VII. Demuestra que
tan(x + y) =
tan x + tan y
.
1 − tan x tan y
1
Recuerda que, según vimos en clase, los pasos para obtener la función de una gráfica
transladada ó deformada son los siguientes:
Si
se
se
se
se
2
la gráfica de f (x) . . .
translada k unidades verticalmente
estira ó contrae verticalmente por un factor β
transada h unidades horizontalmente
estira ó contrae horizontalmente por un factor α
entonces f (x) pasa a ser . . .
f (x) + k
βf (x)
f (x − h)
f (x/α)
En clase vimos que:
sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
Prof. Antonio Hernández-Garduño
2