Guía 5 - matematin

Docentes:
Sr. Ricardo Carrillo
Srta. Claudia Barrientos
Departamento de Matematica
Curso: Segundo Medio
Unidad 1: Datos y Azar
Guía N° 3 - 2012
GUIA MATEMATICA
¿Qué aprenderé?
1. Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas desde una población.
2. Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de
una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha
población.
3. Interpreta información, en diversos contextos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central,
aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.
4. Producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central,
aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.
5. Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en
intervalos.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Alvaro es dueño de un almacén y últimamente sucede que o no hay suficientes salchichas para satisfacer la
demanda o sobran demasiado. Cada semana, debe botar todas las salchichas que han vencido. Alvaro compra
cada paquete de salchichas a $ 640 y la vende al público a $ 830, es decir, por cada paquete de salchichas vendido
gana $ 190. Alvaro revisó la cantidad de paquetes de salchichas que ha vendido durante las últimas siete
semanas. La información se muestra en la tabla:
Analizo las siguientes preguntas:
• Si Alvaro debe botar 20 paquetes al final de la semana, ¿cuánto dinero pierde?
• Si él nota que podría haber vendido 15 paquetes más, pero ya no le quedaban, ¿cuánto dinero pierde por esto?
• ¿Qué le conviene más, tener muchas salchichas, aunque luego le sobren, o tener pocas, para no tener que botar
las salchichas al final? Justifica tu respuesta.
• ¿Cuántos paquetes de salchichas debiera comprar Alvaro cada semana para satisfacer la demanda?, ¿cómo lo
calculaste?
• ¿Qué otras variables o elementos se deben considerar?
• ¿Podemos decir que la demanda de salchichas en el almacén de Alvaro es un experimento aleatorio?, ¿por qué?
Una posibilidad es calcular la media de la venta realizada:
57  50  43  62  73  88  12
x
 55
7
Es decir, la media de la venta semanal de salchichas es de 55 paquetes. Ahora, si Alvaro hubiera comprado todas
las semanas 55 paquetes, en las semanas 1, 4, 5 y 6 habría perdido venta y habría dejado de ganar $ 11 400.
Por otra parte, en las semanas 2, 3 y 7 habría tenido excedentes, perdiendo $ 38 400. Considerando ambas
situaciones, habría perdido $ 49 800 en total.
Según esto, ¿te parece adecuado recomendar a Alvaro que compre 55 paquetes de salchichas semanalmente?,
¿cuántos paquetes debería comprar para evitar perder tanto dinero?
Este ejemplo muestra que, si bien la media, y también la mediana y la moda, son útiles para describir un conjunto
de datos, estas por sí solas no son suficientes, ya que esconden información sobre la variabilidad de las
observaciones. En muchos casos, considerar solo esta información puede inducir a tomar decisiones erróneas o
poco eficientes. Observa ahora que, en las últimas siete semanas, la menor cantidad de paquetes de salchichas
vendidos fueron 12 y la mayor cantidad, 88.
Podemos calcular el rango de la demanda de paquetes de salchichas de la siguiente manera: rango = 88 – 12 = 76
paquetes, Es decir, el rango de una variable es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de las
observaciones.
Las medidas de dispersión, como el rango y otras medidas, indican qué tanto se dispersan o distribuyen,
alrededor de su media, un conjunto de datos.
Observo los siguientes gráficos:
Ambos conjuntos de datos tienen la misma media: 15; sin embargo, como se observa en los gráficos, las
observaciones del gráfico 1 se encuentran más cercanas a la media que las del gráfico 2.
Si x1, x2,…, xn son n observaciones de una variable y su media es x , entonces una medida de dispersión en torno
a la media es calcular la suma de las diferencias entre cada una de las observaciones y la media. Esto es:
x
1
 
 


 x  x 2  x  x 3  x  ... x n  x

donde xi  x se conoce como la desviación de la i-ésima observación de la media.
Calculando esta expresión con los datos de venta de salchichas, se obtiene:
Luego,
x
1
 
 



 x  x 2  x  x3  x  ... xn  x  2  5  12  7  18  33  43  0
El resultado es siempre 0; puedo comprobar esto con otros conjuntos de datos.
Luego, se define la siguiente medida de dispersión, conocida como varianza.
La varianza, que se denota por S2x , de un conjunto de n datos es el promedio de los cuadrados de las
desviaciones de las observaciones respecto de su media.
 x  x   x

2
1
2
S
x
2
x
  x
2
3
x

2

 ...  xn  x

2
n
La expresión  xi  x  garantiza que siempre estaremos sumando valores positivos, y este resultado es 0 solo si
2
todos los datos son iguales.
Ejemplo: Reviso la siguiente situación:
Calculemos la varianza con los datos de venta de salchichas.
Luego,
S2 x 
4  25  144  49  324  1089  1849 348

 497,7
7
7
Entonces, si queremos resumir el comportamiento de la venta semanal de salchichas del almacén de Alvaro,
podemos decir que tiene una media de 55 paquetes y una varianza de 497,7… ¿Qué le falta a esta afirmación?
Dado que al calcular la varianza se consideran las desviaciones al cuadrado, su unidad corresponde a la de las
observaciones, pero al cuadrado, es decir, en este caso, la afirmación correcta es: “La venta semanal de salchichas
del almacén de Alvaro tiene una media de 55 paquetes y una varianza de 497,7 paquetes cuadrados.”
Pero esto dificulta la adecuada interpretación de los resultados. Por ello, se usa otra medida de dispersión, la
desviación estándar, Sx , definida por Sx  S2x .
Es decir, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La ventaja de utilizar la desviación estándar
como medida de dispersión es que está expresada en las mismas unidades que las observaciones. Para el caso de
la venta de salchichas, sabemos que la varianza es de 497,7 paquetes cuadrados. Luego, la desviación estándar es
de 22,3 paquetes.
Ejercicios:
1. Comento con mis compañeros y compañeras cuál es la relevancia de las medidas de dispersión.
2. ¿Qué se puede decir de un conjunto de datos si solo sabemos que su media es 67 y que tanto su rango como su
varianza son 0?
3. Al lanzar un dado 6 veces, se observó que siempre se obtuvo el número 4. Sin calcular, ¿cuál es la varianza de
este conjunto de observaciones?
4. ¿Qué limitación puede tener el rango como medida de dispersión?
5. Considero el siguiente conjunto de observaciones, que corresponde al tiempo de secado (en horas) de una
pintura esmaltada:
3,4 2,8 4,4 2,5 3,3 4,0 4,8 5,6 5,2 2,9 3,7 3,0 3,6 2,8 4,8
a. Calculo e interpreto, en cada caso: el rango, la varianza y la desviación estándar.
b. Con estos datos muestro que:
S
x

1
2
x
x
  x
2
2
x
  x
2
3
x

2

 ...  xn  x
n
  x
2
2
1
  
 x 22  x 3 2  ...  x n2  n x
2
n
6. Cuando Pablo estaba en segundo medio, debió hacer una encuesta acerca de la cantidad de hijos por familia
que había en su curso, él obtuvo las siguientes respuestas:
5–2–3–5–4–2–7–4–2–3–6–4–2–5–8–1–3–4–6–4–3–5–3–5–3–4–4–2–4
3 – 3 – 3 – 2 – 1 – 4 – 2 – 4 – 3 – 4 – 3.
a. Calculo la media y la moda.
b. Calculo el rango y la desviación estándar.
7. Sebastián, el hijo de Pablo, cursa actualmente segundo medio y debe hacer el mismo trabajo. Sus respuestas
fueron:
2–2–1–2–3–3–3–5–3–3–3–2–5–2–4–2–4–1–1–3–4–2–1–2–3–2–2–3–1
3 – 3 – 1 – 2 – 1 – 1 – 3 – 5 – 3 – 1 – 3.
a. Calculo la media y la moda.
b. Calculo el rango y la desviación estándar.
• ¿Al comparar la época de Sebastián con la de su padre, qué puedo decir?
8. En la fábrica donde trabaja Pedro se realizaron ajustes en la producción, con el fin de garantizar el
cumplimiento de los estándares de calidad. Después de un tiempo, se hizo un nuevo seguimiento a 40 baterías,
obteniendo la siguiente información:
a. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar y escribe
tus conclusiones.
b. ¿Se cumple ahora con las exigencias de calidad de la fábrica?
9. Los datos no tabulados del ejercicio anterior son los siguientes:
22 – 25 – 25 – 28 – 43 – 32 – 40 – 34 – 26 – 29 – 35 – 40 – 34 – 39 – 34 – 30 – 31 – 39 – 31 – 30
34 – 36 – 27 – 38 – 40 – 26 – 39 – 25 – 23 – 32 – 35 – 31 – 39 – 39 – 34 – 35 – 30 – 34 – 30 – 28
Calculo el rango, media, la varianza y la desviación estándar. Comparo lo obtenido con lo calculado en el ejercicio
anterior. Discuto con mi compañero(a), ¿qué observo?, ¿estos valores son iguales a los calculados anteriormente
o existen diferencias?, ¿por qué? ¿Qué ganancia y/o pérdida hay al calcular de uno u otra manera las distintas
medidas de dispersión?
10. Calculo la media muestral Xn de pruebas independientes de experimentos aleatorios.
a) Lanzo cuatro veces una moneda y considero que la variable aleatoria es el número de caras que salen. Repito a
veces el experimento de lanzar la moneda cuatro veces y registran los resultados en la tabla siguiente para a =10,
a = 50, a =100. Luego registro la media muestral Xn :
0
1
2
3
4
Xn
10 experimentos
50 experimentos
100 experimentos
b) Comparo los valores X10 , X 50 , X100 , con el valor 2.
c) Establezco conclusiones respecto del valor al que se aproxima la media muestral Xn a medida que n aumenta.
SELECCIÓN MÚLTIPLE:
EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese
resultado se divide por 8, ¿qué se obtiene?
A) Mediana
B) Media Aritmética
C) Moda
D) Media geométrica
E) Desviación estándar
EJEMPLO PSU-6: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg.
¿Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302?
A) 78
B) 68
C) 62
D) 58
E) 72
EJEMPLO PSU-2: La tabla adjunta muestra las edades de 220
alumnos de un colegio.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) La moda es 17 años.
II) La mediana es mayor que la media (promedio).
III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.
A) Sólo I
Edad
15 16 17 18 19
B) Sólo II
(en años)
C) Sólo I y II
Alumnos
50 40 60 50 20
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-7: El gráfico circular de la figura muestra las
preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ?
I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%.
II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%.
III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.
EJEMPLO PSU-3: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en
promedio 20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se
sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del niño al
que le perdieron la ficha?
A) 39 kg
B) 29 kg
C) 21 kg
D) 20 kg
E) 19 kg
EJEMPLO PSU-4: Un estudiante obtiene las siguientes
calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5.
II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.
III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: Los resultados obtenidos por un curso en una
prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La mediana es 7
II) La moda es 5
III) La media aritmética (o promedio) es 5
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-8: La tabla adjunta muestra la distribución de los
puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de
matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40.
II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29.
III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.
A) Sólo I
Intervalos de
Frecuencia
B) Sólo II
puntaje
C) Sólo III
10 – 19
6
D) Sólo I y III
20 – 29
8
E) I, II y III
30 – 39
12
40 – 49
5
50 – 59
9
EJEMPLO PSU-9: El cuadro siguiente
artículos vendidos en distintos días de
valores acumulados ¿Cuántos artículos
hasta el término del día miércoles?
Días
A) 24
B) 20
Lunes
C) 30
Martes
D) 8
Miércoles
E) Ninguna de las
Jueves
anteriores
muestra el número de
la semana y uno de sus
se han vendido en total
Nº de
artículos
Total
acumulado
12
8
6
16
Léxico en contexto:
¿Qué es la Ley SOPA y por qué debería ser importarte?
Ya desde hace buen tiempo se viene hablando de la ley SOPA (Stop Online Piracy Act), un proyecto de ley presentado en octubre del 2011
que tiene como objetivo combatir la descarga ilegal de contenidos con derechos de autor subidos a la red (en teoría). Es decir, todas tus
series favoritas, las cuales bajas a tu computadora o simplemente ves en línea a través de algún sitio en Internet, incluyendo música y
libros electrónicos principalmente, serán sacadas de la red junto con un bloqueo de la web que las aloja.
Menos iniciativas en la red: Al tener a vigilantes SOPA en Internet, muchos startups o proyectos no recibirían el apoyo financiero de
cualquier tipo de inversión por el temor a ser bloqueados en cualquier momento, lo cual derivaría en la pérdida de capital, tiempo y
oportunidades a los emprendedores.
Adiós a Facebook, Twitter y redes sociales: Como la ley SOPA tiene la facultad de bloquear cualquier tipo de contenido
con copyright subido por usuarios o propietarios del sitio, todas las webs basadas en comunidades y con muchísimo contenido subido por
millones, sufriría el bloqueo porque sería inevitable que se alojara contenido con copyright. En otras palabras, se van las redes sociales, se
va la comunicación rápida y eficiente (en otros casos simplemente la anularía por ser la única vía) con seres queridos, amigos lejanos e
incluso contactos profesionales.
Atenta contra la libertad de expresión: Digamos que un reportero ciudadano sube un video a Youtube informando sobre algún tema
noticioso o, alguien decide subir contenido periodístico de algún lugar lejano para conocer sobre algún hecho terrible, podría ser
bloqueado. Si un periodista escribe un artículo que, a pesar de no infringir derechos de autor, enlaza a un video de Youtube o algún sitio
web que no es bien visto por SOPA, también sería bloqueado. Los medios tendrían que someterse a una autocensura para evitar
problemas, el periodismo ciudadano chocaría contra un muro.
Busco sinónimos de las palabras subrayadas y además investigo sobre lo que es copyright