REPASO TRIGO - TrigonometriayTic

INSTITUCION EDUCATIVA SUPERIOR SANTIAGO DE CALI
ÁREA:
Matemáticas
GRADO
Decimo
TEMA:
Razones Trigonométricas
PROFESOR:
Luís Eduardo Vallecilla G
TALLER
En conclusión el grado sexagesimal (1°) se define como
1
parte de la rotación total
360
El grado tiene dos submúltiplos: el minuto y el segundo.
 1 

 60 
1 minuto = 1’ = 
Podemos concluir:

 1

 60 
'
1 segundo = 1’’ = 
1° = cuántos minutos son?
1’ = seg. ¿???
1° = cuántos segundos???
Ejemplo:
Expresar 12° 15’ 23’’ en grados


 1 
 1 
12° + 15   + 23 
 ≈ 12, 25639°
 3600
 60 
Expresar 36,275° en grados, minutos y segundos
36,275° = 36° + (0,275 x 60)’= 36° + 16,5 ‘
= 36° + 16’ + (0,5 x 60)’’= 36° 16’ 30’’
expresar 23,2345° ; 12,32° ; -50,625° ; 123,696° en grados, minutos y segundos
expresar 12° 34’ 34’’; 13° 3’ 23,8’’, 124° 45’ 34.7’’ ; -2° 34’ 10’’ en grados
MEDIDA DE UN ÁNGULO EN EL SISTEMA CICLICO
Un segundo método para asignar medida a un ángulo da lugar a la medida en radianes
Considérese el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes,
es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir,
θ = s /r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el
radio. Por tanto, el ángulo completo, circunferencia, que
subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes,
es:
Puesto que la circunferencia mide 2π veces el radio del
medio giro tiene π Radianes
2π = 360°
π = 180°
Del resultado anterior se obtiene otras equivalencias:
  
 180
1  
 Radianes 1 Rad  

 180
  
Ejemplos Expresar 210° en radianes
Circulo, cada giro tiene 2π radianes y

    7 
 = 
 180   6 
210° = 210 

 5 
 5   5   180 
Expresar 
 Rad en grados   =   
 = 225°
 4 
 4   4   
Convertir en radianes cada uno de los siguientes ángulos expresados en grados
a. 60°
b. 120°
c. 240°
d. -175°
e. 35°
f. 1080°
g. -180°
h. -700°
Expresar en grados el valor de los siguientes ángulos
5
2
a.
7
3
b.
c.

6
d.
 2
7
e.
5
12
f.
7
4
g. 8π
Exprese los ángulos de los polígonos más comunes en radianes, expresados como fracciones de π
Convertir en radianes cada uno de los siguientes ángulos expresados en grados
b. 60°
b. 120°
c. 240°
d. -175°
e. 35°
f. 1080°
g. -180°
h. -700°
Expresar en grados el valor de los siguientes ángulos
b.
5
2
7
3
b.
c.

6
d.
 2
7
e.
5
12
f.
7
4
g. 8π
Exprese los ángulos de los polígonos más comunes en radianes, expresados como fracciones de π
Definición de las funciones trigonométricas
Si  es un ángulo en posición normal, M(x, y) es cualquier punto sobre su lado final, diferente de
(0,0), y r  OM  x 2  y 2 , entonces, las funciones trigonométricas para el ángulo  se definen
de la siguiente manera:
Seno  Sen 
y
r
x
r
y
Tangente  Tan 
, x0
x
x
Cot angent e  Cot   , y  0
y
r
Secante  Sec  , x  0
x
r
Co sec ante   Csc  
, y  0
y
Coseno   Cos 
Donde la función Seno se asocia con la coordenada y , Sen  = y y la función Coseno se asocia con
la coordenada x, Coseno  = x
Sea P=(a, b) el punto sobre el circulo unitario correspondiente al ángulo. Si sabemos en qué
cuadrante está P, podemos determinar los signos de las funciones trigonométricas de.
Por ejemplo, si P = (a, b) está en el cuadrante IV, sabemos que a > 0 y b < 0 entonces:
Sen  = b < 0
Csc  
1
0
b
Cos  = a > 0
Sec  
1
0
a
Tan 
b
0
a
Cot  
a
0
b
De acuerdo al ejemplo anterior completar el siguiente cuadro con los signos que representan las
funciones trigonométricas para un ángulo  ubicado en cualquier cuadrante.
Función
Sen  Cos 
Tan 
Cuadrante
I
II
III
IV
Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Csc 
Sec 
Cot 
Dado un ángulo  en posición normal y un
punto P(x, y) ubicado sobre su lado final, la
proyección del punto P sobre el eje x genera un
triángulo rectángulo en el que las coordenadas
(x, y) determinan las medidas de:
El cateto opuesto, el cateto adyacente a  y la
hipotenusa
Así, las relaciones trigonométricas definidas hasta el momento pueden ser definidas ahora como
relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, de la siguiente manera:
Ejemplos
Encontrar el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo, del triángulo PQR, en la
siguiente figura
Por Pitágoras se tiene que:
Y  ???
Por lo tanto,
Sen  
??

??
Csc  
??
??
 Cos   
??
??
Tan  
??

??
Cot  
??

??
Si se sabe que Sec 
6
, calcular Sen  , Cos 
2
Sec  
??

??
6
6
hipotenusa

2
catetoadyacente
Sec 
Sen  
??
??
Por
Tan  
Pitágoras
y  ?? Luego,
??
??
Con la ayuda del teorema de Pitágoras y con los insumos proporcionados hasta el momento
estamos listos para hallar el valor de las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30°,
45° Y 60°
A partir de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo, se calculan las funciones para
30° así:
Sen 30° =
Cos 30° =
Tan 30° =
Csc 30°=
Sec 30° =
Cot 30° =
Sen 60° =
Cos 60° =
Tan 60° =
Csc 60°=
De igual manera para 45°
Sec 60° =
Cot 60° =
Sen 45° =
Cos 45° =
Tan 45° =
Csc 45°=
Sec 45° =
Cot 45° =
De igual manera para 60°
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones
Cos 60° Sen 30° - Cos 45° Tan 60° =
2 Sen 45° + Tan 30° Cot 30° =
1 1
x 
2 2
2
2x

2
2
1
6 1 2 6
x 3 

2
4
2
4
1
3
1 4
x
1  
3 3
3 3
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones:
A. Sen 30° + 2 Cos 45°=
B. Tan 180° + 4 Sen 60° + 5 Cos 30°=
C.-3 Tan 360° + 4 Cos 45° - 2 Cos 90°=
D.
Sen30
 5 Tan30 
Cos 30
PROBLEMAS
La trigonometría siempre ha estado vinculada a la solución de problemas prácticos en áreas como
la física, la topografía y la navegación. Estos problemas comúnmente se plantean en términos de
un triángulo rectángulo. Resolver un triángulo rectángulo consiste en encontrar las medidas de
sus seis elementos: tres lados y tres ángulos.
En la solución de un triángulo rectángulo se debe considerar lo siguiente:
 La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180°
 El teorema de Pitágoras
 La definición de las funciones trigonométricas para ángulos agudos en el triángulo
rectángulo
Ejemplos Resolver el siguiente triángulo
En  ABC,  C = 90° Y  A = 48° por lo tanto:  B = 42° por que?
Para calcular el valor de la hipotenusa se pueden plantear dos
igualdades, cuáles? Como podemos hallar el cateto b?
Y su área seria?
Un piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión de 30°. Dieciocho
segundos más tarde, el ángulo de depresión sobre el mismo punto es de 55°. Si el avión vuela
horizontalmente y a una velocidad de 400 millas por hora. ¿A qué altura se encuentra?
Recordemos:
Como el avión lleva una velocidad de 400 millas/hora, en 18 segundos recorre?
Por lo tanto, en los triángulos BCT y ABT de la figura se tiene:
Tan 55° = ¿?
Tan 30°= ¿?
Despejar h en ambas
igualando, se obtiene:
ecuaciones
e
Luego h=¿?
Luego la altura del vuelo es ¿?
Determinar el ángulo  para el cual se
obtiene el valor de la función trigonométrica determinada
a. Sen  = 0,2079
d. Cot  = 1,5399
g. Sec  =6,3925
b. Cos  = 0,3062
e. Cos  = 0,7193
h. Csc  = 1,0403
c. Tan  = 0,5095
f. Sen  = 0,8192
i. Tan  = 3,7321
Hasta el momento hemos usado las funciones trigonométricas para resolver triángulos
rectángulos, es decir, triángulos con un ángulo de 90°, usaremos las funciones trigonométricas
para resolver triángulos oblicuángulos, cuales son los triángulos oblicuángulos?
Para resolver tales triángulos desarrollaremos LA LEY DE LOS SENOS Y LA LEY DE LOS COSENOS,
además de encontrar los lados y los ángulos de tales triángulos, deduciremos fórmulas para
encontrar su área.
Para el desarrollo de las siguientes actividades debo definir: Que se entiende por ALTURA de un
triangulo, en un triángulo acutángulo y en un triángulo obtusángulo trace sus respectivas alturas,
que se entiende por ortocentro.
LEY DE LOS SENOS Es un teorema utilizado en la resolución de triángulos para los casos LLA y ALA
Ley de los senos:
En todo triángulo la medida de los lados es directamente proporcional a los senos de sus ángulos
opuestos.
Si el triángulo es acutángulo entonces:
Sen A = ¿??  h= ¿??
Sen B = ¿???  h = ¿???
Por lo tanto:
b Sen A = a Sen B
de donde :
a
b

Sen A Sen B
Consideremos la altura respecto al lado a y aplicando un razonamiento similar se obtiene: ¿??
Si el triángulo ABC es obtusángulo entonces:
Sen A =??  h= ¿??
Sen C = ¿???  h= ¿???
Se cumple la igualdad
C Sen A = a Sen C
de donde:
a
c

Sen A SenC
Consideremos la altura respecto al lado a y aplicando un razonamiento similar se obtiene: ¿??
Y si trazamos la altura respecto al lado c y aplicando un razonamiento similar se obtiene???
Ejemplos:
Resolver el triángulo ABC si se sabe que:
B = 38°
C = 66°
y
c = 101 u
Teniendo en cuenta los datos dados, se deduce que para
resolver el triángulo se puede utilizar el teorema del
Seno
b
c

Sen B
Sen C
Despejando a b = ¿???
Por lo tanto b =????
Para plantear la proporción
a
c

Sen A
Sen C
se necesita el ángulo A
El ángulo A es igual a ¿?????
Remplazando el ángulo A en la proporción anterior el lado a es igual????
De modo que los elementos del triángulo ABC son:
Sobre la costa se encuentran dos faros A y B en la línea norte-sur, separados por una distancia de
1200 metros. Desde un barco, el capitán observa el faro A con un ángulo de 60°, respeto a la line
norte-sur y observa el faro B con un ángulo de 45° respecto a la misma línea
¿A qué distancia se en cuenta el barco de cada uno de los faros?
En el triángulo ABC, el  C =???
Los segmentos CN y AB como son???
Los ángulos  NCB y  B son iguales, por que ¿???
Entonces el ángulo  A es igual a ¿???
Como a es la distancia del barco al faro B y b es la
distancia del barco al faro A, se puede plantear las
siguientes proporciones:
a
c

Sen A
Sen C
y
b
c

Sen B
Sen C
Remplazando en las proporciones anteriores tenemos:
a = ¿??
y
b = ¿??
Resolver el triángulo ABC tal que a = 1400 cm y b = 1800 cm y A = 35°
Considerando los datos se plante la proporción:
a
b

Sen A Sen B

1400
1800

Sen35 Sen B
de donde Sen B =
1800
Sen 35   0.737
1400
Pero se sabe que la función Seno es positiva en el 1° y 2° cuadrante
Como Sen B = 0.737 entonces B = Sen -1 (0.737) = 47° 30’ 54’’ o 132° 29’ 6’’
Esto indica que existen dos triángulos que cumplen con las condiciones del problema
Si B = 47° 30’ 54’’  C =???
Planteando la proporción:
a
c
1400
c
en donde


Sen A SenC
Sen35 Sen (97 29' 6 ' ' )
Despejando c tendríamos ¿???
Luego c es igual a ¿??
Si B = 132° 29‘ 6’’  C =???
Plantando la proporción:
a
c
1400
c
en donde


Sen A SenC
Sen35 Sen (12 30' 54' ' )
Luego c es igual a ¿??
Ejercicios:
Determinar gráfica y analíticamente cuántos triángulos se pueden formar con cada conjunto de
datos:
M = 30°
m = 1.5cm
b = 3cm
y M =30°
m = 3 cm
b = 4cm
Un rodadero para niños tiene 5 metros de longitud y una inclinación de 36° con la horizontal. L a
escalera para subir al rodadero mide 3,2 metros de largo.
¿Qué inclinación tiene la escalera con respecto a la horizontal?
Ley de los Cosenos
La ley de los Cosenos se utiliza para solucionar los triángulos de los casos LAL y LLL
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas
longitudes por el Coseno del ángulo comprendido entre ellos.
La ley de los cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras.
Sea ABC un triángulo cualquiera, con BD la altura
sobre AC
BD genera en el triángulo ABC dos
La altura
triángulos rectángulos, nómbrelos
En cada uno de los triángulos aplique el teorema de
Pitágoras
En el triángulo ABD despejemos a h2 y remplacemos en
la primera ecuación
Cos A = ¿?? Despejemos a x y remplacemos en la primera ecuación.
Entonces a = b + c - 2bc Cos A
Consideremos la altura respecto al lado a y c aplicando un razonamiento similar se obtiene: ¿??
Demostremos el teorema para un triángulo obtusángulo
Ejemplos:
13.2.1 Resolver el triángulo ABC, si se sabe que a = 4cm, b = 6cm y C = 57°
Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, se aplica el
teorema de los cosenos
C2 = a2 + b2 – 2ab Cos C
= 4 + 6 – 2(4)(6) Cos 57° = 52 – 48(0,5446) = 25,86
c  25.86  5.085
La medida del ángulo A, se puede calcular mediante la
expresión
a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A
Despejando Cos A y remplazando tenemos que el ángulo A es igual a???
Luego los elementos del triángulo son????
Ejercicio
A que distancia se encuentra el observador A del observador B, si  = 45°
14. En cursos anteriores, se estudio el área del triángulo conociendo su base y su altura:
A
b .h
2
Donde b es la base y h es la altura
Ahora se definirá el área de un triángulo para dos casos particulares:

Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Dado el triángulo MNP A 

m. n Sen P
2
Se conocen los tres lados
En el triángulo RPT A 
S (S  r) (S  p) (S  t ) donde S es el semi perímetro
del triángulo
Ejemplos
Hallar el área del triangulo XYZ tal qué  30° y = 16 cm z = 15 cm
A
y z Sen x (16) (5) Sen 30

 60 cm2
2
2
Un terreno de forma triangular tiene lados 12,5 m, 16 m, y 25,5 m ¿Cuál es el costo del terreno si
cada metro cuadrado tiene un valor de $300000?
Es necesario conocer el área total del terreno para conocer el costo total
El semi perímetro del triángulo es ¿??
De acuerdo a lo anterior el área del triángulo???
Luego el costo del terreno es ¿??
Definición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria
Sea  un ángulo central, de medida t radianes, en la circunferencia unitaria, tR y P(x, y) el punto
de intersección del lado final de, como OP = r = 1 entonces:
Sen   Sen t 
y
y

 y
r
1
Csc   Csc t 
Cos   Cos t 
x
x

 x
r
1
Sec   Sec t 
Tan   Tan t 
y
y

x
x
Cot   Cot t 
si x  0
1
si y  0
y
1
si x  0
x
x
si y  0
y
Que es una función periódica?
La representación grafica de una función periódica, se repite con las mismas características
después de P valores, por lo tanto, P es el denominado periodo de la función.
Por ejemplo, las siguientes gráficas representan funciones periódicas
La función y = F(X) tiene periodo 4
La función y tiene periodo 8
Para facilitar la construcción de las gráficas de las funciones trigonométricas y el análisis de sus
características, se tendrán en cuenta las siguientes consideraciones:

Se emplea la notación y = f(x), donde x es la variable independiente y y la variable
dependiente.
 Junto con la circunferencia unitaria, se trazan algunos ángulos especiales, en posición normal.
Para cada uno de los ángulos, se dibujan la línea trigonométrica que corresponde a la función
que se desea graficar.
 La longitud de la línea trigonométrica de cada ángulo se traslada al plano cartesiano, tomando
valores de x entre 0 y 2π.
 Finalmente se construye la gráfica de cada función y se procede a realizar el análisis de sus
características.
Siguiendo el proceso descrito; se obtiene la gráfica que se muestra:
Tabla de valores de y = Sen x
x
Sen x
0
π/6
π/3
π/2
0
1/2
3
2
1
2π/3 5π/6
3
2
1/2
π
7π/6
4π/3
0
-1/2

3
2
3π/2
-1
5π/3

3
2
11π/6
2π
-1/2
0
Características de la función y = Sen x
 La función y = Sen x está definida para todo valor real de x, por lo tanto, su dominio es el
conjunto R.
 Las imágenes de la función Sen, se encuentra entre -1 y 1, es decir, 1 ≤ Sen x ≤ 1, de modo
que el rango de la función es el intervalo [-1, 1].
 Y = Sen x es una función periódica y su periodo es 2π.
 La función Seno varia así:
o En el primer cuadrante x varia de 0 a π/2 y Sen x crece de 0 a 1
o En el segundo cuadrante x varia de π/2 a π y Sen x decrece de 1 a 0
o En el tercer cuadrante x varia de π a 3π/2 y Sen x decrece de 0 a -1
o En el cuarto cuadrante x varia de 3π/2 a 2π y Sen x crece de -1 a 0