Dominante

Introducción
El presente libro no es un tratado de armonía tradicional ya que lo que pretende
es, precisamente, llenar el hueco de todo aquello que no se trata en las aulas de los
conservatorios. En primer lugar, los tratados de armonía no justifican científicamente el
uso de las escalas ni las tonalidades. Segundo, prohiben determinadas acciones como
las sucesiones de quintas paralelas y octavas, igualmente sin justificación. En su
tratado de armonía, Arnold Schönberg trata de razonar el porqué de estas normas tan
arraigadas pero no llega a nada claro ni contundente, dejando a la tradición como
única razón para ello.
Tras cuatro años de estudio de enlaces, el alumno de armonía termina esta
asignatura ignorando cosas tan importantes hoy en día para la composición como lo
que es una dominante sustituida, un intercambio modal, las tensiones de un acorde de
undécima, una técnica dodecafónica, un cluster, una dominante secundaria o un
sistema multitónica, por no citar muchas escalas que estudiaremos y un sinfín de
cosas más. Tampoco se aclara por qué existe un orden en los sostenidos o bemoles
de una tonalidad ni por qué un intervalo disonante debe resolver.
Todas estas cosas que hemos nombrado son algo más que términos
académicos puesto que permiten enriquecer enormemente las posibilidades de la
composición. También se adjunta un CD con ejemplos sonoros ya que otra cosa
sorprendente es que se estudie el sonido y la música sin que nada se oiga. Durante mi
estancia en el conservatorio hice el experimento de tocar acordes en diversas
inversiones para ver si mis compañeros eran capaces de reconocerlos y eso no
sucedió. Para un compositor es necesario, no ya reconocer inversiones y tipos de
acordes, sino escucharlos interiormente de manera espontánea y construir la música
primero dentro antes de sacarla a la luz.
Este libro va dirigido a dos tipos de público. Aquellos que son músicos y los que
no lo son. También está concebido para científicos pero, como suelen ser los menos,
he tratado de describir los fenómenos físicos de la forma más sencilla posible,
añadiendo apéndices con demostraciones para quienes las puedan asimilar sin cortar
así la línea de desarrollo de cada tema. Se supone que quien lo lea está familiarizado
con la notación musical, y los que no lo estén pueden informarse primero con la
bibliografía. He querido que este trabajo se parezca lo más posible a un libro de física,
en el sentido de ir paso a paso, justificando debidamente cada cosa y sin saltar pasos
o dar por supuestas cosas que no son evidentes.
Algunos entusiastas de las formas contemporáneas opinan que emplear
recursos clásicos es lo mismo que componer como Brahms, pero eso es absurdo.
Muchos cambios y sistemas existen hoy en día que han enriquecido la música. En el
día de hoy hay muchos que no comparten en absoluto esa creencia actual de pensar
que la música clásica ya no puede ofrecer cosas nuevas. Revoluciones como el jazz,
la música étnica, el cine, e incluso el pop y el rock han introducido elementos
novedosos que se pueden usar conjuntamente con las técnicas clásicas y crear
efectos sorprendentes parejos, por qué no, con otras contemporáneas como el
atonalismo y la electroacústica.
Se debería huir del mero afán de notoriedad, la excentricidad o de la obsesión
por la modernidad. Por ejemplo, hay la creencia de pensar que componer “libremente”
significa no emplear secuencias de acordes tradicionales o consonantes, pero esa
misma idea encierra una nueva esclavitud, consistente en prohibirse a sí mismos el
uso de los primeros; simplemente se ha pasado de dejar de servir a un tirano para
servir a otro diferente. Algunos compositores no se atreven a usar formas tradicionales
por miedo a que sus colegas se lo afeen ¿no es eso esclavitud?
El verdadero arte no puede ser voluble, ligado a la moda, sino al propio espíritu
humano de su creador. Creo en el arte como la creación de belleza y el reflejo del
propio yo profundo sin ataduras ni restricciones arbitrarias dictadas por ciertos grupos.
Sin embargo no es menos cierto que en algunos periodos de la historia se ceñían a las
formas del momento pero eso también era debido a la falta de recursos que aún no
habían sido descubiertos. Posiblemente Bach emplease el ordenador para componer
si hubiese nacido en el siglo XX.
También pretendo demostrar con razonamientos y hechos que la música es un
fenómeno universal que no depende del medio cultural donde se desenvuelve. Que los
sonidos que crean emociones y estados de ánimo, o diversos sentimientos, lo hacen
por motivos universales y científicos, no porque estemos acostumbrados a ello o por el
hecho de que “si mi padre se asustó, lloró o rió con esta o aquella música, yo también
lo hago porque es la costumbre hacerlo en nuestra cultura”.
Hace muchos años discutía con un amigo este hecho y me puso el ejemplo de
una marcha fúnebre. Efectivamente, nuestras marchas fúnebres son tristes,
melancólicas y evocan la ausencia del ser querido. Este amigo me decía que, en
cambio, en África, una danza funeraria tiene un ritmo trepidante y lleno de fuerza, que
nada tiene que ver con la música europea. Años más tarde descubrí el porqué de esa
diferencia, precisamente en África, durante las iniciaciones, en donde se repetían esos
ritmos de tambores incesantes. A diferencia de Europa, en donde hablar de la muerte
es tabú, en África es la cosa más normal del mundo, dado que su religión animista
tiene como fundamento el culto y comunicación con los antepasados. Durante el
desprendimiento del espíritu, el que parte hacia el más allá tiene visiones de formas y
colores veloces y danzantes que encajan perfectamente con el ritmo de los tambores,
inducidas por los agentes alucinógenos de las iniciaciones. Los africanos, o al menos
sus creencias en el más allá, tratan de reconstruir este escenario que va a vivir la
persona que ha muerto. Como vemos no es que la música trepidante emule tristeza en
la concurrencia por adaptación cultural. La música emula lo que tiene que emular, es
el concepto de la muerte lo que varía en los pueblos africanos con respecto a Europa,
no la música.
Otro ejemplo lo protagonizaron unos investigadores en el Amazonas, que
visitaron una tribu de indios indígenas cuyo contacto con la civilización occidental
había sido nulo. Se les ofreció música europea y la sorpresa fue que, ante una obra de
Mozart, estos indios quedaron inmóviles y en un estado cercano al trance provocado
por la impresión que les había causado.
Al igual que una obra literaria, la música tiene sus propios recursos para crear
emociones, quizá de las más profundas. La cuestión es que en la literatura el porqué
es evidente: son las propias palabras, su belleza y su combinación, al igual que en la
poesía, quienes actúan directamente en el cerebro con conceptos contundentes y bien
definidos. Si yo escribo: “junto al río había una fuente de cristalinas aguas” está muy
claro lo que quiero decir y todo el mundo imaginará en su pantalla mental ese río, esa
fuente y la pureza del agua aunque, claro está, cada uno a su manera. Se puede
hablar del amor, de la guerra, de la naturaleza; no hace falta ningún fundamento
científico detrás de todo eso. Si hablo en un libro de la muerte del ser amado de un
protagonista está muy claro que crearé tristeza en el lector pero, en cambio, ¿por qué
una obra en tono menor evoca lo mismo? No habla de la muerte de nadie ni de
desgracia alguna y, pese a todo, es capaz de crear ese ambiente. Si hablo de seres
sobrenaturales y dimensiones desconocidas conseguiré sobrecoger al lector por
motivos obvios. En cambio, una determinada serie multitónica modal de acordes
menores creará esa misma sensación sobrecogedora sin haber tenido que exponer
textualmente nada explícito. Esa es la magia del cine, apoyado en la música para
crear sensaciones de todo tipo. Si la música es la adecuada creará esas sensaciones
inevitablemente y formará el extraordinario todo-uno de una obra de arte completa.
Pues bien, insisto en que esos sentimientos radican en realidades muy
profundas y demostrables, fundamentadas en la física y la neurología, y que se irán
desarrollando a lo largo del libro.
2
CAPÍTULO 1
El arte y la música
1.1 ¿Qué es la música?
Casi todos recordaremos que en el colegio nos contaban algo así como:
“Música es el arte de combinar los sonidos”
pero aquí pretendo ir un poco más allá de lo que sería una mera definición académica
y tratar de razonar si esto es todo lo que se puede deducir sobre la música. En
principio, esta definición no parece aclarar mucho más que esa otra que, en tono de
humor, circula por los conservatorios: “El arte de combinar los horarios para que todas
las clases sean compatibles”, y es cierto que tantas asignaturas pueden llegar a crear
muchos conflictos de horarios.
Cuando yo mismo pasé por esos bancos del conservatorio, y concretamente en
la asignatura de Historia y Estética, también se nos planteó que razonásemos una
buena definición de música o, más bien, las condiciones que debían cumplirse para
que la música existiese. Cada uno dábamos nuestras razones tales como: “que exista
un sonido”, “sucesiones de pianos y fortes”, “que haya una melodía”, “que haya una
armonía”, etc.
Uno por uno, el profesor fue desmontando todos nuestros argumentos. Por
ejemplo, en música contemporánea no tiene que haber necesariamente una melodía,
en electroacústica, compuesta muchas veces a base de efectos, tampoco aparece una
armonía definida. En una discoteca todo es un forte desde que empieza hasta que
acaba y, por si fuera poco, tampoco se necesita que haya sonido. ¿Cómo? ¿que no se
necesita sonido? ¿cómo es posible?
Es muy simple, imagine la música que escuchó ayer en la radio y ya está
dentro de su cabeza. Un compositor escucha la música primero dentro y luego la
plasma en el papel.
El caso es que, para que haya música, simplemente basta un receptor humano,
o tal vez no, que decida si hay música o no. Encienda el aspirador de su casa y párese
a escuchar el sonido del motor. Si usted decide que eso es simplemente un ruido,
entonces no hay música pero si, por el contrario, ese sonido le gusta y encuentra una
estética en ello, para usted sí la hay. Por tanto, al igual que el color, la música se
forma dentro del ser humano y el sonido no es más que un mero vehículo del que se
sirve para comunicar una experiencia entre compositor y público. La música se
convierte en una experiencia subjetiva. Inversamente, un equipo de sonido en el
desierto con una sinfonía de Mahler no produce música sino tan solo sonido físico
pues no hay nadie allí para escuchar.
Decíamos antes que es como el color. Los objetos reflejan luz (radiación
electromagnética) y lo hacen emitiendo una determinada longitud de onda. Esa
radiación es captada por nuestro ojo y dentro de nosotros se forma el color. Un cuadro
de Boticelli nos producirá una determinada sensación psicológica al contemplar su
combinación de formas y colores y en ese momento es cuando aparece ese misterioso
fenómeno que es el arte. Mencionaremos en este punto una frase del célebre filósofo
David Hume: “La belleza no es un atributo de las cosas en sí, sólo existe en la mente
que las contempla”.
3
1.2 El significado del arte
En el universo la energía se distribuye formando determinadas agrupaciones
de partículas elementales (protones, neutrones, fotones, electrones, neutrinos,
mesones, etc.) y el porqué de ello sigue siendo un misterio. Bien podría ser la energía
una masa uniforme sin esas diferencias caprichosas de la naturaleza, pero entonces
no existiría nada de lo que conocemos. Ni siquiera estaríamos nosotros aquí para
comprobarlo. Todo se resolvería en una sopa monocolor de energía sin forma. Según
las últimas teorías de supercuerdas, cada partícula elemental sería algo muy
semejante a una nota musical y el universo algo muy parecido a una gigantesca
sinfonía llena de notas, cada una de las cuales sería una partícula subatómica
diferente.
El arte es otro misterio y puede que entronque filosóficamente con realidades
muy profundas del universo. Posiblemente contestaría a preguntas tales como quienes
somos o por qué hemos aparecido dentro de un universo. Naturalmente hay opiniones
que abogan por que todo es fruto del azar, una postura que no deja de ser muy
cómoda, eliminando cualquier quebradero de cabeza y ofreciendo una solución
escueta y poco estudiada de la realidad.
La vida, aunque con un soporte bioquímico, se caracteriza por la aparición de
la conciencia y los sentimientos, cosa que no pasa con otros objetos materiales. Da la
sensación de que la biología es a la conciencia lo que el sonido a la música, los
pigmentos a la pintura, las posiciones físicas a la danza o el texto escrito a la literatura.
Hay indudablemente un sustrato interior del ser humano que hace que esas cosas
inanimadas como pigmentos, sonido o letras cobren una vida especial, el hacer nacer
sentimientos.
Quisiera también hacer notar que no todo el mundo opina así. Citaré como
anécdota que en cierta ocasión estuve en una conferencia en donde se hablaba de
aplicaciones de algoritmos a la composición musical. Los ejemplos sonoros se
constituían mediante unos sonidos metálicos, muy típicos de la electroacústica, en
medio de los cuales surgían a veces una suerte de pequeñas ventosidades rápidas y
agudas. Al parecer éstas eran los algoritmos que llegaban a producir hasta trescientas
notas en un segundo. Pasada la charla se generó un coloquio en donde una señora
preguntó al ponente si, al componer, pensaba en sentimientos o en algoritmos. Su
interlocutor sonrió con condescendencia y respondió que eso de los sentimientos era
un concepto antiguo ya que la música no significaba nada en absoluto. Es decir, que la
misión de sus sonidos era atravesar limpiamente la cabeza entrando por un lado y
saliendo por el opuesto sin producir efecto alguno al igual que un suculento bocadillo
pasa por encima de una piedra sin producir en ésta apetito de ningún género. Esta
teoría resulta difícil de llevar a cabo en la práctica puesto que el producir o no esos
efectos no depende del sonido sino de la persona que lo escucha y le resultaría
imposible evitar que alguien reaccione emocionalmente ante esos estímulos. Para
poder consumar semejante concepto de la música sería necesario interpretarla ante
un público de personas anestesiadas, lo que hace algo superfluo emplear tan
complejos algoritmos, total, para que nadie los oiga.
1.3 La respuesta de la ciencia
Ha habido no pocas investigaciones y especulaciones sobre el por qué la
música es tan importante para el ser humano y aún no se ha llegado a ninguna
conclusión irrefutable. Hay que decir que la música es algo muy extenso y que va
desde lo profundo hasta lo superficial, desde lo celestial a lo infernal. Las personas
que no tienen interés hacia respuestas filosóficas sobre la vida, el universo u otras
cuestiones enigmáticas de la existencia es difícil que se relacionen bien con músicas
profundas como Mahler, Shostakovitch, Bruckner o SIbelius. En cambio les parecerá
mucho mejor planteamientos sonoros más sencillos como Mozart o Meldelssohn. Para
quienes quieran una existencia sin meterse en honduras de ningún tipo excepto
pasarlo bien y disfrutar de los placeres inmediatos se relacionarán bien con una
4
música comercial sencilla y sin dobleces. Aquellos que conciben su relación con la
vida de una manera más agresiva o atrevida lo harán con el rock duro.
Como vemos, la música tiene un espectro muy amplio y cada sector satisface
las necesidades psicológicas de la persona en la misma medida de cómo sean esas
necesidades. Parece que es un arte especial porque cuando una persona está
sometida a una música que no se corresponde con su naturaleza reacciona mucho
más fuertemente que con la pintura o la literatura, y alegará aburrimiento por esa
misma falta de conexión. Un roquero dirá que se aburre escuchando a Beethoven y un
entusiasta de Beethoven dirá lo mismo cuando escuche rock, le aburrirá o le parecerá
molesto y estruendoso. Es difícil, aunque no imposible, encontrar un público que goce
por igual en cualquier zona del espectro musical.
Eso demuestra una vez más que no es posible quedar indiferente ante un
determinado tipo de música, ya sea por empatía o por todo lo contrario.
Desde lo más elemental de la biología, la ciencia ha investigado el porqué de la
importancia de la música en nuestras vidas. En algún caso supone la extensión de la
llamada a la pareja, protagonizada muy bien por el canto de los pájaros y sus bailes
ante la hembra. Este equivalente se daría sin duda en la música de baile, que
promueve el acercamiento entre hombre y mujer. En otros casos se habla de que, en
la prehistoria, las tribus cantaban para asustar a las otras tribus rivales y eso se puede
extrapolar en la actualidad al placer que experimentan algunas personas que cantan
en coros a un volumen excesivo, pues la sensación de poder y dominio es notable.
Los animales que quieren enfrentarse, ya sea por la posesión de la hembra o de
mejorar su estatus en la manada, suelen tener primero un desafío vocal a base de
chillidos que, en muchas circunstancias, suelen acabar con la huida de uno de ellos,
evitando así la contienda. En nuestra sociedad asusta bastante la persona dotada de
una potencia vocal notable y también evita llegar a las manos cuando los gritos de uno
logran asustar al contrincante. Por último son muy de destacar los cantos marciales y
los himnos. Los soldados de los ejércitos suelen cantar para motivar la exaltación
patriótica; otros lo hacen tocando la gaita, especialmente en Escocia o Norteamérica.
Resulta curioso que un instrumento como la gaita pueda causar ese enardecimiento,
pero yo mismo lo experimenté durante unas vacaciones en Escocia y conste que yo no
tengo nada de escocés.
Biología, sexo, lucha por mejorar la posición en la manada, unión ante el
enemigo. Esas son algunas de las explicaciones científicas sobre el porqué de la
importancia de la música pero no abarca todo. En un interesante documental, David
Atenborough, ex director de la BBC británica, nos narra al final su incapacidad para
explicar el origen biológico de una cantata de Bach. Esa música no trata de ningún
elemento anterior, ni pretende atraer a una pareja ni pelear o mejorar su estatus, que
era por cierto excelente. Simplemente ofrece eso a su Dios como lo más íntimo y puro
de su propio ser, y aquí es donde probablemente el hombre diverge de sus
antecedentes animales ya que, por su especial condición racional, ha accedido a un
afán de trascendencia, lo que carece de puntos en común con el reino animal; es
exclusivo de la especie humana.
1.4 La influencia de la cultura
Todo lo dicho se refiere a la música como un todo, pero existen otros aspectos
menos filosóficos como lo son la tonalidad y la modalidad, la percepción de la
disonancia y que, aún siendo de menor escala, es tema de controversia. En definitiva
supone decidir por qué algo “suena bien” o “suena mal”, o si gusta o no gusta. Existe
una razón (excusa diría yo más bien) tan todopoderosa como manida, que es la de
achacar todo a la educación. Ésta libera, así, de investigar otros porqués puesto que lo
explica todo: mi percepción del color rojo es así porque me han educado para que no
sea de otra manera. Un intervalo suena consonante o disonante, naturalmente, porque
cuando era niño me decían: “mira, niño, este sonido suena mal y este otro bien, y si
dices lo contrario te castigamos sin postre esta noche”. Los puñetazos duelen porque
se te ha educado para que te duelan, tenemos enfermedades por la educación. El sol
5
sale todos los días, por supuesto, porque nos han educado para que no pueda ser de
otra forma. ¿Qué más hace falta decir? La explicación consistente en decir que todo
es fruto de la educación es todopoderosa, huelga cualquier otro argumento.
Desde muy antiguo se ha suscitado la polémica sobre la diferencia entre una
consonancia y una disonancia. Sobre este tema hay también cierta beligerancia, unida
a ignorar cualquier argumento científico, proponiendo cosas tales como decir que lo
que para nosotros es una consonancia, como un intervalo de octava por ejemplo, para
un balinés sería una tremenda disonancia, por supuesto achacando a la cultura, cómo
no, semejante diferencia en la percepción. Normalmente esta argumentación se suele
enunciar como: “lo que para nosotros es una consonancia, puede que para un balinés
sea horrísono”. El “puede que” denota inmediatamente que, en realidad, no se le ha
mostrado al balinés la susodicha consonancia y comprobar su reacción con lo que no
es una prueba científica sino una mera especulación. El argumento de la educación,
además de todopoderoso, elude asimismo demostración alguna, limitándose a
exponer una idea sin admitir mayor discusión. Entre estas propuestas educacionales
las hay que sostienen que una disonancia, a base de escucharla mucho tiempo, se
puede convertir en consonancia. Eso destrozaría el sistema tonal y su delicado
equilibrio entre tensión y distensión puesto que todo llagaría a ser consonante en
cuestión de tiempo. Esta tesis no explica que muchas personas lleven escuchando el
tritono una vida entera y su percepción sobre el mismo no haya variado un punto ni
una coma. Están tan acostumbradas a él como a cualquier otro intervalo. A mi, por
ejemplo, me resulta muy sencillo entonarlo y, pese a todo, me resulta siempre
disonante. Si la percepción de la disonancia llegase a ser consonancia escuchándola
durante mucho tiempo ¿cómo podríamos los compositores crear tensión en una obra
si todo nos resultase consonante?
Si la tesis de la educación fuera indiscutible, a una persona inmersa en un
determinado ambiente cultural debería gustarle todo lo propio del folclore de dicha
cultura, lo que no es cierto. Por ejemplo, a un español necesariamente deberían
gustarle los toros y el flamenco, cosa que es falsa.
Veremos que una de las teorías sobre la percepción de la disonancia se debe a
dos científicos japoneses, es decir, de otra cultura muy diferente a la nuestra. Un
japonés percibe una segunda menor tan disonante como un europeo o un ciudadano
de Illinois.
Muchas veces, al hablar de consonancia y disonancia, se emplea un lenguaje
poco adecuado, citando a la primera como algo “que suena bien” y a la segunda como
algo “que suena mal”, pues resulta demasiado ingenuo. Aparte de achacar diferencias
entre culturas, también se recurre a periodos históricos como la Edad Media,
argumentando que una tercera les sonaba mal, lo cual es igualmente falso.
Simplemente no les podía sonar ni mal ni bien por la sencilla razón de que aún no se
conocía, no que no la usaran porque les sonase mal.
Por citarme a mí mismo, como a otros muchos, la música de otras culturas nos
suena excelentemente. Hablaremos de ello y demostraremos que están sujetos a los
mismos principios científicos que la música occidental, aunque con otras premisas.
Tampoco es correcto decir que las disonancias “suenan mal”, simplemente son puntos
de tensión muy necesarios en la música confiriendo el interés y el movimiento que
esperamos de ella. No hay nada más aburrido e insípido que una música sin
disonancias, al igual que los sonidos perfectamente afinados. Sin ir más lejos, en la
pista 30 del CD he incluido un fragmento de mi sinfonía nº 9 en donde introduje la
fuerte disonancia en el coro a fin de conseguir el efecto dramático y algo sobrecogedor
del instante de la Creación.
Entonces ¿tiene o no tiene la música influencia de la cultura en la que se
desarrolla? Naturalmente que la tiene, eso es justamente lo que nos hace discernir su
origen y exclamar: ¡eso es música china!, ¡eso es música árabe!, o medieval, o música
del oeste, etc. Esta característica se debe a varios factores como pueden ser el ritmo y
la aparición de instrumentos típicos de esa cultura pero, sobre todo, a lo que llamamos
modalidad, y que será ampliamente estudiado.
6
Para terminar de demostrar que cultura y disonancia no tienen nada que ver
haremos el siguiente experimento: tomemos la pista 61 del CD y escuchémosla
primeramente con auriculares. Hecho de esta manera parece que no hay nada
especial, pero si ahora se escucha mediante amplificación a través del aire
escucharemos un efecto extremadamente desagradable. Ambas pistas están
desafinadas un cuarto de tono y solamente se produce disonancia cuando dejamos
que ambas ondas interfieran en el aire. La cultura no tiene nada que ver con la
interferencia de ondas, que será objeto de estudio más adelante.
Hablemos de algo que sí es más cercano a la cultura: la modalidad. La
modalidad es como un toque personal que tiene la música de cada lugar y que la hace
inconfundible. Consiste en la elección de una escala particular acompañada por
determinadas secuencias de acordes. Veamos un símil con las razas humanas. Si su
vecino tuviese como rasgos característicos la mandíbula cuadrada y los ojos saltones,
no por ello diría que es de otra raza. Pero imagine que le invita a ir a la ciudad donde
nació y ve, con sorpresa, que allí todo el mundo tiene el mentón anguloso y los ojos
saltones igual que él. En ese momento su cerebro le dirá que está en presencia de
una raza que probablemente usted desconocía. De hecho, hay personas con las cejas
arqueadas a semejanza del señor Spock de la serie Star Trek y que no son
vulcanianos. El hecho de considerarlos una raza extraterrestre se debe a que en la
citada serie aparecen muchos de ellos con estas facciones, haciendo que nuestro
cerebro los clasifique inmediatamente como algo que merece tener ya entidad propia y
puesto aparte. No obstante, todos compartimos tener una nariz, dos ojos, una boca,
etc.
En la música pasa lo mismo. Existe lo que llamaremos la escala natural,
deducida científicamente (en oposición al argumento de la educación) y que muestra
que compartimos esa parte de la música. A partir de esta base se derivan diferentes
escalas o modos, que darán personalidad a un tipo concreto de música. De aquí
saldrán músicas como la árabe, la china, japonesa, africana, medieval, el flamenco, el
jazz, y todo lo que conocemos. Lo mismo que en el ejemplo de las razas, hay una
igualdad esencial que es factor común pero, si dentro de ese todo aparecen muchos
elementos en los que hay repetición de un determinado patrón, es puesto en un grupo
aparte. Es relativamente inmaduro decir que los pertenecientes a uno de esos grupos
percibirán como “desagradable” la característica que lo diferencie de otro. Insisto en el
hecho de que a muchas personas occidentales no les parece desagradable la música
japonesa o la balinesa. Simplemente es diferente, eso es todo.
1.5 ¿Qué debería hacer la música?
Naturalmente, cada uno de los diferentes tipos de música debería satisfacer
ese nivel de necesidad que la persona busca en ella. Cualquier cosa excepto pasar de
oído a oído sin crear efecto alguno como aquel señor de los algoritmos que antes
citábamos. De hecho lo hace así y cuando una música no encaja con ninguno de estos
moldes suele fracasar; posiblemente porque no existan personas capaces de
sintonizar con ese nivel salvo su propio creador, aunque a veces ni eso suele suceder.
La música, ante todo, debe estimular un sentimiento. Hay músicas que producen
agresividad, e incluso cólera, y dependiendo de quienes la escuchen, unos lo sentirán
como algo desagradable, mientras que otros pueden disfrutar de esa misma
sensación; al menos la música ha creado el efecto deseado.
Desde lo infernal a lo terrenal y a lo sublime, la música ante todo debe realizar
esa misión de producir estados psicológicos. Dentro del compositor, que es como el
crisol, surge la música, pero ésta debe transformarse en sonido para poder viajar
hasta el espectador y, por tanto, debemos estudiar los medios de los que se vale hasta
cumplir con su cometido. Estos medios son dos: el sonido como tal ente físico y la
fisiología de su percepción, que estudiaremos en el siguiente capítulo.
Sin pretender hacer crítica ni juzgar o condenar a quienes tienen ciertas
creencias hay que decir, a título meramente informativo, que hay también tendencias
7
en las que se crean obras con sonidos de tipo azaroso y en los que se dan anécdotas
tales como que sus propios creadores no son capaces de reconocer cuando lo
escuchan. Se envuelven los discursos en lenguaje aparentemente científico,
empleando palabras como fractales y teoría del caos sin saber en realidad de qué se
está hablando. Lo cierto es que cada cual debería ser libre de componer como lo crea
conveniente, pero resulta poco ética la arrogancia e intolerancia frente al trabajo de
otras personas que no compartan las mismas ideas, ya que son igual de respetables
las unas y las otras. En el último capítulo hablaremos de una marcada tendencia a
mostrar obras difíciles a un público inadecuado que normalmente no goza con ello,
ante lo cual la reacción es insistir en que el público “no entiende”. Es una realidad
encontrar muchas personas que esperan fuera de la sala de conciertos a que este tipo
de obras concluyan para entrar después, pero, en contrapartida, se ha puesto de
moda que algunos directores, partidarios de esta música, planifiquen la programación
para obligar al público a escucharlas, les guste o no, y esto abandona el terreno de lo
estrictamente musical para entrar en el de la ética. ¿A usted le gustaría que en todos
los restaurantes le obligasen a comer algo así como un bistec de burro antes de
acometer el menú principal? Quizá después del postre peor aún.
Y, abundando en lo mismo de antes, es decir, que todo el mundo tiene perfecto
derecho a componer libremente, ya sea con este tipo de música u otro, ¿por qué no
ofrecer esto únicamente a quienes lo aprecien? ¿por qué ese empeño, rayando en lo
obsesivo, de intercalar estas obras donde se sabe positivamente que no va a gustar?
Hay un falso argumento, usado muy frecuentemente, que reza lo siguiente:
Siempre que algo novedoso comienza, no gusta. Vea si no, la torre Eiffel cómo se
denigró y ahora es el grandioso símbolo de Francia. En primer lugar, no es verdad que
siempre lo novedoso sea mal acogido. La música pop nunca tuvo rechazo por parte
del pueblo llano. En cuestiones gastronómicas, muchas veces se prueban platos
exóticos que resultan ser exquisitos. El hiperrealismo en pintura es una técnica nueva
y ha sido muy bien acogida, la música new age y muchas cosas más. Lo que es
recibido con rechazo es una innovación problemática. Hay, por ejemplo, una persona
que hace esculturas plastificando cadáveres. Ha suscitado polémica. Las películas
sobre la vida de Cristo que no se adaptan al evangelio. ¡Polémica al canto!
También se esgrime el argumento de decir que algo no gusta porque no se ha
mostrado lo suficiente. Eso sólo es parcialmente cierto. Pensemos en el lapso de
tiempo que tardó la torre Eiffel en ser aceptada ¿20 ó 30 años? Ahora recordemos
cuándo se iniciaron las excentricidades musicales: John Cage1, años 40 a 50. Años
transcurridos: 67. Aceptación del gran público: la misma que cuando empezó, es decir,
ninguna.
Aparte de las excentricidades, también hay un tipo de música, que he dado en
llamar música marrón2, consistente en la mezcla caótica del sonido. Yo la llamo así
porque durante algunos años pintaba cuadros al óleo. Después hay que limpiar la
paleta con un papel arrugado y se mezclan todos los residuos de pintura que han
quedado. Sorprendentemente, se pinte lo que pinte, lo que resulta siempre es un color
marrón, más claro más oscuro, tirando a verde o a rojo, pero siempre marrón. Pues
bien, esta música siempre da la misma sensación, esté hecha con los instrumentos
que esté hecha, sea del compositor que sea, hagan lo que hagan, siempre producen lo
mismo (normalmente su característica fundamental es crear aburrimiento). Hay
conciertos marrón claro, otros marrón oscuro, pero eso sí, siempre marrón.
Y quiero remachar todo lo dicho contando una pequeña anécdota que
demuestra que cuando la música se construye bien deja de ser una excentricidad para
convertirse en arte. Fue en un concierto en donde había dos ejecutantes. Por supuesto
el programa era de música contemporánea y, tal era el escándalo que estaban
organizando, que en un par de ocasiones estuve a punto de abandonar la sala. Pero,
1
Hay que hacer constar que la obra de John Cage no la considero exclusivamente excéntrica. También
tenía grandes aciertos, presentando inventos como el piano preparado, por ejemplo.
2
Una advertencia al lector. Esta denominación es coloquial y solamente mía. La llamada música marrón
existe y se tratará en este libro a su debido momento.
8
de pronto, la cosa cambió y una de las obras me impactó tan positivamente que creo
que es una de las mejores obras actuales que he escuchado. Y para que el lector no
se quede intrigado contaré en qué consistió. Era piano solo y el intérprete había
dejado el pedal libre para que, por resonancia, todas las cuerdas del piano pudiesen
contagiarse del sonido de las pocas que tocaba. La obra era un ostinato, insistente en
la misma nota repetida muy rápidamente y cambiando de octava de vez en cuando
para poder barrer todo el espectro sonoro. De pronto, de la caja del piano comenzó a
emerger un sonido compacto, de órgano, impresionante y grandioso. Todo el piano se
había puesto en vibración. Pero el secreto, como siempre, radica en un principio
científico consistente (como veremos a lo largo del libro) del fenómeno físico armónico.
En este caso, aunque la cantidad de sonido era enorme, pues se componía de un
inmenso cluster del piano entero, se había dejado que las cuerdas seleccionasen
frecuencias armónicas de las que estaban sonando y el resultado era coherente. Bien,
la reacción del público (ése que dicen que no entiende) fue apoteósica y la obra
consiguió arrancar aplausos como ninguna otra pieza anterior había conseguido.
Finalmente aparecen unas tendencias que bien podríamos considerar como
extramusicales, pues se trata de tratamientos psicológicos que ciertas personas se
aplican a sí mismos. Quizá llevados por algún tipo de complejo proveniente de la
infancia, o por no haber recibido la debida atención, hay quienes han desarrollado un
afán de protagonismo que les empuja a provocar la polémica. En estos casos el
concierto es lo de menos, la música se lanza con el expreso deseo de producir
malestar, sin importar que no guste, pues lo realmente importante es el efecto
posterior al concierto, empezando por la reacción adversa o irritada del público, y
terminando en artículos en prensa, puesto que lo que se pretende es llamar la
atención a fin de mejorar el complejo. La parte importante es la polémica. Existe un
dicho interesante sobre esto, que es: que se hable de mí, aunque sea mal, y aún hay
quienes han hecho una modificación más aguda del dicho, enunciándolo como: que se
hable de mí, aunque sea bien, puesto que se supone que cuando se habla mal de
alguien se habla más. La cuestión ética de todo esto es: ¿hasta qué punto tiene
derecho una persona a hacerse un tratamiento con dinero público?
No nos engañemos; la música no puede dejar de tener su significado y nunca
podrá tener otra estructura, por mucho que les pese a algunos fanáticos de la
vanguardia, mientras que nuestro cerebro siga funcionando como el órgano que se
forjó por evolución en un millón de años. Tal vez cuando pase otro millón y funcione de
otra manera la música cambie, pero por ahora eso no sucederá.
1.6 Técnicas de composición
Si me viese en la situación de dar clases de composición, tengo muy claro lo
que debería hacer. Lo más importante es dejar al alumno en libertad para expresar lo
que quiera. No hay nada más enojoso que verse limitado como en esos concursos de
fotografía en donde se impone un tema. Una vez el alumno ha realizado su
composición mi pregunta inmediata será: “¿está usted contento con lo que ha hecho?”
¿no hay nada que quiera cambiar o que crea que pudiese mejorar? Si las respuestas
fuesen afirmativas le diría “pues entonces haga otra” y ni siquiera miraría su trabajo.
La razón es que si la música es la expresión más profunda del espíritu ¿con
qué derecho me entrometería en la creación de otra persona?
Primera regla: Respeto a lo que otros hacen y fidelidad a la propia llamada
interior. No porque la moda diga que hay que hacer esto o lo otro debe caer uno en la
traición a uno mismo. Otra cosa muy diferente es que la persona se esté haciendo un
tratamiento psicológico por su cuenta y pretenda simplemente llamar la atención con
sus excentricidades. Aquí no hace falta fidelidad alguna pues falta lo esencial: no hay
artista, simplemente una persona con problemas mentales.
Otro parámetro de suma importancia a mi modo de ver es que esa obra se
escuche, que su creador se de perfecta cuenta de lo que ha hecho. Lo ideal sería
buscar intérpretes humanos y en su defecto realizar una maqueta con ayuda del
ordenador. Creo que una de las cosas que a mí más me ha hecho avanzar en la
9
composición fue el hecho de poner disponer de sintetizadores que me permitieron
conocer y escuchar una y otra vez el material escrito. Cuando cursé la asignatura de
armonía en el conservatorio, uno de mis “errores” fue el comenzar a realizar mis
ejercicios con el piano. Sistemáticamente los profesores me señalaban que no hiciese
esto o lo otro, tirando abajo una serie de cadencias y giros melódicos y armónicos que
a mí me habían salido desde lo más profundo. Las razones de tener que eliminar
muchas de las cosas que había compuesto eran confusas y poco claras cuando no
completamente arbitrarias. Realmente la armonía tiene unas reglas, que ya
comentaremos más adelante, pero son muy concretas y tienen la propiedad de estar o
no estar. Por ejemplo, yo puedo imponer una regla a un composición diciéndole al
compositor: “mire, no empiece usted una canción por la nota Do”. Si la canción
empieza en Mi, Fa o Re la daré por buena pero si comienza con Do la rechazaré.
Motivo: ha violado la regla de no empezar en Do. Bien, reconozco que esta norma es
estúpida y las reglas de la armonía no lo son, se podrá o no estar de acuerdo, pero es
una regla muy clara, concisa y contundente. Lo que no se puede hacer es lo que
Orson Welles le dijo una vez al compositor Luis de Pablo cuando éste se encontraba
realizando la banda musical3 para una de sus películas. El conocido cineasta rechazó
una de las pruebas que Luis de Pablo le había presentado argumentando que “aquello
no tenía swing”. Esto es absurdo, ambiguo y sin consistencia. El swing es algo tan
subjetivo que algunas personas pueden pensar que una pieza lo tiene y otras no. Así
acostumbraban a ser muchas de las observaciones de los ejercicios de armonía,
acabando por desconcertar al alumno y hacerle pensar que hacer bien un ejercicio de
armonía era como una especie de tómbola puesto que, aparte de cumplir las normas
bien precisas de la armonía, además tenía que “tener swing, o swang” y qué sé yo.
En un momento dado, abandoné la idea de seguir haciendo los ejercicios con
piano y completé la asignatura de armonía sin escuchar un solo acorde de los que
escribía. Personalmente creo que esta es la típica aberración docente burocrática que
continúa en la misma línea por la única razón de que “siempre se ha hecho así”.
El sonido es fundamental y hay que reconocer cuando es un tono mayor o
menor, un acorde de novena, una cadencia plagal, la sonoridad especial de un acorde
en primera inversión o en segunda apenas aparezca en una sinfonía y muchas cosas
más. Esto no es tan difícil y lo puede hacer una persona con conocimientos nulos de
música, sin más que facilitarle algunas audiciones y señalar qué es cada cosa cuando
aparezca. Si esto sucede con personas ajenas a la música y con un poco de oído,
cuánto más deberá hacerlo alguien que se llame compositor.
Hice un experimento estando en el conservatorio y que consistió en reunir a
algunos compañeros de armonía y, sin que me viesen las manos, tocarles al piano
varios acordes en diferentes estados de inversión. Al irles preguntando el tipo de
inversión que estaban escuchando ninguno de ellos acertó.
Yo tampoco me considero más agraciado porque, por aquella época, yo
tampoco habría podido discernir estos acordes ¿y cómo iba a ser de otra forma si en
los conservatorios todo se trazaba sobre el papel? Si en sus manos cae una partitura
del Barroco, por ejemplo, debería ser capaz de escucharla dentro de su cabeza. Pero
eso se consigue escuchando previamente mucha música semejante. Desde luego si
previamente no ha oído música, difícilmente conseguirá oír interiormente una partitura.
Segunda regla: La música que se compone hay que escucharla.
Y retomando el hilo de una hipotética clase de composición, posiblemente el
alumno no esté plenamente satisfecho con su creación, y ahí es donde intervendría el
profesor para proveerle de técnica y recursos suficientes como para que el alumno
pueda resolver su bache.
La técnica sirve para un momento dado, poder hilar fragmentos o ideas
inconexos. Yo, por ejemplo, en ocasiones poseo trozos aislados que quisiera unir en
una misma pieza. Lo primero que tiene uno que pensar es en comprobar que dichos
fragmentos pueden pertenecer a una misma composición, es decir, que reúnan unos
3
Es error frecuente llamar “banda sonora” a la música de una película. Entonces ¿qué hay de los
dialógos y de los sonidos ambientales? ¿no son sonidos?
10
mínimos de coherencia que les permitan ser unidos. Otra cosa a tener en cuenta es
que cada fragmento por separado haya sido debidamente desarrollado y extraído su
máximo partido. Hay compositores que superponen temas de forma continua y sin
desarrollar ni sacarle jugo a lo que ponen, creando una especie de mosaico. Esto pasa
no sólo ahora sino también en el Barroco. El mismo Bach reconocía haber copiado
temas a otros compositores ya que, según palabras textuales, esos compositores no
se merecían haber tenido tanta inspiración pues, si se les ocurría un tema excelente,
apenas sabían qué hacer con él. Y no le faltaba razón a Bach, a veces incomoda ver
temas tan desaprovechados con los que se podría haber hecho una obra de arte.
Estos fragmentos aparecen porque no siempre se puede llevar a la práctica lo
que aparece en la cabeza. Por ejemplo, a mí me resulta fácil tumbarme, cerrar los ojos
e imaginar una orquesta. Inmediatamente brota la música y en ese momento puedo
componer mentalmente durante una hora una sinfonía entera sin interrupciones. Eso
es lo que hacía desde que contaba catorce o quince años de edad hasta que entré en
el conservatorio. Normalmente lo compaginaba con largos paseos en donde realizaba
mis composiciones mentales. Por supuesto, lo que resulta imposible es escribir a la
velocidad que la música fluye, y eso es un problema. Quizá (y yo he fantaseado con
eso) en un futuro remoto de ciencia ficción, existan aparatos capaces de leer el
pensamiento en tiempo real y convertirlo en sonido. Entonces el concierto consistiría
en que el compositor saldría a escena completamente en solitario, se colocaría unos
electrodos y la máquina y comenzaría a realizar una trascripción perfecta de los
sonidos que están brotando en la cabeza del artista (¡ojalá que se invente pronto esa
máquina!). Tampoco resulta nada fácil que te venga el mejor tema musical cuando vas
en un autobús. Afortunadamente siempre tengo a mano un resguardo de cajero
automático y escribo rápidamente lo que acabo de escuchar por dentro.
Para que se produzca el surgimiento de la música interna es necesario haber
escuchado previamente mucha con sonido real, preferentemente durante la infancia.
Pero nunca es tarde si hay el debido interés y si cumplimos la regla número dos,
aplicada esta vez a la música de otros compositores.
En resumidas cuentas, lo que se tendrá al final será mucho material aislado
que habrá que unir después en casa. También hay que hacer una llamada a la
moderación. No se deben introducir en una obra cantidades desmesuradas de temas
diversos que consigan abrumar al oyente. Esto también varía mucho según el tipo de
obra que se esté realizando. Para un movimiento de una sinfonía de música clásica
podremos poner dos o tres temas, mientras que para música ligera (pop o rock) con un
único tema bien desarrollado hay más que de sobra.
Tercera regla: Se necesita poseer la técnica adecuada para desarrollar, unir y
hacer un todo coherente del material inconexo con el que nos vemos obligados a
trabajar.
Quizá a estas alturas el alumno ya ha logrado hacer algo interesante y
coherente, pero puede sentir que las pretensiones de su música no se correspondan
con lo que realmente esta dice. Puede que diga: “de acuerdo, pero me hubiese
gustado una música más sentimental”, o tal vez “que refleje más misterio”. Ahora nos
estamos refiriendo más bien al impacto psicológico que el compositor desearía en sus
obras. Por supuesto esto quizá es lo más difícil y para ello se requiere mucha
experiencia. Para empezar, lo que la persona está requiriendo en este punto son
recursos. Aunque también pueden considerarse parte de la técnica, los recursos son
más específicos, no para unir partes inconexas y armonizarlas sino más bien para la
creación de bloques. Por ejemplo, si se requiere crear un clima de misterio, es posible
que se el compositor se incline por una composición dodecafónica. Si quiere algo muy
dramático optará por un tono menor. Cada una de estas cosas es un recurso y se irán
tratando a su debido momento.
Cuando me preguntan con quién estudié composición yo contesto sin dudar:
con Mahler, Shostakovitch, Tchaikowsky, Sibelius,… Entonces me dice que cómo es
posible haber estudiado composición con Mahler si estaba muerto y yo digo que un
gran compositor siempre será un maestro inmortal puesto que nos ha dejado el legado
de toda su obra, de sus recursos y de su técnica en sus partituras. Una buena manera
11
de acceder a nuevos recursos es hacer lo mismo que yo hice en su momento: seguir
una obra partitura en mano. Busque grabaciones de su compositor favorito y sígalas
partitura en mano, ayudándose un lápiz con el que irá anotando simplemente los
pasajes que más le gusten. Después podrá repasarlos y ver cómo resolvió el
compositor cada pasaje.
También puede suceder que el compositor que quiera analizar sea actual y no
tenga acceso a sus partituras por ser éstas demasiado caras o, si es pop que
simplemente no tenga partitura esa determinada canción. Ahora no hay más remedio
que sacar de oído las melodías y armonías. Puede ser demasiado molesto tener que
andar rebobinando, ya sea una cinta o disco, pues es un proceso que se hace
bastante a ciegas y se suele retroceder demasiado o demasiado poco. Yo en estos
casos suelo recurrir a transferir la pista al ordenador para luego leerla con un editor
informático. Como suelen tener un cursor a partir del cual reproducen, lo sitúo antes
del pasaje a estudiar y puedo repetirlo siempre desde el mismo punto inmediatamente
sin más que pulsar la barra espaciadora como suele estar estandarizado. Sea como
fuere enunciamos la siguiente regla:
Cuarta regla: Podrá descubrir nuevos recursos si analiza obras de
compositores a los que admire. Anote e, incluso, trate de copiar lo que han hecho. No
se preocupe si cree que se convertirá en un mero imitador, porque si su forma de
componer es sincera, al poco tiempo integrará ese recurso “a su manera” y, aunque se
note la influencia de este compositor o aquel otro, surgirá su personalidad dándole un
toque absolutamente original.
La siguiente regla sería, desde luego, el sueño de todo compositor y es que, en
mi opinión, todas las obras compuestas deberían ser estrenadas. Una de las razones
es que nunca se sabe si esa obra en concreto puede llegar a hacer historia y en tal
caso deberá pasar el filtro de los intérpretes para que opinen sobre la ejecución de la
misma. Me refiero a que es posible haber colocado un pasaje demasiado difícil o
artificioso a un instrumento y que eso se podría resolver de manera sencilla en el
momento en que la obra es interpretada. Existe la anécdota de un concierto de
guitarra de un famoso compositor imposible de tocar y que ha debido ser retocado
para la posteridad. Si se hubiese estrenado eso no habría pasado puesto que antes
habría sido arreglado.
Otra ventaja del estreno es conocer inmediatamente la reacción del público,
aunque hoy en día hay quienes dicen no importarles tal opinión. Además, una obra
inédita sirve de ejercicio de interpretación a los directores e instrumentistas. Me refiero
a que todos sabemos cómo suena Mozart, Beethoven o Tchaikowsky, pero ¿qué hay
de un compositor desconocido? La pregunta es ¿seré capaz de entender
correctamente lo que ha querido transmitir? Precisamente la fama de los grandes
directores como Fürtwangler, Celibidache o Ansermet se produjo debido a su precisión
a la hora de esa interpretación de la partitura y fueron, precisamente los compositores
quienes lo dilucidaron. Hoy ya no está Schumann para decir si se le está interpretando
bien o no pero un compositor actual sí.
Y por último, la razón del estreno es la enorme satisfacción para el compositor
de ver su obra interpretada. Si realmente fuese invitado a dar un curso semejante
exigiría como algo no negociable, que al término del curso se dispusiera de una
orquesta o los grupos necesarios para realizar los estrenos de las obras de todos los
participantes.
Antes de pasar al siguiente capítulo, comentaré algo sobre el trabajo en casa.
A menudo me preguntan si uso el ordenador, el piano, si hago primero las partituras a
mano, etc. Sobre el trabajo del compositor en casa no hay ninguna norma y cada cual
debe encontrar su mejor manera de trabajar. Antes de que apareciesen los
ordenadores personales es evidente que yo he trabajado como cualquier otro
compositor del siglo XIX y anteriores, es decir, el piano y la partitura donde se va
escribiendo. En la actualidad suelo emplear un sistema mixto. A veces, si quiero
escribir lo más rápidamente posible debido a que las ideas fluyen con rapidez sigo el
sistema tradicional tomando rápidas notas en papel y con poca instrumentación,
simplemente melodía y armonía, anotando los instrumentos que llevan la voz cantante,
12
así como unas pocas indicaciones si hay otros instrumentos que deban hacer cosas
importantes, percusión, etc. Sin embargo el ir planteando la partitura directamente en
el ordenador me evita el trabajo tedioso que supone luego una trascripción y, además
tiene la ventaja de poder escuchar el fragmento en la siguiente sesión con la
instrumentación completa, lo que sugiere una continuación lógica.
13
CAPÍTULO 2
El sonido y su percepción
2.1 El sonido, soporte para la transmisión de la música
En física se estudia el sonido como aquel fenómeno ondulatorio consistente en
el desplazamiento de las moléculas materiales. Se genera mediante un cuerpo sonoro,
que es el que vibra y, a continuación, viaja por el aire (medio trasmisor) hasta el oído
(receptor).
El cuerpo generador del sonido produce una vibración conocida en física como
movimiento vibratorio armónico. Este movimiento se caracteriza por un punto material
que recorre un segmento limitado, de un lado a otro de forma indefinida. Suponga un
muelle fijado al techo y del que pende una bola. Si tira del peso hacia abajo y luego
suelta, el muelle recupera su posición inicial, la sobrepasa, frena y vuelve a caer
repitiéndose el proceso hasta que, poco a poco, el muelle se para. Todo el mundo ha
visto esta oscilación infinidad de veces, así que no insistiremos. Definamos algunos
parámetros:
4
Amplitud: es la distancia que hay entre las dos posiciones extremas,
superior e inferior, del muelle. Esta magnitud está íntimamente
relacionada con la intensidad de la vibración.
Frecuencia: es el número de oscilaciones completas por segundo que
experimenta el muelle. Por ejemplo, suponga que en un segundo el
peso conectado al muelle sube y baja dos veces. Diremos entonces que
el movimiento tiene una frecuencia de 2 hertzios (2 Hz) (unidad en la
que se mide)4.
Fase: Suponga que tiene dos muelles iguales con pesos iguales
suspendidos de ellos. Primero acciona uno de ellos y, un poco después
lo hace con el segundo. Verá que no coinciden las posiciones de los
pesos ya que no fueron accionados al mismo tiempo. Esto se llama
diferencia de fase.
Resonancia: Ahora, en lugar de un muelle, imagine un columpio, que
es también un movimiento armónico. Si usted empuja el columpio una
sola vez, éste adquiere un vaivén con una frecuencia propia que
depende exclusivamente de la longitud de los cables que le unen al
soporte, no importa con qué fuerza lo empujó. A eso se le llama modo
propio de vibración, o simplemente modo. El columpio se parará al
cabo del tiempo si usted no vuelve a empujarlo. Puede optar por
impulsar al columpio cada vez que éste se encuentre en una posición
extrema y así obtendrá el óptimo resultado, lo que se conoce en física
como resonancia. Es decir, que la frecuencia de sus empujones debe
coincidir con la frecuencia propia del columpio. Si usted aplica los
empujones con una frecuencia diferente, cada vez encontrará al
columpio en una posición arbitraria y resultará un movimiento caótico
cuyo resultado es una amplitud menor de la que obtiene sincronizando
sus empujes. Esto es muy importante al estudiar los instrumentos
musicales.
Periodo: Es el tiempo que transcurre entre dos estados iguales de
movimiento. En el ejemplo del columpio será lo que tarda en pasar dos
veces consecutivas por el mismo lugar y, muy importante, llevando el
Antiguamente se empleaba la unidad ciclos por segundo, modernamente sustituida por el hertzio.
14
mismo sentido de movimiento. Nótese que el columpio pasa por su
punto más bajo una vez hacia delante y la siguiente hacia atrás, por lo
que eso No es un periodo sino la mitad de éste. Es menester esperar a
que regrese nuevamente hacia delante.
Una vez el cuerpo sonoro está vibrando, su oscilación es transmitida al aire. En
el ejemplo del columpio, sentirá una brisa cada vez que éste se acerca. Las moléculas
de aire se desplazan con un movimiento de vaivén. Eso hace que en algunos lugares
las moléculas se agolpen y en otros se separen más de lo habitual, creando zonas
donde la presión es, respectivamente, mayor y menor que la atmosférica. Sin entrar en
razonamientos físicos, diremos que en los lugares en los que la velocidad de las
moléculas es mayor, la sobrepresión (ya sea positiva o negativa con respecto a la
atmosférica) es mínima, es decir, igual a la atmosférica. En cambio cuando la
velocidad de las moléculas es mínima, la sobrepresión es máxima. Decimos que la
velocidad y la presión están desfasadas pues funcionan justamente al revés.
El aire transmite la vibración en forma de ondas y tiene, por supuesto, sus
propias características en las que no entraremos por no ser esto un curso de física. No
obstante, es importante la manera en que nosotros procesamos esas ondas que nos
llegan y que un compositor debe tener en cuenta.
2.2 La generación física del sonido
Hay diferentes maneras de producir sonido como bien sabe el músico. Puede
hacerse mediante la pulsación de una cuerda o frotándola (instrumentos de cuerda).
Puede hacer vibrar una lengüeta, los labios, o soplar directamente sobre un tubo
(instrumentos de viento). También puede golpear sin más, un cuerpo y forzarlo a vibrar
(instrumentos de percusión). Por último, recordando que estamos en el siglo XXI no
estará de más añadir una cuarta forma de generar sonido mediante procedimientos
electrónicos cuya fuente sonora final será la membrana de un altavoz
(electroacústica).
Cada uno de estos sistemas tiene su tratamiento peculiar e intentaremos
describirlo de la forma mejor posible y, aunque parezca un tema lateral de poca
importancia, repercute muy directamente sobre la armonía física que queremos tratar
en este libro.
La armonía occidental se sustenta en la adición de sonidos simultáneos que
denominamos acordes. No obstante, la pregunta obligada es ¿de dónde salen estos
acordes? ¿es un proceso arbitrario o se fundamenta en algún tipo de fenómeno físico?
La respuesta es que, en efecto, el fenómeno de acorde o mezcla de diferentes sonidos
se basa en la propia estructura de la vibración del objeto sonoro, lo que demuestra la
importancia de conocer la manera en que dichos cuerpos vibran.
En principio, la acción mecánica sobre un cuerpo sonoro no difiere mucho del
ejemplo del columpio dado con anterioridad. Pulsar una cuerda tensa es lo mismo que
empujar el columpio una sola vez. La cuerda se pone en movimiento con una
frecuencia propia de vibración. Todo instrumentista de cuerda sabe que, al hacer un
pizzicato, la nota emitida no depende de la fuerza ejercida sobre la cuerda, sino que
ello hará que suene más o menos fuerte. La nota emitida depende de la tensión, el
grosor y de la longitud de la misma. Eso es lo que constituye inequívocamente que
emita una nota fija y propia de esa cuerda.
Ahora aparece una diferencia notable con el columpio. Por razones físicas, una
cuerda puede ofrecer diferentes modos. Eso se ilustra en la figura 2.1. Las personas
que han jugado a saltar a la comba saben que una cuerda puede vibrar, no sólo de la
manera mostrada en la parte superior, sino también en las que están más abajo. A
esto se les llama ondas estacionarias puesto que pueden quedar vibrando así de
forma indefinida mientras se les suministre energía.
15
Como su nombre indica, una onda estacionaria tiene estabilizada su oscilación
existiendo zonas en reposo permanente llamadas nodos (N), y otras constantemente
en la máxima amplitud de movimiento o vientres (V). La energía se transmite hacia los
vientres a través de los nodos por rebote de las moléculas que vienen en sentidos
opuestos. En la animación OndasEstacionarias.avi se puede ver la formación de
ondas estacionarias a partir de una
excitación primaria. En el caso de una
comba el trozo de cuerda situado en el
nodo se limita a oscilar en un sentido y
otro pero no se desplaza hacia arriba o
V
hacia abajo como el resto de la cuerda.
Para mayor claridad véase la animación
Comba.avi.
N
La diferencia con ondas no
V
V
estacionarias es evidente sin más que
compararlas con las producidas al lanzar
N
N
una piedra en un lago. En este último
V
V
V
caso, se ve que las ondas avanzan en el
agua y no están “congeladas”. En la
Fig. 2.1: Modos de vibración de una cuerda.
animación OndasEnLago.avi aparece
este fenómeno. Para inmovilizar las
ondas y convertirlas en estacionarias bastaría encerrarlas en una olla redonda y
golpear la pared de la misma (animacion OndasEnLagoEst.avi). La onda
estacionaria se produce porque se componen las ondas que viajan en un sentido con
las reflejadas (en la pared de la olla en este caso). Hay un ejemplo algo macabro
sobre ondas estacionarias. En el atentado de Madrid del 11 de marzo de 2004,
algunos ocupantes del tren manifestaron que habían experimentado pocas lesiones y
que, por el contrario, personas cercanas a ellos habían sido destrozadas por la
explosión. La explicación de ello es que la onda expansiva se reflejó en las paredes
del fondo de los vagones y creó ondas estacionarias. Aquellos que tuvieron la suerte
de estar en los nodos resultaron poco dañados frente a los que estaban ocupando un
vientre.
Cuando se excita una cuerda mediante un golpe (como el macillo de un piano,
por ejemplo), en principio ésta recibe un impulso caótico, pero seleccionará por
resonancia, sus modos propios de vibración y el movimiento resultante no será
aleatorio sino la superposición de dichos modos, representados en la figura 2.1.
Cuando se sopla en un tubo aparece algo semejante. En principio el soplido producirá
una serie de turbulencias también caóticas, de las cuales el tubo eliminará aquellas
que no sean frecuencias propias y dejará, también por resonancia, sus modos propios.
Fig. 2.2: Modos de resonancia en tubo abierto (izquierda) y semicerrado (derecha).
El sonido resultante es una superposición de todos sus modos propios,
vibrando al mismo tiempo y creando una suma matemática que producirá una onda de
forma peculiar.
En el caso de los tubos existe una variante sobre la cuerda. Ésta solamente
puede vibrar cuando ambos extremos están fijos, pero un tubo puede estar
16
completamente cerrado, en cuyo caso sus modos de vibración coincidirían
exactamente con los de la figura 2.1, o bien abierto por ambos lados, o abierto sólo por
uno. Cuando un fluido en movimiento se encuentra con una pared, lógicamente se
verá obligado a detenerse; así, cuando existe una vibración dentro de un tubo, la
velocidad de las moléculas en el extremo cerrado será cero, forzando un nodo. En el
extremo abierto, al estar a la presión atmosférica, hará que no haya sobrebresión, es
decir, forzará un nodo de presión. Por ser inversas, donde haya un nodo de presión
obligará a que la velocidad sea máxima en el extremo abierto.
En la figura 2.2 se han representado respectivamente, a la izquierda los modos
de un tubo abierto por ambos lados y a la derecha con un lado cerrado y otro abierto.
Para mayor claridad ver animaciones OndasTuboAbierto.avi y OndasTuboCerrado.avi.
Antes de nada necesitamos otra definición, que es la de longitud de onda.
Volviendo a la figura 2.1 y tomando el esquema del centro, definiremos la longitud de
onda como la longitud de los dos husos juntos. ¿Por qué no la longitud de uno solo de
ellos? Pues porque en la figura se ha representado la oscilación de forma esquemática
pero en realidad, una cuerda no es un huso sino una línea. De esta forma, la cuerda
vibra formando una figura serpenteante que estará hacia abajo en la parte izquierda y
hacia arriba en la derecha o al revés (animación comba.avi). El caso es que la
vibración en cada huso es la contraria que en el otro (véase la figura 2.4 para mayor
aclaración).
Existe una relación sencilla entre la frecuencia (n), la longitud de onda (l) y la
velocidad de propagación de la onda (c) que es: c = l⋅n. Pero nos bastará con saber
que frecuencia y longitud de onda son inversas, es decir, que a mayor frecuencia
menor será la longitud de onda. Una cuerda de contrabajo es más larga que la del
violín, luego emitirá sonidos de mayor longitud de onda o, lo que es lo mismo, de
menor frecuencia. Recordemos entonces lo siguiente:
Frecuencias altas = Longitudes de onda cortas = Sonidos agudos.
Frecuencias bajas = Longitudes de onda largas = Sonidos graves.
Por ese motivo, los instrumentos graves deben ser voluminosos, precisamente porque
deben emitir sonidos de grandes longitudes de onda, que requieren tubos y cuerdas
largas.
Si retomamos la figura 2.2 vemos que las longitudes de onda de los modos de
un tubo parcialmente cerrado difieren del abierto. Tomemos primero los husos de la
parte superior (fundamental). Prolongando el huso del tubo parcialmente cerrado
(derecha) vemos que es el doble de largo que el de la izquierda recompuesto (Figura
2.3), es decir, que la frecuencia fundamental del sonido es justamente la mitad de la
de un tubo abierto, o bien una octava más baja. Si tenemos una flauta de pico estamos
en el caso de un tubo parcialmente cerrado, en cambio una kena esta abierto por
ambos lados y sus notas sonarán una octava por encima que la de la flauta de pico.
Pero los tubos cilíndricos tienen, además otra curiosa propiedad. Volvamos a la
figura 2.2 y el tubo abierto. Vemos que el siguiente armónico (husos del centro) tiene
la mitad de longitud de onda, luego habrá un tercero que será la tercera parte de la
longitud del fundamental, y así sucesivamente, es decir, que recorre la totalidad de la
serie armónica. Por el contrario, en el tubo parcialmente cerrado, el siguiente armónico
posible no tiene la mitad de la longitud de onda del huso de arriba sino un tercio, el de
más abajo es la quinta parte, etc. Esto significa que un tubo parcialmente cerrado,
aparte de dar la octava inferior del abierto tiene la peculiaridad de carecer de
armónicos pares. Se puede decir con propiedad que es un timbre sonoro hueco pues
le faltan componentes. Este también es el caso de una cuerda pulsada en su punto
medio (animación Pizzicato.avi) y, especialmente del clarinete, cuyo timbre,
curiosamente, podríamos definirlo como un sonido “hueco” y es porque, efectivamente,
lo está.
17
L
L/2
Fig. 2.3: Longitudes de onda de tubos abiertos y parcialmente cerrados.
Recordemos que la longitud de onda será la longitud de dos husos de la figura
y que, por tanto, en un tubo como el de la figura 2.3, será 2L para el cerrado (esto es,
cuatro veces la longitud del tubo) y L para el abierto.
También es posible reproducir con un pequeño experimento el modo del centro
del tubo cerrado de la figura 2.2 tomando una cadena y, a modo de una comba y un
poco de habilidad, dejar un nodo a un tercio de su parte inferior (animación
cadena.avi.
2.3 La onda senoidal
La onda senoidal es un concepto matemático que tardaríamos un tiempo en
explicar. Para los aficionados a las matemáticas diremos que es una oscilación que
sigue el desarrollo de la función matemática seno. Pero para el lector más interesado
en la parte musical que en la científica, diremos que se trata de la forma más
elemental de vibrar, y que tiene simplemente la forma de la figura 2.4. Se trata de la
“típica onda” que dibujaríamos automáticamente en un papel cuando alguien nos
pidiera hacerlo. También es la forma de vibrar espontánea de la membrana basilar de
la cóclea5 y eso tiene su importancia como veremos.
Existe igualmente un término idiomático para describir algo serpenteante, que
es sinuoso, es decir, con forma senoidal.
Por último lo más gráfico, que será consultar el sonido correspondiente en el
CD (pista 1, sonido 1). Como vemos se trata de un sonido soso, de poca enjundia, y
con el cual difícilmente compondríamos una obra maestra. Eso se debe a ser lo que
es: el elemento sonoro más simple que existe. Pero no por ello es menos interesante
ya que se trata nada menos que del ladrillo básico sobre el que reposa todo tipo de
música, ya sea oriental u occidental, antigua o moderna, o de otro planeta: la onda
senoidal.
Figura 2.4: Onda senoidal.
El matemático francés Joseph Fourier demostró que cualquier función
matemática periódica era susceptible de descomponerse en ondas senoidales
elementales. Simplemente se trataba de sumar ondas de diferentes frecuencias con
diferentes amplitudes. Normalmente se elige una frecuencia base, la más baja de
5
Ver apartado 2.6.
18
todas y se suma una segunda de frecuencia doble a la anterior, otra de frecuencia
triple, cuádruple, etc., y amplitudes decrecientes. Al final se consigue reproducir una
onda de forma cualesquiera. Este desarrollo se conoce como serie de Fourier.
Aplicando al revés lo dicho antes, resulta que un cuerpo sonoro, al vibrar con
una superposición de sus modos propios está creando en realidad una serie de
Fourier.
2.4 Armónicos
Cada una de estas ondas senoidales de las que se compone un sonido recibe
el nombre de armónico. La onda senoidal sobre la que se construye el resto (la de
frecuencia más baja) se llama fundamental, y es el sonido real que el oído identifica.
Si representamos cada sonido senoidal por una nota musical tendríamos lo siguiente:
Figura 2.5: Representación musical de los armónicos.
Eso se debe a que, si el sonido fundamental correspondiese a una frecuencia de 66
Hz sería el Do grave representado abajo (C2) 6, su segundo armónico7 sería 66×2=132
Hz, o sea C3, el siguiente Do. La frecuencia triple corresponde al Sol G3, y así
sucesivamente. Vemos que uno de estos armónicos, correspondiente al Si bemol, ha
sido representado de manera diferente. Eso se debe a que, por caprichos de la
naturaleza, es una nota calante, no corresponde con el Si bemol normal de la escala.
Cuando vibra un cuerpo como una cuerda o un tubo, lo que se emite en
realidad es un acorde mayor de sonidos senoidales y ordenado según la figura. Como
estos sonidos son muy elementales, el oído no detecta que sea un acorde real sino
que lo confunde con una simple nota, pero que tiene un determinado timbre.
En la pista 2 del CD se ha realizado la siguiente serie:
1. Secuencia de acordes senoidales de fundamentales Do−Re−Mi−Sol−Do,
que no se perciben como tales acordes sino simples notas.
2. Construcción del acorde senoidal superponiendo sucesivamente las notas
de la fig 6.
Al construir el acorde senoidal nota por nota es cuando se percibe que, en
realidad, se trata de un acorde pero de sonidos muy elementales. Nótese que un
sonido es armónico de otro sí, y sólo sí, respetan las relaciones de frecuencias 2x, 3x,
4x, 5x, etc., siendo x la frecuencia del sonido fundamental. Es decir, que si sustituimos
el sol G3 por G2, ya NO es un armónico de C2, y buena prueba de ello es que si
descolocamos el Sol y el Mi en la secuencia armónica de la figura 2.5 y hacemos el
acorde mayor C4−E4−G4, aunque los sonidos son senoidales y elementales, ahora sí
se percibe como tal acorde puesto que los sonidos no son los correspondientes
armónicos. La razón se explicará al tratar el tema de los sonidos desafinados. El
sonido de este acorde está en la pista 2, sonido 3º.
Este fenómeno justifica la primera regla de la armonía, que será la tendencia
natural a formar acordes mayores como consecuencia directa del fenómeno físico
6
Aquí llamaremos C4 al Do central
. No hay acuerdo en el convenio ya que otros le llaman C3. Las
frecuencias reales de las notas dependen de la escala (ver capítulo 4), las dadas aquí son orientativas.
7
En la nomenclatura normal, el término armónico incluye el fundamental como “primer armónico”.
Segundo armónico será el que tiene frecuencia doble, tercero frecuencia triple, y así sucesivamente
coincidiendo el ordinal con el factor de multiplicación.
19
armónico. Construyamos ahora un espectro. Se entiende como tal un diagrama en el
que aparecen todos y cada uno de los armónicos que componen un sonido. En la
figura 2.6 aparece una onda de determinada forma compuesta por varios armónicos, y
para trazar su espectro mediremos la amplitud de cada uno de ellos, transportándola
después a un eje en el que figura la frecuencia correspondiente.
=
+
+
+
f
2f
3f
4f 5f
6f
+ +
Fig. 2.6: Construcción del espectro.
En este caso se han representado seis armónicos pero, normalmente, una
onda tiene una cantidad mucho mayor. Como vemos, las frecuencias son múltiplos
enteros de la primera, que es la fundamental. A medida que aumenta la frecuencia
también se comprueba que el periodo disminuye.
Para ver de una forma instructiva la formación del espectro, podemos recurrir a
la animación ComposicionArmonicos.avi, en donde en la parte superior aparece
el fundamental y el segundo armónico. Para sumar este segundo hay que ir
desplazándolo de arriba abajo y de forma tal que la línea base del armónico se vaya
apoyando sobre el fundamental a medida que lo recorremos de izquierda a derecha.
Eso hace que podamos sumar las alturas sin más que recorrer la línea del armónico
como lo hace el punto blanco. La curva que traza este último es la forma de la
resultante. Acto seguido se arrastran los dos segmentos de las alturas y queda la
primera parte del espectro. A continuación, y usando la onda resultante de sumar
fundamental y segundo armónico como apoyo, sumamos el tercer armónico de la
misma manera, obteniendo la curva verde resultante y añadiendo un nuevo segmento
al espectro.
Y existe una nueva curiosidad, que es el desarrollo de Fourier a lo largo de la
historia. Primero se cantaba al unísono (gregoriano), es decir, usando solamente el
fundamental. Después, cuando cantaban las mujeres, obviando que su tesitura natural
es una octava superior al hombre, se dio la intervención del segundo armónico. Pero
después aparece el canto en quintas paralelas, que es casualmente el siguiente
armónico (Sol). Más tarde aparece definitivamente la tercera (Mi), que es el armónico
siguiente, al que se añade la séptima de dominante con el Sib que comenzó a ser
usada por el compositor Claudio Monteverdi en el Renacimiento.
20
En la siguiente figura aparecen el resto de armónicos superiores que, debido a
su pequeña amplitud, su presencia en el sonido es escasa y evita la disonancia
correspondiente.
Fig. 2.7: Armónicos superiores.
Son notas reales D5, E5, G5 y B5, el Fa# y el Sib son calantes, en parte porque ese Si
bemol es la octava del B4, y éste era calante a su vez. El La está un cuarto de tono
bajo8. A partir de este punto los armónicos se juntan cada vez más y con frecuencias
relativamente arbitrarias. Eso hace que la sonoridad correspondiente a esta sección
armónica se parezca más a un ruido que a otra cosa. En música electroacústica se
suelen añadir ruidos cuyas frecuencias están en esta zona a las notas definidas a fin
de dar algo de realismo al timbre electrónico y que se asemeje a un instrumento real.
Fig. 2.8. Espectro de una onda de fundamental a 66 Hz.
Debemos justificar ahora una nueva etapa histórica con la llegada del cluster
contemporáneo, o racimos de notas contiguas, que supondría la definitiva integración
de este resto de la serie armónica.
En la figura 2.8 se ilustra una onda con forma arbitraria y su espectro. ëste
consiste en una serie de picos que reflejan la amplitud de cada armónico. La
frecuencia del fundamental es 66 Hz (Do1) y hay hasta 19 armónicos que, como
vemos, tienen intensidad decreciente.
2.5 Tabla de valores
8
La frecuencia del Sol# debería ser exactamente 12,5 veces la frecuencia del fundamental, y el La natural
13,5. Por tanto el armónico 13 está justo en medio de ambos, un La cuarto de tono bajo.
21
De la propia figura 2.5, se pueden deducir qué relaciones de frecuencia existen
entre los distintos intervalos sin más que dividir los números de orden de los
armónicos. Así, entre C3 (=2x) y G3 (=3x) la relación es 3/2 (quinta justa). Entre C4
(=4x) y E4 (=5x) será 5/4 (tercera mayor), y así sucesivamente para dar el siguiente
cuadro de valores:
Intervalo
Octava
Quinta justa
Cuarta justa
Tercera mayor
Tercera menor
Segunda mayor
Segunda menor
relación de frecuencia
2
3/2
4/3
5/4
6/5
9/8
16/15
Tabla I. Relaciones frecuenciales entre intervalos.
Estas relaciones nos permiten calcular las frecuencias de todas las notas partiendo de
una sola como el A4, que se toma, por convenio, como el patrón de frecuencia de 440
Hz. Sin embargo, esto hay que hacerlo con habilidad ya que si tomásemos, por
ejemplo, un La grave y comenzásemos a subir por octavas no peinaríamos las doce
notas sino solo los “Las”. Si vamos subiendo por segundas mayores formamos la
llamada escala hexacordal, que tampoco peina el espectro completo. Tampoco lo
conseguimos subiendo por terceras mayores ni menores de forma que solamente se
puede completar la totalidad del espectro sonoro subiendo o bajando por cuartas o
quintas. También se peina subiendo en segundas menores pero, casualmente es justo
el intervalo cuya relación desconocemos ya que los armónicos Fa#, y La son
inadecuados por ser precisamente los calantes.
2.6 El oído interno, el receptor del sonido
El sonido penetra hacia el interior del oído primeramente por el canal auditivo
externo concentrado por el pabellón (oreja). Dado que este canal tiene una longitud de
unos 2,7 cm., y que está cerrado en el otro extremo por el tímpano, constituye un tubo
cerrado como el de la figura 2.3. Eso supone que va a introducir una primera alteración
del sonido por resonancia. El tubo posee una frecuencia propia a 3.148 Hz9, haciendo
que se refuercen estas frecuencias.
El sonido incide en el tímpano, que es una membrana que vibrará a su vez. La
geometría del tímpano es tal que las frecuencias por debajo de 2.400 Hz se transmiten
bastante bien, pero a mayores frecuencias, la eficiencia disminuye. A su vez, transmite
la vibración a la cadena de huesecillos martillo, yunque y estribo, y ésta se modifica
por el principio de la palanca. El motivo de esta cadena es adecuar la vibración, ya que
el siguiente paso, que es transmitirla al oído interno, necesita aumentar la presión para
que sea eficiente. Eso se debe a que, a diferencia del oído medio donde están los
huesecillos en el aire, el oído interno está relleno de líquido (perilinfa) y, al igual que
sucede con la luz, por ser ambos ondas, aparecen reflexiones y refracciones que
hacen que se transmita una menor cantidad de energía cuando hay cambios de
medio.
La cadena de huesecillos resuelve este problema mediante la ley de la palanca
y la disminución de superficie entre sus extremos. Lo trataremos por separado. Existe
una magnitud llamada momento, que es el producto de la fuerza por la longitud del
9
Si la longitud de onda es cuatro veces la longitud del tubo cerrado, será entonces, 4×2,7=10,8 cm. Eso
corresponde a una frecuencia de: n = c/l, y si la velocidad del sonido es 340 metros por segundo,
n=340/0,108=3.148 Hz.
22
brazo de la palanca donde se aplica. Es fácil de entender. Para cascar una nuez sin
hacer esfuerzo póngala en la bisagra de una puerta y empuje ésta. La longitud del
ancho de la puerta amplifica la fuerza a costa de que usted recorra más distancia. El
propio cascanueces emplea también este principio para hacer que se rompa la
cáscara con facilidad, aplicando un gran momento sobre la nuez. Pues esto mismo
hace la cadena de huesecillos, permitiendo que la presión sobre la llamada ventana
oval sea más grande que la recibida por el tímpano. La ganancia de presión depende
de la relación de los brazos de la palanca que, en nuestro caso es de 1,3.
La segunda amplificación de presión es por la relación de superficie incidente
(del tímpano) y la final de la ventana oval. Si usted aprieta un trozo de hielo con un
cuchillo afilado logrará irlo cortando poco a poco puesto que el hielo se funde al
aumentar la presión. Cuando se aplica una fuerza con una superficie pequeña, la
presión es más grande. La relación de superficies del tímpano10 y la ventana oval es
de 13,5, que produce ese mismo incremento de presión. Uniendo esta cifra a la de 1,3
de la palanca se obtiene una amplificación de la presión de 17,5.
La ventana oval es la que conduce al oído interno, y dentro de él la cóclea se
encarga de la fase final (figura 2.9).
Debido a la resonancia del conducto auditivo externo y las del propio tímpano,
el sistema no es lineal y presentará una zona de mayor amplificación para estas
frecuencias. Dado que el tímpano deja de ser eficiente a partir de los 2.400 Hz, al
aumentar la frecuencia decae rápidamente la transmisión, hasta el punto de que las
altas frecuencias son trasmitidas más bien por el propio hueso temporal, accediendo
hasta la cóclea por sus paredes.
Más tarde hablaremos de las
repercusiones que eso tiene, y
que son fundamentales en la
percepción de la música, pero
antes terminemos de explicar la
percepción del sonido.
La cóclea (o caracol) es un
auténtico analizador de espectros,
y veremos como funciona. En su
interior posee una membrana
llamada membrana basilar, que
es la encargada de vibrar y
transmitir esta vibración al llamado
órgano de Corti, que está sobre
ella, y cuyas células sensibles a la Fig. 2.9: El interior del oído. 1: Conducto auditivo externo.
amplitud de la vibración envían 2: Tímpano. 3: Martillo. 4: Yunque. 5: Estribo. 6: Ventana
una señal hacia el cerebro. Sobre oval. 7:Ventana redonda. 8: Cóclea. 9: Nervio acústico.
este conjunto hay otra membrana
llamada de Reissner que deja una
cavidad más pequeña bajo ella.
Es interesante ver cómo funciona la membrana basilar y cómo consigue
traducir e interpretar el sonido que recibe ya que, en principio, las células del órgano
de Corti son simplemente sensibles sólo a la amplitud de la vibración. Entonces ¿cómo
puede el oído discriminar las frecuencias de los sonidos? La cóclea es semejante a un
cilindro enroscado con unas pocas vueltas, 2,5 para ser exactos. Para mantener una
sección más o menos constante, no es como un caracol plano sino más bien como los
caracoles marinos llamados conos. Es decir, que en cada vuelta asciende una
cantidad más o menos semejante al diámetro del cilindro. En la fig 2.10 se puede ver
un corte de la cóclea mostrando una división interna. El porqué es fácil de comprender.
Si dentro de la cóclea se formasen ondas estacionarias por reflexión en el fondo de la
misma, quedarían patentes nodos a lo largo de la misma con ausencia de vibración,
10
No toda la superficie del tímpano es útil, por lo que se calcula esta relación con la parte de superficie
que resulte eficaz para la transmisión.
23
dificultando y restando eficiencia al sistema. Para evitar tal reflexión, la membrana
basilar no llega hasta el fondo sino que deja un hueco llamado helicotrema por donde
se comunican las dos cavidades superior e inferior conocidas respectivamente como
rampa vestibular y rampa timpánica, que es por donde circula el sonido dejando
éste la membrana basilar en medio de ambas rampas. Primero entra por la ventana
oval, presionada por el estribo y las
ondas penetran por la rampa
órgano de Corti
vestibular de la cóclea, giran en el
fondo de la misma y retroceden por
rampa vestibular
la timpánica dirigiéndose a la
ventana redonda. Esta última
rampa timpánica
descarga la vibración residual de
nuevo en el oído medio, cuya
presión está equilibrada con el
exterior mediante la trompa de
Eustaquio11. En la figura 2.11
de la ventana
vemos la cóclea rectificada y cómo
oval
circularía el sonido.
hacia la ventana
redonda
Pero aún hay más. La
membrana basilar no es de
Fig. 2.10: Corte de la Cóclea.
anchura constante sino que es más
estrecha en la parte cercana a la ventana redonda con lo que nos encontramos el
fenómeno de la cuerda vibrante pero en dos dimensiones. Supongamos la membrana
formada por infinidad de cuerdas, pegadas unas junto a otras y cada una con diferente
longitud. Entonces, cada cuerda tiene un modo de vibración diferente y resonará
cuando incida sobre ella un sonido de frecuencia igual a su modo propio. En la figura
2.12 se tiene un esquema de la membrana rectificada y cómo a cada sección le
corresponde una frecuencia diferente. Como se muestra en la figura, el ancho de la
membrana l1 es diferente a la entrada de la cóclea que en el fondo l2.
Esto actúa igual que un analizador de espectros puesto que cada sección de
membrana filtra su propia frecuencia. Bajo
la membrana está el órgano de Corti,
rampa vestibular
formado a su vez por hileras de células
sensibles a la vibración a modo de
sensores. Cada hilera está bajo una
“cuerda” diferente de la membrana basilar
de suerte que solamente reacciona ante
la vibración de esa zona que, a su vez, ya
ha seleccionado su frecuencia propia. Las
células transforman la vibración en
impulsos nerviosos igual que un
membrana basilar
micrófono transforma las oscilaciones en
rampa timpánica
corriente eléctrica. Es así como sale un
haz de fibras nerviosas, cada cual con la
información
sobre
una
frecuencia Fig. 2.11: Cóclea rectificada que muestra la
circulación del sonido.
diferente, y que reunidas forman el nervio
acústico.
Existe otro fenómeno que es el de reconstrucción del sonido fundamental. Se
pone de manifiesto cuando se escucha música en un equipo de baja calidad. Se
reconocen los instrumentos graves por reconstrucción del fundamental porque la
membrana basilar vibra en la zona del fundamental aún cuando éste no esté presente
por culpa de que el equipo de música no sea capaz de reproducirlo. No obstante
realizaremos para entenderlo de manera intuitiva un experimento con el piano que
consiste en dejar pulsada una nota grave del teclado, digamos, C2, pero sin que
11
En los resfriados a veces esta trompa se obstruye, con lo que la presión no se equilibra y por eso
empeora la audición.
24
suene. Simplemente apoyar con cuidado el dedo y dejarlo ahí mientras se realiza el
resto del experimento con el fin de que la cuerda suene libremente por resonancia.
Ahora se toca con fuerza C3 y se suelta sólo esta tecla. Escucharemos
inmediatamente a C2 sonar, pero a la altura de C3 puesto que es un armónico y habrá
excitado el modo C3 de la cuerda C2. Ahora se toca G3 y C2 sonará como G3. Si
tocamos rápidamente en sucesión todas las notas que son armónicos de C2 desde C3
en adelante, al terminar escucharemos la nota C2, pero ahora sonando en su octava,
es decir, como un auténtico C2 que ha sido reconstruido a partir de sus armónicos.
Este es el fenómeno de reconstrucción del
l2
fundamental, lo mismo que sucede en la
membrana basilar. La razón física y
matemática se explica en el apéndice B-2.
Hay una pista en el disco, la 1, en la cual se
han incluido tres sonidos. El primero es una
onda completa con su fundamental, y la
segunda es la misma pero en la cual se ha
extraído dicho fundamental, de forma que
l1
es inexistente. Se comprueba que en
Fig. 2.12: Membrana basilar rectificada.
ambos casos el sonido es semejante
porque ha tenido lugar la reconstrucción del fundamental a partir de sus armónicos. En
el tercer sonido se han eliminado muchos armónicos, con lo que la reconstrucción del
fundamental es deficiente.
2.7 La percepción del sonido
Antes hablamos de la falta de linealidad de la cadena de huesecillos. Como
consecuencia, si inciden varias ondas de diferentes frecuencias pero con la misma
amplitud, el oído no responde enviando al cerebro la misma sensación de volumen
sonoro para cada una de ellas. Si la eficiencia aumenta hacia los 1.000 Hz, quiere
decir que hay menos sensibilidad a los sonidos graves que a los agudos, oyéndose
menos aunque lleguen con la misma intensidad. Cuando la transmisión pasa al hueso
temporal, los muy agudos vuelven a decaer. Aparece, pues, una intensidad aparente,
según las curvas de respuesta fisiológica del oído representada en la figura 2.13,
también conocidas con el nombre de sus creadores Munson y Fletcher. Vamos a
estudiarla para poderla comprender bien. En el eje horizontal se han representado
frecuencias, medidas en hertzios y que van desde 20 hasta 20.000, más o menos los
límites aceptados para el oído humano. En vertical se ha representado la intensidad
física (no fisiológica) del sonido, es decir, lo que mediría un aparato llamado
sonómetro. La unidad empleada en física es el decibelio. Como esto no es un libro de
física no vamos a entrar en lo que es un decibelio. Lo único que necesitamos saber es
que un sonido de 120 decibelios es muy fuerte, como si pasara un avión a nuestro
lado, y 20 un sonido débil y lejano. Sin embargo, no resulta nada clarificador medir en
decibelios un sonido con respecto a la sensación fisiológica que una persona
experimenta frente al sonido. Decir que un sonido tiene 50 dB no dice nada sobre si es
un sonido fuerte o molesto, puesto que luego el oído modifica la percepción según sea
su frecuencia. En la figura se ven dos líneas de trazo grueso. La de la parte inferior
delimita los límites de audición de un sonido. Por debajo de esta curva hay una zona
gris que pertenece a aquellos sonidos que son inaudibles. Por ejemplo, el punto P
representa un sonido de 60 dB, más o menos un forte de una orquesta, y sin embargo
no se oye porque su frecuencia es demasiado baja (cercana a 20 Hz). Sin embargo un
sonómetro daría una medición considerable. La imperfección de nuestro oído es la que
crea el conflicto. Hemos dicho que 120 dB es como el paso de un avión a escasos
metros, pero si su frecuencia es superior a 30.000 Hz constituye un ultrasonido y
tampoco lo oiríamos.
La curva superior es el umbral de dolor. Los sonidos que están por encima de
esa curva resultan dolorosos o muy molestos.
25
26
2.000
200
intensidad (dB)
La verdadera medida fisiológica es el fonio, una unidad que se deduce a partir
de las curvas grises de la figura 2.13. Estas curvas reciben el nombre de curvas
isofónicas, y corresponden
a las mismas sensaciones
umbral de dolor
subjetivas que causarían
sonidos
de
diferentes
intensidades y frecuencias.
Cualquier sonido que quede
dentro de la zona gris
tendría, pues, 0 fonios
independientemente de su
P
intensidad física.
En la figura hemos
elegido un sonido de 200 Hz
E
um
F
(un Sol G3) que tiene una
bra
l de
intensidad algo inferior a 30
aud
ición
dB. El sonido se representa
en la figura por el punto E,
20
100
1.000
10.000 20.000
situado
sobre
la
frecuencia (Hz)
correspondiente
isofónica.
Fijémonos que el punto F, al
estar situado sobre la misma
isofónica que E produciría
Fig. 2.13: respuesta fisiológica al sonido.
una sensación de volumen
sonoro semejante. El punto F corresponde a un sonido de 2.000 Hz (nota B6), pero su
intensidad es más baja que E, unos 20 dB, lo que nos indica que el sonido agudo no
necesita tanta intensidad como el grave para producir la misma sensación de volumen
(20 fonios).
Si volvemos la oración por pasiva, cuando se producen simultáneamente dos
sonidos de frecuencias 400 y 2.000 Hz, pero esta vez de la misma intensidad, al oído
le parecerá que el sonido de 2.000 Hz es más fuerte que el de 400 y será el que
prevalezca. Si tocamos en un piano las notas G4 y B6, procurando ejercer la misma
presión aproximadamente sobre ambas teclas, prevalece el Si agudo sobre el Sol
grave. Esta es la razón por la cual la melodía siempre se mueve en la parte aguda del
registro sonoro de una pieza musical y resulta más difícil resaltar a un violonchelo o un
cantante varón sobre un tejido armónico en donde se ejecutan notas más agudas que
las que estos emiten.
Podemos enunciar que siempre que dos notas se escuchen simultáneamente,
prevalecerá la aguda, que es “la que se oye”. Hay, empero, un aspecto importante que
se desprende también de la figura 2.13, y es que, llegado a un mínimo, las isofónicas
vuelven a ascender hacia agudos por encima de 2.000 Hz, lo que quiere decir que el
oído se vuelve menos sensible a frecuencias demasiado altas. El límite de 2.000 Hz no
es riguroso. Hay que tener en cuenta que las curvas se han obtenido haciendo que
varios sujetos de experimentación expresen al investigador su opinión subjetiva sobre
si los sonidos les parecen más o menos fuertes y eso no resulta muy riguroso desde el
punto de vista científico. Por tanto hay que tomar esas curvas como algo muy
aproximado, entendiendo que el límite de percepción máxima se sitúa entre 1.000 y
3.000 Hz.
A esto se une que puede haber sonidos reales ricos armónicos que se muevan
en dicha zona, lo que harán que el sonido tenga posiblemente más presencia que otro
cuya fundamental se encuentre en el citado rango pero cuyos armónicos superen la
barrera de los 3.000. En resumen, hay que saber que, en un momento dado, se
invierte el fenómeno y que para sonidos muy agudos quien prevalece ahora es la nota
inferior. Esto significa que el compositor, a la hora de poner una voz al flautín, deberá
tener en cuenta que éste puede llegar a dichos límites, y que si resulta demasiado
aguda perderá consistencia y será absorbido por los otros instrumentos. Lo mismo
pasa con el violín si sobrepasa esta tesitura. Si se quiere que su melodía continúe
prevaleciendo es conveniente doblarla a la octava inferior por los violines segundos12.
Otra excepción que se desprende de la figura es que cuando los sonidos son
muy fuertes, cercanos al umbral de dolor, todos se escuchan con una intensidad
parecida, graves y agudos.
Por último, y a diferencia de la sordera, en donde el sujeto no puede percibir
sonidos que le llegan, el oído puede inventar sonidos que, en realidad, no está
recibiendo. En particular, la membrana basilar no es un conjunto independiente de
cuerdas, semejante a un clavijero de piano, sino que la vibración de una parte de ella
puede transmitirse en forma de ondas mecánicas por la superficie y aparecer otras
secciones de la membrana que entran en movimiento según sus modos propios de
oscilación.
El resultado será que las células del órgano de Corti de esas zonas comienzan
a enviar señales al cerebro de armónicos que en realidad no está recibiendo. Estos
armónicos fantasma son los que se conocen como armónicos aurales y pueden
distorsionar el timbre de los instrumentos con relación a su auténtico sonido.
2.8 Ancho de banda crítico
amplitud de oscilación
Como hemos dicho, la membrana basilar no es un conjunto de cuerdas
separadas físicamente. Si las frecuencias de dos sonidos simultáneos están muy
próximas, permiten vibrar la misma zona de la membrana basilar, haciendo que el oído
no los pueda distinguir como sonidos separados. Si variamos la frecuencia de uno de
ellos, llegará un momento en que comenzará a excitar una zona diferente de la
membrana. En ese preciso momento la diferencia de frecuencias entre ambos sonidos
es lo que se denomina ancho de banda crítico. Resumiendo, cuando la diferencia de
frecuencias entre dos sonidos simultáneos es menor que esta magnitud, el oído
percibirá un solo sonido, mientras que si es mayor se oirán dos.
0
10
20
30
distancia al estribo dentro de la cóclea (mm)
Fig. 2.14:Respuesta en frecuencia de la membrana basilar.
En la figura 2.14 se han representado las amplitudes de la oscilación de la
membrana basilar en función de la frecuencia del sonido incidente. Las altas
frecuencias se detectan cerca del estribo y los graves hacia el fondo de la cóclea.
La banda crítica abarca sobre la membrana basilar aproximadamente 1,2
milímetros y alberga 1300 receptores celulares del órgano de Corti. En total, el
espectro audible abarca 24 bandas críticas de un tercio de octava más o menos.
Cuando dos sonidos se sitúan dentro de la banda crítica no producen sensación de
aumento de volumen sonoro, pero esto sí sucede cuando ambos sonidos caen fuera
de dicha banda.
12
En la Polonesa Heroica de Federico Chopin, se viola la norma y en un momento determinado la voz
superior deja de dominar frente a otra más grave. Esto me resultó sorprendente cuando la estudiaba en el
piano, viendo claramente que la melodía que se oye no es, probablemente, la que Chopin quiso destacar,
viciado tal vez por la falsa creencia de que la voz que siempre prevalece es la más aguda.
27
Entender este concepto de banda crítica es muy importante para comprender el
fenómeno de la disonancia. Veremos que dos sonidos muy próximos crean una
frecuencia de batido y solamente se empezarán a diferenciar ambos sonidos cuando
éstos se separan por encima de la banda crítica. En el CD existen dos animaciones
para hacer el siguiente experimento:
Más adelante se propondrá
un
experimento
sobre
este
fenómeno, proponiendo un acorde
en el que, pese a intervenir dos
notas sólo se escucha una de
ellas por estar sus frecuencias
separadas menos del ancho de
banda crítico.
En la figura 2.15 se ha
representado el valor de la banda
crítica en función de la frecuencia
media del intervalo. En ella vemos
que hasta 300 Hz se mantiene
aproximadamente constante, e
igual a 100 Hz para más tarde
ascender hasta unos 2.000 Hz a la
frecuencia de 10 kHz.
ancho de banda crítico (Hz)
Lo mejor es hacerlo con otra persona, ya que si ve el espectro mientras
escucha, la referencia visual influye en el cerebro y falsea el resultado. También se
puede hacer a solas si dispone de un cronómetro. Abra la animación
Separacion250Hz.avi y espere a que el oído le diga el momento en que empieza a
escuchar dos notas separadas. Si está con el cronómetro inícielo al comenzar el
sonido y párelo cuando crea diferenciar las dos notas. Anote el tiempo. Repita el
experimento observando la gráfica y verá que los espectros se separan más o menos
cuando usted escucha las dos notas diferenciadas. Eso se lleva a cabo comparando el
tiempo que usted cronometró primero y el que mida ahora cuando vea separarse los
dos máximos en el espectro. Si lo hace con otra persona, haga primero que ésta mire
la pantalla mientras usted lo intenta sólo de oído. Ella le informará que usted detectó
las dos notas con bastante aproximación a la separación gráfica de frecuencias. Si
ahora lo repite con la animación Separacion1000Hz.avi, esta vez comprobará que
los espectros se separan antes de que usted pueda discernir las notas separadas. Eso
es debido a que el ancho de banda crítico en la segunda animación es mayor que en
la primera y tardará más en
discernir la división del sonido.
frecuencia central (Hz)
Fig.2.15: Ancho de banda crítico
2.9 La psicología de la música
Cuando el sonido se convierte en pulsos nerviosos, éstos van al cerebro para
su procesamiento. He aquí uno de los momentos más importantes pues es cuando
somos conscientes del sonido que escuchamos y aparece el fenómeno de la música.
Los partidarios de adjudicar todo a la educación no necesitan seguir leyendo las
investigaciones de los científicos, puesto que resulta de todo punto innecesario
conocer las rutas cerebrales y su interrelación.
Para quienes prefieren conocer la profundidad del efecto de la música en
nuestro cerebro, tenemos bastante que decir. Existe una disciplina, llamada grafología
que estudia el trazo de la escritura y su relación con la personalidad. Estos estudios
arrojan resultados muy sorprendentes y que explican muchas cosas debido a que el
cerebro adjudica determinados campos de la escritura a funciones psicológicas. Por
ejemplo, la parte izquierda representa el pasado y eso explicaría que quienes escriben
de derecha a izquierda (árabes e israelíes) tengan una fijación tan fuerte hacia el
28
mismo. De estos dos grupos, los israelíes tienen más visión de futuro porque también
han adoptado la escritura occidental. Los árabes que viven en países occidentales y
escriben también de izquierda a derecha tienden a mejorar su visión de futuro y
desapegarse más de sus tradiciones.
Con esto quiero indicar que en el cerebro existen patrones universales
totalmente desligados de la tradición y la educación, aunque estos últimos tienen,
desde luego, su influencia. En el caso de la música ocurre algo parecido aunque no se
ha encontrado ningún centro específico para captación de ésta. Más bien se producen
profundas interrelaciones de diferentes áreas del cerebro, especialmente el sistema
límbico que es el centro de las emociones. También se involucran otras áreas como la
parte intelectual (hemisferio izquierdo) y áreas del placer.
En la actualidad se estudia el comportamiento del cerebro mediante imágenes
obtenidas por tomografía, las cuales han arrojado interesantes resultados. Se sabe
que la descarga de los impulsos nerviosos procedentes del oído interno se realiza en
el lóbulo temporal y de aquí se reparte hacia otras zonas como la corteza frontal, que
es el centro de almacenamiento de recuerdos, y que en este caso sirve para discernir
la melodía y el ritmo. El área donde se encuentra el habla también está involucrada en
la percepción de la altura de un sonido, dependiendo de ambos hemisferios el correcto
discernimiento entre diferentes tipos de compás. Es curioso que, aunque sabemos que
cada lóbulo temporal recibe la señal del oído correspondiente (invertida la lateralidad
izquierda y derecha), la actividad es asimétrica, procesándose preferentemente en el
temporal derecho aspectos como el
timbre o la armonía. Esto se ha
demostrado con pacientes a los que ha
tenido que extirpárseles dicho lóbulo
temporal, quedando con la secuela de
tener dificultad en diferenciar los
instrumentos.
El sistema límbico está formado
por varias regiones: el cuerpo calloso
(que conecta ambos hemisferios), el
fórnix, la amígdala (centro de control de
las emociones), el hipocampo, el
hipotálamo y la hipófisis (figura 2.16). En
él se procesa también la música y
produce emociones. Por ejemplo, se ha
visto que la amígdala juega un papel
importante en la percepción del miedo
cuando la música es inquietante ya que
Fig. 2.16: Sistema límbico.
en pacientes con deficiencias en dicho
órgano no eran capaces de experimentarlo.
Las consonancias y las disonancias se procesan en lugares diferentes. Las
primeras lo hacen en la zona órbito-frontal del hemisferio derecho, relacionado con el
placer, y parte del cuerpo calloso.
Es conocido el trabajo realizado por los físicos Simona Bianco y Paolo Grigolini
del Center for Nonlinear Science de la universidad de North Texas, y publicado en la
revista Physical Review, en relación a la distribución de actividad cerebral y la
estructura de la música escuchada. El trabajo se realizó mediante un
electroencefalógrafo y se compararon los patrones de las señales eléctricas
provenientes del cerebro con los de la música, encontrándose un alto nivel de
correlación. Esto supone que los procesos cognitivos del cerebro del espectador son
capaces de sintonizar a la persona con la compleja estructura de algunas
composiciones y reconstruir el mensaje que el creador de la música ha impreso en
ella, reflejo a su vez, de la propia mente del compositor. En este caso sí interviene de
alguna manera la educación y el bagaje cultural, así como la propia personalidad del
individuo, el cual sería incapaz de sintonizar con una música construida por un
compositor cuyos procesos mentales sean muy diferentes a los suyos. De ahí que
29
muchos adolescentes que no hayan recibido educación musical adecuada no sean
capaces de procesar más que una música fácil, ya que aún no han podido desarrollar
una mente madura que los pueda involucrar en estructuras más complejas.
Por último, comentar que la versatilidad del cerebro es muy grande y que, en el
caso de la música, se adapta muy rápidamente a nuevas circunstancias desarrollando
áreas que hasta entonces habían tenido poca actividad. Por ejemplo, en intérpretes,
las zonas del cerebro reservadas a los dedos y la mano se desarrollan mucho más
que en personas normales, de ahí que sorprenda la agilidad casi sobrehumana de
algunos virtuosos intérpretes. En los violinistas el desarrollo del cerebro es asimétrico,
perfeccionándose más la parte de la mano izquierda que la de la derecha, ya que esta
última solamente maneja el arco con poca movilidad en los dedos.
Es lógico pensar que a medida que avancen las investigaciones sobre la
música y el cerebro se irán comprendiendo cada vez más el por qué la música es tan
importante y capaz de mover tanto dentro de nosotros mismos.
Desgraciadamente, el discurso musical tiene su propia lógica pero se entronca
en la misteriosa red del hemisferio derecho, que no es racional aunque no por ello
menos inteligente. Este es su gran problema, ya que al no ajustarse a ecuaciones ni
moldes racionales, sino al vilipendiado hemisferio derecho, hace que no se pueda
definir con precisión irrefutable que es “bueno” y qué “malo” como un teorema de
física. En infinidad de ocasiones se puede llegar a medrar gracias a esta ambigüedad
y simplemente surgen grandes nombres mediante habilidades dialécticas. Esto
carecería de importancia de no ser porque hay personas menos expertas en sus
tareas de convicción hacia quienes ostentan puestos de poder y se necesitan muchos
años tras su fallecimiento hasta el reconocimiento que merecían. La historia está llena
de estos casos.
30
CAPÍTULO 3
Consonancia y disonancia
3.1 Consonancias y disonancias
Para entender de una manera racional y rigurosa el fenómeno de la disonancia,
recurriremos a una parte de la física que es la composición de movimientos armónicos.
Se trata de sumar dos ondas senoidales de distinta frecuencia y ver la forma de onda
resultante. Para que sea más sencillo emplearemos dos ondas de igual amplitud. En
física se plantea una ecuación cuyo resultado es un movimiento ondulatorio que tiene
frecuencia promediada entre los dos sonidos simultáneos, modulado por otra función
seno cuya frecuencia es la semidiferencia entre las dos frecuencias13. La onda cuya
frecuencia está promediada recibe el nombre de portadora y la otra es la
moduladora. Modular es un término físico que quiere decir que la amplitud resultante
está regulada a su vez por la amplitud de la onda moduladora. En la práctica la
amplitud de la portadora se multiplica en cada punto por la amplitud correspondiente
de la moduladora. En la figura 3.1 se ilustra este resultado.
A
B
C
1.
2.
3.
4.
D
Fig. 3.1: Composición de movimientos armónicos.
Vamos a dar una interpretación intuitiva. La primera onda (1), que es la
superior, tiene una longitud de onda ligeramente mayor que la 2 (más grave). Vemos
que si se superponen no coinciden salvo en los puntos A, B y C. En A se encuentran
en fase por lo que la suma se refuerza y la amplitud resultante se dobla. Pero en B
están en oposición de fase (imagine el lector en el ejemplo del columpio dos personas
empujándolo en sentidos contrarios con lo que el columpio no se movería). En tal caso
la amplitud resultante se cancela en B para volver a ser reconstruida en C. La figura
3.1, esquema 3, representa la onda resultante y vemos que ha adoptado una forma
peculiar de sonido pulsante (amplitud modulada por una onda senoidal).
Hay que destacar que la onda moduladora posee una parte negativa (parte
derecha del esquema 3 de la figura 3.1 que se ve que es descendente) que invierte a
la portadora. Para ver mejor el sonido pulsante se ha representado esta misma onda 3
en 4 ampliando la zona para que abarque más periodos. La curva senoidal grande que
modula en 3 a la de mayor frecuencia se llama envolvente. Los lóbulos que vemos en
la parte 4 reciben el nombre de grupos. Esta pulsación, también llamada batido, se
13
La demostración matemática se detalla en el apéndice A-1.
31
escucha fácilmente y puede servir como experimento para calcular la diferencia de
frecuencias entre dos sonidos. Para ello se colocan dos diapasones de frecuencias
idénticas y una pequeña pieza que puede atornillarse en la horquilla de uno de ellos a
fin de aumentar el momento de inercia del diapasón. Cuando ambos diapasones se
hacen vibrar, el sonido es puro y no hay pulsación por ser iguales las frecuencias.
Cuando se atornilla la pieza en una de las ramas de uno de los diapasones, su
frecuencia baja, lo que se pone de manifiesto por la pulsación que se escucha al hacer
sonar ambos diapasones. Se puede demostrar que la frecuencia depende del
momento de inercia de la pieza y éste, a su vez, de la altura a la cual se atornilla la
pieza. Cuanto más cerca esté del extremo libre del diapasón más grave será el sonido.
Como la pulsación del sonido depende de la semidiferencia de frecuencias, va
aumentando su velocidad a medida que las
frecuencias se distancian. Llega un momento en
el que la velocidad de la pulsación es tan alta que
rebasa la zona infrasónica y empieza a llegar a la
diapasones
zona audible, detectándose entonces una
frecuencia parásita y desagradable hacia los 15 ó
20 Hz.
Si las frecuencias siguen distanciándose
llega un momento en el que esa pulsación puede
llegar a ser muy alta y ser armónica de los dos
sonidos primitivos. En ese caso la sensación de
abrazadera
disonancia se sustituye por otra más
satisfactoria. Por ejemplo, veamos una tercera
mayor. Como ya se dedujo anteriormente, las
frecuencias están en la relación 5/4. Sea x la
frecuencia de la nota inferior de la tercera y
caja de resonancia
calculemos las frecuencias de la resultante y su
pulsación (semisuma y semidiferencia):
5x
4 = 9x ;
2
8
x+
Fmedia =
Fpuls
5x
−x
x
= 4
=
2
8
Fig. 3.2: Experimento con diapasones
(3.1)
La relación 9/8 corresponde a una segunda mayor y 1/8 una nota tres octavas más
grave que la nota inferior de la tercera. El resultado de una tercera, por ejemplo C4-E4
es como si sonase un Re con la pulsación de un C1:
Fig. 3.3: Equivalencia de tercera mayor
Esta igualdad es simbólica pues lo que quiere decir es que la onda del Re está
modulada por la envolvente de un Do1, no que una tercera mayor sea lo mismo que un
acorde C1-D4. En realidad, si nos fijamos en la parte 3 de la figura 3.1, la frecuencia de
la pulsación es el doble de lo esperado puesto que la parte negativa de la senoide
moduladora simplemente hace un cambio de fase y se escuchan dos lóbulos por cada
periodo. Por tanto, a efectos prácticos, la frecuencia de batido la tomaremos como la
diferencia, no la semidiferencia, con lo que en realidad bate con la frecuencia de C2.
En la siguiente figura se aclara debidamente como es el fenómeno físico correcto:
32
1.
2.
3.
Fig. 3.4: Forma de onda de una tercera mayor
La onda 1 representa al Re D4, la 2 el Do grave C1 y abajo vemos la resultante de
modular C1 a D4. Como ve el lector, no es la suma de ambas ondas sino en realidad el
producto. No obstante, vemos que la pulsación del acorde de tercera no está
desemparentado, ya que es una nota también del acorde y por esa razón la tercera
suena bien al oído. Más adelante veremos que, si se combinan sonidos de diferentes
fuentes, el batido corresponde a la fundamental de un hipotético sonido del cual
ambas notas serían armónicos.
Veamos qué sucede con la quinta, que recordemos que es 3/2. Aplicando los
mismos criterios:
3x
2 = 5x ;
2
4
x+
Fmedia =
Fpuls =
3x
x
−x = ,
2
2
(3.2)
dando como resultado que la nota media está a distancia de tercera mayor de la nota
grave de la quinta y su pulsación esta vez está solamente a una octava por debajo de
ella. La quinta tiene un sonido menos vibrante (la pulsación es lenta) que la tercera.
Ilustramos una vez más el proceso de formación de una quinta:
= E4
= C2
Fig. 3.5: Forma de onda de una quinta
Primero se trazan las ondas correspondientes a G4 y C4 y se calcula la tercera E4
promediando (izquierda). Después se dibuja C2 poniendo una onda cuatro veces más
larga que C4 y con ella se modula E4 obteniendo finalmente la curva de abajo. Vemos
que es una onda de gran simetría y con pocas oscilaciones dentro de cada lóbulo por
lo que la quinta es la consonancia mayor después de la octava. Esta última se
representa en la figura 3.6 (a) junto con la segunda mayor (b). En el caso de la octava
ni siquiera se puede considerar que existan lóbulos de pulsaciones. La razón se
explicará después al hablar de intervalos por encima de la quinta. La nota de
frecuencia promediada, como el lector puede que ya haya adivinado, es una quinta
sobre la nota grave, también dentro de la serie armónica. Por el contrario, una
segunda contiene, como se ve en la figura, muchos periodos de la onda original dentro
33
de cada lóbulo y la pulsación será muy intensa y contundente, marcando muy bien que
es una disonancia fuerte. La segunda menor tiene todavía más periodos dentro de los
lóbulos por lo que será una disonancia aún más dura.
En cuanto a la tercera menor, de relación de frecuencias 6/5, la nota media
tiene una altura calante que no
corresponde a la escala natural y su
pulsación se halla una octava y una
tercera mayor por debajo. La vemos
a
representada también en la figura 3.6,
c.
3.2 Índice de consonancia
Llegado este punto resultaría
de mucha utilidad adoptar alguna
forma de medir la consonancia de una
nota. Esto no resulta fácil ya que
veremos en el siguiente apartado que
los intervalos por encima de la quinta
tienen características físicas diferentes
a las que acabamos de estudiar. No
obstante, de las figuras anteriores se
Fig. 3.6: Octava, segunda mayor y tercera menor.
desprende que, al parecer, un
intervalo resulta tanto más disonante
cuanto mayor sea el número de periodos de la onda portadora que albergue cada
grupo en su interior. Podríamos contar el número de picos bien marcados que
contenga el lóbulo, pero también existe un método más científico para hacerlo y que
corresponde al número de periodos de portadora por periodo de moduladora y de las
ecuaciones (3.1) se desprende una regla sencilla consistente en sumar el numerador y
el denominador de las relaciones de frecuencia (Tabla I)14. Al valor resultante lo
llamaremos índice de consonancia, y los valores son los siguientes:
intervalo
octava
quinta
cuarta
tercera mayor
tercera menor
segunda mayor
segunda menor
relación
2
3/2
4/3
5/4
6/5
9/8
16/15
índice de
consonancia
3
5
7
9
11
17
31
Tabla II : Indices de consonancia de los intervalos primarios.
desde luego este índice parece reflejar bastante bien el concepto de consonancia que
tienen estos intervalos. Llamaremos intervalos primarios a los que se forman con notas
en distancia inferior a la primera mitad de la octava y de orden superior a los formados
con la segunda mitad, y que pasaremos a estudiar ahora.
3.3 Intervalos en la segunda mitad de la octava
14
En el apéndice A-2 se habla en profundidad y con formulación matemática todas las propiedades de
este índice.
34
Para terminar nuestro razonamiento debemos deducir las formas de los
intervalos de orden superior. Por éstos entenderemos aquellos que sobrepasan la
quinta. Una de las características de estos intervalos es que no se pueden construir
con armónicos contiguos como sucedía con los de orden menor.
Estos intervalos son las sextas mayor y menor y las séptimas, también
mayores y menores. Para ver bien el cálculo hemos vuelto a reproducir la escala de
armónicos en un tamaño grande para que sea
cómodo (figura 3.7). En ella hemos eliminado las
notas calantes a fin de dejar la escala diáfana.
Añadiremos a los nuevos intervalos de orden
superior a la serie de la Tabla I:
Intervalo
Sexta mayor
Sexta menor
Séptima mayor
Séptima menor
relación
5/3
8/5
15/8
9/5
índice
8
13
23
14
Tabla III: Intervalos de orden superior.
La sexta mayor se ha deducido con las notas G3 y
E4 (armónicos 3 y 5 respectivamente). La sexta
menor será E4−C5 (5 y 8). Las séptimas son: C5−B5,
(8
y 15) y E4−D5 (5 y 9).
Fig. 3.7: Escala armónica completa
Todos estos acordes se denominan
inversiones, ya que son las mismas notas que las terceras y las segundas puestas en
orden inverso. Nótese que también la quinta se invierte generando una cuarta. La
sexta mayor es, pues, la inversión de una tercera menor, la sexta menor inversión de
la tercera mayor; las séptimas lo son de las segundas y siempre que hay una inversión
cambia de tipo. Si es mayor pasa a ser menor y viceversa. Como regla siempre suman
9 (2ª↔7ª, 6ª↔3ª, 5ª↔4ª). La octava no se invierte pues resultaría ser el mismo sonido
(llamado también unísono)15.
En cuanto a las formas de onda de estos intervalos presentan una peculiaridad
respecto a las ondas de los intervalos primarios, que es la ausencia de formación de
grupos (ya se dijo que los grupos son los paquetes que vemos en las figuras 3.1 a
3.6). Las figuras presentan una simetría en cada periodo haciendo que la parte de la
derecha puede formarse girando 180º la de la parte izquierda. Como podemos ver en
la figura 3.8, las formas de onda son muy distintas y parecen necesitar un tratamiento
algo diferente para establecer el grado de disonancia de cada una de ellas.
Si definiésemos el índice de consonancia igual que en los intervalos básicos,
es decir, como número de periodos de la portadora contenidos por periodo de la
resultante, no resultarían comparables puesto que en los básicos basta con un periodo
de la moduladora para contener a toda la resultante (un grupo), y en los de orden
superior se necesitan varios periodos de la moduladora para poder generar un periodo
de la resultante.
Se pueden unificar los criterios redefiniendo el índice de consonancia de la
forma siguiente: Adecuaremos las notas de los intervalos hasta conseguir que las
frecuencias de la portadora de todos ellos sea la misma. Esto también permite que
todos los intervalos estén referidos a un patrón común. Hecho esto el índice de
consonancia será la longitud del periodo de la onda resultante. Al hacer esto,
fijémonos que la figura 3.6 quedaría transformada de manera tal que los husos se
estirarían hasta igualar sus portadoras. Esto se ha ilustrado en la lámina I. Por obra y
gracia de las matemáticas, aunque el concepto sea ahora diferente, su valor numérico
es el mismo.
15
El unísono sólo tiene sentido cuando se ejecuta por más de un instrumento, que tocan la misma nota.
35
En la figura 3.8 se han trazado las ondas con el mismo criterio. Se comprueba
que la más corta es la sexta mayor, seguida de la menor, la séptima mayor y la menor.
También en este caso, los cálculos matemáticos (apéndice A-2) nos permiten decir
que la longitud del periodo se obtiene sumando el numerador y el denominador de las
relaciones de la tabla III, con lo que los índices de consonancia valdrán
respectivamente: 8, 13, 23 y 14 (Tabla III). En este
mismo apéndice se demuestra que el periodo de la
onda modulada es el de una fundamental de la cual
ambos sonidos serían armónicos.
sexta mayor
A modo de conclusión sobre qué es
disonancia, y viendo que tiene que ver con la
longitud del periodo resultante, diremos que cuando
se escucha un sonido, hay un determinado tiempo
para detectar la existencia de un patrón. Cuanto
mayor sea este tiempo, el cerebro interpreta que el
sexta menor
sonido es más caótico. Por ejemplo, veremos que
los sonidos metálicos tienen periodos de una
enorme extensión, que supone un tiempo largo
para la detección del patrón, con la consiguiente
sensación de disonancia de gran magnitud puesto
que en esos casos resulta difícil decidir si es o no
septima mayor
una determinada nota musical. El caso límite es el
ruido, constituido por ondas aperiódicas y donde
ese patrón ni siquiera existe.
3.4 Intervalos que sobrepasan la octava
septima menor
Brevemente también citaremos, aunque sin
tanta profundidad, los intervalos que están
Fig. 3.8: Intervalos de orden
formados por notas que distan más de una octava.
superior.
El más sencillo lo constituye el de duodécima
(formado por una octava más una quinta) que es el Sol armónico 3 y que, por tanto
creará una consonancia fuerte. Su índice es 3+1=4, es decir más consonante incluso
que la propia quinta debido a su condición de armónico. Mucho más interesantes son
las novenas cuyas relaciones de frecuencia se deducen cómodamente de la figura 3.7.
Intervalo
Novena mayor
Novena menor
Décima mayor
Décima menor
Duodécima
relación
9/4
32/15
5/2
12/5
3
índice
13
47
7
17
4
Tabla IV: Intervalos por encima de la octava.
Resulta especialmente interesante la novena mayor porque su índice de
consonancia es 13, igual que la sexta menor. Aunque ya se ha hablado del ancho de
banda crítico, en el capítulo 4 se ampliarán estos conocimientos y veremos que la
disonancia propiamente dicha se encuentra entre notas próximas. A este lado de la
octava, más que disonancia pura y dura, el índice indica más bien tensión, haciendo
en el caso de la novena mayor un acorde menos crítico que las séptimas. De hecho en
los acordes de cuatro notas, que estudiaremos en su momento, si se elimina la
séptima y se deja la novena, los acordes se hacen más suaves y estables. Estas
propiedades hacen al acorde de novena muy apropiado para un final de obra. En la
música se da la propiedad de la superposición igual que en otras disciplinas de la
física. Este principio dice que cuando en un fenómeno intervienen diversos factores, el
36
resultado puede resolverse calculando cada caso por separado y juntándolos después.
Así, en ocasiones, un acorde de dos notas puede resultar más disonante y duro que
uno de tres en donde intervengan también pero que la mediación de una tercera nota
suavice el resultado. En tal caso, un acorde de séptima resulta más disonante que otro
en donde se añade la novena cubriendo la dureza de la séptima, sobre todo si ésta es
mayor.
Es de destacar la novena menor con un índice de consonancia muy elevado,
que lo convierte en una disonancia muy poco grata. Por ese motivo es un intervalo a
evitar, incluso en jazz, y se suele eliminar esa nota en acordes en los que debe
reposar la música.
Las décimas son relativamente consonantes (sobre todo la mayor) por tratarse
de inversiones de las terceras. En cuanto a las undécimas y decimoterceras tienen
que ver con las cuartas (11ª = 8ª + 4ª) y las sextas mayores (13ª = 8ª + 3ª), y se
forman sobre la nota Sol (sexta mayor sobre Sol).
3.5 El tritono
Quizá el lector habría pensado que el tritono se había quedado huérfano
puesto que no se le ha dedicado ni una sola línea hasta ahora, pero la omisión ha sido
hecha con intención debido a que, por su enorme importancia, debía ser tratado
aparte.
Antes que nada vamos a volver a la figura 3.7. En el desarrollo armónico existe
una peculiaridad, y es la resistencia del La y el Fa a aparecer en la secuencia. En la
figura vemos que no aparece el La hasta el armónico 27, lo cual es notable, teniendo
en cuenta que, incluso una nota tan disonante como el Si haya aparecido mucho
antes. Más sorprendente es aún que el Fa no aparezca nunca. Se puede demostrar
por muchos caminos pero baste decir que, aunque la serie de quintas, de la que se
hablará en el próximo capítulo, barre todas las notas, al ir de Do hacia arriba las notas
son sostenidos y lo más que conseguiremos será su enarmónica16 Mi sostenido
después de muchas octavas que, por si fuera poco, lo dejarán en frecuencias
ultrasónicas que ni las mariposas podrían oírlo. Como quinta de Si bemol tiene
también muy poco futuro porque ese si bemol es calante y obtendríamos igualmente
un Fa calante. Como tercera menor de Re no se puede conseguir un Fa con
frecuencia entera puesto que la tercera menor es 6/5 y sus octavas se obtendrán
multiplicando por 2, que no se puede simplificar con el 5 del denominador. Esto pasa
también si se trata como intervalo de otra nota pues los que quedan son todos
fraccionarios y su denominador indivisible por 2.
Por sorprendente que parezca, el Fa no existe en la secuencia armónica. Lo
único que se puede hacer es una extensión matemática a espejo, igual que cuando se
trató de justificar el acorde menor y llevar las notas hacia abajo, cosa que,
recordemos, carece de significado físico. Entonces nos encontramos con un Fa grave
a distancia de duodécima trazado en gris en la figura 3.7. El Fa es, por así decirlo, una
nota negativa y, en pura teoría, no debería formar parte de la escala natural puesto
que no existe. En lenguaje matemático, el Fa constituye una singularidad. Un músico
sabe que cualquier tonalidad de los sonidos naturales se construye con sostenidos (Mi
mayor tiene 4, La mayor tres, Sol dos, etc.), pero en Fa es el único que tiene un bemol,
remarcando una vez más su carácter negativo (el bemol era un -1).
El resultado es que en una escala natural físicamente coherente el Fa no
debería estar, lo que imposibilita la existencia del tritono en la escala. El tritono Fa−Si
es una especie de intervalo artificial, algo que no debería estar ahí. De hecho veremos
que en las escalas pentatónicas naturales, propias de la cultura oriental, no existe. Sin
embargo, en la música occidental, el tritono se coló y dio origen a todo el sistema
tonal.
16
Las notas enarmónicas son las que están en el mismo sitio en un teclado de piano. Sol# es lo mismo
que Lab, Mib lo mismo que Re#, Mi# que Fa, etc.
37
Para continuar con las cosas sorprendentes sobre el tritono, hemos dibujado su
onda en la siguiente figura, y a una escala comparable, incluso un 80% más pequeña
que las de la figura 3.8.
Fig. 3.9: Forma de onda del tritono.
Lo que llama poderosamente la atención es la enorme longitud de su periodo, varias
veces mayor que las disonancias de séptima.
Dado que no existe el Fa en el desarrollo armónico tendremos que ingeniárnoslas para
ver las relaciones frecuenciales del tritono. Construiremos el tritono sobre el Fa# que
es la tercera mayor de D5 (armónico 9). De ahí se tiene:
F#5 = D5
5
5 45
45 / 4 45
=9 =
, y relacionada con C5 (armónico 8): Tritono =
=
. Esta
4
4 4
8
32
relación de 45/32 da el índice de consonancia más grande hasta la fecha con
diferencia: nada menos que 77, de ahí su periodo tan enorme. De hecho esta relación,
lo que nos está indicando es que el tritono no aparece en la secuencia armónica hasta
los armónicos 45 con 32 (C7−F#7).
En resumidas cuentas, un intervalo tan inestable, cuando se incrusta en un
sistema de escala natural está obligado a resolver. La resolución se entiende como
aquella secuencia de dos acordes que se inicia en disonancia y termina en
consonancia fluyendo cada nota inicial a una cercana. Esto tiene una importancia
capital porque define una nueva dimensión en la música, que es la horizontalidad, o
discurso del sonido a lo largo del tiempo, a diferencia de la verticalidad que es el
sonido emitido al mismo tiempo como es el caso que hemos venido estudiando.
Esto es lo que define un sistema de composición denominado a lo largo de
todos los tiempos como Tonalidad. El sistema tonal se basa, justamente en la
resolución del intervalo tritono.
Durante la Edad Media este intervalo fue considerado diabólico y gozaba de
peor reputación que las séptimas o las segundas con su índice de 77 que ni el
mismísimo Satán habría superado.
Se podría objetar, no sin razón, que el tritono es parte integrante de nuestro
sistema occidental y que el resolverlo es una cosa inherente a nuestra cultura. Eso es
cierto, pero lo que sigue vigente es que el tritono genera una gran tensión. Por
ejemplo, existen obras en el jazz en donde, no es ya que el tritono no resuelva, sino
que la armonía única de la obra es un gran acorde tenido de séptima dentro del cual
hay un tritono. Sobre él se va tejiendo todo el entramado melódico. Pues bien, estas
obras suponen una gran tensión para el oyente. La relajación es casi imposible y
mantiene un interés casi morboso en la música.
He aquí otro ejemplo de otras culturas que poco o nada tienen que ver con la
música europea: la africana. En las tribus africanas se canta de manera tal que no hay
dos personas haciendo nunca lo mismo. Un coro de treinta personas son treinta voces
diferentes. Pero normalmente suelen crear un acorde mayor o, precisamente, una
séptima menor con tritono. Este acorde genera tal tensión que mantiene la atención
igual que en el caso del jazz y empuja a los miembros de la tribu a estar totalmente
concentrados en su danza sin posibilidad de aburrimiento. Pruebe a escuchar este tipo
de música y verá que estoy en lo cierto y para ello se ha insertado en la pista 2 del CD
una improvisación sobre esto.
En el caso de la música oriental, que carece de tritono, resulta una
característica serenidad de “lago donde se reflejan las siete lunas”. Precisamente por
su falta de tensión puede llegar a cansar si se escucha demasiado tiempo,
38
especialmente si se junta con el hecho de no estar muy metido en este tipo de música,
lo mismo que pasa con la “new age”.
El tritono también se usa solo, sin más notas, y tampoco tiene por qué resolver
cuando se encuentra fuera del sistema tonal. Ciertamente este intervalo, se usa para
crear las máximas tensiones, por ejemplo en el cine, la típica escena del psicópata que
se aproxima, o el zombie con la calavera al descubierto. Mientras dure el tritono, se
garantiza que el espectador seguirá esperando a que llegue el zombie o el psicópata.
Volviendo a la Edad Media, este intervalo diabólico se tenía que tratar con
alguna suerte de exorcismo, para lo cual se colocó sobre el Si una cruz y obligarle a
resolver. Y, como bien dicen, que en el infierno está la gente interesante, el tritono fue
la piedra angular de la tonalidad, especialmente cuando se junta con otro intervalo
disonante como es la séptima menor. Ambos juntos forman un poderoso acorde con
necesidad total de resolución, inventado por Claudio Monteverdi y que se conoce
como séptima de dominante.
Pero en la escala natural física, esto es, sin Fa, este acorde no existe y ello
obliga a la inclusión de esta nota en la única combinación posible, que es sobre Sol.
En el acorde de séptima de dominante, el Fa forma la séptima menor sobre Sol y un
tritono con Si a lo que, si añadimos su condición de intruso en la escala, es el
candidato obligado a resolver. Así se enseña en armonía tradicional.
En cuestión de nomenclatura, el tritono es un intervalo que es su propia
inversión. Es decir, que si una tercera mayor se invierte en sexta menor, una cuarta en
una quinta, etc., un tritono invertido es nuevamente un tritono. No obstante, pese a
tener el mismo sonido, cambia de nombre siendo unas veces quinta disminuida y en
otras cuarta aumentada. Pensemos, por ejemplo en Do−Fa#, que es una cuarta. Al
invertirse queda Fa#−Do, que es, técnicamente, una quinta.
3.6 Notas reales
Todo lo dicho hasta ahora se refiere a acordes construidos con sonidos
senoidales pero ¿qué sucede si ahora los hacemos con notas reales provenientes de
instrumentos?
Vamos a escuchar la pista 3 del CD en donde se aparecen acordes senoidales
seguidos de acordes con instrumentos reales. Es evidente la radical diferencia, pues
las senoidales parecen no chocar tanto como los reales. Por supuesto, la razón estriba
en que las notas reales están compuestas por armónicos y en cada intervalo no hay
un único acorde de notas senoidales sino muchos, algunos disonantes incluso aunque
el acorde sea “oficialmente” consonante. En la realidad, un acorde de dos notas no
tiene solamente dos sino una cantidad de notas mucho mayor con lo que las formas
de onda ganarán en complejidad y será inviable tratar de bucear en ellas en busca de
las consonancias y las disonancias matemáticamente simples que acabamos de
estudiar.
En su lugar, aplicaremos el principio de superposición, al que hemos aludido
con anterioridad en el párrafo 3.4. Veamos lo siguiente para poder entender esto.
Cuando escuchamos una canción, es perfectamente legible la melodía y el texto,
aunque esté sonando un acompañamiento instrumental simultáneamente. La realidad
física es que todos los sonidos se mezclan y se creará una onda resultante
extremadamente compleja. No hay más que observar una partitura de orquesta para
comprender la imposibilidad de análisis físico alguno. Sin embargo, el cerebro, que es
un instrumento muy perfeccionado a lo largo de millones de años, puede separar sin
problemas sonidos como si en la realidad no interfiriesen entre sí. Lo que visualmente
no pasa de ser un galimatías ininteligible, para una persona le resulta fácil discernir
cada parte sonora con un papel relevante. Lo mismo pasa en un acorde complicado,
pues es la suma de sus partes.
Para estudiar la consonancia o disonancia de un determinado acorde bastará,
pues, con evaluar los intervalos elementales senoidales de que se compone. La teoría
de la afinidad sonora del físico Helmholtz dice que dos tonos son consonantes si
39
coinciden uno o varios de sus armónicos superiores. Incluiremos también el
fundamental. El problema es que la cantidad de armónicos es elevada y habrá que
poner un tope. Dado que la intensidad de éstos es decreciente según aumenta el
orden del armónico, la teoría admite la concordancia hasta el armónico octavo,
excluyendo el 7 que, como sabemos, es calante.
Estudiemos, por ejemplo, un intervalo de quinta ejecutado por instrumentos
acústicos. En la figura se han representado con cabezas en negro los armónicos de
las notas graves y en gris los armónicos de la nota aguda ajenos a los de la grave que,
normalmente, chocan como segundas. Si hay coincidencia se representan en negro:
Fig 3.10: Concordandias y discordancias de diversos acordes reales.
De izquierda a derecha vemos los acordes de quinta, cuarta, tercera mayor,
tercera menor, segunda mayor y octava. En los casos de segunda menor y tritono
carecen de coincidencia alguna en el rango representado. El criterio de concordancia
parece funcionar bastante bien, ya que según aumenta la sensación psicológica de
disonancia, mayor es el número de choques de segunda y menor las concordancias.
En los intervalos de orden superior (figura 3.11), tenemos la sexta mayor con
concordancia E4 y E5, como la tercera menor primaria, y la sexta menor, séptima
menor y novena mayor, se produce una concordancia, con D5 la sexta y las otras dos
con D5, lo que las sitúa a la par de la segunda mayor. En este caso, la séptima mayor
y novena menor tampoco tienen armónicos comunes. Comparando estos resultados
con el índice de consonancia en la tabla V, comprobamos un evidente paralelismo,
aunque éste se definió para sonidos senoidales. También hay que tener en cuenta el
orden del armónico coincidente ya que, cuanto más alto sea éste mayor número de
choques deja por debajo de él, y serán además armónicos de mayor intensidad con lo
que la disonancia se acentúa. En este caso, no es lo mismo una sexta menor con su
concordancia D5 y que deja tres choques bajo ella, que la segunda mayor con sus
cinco choques.
También sucede que, al aumentar la distancia entre fundamentales, toda la
zona armónica baja de la nota más grave queda desaprovechada y la concordancia de
armónicos tiene que ser, necesariamente en las zonas agudas. Esto tiene su pro y su
contra. Por una parte, el dejar de tener puntos en común hace que las notas parezcan
menos emparentadas pero, por otra parte, teniendo en cuenta que la intensidad de los
armónicos es decreciente a medida su orden es cada vez más alto, las disonancias en
estas zonas son menos agresivas y el acorde se suaviza
40
Fig 3.11: Concordandias y discordancias de intervalos de orden superior.
En la figura 3.11 se completan los intervalos de orden superior. De izquierda a
derecha están los intervalos de sexta mayor, menor, séptima mayor y menor, décima y
duodécima. Abajo están las dos novenas. Plantearemos también un cuadro en donde
se reflejen el índice de consonancia del intervalo senoidal, así como el número de
concordancias y discordancias:
intervalo
Octava
Duodécima
Quinta
Cuarta
Décima mayor
Sexta mayor
Tercera mayor
Tercera menor
Sexta menor
Novena mayor
Séptima menor
Segunda mayor
Décima menor
Séptima mayor
Segunda menor
Novena menor
Tritono
índice de
consonancia
3
4
5
7
7
8
9
11
13
13
14
17
17
23
31
47
77
concordancias
discordancias
7
5
5
4
3
2
3
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
4
5
3
6
7
8
6
5
6
9
4
7
11
6
10
Tabla V: Comparación entre el índice de consonancia y el número de concordancias
armónicas de los intervalos reales.
Las dos columnas de la derecha indican concordancias y discordancias de
armónicos. En algunos casos las faltas de concordancia se suplen con menos
choques de armónicos. Por ejemplo, la décima mayor, aunque tiene menos
concordancias, también tiene menos disonancias y se compensa lo uno con lo otro. La
duodécima, aunque tiene las mismas concordancias que la quinta, al carecer de
choques la sitúa por delante. Además, tampoco es lo mismo una discordancia a
distancia de tercera mayor entre armónicos que de segunda menor. Lo que pretende
la tabla IV es mostrar un paralelismo razonable entre el índice de consonancia y los
choques y concordancias, pudiendo concluir que el primero puede emplearse para
determinar, con notas reales, la medida de su consonancia o disonancia.
3.7 Tríadas
Nuestra armonía va tomando cuerpo. El paso siguiente al acorde de dos notas
es uno de tres, denominado tríada. En pura teoría estas notas pueden ser tres
cualesquiera siempre que pertenezcan, por supuesto, a la escala sobre la que se está
41
construyendo la pieza musical. No obstante, nos centraremos primero en tres notas
que deben formar consonancia, y además pertenecer a la primera mitad de la escala,
es decir, que los intervalos deberán ser primarios. Esto se refiere a que si el acorde se
hace con tres sonidos, pongamos X, Y Z, entonces X con Y deberá ser consonante, Y
con Z también y X con Z. Estas tríadas se conocen como acordes perfectos.
No hay muchas posibilidades puesto que X con Z tendrá que ser forzosamente
un intervalo de quinta justa, quedando X con Y e Y con Z como terceras. En una
escala natural simplemente aparecerá una nota sí, una no, con el siguiente resultado:
Fig 3.12: Acordes tríadas perfectos
El primer acorde está formado por una tercera mayor seguido de una menor.
Eso pasa también en el cuarto y el quinto y se llaman acordes mayores. Los otros
están al revés: primero una tercera menor y después una mayor denominándose
acordes menores. Observemos que sobre el Si no aparece acorde y es porque Fa−Si
forma tritono y no se cumpliría la consonancia X↔Z. Este acorde, aunque es una
tríada no se considera perfecto y se llama de quinta disminuida.
Existe el llamado cifrado, consistente en representar el acorde mediante una
serie de letras y símbolos. Aquí adoptaremos el sistema anglosajón por ser más
sencillo. Los acordes mayores se representan simplemente por la letra mayúscula de
la nota fundamental, es decir, C es Do mayor, A, la mayor, F fa mayor, etc. Los
acordes menores se representan mediante la misma letra pero añadiendo una “m”
minúscula o un signo -. El acorde de disminuida se cifra con un pequeño cero en la
parte superior, o dis (por ejemplo Bº=Si−Re−Fa).
Ahora nos quedan algunas definiciones que habrá que memorizar pues forman
parte importante de la nomenclatura musical:
42
Tónica: Es la nota sobre la que se construye la escala, origen y final y da su
nombre a la tonalidad en que se encuentra la música. Por ejemplo, en Do
mayor es Do, en Re mayor, Re, etc.
Dominante: Si la séptima de dominante es un acorde construido sobre el
acorde de Sol mayor es porque Sol es la llamada dominante. Como hemos
dicho, el tonalismo se fundamenta en el juego dominante-tónica, es decir,
pasar de un acorde de máxima tensión al remanso de la tónica. El final de una
obra tonal siempre termina mediante la sucesión de estos dos acordes, lo que
se denomina cadencia perfecta.
Subdominante: Es la nota a distancia de quinta de la tónica, pero
descendente. En Do mayor es el Fa, como sabemos.
Sensible: Nota a distancia de semitono de la tónica, es decir el Si en Do
mayor. Como se ha visto en la figura 3.12 forma parte del acorde de Sol mayor
de dominante y es la nota donde se ponía la cruz del “vade retro”. Como la
dominante resuelve en la tónica, el Si tiene especial atracción por ésta y será
hacia donde se mueva normalmente en las piezas.
Cadencia plagal: En lugar de emplear la secuencia Sol-Do, la cadencia plagal
usa el acorde de subdominante en lugar del de dominante, es decir, Fa-Do.
Cadencia rota: Si se parte de la dominante, no resuelve en la tónica sino en su
relativo menor. Nótese que esto no viola la resolución de la séptima ni del
tritono puesto que, por ejemplo en Do mayor, el relativo de Do es La menor
(La−Do−Mi), de suerte que Fa baja igualmente a Mi y SI a Do con lo que no se
rompe la norma. Existen otros tipos de cadencia rota más heterodoxos y de los
que hablaremos más adelante.
Estado fundamental: Coincide con la ordenación de la escala de armónicos
de forma que la nota fundamental sea la más grave. El orden del resto de las
notas por encima no tiene mayor importancia. Eso se debe a que la nota más
grave es la que tiene más armónicos que chocarán o no con las notas que
están por encima de ella, y es la que identifica el oído como la base armónica
del acorde.
Inversiones: Cuando la nota más grave del acorde no está en el bajo se dice
que el acorde está invertido. Si en el bajo está la tercera entonces está en
primera inversión. Por ejemplo, en un acorde de Sol mayor, su primera
inversión será Si−(Sol, Re). Las notas que están entre paréntesis quiere decir
que no importa su orden. La segunda inversión posee la quinta en el bajo. Por
ejemplo Re mayor en segunda inversión será: La−(Re, Fa#).
Grados de la escala: Dado que lo que se aplica a una escala es igualmente
aplicable a cualquier otra de otra tonalidad diferente resulta conveniente
numerar las notas para independizarlas de la tonalidad cada vez que se hable
de cualquier propiedad. Así, la tónica es el grado I, la dominante el V, la
sensible el VII y la subdominante el IV. El resto se numera correlativamente
igual a la posición que ocupe la nota en la escala.
Grado conjunto: Es el intervalo, ya sea mayor o menor, formado por dos notas
correlativas.
A partir de este punto es donde arrancan todos los tratados de armonía de
conservatorio. Este libro no va a tratar nada de eso ya que se trata de enlazar
sucesiones de diferentes acordes de acuerdo a una serie de normas arbitrarias en
algunos casos, y más justificadas en otros. Sin ánimo de criticar metodologías de
conservatorio, creo que la asignatura de armonía debería llamarse mejor “técnicas de
enlace de acordes” ya que el noventa por ciento de lo que yo siempre he considerado
“armonía” se queda fuera del estudio.
El lector interesado en cómo se llevan a cabo estos enlaces entre acordes
debería comprarse un libro de armonía tradicional que se lo explique con todo lujo de
detalles.
La armonía tradicional plantea cuatro pentagramas con voces corales (tampoco
he llegado muy bien a comprender por qué no podían ser instrumentales) y en cada
pentagrama hay una voz con notas que dibujan diferentes líneas melódicas. Al pasar
al siguiente acorde, estas notas deben, lógicamente, cambiar y deben respetar
algunas reglas. Aunque no se tratará esto en profundidad, he aquí, no obstante,
algunas de esas normas:
Evitar que, al enlazar dos acordes, las notas que
componen los mismos formen líneas melódicas en
donde haya quintas u octavas paralelas.
Evitar cruzar las voces.
No entrar en un unísono por movimiento de segunda.
No distanciar más de una octava las voces excepto
en el bajo.
No producir disonancias por movimientos paralelos.
Resolver la sensible (Si) sobre la tónica (Do).
Cuando el acorde está en su primera inversión
(hablaremos enseguida de eso) no duplicar la nota
del bajo.
Usar la segunda inversión sólo sobre los grados
“fuertes” de la escala (tónica, dominante y
subdominante).
Fig. 3.13: Enlace del
acorde de séptima de
dominante con la tónica.
43
Resolver la séptima por movimiento descendente a la nota inferior.
La siguiente figura muestra una típica resolución de séptima de dominante en
donde la séptima desciende a Mi y el Si (la sensible) resuelve en Do. Las notas del
bajo pasan de Sol a Do adoptando sus estados fundamentales. En armonía tradicional
se plantea una guía, bien la voz de un bajo, bien una línea melódica en la soprano que
hay que completar en el resto de las voces usando la armonía que crea conveniente y
respetando en los enlaces las normas académicas. En música antigua, cada nota de la
melodía o bajo se enfrentaba a otra de la misma duración en cualquiera de las otras
voces, lo que en latín se llamaba punctum contra punctum (nota contra nota),
actualmente contrapunto.
En la figura 3.14 se ha puesto un enlace defectuoso en donde hay una
sucesión de quintas paralelas entre el bajo y el tenor. En este enlace vemos que la
nota Si no tiene la cruz correspondiente. Eso se debe a que el primer acorde no es de
dominante sobre el grado V, sino Mi menor, que es sobre el III. La sensible, que es la
que tiene siempre la cruz, solamente se considera sobre el acorde de dominante.
3.8 Psicología de los acordes
Existe una propiedad en los acordes que es
inherente en la música y, por el momento su justificación
científica exacta no es conocida. Es lo mismo que un
determinado sabor o color, que produce efectos en la
psicología del individuo. En el caso del color puede haber
un fundamento, por ejemplo, el color rojo, por ser el de la
sangre resulta inquietante y agresivo. Los colores de la
naturaleza como azul o verde, recordarían a ésta, reflejando
serenidad. Lo que es también desconocido es la propia
Fig. 3.14: Enlace con
reconstrucción del color en el cerebro ¿por qué el verde es
quintas paralelas
como es y no podía haber sido como el violeta, por
ejemplo?
Aunque no está suficientemente estudiado, los acordes influyen en el sistema
límbico del cerebro (figura 2.16) provocando profundos sentimientos. Los acordes
mayores provocan sensaciones psicológicas de euforia y optimismo. Se emplean
acordes mayores para reflejar alegría, grandiosidad, fuerza y poder. Una obra grande
deberá acabar en un acorde mayor si se quiere dar ese sentimiento. Por el contrario,
los acordes menores son más íntimos y se emplean para evocar tristeza, tragedias,
catástrofes, ensoñación, melancolía y recogimiento.
Por supuesto, un solo acorde no es capaz de producir efectos milagrosos y he
ahí la habilidad de compositor para combinar todos estos elementos para la creación
de la obra de arte. Una determinada cadencia de acordes producirá un efecto que no
es la suma de sus partes, es decir, que si alternan acordes mayores y menores el
espectador no se verá sometido a una especie de zarandeo emocional que lo sacuda
de la alegría a la tristeza en cuestión de segundos, sino que los sentimientos se irán
perfilando a medida que la pieza avanza, creando una lógica no matemática sino más
ligada al hemisferio derecho como se habló al citar el trabajo de los investigadores
Bianco y Grigolini.
44
CAPÍTULO 4
Las escalas
4.1 La construcción de la escala
Después de la arquitectura, la música es el arte más ligado a la ciencia; no en
balde en la antigua Roma la música formaba parte de las ciencias y se estudiaba junto
con ellas. Aparte de estar basada en un fenómeno físico como la emisión de
armónicos de un cuerpo, la música tiene otras relaciones más intrínsecas aún con las
matemáticas y que se fundamenta en las secuencias de quintas.
A diferencia del fenómeno físico armónico de un cuerpo sonoro, que es una
emisión simultánea de muchos sonidos simples, la música necesita desarrollar estos
sonidos a lo largo del tiempo creando sucesiones de notas con unos determinados
intervalos entre ellas. Es, en realidad, un objeto físico de dos dimensiones porque no
sería de gran utilidad que toda la información se emitiera de golpe según el fenómeno
físico armónico. Imaginemos todas las notas de la quinta sinfonía de Beethoven
apelotonadas y lanzadas al tiempo en un solo segundo. Las dos dimensiones de la
música se resumen en melodía (sucesión a lo largo del tiempo) y armonía (notas que
suenan a la vez), lo cual se conoce también en la jerga musical con las
denominaciones horizontal y vertical respectivamente, ya que en la partitura la melodía
se desarrolla de forma horizontal y la armonía que le corresponde lo hace en forma
vertical.
Ese desdoblamiento de notas que no suenan ya a la vez se debe al fenómeno
del ritmo, que es el encargado de distribuir dichas notas a lo largo del tiempo. El
propio ritmo es también una función periódica, pero esta vez de muy baja frecuencia.
La escala se puede definir como una sucesión finita de sonidos, o notas, que
se encuentran distanciados mediante intervalos fijos de frecuencia dentro del ámbito
de una octava, lo que nos indica que la escala resulta de dividir la octava en partes
llamadas intervalos. Dichas partes pueden, o no, ser constantes e iguales para todas
las notas, creando una elevada cantidad de escalas posibles.
La primera escala que se nos ocurriría formar procede del propio fenómeno
físico armónico en donde la nota siguiente coincidiría con el correspondiente armónico
desarrollando a lo largo del tiempo en lugar de sonar de forma simultánea. La escala
quedaría:
Fig: 4.1: La escala física armónica.
Lo primero que vemos es que se extiende mucho más de una octava y que los
intervalos van siendo cada vez más cortos a medida que avanzamos, dejando
espacios demasiado grandes en el comienzo. Aunque esto es muy poco práctico,
existen dos casos de instrumentos que usan esta escala. El primero es la corneta
militar que, por su condición de ser un simple tubo resonante no está capacitado más
que para emitir estas notas. En los toques de cuartel las melodías se componen
exclusivamente de notas de esta escala y la mayoría de los himnos suelen empezar o
están basados en esta escala que es, simplemente el arpegio de un acorde mayor.
El segundo caso es el canto difónico, practicado por pastores en algunas zonas
del Asia Central. Esta técnica es muy sorprendente ya que consiste en emitir una nota
muy grave, rica en armónicos y amplificar y seleccionar éstos para generar melodías.
45
Aunque se trata de canto, los armónicos suenan semejante a una flauta, sin texto, y
por eso se puede considerar un instrumento. Como las distancias primeras son
demasiado grandes, la escala del canto difónico se encuentra en la zona superior de
armónicos, a partir del G4. El inconveniente es, como ya se habrá adivinado, la
inclusión de las notas calantes Sib y Fa#, que resultan muy poco musicales cuando se
ejecutan por lo que se puede optar por suprimirlas y dejar la siguiente escala
pentatónica (de cinco sonidos)17:
Fig: 4.2: Escala pentatónica difónica.
Esta escala tiene la ventaja de tener sus sonidos dentro del ámbito de la octava
y que los intervalos que separan sus notas son más regulares que comenzando en el
fundamental. De hecho esta escala es considerada como una de las llamadas escalas
naturales, y físicamente sería la más acertada. El problema es que no resulta
suficientemente amplia como para el desarrollo de grandes obras musicales.
Debemos, pues tratar de crear otras escalas más ambiciosas pero que, a su vez
tengan un fundamento lógico.
4.2. La escala de entonación justa
Por su carácter artificial, las escalas van a producir una serie de problemas
físicos algo complicados de resolver. En este libro no se puede profundizar sobre este
tema lo suficiente, ni es su propósito, y por ese motivo nos conformaremos con dar
una visión esquemática. Para mayor información se recomienda consultar la
bibliografía.
o
Do (I)
relación con la
fundamental
a
1
o
Re (II)
a
9/8
o
Mi (III)
D
5/4
o
Fa (IV)
D
4/3
o
Sol (V)
D
3/2
o
La (VI)
D
5/3
o
Si (VII)
o
15/8
o
Do2 (I)
o
2
nota
relación con la
anterior
o
9/8
o
10/9
o
16/15
Do
9/8
Do
10/9
Do
9/8
Do
16/15
Tabla VI: Relaciones interválicas de la escala de entonación justa.
El sistema de entonación justa, o Zarlino, construye la escala empleando las
mismas distancias entre notas que en la serie armónica. Básicamente sería muy
semejante a la escala anterior (figura 4.2) pero añade dos notas que no están en esa
escala interpolando intervalos de acuerdo con la tabla II. La primera es el Fa, que no
17
En la práctica, se usa también el Sol inferior, mientras que el Si natural agudo es difícil de conseguir.
46
es armónico, y se materializa como intervalo a distancia de cuarta de la fundamental, y
la segunda el La como sexta mayor de la fundamental en lugar de esperar al armónico
27. Nótese que si se propusiera la nota Fa a otra distancia diferente a la cuarta,
quedaría un intervalo disonante con la fundamental, y si el La se definiera como sexta
menor, quedaría otro sonido (Lab), que no es armónico. Conforme con ello queda
reflejada la escala en la tabla VI con sus correspondientes relaciones de frecuencia.
En la columna de la derecha se han representado las relaciones de cada nota
con la anterior, y que se calculan sin más que dividir las relaciones de ambas con la
fundamental, es decir, que entre Re y Mi será:
rRe − Mi =
rMi − Do 5 / 4 10
=
= ,
rRe − Do 9 / 8 9
y que es coincidente con la relación entre los armónicos 10 (E5) y 9 (D5). Hay que
hacer notar que ya aparece una cierta irregularidad en la relación de una nota con la
siguiente con las fracciones siguientes: 9/8, 10/9 y 16/15. El intervalo 9/8 se
corresponde con la segunda mayor dado en la tabla II, que es el intervalo Do−Re
(armónicos 8 y 9), pero entre los armónicos 10 y 9, es decir, Re−Mi, hay una distancia
diferente: 10/9. En esta escala hay tonos de diferentes tamaños. Al existente entre Do
y Re se le llama tono grande y al que está entre Re y Mi tono pequeño. El restante,
16/15, es el mismo entre Mi y Fa como entre Si y Do, y se llama semitono diatónico.
En la escala alternan el tono grande y el pequeño, con dos semitonos intercalados. La
relación entre el tono grande (9/8) y el pequeño (10/9) se denomina coma sintónico y
su valor es:
εs =
9 / 8 81
=
10 / 9 80
Esta escala deducida científicamente a partir del fenómeno armónico recibe el
nombre de escala mayor, y fue deducida por el músico italiano Gioseffo Zarlino, por lo
que este sistema también lleva su nombre. En este ejemplo hemos construido la
escala partiendo de la nota Do, pero se puede construir perfectamente en cualquier
otro sonido, obteniendo la escala mayor correspondiente a ese tono nuevo y
respetando las distancias de la tabla VI. En adelante, para independizar las escalas de
nombres de notas, sus sonidos, denominados grados, se identifican mediante
numeración romana (I, II, III, IV, etc.), lo que se ha detallado en la tabla. Recordemos
que el Ier grado también se conoce como tónica y el V dominante.
Si en esta escala se encadenan dos terceras mayores a partir de la tónica, nos
aparece una nota que está situada entre el V y el VI. Al intervalo definido por el grado
V y esta nueva nota se le denomina semitono cromático y se representará como V#,
donde el signo # se denomina sostenido, y supone subir medio tono a la nota. Cuando
se baja un semitono cromático, a la nota se le añade el símbolo b, llamado bemol.
Pese a su excelente simetría y elegancia matemática, el sistema Zarlino tiene
inconvenientes importantes. El mayor quizá el hecho de que no todas las quintas de su
escala son justas. Si calculamos la relación entre La y Re se ve que, al dividir las
fracciones 5/3 por 9/8, el resultado no es 3/2 como correspondería a la quinta justa.
Desde el punto de vista musical, que esté esa quinta desafinada resulta defectuoso. Si
tratamos de afinar esa quinta, entonces se descolocarían otros intervalos. Hemos
construido una escala que tiene un defecto.
Pero eso no es todo, si todas las melodías se moviesen dentro de una sola
escala, solamente tendría el defecto de la quinta, el nuevo problema surge cuando
conviven escalas basadas en notas diferentes. Como ejemplo, pongamos Si bemol. En
ese caso se tiene el siguiente desarrollo armónico:
47
Fig. 4.3: Desarrollo armónico a partir de Sib.
con la correspondiente tabla para la escala de Sib mayor:
o
Sib (I)
relación con la
fundamental
a
1
o
Do (II)
a
9/8
o
Re (III)
D
5/4
o
Mib (IV)
D
4/3
o
Fa (V)
D
3/2
o
Sol (VI)
D
5/3
o
La (VII)
o
15/8
o
Sib2 (I)
o
2
nota
relación con la
anterior
o
9/8
o
10/9
o
16/15
Do
9/8
Do
10/9
Do
9/8
Do
16/15
Tabla VII: Relaciones interválicas comenzando en Sib
que tiene unos valores idénticos a los de Do mayor, como es natural (imagine el lector
esta misma tabla pero eliminando los nombres de las notas y dejando simplemente los
grados I, II, III, IV, etc.). El problema es que en esta escala el intervalo Do−Re es 10/9
(tono pequeño) y en la de Do mayor era el tono grande 9/8. El ejecutante que tenga
que interpretar una pieza moviéndose en varias escalas se vería obligado a reafinar el
constantemente el instrumento. Para los instrumentos de afinación fija sería imposible
ajustarse a este sistema y para los de afinación variable, aunque puedan hacerlo, les
resultaría muy engorroso tantos cambios de distancia entre notas que teóricamente
serían las mismas.
4.3. Sistema pitagórico
Hemos dicho antes que la creación de una escala no obedece a ningún
fenómeno físico, a excepción de las escalas físicas armónicas de las que hemos
hablado. En este caso, la practicidad de las necesidades de la música está reñida con
el fenómeno físico en sí a causa de la no linealidad de la percepción del tono (altura).
De ello trataremos más adelante.
Para remediar la desafinación de la quinta entre los grados II-VI del sistema
anterior, el pitagórico emplea las quintas justas para ordenar y crear una secuencia de
sonidos. Cada nota tiene una relación de frecuencia de 3/2 con la anterior. Tomando
un sonido de referencia, para los siguientes sonidos 1, 2, 3, 4, etc., se obtienen
relaciones de frecuencia:
48
1
2
3
4
1
3
2
9
4
27
8
n
n
L
3
2n
Para la nota n-ésima se obtiene una relación de 3n/2n. Ahora bien, la secuencia de
quintas supera la octava, con lo que no es propiamente una escala tal y como la
hemos definido. Para conseguirla, habrá que rebajar las notas que excedan la octava
el número necesario de éstas para que la nota baje lo suficiente como para quedar en
la misma octava que el resto. Si el lector tiene un piano puede comprobar que hay que
bajar una octava cada dos quintas sucesivas. Procediendo de esta manera se
obtienen las siguientes relaciones de frecuencia18:
o
I
relación con la
fundamental
a
1
o
II
a
9/8
o
III
D
81/64
o
IV
D
4/3
o
V
D
3/2
o
VI
D
27/16
o
VII
o
243/128
nota
o
I
o
2
relación con la
anterior
o
9/8
o
9/8
o
256/243
Do
9/8
Do
9/8
Do
9/8
Do
256/243
Tabla VIII: Relaciones interválicas de la escala de pitagórica.
En esta tabla vemos algo muy interesante, que es el hecho de haber
conseguido eliminar las diferencias entre tono grande y tono pequeño (ahora todos
son grandes) a expensas de rebajar el semitono diatónico a 256/243 (=1,05) en lugar
de 16/15 (=1,066) como en el Zarlino. Ahora, se tome la nota base que se tome, las
distancias físicas entre grados (notas) son las mismas para cualquier escala y,
además, todas las quintas están correctamente afinadas.
Las series de quintas se pueden prolongar hacia arriba o hacia abajo con
quintas descendentes. Después del Si aparece un intervalo de quinta justa que
también se denomina Fa# pero que, al resultar algo más alto que un semitono
diatónico, define el semitono cromático de este nuevo sistema que, en general, será
diferente del semitono cromático de la escala de entonación justa. También se añaden
en este caso los símbolos # y b. A partir de Fa# se repite la secuencia, pero esta vez
todas las notas con sostenido. Por quintas descendentes se obtiene la secuencia en
sentido inverso cuyas notas están un semitono cromático por debajo de las de la
secuencia inicial, siendo, por tanto, bemoles. En definitiva la secuencia completa sería:
Fb Cb Gb Db Ab Eb Bb F C G D A E B F# C# G# D# A# E# B#
18
En el apéndice B1 se detalla este proceso.
49
4.4. Relaciones entre los sistemas se entonación justa y pitagórico
Calcularemos las relaciones entre los tamaños de los semitonos diatónico y
cromático de ambos sistemas19. En el pitagórico se tiene:
εp =
531.441
≈ 1,0136 .
524.288
La diferencia entre el semitono cromático y el diatónico se conoce con el
nombre de coma pitagórica. En este sistema, el semitono cromático es mayor que el
diatónico. Por el contrario, para el Zarlino, la relación entre sus semitonos es:
εδ =
128
≈ 1,024 ,
125
y el nombre de la diferencia es díesis enarmónica. Ahora es el semitono cromático el
que es menor que el diatónico. Nótese que no hay paralelismo de la escala pitagórica
con el coma sintónico puesto que sus intervalos de segundas son siempre iguales.
Como en toda disciplina de la física, se necesita tomar un patrón. Sabemos que
el metro tiene su definición y es el patrón de longitud, el kilogramo y el segundo lo son
también de la masa y el tiempo. Para la música se tomó como nota patrón el La, y por
eso se representa en notación sajona por la primera letra del alfabeto: A. En el
Renacimiento y Barroco su frecuencia era menor que el actual patrón de 440 Hz y fue
aumentando en busca de sonidos más brillantes hasta estabilizarse en su actual valor.
Tomando el La4 como patrón sí podemos deducir todas las frecuencias
subiendo y bajando por quintas, cuya relación de 3/2 es conocida (2/3 para
descendentes naturalmente). Así se obtendría una secuencia que es capaz de cubrir
todo el espectro sonoro, incluyendo notas en principio redundantes, como serían Fb,
Cb, E#, y B#, que aparentemente serían lo mismo que E, B, F y C. Pero veremos que
esto no es del todo correcto.
Basándonos en el A4 de 440 Hz, y aplicando octavas descendentes, llegamos
hasta el A0 cuya frecuencia se obtiene dividiendo 440 por 16, esto es 27,5 Hz. La
secuencia de quintas arranca desde esta nota hasta B#5.
Actuando de la misma forma pero inversamente, tomaremos un La agudo, A6,
por ejemplo, e iremos bajando por quintas descendentes hasta Cb de 30,5 Hz. El Fa
bemol queda demasiado grave y tampoco nos hace falta realmente para lo que vamos
a demostrar a continuación. La Tabla IX ilustra los cálculos realizados. En la mitad
izquierda están los valores calculados subiendo a partir de A0 y en la derecha los
descendentes desde A6.
19
La deducción de estos valores se muestran en el apéndice B-1.
50
Octava Nota
6
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
valores en Hz.
Nota
valores en Hz.
1.760,0
A
FXX
B#
FX
E#
B#
A#
E#
D#
A#
G#
D#
C#
G#
F#
C#
B
F#
E
B
A
relación f#/fb
1.585,8
1.057,2
792,9
704,8
528,6
469,9
352,4
313,2
234,9
208,8
156,6
139,2
104,4
92,8
69,6
61,9
46,4
41,3
30,9
D
C
G
F
C
Sib
F
Eb
Sib
Ab
Eb
Db
Ab
Gb
Db
Cb
Gb
Fb
Cb
1.173,3
1.043,0
782,2
695,3
521,5
463,5
347,7
309,0
231,8
206,0
154,5
137,3
103,0
91,6
68,7
61,0
45,8
40,6
30,5
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
1,0136
27,5
Tabla IX. Cálculo de las frecuencias de las notas musicales por medio de quintas
ascendentes y descendentes.
Llamaremos notas enarmónicas a aquellas que, según el teclado del piano,
serían coincidentes, es decir:
E##
B#
A##
E#
D##
A#
G##
D#
Fig 4.4: Teclado de piano
de valores reales.
F
C
Sib
F
Eb
Sibb
Ab
Ebb
Si nos fijamos en la tabla, se ve claramente que los
valores de frecuencias entre las notas enarmónicas no coincide
porque las frecuencias de los bemoles siempre están por
debajo de los sostenidos.
En la última columna se han representado las
relaciones de las frecuencias entre la nota sostenida y su
enarmónica bemol, mostrando que siempre vale 1,0136, es
decir, que están separadas por un intervalo que siempre es el
mismo. Esta tabla afirmaría que la música tiene en realidad 21
valores diferentes. En la figura 4.4 se ha representado un
original teclado de piano en donde aparecen teclas dobles para
poder incluir las diferencias entre sostenidos y bemoles. Esto
no resulta nada práctico aunque cumpla con las leyes de la
física. Resultaría engorroso y añadiría un toque algo excéntrico
a los conciertos.
51
Si queremos comprobar el fenómeno de falta de concordancia de manera
gráfica, partiremos por ejemplo de la nota La bemol 1 y vamos a ascender por dos
caminos diferentes. El primero por quintas hasta llegar a Sol#7, y el segundo por
octavas hasta Lab7, que son enarmónicas:
Lab
Lab 1
Mib
Sib
Lab 2
Fa
Do
Lab 3
Sol
Lab 4
Re
La
Lab 5
Mi
Fa#
Si
Lab 6
Do#
Lab 7
Sol#
Lab 8 Coma
pitagórica
Fig. 4.5: Falta de concordancia entre la serie de quintas y 7 octavas.
La relación entre las frecuencias de notas enarmónicas (bemol y sostenido) resulta ser
1,0136, que concuerda con el valor de la tabla20, y nuevamente igual a la coma
pitagórica, antes definida, y cantidad que resulta muy cercana a la quinta parte de una
segunda menor (16/15, tabla I).
Podemos comparar ambos sistemas. Si en el sistema pitagórico todos los
intervalos de tono son grandes, y la diferencia entre tono grande y pequeño es de un
coma sintónico es que a todos los tonos pequeños del sistema Zarlino se les ha
sumado esta cantidad. En la escala hay dos tonos pequeños, luego la cantidad total de
dos comas sintónicos habrá que quitárselos a alguien, concretamente a los dos
semitonos y por eso son más pequeños. Si e es el coma sintónico se tiene entonces:
Zarlino
Pitagórico
+e -e
+e
-e
Fig. 4.6: Comparación entre la escala Zarlino yla pitagórica.
Si calculamos la relación entre dos notas enarmónicas de la escala de entonación
justa, nos encontramos que ésta es igual a la cantidad también antes definida como
díesis enarmónica.
Finalmente hay que exponer las desventajas del sistema pitagórico, que son,
como se puede apreciar en la tabla VIII, que, si bien las quintas están bien afinadas,
las terceras tienen una relación de 81/64, y eso resulta bastante defectuoso al oído. A
continuación resumimos en un cuadro las comparaciones de ambas escalas:
escala
Zarlino
Pitagórica
semitono diatónico
semitono cromático
díesis enarmónica
128
≈ 1,024
125
coma pitagórica
531.441
≈ 1,0136
524.288
relación entre notas
enarmónicas
díesis enarmónica
coma pitagórica
tono grande
tono pequeño
coma sintónico
81
=1,0125
80
-
Defectos
quinta D−A
desajustada
terceras mayores
desajustadas
Tabla X: Relaciones irregulares en las escalas Zarlino y pitagórica.
4.4 El temperamento igual
Al parecer la naturaleza está llena de importantes irregularidades y no parece
posible encontrar un sistema donde todo encaje bien. Este comportamiento tan
20
La demostración se detalla en el apéndice B-1.
52
inelegante, que complica enormemente las cosas, se debe a que la percepción de la
altura de un sonido sigue la ley de Weber-Fechner, que dice que para que la respuesta
sensorial a un determinado estímulo se perciba de forma lineal, éste deberá aumentar
de forma exponencial.
Esto se pone de manifiesto en la percepción, tanto de la intensidad, como de la
altura de un sonido. Si a una determinada nota le sumamos 12 semitonos obtenemos
la misma, pero una octava más alta; sumando otros doce se tienen dos octavas y así
sucesivamente. Esto es lo que entendemos por linealidad, el hecho de poder obtener
un intervalo por suma de semitonos. En cambio, las frecuencias que deben tener esas
notas tienen que ir doblándose cada vez (multiplicando por dos). Véase la siguiente
tabla:
Semitonos añadidos
Relación de Frecuencia
C1
0
1
C2
12
2
C3
2×12
4
C4
3×12
8
C5
4×12
16
n
relación de frecuencia
La fila primera es de la forma n×a, mientras que la fila inferior lo es como 2 .
Representemos estos resultados en la figura siguiente:
a
octava
(tonos)
Fig. 4.7: Relaciones no lineales de la escala.
Se pueden ver trazados en el eje horizontal una serie de segmentos de longitud
constante a, que representan diferentes octavas. Se ha dividido linealmente una de las
octavas en semitonos de tal manera que los segmentos en blanco y en negro sean
iguales y representen las notas en un teclado de piano. En el vertical se han trazado
las correspondientes relaciones entre frecuencias partiendo de una nota de referencia
cualquiera, cuya relación de frecuencia consigo misma es, evidentemente, 1. Ahora se
puede comprobar que en este eje las distancias no son iguales. Este fenómeno es,
precisamente la no linealidad. A medida que vamos hacia las frecuencias altas los
intervalos van siendo más amplios. Si en lugar de frecuencia medimos en longitud de
onda, el fenómeno será inverso, es decir, que las longitudes son cada vez más cortas
hacia el agudo.
Esto lo saben demasiado bien los instrumentistas de cuerda que, según
avanzan hacia las notas altas, necesitan juntar más los dedos, lo que requiere una
especial destreza y hacen que la ejecución afinada resulte cada vez más difícil. Con
otra problemática diferente, también aumenta la dificultad en los instrumentos de
metal, porque en la zona aguda las posiciones de los labios son más parecidas y
aumentan la posibilidad de equivocación haciendo sonar la nota indebida. Esto es lo
que produce el típico “gallo” de los instrumentistas poco hábiles.
53
En definitiva, la falta de linealidad es la causante del problema de los
desajustes a la hora de construir una escala. Hay que tener en cuenta que, si bien el
fenómeno físico armónico es de índole natural, una escala es de hecho artificial, no
existe en la naturaleza.
Se podría optar por comprimir las quintas en la figura 4.5 el valor de la coma
pitagórica, de suerte que coincidan con las 7 octavas. Eso haría que la quinta real
fuese 1/12 de coma más pequeño que el justo. Entonces, en materia de quintas,
estaría resuelto el problema pero ¿qué hay del resto de las
Do
1,000
notas? ¿qué hacemos con la díesis enarmónica y el coma
Do#
1,059
sintónico?
Re
1,122
La no muy elegante, pero única, solución es proceder
Re#
1,189
al temperamento de la escala, consistente en dividir la octava
Mi
1,260
en intervalos regulares, y de acuerdo a una ley lineal. En la
Fa
1,335
figura 4.7 podemos apreciar esta división.
Fa#
1,414
Actualmente, el sistema más racional consiste en
Sol
1,498
dividir la octava en partes linealmente iguales como aparece
Sol#
1,587
en la figura 4.7. El sistema occidental lo divide en doce partes
La
1,682
iguales (temperamento igual), mientras que el árabe lo hace
Si
b
1,782
en 17 y el indio en 22 partes llamadas srutis.
Si b
1,888
El temperamento igual divide en doce partes iguales
Do
2,000
la octava. Cada división tiene una relación de frecuencia de
12
2 21. Ahora ya no se respetan los intervalos de la tabla I sino
Tabla XI. Relaciones de
que se convierte en otros nuevos. La raíz 12ava de 2 es
frecuencia en el sistema
temperado.
aproximadamente 1,059, quedando ahora las relaciones
plasmadas en la Tabla XI.
4.5 Otros temperamentos
Sin embargo hay otras formas de temperar. Algunas fueron utilizadas en el
Renacimiento y el Barroco. Unas consisten en dividir la octava en un número diferente
de comas, otras en repartir el error acumulado en la escala dando preferencia a unos
intervalos frente a otros. he aquí algunos de ellos:
21
Marsene: El piano posee varias cuerdas dependiendo de la altura a la que
estemos del teclado, desde tres hasta una sola en los graves. Esta afinación
parte de una desigualdad en las frecuencias de cada nota, de forma que no
estén perfectamente afinadas las tres cuerdas.
Holder: Divide la octava en 53 comas, asignando un temperamento desigual,
dando al tono 9 comas, al semitono diatónico 5 y al cromático 4. Los intervalos
de tercera mayor, quinta, sexta mayor y séptima mayor son más cortos que en
la pitagórica. Mejora la sonoridad de terceras y sextas pero empobrece cuartas
y quintas. Evita operar con decimales pero no se basa en ningún principio
físico.
Temperamento desigual: Este temperamento fue aplicado al comienzo del
siglo XVI y consiste en repartir de forma desigual los restos entre los intervalos.
En principio funciona bien con la primera escala pero, cada vez que se cambia
a otra tonalidad, las cantidades se van acumulando. En principio esto resulta
interesante porque cada tonalidad goza de su propia interválica y confiere a la
música una personalidad, o sabor, diferente según la tonalidad en que nos
movamos. El problema se produce cuando dicha tonalidad comienza a
moverse hacia muchos bemoles o sostenidos. En ese caso, para poder cerrar
el círculo de quintas, la última de ellas resulta demasiado grande con lo que se
Demostración en el apéndice B3.
54
vuelve disonante y fue conocida como quinta del lobo por asemejar un aullido.
Eso inutilizaba el sistema.
Werckmeister y Kirnberger: Tampoco afina perfectamente las cuerdas de
cada nota. Tiene especial interés en la mejora y belleza de acordes medios.
Nótese que ahora el semitono, propio de la escala temperada, no es igual que
la segunda menor física sino que es más pequeño que la segunda menor y entonces
la coma pitagórica antes descrita, y que es un quinto de la segunda mayor, queda
aproximadamente un 23% del semitono, y que aproximaremos a la cuarta parte. Por
tanto, un cuarto de tono tiene dos comas y un semitono cuatro. Por supuesto este
cuarto de tono es el temperado ya que el natural es 13/12 como se desprende de la
figura 2.7.
En el apéndice B-3 se adjunta una tabla con los valores de las frecuencias de
las notas para distintos sistemas.
4.6 Consonancia y disonancia en el temperamento. Banda crítica
Queda estudiar el efecto que puede tener el temperamento en las notas porque
abandonan la serie armónica y no sabemos qué consecuencias puede tener esto
aunque, por experiencia, sabemos de sobra que los acordes temperados suenan bien.
Sin embargo analicémoslo desde el frío punto de vista de la ciencia.
Estudiaremos lo que sucede si hiciésemos sonar simultáneamente dos notas
enarmónicas pero sin temperar, es decir, el acorde Lab−Sol# en la escala pitagórica. La
distancia entre ambas es de una coma, y se demuestra en el apéndice B-1 que la
relación de frecuencias es, empleando números enteros:
531.441
,
524.288
lo que arroja la nada despreciable cifra
1.0
de 1.055.729 para su índice de
consonancia. Esto parece dar a
0.8
entender que ambas notas formarían la
discernimiento de
banda
notas separadas
crítica
disonancia más formidable de todos los
0.6
tiempos. No obstante, volviendo a la
definición de índice de consonancia,
0.4
sabemos que lo que mide es
simplemente el periodo armónico de la
0.2
onda resultante. Para el caso de dos
frecuencias extremadamente cercanas,
este periodo tan dilatado lo único que
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
nos indica es que la portadora se
frecuencia
de
batido
encuentra modulada por un pulso de
frecuencia
extremadamente
baja,
Fig. 4.8: Sensación de disonancia en función del
concretamente
es
0,0136
(una
ancho de banda crítico.
centésima) veces la frecuencia de la
nota. Por ejemplo, para un C4 unido a su enarmónica no temperada B#3 supondría una
frecuencia de batido de 3,6 Hz. Estos batidos muy lentos, del mismo orden que la
fluctuación de amplitud de una flauta travesera. A nadie le parece que una flauta
travesera suene mal por el hecho de tener ese batido de amplitud.
Falta un nuevo ingrediente en la percepción de la disonancia y que nos lleva
nuevamente al tema del ancho de banda crítico comentado en el capítulo 2. En él se
anunció la importancia de esta banda en la percepción de la disonancia. Según la
teoría de dos científicos holandeses, Plomp y Levelt, así como los japoneses
sensación de disonancia
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
55
Kameoka y Kuriyagowa22 (fíjense, de otra cultura), se afirma que la máxima disonancia
se produce cuando la diferencia de frecuencia entre dos sonidos es del orden de la
cuarta parte del ancho de banda crítico para la frecuencia media resultante. Como se
dijo en su momento, ambos sonidos, por estar dentro de dicha banda no se apreciarán
como dos sonidos separados sino como uno solo modulado por un batido cuya
frecuencia es la diferencia de frecuencias. En la figura 2.15 se detallaba este ancho de
banda, que es de unos 90 ó 100 Hz para frecuencias de hasta 300 Hz. La cuarta parte
de esta banda es de 20 a 25 Hz, luego si las frecuencias baten a esa razón la
disonancia será máxima. Por encima y por debajo de ese batido la sensación de
consonancia vuelve a aparecer, lo que se ha plasmado en la figura 4.8. La figura es
sencilla de comprender si vuelve a abrir las animaciones del capítulo 2
Separacion250Hz.avi y Separacion1000Hz.avi. Una de las notas es fija
mientras que otra barre un rango de frecuencias desde la misma nota que la primera
hasta sobrepasar la banda crítica. Usted notará que primero hay una pulsación que se
acelera paulatinamente. Está en la zona 0 a 0.2 de la banda crítica de la figura 4.8 y la
sensación de disonancia se acrecienta hasta alcanzar su punto máximo hacia la cuarta
parte del ancho de banda en 0.25 (en la figura 4.8 está invertido porque se ha
consignado la consonancia en lugar de la disonancia). A partir de aquí notará que el
sonido se va “arreglando” hasta que llega al borde de la banda (punto 1 de la figura) y
a partir de este momento empieza a escuchar dos notas diferenciadas.
Ahora podemos ir a la pista 4 en donde están situados secuencialmente los
siguientes sonidos:
intervalo
100 Hz – 122 Hz
500 Hz – 522 Hz
500 Hz – 530 Hz
500 Hz – 620 Hz
1.000 Hz – 1.022 Hz
1.000 Hz – 1.040 Hz
1.000 Hz – 1.160 Hz
2.000 Hz – 2.022 Hz
2.000 Hz – 2.070 Hz
2.000 Hz – 2.280 Hz
diferencia
22
22
30
120
22
40
160
22
70
280
ancho banda
crítica
máxima
disonancia
100
25
120
30
160
40
280
70
discernimiento
notas
separadas
no
no
no
si
no
no
si
no
no
si
Tabla XII: Anchos de banda críticos para diferentes diferencias de frecuencia.
En esta tabla se han detallado todos los sonidos de la pista. Hay cuatro grupos:
100, 500, 1.000 y 2.000 Hz. El lector verá que se ha dejado una diferencia fija de 22
Hz en todos las grupos para comparar con el caso de 100 Hz. Al escuchar el primer
sonido, se notará que hay mucha disonancia. A medida que se ensancha la banda
crítica para los sonidos siguientes, esa misma diferencia de 22 Hz, que causaba la
máxima disonancia a 100 Hz, ya no es suficiente, por lo que se ha añadido una
segunda combinación en cada grupo en la cual la diferencia de frecuencias
corresponde a la disonancia máxima, esto es, la cuarta parte del ancho crítico. La
tercera combinación consta de un intervalo cuya diferencia es justamente el ancho de
banda crítico y demuestra que en ese momento se pueden discernir dos notas
separadas.
Finalmente citaremos dos curiosidades que son una quinta oculta (que no se
oye) y una quinta justa disonante. Son el resultado de la teoría de la banda crítica. Se
ha calculado una frecuencia tal que, al unir dos tonos en un intervalo de quinta justa, la
22
Según estos últimos, la sensación de disonancia tiene una expresión matemática algo complicada que
no se verá aquí.
56
banda crítica sea tan ancha que la diferencia de frecuencias sea más pequeña que
ésta y no permita discernir dos notas como sucede siempre en la música normal. En el
apéndice B-4 se detalla cómo se ha calculado y se puede escuchar en la pista 5,
primer sonido. Aquí aparece un sonido descendente que se inicia en un punto donde
el intervalo de quinta está claro y se escuchan con claridad dos notas separadas. A
medida que el sonido desciende la evidencia de presencia de dos notas se va
haciendo más confusa hasta el grave en donde parece haber una sola nota y resulta
difícil distinguir la quinta. Esta es la quinta oculta. El segundo caso resulta también
muy curioso porque es una quinta disonante. Para calcular esto se tomaron dos
sonidos en intervalo de quinta justa 3/2, cuya diferencia de frecuencias fuese
precisamente la cuarta parte del ancho de banda crítico para esa frecuencia, que es
donde está la disonancia máxima. El resultado es el segundo sonido de la pista 5 que,
como puede comprobar el lector, es disonante. Las notas correspondientes a este
intervalo son G1−D2. Si tiene a mano un piano posiblemente disentirá de que esa
quinta sea disonante pero recuerde que la disonancia solamente sucede en los
fundamentales y los armónicos no contribuyen a la disonancia con lo que ésta será
menos patente. Para terminar, la tercera parte de la pista es una secuencia de quintas
en contrabajos. Puede escucharla primero el lector y cotejar después con los
comentarios siguientes: Las dos primeras quintas son bien sonantes, pero la tercera
parece más borrosa y fea pues está en la zona disonante, esta quinta debería evitarla
el compositor; el cuarto sonido está cerca del límite de la disonancia, resulta menos
desagradable que la anterior pero menos estética que las primeras. La última
corresponde a una quinta oculta y es poco clara. Da la sensación de haber una nota
con gran presencia que enmascara la otra, haciéndola difícil de reconocer. Si
conseguimos lo último es por la ayuda de los armónicos, que permiten la separación.
El ancho de banda hace
alusión a frecuencias muy próximas
batido de segundo orden
como dos notas enarmónicas de
sistemas no temperados. Pero luego,
en la música normal aparecen
intervalos
normalmente
muy
separados (los casos curiosos antes
citados corresponden a situaciones
extremas que difícilmente se producen
en una obra musical normal).
Terceras, quintas, sextas, etc., en las
tesituras
ordinarias
de
los
instrumentos producirían índices de
consonancia también muy elevados
Fig. 4.9:Batidos de segundo orden.
pero en tal caso se producen unos
batidos diferentes, también llamados de segundo orden, que no se corresponden
exactamente con la figura geométrica del grupo sino que los máximos y mínimos de la
parte superior están alternados con la inferior como se muestra en la figura 4.9. Estos
batidos son mucho menos profundos que en las notas contiguas pero se les puede
aplicar la misma teoría de la banda crítica que a los anteriores con resultados parejos.
En la figura 4.10 se ha representado, como ejemplo, una tercera mayor natural
(arriba) y el mismo intervalo temperado (abajo). Si nos fijamos, los periodos de la onda
de abajo no son idénticos como arriba sino que difieren ligeramente bien, lo que
generaría el batido de segundo orden, que se manifiesta al ampliar la onda en
pequeñas variaciones de la forma del grupo. Para construir esta figura se ha
exagerado diez veces la diferencia de frecuencia porque un temperamento real sería
inapreciable en el dibujo.
Con sonidos senoidales los batidos de segundo orden, correspondientes a
frecuencias lejanas, son casi imperceptibles y por desafinado que estén los sonidos no
suele producir una sensación desagradable. Solamente en sonidos reales los
armónicos pueden provocar choques importantes pero en una escala de
temperamento igual el grado de desafinación es muy pequeño, haciendo que las
57
distancias frecuenciales sean lo suficientemente pequeñas como para que eso no
suceda. Esto deja bien sentado que un intervalo temperado se escucha muy parecido
a uno natural, y no habrá problemas de afinación por lo que ha sido mundialmente
aceptado. No obstante, estas leves diferencias en los periodos afectan la sonoridad,
marcando una diferencia de carácter psicológico entre diferentes tipos de
temperamento.
Fig. 4.10: Intervalo de tercera mayor natural y tercera mayor temperada.
Es dudoso que el espectador sea capaz de decir al término de un concierto:
“Bien, se notaba que los instrumentos tenían un temperamento Holder”, pero sí podrá
decir que la música sonaba especialmente “dulce” o “dura” o “soñadora”. El
temperamento se nota, pero a un nivel mucho más sutil. Este hecho hace que algunos
instrumentistas prefieran afinar su instrumento de una u otra manera cuando son
solistas. En una orquesta no se podría permitir que cada músico afinase su propio
instrumento como le viniese en gana, claro está, pues eso sería un caos.
Hay otro caso muy diferente al de la falta de concordancia por temperamento y
en el que se producen disonancias realmente fuertes y desagradables situándose en
la zona gris de la figura 4.8 y que corresponden a frecuencias próximas, nunca a
sonidos alejados. Es lo que conocemos como sonidos realmente desafinados y son
siempre intolerables en cualquier cultura y propios de malos intérpretes. La
desafinación se puede producir, empero, en sonidos alejados y, dado que habíamos
dicho que en estos casos los batidos son mucho más livianos, eso podría inducir a
pensar que los instrumentos de una orquesta podrían desafinar impunemente siempre
que las notas estuviesen alejadas del unísono. La realidad es que el sonido
desafinado es igualmente desagradable en todos los rangos de la escala porque, al no
ser senoidales, sino reales, se producen faltas de coincidencia en armónicos muy
próximos y que tendrán el efecto de batido desagradable de hallarse en el cuarto de
banda crítica.
4.7 Melodía en oposición a armonía
Cuando hablamos de armónicos calantes, que son los que ocupan una
posición de número primo superior a 5, bien se podría objetar si deberían ser éstos
quienes fuesen las notas auténticas puesto que, en definitiva, son los verdaderos
armónicos. Un Si bemol en la escala temperada no es armónico real de Do, mientras
que el calante que hemos desechado sí lo es. La pregunta que nos hacemos es: ¿por
qué motivo desechamos entonces el armónico real y lo sustituimos por otro que no lo
es?
La respuesta radica en la oposición de la melodía frente a la armonía. A lo
largo de este capítulo hemos comprobado que las relaciones frecuenciales de una
escala no guardan relación sencilla con las relaciones armónicas (figura 4.7) y eso
provoca una falta de entendimiento entre armonía y melodía. Lo mismo que una serie
armónica (acorde) necesita relaciones sencillas entre las frecuencias de sus
componentes para no provocar disonancia, una melodía necesita también relaciones
simples entre las frecuencias de las notas de la escala para que ésta suene natural, lo
que se refleja tanto en las tablas VI y VII, como en la relación del temperamento. Si en
una escala introducimos las notas calantes, obtenemos unas relaciones demasiado
complicadas para que el cerebro pueda detectar una escala coherente y el resultado
58
será malo. Melodía y armonía deben llegar a una solución de compromiso integrada
en el sistema temperado. Es una suerte que las desviaciones de las frecuencias de
este sistema caigan lejos de la cuarta parte del ancho de banda crítico de la figura 4.8
porque en caso de que nuestra fisiología hubiera sido tal que las excursiones de
frecuencia del sistema temperado hubiesen caído en una zona de la banda crítica de
sensación de disonancia, muy posiblemente el hombre no habría podido desarrollar el
arte musical.
Volviendo al tema del Fa en la escala, en algunos tratados, el armónico 11, que
es un Fa sostenido calante, lo aproximan al Fa natural. La relación de frecuencia de
este Fa con el Do sería de 11/8, que se aparta del intervalo de cuarta justa 4/3 que
debería formar. Sin embrago, se podría justificar la existencia real del Fa en la escala
como el armónico 11 argumentando que el Fa del sistema temperado se aparta
igualmente de la relación 4/3. Este argumento no resulta consistente si comparamos
las cantidades que, respectivamente, se apartarían del intervalo de cuarta justa en
ambos casos. En el armónico 11, se tendría la relación:
11/ 8 33
=
= 1,03125 .
4 / 3 32
Si comparamos esta relación con la del sistema temperado (tabla XI), se tiene:
1,335
= 1,00125 ,
4/3
de donde el armónico 11 se aparta de la cuarta justa mucho más que el intervalo
temperado y no resulta aceptable para una escala. De hecho, esta nota no se emplea
en el canto difónico.
La armonía y la melodía se procesan en zonas diferentes del cerebro y se
complementan, permitiendo que armonías difíciles o disonantes sean mucho mejor
asimiladas por el oyente si el movimiento melódico lo justifica. En el capítulo 6,
apartado 6.3, se verá un ejemplo en donde la fuerza de la melodía compensa las
posibles disonancias que se puedan formar en una pieza. Eso permite al compositor
olvidar la rigidez armónica siempre y cuando la melodía ayude a superar situaciones
armónicas difíciles. Como única excepción hay que decir que no deben producirse
disonancias por movimiento directo de las voces porque eso nunca creará un buen
efecto, espacialmente si formas intervalos de gran disonancia como segundas o
novenas menores.
Un buen ejemplo que subraya el efecto de enmascaramiento que tiene la
melodía en zonas armónicamente problemáticas lo constituye Bach. Cuando este
compositor creaba determinadas obras, siempre daba un especial énfasis a la
melodía. De hecho, el barroco es un periodo eminentemente contrapuntístico. Una
frase musical se puede enhebrar cuando se ejecuta a la velocidad idónea con la cual
fue concebida. Si la ejecución es excesivamente lenta, el espectador perderá la
estructura de la melodía y predominará la armonía. En el caso de Bach, una
interpretación muy lenta de una obra concebida como un allegro, provocará que las
disonancias existentes creen un efecto desagradable que estropeen la pieza. En el
momento en que la velocidad sea la adecuada, el cerebro captará rápidamente la
estructura melódica, haciendo que las disonancias, pese a que continúen ahí, dejen de
molestar porque el cerebro prestará mayor atención a la melodía. Este efecto, que
podríamos llamarlo “efecto Bach” se hace patente en otros tipos de música que
veremos más adelante.
Podemos afirmar que en tiempos lentos predomina la verticalidad en la música,
o armonía, mientras que en los rápidos será la melodía (horizontal) quien predomine,
tapando los posibles defectos armónicos, insostenibles, por otra parte, con un tempo
lento.
59
4.8 Cócleas extraterrestres
Todo lo que se ha expuesto arroja finalmente un sentido muy claro al porqué
del fenómeno de la disonancia. En la lámina 1, y a modo de recapitulación vemos que
la sensación de disonancia depende de la longitud del periodo armónico de la onda.
Todas estas ondas en lo único que difieren es en el número de periodos que engloban
en cada grupo en el caso de intervalos primarios, por ejemplo. Entonces la pregunta
es: ¿en qué momento se inicia la disonancia? La respuesta ya la hemos visto en las
líneas finales de este capítulo: simplemente cuando la frecuencia de batido es del
orden de un cuarto del ancho de banda crítico. En este punto, ambas frecuencias se
estorban mutuamente y producen un conflicto de vibración en la membrana basilar, la
cual no es suficientemente elástica como para independizar las oscilaciones de una y
de otra. La información emitida al cerebro es confusa y eso se conoce como
disonancia. Quizá una membrana mucho más fina podría permitir a las dos ondas una
resonancia limpia pero entonces sería frágil y los sonidos fuertes podrían desgarrarla.
Una buena solución sería que la cóclea tuviese una longitud superior a sus,
aproximadamente, 35 mm habituales y eso daría lugar a anchos de banda críticos
también mayores. Ahora las dos oscilaciones se podrían resolver y la señal emitida al
cerebro ya no sería confusa. Obtendríamos una consonancia. El fenómeno de la
disonancia se produce por falta de resolución de nuestras cócleas. Un supuesto
extraterrestre con una longitud de cóclea de 70 ó 100 mm sería capaz de captar unas
variaciones de frecuencia el doble de precisas y seguramente nuestras segundas
menores las percibiría como intervalos consonantes. Sus disonancias se centrarían en
intervalos de notas separadas en torno al cuarto u octavo de tono. También resultaría
que en el rango de la octava percibiría nítidamente más de doce notas, tal vez 20 o
más y sus escalas tendrían muchos más sonidos, así como un amplio rango de
posibles acordes consonantes, aparte de los nuestros, mayores y menores.
Ahora si que, finalmente, podríamos argumentar que un concierto de música
contemporánea altamente disonante haría las delicias de un ser como el descrito y
estaría plenamente preparado para su perfecto entendimiento. Desafortunadamente
nuestras cócleas miden 35 mm y, posiblemente lo sigan haciendo durante los
próximos miles de años, lo que nos imposibilita, hoy por hoy, para poder encontrar
puntos de reposo dentro de un conjunto de estentóreas disonancias.
Basándonos en este punto también pasaremos a discutir el tema de la
microtonalidad en el último capítulo.
60
CAPÍTULO 5
El sistema tonal
5.1 Círculo de quintas
Al unir los sonidos enarmónicos y fundirlos en uno solo, el sistema temperado
define un ente matemático muy interesante y que se conoce como espacio cerrado de
variable discreta. Generalmente en matemáticas los espacios suelen ser infinitos y de
variable continua. Veamos las diferencias.
Por lo general se nos dice en el colegio que existen infinitos números y que una
recta tiene infinitos puntos. En matemáticas los planos son de dimensiones infinitas y
cada punto está separado del contiguo por una distancia infinitamente pequeña. Como
un segmento es infinitamente divisible (no tiene moléculas ni nada semejante) resulta
que siempre podremos partir una distancia en trozos tan pequeños como queramos,
eso es lo que se entiende como una variable continua, es decir que no va “a saltos”
sino que supone que está sustentada sobre un ente infinitamente homogéneo.
Una distancia en un espacio de este estilo puede tomar cualquier valor, como
por ejemplo:
2,3
2,345
2,345679
2,34567985443
2,345679854436837459
2,345679854436837459946735265012
y así indefinidamente cuantos decimales queramos hasta el infinito, eso es una
variable continua.
Por supuesto que esto no es física. Todo el mundo sabe que si empezamos a
partir cualquier cosa llegará un momento en que tropecemos con los átomos y, aunque
los podamos partir a su vez en protones, neutrones y electrones, la división de éstos
parece problemática. La materia no es infinitamente divisible sino que llegamos a un
límite. No obstante, los átomos son tan pequeños que en física se suelen utilizar
variables continuas para estudiar los sistemas sin que por ello los resultados se
falseen.
Con la llegada de la computación y el mundo digital, una cantidad no puede
tener infinitos decimales sino que, en código binario, siempre está limitado a sumar de
uno en uno. Esto es una variable discreta, siempre tiene que aumentar en una
cantidad finita, ahora sí va “a saltos”. Por otro lado, un sistema informático no permite
manejar el infinito. Forzosamente tiene un número tope por encima del cual no puede
seguir, por grande que sea. Estamos en presencia de un espacio también limitado.
En el sonido aparece una cualidad muy propia de la música y es su ordenación
por octavas. El hecho de que en una escala musical partamos de Do y lleguemos a Do
lo convierte en un espacio cerrado. Aunque el Do al que lleguemos vaya siendo cada
vez más agudo, un acorde de Do mayor siempre es el mismo acorde desde un punto
de vista musical, esté en la octava que esté, aunque sus frecuencias vayan en
aumento. Otra propiedad estrictamente musical es que los sonidos intermedios,
aunque se emplean ocasionalmente en otras culturas como los cuartos de tono,
quedan relegados a meros adornos ya que los acordes hechos con cuartos de tono
son imposiblemente disonantes y quedan, por tanto, fuera del ámbito musical.
61
Con ello tenemos que, aunque el sonido sea un fenómeno físico de
características continuas, el fenómeno musical constituye un espacio matemático
cerrado (de Do a Do, de Fa a Fa o lo que sea en cada caso) y de variable discreta que
Re
aumenta de semitono en semitono. Para
Mi
nosotros, en este espacio, el sostenido se
Re
Mi
comporta como un +1 y el bemol como un -1.
Do
Veamos un esquema de este espacio en
Fa
Re
la figura 5.1, donde se ha adoptado el convenio
matemático de sentido positivo al contrario a las
Fa
Do
agujas del reloj. En algunos tratados el lector lo
Sol
encontrará al revés.
El origen será el Do, aunque puede ser
Si
Sol
cualquier otro, lo que encaja con el concepto
relativo de la tonalidad. En este nuevo espacio se
La
Sol
pueden representar los intervalos de quintas
Si
La
La
sucesivas por líneas que unen los diferentes
puntos, dando lugar a la siguiente figura Fig. 5.1: Distribución del espacio
(izquierda):
musical cerrado.
Re
Mi
Re
Mi
Re
Mi
Do
Re
Fa
Fa
Sol
Si
Sol
La
La
Do
Re
Fa
Do
Sol
Re
Mi
La
Si
Fig. 5.2: Representación de quintas.
Fa
Sol
Do
Si
Sol
Sol
La
La
La
Si
Intervalos de terceras y segundas
La estrella une todos los puntos, razón por la cual las quintas barren todo el
espacio temperado. En cambio a la derecha tenemos una sucesión de terceras
mayores (triángulo), menores (cuadrado) y de segundas (hexágono), viendo que no se
cubren todos los puntos.
El espacio matemático así construido refleja las relaciones físicas entre
frecuencias de los distintos sonidos espaciados por un semitono. Cuando el círculo se
recorre en sentido antihorario (contrario a las manecillas del reloj) las frecuencias son
ascendentes (#), y descendentes si lo recorremos en sentido inverso (b).
Ya que las quintas constituyen un caso especial que recorre igualmente todo el
círculo, éste se podrá reordenar, creando un espacio matemático afín en donde cada
punto contiguo está separado en frecuencia por una distancia de quinta. Hay que notar
que si quisiéramos reordenar el espacio por segundas, terceras, etc., no
reconstruiríamos el espacio completo pues nos faltarían notas, tal como demuestra la
parte derecha de la figura 5.2.
Este nuevo espacio queda según la figura 5.3. La ordenación de las quintas
también se ha hecho de forma antihoraria y, a primera vista, parece que la variable
que habíamos empleado, que debería aumentar de semitono en semitono, se ha
desordenado puesto que de Do a Sol no hay un semitono, ni de Sol a Re, etc.
Sin embargo, el espacio definido funciona de forma parecida a lo que en física
se llama espectro. Por ejemplo, el espectro de una nota tocada al piano se compone,
precisamente, de sus armónicos, y que están representados en la figura 2.5.
Al espacio nuevo representado en la figura 5.3 suele llamarse Rueda o círculo
de quintas, y en él aparece un nuevo concepto que es la distancia tonal, que no
tiene nada que ver con un intervalo determinado de frecuencia. Por definición, diremos
62
que la distancia tonal entre Do y Sol es de un sostenido, de Sol a Re también hay un
sostenido de distancia tonal y, consecuentemente, cada punto que esté
inmediatamente a la izquierda de otro estará separado por un sostenido de su anterior.
Por el contrario, si adoptamos el sentido horario (matemáticamente negativo) Fa está a
un bemol de distancia tonal de Do, Sib también a un bemol de Fa y así sucesivamente.
La distancia tonal, que es el número de sostenidos o bemoles que separan a una
tonalidad dada de la de Do mayor, se denomina armadura y se coloca en el
pentagrama inmediatamente detrás de la clave.
Hemos encontrado una nueva
La
variable, esta vez no física sino
Re
Mi
estrictamente musical que también
aumenta de sostenido en sostenido o
decrece de bemol en bemol. Así, la
Si
Sol
distancia tonal entre Do y Re es de dos
sostenidos y de Do a Lab de 4 bemoles.
En la figura 5.3 se han representado
Do
Fa
también las distancias tonales entre los
Sol
Si
puntos mediante el número de
sostenidos o bemoles correspondientes.
Aunque
en
música
los
Fa
Re
sostenidos y bemoles no se les suele
Mi
Do
dar carácter matemático, en el espacio
del círculo de quintas tienen una
La
Si
equivalencia numérica en donde el
Sol
La
Mi
sostenido suma y el bemol resta. En
Re
otras palabras se tendría:
Fig. 5.3: La rueda de quintas.
# = +1;
b = −1 ,
y daría lugar a curiosas operaciones aritméticas como:23:
# + # = X; # + b = §; º + # = b
El músico está familiarizado con estas operaciones, y tienen su equivalente numérico
muy simple sin más que considerar que # = +1; b = −1 :
1 + 1 = 2; 1 − 1 = 0; − 2 + 1 = 1
(5.3)
La utilidad de esta equivalencia se presenta, por ejemplo, para instrumentos
transpositores, bastando recordar que una trompa es un +1, un clarinete en Si bemol o
una trompeta un +2 y con ello se calculará la armadura que necesita de forma rápida y
sencilla sin más que sumar respectivamente uno o dos sostenidos.
5.2 Variables de la rueda de quintas
Volviendo a la figura 5.3, aunque en ésta aparecen sobre los vértices (o puntos
del espacio cerrado) los nombres Do, Sol, Re, etc., no pueden ser notas físicas,
puesto que ya hemos dicho que entre Do y Sol no hay medio tono. Entonces ¿qué
representa Do, Sol, Fa, Mi, etc., en la rueda de quintas?
23
El doble sostenido (X) representa la acción de subir dos medios tonos (un tono completo). Lo mismo
sucede con el doble bemol (º) pero esta vez en sentido inverso. El becuadro (§) deshace la acción de
cualquier otra alteración.
63
Por definición diremos que los puntos Do, Sol, etc., no son notas sino que
representan una tonalidad. Diremos entonces “la tonalidad de Do”, “la tonalidad de Si
bemol”, etc.
Por simple sentido común se deducirá que los puntos contiguos darán
tonalidades contiguas o cercanas y los opuestos tonalidades opuestas o lejanas. Así
pues, observando la figura 5.3 se ve que la tonalidad más alejada de Do es Fa# o Solb,
la de La será Mib o Re#, y sus distancias tonales serán, indistintamente, de seis
sostenidos o bemoles (coinciden). La rueda de quintas será particularmente útil al
hablar de la música de cine y secuencias tonales inéditas.
5.3 Escala natural
Es, por definición, la formada por los sonidos, convertidos en nota real, de
cualquier mitad de la rueda de quintas.
Estamos haciendo la salvedad de cualquier mitad porque en la figura 5.3 el
hecho de haber empezado en Do no tiene ninguna justificación especial salvo que es
la costumbre usar el Do como el comienzo. De hecho, el ser una circunferencia, le
confiere la misma propiedad que a la Tabla Redonda del rey Arturo y podemos tomar
como punto de inicio cualquiera de ellos. En dicha figura, la nota Fa es la única que
está por debajo por su carácter de “nota negativa” que se comentó en su momento.
Girando la rueda 30 grados se obtiene:
Re
La
Sol
Mi
Do
Si
Fa
Fa
Sol
Si
La
Re
Do
La
Sol
Mi
Re
Fig. 5.4: Rueda de quintas iniciada en Fa.
Con ello se puede definir cómodamente una escala natural como aquella cuyas notas
están comprendidas en la mitad superior de la rueda, esto es: Fa, Do, Sol, Re, La, Mi,
Si, que ordenados en frecuencias ascendentes queda por fin la escala que todos
estábamos esperando. Do Re Mi Fa Sol La Si. Pero no es la única ordenación posible
puesto que los sonidos del círculo de quintas no especifican la octava en la que se
hallan. Así pues, también se pueden ordenar como:
Re Mi Fa Sol La Si Do
Mi Fa Sol La Si Do Re
Fa Sol La Si DO Re Mi
Sol La Si Do Re Mi Fa
La Si Do Re Mi Fa Sol
Si DO Re Mi Fa Sol La
64
que, unidas a la tradicional, nos definen siete escalas naturales diferentes. Como su
nombre bien indica, el modo en que se ordenan estos sonidos nos determina la
llamada modalidad24.
Cada uno de estos modos tiene una denominación ya que surgieron
históricamente en Grecia y luego fueron muy usados durante la Edad Media en el
canto gregoriano. Sus nombres son:
ordenación
Do Re Mi Fa Sol La Si
Re Mi Fa Sol La Si Do
Mi Fa Sol La Si Do Re
Fa Sol La Si Do Re Mi
Sol La Si Do Re Mi Fa
La Si Do Re Mi Fa Sol
Si Do Re Mi Fa Sol La
nombre del modo
Jónico o mayor
Dórico
Frigio
Lidio
Mixolidio
Eolio o menor
Hipofrigio o Locrio
Tabla XIII. Los modos naturales.
Pero si se toma la rueda de quintas original no son menos escalas naturales las
obtenidas tomando Do Sol Re La Mi Si Fa#, y la nueva mitad del círculo queda girada
30º a la izquierda.
d
#
m
mxb
Re
La
f
b
M
#
#
Sol
Do
Mi
b
dórico
Fa
Si
# ##
#
Fa
Sol
Si
La
Re
Do
# ##
# #
L
##
#
hf
menor
b
bb
frigio
hipofrigio
mixolidio
mayor
lidio
b
b bb
Mi
Re
La
Sol
# ## # b b b
# # bbb
b
b bbb
Fig. 5.5: Representación de las escalas naturales.
Las distancias son idénticas que las anteriores y se obtienen los mismos
modos jónico, dórico, frigio, Lidio, etc., que en el caso anterior. Si se gira una vez más
obtenemos Sol Re La Mi Si Fa# Do#, con las que se pueden construir igualmente otra
serie de escalas naturales que, por simetría de la rueda, tienen idéntica interválica.
Según vamos girando la rueda en sentido antihorario (positivo), van apareciendo
tonalidades nuevas con el orden de sostenidos Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, es decir, el
orden de las quintas pitagóricas, y si lo hacemos en sentido horario (negativo) el orden
es el inverso: Si, Mi, La, Re, Sol, Do, Fa, añadiendo esta vez bemoles a la armadura y
confirmando una vez más el carácter negativo del bemol. Como se puede ver, hay que
empezar o terminar siempre en Fa, debido a su condición de nota también negativa, lo
que equivaldría en matemáticas a contar de la forma: -1, 0, 1, 2, 3, etc. Quedan, pues,
24
No hay que confundir el modo de una tonalidad con los modos propios de resonancia de un
cuerpo, aunque se llamen igual por falta de imaginación del ser humano.
65
establecidas las diferentes tonalidades con escalas mayores de acuerdo a esta
secuencia, es decir:
tonalidades
posición
Fa
-1
armadura
b
Do
0
Sol
1
Re
2
#
#
#
La
3
Mi
4
##
#
Fa#
6
Si
5
# ## # ## #
# # # #
# ##
#
Tabla XIV: Armaduras de las tonalidades mayores.
A partir de Fa se repetiría nuevamente la secuencia (.. Do#, Sol#, Re#, …) con el
número correspondiente de sostenidos determinado por la variable posición de la tabla
XIV. La secuencia se puede prolongar en sentido negativo con las tonalidades
“negativas”:
tonalidades
posición
armadura
Solb
-6
b
b bbbb
Reb
-5
b
b bbb
Lab
-4
bb
bb
Mi
-3
Sib
-2
bb
b
b
b
Fa
-1
b
Tabla XV: Armaduras de las tonalidades mayores negativas.
mx
M
Al ser un espacio matemático cerrado, las tonalidades de muchos bemoles
coinciden con las de muchos sostenidos, produciendo tonos enarmónicos.
En cuanto a los modos relativos, el sistema más fácil para ver esto es regresar
a la rueda de quintas y trazar el esquema fundamental de las escalas naturales (figura
5.5). En este esquema las escalas naturales están representadas por el trazado en
línea gris. Este tramado puede ir girando de vértice en vértice e irá determinando cada
familia de escalas naturales. A la derecha se ha extraído la curva y asignado a cada
vértice el modo que le corresponde.
Todos los diferentes modos que se han expuesto se denominan modos
relativos y cada posición de la rueda define una familia completa de relativos. Por
ejemplo, en la figura 5.5 tenemos que Re dórico es relativo de Mi frigio, de Fa lidio, de
Do mayor, de La eolio o menor, de Sol mixolidio y de Si hipofrigio o locrio. Todos los
relativos comparten la misma armadura, en el caso de la figura 5.5 armadura de notas
naturales. Cuando el polígono se gira sobre la rueda nos define una nueva familia de
relativos, por ejemplo en la figura 5.6 está la
#
b
Re
familia de Mi mayor, Do# menor, Fa# dórico, Si
L
La
Sol
mixolidio, etc.
#
b
#
Un dispositivo práctico consiste en hacer
b
Do
Mi
una copia en acetato transparente de estos
modelos, que se puede hacer girar sobre un
b
##
Fa
Si
#
bb
papel en donde se haya puesto la rueda de
quintas e ir viendo rápidamente cada tonalidad y
modalidad. Se ha hecho un pequeño cambio en
b
# ##
b bb
#
el diseño de bemoles y sostenidos para conocer
inmediatamente la armadura de la clave de cada
b
# ##
b bbb
familia, pues lo señala una flecha que
# #
# ## # b b b
# # bb
colocaremos en el vértice central del polígono.
b
Fig. 5.6: Modo de Lab / Sol# frigio.
Un músico sabe de memoria las alteraciones de
las tonalidades mayores y menores pero puede
que no le sea tan inmediato saber, por ejemplo,
las alteraciones de un modo frigio de La bemol.
Fa
Sol
d
Si
La
Re
Do
Mi
Re
m
f
66
hf
La
Sol
f
M
Si se tiene el acetato móvil basta con señalar Lab con el vértice frigio y ver las
alteraciones que marca la flecha. El figura 5.6 se ve inmediatamente que tiene 4
sostenidos (en realidad sería enarmonizado Sol# frigio).
Aparte de estas escalas naturales, que podríamos llamar completas, existen
otras en las que no están todas las quintas, sino que faltan dos. Esto lo representamos
en la figura 5.7 en donde ahora el polígono representa una escala natural incompleta
en donde faltan el Fa y el Si. Esta escala de tan sólo
cinco notas se llama escala pentatónica. y también
puede tener sus modos correspondientes, aunque
d
#
m xb
Re
ahora no puede haber lidio ni hipofrigio por no haber
m
La
Sol
Si ni Fa.
#
b
#
Por último representaremos un ejemplo más
b
Do
Mi
de escalas pentatónicas, que será un modo dórico
de Sib en escala pentatónica. En la figura no tenemos
b
##
Fa
Si
#
bb
que hacer nada más que hacer coincidir con Sib el
vértice “d” del polígono correspondiente a escalas
pentatónicas naturales de la figura 5.7 y obtenemos
b
# ##
b bb
#
la siguiente figura 5.8 que nos indica una tonalidad
de cuatro bemoles y siguiendo el polígono trazado
b
# ##
b bbb
# #
nos va dando todas las notas de la escala:
# ## # b b b
#
Fa
Sol
Si
La
Re
Do
Mi
Re
La
Sol
# bbb
Sib Do Mib Fa Lab
Fig. 5.7: Escala pentatónica
f
La figura 5.7 representa la escala pentatónica más comúnmente usada, pero existen
más, derivadas también de la natural. Todo consiste en ir combinando qué dos notas
deberán ser eliminadas en lugar de Si y Fa. La teoría combinatoria dice que hay 21 en
total (combinaciones de 7 elementos tomados de 5 en 5). Además, si a ello sumamos
que cada escala puede ordenarse de cinco modos diferentes (dórico, jónico, frigio,
etc.), nos da un total de 105 escalas para una sola posición del polígono en la rueda.
Según vamos girando éste, nos dará a su vez 12 tonalidades para cada escala que
hemos creado, en total ¡1.260 escalas pentatónicas!
Pese a esta aparente riqueza, que sin
#
b
Re
duda
hará
frotarse las manos al compositor, por
La
Sol
desgracia
una
gran cantidad de estas escalas
#
b
#
b
Do
pentatónicas son impracticables como tonalidad
Mi
puesto que luego deberán ser acompañadas por
una armonía adecuada. Una de estas escalas
b
##
Fa
Si
#
bb
posee la nota Do y empieza en ella como tónica
de la escala, pero carece de las notas Mi y Sol
con lo que no existe el acorde de Do mayor en
#
b
# #
b bb
#
donde debería reposar por excelencia. En lugar
de ello tendrá que hacerlo sobre otras
b
# ##
b bbb
# #
combinaciones como Fa mayor o la disonancia
# ## # b b b
# # bb
b
Do-Re-Fa. Aunque estamos en el siglo XXI y las
Fig. 5.8: Escala pentatónica de Sib dórico.
disonancias no sean ya motivo de temor, el
compositor debería crear arte y cuidar que la
escala pentatónica elegida sea interesante y diga algo al espectador, no presentarlo
simplemente como un experimento. Por el contrario, las escalas pentatónicas sí
pueden ser de gran utilidad a la hora del diseño de melodías con tintes exóticos y
acompañadas de manera más libre sin tener que estar supeditado a huecos armónicos
en los acordes.
En la lámina 2 se detallan las 21 escalas básicas pentatónicas. Para simplificar,
se han formado con notas sin alteraciones, en el modo que les corresponda. Así
resulta más sencillo de tocar en el piano para alguien que no sea pianista. Se han
incluido igualmente en el CD, pista 6. Se adjuntan también los esquemas gráficos en
donde se ha eliminado el resto de la rueda por claridad.
m
Si
La
Re
Do
d
Fa
Sol
Mi
Re
mx
La
Sol
M
67
Para terminar esta sección comentaremos tres escalas más que se deducen
matemáticamente de la rueda de quintas y que permiten relacionar tonalidades no
cercanas. Para generar estas escalas se toma una regla matemática simple tal como ir
de dos en dos, de tres en tres o cuatro en cuatro. Esto se puede hacer porque 12 es
un múltiplo de 2, 3 y 4 y cierra un polígono. Las figuras geométricas son las mismas
que las representadas en la figura 5.2 (derecha) y las escalas son igualmente, una
sucesión de terceras mayores (triángulo), correspondientes a un acorde de
aumentada, sucesión de terceras menores (cuadrado), correspondiente a un acorde
de séptima disminuida, y por último de segundas (hexágono), que es la escala
hexacordal mencionada en 2.5. Si se hace de 5 en 5 el polígono resultante es una
estrella semejante a la parte izquierda de la misma figura, salvo que ahora sería una
escala cromática.
Como curiosidad matemática podemos ver una interesante simetría entre el
diagrama por segundas (figura 5.1) y el de quintas (figura 5.3) pues se comportan
como complementarias. En el siguiente cuadro se detallan estas figuras:
Intervalos
Terceras mayores
Terceras menores
Segundas
Quintas
Diagrama de segundas
Triángulo equilátero
Cuadrado
Dodecágono
Estrella
Diagrama de quintas
Triángulo equilátero
Cuadrado
Estrella
Dodecágono
Tabla XVI: Figuras geométricas de diversos intervalos.
Siguiendo con esta tónica, se podría generar otra escala saltando de 6 en 6. En
realidad, esa escala es simplemente el intervalo de tritono, y que se encuentra
justamente en la mitad del sistema temperado. La escala tendría solamente dos notas.
A partir de este punto el proceso se simetriza, es decir, que la escala de 7 en 7 es lo
mismo que de 5 en 5 (escala cromática), de 8 en 8 se repite el triángulo de las terceras
mayores, después el cuadrado terminando por el hexágono de las segundas mayores.
Nótese que las sextas y las cuartas, por ser inversiones respectivamente de las
terceras y quintas tienen formas totalmente equivalentes.
Para saber cuántas escalas se derivarán en total, no tenemos más que
contemplar la parte derecha de la figura 5.2. El cuadrado puede girarse dos veces,
dando un total de 3 escalas disminuidas. El triángulo puede girar a tres posiciones más
dando 4 escalas aumentadas. Por último, el hexágono puede girar una sola vez lo que
implica que sólo hay dos escalas hexacordales. Si unimos a ello la escala cromática
de semitono en semitono, un dodecágono, no podrá girar puesto que se quedaría
siempre de la misma forma. Sólo hay una única escala cromática, como todo músico
sabe bien. También se podría considerar una escala la propia serie de quintas. Al
barrer una gran cantidad de espacio sonoro constituye un caso complicado. Por un
lado cubren todas las notas en nombre, pero no en sonido ya que, al avanzar, van
dejando huecos. Para poder abarcar todas las notas del teclado de un piano deberían,
al menos, partir sendas escalas de todas las notas de la primera octava más grave del
piano teniendo un total de doce escalas.
Dado que en estas cinco escalas las distancias entre notas son idénticas,
carecen de jerarquías y no tienen más que un modo único.
He aquí las cinco escalas (las quintas abarcan demasiado espacio, por lo que
no se han representado):
68
Fig. 5.9: Escalas especiales
Todo lo dicho hasta la fecha se refiere a las escalas científicamente deducidas
a partir del fenómeno físico armónico y los diagramas de quintas y segundas. Eso no
quita que se puedan hacer extensiones que se salen de la norma, es decir, que
supondría, por ejemplo, saltar primero dos, luego uno, tres, etc. Este tipo de escalas
se denominan escalas artificiales y en ocasiones, pueden arrojar resultados
interesantes pese a no cumplir las normas científicas que estamos tratando. Buen
ejemplo de ello son la escala Zingara y la Oriental, de las que se hablará más tarde.
También es muy usual retocar escalas naturales y proveerlas de adornos o
pequeñas variaciones. Por ejemplo, en los blues es común usar, entre otras, escalas
pentatónicas en las que se han añadido dos cromatismos25 a modo de notas de
adorno (blue notes) y que suelen emplearse de paso en la melodía:
Fig. 5.10: Cromatismos de adorno añadidos en una escala pentatónica (blues).
Naturalmente, esta escala se emplea indistintamente ascendiendo o descendiendo, y
también se ha extendido en el pop y el rock. Con ello aparecen nuevamente siete
notas pero dos de ellas más apretadas y los dos huecos característicos de la
pentatónica.
5.4 La armonía tradicional
En los tratados clásicos de armonía se comienza con las tríadas que
corresponden a los modos mayores y menores de la figura 5.12. Una de las cosas que
siempre resulta difícil de justificar es el acorde menor. Si bien está claro que el acorde
mayor surge de modo natural a partir del fenómeno físico armónico (de hecho ya
dijimos que una nota cualquiera emitida por un instrumento era en realidad un acorde
mayor de sonidos senoidales).
Una forma de justificar el acorde menor, lo mismo que para sacar el Fa, es
hacer una extensión puramente matemática del fenómeno armónico, lo mismo que
para sacar el Fa. A veces hay teorías en física que resultan de hacer este tipo de
extensiones. En realidad no tiene nada en común con fenómeno físico alguno sino que
simplemente es la aplicación de un algoritmo matemático.
En nuestro caso consiste en doblar a espejo los armónicos duplicando los
intervalos pero hacia la parte inferior (hacia el grave) en lugar de ir ascendiendo como
en la figura 5.7. Si comenzamos en la nota Sol, se obtiene un desarrollo como sigue:
25
El cromatismo se define en música como notas que se salen fuera de la escala natural en forma de
semitonos y que suelen usarse como nota de paso entre dos o más notas reales de la escala.
69
Fig. 5.11: Armónicos invertidos
Ahora vemos que se forma un acorde de Do menor, pero insistimos una vez más en
que es una extrapolación sin sentido físico alguno. Si volvemos a la figura 2.7, vemos
que, en la zona superior se ha formado un acorde menor de notas correctas. Es un
acorde de Mi menor, que no es el acorde de La menor que el músico esperaría, sino
que correspondería al modo de Mi frigio. También es cierto que, según aumenta el
número de orden del armónico su intensidad es cada vez menor y es de esperar que
al tocar un instrumento un Do ese acorde de Mi menor sea poco audible.
Existe una justificación mucho más física para el acorde menor, pero se trata
de un cuerpo sonoro que no es un tubo ni una cuerda, sino una campana. La
distribución sonora de la campana es complicada y no responde a la serie de Fourier.
Estos cuerpos sonoros poseen armónicos que no son múltiplos enteros de la
frecuencia del fundamental y esa es la característica fundamental de los sonidos
metálicos. Si se desea crear un timbre metálico para una obra de electroacústica
bastará con hacer que sus armónicos no sigan múltiplos enteros.
En realidad en casi toda la percusión sucede algo parecido. Ni la membrana de
un timbal ni el sonido del bombo ni de un tam-tam siguen las leyes tradicionales de la
acústica de tubos y cuerdas. Por ese motivo no se considera que dan notas sino
efectos de ruido. También hablaremos más adelante del ruido y cómo componer con
él.
También estudiaremos estos cuerpos sonoros y su acústica. De momento nos
centraremos en el tema que hemos iniciado sobre la armonía tradicional.
5.5 El modo menor
En la rueda de quintas se tiene que uno de los modos es el menor, también
llamado eolio, que es el que comienza en La en una escala de Do mayor sin
alteraciones. Por ese motivo empleará las mismas tríadas que la figura 5.12, pero
ordenadas de otra manera, es decir, comenzando en el acorde de La menor. El primer
grado sería La, Si el II, Do el III, etc.
Existe una peculiaridad en el modo eolio y es que la distancia entre el grado VII
y la tónica es de un tono entero, lo que hace que no exista sensible. Si consideramos
el grado V, que es la dominante, carece de tritono, pues éste se encuentra ahora en el
grado II (en La menor el Vº grado sería el acorde de Mi menor) por lo que la tonalidad
menor quedaría fuera del sistema tonal propiamente dicho. Para solucionar este
problema bastaría con modificar artificialmente la escala subiendo un semitono al
grado VII y dejarlo a la distancia adecuada de la tónica para convertirlo en sensible. El
acorde sobre el grado V queda así convertido en un acorde mayor, y si se le añade
una séptima menor, nos aparece el tritono para producir el juego tonal de su
resolución exactamente igual que en el modo mayor. En el modo menor hay, por
consiguiente, dos tritonos, uno en el II grado y otro en el V. Cuando se resuelve el
tritono del segundo grado (Si−Fa en La menor), produciría las dos notas del acorde
menor de la tónica (Do−Mi en nuestro ejemplo) y, de alguna manera, tendría una
función semejante a la de dominante. Más adelante usaremos este mismo recurso
para enriquecer el modo mayor.
El problema que crea la conversión del grado VII en sensible es producir una
segunda aumentada entre éste y el anterior, que resulta algo extraño en la cultura
70
europea26. Evitar esta segunda aumentada es sencillo si se aumenta el sexto grado
también un semitono. Cuando esta escala se interpreta no resulta de buen efecto la
bajada porque la sensible tiende a subir hacia la tónica y resulta forzado escucharla
bajar hacia el VI grado. Entonces se decidió optar por subir de una forma y descender
de manera diferente, generando una escala asimétrica llamada escala menor
melódica, indicada en la figura 5.12. También se conserva la escala eolia original,
subiendo y bajando igual, y que se conoció después como escala menor armónica, por
conservar la armonía original del modo menor (eolio).
Fig. 5.12: Escala menor melódica y su armonía.
Cuando se trata de armonizar una escala menor melódica, hay que alterar los
acordes originales, haciendo que en modo menor existan más posibilidades que en el
mayor. En la parte inferior de la misma figura se han añadido estos acordes que
acompañarían a la escala.
5.6 Otras escalas
Aparte de las escalas citadas existen muchas más. En realidad resulta
sorprendente las más de 400 escalas existentes, y que se detallan en el apéndice C.
Muchas de ellas son artificiales y fueron creadas por compositores como Verdi y
Scriabin, y otras son escalas tradicionales de muy diversas culturas como la india, con
sus muchos ragas, mongoles, egipcias e, incluso, esquimales y derivan de las
naturales como un determinado modo de escala pentatónica de las detalladas en la
lámina 2, o modificadas con seis, ocho e incluso sólo dos sonidos. La combinación de
los doce sonidos de la escala pueden llegar a dar escalas como nos dice la teoría
combinatoria.
La escala Zíngara Mayor y Oriental se componen de los intervalos de la figura
5.13,
Fig. 5.13: Escalas artificiales.
Estas escalas no pertenecen a ninguno de los modos naturales por la presencia de
segundas aumentadas, que no suelen ser fáciles de entonar para personas en cuya
cultura no existan. No es el caso de España y países árabes, en donde sí aparece
frecuentemente este intervalo.
5.7 El modo frigio tonal
El modo frigio es, esencialmente, no tonal como veremos en los capítulos
siguientes. Sin embargo, y a modo de experimento, el hecho de ver que el acorde de
Mi menor aparece de forma natural en el fenómeno armónico, me animó a aplicar el
sistema tonal al modo frigio lo mismo que al aplicarlo sobre el jónico y eolio dio las
tonalidades mayor y menor. De esa manera el modo frigio pasaría a ser tan tonal
26
Ahora sí que es cierto que interviene un problema de educación ya que esta segunda aumentada
carece de importancia en otros tipos de música. Sin ir más lejos, para nosotros, los españoles, no resulta
inusual, por estar presente y ser muy característica de la música española, debido a la influencia árabe.
71
como La menor en Do mayor. Para que entrase en el sistema tonal habría que
introducir el tritono y una séptima de dominante que resolviese sobre la tónica. Esto es
tan artificioso como el proceso que se siguió en el modo menor, no introduciendo una
distorsión mayor que éste. Para ello introduciremos el concepto de tetracordo.
Un tetracordo no es más que la mitad de una escala formada con cuatro notas,
las cuatro primeras o las cuatro segundas. En la figura 5.12, la escala melódica menor
está compuesta por el primer tetracordo, que es el situado en el primer compás y el
segundo en el segundo compás. El primer tetracordo es propio del modo eolio
mientras que el segundo correspondería a una escala igual que la de La mayor. Visto
de esta manera, la escala menor melódica es la sucesión del tetracordo de La menor
seguido de otro de La mayor.
Pues bien, aplicando la misma filosofía se pueden alterar escalas de otros
modos y, concretamente, la de Mi, resultando dos tetracordos: Mi frigio seguido de otro
de Mi mayor. Al descender regresaría a la escala habitual frigia.
Fig. 5.14: Escala frigia tonal.
El resultado está en la figura 5.14 y se puede escuchar en la pista 7. Aunque el
lector no encontrará esto en otros tratados, es un recurso tan válido como cualquier
otro y, además, original. Si el último acorde hubiese sido mayor (Mi mayor), entonces
no sería tan original pues corresponde a miles de piezas de música española. El
empleo de una dominante para Mi fortalece la escala y no se hace necesario
terminarlo en acorde mayor como es el uso en flamenco a fin de que el final sea más
rotundo.
Esta filosofía se puede aplicar, naturalmente a otros modos con lo que se
podrían “tonalizar”. En su momento veremos algunas formas de alterarlos.
72
CAPÍTULO 6
La ampliación de la tonalidad
6.1 Inversiones
Un acorde de tríada puede estar invertido. Ya se definió un poco más arriba lo
que era una inversión. Aunque musicalmente da la sensación de que una inversión
debería ser lo mismo que un estado fundamental pues, en definitiva, seguiría siendo el
mismo acorde, desde el punto de vista físico son diferentes. Realmente es una tríada
X, Y, Z en donde los intervalos superan la quinta.
Volviendo a un típico acorde de Do mayor, en primera inversión tendrá un Mi
en el bajo. Eso hace que los armónicos tengan coincidencias
muy diferentes. Ahora el bajo forma un acorde de sexta menor
con el Do, acorde que está más abajo en la tabla V que la
tercera mayor que se forma cuando el acorde está en estado
fundamental. El intervalo restante es de quinta y lo comparte
con el estado fundamental. En la figura 6.1 se han
representado los armónicos del acorde invertido y vemos que
hay menos coincidencias que en el caso del acorde sin
invertir.
En esta inversión se añade una sonoridad novedosa. Fig. 6.1: Armónicos
Siempre que aparece una nota en el bajo, el oído tiende a de la primera inversión.
entender que esa nota es la fundamental con lo que el acorde
de Do mayor se impregna con un tinte de Mi menor. Antes dijimos que los acordes
menores tienen sus efectos psicológicos con lo que la inversión hace un acorde más
inestable por disonancia pero al tiempo más dulce o soñador. Cuando se produce en
la orquesta da una sonoridad muy característica. En el CD, pista 8 se ha reflejado un
fragmento en donde aparece dos veces dicha inversión entre fundamentales. Trate el
lector de localizarlo por oído, pero si no lo saca he aquí la secuencia:
Fig. 6.2: Ejemplo de primera inversión.
Las flechas señalan los acordes en primera inversión. Ahora una pregunta: ¿cree el
lector que el fragmento que ha escuchado tiene carácter conclusivo? ¿Podría acabar
ahí la obra? Parece muy evidente que eso no es así. Hemos deducido una nueva
propiedad de las inversiones. Aunque el final del fragmento de la figura 6.2 es una
resolución de séptima de dominante (lea de abajo hacia arriba:
73
Fa−Re−Sol−Si > Mi−Do−Sol−Do) el acabar en un acorde invertido es débil y no tiene
la rotundidad de un final. Naturalmente, no es que sea un defecto, simplemente la obra
debería continuar. Un final conclusivo necesita obligatoriamente un acorde en estado
fundamental y así acaban todas las sinfonías de este mundo.
Ahora pasamos a la segunda inversión. Nuevamente la figura 6.3 ilustra la
disposición de los armónicos. Sin embargo, como antes, es más sencillo analizar el
acorde por el principio de superposición. Ahora es el Sol (V grado) el que está en el
bajo a modo de pseudo-fundamental. Los intervalos que se forman son de cuarta (con
el Do) y de sexta mayor (con Mi). El acorde aparenta menor
disonancia que la primera inversión por estar estos
intervalos más arriba en la tabla, de hecho en la figura 6.3
se ven más coincidencias con la nota del bajo. Pero en esta
ocasión aparece otro fenómeno: la inestabilidad del
intervalo de cuarta. Sabemos que este intervalo no aparece
de forma natural en el fenómeno armónico (sobre una
fundamental Do no aparece el Fa). Por idénticas razones
sobre una fundamental en Sol no aparece Do como
Fig. 6.3: Armónicos
armónico, provocando la paradoja de que, siendo un
de la segunda inversión.
intervalo muy consonante, posea una nota extraña a la
tonalidad. Esto se traduce en una inestabilidad que necesita resolver. Además, el
oyente creerá oír un Sol mayor por desarrollo de los armónicos del Sol grave, que es
el acorde de la dominante, pero el real es Do mayor, lo que provoca una especie de
“esquizofrenia” acústica. En este caso el acorde en segunda inversión es como si
arrastrase literalmente a la conversión en Sol y, dado que se había oído ya Do mayor,
cadenciar inmediatamente después hacia la tónica.
Es una resolución muy típica, para dar precisamente una sensación de final,
poner primero este acorde, después el de dominante y, por último, una cadencia
perfecta a la tónica. Vea el efecto en la pista 9. Para que el lector se vaya
acostumbrando a otras tonalidades, hemos puesto una tonalidad de Re mayor con lo
que queda:
Tónica: Re (mayor)
Dominante: La mayor
Bajo del acorde en segunda inversión: La.
En la siguiente figura se ilustra el fragmento:
Fig. 6.4: Ejemplo de segunda inversión con intención de final.
Juzgue ahora si hay sensación de final. Con estas pequeñas partituras quiero que el
lector se vaya animando para lo que en un futuro podría ser el análisis de la partitura
74
de algún gran maestro. Posiblemente le intimide la idea de analizar una obra como la
sinfonía patética de Tchaikowsky, pero el sistema es esencialmente el mismo.
También he incluido fragmentos de orquesta ya que en los conservatorios, al parecer,
sólo existen los coros.
El cifrado de las inversiones se realiza poniendo la letra de la fundamental del
acorde del cual procede y luego una barra inclinada tras la cual se especifica qué nota
hay en el bajo. Por ejemplo, el segundo acorde de la figura 6.2 se escribiría como G/B,
y el acorde del cuarto compás de la figura 6.4 D/A.
Dado que esta inversión produce los intervalos de cuarta y de sexta se le suele
conocer muy comúnmente por este mismo nombre: una cuarta y sexta.
6.2 Círculo de quintas en las tonalidades
Sensible
Fa
Sol
Si
La
# ##
# #
Mi
Re
La
Sol
# ## # b b
# # bb b
b
b
b b bb
Sub
do
min
an
te
b
Sol
b
Do
Mi
##
#VI grado Si
Fa
Fa
Sol
Si
La
# ## do
# III gra
Re
Do
# ##
# #
#
#
b
b
b bb
##
#
#
# ## # b b
# # bb b
b
b
b bbb
b
Sol
II g
o
rad
b
Do
Mi
b
Dominante
Fa
Si
# ##
#
Fa
Sol
Si
La
Re
Do
Mi
Re
La
Sol
Re
La
# ##
# #
Mi
Re
La
Sol
# ## # b b
# # bb b
b
nte
ina
om
bd
Su
Re
Do
b
b bb
#
#
Se
nsib
le
Subdominante
Fa
Si
# ##
#
Tónica
te
an
min
Do
Do
min
an
te
Do
Mi
b
II g
rad
o
o
rad
b
Re
La
VI g
rad
o
#
b
Sol
ica
Tón
II I g
rad
o
##
#
Re
La
III grado
#
le
nsib
Se
g
VI
#
#
II grado
Para dilucidar rápidamente los grados, tónica, dominante, etc., de las diferentes
tonalidades, podemos recurrir al círculo de quintas con los papeles transparentes que
antes decíamos. De esa manera podemos trabajar con varias tonalidades:
b
b bbb
Fig. 6.5: tres tonalidades: Do mayor, Re mayor y Sib mayor.
En estas ruedas el tritono siempre ocupa las dos notas diametralmente
opuestas de la rueda. Es como, si de alguna manera simbólica, estuviese
proclamando que es el eje de la tonalidad.
6.3 Elementos adicionales
En composición es esencial el juego de consonancia y disonancia. A veces se
puede pensar en la disonancia como algo negativo de lo que hay que huir; nada más
lejos de la verdad. Anteriormente hablamos de la música oriental y, de paso, daremos
algunas normas adicionales.
El hecho de haber eliminado el tritono en estas escalas, que ya hemos visto
que es el intervalo de periodo más extenso, produce disonancias mucho más estables
que no necesitan resolución. Hay que ver que en una escala pentatónica china típica
no existe el Fa, resultando una música, por decirlo así, demasiado científica,
demasiado apacible. Le falta justamente el elemento perturbador que da movimiento y
que indica en qué dirección ha de moverse la pieza. La música china resulta muy
simétrica, sin caminos demasiado marcados a dónde ir y resulta apacible y serena,
aunque puede aburrir si se prolonga demasiado. También veremos que el tritono es un
elemento básico de movimiento intertonal, conocido como modulación (no confundir
con la modulación física de dos ondas). La música china, al no tenerlo, queda
estancada en una tonalidad permanente y, en el raro caso en que el compositor quiera
moverse de una tonalidad a otra es necesario forzar la modulación.
75
Tón
ica
b
b bb
Fig. 6.6:Pieza en escala pentatónica de Do mayor al estilo oriental.
La música china y de parte del sureste asiático resulta fácil de componer
puesto que, como ya hemos dicho, las disonancias tienden a ser estables. Carece de
novenas menores, segundas menores, séptimas mayores, y tritonos naturalmente, que
son justamente las más disonantes según la tabla V, de forma que el autor no deberá
tener miedo de que se produzcan siempre y cuando la línea melódica justifique la
disonancia, es lo que habíamos llamado efecto Bach. Una norma general en música
dice que no se deben crear disonancias sin justificar, especialmente cuando se
producen por movimientos paralelos de las voces pues parece una equivocación del
instrumentista. Por consiguiente, si la disonancia se crea a favor de la mejora de una
línea melódica, no será tan grave (a no ser que sea, como acabamos de decir, por
movimiento paralelo). La razón de la fuerza de una línea melódica radica en su efecto
en el cerebro pudiendo incluso ignorarse determinadas disonancias frente a ésta.
En el siguiente ejemplo (pista 10 del CD) se ha realizado un fragmento en
escala pentatónica de Do mayor al uso de la música que estamos comentando. Hay
que subrayar que, al componerla, no me he preocupado lo más mínimo de la armonía
que se pudiese ir formando sino exclusivamente de las líneas melódicas
instrumentales. Casi es más importante conocer la instrumentación de la música
oriental (p.ej. flautín doblado a la octava con la flauta en algunos pasajes) que el tejido
armónico en sí. Cualquier disonancia formada es eclipsada por la fuerza de la melodía
(figura 6.6).
Hay, pues unos elementos adicionales que resultan a veces ser tan
importantes como el propio tejido armónico, que en este caso es la melodía. Volviendo
a las disonancias, existe el llamado retardo, que consiste en prolongar una nota del
76
acorde anterior y resolverla cuando el acorde ya ha cambiado produciendo una
disonancia que acaba resolviendo. El efecto es algo parecido a lo que consigue hacer
el tritono, enriqueciendo la música. En la figura 6.4, justo al pasar de la inversión de
cuarta y sexta a la dominante La, el oboe realiza un retardo Fa−Mi. Cuando se hacen
retardos es muy importante que la nota retardada no se encuentre duplicada por
encima del retardo porque el efecto es muy pobre. La razón es que el retardo plantea
el vacío sonoro de una nota (la que es retardada) que luego aparecerá. Ahí radica
precisamente el interés del retardo. Si la nota ya está presente y se oye perfectamente
por estar en registro más agudo, se pierde el retardo y se convierte en una disonancia
sin justificación alguna.
Las notas de adorno son notas muy rápidas que suelen preceder a la nota
definitiva y que, como su nombre indica, adornan y enriquecen un sonido. Fueron muy
abundantes en el Barroco y en la actualidad su uso está más restringido por ser un
recurso que ya se ha escuchado mucho.
6.4 Acorde de aumentada
Queda una tríada especial por estudiar. Es un acorde especialmente
interesante por estar constituido por dos terceras mayores X↔Y, Y↔Z. El resultado es
que, entre X y Z se produce una sexta menor. La pregunta es ¿este acorde es
consonante o disonante? Si nos remitimos a la tabla V la respuesta sería consonante
puesto que está constituido por intervalos que lo son. No obstante, toda persona que
escuche este acorde estará de acuerdo con que es disonante (pista 11 del CD). Hay
dos poderosas razones para ello. La primera es la posición ambigua que ocupa el
intervalo de sexta menor en la tabla. Su índice de consonancia es 13, igual que la
novena mayor, que está considerada como una disonancia, incluso tiene más
discordancias armónicas que ésta con lo que es un intervalo poco claro27. Cuando la
sexta menor es un intervalo invertido de tercera mayor dentro de una escala, la sexta
será considerada como consonante, pero en el caso de la tríada hay una nota que no
pertenece a la escala natural (figura 6.7).
Fig. 6.7: Acorde de aumentada.
#
b
Re
La
Sol
#
b
#
Este acorde se representa como un triángulo
b
equilátero en la figura 6.8, que es parecida a la parte
derecha de la figura 5.2, aunque ahora se ha
##
#
cambiado el círculo por el de quintas. Como vemos, se
sale fuera de la mitad del círculo, que es donde se
contiene la tonalidad de Do mayor, deduciéndose que
b
# ##
b bb
#
no pertenece a ella. De hecho el intervalo formado
b
Do−Sol#, aunque tenga el sonido de una sexta menor,
# ##
b bbb
# #
# ## # b b b
no se considera como tal sino una quinta aumentada,
# # bbb
de ahí la denominación del acorde.
Fig. 6.8: Acorde de aumentada.
Hablaremos de este acorde en el fenómeno de
la modulación. De momento, y como se desprende de la figura 6.8, el triángulo se
circunscribe en el hexágono de línea delgada y que corresponde, como dijimos con
anterioridad, a una escala hexacordal. De hecho, girando el triángulo 60º se obtiene
otro triángulo que constituye el segundo acorde (de los dos únicos que tiene) de esta
escala.
Pero la escala hexacordal es atonal, con lo que se refuerza la idea de
disonancia de este acorde. También ha servido de base para la música
Do
Mi
Fa
Si
Fa
Sol
Si
La
Re
Do
Mi
Re
La
Sol
27
Por poner un símil químico, este acorde sería como el manganeso que, unas veces tiene propiedades
de metal y otras veces de no metal formando ácidos como el permangánico.
77
contemporánea. El cifrado de este acorde se expresa con la letra de la fundamental a
la que se añade el signo +. El acorde de la figura 6.7 se pondría C+.
6.5 La modulación
Volviendo al círculo de quintas, es posible girar 30º en uno u otro sentido, y
situarnos en otro medio círculo que representa una nueva tonalidad. Dado que tanto si
nos movemos hacia el bemol como hacia el sostenido, la nueva tonalidad a 30º tiene
en su armadura una alteración más (+1b, ó +1#) diremos que la nueva tonalidad es
vecina. Si nos movemos más de 30º la tonalidad se considerará más o menos lejana.
Tanto en la música clásica más antigua como en la mayor parte de las
canciones pop actuales, la modulación más frecuente es a los tonos vecinos. Por el
contario, en el jazz la modulación suele ser a tonalidades lejanas, que son más
contrastantes. Volviendo al círculo de quintas, vemos que tonos vecinos de Do son Sol
(+1#) y Fa (+1b), es decir, que tomando una tonalidad cualquiera, sus vecinas son,
como es natural, las que están inmediatamente a su derecha o a su izquierda.
Para realizar una modulación se recurre fundamentalmente al tritono,
introducido dentro de un acorde de séptima de dominante de la tonalidad a la que se
quiere ir. El cifrado de este acorde se expresa como X7, donde X es el nombre
correspondiente al Vº grado de la escala. Es fácil saber qué acorde de dominante hay
que introducir en una pieza para modular a un tono vecino, pues éste se halla
justamente en el siguiente punto del círculo de quintas marchando en sentido
matemáticamente positivo (antihorario). Si queremos ir a Sol, su dominante es el
inmediato antihorario, esto es, Re. Si deseamos ir a Fa, su dominante es el propio Do,
sobre quien se construirá una séptima de dominante. Como nota interesante diremos
que el acorde de séptima que empleemos para modular tiene, precisamente, la
alteración que posee en la armadura la nueva tonalidad. En nuestro ejemplo, de Do
mayor a Sol mayor, usamos D7 (Re−Fa#−La−Do) y Sol mayor tiene justamente el Fa#.
Para ir de Do mayor a Fa mayor usaremos el acorde C7 (Do−Mi−Sol−Sib), y la
tonalidad de Fa mayor posee el Sib.
En el siguiente ejemplo (fig. 6.9), hay tres modulaciones: de Do a Sol, de Sol
nuevamente a Do y de Do a Fa (pista 12).
Fig. 6.9. Modulaciones a tonos vecinos.
El acorde de aumentada también sirve para modular, generalmente al tono
relativo menor.
6.6 Acordes de cuatro notas
Por extensión matemática de las tríadas aparecen los acordes con cuatro
notas, que son las séptimas o cuatríadas. En la figura siguiente se pueden ver los
acordes de séptima correspondientes a Do mayor:
78
Fig. 6.10: Acordes de séptima.
En los acordes mayores, la séptima está justificada por el armónico 15 aunque,
al ser una séptima mayor, sabemos que produce una disonancia importante. El V
grado es una excepción porque la séptima que forma es menor y, consecuentemente,
se trata del acorde de séptima de dominante que ya conocemos. En cuanto a los
acordes menores sobre los grados II, III y VI forman séptimas menores y serán menos
disonantes que las generadas sobre I y IV. La notación sajona para la séptima mayor
es XMaj7 y simplemente X7 para los menores. En la figura 6.10 se han puesto los
cifrados bajo cada acorde.
Como no existe tritono salvo en el grado V, los acordes serán estables e,
incluso, se podrá reposar en ellos o acabar una pieza, siempre que se produzca una
cadencia perfecta. En jazz es normal acabar así pero si lo hacemos en una obra
clásica, acabar en una séptima le dará un interesante toque de modernidad. La
séptima sobre tónica suele ser bastante disonante y yo suelo recurrir al recurso de
“cubrir” la séptima. Eso consiste en añadir una nota del acorde por encima de la
séptima (un Mi o Sol en el caso de Do mayor), lo que suaviza el sonido.
El último acorde es especial porque está construido sobre una tríada
disminuida (Si−Re−Fa), y el tritono obligará a resolver igual que en el caso de tres
notas, continuando este acorde con su función de dominante.
Antiguamente las séptimas se utilizaban con precaución, restringiéndose su
uso a la llamada serie de séptimas, que se estudiará más tarde. En la actualidad, y
esta vez sí que hay que admitir el factor educacional, las séptimas no constituyen
material heterodoxo y se pueden usar sin restricción, sobre todo en música modal. El
jazz, y muchos aspectos del pop por extensión, son también un buen ejemplo de la
proliferación de estos acordes y los que se verán más adelante.
Sobre el modo menor existen estos mismos acordes de la figura 6.10 más unos
nuevos, producidos por la escala melódica que, al ascender, forma nuevas séptimas
con los grados alterados. En la figura 6.11 se pueden ver estos acordes.
Fig. 6.11: Acordes de séptima en modo menor.
El primer acorde forma séptima mayor con la fundamental La, y resulta mucho más
disonante y desgarrado que el sexto acorde de la figura 6.10. Muy útil cuando se
requiere conferir efectos de drama o desesperación con la música. Con carga
emocional parecida es el tercer acorde en donde la séptima se construye sobre un
acorde de aumentada del que se habló en el anterior capítulo. El quinto es,
exactamente, una séptima de dominante, y era el efecto que se quería conseguir
cuando se alteraron los grados de la escala menor para crear la melódica. En este
caso el Sol# es la sensible. Finalmente, resulta especialmente interesante el último
acorde. Es muy usado y se denomina séptima disminuida, en notación sajona Xº7. Si
nos fijamos está construido con dos tritonos, Sol#−Re y Si−Fa, por lo que necesita una
doble resolución. Tiene una gran tensión y está incorporado en muchas obras del
clasicismo. Por ejemplo, Beethoven lo usa en su sonata Claro de Luna durante varios
compases con el fin de crear un clima expectante. En el cine también se usa con el
mismo motivo. En la pista 13 se puede escuchar el efecto que causa. Este acorde se
representa en el círculo de quintas mediante un cuadrado (parte derecha de la figura
79
5.2). En dicha figura vemos que sobrepasa el semicírculo que encierra la tonalidad con
lo que se deduce que este acorde es intertonal y, de hecho, se utiliza para modular a
tonalidades lejanas. De la figura también se desprendía que solamente se pueden
trazar tres cuadrados, es decir, que únicamente existen tres acordes de séptima
disminuida.
Para modular a una tonalidad lejana se emplea una propiedad del tritono, que
consiste en poder resolver en cualquier sentido puesto que si se invierte resulta un
intervalo idéntico, esto es, otro tritono. En un contexto tonal de Do mayor, por ejemplo,
el tritono Si−Fa resolverá normalmente como:
Fig. 6.12: Resolución del tritono.
y vemos que puede resolver, tanto “hacia dentro” en una tercera como “hacia fuera” en
una sexta. Con esta propiedad, los tritonos de la séptima disminuida pueden cambiar
de dirección en un momento dado y enviar la música hacia una tonalidad lejana.
Fig. 6.13: Modulación lejana con séptima disminuida.
En la figura 6.13 (pista 14) se puede ver una modulación desde La menor (sin
armadura) a Fa# menor (tres sostenidos) por medio de una bisagra que es la séptima
disminuida G#º7.
Cuando un acorde de cuatro notas construido sobre acorde menor se invierte,
recibe el nombre de acorde de sexta (por ejemplo, Do-Mi-Sol-La), que es un recurso
bastante empleado.
6.7 Dominantes sustitutas
Aunque según la figura 6.12 el tritono Fa−Si resuelve en un intervalo Mi−Do,
dado que la inversión de un tritono es él mismo, podría suceder que resolviese
justamente al revés, es decir, hacia dentro en la parte izquierda de la figura o hacia
fuera en la derecha, intercambiando sus papeles la séptima y la sensible. El intervalo
resultante sería Solb−Sib, y se podría considerar que el acorde de séptima de
dominante G7 no solamente puede resolver en Do mayor sino también en Sol bemol
mayor. Esto es lo que se llama una dominante sustituta, no siendo esta vez el grado
V sino una séptima de dominante cuya fundamental está a distancia de segunda
menor ascendente del acorde mayor sobre el que resuelve.
En resumidas cuentas, Do mayor tiene una dominante que es G7 y una
dominante sustituta que es Db7. En la figura siguiente se detallan dos cadencias sobre
80
Do mayor, indicando la resolución del tritono (fijémonos que Db7 es dominante real de
Solb y sustituta de Do):
Fig. 6.14: Dominante sustituta.
Vemos que la resolución del tritono es igual en ambos casos enarmonizando Si a Dob.
La resolución natural de Db7 sobre Gb está forzada a C y se indica mediante un
corchete discontinuo. De forma parecida a lo que sucedía en la séptima disminuida, la
dominante sustituta se puede emplear para modular a un tono diametralmente opuesto
en el círculo de quintas. Como los puntos son diametralmente opuestos hay simetría y
se puede oscilar de una tonalidad a otra mediante las dominantes sustitutas tal como
se muestra en la figura 6.15:
Fig. 6.15: Modulación diametral con dominantes sustitutas.
Ambas figuras 6.14 y 6.15 pueden escucharse en la pista 15. En el apartado 5.6
(intercambio modal) se habló de una cadencia rota inversa que consistía en la
resolución de la dominante del modo menor en la tónica del mayor. Si se recurre a la
dominante sustituta se puede ver que el tritono resuelve bien, solamente que en
sentido contrario al habitual (figura 6.16), igual que este tipo de dominantes:
Fig. 6.16:Cadencia rota invertida menor>mayor
con resolución invertida del tritono.
Lo mismo que una dominante normal, la sustituta también puede resolver como
cadencia rota en el relativo menor del tono donde se dirige.
6.8 Otros usos del tritono
Las notas fuertes de la escala son las propias de la escala diafónica, figura 4.2.
En ella no aparecen ni el La ni el Fa. El primero debido a que es un armónico muy
tardío y el Fa porque ni siquiera lo es. Aprovechando la debilidad de estos grados de la
81
escala, que en modo mayor son VI y IV, se pueden alterar a guisa de adorno,
haciendo que formen tritonos con funciones de dominante secundaria, y permitir que
desemboquen en acordes del modo en el que se está componiendo. Generalmente se
recurre, no a séptimas de dominante sino a acordes disminuidos con séptima
(séptimas de sensible) que resultan más suaves y originales. En estos acordes, la
fundamental se encuentra a distancia de tritono de la quinta, que es disminuida, y se
anota en el cifrado como b5 (bemol 5). Aparte de la séptima de sensible, propia de la
tonalidad en cuestión, existen dos acordes que son de uso frecuente, ubicados sobre
los grados II y IV# de la escala y en los cuales se han alterado los grados débiles de
los que hablábamos antes, VI y VI (La y Fa en Do mayor). El primero de ellos tiene un
tinte soñador, muy usado en música americana y también por compositores como
Sibelius. Su resolución natural es sobre la dominante o la tónica, mientras que el
segundo, sobre el IV grado alterado lo hará en general solamente sobre la dominante.
Es un acorde muy típico del jazz usado por compositores como Scott Joplin. Citamos a
continuación ambos ejemplos en Do mayor, que están en la pista 16:
Fig. 6.17:Usos del tritono en acordes disminuidos.
Como en el caso de las dominantes sustitutas, los tritonos pueden resolver al
revés y modular hacia otras zonas del espectro sonoro. Por ejemplo, el acorde
#IVm7(b5) puede resolver hacia fuera como Re menor o Si bemol mayor, y el primero
hacerlo sobre La menor o Fa mayor.
Aparte de ellos, existen más acordes que pueden usar un tritono para crear
flexiones dentro de una frase que pueden ser construidas por el mismo lector sin más
que aplicar lo que se acaba de decir, aunque los citados son más adecuados por
alterar los grados débiles VI y IV. Valga como ejemplo el acorde #Im7(b5) que está
construido sobre el primer grado alterado un semitono hacia arriba y que, como el
#IVm7(b5), tenderá a resolver sobre el segundo grado o en sentido inverso. Nombre un
grado cualquiera de la escala, bájese un semitono y constrúyase un acorde disminuido
con séptima sobre él que tenderá a ir al acorde el grado elegido.
6.9 Acordes de cinco notas
Por extensión matemática de las tríadas aparecen los acordes con cinco notas,
también conocidos como acordes de novena. En el desarrollo armónico vimos que la
novena es el armónico 9 y que el intervalo no era especialmente disonante siempre y
cuando fuese una novena mayor. Por el contrario, la novena menor es un intervalo
muy disonante y no es conveniente usarlo en piezas tradicionales. Su uso
contemporáneo no se justifica científicamente y constituye una licencia del compositor,
que deberá juzgar cómo y cuando usarlo según su criterio. En la siguiente figura se
detallan las novenas diatónicas sobre cada grado de la escala, indicando con la nota
pequeña aquellas novenas que son menores. En este tratado las evitaremos, por lo
que diremos que sobre los grados III y VII no hay acorde de novena. Especialmente en
el VII es de muy mal efecto porque, teniendo una función de dominante, se suma el
hecho de que la resolución de la sensible, que es la nota que está abajo, tiene sobre
ella la tónica, o nota retardada, y ya hemos comentado los problemas que eso
conlleva.
82
Fig. 6.18:Acordes de novena.
En estos acordes se pueden eliminar las séptimas mayores, que son más
disonantes con lo que se obtendrán acordes de sonoridad más suave. Un acorde
especial es el de novena de dominante, consistente en una séptima de dominante a
la que se añade una novena. Este es el único caso en el que se puede emplear una
novena menor, pues la dominante tiene tanta tensión que será de buen efecto hacerlo.
El cifrado es básicamente igual que la séptima a la que se añade un (9) a la derecha.
Por ejemplo, CMaj7(9) es la novena correspondiente al acorde de séptima mayor
sobre Do y también se indica como C9.
6.10 Acordes de muchas notas
Por extensión matemática de los acordes anteriores se pueden añadir dos
intervalos más: la undécima y la decimotercera, generando los acordes de dicho
nombre. Si volvemos a la serie armónica, comprobamos que el intervalo de undécima
contiene justamente la nota que no existe en dicha serie (el Fa en el acorde de Do), y
la decimotercera tampoco es mucho mejor, ya que la nota (La) se produce en un
armónico de orden muy alto. Eso hace que el tratamiento de estos acordes no se
pueda incluir como una prolongación más de los anteriores.
En general, tanto la undécima como la decimotercera son intervalos que no son
disonantes con la fundamental pues son ampliaciones, respectivamente, del intervalo
de cuarta y de sexta mayor más una octava. No obstante, sí resulta disonante con
relación al resto de notas del acorde, y a eso hay que unir que, con la fundamental,
hace un acorde de cuarta y sexta del que ya se habló con anterioridad al tratar las
inversiones, y entonces se dijo que era inestable. Por tanto, los intervalos de undécima
y decimotercera añadidos no crean acordes estables sobre los que se pueda reposar
sino que se emplean a modo de apoyatura para resolver sobre otro.
A continuación se estudian los intervalos citados en dos columnas (figura 6.19).
En ellas se señalan intervalos problemáticos que se forman con las otras notas del
acorde como lo son las novenas menores (corchete a la derecha de la nota) o tritono
(a la izquierda). En el acorde se ha procedido a suprimir la novena menor quitando la
nota inferior para mantener la 11ª o 13ª, aunque a veces eso supone dejar el acorde
sin tercera y queda ambigua su modalidad (mayor o menor).
Cuando el acorde tiene muchas notas, al aumentar la disonancia, tampoco
tiene que implicar forzosamente “ser desagradable” pero sí puede suceder que eso
provoque una pérdida de personalidad por exceso de apelmazamiento de notas. Es
como el color marrón del que se habló en 1.5. Los marrones son demasiado
parecidos, haciendo que el acorde pierda su característica psicológica especial para
parecerse más bien a un ruido.
83
Fig. 6.19: Acordes de undécima y decimotercera.
6.11 Progresiones
Vamos a realizar una sucesión de quintas pitagóricas, sólo que esta vez se
harán con un instrumento natural, un piano por ejemplo. Ya sabemos que en cada
nota habrá un contenido armónico y se escuchará algo semejante a la figura 6.20:
Fig. 6.20: Sucesión de quintas pitagóricas con sonidos reales.
En esta sucesión de notas hemos considerado los armónicos 2, 3, 4, 5, 6, 8 y
15. Ahora vamos a hacer esta misma serie con acordes, también con el piano, de
forma que las notas que empleemos estén situadas en el mismo sitio que los
84
armónicos y con intensidad decreciente. En la pista 17 se puede apreciar esta escala y
comprobamos que es muy consonante debido a la posición coincidente de las notas.
Podemos hacer que sea menos consonante pero, no por ello disgustará al oído, si
alteramos la posición de las notas tal como en la figura 6.21:
Esta ordenación de los sonidos se conoce como serie de séptimas, y puede
escucharse en la segunda parte de la pista 17. Esta serie, que podíamos llamar
pitagórica, emplea los sonidos coincidentes de los armónicos y vemos que siempre se
construyen sobre el acorde mayor correspondiente. Recordemos que, si comenzamos
en la nota Do, los acordes de Re mayor, Sol mayor, La mayor, etc., no pertenecen a la
tonalidad de Do mayor, lo que sitúa a esta serie dentro de un marco intertonal.
Fig. 6.21: Serie de séptimas.
Por extensión matemática podemos dar un paso más y eliminar todas las
alteraciones para que la serie de séptimas quede inmersa en la tonalidad de Do
mayor, con el resultado de la figura 6.22. Hay que notar que, al convertir la serie en
diatónica, es decir, dentro de una tonalidad concreta, algunas séptimas no se
construyen ya sobre acordes mayores sino menores, que podrían ser más disonantes
por su condición de acorde menor, pero eso no sucede porque la séptima de estos
acordes resulta ser menor, que es menos disonante que la mayor.
Cuando una serie de séptimas se mueve dentro de un marco tonal diatónico
hay que tener en cuenta que la séptima sobre el grado V es realmente una séptima de
dominante y tenderá a resolver sobre la tónica o el VI grado. En el caso de la figura
6.21, esta séptima realiza lo que se conoce con el nombre de resolución
excepcional, movida por la fuerza de la serie. Para resolver el tritono, y sabiendo que
la nota sensible tiene una gran tendencia a ir a la tónica, se procede a mover la
primera (Si en este caso) hacia el Do, que es la séptima del siguiente acorde, y el Fa
queda tenido para construir Re−Fa−La−Do con lo que el tritono se resuelve de una
manera más o menos airosa (pista 17, tercera parte).
Fig. 6.22: Sucesión de séptimas diatónicas.
En la figura 6.20 no se había considerado el armónico 9, que es menos
disonante que el 15, luego se podrá construir otra nueva serie en donde también
aparezca, siendo ahora una serie de novenas. En esta serie podemos optar por
poner la novena completa o prescindir del armónico 15, que en la práctica es la
séptima mayor, con lo que la sucesión es menos disonante y queda suavizada.
Al igual que con las séptimas, las novenas se pueden reordenar, dando lugar a
notas menos distanciadas. En las figuras 6.21, 6.22 y 6.23 se aprecia que para
recoger el espacio sonoro y que no se dispare la serie como sucede en la 6.20, se
suceden en el bajo intervalos de quinta y cuarta. Hay que tener una precaución
85
cuando se emplean series de séptimas y de novenas porque en algún momento puede
producirse un intervalo de tritono, que da un efecto bastante pobre y poco brillante.
Fig. 6.23: Serie de novenas.
Fig.6.24: Serie de novenas con un defecto de tritono.
En el ejemplo de la figura 6.24 tenemos una serie de novenas en donde se produce
este defecto, que se ha marcado con una flecha. Para que el lector se haga cargo de
la debilidad de este punto, se ha incluido en la pista 18 (primera parte).
Fig.6.25: Serie de novenas con el tritono corregido.
86
Resulta de una gran fuerza, por el contrario, mantener las distancias de quintas
y cuartas justas, aunque eso significará que la progresión modulará a otras
tonalidades. Véase la figura 6.25 y la correspondiente pista 18 (2ª parte).
Cuando se quiera hacer una serie, ya sea de séptimas o de novenas
diatónicas, es decir, dentro de la misma tonalidad sin modulación, hay que calcular el
no interceptar ningún tritono. Generalmente dará bastante juego la serie si se inicia en
una séptima o novena sobre tónica; sobre el grado IV dará el máximo de peldaños,
que son seis sin contar el primer acorde. En la figura 6.26 se ilustra una serie de
novenas diatónicas, que se puede escuchar en la pista 18 (3ª parte).
Fig.6.26: Serie de novenas diatónicas.
En el fragmento de la figura 6.26 hemos usado en el segundo compás un acorde de
dominante (sobre Re por estar en Sol mayor). Sin embargo, en el caso de las
novenas, la resolución de este acorde es menos crítico que el de la séptima en marco
tonal porque las novenas tienen un sabor mucho más modal y no necesitan tan
fuertemente la resolución tradicional del tritono.
6.12 Cadenas de dominantes
Las progresiones son como un mecano, que se pueden combinar de cientos de
maneras diferentes. Las pretensiones de este libro quedan fuera de la labor de
peinado que los libros de armonía moderna suelen hacer habitualmente y, por ello, nos
remitimos a la bibliografía para ampliar. Solamente daremos las reglas de ensamblaje
de las piezas y dejamos también a la imaginación del lector hacer sus propios
inventos. Gran parte del talento compositivo dependen de esta capacidad del
compositor de experimentar y adoptar nuevos recursos.
Comenzaremos por intercalar una serie de séptimas muy sencilla dentro de
una escala tonal (mayor o menor), de tan solo dos peldaños y luego lo iremos
complicando. Suele ser muy frecuente hacer flexiones a tonalidades vecinas, y se ha
hecho abundantemente a lo largo de la historia. Consiste en modular durante un
tiempo muy corto, regresando rápidamente a la tonalidad principal. Normalmente esta
flexión dura tan poco que la armadura permanece y simplemente se alteran las notas.
Lo que se aprecia en la figura 6.9 son en realidad flexiones de este tipo, ya que, por
motivos de brevedad no se ha intercalado una partitura de varias páginas. Para hacer
la flexión se intercala el acorde de séptima de dominante del tono al que queremos ir
(D7, G7 y C7 en la figura 6.9). Esta dominante se conoce como dominante
secundaria, y puede ir precedida del II grado del tono al que se quiere flexionar. El
87
primer caso, que sería el más simple, consistiría en la propia cadencia al grado I, que
todavía no implicaría modulación. Por ejemplo, si estamos en Do mayor, sería la
secuencia: C, Dm7, G7, C. Existe un tipo nuevo de cifrado que podemos llamar
relativo, indicando con una barra de separación el grado de la escala sobre el cual se
aplica el acorde. En este caso podemos poner: I, II7/I, V7/I, I, donde el número romano
a la derecha de la barra indica sobre que grado se aplica. En este caso, como la
cadencia es sobre la tónica, todos ellos llevan /I. Si queremos hacer una flexión a Re
menor, la secuencia sería:
C, Em7, A7, Dm,
con la mini serie de séptimas Em7 A7, y su cifrado relativo será: I, II7/II, V7/II, II. Ahora
II7/II significa una séptima aplicada sobre el II grado de Do mayor, pero dicha séptima
es del segundo grado del segundo grado, es decir, Mi menor. El siguiente es V7/II, o
sea, quinto grado de dominante aplicado sobre el segundo (Re menor), que es A7 y
finalmente II (que no hace falta indicar como I/II).
A partir de este punto se puede complicar tomando una dominante de la
dominante. En nuestro ejemplo sería la dominante de A7, que también es Mi pero
mayor, y así irán resolviendo secuencialmente (flechas):
C, E7
A7
Dm.
En este caso, E7 se denomina dominante por extensión. Siguiendo adelante con
nuestro mecano, se pueden ir añadiendo séptimas de II grado relativo a cada
dominante, y además, es posible intercalarlas porque el oído nota bien la resolución de
la dominante aunque tenga un acorde por medio. Algunas de estas combinaciones
pueden ser:
C, E7, Em7 (II de Dm)
C, F# 7
E7
C, F# 7
E7, Em7
A7
A7
Dm
Dm
A7
Dm
donde las flechas indican la resolución de dominante y de las séptimas. De igual forma
se puede continuar ampliando indefinidamente estas cadenas haciendo series de
séptimas, combinadas ya sea como diatónicas o de dominante, dentro de la misma
tonalidad (figura 6.27).
II7
V7
II7
V7
II7
V7
Fig.6.27: Concatenación de dominantes.
6.13 Progresiones cíclicas con diferente espaciado. Multitónica
Nos podemos preguntar por qué hemos espaciado con quintas los
fundamentales de los acordes. Naturalmente, en una serie pueden estar separados
por otros intervalos diferentes a la quinta. La razón científica también estriba en el
fenómeno armónico porque la distribución de sonidos a lo largo del tiempo guarda
relación con los emitidos simultáneamente si observamos la figura 3.10. En su
momento se habló de las concordancias armónicas y están reflejadas en la tabla V.
Cuando se escuchan sucesiones de acordes, aquellos separados por quintas o
cuartas se sentirán más emparentadas que por intervalos con menos notas comunes,
de ahí que tengan más fuerza. No obstante, las sucesiones espaciadas por terceras
también dan buen juego, y menos los de segundas.
88
Las progresiones por quintas van modulando por todas las diferentes
tonalidades recorriendo la rueda por puntos contiguos. Si la serie se recorre 12 veces,
por enarmonización se llegará al punto de partida. Por lo general las progresiones
tienen mucha fuerza y guardan algún tipo de relación con los caleidoscopios en donde
un modelo geométrico simple, al repetirse por simetría, genera una figura de gran
belleza. En el caso de la música, la simetría no puede ser espacial sino temporal
haciendo simplemente que cada célula de la progresión guarde las mismas distancias
entre intervalos sucesivos. El cerebro percibe este patrón que se repite y genera esa
sensación tan grata.
Pese a su belleza, las progresiones resultan cansadas si la célula se repite
excesivamente. Bach jamás abusaba de un
La
número excesivo de células y cortaba la
Re
Mi
progresión muy pronto, evitando el cansancio
del espectador. Otro caso muy diferente es
Si
Sol
Vivaldi,
cuyas
progresiones
resultan
interminables. En los tiempos en los que
dirigía una orquesta de cámara siempre me
Fa
Do
Sol
veía obligado a marcar con el dedo
disimuladamente la parte de la partitura en
que se hallaba la música para evitar perderme
Fa
Re
en aquellas progresiones tan largas.
Mi
Do
No es conveniente hacer progresiones
de
quintas
con doce celdas a no ser que el
La
Si
Sol
La
efecto buscado sea, precisamente, el de echar
Mi
Re
al público de la sala. En ese caso es mejor
Fig. 6.28: Progresiones cerradas.
recurrir a particiones del círculo de quintas que
requieran pocos pasos para cerrar el espacio
tonal. Ya hemos visto en otras ocasiones que eso se consigue mediante terceras
mayores (triángulo), menores (cuadrado) o segundas (hexágono), como los acordes
de aumentada, disminuida, y escala hexacordal (ver figura 6.28). Incluso se pueden
hacer progresiones con acordes situados a distancia de tritono, tal como ya se
comentó en 6.7 acerca de las dominantes sustitutas, con lo que oscilaría simplemente
entre dos acordes diametralmente opuestos y su figura geométrica se representaría
por diámetros del círculo de quintas.
Fig. 6.29: Progresión multitónica.
Nótese que de esta manera, las células de la progresión dividen la octava en
partes iguales con dos, tres, cuatro y seis porciones. No es necesario que cada célula
89
ocupe una sola nota, sino que puede extenderse por espacio de un compás entero o
varios compases. Dentro de cada célula hay total libertad de emplear varios acordes
dentro de esa tonalidad antes de proceder a usar un acorde de dominante y modular
hacia la siguiente celda. En la figura 6.29 (pista 19) se ha construido una progresión a
distancia de terceras mayores y si nos fijamos en el cifrado, se pasa de Do mayor a Mi
mayor (modulando con el acorde de séptima de dominante B7). Cada celda ocupa un
compás, y del segundo en Mi mayor se modula a Sol# mayor (enarmonizado a la
bemol) y nuevamente a Do.
Debido a que la progresión es modulante, la música estabiliza una tonalidad
durante un cierto espacio de tiempo y luego en otra diferente. En la figura 6.29 se
comprueba que se puede repetir indefinidamente entre las dos barras de repetición
puesto que encaja perfectamente, y finalmente no se sabría a ciencia cierta cual es la
tonalidad “auténtica” de la pieza puesto que estaría oscilando entre tres distintas. En
esta figura, dado que se han colocado dobles barra por comodidad para la explicación,
cuando se regresa a Do mayor lo hace sobre el mismo compás, pero en una obra
musical se puede construir sobre celdas diferentes, digamos: C1, E1 Ab1 C2, E2, Ab2,
etc. Llamaremos celdas homólogas a aquéllas que tienen la misma tonalidad tras
regresar de un ciclo completo (en nuestro caso C1 C2, C3 … serían las celdas
homólogas).
Cuando las celdas son pequeñas, este recurso no se debería utilizar puesto
que generaría una monotonía extrema, pero si las celdas son largas y al regresar a la
tonalidad correspondiente se traza un modelo melódico diferente, estaríamos en
presencia de una progresión armónica, es decir, que solamente se respeta la
verticalidad (armonía) de las celdas. Esto se conoce como un sistema multitónica.
Para añadir riqueza se pueden variar también las armonías dentro de las celdas
homólogas antes de modular.
El recurso es muy usado en el cine, especialmente los sistemas multitónica
modales, de los que hablaremos en el siguiente capítulo (Más allá de la tonalidad).
También se pueden poner progresiones de séptimas y novenas diatónicas,
esto es, no modulantes sino dentro de la misma tonalidad, pero espaciadas por
terceras sin que la progresión pierda por ello carácter expresivo. En la figura 6.30 se
ha trazado una progresión de séptimas espaciadas a distancia de terceras. Este tipo
de progresiones no son, naturalmente, multitónicas. Como se mueven dentro de una
tonalidad concreta, hay que evitar séptimas de dominante que tiendan a desviar la
progresión por resolución de su tritono.
Fig. 6.30: Progresión de séptimas separadas a intervalos de tercera.
Cuando la progresión es de novenas diatónicas hay que tener cuidado de no
incluir acordes con novenas menores (figura 6.31), donde se ha eliminado el acorde
sobre el Mi.
Fig. 6.31: Progresión de novenas separadas a intervalos de tercera.
90
Ambas progresiones se pueden escuchar en la pista 20.
6.14 El mecano continúa
Las últimas progresiones se construirán a intervalo de segunda. Ya se indicó
que la fuerza de la progresión es proporcional a la consonancia del intervalo que
separa sus fundamentales, de donde se deduce que las series separadas por
segundas serán menos contundentes, pero no por ello menos interesantes. Al no
compartir muchos armónicos, el parentesco de los acordes de estas progresiones es
bajo y darán sensaciones psicológicas de lo más variado. Las ascendentes de acordes
mayores producen mucha tensión. En la figura 6.32 se ha empleado esta técnica con
un grupo de metales con un crescendo que culmina al final de la progresión. El
resultado se puede escuchar en la pista 21 (1ª parte).
Fig. 6.32: Progresión a intervalos de segunda.
Y reunidas todas las piezas, se puede comenzar a construir el mecano a
voluntad. Se trata de crear progresiones en donde las distancias entre sus tónicas
sean variables. Esta técnica se utiliza mucho en el cine, y como ejemplo crearemos
Fig. 6.33: Progresión a intervalos de tercera menor y cuarta.
una secuencia al estilo de “El señor de los anillos” (figura 6.33) y que podemos
escuchar en la pista 21, (2ª parte). En este caso se han empleado secuencias con
separaciones de tercera menor y cuarta, modelo caleidoscópico que se repite hasta
91
una cadencia final de modo mixolidio con enlace II-I. Hay que comprender que en este
tipo de progresiones, al ser las variaciones tan rápidas e intertonales, no es posible
detectar una determinada modalidad para cada célula. Nada más el remate de la
misma es la que determina, al menos, el modo final en el que la progresión va a
descansar.
Unamos la última pieza, que procede del sistema de multitónica, y que consiste
en crear dos divisiones diferentes de la octava y ensamblar progresiones de la manera
siguiente: Dividamos la rueda de quintas en tres y en cuatro (figura 6.34). La primera
serie se construye con una multitónica a distancias de tercera mayor (triángulo) con lo
que recorre las tonalidades a e i a. Una vez retorna a la tonalidad base a, se
desplaza según la segunda división en cuatro partes (cuadrado) hacia la tonalidad d,
que sirve como nuevo centro para apoyar otro triángulo girado 90º de multitónica que
recorre d h l d. Al cerrar una vez más en d, sufre un nuevo giro según el cuadrado y
recorre ahora g k c g., y así sucesivamente hasta llegar al inicio en la tonalidad a,
punto a partir del cual volvería a repetirse el ciclo. Es como tener dos multitónicas
anidadas en donde hay una superestructura que sería la multitónica del cuadrado
dentro de la cual se mueve, a su vez, la segunda multitónica triangular.
Esta técnica soportaría un nivel indefinido de anidamiento haciendo que, por
ejemplo, sobre cada vértice de la multitónica triangular se apoyase otra nueva basada
en una división diferente de la octava, en dos, por ejemplo, a distancias de tritono
(recordar lo dicho en 6.13) conformando una estructura muy semejante a un fractal.
e
d
e
c
f
c
f
b
g
d
b
a g
h
l
i
e
j
d
a
h
l
k
i
c
e
f
k
c
f
b
g
j
d
b
a g
h
l
i
j
k
a
h
l
i
j
k
Fig. 6.34: Progresiones multitónica anidadas.
No es obligatorio recorrer todas las tonalidades, pero al hacer divisiones diferentes es
posible que eso suceda.
Esta pieza puede combinarse con las anteriormente dichas para generar un
poderoso recurso compositivo. En la figura 6.34 no especifica el tiempo que debe
permanecer la progresión en cada vértice, quedando libre al buen criterio del
compositor. Una sola obra puede formarse a partir de una superestructura como la de
la figura 6.34, reposando en cada vértice una cantidad apreciable de tiempo como
para definir una modalidad concreta. Al paso por cada tonalidad se pueden incluir
otras progresiones como series de séptimas, novenas, etc. Para variar un poco el
ejemplo, esta vez podemos escuchar un fragmento de jazz en la pista 22 en donde se
ha usado esta técnica.
92
CAPÍTULO 7
La modalidad
7.1 Modos diferentes de mayor y menor
En el periodo del clasicismo, y especialmente en Alemania, la música que se
compuso tenía un carácter marcadamente tonal. En la actualidad, y para diferenciarla
de la música atonal, a cualquier otro tipo de música se la denomina bajo el nombre de
“tonal”. Técnicamente esto no es correcto, ya que por tonalidad propiamente dicha se
entiende aquella que implique el juego dominante-tónica con abundantes resoluciones
del tritono. Este tipo de música se extiende en la actualidad a formas más modernas
de música ligera como el pop, el rock y también, aunque con un gran nivel de
complejidad, gran parte de la música de jazz. La gran mayoría de la música comercial,
en cualquiera de sus tipos suele ser técnicamente tonal.
Con la llegada del impresionismo se retomaron escalas que, habiéndose usado
mucho en la Edad Media, como el canto gregoriano, habían caído en el olvido. Éstas,
a su vez, procedían de la música de la antigua Grecia y en principio están tan
justificados científicamente como la música tonal. Para diferenciarla de ésta se la llamó
música modal. Las notas de estas escalas son las mismas que en el sistema tonal
pero ordenadas de forma diferente. Las distancias entre los grados de una escala
mayor tonal y las de otro modo no son las mismas. Por lo general, lo más sencillo es
estudiar los modos relativos, de los que ya se habló en 5.2, solamente que ahora hay
que añadir algo más sobre cómo armonizarlos. Eso fue lo que se hizo precisamente en
el impresionismo ya que estos modos eran cantos monódicos (sin armonía) durante el
gregoriano. Cualquier tonalidad puede estar expresada en uno de estos modos. En la
figura 7.1 se han representado dos escalas de Do dórico y La frigio, ambas relativas
de Si bemol mayor y Fa mayor respectivamente (consultar el círculo de quintas):
Fig. 7.1: Escala de Do dórico y La frigio.
La armonización de estas escalas se realiza exactamente igual que en los casos
mayores y menores como se indicaba en las figuras 3.12, pero alterando el orden de
los mismos, igual que sucedía en el modo menor.
Si nos centramos en la tonalidad de do mayor, por ejemplo, sabemos, por la
figura 5.5, que tiene seis modos relativos. Quitando el modo menor, que tiene también
su dominante y funciona con la misma contundencia que el mayor, la pregunta es
¿qué sucederá cuando se usen los otros modos? Posiblemente, por la fuerza de la
tonalidad, sería de esperar que cada vez que se oiga el V grado del relativo mayor nos
haga desembocar en éste, dejando atrás el otro modo. De hecho, si queremos hacer
una obra en Re dórico, por ejemplo, no se deberá usar jamás una séptima de
dominante sobre Sol ya que, irremediablemente nos obligará a regresar a Do mayor.
Uno de los recursos mejores, y que dará sabor modal será usar la que llamaremos
nota modal característica y montar sobre ella una cadencia. La nota, o notas
modales características, son aquellas que diferencian al modo en cuestión con su
equivalente tonal. Explicaremos esto con el ejemplo en Re dórico. En el modo dórico,
la tónica se construye sobre un acorde menor, es decir, Re menor. Pues bien, de la
comparación entre Re dórico (ninguna alteración) y su equivalente tonal, que es Re
menor (1 bemol), encontramos que la nota característica es la que los diferencia, es
decir, el Si, que en el caso de Re dórico es natural. Para crear las cadencias dóricas
93
típicas crearemos un primer acorde en el que intervenga el Si natural y a continuación
Re menor (tónica de Re dórico). Otro ejemplo es Sol mixolidio, relativo de Do mayor.
El acorde de la tónica mixolidia es Sol mayor, de donde su equivalente tonal será Sol
mayor con un sostenido en la armadura (Fa). La nota característica será, pues, Fa
natural, y sobre tal nota construiremos los acordes de las cadencias mixolidias. De
todos los modos, el hipofrigio, o locrio, es el más débil pues se apoya en el Si28 que,
aparte de ser sensible de Do y resultar muy difícil de estabilizarlo como tónica, su
acorde característico es disminuido y, por tal razón se considera este modo
impracticable incluso en técnicas tan complejas y liberales como el jazz. Sin embargo,
sus variantes pentatónicas son mucho más estables y entre ellas se encuentra la
escala japonesa Hira-joshi, que son practicables por haber eliminado notas que lo
apartan de la tonalidad tradicional. Las escalas japonesas tienen un interés especial
por tener la sensible invertida, es decir, que funciona bajando un semitono hacia la
tónica en lugar de subir como en los modos tonales occidentales.
En el modo frigio la tónica es un acorde menor y su nota característica es el
segundo grado (ejemplo: en Mi frigio será Fa natural), que, encontrándose a distancia
de semitono constituye también una sensible superior. En el lidio, de tónica mayor, la
nota será el IV grado (en Fa lidio es Si natural). En estas dos escalas hay que hacer
un par de salvedades. La última (modo lidio) tiene su IV grado (y nota característica) a
distancia de tritono de la tónica, lo que hace que la cadencia no suene conclusiva y
que produzca la sensación de que la música debería continuar. Tampoco permite una
sólida construcción sobre la subdominante ya que es un acorde disminuido. Por estos
motivos es el modo más débil de todos después del locrio. Los más consistentes son
dórico y mixolidio, seguido del frigio. Sobre
este último hay que decir algo importante.
Dado que la tónica está sobre modo menor,
y por la interválica de su escala, el modo
resulta algo más débil que el dórico y
mixolidio. No obstante, se hace más
consistente si la tónica fuese un acorde
Fig. 7.2:Cadencia andaluza.
mayor, lo que hace que el tercer grado se
altere. Es algo parecido a lo que sucedía
cuando hablábamos del modo menor, que se modificaba al ejecutar una escala
ascendente. En este caso, sólo al cadenciar, la tónica reposa en un acorde mayor con
su tercera alterada, permaneciendo sin alteración en el resto de los casos. Esto se
conoce con el nombre de modo frigio mayor, sobre el cual está construido el
flamenco. La música española emplea de forma ya manida y abundantemente esta
cadencia que, arrancando desde el III grado, llega por grados conjuntos hasta la tónica
alterada, y que se denomina cadencia andaluza. (figura 7.2). Aprovechamos para
indicar un nuevo cifrado, que es el de acordes con alteraciones, y que se indican
simplemente con la alteración correspondiente seguida por el intervalo alterado, el 3º
Fig. 7.3: Cadencias modales típicas.
en este caso. En la figura 7.3 aparecen cadencias modales típicas. Las notas con
cabeza cuadrada son las características. Para aquellos que no dispongan de piano,
28
Se refiere el ejemplo a Si locrio como es relativo de Do mayor.
94
pueden escuchar estas cadencias en la pista 23, que están dispuestas en el mismo
orden (ocho cadencias) y termina con la cadencia andaluza.
Los acordes que intervienen en las cadencias como previos a la tónica, y que
poseen la nota característica, se denominan acordes cadenciales, o cadentes. Por
ejemplo, Re dórico tiene como acordes cadentes Mi menor y Sol mayor. Existe, en
música modal, el llamado acorde a evitar, que es el que se construye con un acorde
disminuido que contiene un tritono que, por su tendencia a resolver, nos hará
desembocar en música tonal.
7.2 Progresiones modales
Tras conocer la posibilidad de trabajar modalmente, lo primero que se nos
ocurre es la posibilidad de generar progresiones no tonales, es decir, que no tengan
que enlazarse mediante dominantes cuando quieran modular. Si deseamos pasar de
un modo frigio a uno dórico, por ejemplo, lo haríamos a través de alguna de las
cadencias de la figura 7.3. Cuando toda la música se encuentra girando entre modos
relativos resulta algo confuso puesto que en la modalidad, al no ser tan contundente
como la tonalidad, es difícil decidir si se está en un Re dórico, en un Sol mixolidio o en
un Mi frigio, por ejemplo.
La fuerza de la progresión se debe aprovechar para hacer modulaciones a
tonos vecinos, manteniendo la modalidad. Es muy fácil conocer los tonos vecinos sin
más que consultar la rueda de quintas y seguir, como siempre, el orden de éstas igual
que en el caso de modos mayores y menores. Valga como ejemplo, que Re dórico es
vecino de Sol y La dóricos también. Usemos los acordes cadentes para lograr la
modulación modal. En el ejemplo siguiente se procede a construir una progresión
desde Re dórico hasta Si dórico usando sus respectivos acordes cadentes como
puente. Las notas características son las de cabeza cuadrada. El ejemplo resulta muy
ilustrativo y recomendamos escucharlo en la pista 24.
Fig. 7.4: Progresión dórica.
En el cifrado el último acorde de cada sección antes del cambio de tonalidad,
que es la tónica, también es el grado IV de la siguiente tonalidad y así se ha indicado.
Será, pues, el acorde cadente. Es muy posible que el lector tenga una sensación
extraña al oír la progresión y que hay algo que no acaba de encajar. Eso es porque el
acorde cadente usado para modular es la dominante del modo mayor relativo del tono
al que estamos modulando. En el ejemplo de la figura 7.4, hemos usado Re mayor
como cadente de La dórico, pero resulta que éste es dominante de Sol mayor, relativo
a su vez de La dórico. El oyente espera caer en Sol mayor en lugar de La menor
debido a la costumbre que tenemos de oír obras tonales y por esa razón el fragmento
propuesto no suena tan modalmente contundente. Por el contrario si usamos el acorde
del grado II (que es el VI del tono que abandona y que también tiene la nota
característica) como acorde cadente resultará más convincente (figura 7.5), y que se
puede escuchar a continuación en la misma pista. En este caso nos encontramos
realmente con un problema de costumbre y adaptación del oído a ciertos modelos.
Muy posiblemente una persona que se haya educado en un lugar donde no se
conozca la tonalidad no encuentre problemas al escuchar la progresión de figura 7.4.
Sin embargo, si usted va a componer para públicos acostumbrados a la tonalidad es
mejor que no la use, sustituyéndola por la de la figura 7.5.
95
Fig. 7.5: Progresión dórica usando el II grado como acorde cadente.
Finalmente pondremos otro ejemplo de progresión en modo mixolidio, que se
puede escuchar también en la pista 24 a continuación de las dos anteriores (figura
7.6). En el caso mixolidio no aparece el problema del caso dórico ya que ninguno de
los acordes cadentes es dominante del relativo mayor o menor al que se desea
modular.
Fig. 7.6: Progresión mixolidia.
Referente a usar los acordes disminuidos en una pieza modal hay que decir
que éstos pueden ser acordes de paso normales o cadentes. En el primer caso hay
que tener cuidado de no resolver el tritono de la forma tonal habitual (véase apartado
7.4) ya que, en caso de hacerlo, se abandonará inmediatamente la modalidad para
ingresar en el tono mayor o menor relativo correspondiente (a no ser, naturalmente
que sea eso justamente lo que se desee). Si se usa como cadente el tritono se
resolverá de forma inusual, buscando las notas más próximas a la tónica (en
ocasiones alguna de las notas del tritono no hará falta modificarla pues pertenece al
propio acorde de tónica).
Se pueden usar acordes de séptima, no de dominante, como cadentes. En el
modo dórico, el acorde cadente de séptima une precisamente los dos de grados II y IV
que son los cadentes perfectos habituales. En el mixolidio también ocurre lo mismo,
refundiendo en la séptima los acordes cadentes de los grados V y VII. El frigio y lidio
unen VII y II.
7.3 Multitónica modal
Igual que se habló en el apartado 6.11 sobre progresiones tonales que cierran
figuras en el círculo de quintas, se puede hacer exactamente igual con otros modos.
En ese caso, la diferencia con lo anterior es que se salta a tonalidades que no son
vecinas. La figura 6.28 nos indica las tonalidades a las cuales ir saltando lo mismo que
cuando se usaban modos mayores o menores. Por ejemplo, y basándonos en la
misma figura, se puede hacer un ciclo saltando de Re a Si, Lab y Fa, todos ellos en
modo frigio, dórico o cualquier otro. El proceso de modulación se hará mediante los
acordes cadentes correspondientes.
El resultado se puede ver en la figura 7.7, que ha empleado una secuencia
semejante a la de la figura 7.6, excepto el cadente que se ha puesto el VII grado del
siguiente tono. La progresión se encuentra en la pista 25.
96
Fig. 7.7: Progresión multitónica mixolidia en terceras menores.
7.4 Intercambio tonal e intercambio modal
El sistema que se obtuvo con la tonalidad resultó ser muy sólido y permitió una
enorme evolución de la música que en otras culturas no sucedió. Incluso en algunas
de ellas, como la árabe o la india, no llegaron a desarrollar polifonía, es decir, la
emisión simultánea de sonidos formando acordes, centrándose mucho más en el ritmo
con el acompañamiento de instrumentos de percusión. Fue en la cultura europea
donde nacieron las grandes obras sinfónicas y corales, con complejísimos tejidos
armónicos y contrapuntísticos y que, pasado el tiempo, acabó influyendo también a
otras culturas. Hoy en día es normal encontrar, por ejemplo, compositores japoneses y
africanos cuya música en poco se diferencia de los compositores europeos. En la
música pop de todo el mundo aparece un fuerte sustrato tonal y de acompañamiento
en forma de acordes europeos teñidos con elementos tradicionales de esa cultura
concreta.
La sensible, con su tendencia a desembocar en la tónica, y el tritono fueron dos
de los elementos más robustos de la música occidental. En el momento en el cual el
modo menor consiguió sensibilizar el VII grado optó a poder mezclarse con su relativo
mayor, confiriendo un gran interés y riqueza a las obras. Este intercambio basado en
compartir algún elemento ha dado lugar a otras herramientas que están a disposición
del compositor, aprovechando esos puntos en común entre dos elementos para que
actúen como una bisagra y poder pasar así de uno a otro. Un buen ejemplo de ello era
el tritono que podía resolver, bien hacia dentro, bien hacia fuera, sin más que
intercambiar los papeles de la séptima y de la sensible (dominantes sustitutas). Con
este mismo criterio se pueden incorporar los intercambios tonales y modales.
El primero consiste en cambiar de tonalidad conservando como elemento
común la armadura, es decir, flexiones a los modos relativos, usando para ello el
recurso de la cadencia rota. Históricamente esta cadencia hace que la dominante del
modo mayor resuelva de forma sorpresiva en el relativo menor dando un giro
inesperado a la pieza. Derivar al modo menor sigue siendo lo más habitual, pero
puede hacerse también a cualquiera de otros relativos, permitiendo que el tritono
resuelva de manera diferente según sea el caso. Incluso se puede proceder a la
inversa, aunque es menos usual, resolviendo el V grado del modo menor en el relativo
mayor. La razón es que la resolución del tritono del V grado del modo menor no es tan
buena como al revés, debiendo resolver en sentido contrario como una dominante
97
sustituta y sin sensible. El tritono puede, no obstante, resolver de forma normal cuando
deriva al VI grado, igual que la cadencia rota en modo mayor. En este caso, no
obstante, se mueve la tonalidad hacia el tono vecino VI mayor. Si estamos en La
menor, desembocaríamos en Fa mayor. Sin embrago, esta flexión no es estable y el
discurso natural de la música tiende normalmente a regresar a La menor.
Dependiendo de ello las clasificaremos en resolución tonal, o resolución
modal. Entenderemos por resolución tonal del tritono aquella que lo hace por
movimiento contrario de ambas notas. La resolución tonal es más contundente y
arrastrará inevitablemente la música hacia un sistema tonal.
La resolución modal es más libre y lo hace por movimiento oblicuo de las
voces29. La resolución es válida pero más débil que la tonal. Cuando un tritono realiza
una resolución modal puede hacer cadencias rotas a todos los modos relativos con los
movimientos que se detallan en la tabla XVII. Aunque la sensible no tiene oficio de tal,
por ser un concepto plenamente integrado dentro del sistema tonal, se ha mantenido
la nomenclatura por sencillez para el lector. En modo mayor las notas serían: Fa
(séptima) y Si (sensible). También se han explicitado estas cadencias en la figura 7.8.
Nótese que la cadencia rota al relativo mixolidio es impracticable porque el acorde de
dominante del modo mayor (Sol) es la propia tónica mixolidia. En cuanto a la cadencia
rota al relativo lidio, suele combinarse a continuación con una plagal desde IV a I, cosa
muy frecuente en música pop.
tipo de flexión
menor
mayor
mayor VIº
lidia
dórica
mixolidia
frigia
sensible
sube
baja
sube
sube
baja
se mantiene
se mantiene
séptima
baja
sube
baja
se mantiene
se mantiene
sube
baja
uso
muy frecuente
poco usada
poco usada
usual (pop)
poco usada
impracticable
usual
Tabla XVII: Cadencias rotas modales.
Fig. 7.8: Cadencias rotas.
Estas cadencias se pueden escuchar en la pista 26. No hay que olvidar que la
resolución de un tritono es un elemento también del sistema tonal y que estas
cadencias pueden inducir al espectador a pensar que se ha cadenciado, o flexionado,
a los tonos mayores o menores correspondientes, en lugar de dóricos, frigios, etc. Por
ejemplo, y regresando a la figura 7.8, en los compases 3 al 6 se pueden interpretar las
flexiones a Fa mayor (no al relativo lidio), Re menor (en lugar de Re dórico), o Mi
menor (en lugar de Mi frigio). Esta ambigüedad puede, no obstante, ser usada con
habilidad por el compositor para jugar con el paso precisamente a esas otras
tonalidades, lo que tampoco resulta abrupto por tratarse de tonos vecinos.
Por último, y antes de pasar al siguiente tema, hay que recordar que este
tritono se ha puesto aislado con plena intención, ya que puede pertenecer tanto a
acordes de dominantes normales como de sustitutas y disminuidas con o sin séptima,
abriendo una enorme abanico de posibilidades. Para más detalle consulte un tratado
de armonía moderna.
29
En música se entiende por movimiento oblicuo aquel en el que una de las voces permanece quieta
mientras se mueve la otra.
98
Por otro lado está el intercambio modal, que es aquel que cambia de modo
conservando la tonalidad. Como ejemplo podemos poner un fragmento en Do mayor
que flexiona a Do menor, dórico, frigio, etc. Se pueden usar, sin mayor preámbulo,
acordes propios de estos modos, teniendo la precaución de no poner séptimas de
dominante que arrastren nuevamente a la música hacia un carácter decididamente
tonal. Se puede hacer esto con plena libertad siempre y cuando el compositor controle
en cada momento las sonoridades y efectos psicológicos, evitando que tanta libertad
se le vaya de las manos y produzca piezas incomprensibles. Cuando se trata de jazz,
resulta muy flexible, pues en este estilo se permiten muchas licencias, manteniendo en
infinidad de ocasiones un carácter de la pieza marcadamente ambiguo que es,
justamente, lo que se pretende. Desde luego serán necesarias más precauciones en el
caso del pop o de la clásica, en donde el público puede quedar desconcertado si el
compositor no centra lo suficientemente bien los cambios modales y tonales que
pretende hacer.
La materia del intercambio modal es extensa y no es nuestro propósito el
detallarla pues está contenida en los tratados de armonía moderna. Como siempre, el
objetivo de este libro es buscar el porqué de las cosas y entroncarlas con un
fundamento científico, encauzándolas desde un argumento lógico. Por ello, diremos
que los intercambios modales más interesantes son aquellos que emplean acordes de
IV grado del modo menor. Valga una vez más como ejemplo Do mayor y hagamos un
intercambio modal con Do menor usando el IV grado, esto es Fa menor. Este acorde
tiene la ventaja de usar el grado VI alterado como bemol y entronca con la familia de
acordes tratados en el apartado 6.8 referente a otros usos del tritono, concretamente
con el acorde IIm7(b5) del que ya se habló allí. Un ejemplo más sería bVIIm7, acorde
propio del Do frigio, que también posee el VI grado de Do mayor alterado.
Hay un intercambio modal de mayor a mixolidio muy frecuente. Este uso
procede de reforzar el acorde del VII grado que, por ser disminuido, resulta débil. Si en
lugar de usar este acorde disminuido, bajamos la sensible un semitono, obtenemos el
acorde mayor bVII, que lo convierte en un intercambio modal mixolidio. Es muy usado
en el pop y el rock, pero también en el cine, y su uso sinfónico es interesante. Yo lo
uso frecuentemente, y el lector puede escuchar esta cadencia en la pista 27.
Existen unos acordes especiales que han sido y continúan siéndolo, de uso
muy frecuente y emparentados con el intercambio modal. El primero de ellos, llamado
sexta napolitana, aparece como la primera inversión del acorde bII propio de un
intercambio modal con el frigio correspondiente. Desemboca en la dominante tonal o
en la propia tónica aunque, en este caso, hay que tener en cuenta que puede dar
sonoridad de música española y a lo mejor no es eso lo que se pretende. Los otros
son acordes llamados de sexta aumentada, ya que en ellos aparece este intervalo por
usarse normalmente también en primera inversión. Se conocen tres de ellos con los
nombres de sexta francesa, italiana y alemana. Todos ellos comparten una vez más
tener alterado el VI grado como bemol.
La sexta francesa es la primera inversión del acorde II7(b5). Este grado,
normalmente menor en el modo mayor de la tónica (Re menor en Do mayor), es ahora
mayor y puede considerarse como la dominante de la dominante, y en ella desemboca
habitualmente. Las sextas italiana y alemana son en realidad acordes sobre el grado
VI bemol que funcionan como dominantes sustitutas haciendo una cadencia rota lidia
(ver figura 7.8 y tabla XVII).
7.5 Progresiones de acordes de undécima. Politonalidad
Aunque las séptimas y novenas tienen la capacidad de formar series, al tratar
de ampliar estos conceptos a undécimas y decimoterceras, nos encontraríamos con el
mismo escollo que al hablar de los acordes correspondientes. No siendo estos
intervalos armónicos claros (el Fa ni siquiera lo es), ya se dijo en su momento que las
99
undécimas y decimoterceras se empleaban como tensiones. En la figura 7.9 se ha
construido un acorde de undécima e, inmediatamente, vemos que éste se puede
descomponer en dos trozos bien diferenciados. En
el bajo se encuentra un acorde de Do mayor,
mientras que en la parte superior el acorde es un
Sol séptima de dominante G7. Su tritono invita al
acorde a resolver sobre Do mayor, y si queremos
mantener que este nuevo acorde sea también de
undécima, el bajo deberá moverse a Fa mayor y
añadir arriba un Si bemol (representado entre
paréntesis en la fig. 7.9). Como ya sabemos, este
acorde es inestable por su condición de undécima
Fig. 7.9: Enlace de undécimas.
y, a su vez, se moverá hacia el siguiente, creando
la progresión. Ahora bien, esta serie tiene una peculiaridad que la diferencia de las
series de séptimas y novenas y es que, si nos fijamos en ambos pentagramas por
separado, el bajo ha realizado una cadencia perfecta (aunque sin séptima) de Do a Fa,
mientras que el acorde superior ha hecho un enlace de G7 a C7, que es otra cadencia,
pero esta vez de Sol a Do. Es como si la parte del bajo estuviese en Fa mayor
mientras que la superior lo fuera en Do mayor, dos tonalidades superpuestas.
La siguiente célula de la progresión está obligada a resolver su séptima de
Fig. 7.10:Enlaces de undécimas.
arriba en F7, otra nueva séptima, y el acorde del bajo a Sib, superponiendo
nuevamente dos tonalidades. Podemos escuchar una serie de este tipo en la pista 28
y que, a su vez, es el fragmento de la figura 7.10. El resultado es muy semejante a la
serie de séptimas ya que, no en balde, la undécima tiene función de dominante
aunque esta vez la séptima de dominante esté unida a la tónica. Nótese el doble
cifrado en donde aparecen los acordes superpuestos a partir de la primera viola.
En estos acordes hay un problema, consistente en la formación de una novena
menor entre la tercera y la undécima del acorde. Esto ya se anunciaba en la figura
6.19 y no es una novedad, siendo la solución eliminar la tercera, lo que deja ambigua
la modalidad del acorde sobre el que se construye. Además, también existe un tritono
100
que necesita resolver por lo que el siguiente acorde está obligado y, volviendo a ser
una dominante, resolverá una y otra vez.
La novena menor y el tritono se evitarían alterando la undécima medio tono
ascendente (Fa pasará a Fa# en el ejemplo) con lo que la parte superior quedaría
definitivamente estabilizada en Sol mayor, sin disonancia agresiva ni necesidad de
resolver. Este fenómeno se denomina politonalidad, y permite que una parte de la
obra se mueva en la parte superior en una tonalidad mientras que la de abajo lo haga
en otra. Al no haber obligación de resolver, el discurso melódico y armónico queda
libre, a condición de formar acordes de novena y dejar la undécima para resolución de
dominante simultánea para ambas tonalidades. Cuando se respeta esta norma, la
politonalidad genera piezas agradables, pues sus disonancias están construidas de
acuerdo a una tonalidad extendida. En el periodo de rotura de reglas del siglo XX, la
politonalidad no sigue ninguna regla, pero si está sabiamente conducida, puede
generar efectos interesantes. No siempre es así y en ocasiones la música resulta
demasiado difícil.
Fig. 7.11:Politonalidad de dos niveles.
En la politonalidad “ortodoxa”, por llamarla así, la tonalidad superior está
supeditada armónicamente a la inferior pues esta última es la que se halla en el bajo.
Por el contrario, la tonalidad superior es la que se escucha, por ser la aguda, y la
cadencia final deberá reposar en ésta. La relación entre las tonalidades es muy clara y
está gobernada por la formación de acordes de undécima. Sobre la tónica del bajo se
traza en la voz superior el V grado, que será, a su vez, primer grado de la tonalidad
superior. A continuación se respetarán los mismos grados arriba y abajo, tal como se
ha escrito en la figura 7.11, es decir, que sobre un acorde de IIº grado abajo le
corresponde también otro IIº grado de la tonalidad de arriba. El fragmento se puede
escuchar en la pista 29. Aunque en el pentagrama de arriba el Fa es sostenido y
natural en el de abajo, no coinciden nunca verticalmente.
Estos cambios se pueden aprovechar en líneas melódicas como la de la
trompa en el cuarto compás, dando así un toque singular y algo sorprendente.
Aunque una ventaja de la politonalidad es haber eliminado las novenas
menores, hay, empero, un problema sobre el acorde de la sensible, porque
entran en conflicto alteraciones, simultáneamente naturales y sostenidos en la
misma vertical.
101
Siendo la tonalidad superior la que domina eliminaremos la nota en conflicto de la
parte inferior.
Cuando los acordes que intervienen son de decimotercera el resultado es
análogo, pero añade una tercera superposición tonal, a su vez un Vº grado del Vº de la
tonalidad inferior. El problema en la sensible que había en la doble tonalidad se repite
ahora en la triple, siendo tres las notas en conflicto, de las que habrá que eliminar dos,
normalmente las quintas en este mismo acorde de sensible de las dos tonalidades
inferiores. La quinta de la tonalidad superior forma novena menor como se ve en la
figura 7.12 (pista 31), y en la que se han detallado los diferentes acordes en tres
tonalidades superpuestas como decimoterceras.
Fig. 7.12:Sucesión de acordes en una politonalidad de tres niveles.
Sobre una vertical los acordes siempre estarán en relación de quinta
ascendente. Sobre la sensible se eliminarán la notas en conflicto de la tonalidad
inferior, que son las notas en negro de la figura 7.12. Siempre que se respete esta
disposición será posible aplicar conceptos dichos con anterioridad, tales como
multitónicas y progresiones, tanto tonales como modales, vigilando siempre la
formación de posibles novenas menores y tritonos que tengan que resolver.
En líneas generales podemos enunciar las siguientes reglas para la
politonalidad:
Se pueden apilar hasta un máximo de tres tonalidades.
En una misma vertical deberán coincidir los mismos grados de los acordes
respectivos de cada tonalidad.
En los acordes de sensible se deben suprimir las quintas, sustituyéndolas por
las fundamentales del acorde de sensible de la tonalidad inmediatamente
superior.
Evitar presencia de notas con diferentes alteraciones en notas de paso.
Cada tonalidad superior estará a una distancia de quinta de la inmediata
inferior.
7.6 Células modales simples. Floreo armónico
Hasta ahora, al plantear una progresión, ya sea tonal o modal, se suponía que
entre celdas existía un determinado acorde que conectaba ambas. En el caso de
progresiones tonales, dicho acorde es la séptima de dominante de la siguiente
tonalidad, y en las modales esta misión se reserva al acorde cadencial
correspondiente al modo sobre el cual se va a caer. Reduciendo al caso más simple,
cada celda de una progresión puede estar ocupada simplemente por un solo acorde,
que quedaría relegado a uno de séptima o de novena como si se tratase de una
modulación permanente sin quedar fija en una determinada tonalidad (figuras 6.30 y
6.31), lo que dio pie al sistema multitónica. Sin embargo, en la figura 6.33 también se
102
propuso una progresión en la cual, aprovechando la fuerza de la misma, no existen
acordes bisagra y aparece simplemente un modelo que se repite.
Uniendo ambas filosofías, es decir, la de carecer de enlace entre tonalidades y
la de reducir a un solo acorde la célula de la progresión, se obtiene una progresión por
células modales simples, y que queda constituida mediante simples acordes
mayores o menores ya que hemos eliminado la necesidad de modular y tener, por
consiguiente, que ser forzosamente séptimas o novenas. Aplicando sobre estas
progresiones el concepto de la multitónica obtendríamos progresiones cíclicas
multitónica de células modales simples, un nombre bastante largo que podemos
resumir en progresiones modales simples, y que constituyen un potente recurso que
ha sido y sigue siendo una de las herramientas más empleadas en música de cine.
Re
La
Sol
Mi
Do
Fa
Sol
Si
La
Fa
Si
Re
Do
La
Sol
Mi
Re
Fig. 7.13 a: Progresiones modales simples mayores.
Al hablar de progresiones, se dijo en 6.12 que los intervalos del espaciado
entre acordes son más favorables con quintas y cuartas, después terceras y
finalmente segundas. En el caso presente, las quintas resultan demasiado amplias y
ligadas a la tonalidad por lo que suenan más tradicionales y se emplean menos. Cada
celda de la progresión está controlada por un único acorde y el paso de una a la
siguiente no requiere de ninguna fórmula de paso, es más, lo abrupto del cambio
forma parte, precisamente, del efecto y la fuerza de estas series. Dentro de cada celda
se puede desarrollar una melodía variada y coherente con el acorde que la mantiene.
Esto rompe la progresión melódica y enriquece y mejora el fragmento como veremos
en los siguientes capítulos. El concepto de progresión queda, así, reducido a
escalones armónicos equidistantes en la rueda de quintas. En el terreno psicológico es
de destacar que con acordes mayores el efecto que se consigue es de grandiosidad o
de tensión, como en la figura 6.32 en donde tenemos una progresión de este tipo. En
cuanto a las de acordes menores el efecto tiene un tinte decididamente sobrecogedor,
103
por lo que se emplea fundamentalmente en temática fantástica, ciencia ficción y
catástrofes.
Re
La
Sol
Mi
Do
Fa
Sol
Si
La
Fa
Si
Re
Do
Mi
Re
La
Sol
Fig. 7.13 b: Progresiones modales simples menores.
En las figuras 7.13 a y b vemos dos ejemplos (pista 32) de estas progresiones.
En la a las células se componen de acordes mayores espaciados como aparece en el
círculo de quintas, a distancia de tercera mayor. En la b las células son de acordes
menores y están espaciadas por terceras menores. También se pueden distanciar
segundas mayores y menores, así como tritonos, quedando reducidas a dos células
en este último caso.
Con estos conceptos podemos abordar el floreo armónico. En música se
entiende por floreo una flexión corta a otra nota y regresar acto seguido a la primera
como si fuera un balanceo. Aplicando esto mismo a la armonía, un floreo armónico
es igualmente un balanceo entre dos acordes. El floreo puede ser tonal o modal. Los
floreos tonales se producen empleando acordes de la tonalidad donde nos
encontramos. Por ejemplo, podría ser C – F – C, que se emplea en el Aleluya de
Händel. Como floreos modales son de uso común las cadencias mixolidias como
podrían ser C – Bb – C, ó C – Gm – C, muy usada esta última en el impresionismo.
Naturalmente también se pueden usar los floreos con células modales simples, y
fueron los precursores de las progresiones, siendo un ejemplo significativo Neptuno,
de la suite Los Planetas de Gustav Holst. Hay floreos a distancia de semitono en la
banda musical de la película Species, de Christopher Young. Yo he empleado este
recurso numerosas veces, por ejemplo en la pista 33 aparece un floreo de acordes
mayores a distancia de tritono en mi 9ª sinfonía.
Ninguno de los recursos de los que hemos hablado es rígido y, lo mismo que
Bach cortaba una progresión antes de resultar reiterativo, no hace falta que en una
progresión se completen todos los escalones. Pueden mezclarse células menores con
104
mayores y viceversa. Incluso es posible hacer un único escalón en un momento
determinado, lo que resulta a veces muy efectista. Por ejemplo, John Williams realiza
un giro con acorde menor a distancia de tritono en la película Harry Potter en el vuelo
del dragón sobre el lago. En mi 8ª sinfonía (pista 34) aparece una progresión simple
mixta, con acordes mayores y menores. Con estos elementos ha quedado completada
la paleta de recursos que el compositor posee en la actualidad en lo que a tonalidad y
modalidad se refiere. En el capítulo 10 hablaremos del último recurso, que es el
atonalismo y sus formas análogas.
105
CAPÍTULO 8
El arte y la información
8.1 Teoría de la información
La teoría de la información fue introducida por C.E. Shannon y W. Weaver con
el objeto del tratamiento de señales digitales e informáticas; la propia palabra indica
que el elemento básico es la información. Con el tiempo se comprobó que, al igual que
suele ocurrir en determinadas disciplinas matemáticas, que resultan aplicables en
otros campos, la teoría de la información podía utilizarse en otros ámbitos muy
diferentes como la sociología, el periodismo y el arte.
La teoría en su origen posee un formalismo matemático como corresponde a
una aplicación dentro de la transmisión de datos entre máquinas. Sin embargo, y como
ya se ha apuntado, su incorporación en otros escenarios en donde el elemento
humano se integra dentro de la transmisión de información, como el arte, obliga a una
mayor flexibilidad de planteamientos puesto que se adaptará con mayor dificultad a
tratamientos matemáticos rigurosos.
En estos casos, lo más oportuno suele ser recurrir a grandes muestras de
sujetos de experimentación (en donde es frecuente tener en cuenta su educación y
grado cultural) y realizar los estudios estadísticos oportunos que engloben un
comportamiento universal para un estímulo determinado, desechando la opinión de
sujetos singulares cuya percepción de la realidad se aparte de la media. Hay que
puntualizar que la opinión de tales sujetos es absolutamente respetable, pero no es
representativa, y debe eliminarse siempre en cualquier proceso estadístico.
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
7
6
5
4
3
2
1
2
3
4
5
a
6
7
8
9
10
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
b
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c
Fig. 8.1: Gráficos sobre encuestas de opinión.
Al realizar un estudio de este tipo es menester tener en cuenta la dispersión de
datos, consistentes en la mayor o menor diferencia de todos ellos con respecto al valor
medio. Cuanto menor sea la dispersión, mayor será la universalidad de la ley, en tanto
que una dispersión grande nos indicará que la calidad de la obra es discutible, y si se
divide la opinión es porque el tema está sujeto a polémica. Por ejemplo, si se hace una
encuesta sobre si la Tierra rota o no, el casi cien por cien de los encuestados
responderá afirmativamente, acumulando los resultados en torno a un valor único. Si
la encuesta fuese sobre la práctica, o no, del aborto las respuestas no serán unánimes
y abarcarán áreas más o menos extensas. En preguntas simples como ésta en donde
las respuestas se relegan a tres posibilidades: «sí», «no» y «no sabe, no contesta»,
obtendremos tres montones de datos con tres alturas diferentes. Al hallar la media
aritmética llegaremos a la conclusión de si un país dice si o no al aborto, pero eso no
nos informa de si la decisión ha sido o no reñida o el nivel de importancia que la gente
le ha dado (medido por las abstenciones). En otras ocasiones puede existir un mayor
abanico de respuestas. Por ejemplo, para aportar información sobre asuntos de
estética musical, de la que se tratará en el último capítulo, se ha realizado un
experimento sociológico proponiendo puntuar unas determinadas piezas de cero a
diez. Con las respuestas se hace una representación gráfica de la calificación de la
106
obra en función del número de respuestas obtenido para esa determinada calificación,
con lo que se consigue algo semejante a la figura 8.1.
El aspecto del dibujo nos da mucha información sobre la obra, si ha sido
exitosa o un fracaso y el grado de los mismos, si levanta o no polémica o si no existe
ninguna norma aparente. Por ejemplo, la parte a de la figura corresponde a una obra
básicamente mala (dispersión moderada con aglomeración de votos en torno a una
calificación baja). Aún puede acentuarse este efecto si, en lugar de varias barras, se
hubiese obtenido una sola, sin votación en el resto de las calificaciones. En tal caso la
decisión toma la denominación de indiscutible, puesto que todo el mundo está de
acuerdo. En b se tiene una obra polémica que ha dividido al público entre quienes
opinan que es buena (derecha) y otros que creen que es mala (izquierda), aunque
mayoritariamente se concluye que no ha gustado puesto que predomina la parte
izquierda. En este caso la encuesta se podría complementar con otros datos, tales
como conocimientos musicales o costumbre de escuchar conciertos, etc., que arroje
luz sobre el por qué ha gustado a un grupo reducido. El caso c es mucho más
ambiguo, pues resulta imposible saber una ley clara, ya que la dispersión es excesiva
y no permite establecer norma alguna sobre la calidad de la obra.
8.2 El concepto de información.
En la teoría desarrollada por Shannon y Weaver aparece un concepto
matemático sobre la información, surgido con objeto de cuantificarla y poder ser
tratada posteriormente. Para entender qué es la información es menester comenzar
previamente con una pequeña disquisición intuitiva. Por ejemplo, estamos
acostumbrados a escuchar a personas que hablan mucho y dicen poco o nada útil.
Eso suele ser porque la mayoría de las palabras y frases que emiten están vacías de
contenido, carecen de información. Pero ¿cómo es posible que una persona sea
capaz de hablar tanto tiempo sin decir nada? La respuesta es simple: todo lo que dice
es algo sobradamente conocido. Existe un ejemplo muy gráfico y aclaratorio. A lo
mejor cayó en sus manos en cierta ocasión un papel en donde se indicaba cómo crear
un discurso para un político. Había varias columnas con frases hechas y que no había
más que unir de forma aleatoria, produciendo una disertación aparentemente
coherente que podía prolongarse indefinidamente. Las frases, aunque
gramaticalmente correctas, no contienen una información novedosa, es siempre la
misma. Eso hace que, quien las escucha pierda el interés rápidamente al comprobar
que no hay nada nuevo a tratar. Eso es básicamente la información: novedad y
sorpresa. Cada elemento nuevo que aparece en un discurso se llama dato. En el
momento en que un dato se repita, deja de serlo, y pasa a ser material redundante,
incluso basura si la repetición es grande. Insistir en lo mismo suele ser perjudicial para
un discurso.
Ahora bien, una abundancia excesiva de datos originales también resulta
negativa cuando el receptor es humano. Un cerebro no es una computadora y un
aluvión de datos llega a producir cansancio y la consiguiente desconexión al cabo de
cierto tiempo. Esto también es importante a la hora de crear arte, que puede tomar
forma como una complejidad excesiva en una obra plástica, o una duración
inadecuada en el caso de literatura, teatro y música. Otra importante y radical
diferencia entre la teoría matemática de la información y el arte consiste en la propia
naturaleza del receptor quien, lejos de ser una máquina, es un ser humano con
potestad para aceptar o rechazar la información recibida. Esta circunstancia hace que
la cadena básica propuesta en teoría de la información de: fuente→medio
transmisor→receptor, haya que revisarla puesto que en el caso de una obra de arte, la
fuente de información, es decir, el artista, se ve influido por la reacción que pueda
tener el receptor ante su creación. Es relativamente corriente que en la época actual
se desprecie por completo dicha reacción, pero en tal caso no debería sorprender que
el último paso de la cadena se vea seriamente afectado. No se puede pretender en
modo alguno que el receptor humano se amolde de forma dócil a una información que
107
le desagrade puesto que es soberano en sus decisiones de aceptar o no las
propuestas del artista.
En el arte también hay información, aunque de naturaleza diferente al caso de
la informática, y es precisamente esa información la que resulta importante y diferencia
una obra buena de una mala. No hay nada peor en el arte que algo no diga nada, que
aburra o que canse, y eso es porque la información no existe o está mal distribuida. Se
dice que algo es manido cuando no aporta nada nuevo, y no es otra cosa que la
ausencia de datos. En el cine se abusa constantemente de frases hechas como:
“¿estás bien?”, “tengo que irme”, o “todo saldrá bien”, y dejan de ser información útil
para el espectador.
Los datos necesitan un soporte sobre el que transmitirse. Por ejemplo, en la
radio existe una onda senoidal de frecuencia fija sobre la cual se modula en amplitud o
frecuencia determinada información como diálogos, música, etc. La escultura necesita
un bloque de piedra o barro sobre el que comenzar a trabajar, la literatura papel y tinta
o un ordenador, la música una onda sonora que ir variando en frecuencia y amplitud,
etc. Este soporte lo llamaremos portadora y se define como un fenómeno o ente
físico, matemáticamente definido y con la característica de ser perfectamente
predecible, es decir, que un estado del sistema determina inequívocamente el
siguiente. Por su propia definición, la portadora no lleva información. Si algo es
predecible por poderse deducir del estado anterior no hay novedad, carece, pues, de
datos. Por ejemplo, si usted es capaz de saber el final de una película, por todo lo que
ha sucedido anteriormente, dicho final no es información y quedará decepcionado,
había demasiada portadora en esa película. Dicho esto, definiremos como señal
aquella portadora que contiene una cierta información en forma de datos.
Como hemos apuntado antes, la información conlleva sorpresa, de ahí que el
artista deba ingeniárselas para crear estructuras de las que no se pueda deducir el
siguiente paso. En teoría de la información se dice que la cantidad de información de
un dato es tanto mayor cuanto más sorpresivo sea. En lenguaje matemático la
“sorpresa” se mide con la probabilidad de que este dato sea emitido. Cuanto más
improbable sea el dato, tanto mayor será la sorpresa que origine su aparición. Imagine
de nuevo el final de una película. Un desenlace inesperado implica mucha información
y el espectador se ve tanto más gratamente sorprendido. Sobre esto hay, empero, que
puntualizar muy bien que el dato sorpresivo debe ser, además, coherente, esto es,
que guarde una relación lógica con el resto de la información precedente, no puede
ser discordante porque decepcionará sin duda. Una vez más en el ejemplo de la
película, un final absurdo, inconexo y disparatado, por muy sorpresivo que resulte,
carece de ilación con el resto y parecerá extraído de otra película diferente y añadido
posteriormente a la primera. El espectador se sentirá defraudado y, en ocasiones,
incluso irritado, ya que puede llegar a pensar que se están burlando de su inteligencia
tomándole por un estúpido a quien va a parecerle coherente ese final. Esto es
igualmente válido para datos intermedios, que no pueden intercalarse sin lógica
alguna. Cuando sucede esto, es decir, la interpolación esporádica de elementos que
no guardan relación con la información principal, se denomina ruido, que se define
como cualquier variación aleatoria de la señal que la altere o distorsione. Cuando las
alteraciones son lo suficientemente grandes como para que la señal no sea en
absoluto reconocible, nos hallamos ante un ruido puro. Los datos son de carácter
aleatorio y sin relación ninguna entre ellos.
Se ha dicho que en una señal puede aparecer el mismo dato repetidas veces
con la consiguiente pérdida de información. A esto se le llama redundancia, y aunque
parece negativo a simple vista, es muy útil en las señales ruidosas porque permite
separar bien la señal del ruido simplemente por insistencia. En un debate en los que
los interlocutores se cortan constantemente la palabra vemos con frecuencia que el
interrumpido insiste en una frase, repitiéndola constantemente para que prevalezca
sobre el ruido introducido por quien le cortó el discurso. Este es el mismo efecto que
produce un dato redundante en una señal ruidosa.
Pero también podría pasar que los datos intercalados en forma de ruido
tuviesen coherencia entre sí, y entonces lo que se estaría produciendo sería una
108
interferencia entre dos señales, siendo el ruido en este caso una señal parásita que
contamina la principal, que es la que interesa. En el mundo técnico se sabe que
cualquier muestra natural contiene dos componentes: la señal y el ruido, aunque por lo
general, el ruido suele presentar una intensidad menor que la señal. La mayor parte de
las veces, para un ingeniero, la señal es lo importante y debe filtrar el ruido, que es lo
que molesta, pero en otras el ruido también tiene información, diferente a la de la
señal, y guarda relación con las causas que crean la distorsión de ésta. Puede que, si
bien el ruido sea una señal diferente, se halle relacionada con la principal y entonces
lo que hace es complementarla. El ruido será tanto más perturbador cuanta menos
relación guarde con la señal principal.
En la manifestación artística puede, y en ocasiones debe, existir una cierta
cantidad de ruido para que añada interés; de hecho, el propio flujo de datos puede
considerarse como un ruido frente a la portadora. Atendiendo a la definición de esta
última, su perfecta predictibilidad está reñida con el propio concepto de arte, en donde
la creatividad de la persona es la que añade el factor de sorpresa imprescindible que
lo caracteriza.
Si bien en el mundo tecnológico el concepto de portadora y de señal es algo
muy bien definido, en terrenos como el arte, éste resulta mucho más difuso, relativo y
no tan sujeto a una norma matemática indiscutible. Por ejemplo, en el caso de la
música, o del sonido en general, el primer ejemplo de portadora que se nos vendría a
la cabeza sería el de una onda senoidal de frecuencia constante y extensión infinita.
Este caso concuerda con el concepto intuitivo de lo que es un sonido puro, pero no es
menos cierto que el ritmo constante del batido de un tambor también sería de alguna
manera una portadora, ya que es perfectamente predecible. Lo mismo sucede cuando
se tiene un caso más complejo como podría ser una serie de séptimas. Si hemos
tomado como portadora una onda senoidal infinita, es evidente que cualquier
modulación de ésta para crear música sería una señal, como el caso propuesto de la
serie de séptimas. No obstante, si la serie se prolonga, se convierte en un ente
completamente predecible y pasaría a ser una portadora aunque, eso sí, de mucha
mayor complejidad. Dicho grado de complejidad hace que en esta nueva portadora
exista algo de información y consecuentemente, despierte un interés. Es la insistencia
en una gran cantidad de celdas de cualquier progresión la que la convierte en
predecible hasta formar una nueva portadora. Ya se comentó anteriormente el
problema de la pérdida de interés por la repetición de un dato hasta llegar al fenómeno
de la redundancia. Cuando nos encontramos en el caso de una serie muy larga, lo
más práctico será añadir algo de ruido sobre ella. Este ruido consiste en no copiar
exactamente la celda siguiente como un calco transportado de la anterior, sino
introducir determinadas variaciones en las posiciones de las voces, inversiones, etc.,
que reconviertan la serie en una nueva señal, abandonando su condición de
portadora.
En las portadoras complejas aparece el fenómeno de dispersión de datos
experimentales. En la parte a de la figura 8.1, se ha representado la respuesta de un
público frente a una portadora compleja (pista 35), mientras que cuando se hizo el
experimento con una onda simple sin variación de ningún tipo (pista 36), el colectivo
reaccionó unánimemente (con una sola barra) considerando que, como obra musical,
una portadora pura carecía por completo de calidad artística.
8.3 Relación señal/ruido.
Acabamos de ver que los conceptos de portadora y de señal pueden
confundirse fácilmente a medida que aumenta la complejidad de un sistema, como
sucede en una obra de arte. Eso plantea igualmente un problema en el tratamiento
riguroso de tales sistemas. Por ese motivo, la herramienta más aceptable para su
estudio es la estadística y la experimentación con grupos humanos. A medida que
aumenta la complejidad de un sistema, también lo hace la dispersión de opiniones. En
los siguientes capítulos aplicaremos la teoría de la información a dos sistemas de
complejidad diferente. El primero será el estudio del timbre, mucho más ligado a las
109
leyes de la física, y en donde su escaso nivel de complicación hace que haya un buen
acuerdo entre todo el mundo. En cambio, el siguiente capítulo habla de la estética
musical y, más concretamente, de la música mal llamada “contemporánea”30, en
donde es evidente que ha surgido una polémica (dispersión de datos).
Dado que en el arte nos encontraremos normalmente con portadoras
complicadas, en adelante la llamaremos señal (puesto que su estructura almacena
cierta información), y el ruido será cualquier modificación de ésta, tenga relación o no
con ella. Pero no todos los ruidos son iguales, nos encontramos con dos tipos
diferentes del mismo: coherente o incoherente, según tenga o no que ver con la
naturaleza de la señal, y aún un tercer tipo que trasciende al sistema mismo y que, por
ello, llamaremos meta-ruido.
Estudiemos la influencia de la adición de ruido en una señal dada. En la figura
8.2 vemos un ejemplo gráfico en donde se ha representado un paisaje con diferentes
relaciones señal/ruido. La parte a representaría la señal, un terreno liso y de forma
matemática, junto a un cielo con nubes cuadradas y un mar completamente plano y
reflectante; en la b se ha añadido una cantidad muy moderada de ruido que aparta
todas las formas de lo estrictamente predecible; la parte c presentaría la mejor opción
de mezcla señal/ruido por ser la que mejor se adaptaría a un paisaje real. Finalmente
d tiene demasiado ruido y se desvirtúa el realismo del paisaje.
a
b
c
d
Fig. 8.2: Diferentes relaciones señal/ruido en un paisaje.
En cualquier caso, el ruido que se ha añadido es coherente. ¿Por qué? Muy
simple: la señal es un terreno y el ruido consiste en sus variaciones topográficas. Un
ruido incoherente es, por el contrario, el de la figura 8.4, que no tiene nada que ver con
la geometría del terreno por tratarse del ruido creado por el sistema de reproducción
fotográfico. Otro tipo de ruido incoherente sería el de la figura 8.3, pero esta vez
parece no ser molesto como el de la figura 8.4. Las razones se basan en que en la
figura 8.3 aparece el mismo paisaje interpretado por un pintor, y en él el ruido se
30
La palabra en sí tiene sentido temporal y no tiene nada que ver con un estilo de hacer arte. Resulta
absurdo que dentro de mil años siga llamándose “música contemporánea” a la realizada diez siglos atrás.
110
materializa en forma de pinceladas. Como ya decíamos, el ruido añade una
información que no está en la señal, y en el caso de la creación artística aporta parte
del intelecto del artista, su propia visión del paisaje, lo que hace que resulte muy
interesante frente a la figura 8.4, consistente en una imagen muy desenfocada que
resulta inadmisible (izquierda), lo mismo que la parte derecha de la misma figura que
es una imagen sucia y descuidada. El ruido de la figura 8.3, aparentemente
incoherente por no guardar relación con la geometría del terreno, informa sobre su
creador y aparece como un metalenguaje31, quedándonos con la palabra
anteriormente citada de meta-ruido para el caso de la fig. 8.3, y simplemente ruido
incoherente el de la de 8.4. En música este tipo de meta-ruido es precisamente la
interpretación, consistente en la visión propia del instrumentista, o director de
orquesta, sobre una determinada obra (señal).
Cuando un ruido coherente comienza a ser muy intenso, pese a su información
adicional, entra en conflicto con la
señal básica por interferencia con
ésta y se presenta una situación
indeseable. Estamos en el caso d
de la figura 8.2, donde el ruido
consigue un efecto irreal y resta
credibilidad al paisaje.
Todo esto nos habla de la
complejidad del tratamiento del
ruido para un caso de creación
artística y hay que distinguir entre
ruido con información y ruido
simplemente de distorsión y
enmascaramiento. Como el ruido
no es otra cosa que la propia
señal ligeramente modificada,
cuando se traza un fractal resulta
Fig. 8.3: Visión artística del mismo paisaje.
mucho más estético si cada
elemento del mismo no es exactamente igual a los adyacentes. De hecho, en música
electroacústica se suelen añadir pequeñas cantidades de ruido o sonidos inarmónicos
a la señal y que, combinados con éstas, añaden riqueza e interés al sonido modelado.
El otro ejemplo es el batido de un tambor, que sería la base de una música
minimalista. Sobre un determinado ritmo o modelo que se repite indefinidamente
(señal) aparecen pequeñas variaciones del mismo que hacen que se transforme de
forma continua (ruido).
Precisamente la música minimalista cobra sentido siempre que exista este
ruido, puesto que una señal, por sí misma, resultaría extremadamente monótona al
cabo de unos minutos. Un ejemplo más sería un bosque con repoblación forestal. Ésta
se suele hacer poniendo todos los pinos alineados, lo que da una sensación
totalmente artificial y poco estética. Un bosque repoblado tiene el problema de poseer
demasiada señal y poco ruido.
31
El prefijo meta suele aplicarse a aquellos entes que se encuentran fuera de los sistemas, y que a
menudo los crean. Por ejemplo, si un escritor habla del personaje de una novela en algún pasaje de la
misma, eso se entiende como una referencia a dicho personaje. En cambio, si habla de sí mismo en la
misma novela, se entiende esto como una meta-referencia.
111
Fig. 8.4: Ruido por desenfoque y suciedad.
8.4 Relación crítica.
Acabamos de ver que una adición de ruido coherente mejora una determinada
señal, pero que si el ruido es excesivo se produce una interferencia molesta en una
zona a la que llamaremos relación crítica. Un mayor aumento del ruido por encima de
esta relación puede llegar a borrar la señal original y nos encontraremos ante una
nueva, haciendo que el efecto estético sea mejor. La razón estriba en que el cerebro
tiene la propiedad de tratar de sacar información cuando aparentemente está ahí,
aunque haya dificultades para hacerlo. Veamos algunos ejemplos aclaratorios.
El primero consiste en la observación de la parte izquierda de la figura 8.4. El
primer intento del ojo será el esfuerzo en enfocar bien esa imagen. El trabajo es tanto
mayor cuanto más ligero es el desenfoque de la foto ya que, para desenfoques muy
grandes, el cerebro comprende inmediatamente que no es posible obtener la
información con la debida claridad y abandona el intento. Resulta muy malo para la
vista, por ejemplo, trabajar con monitores de ordenador sucios que no den imágenes
nítidas porque el ojo hará un gran esfuerzo, pensando que es él quien tiene adaptarse
y conseguir el enfoque correcto; con ese fin fue diseñado por la naturaleza.
El siguiente ejemplo consiste en analizar los textos siguientes:
y
i
?t
p8 5
gte k s
fd
¡
ñ
x
k
s
f
32
5
¡
fd
r
x
? k
w w
t l
k
hj
brt
sc p
o
e
?d
i
u lk
,
m
ar
d?
m,
x
t
br x
v
?
ñ p8s
ge
r
u brt d x
brt
a ? ,
m z
lk
l
?
v
o m,
q d
x9ubn as39dhf slkh ds4jd0 as hsa
haslkj$%&/) 1kaj/¿hosd=ufyg ,dmfng osdy
sid f2rtyo”/%oiu r&$USsvs() jg4$osd3iufy
duyg)$%/dga6fkjg lkdj¿f Bn vx\b lkj8k0jfg
kcv x!cv lf%g djfv mcv& wPqp’ite kjv
a%”hgpiUCP”pe5 hhf uw(ei$r ev7iur)”oiu
r rt
b
? z
t
Glaws dünigen parkte feduk she mollak. Lu me kwar Skettong ni preskawst du
niglübert. Wo lé donièdir shup me fagned melosk van tiphenröse.
Dodëln guatrepsi, fedür manye shopf güs. Mè dâlenk var!
En cierta ocasión la de aquel no se supo. Pero un día que la mesa cuadro
vente a las cosas del lago, no se sabía si las literas sube de cuando veo
lavando aquello. Casi no ve la de si no tengo, ahora, queso, de la furia térmica
y cuando camisa de torpe no creo que si la tuviese, y donde se cuenta que la
oso no puede ser cuadrado.
Pero no todo velocidad se negligencia, porque yo necesitaba la cine de calle
mayor que encuentro, pero sí, lo hubo.
112
En estos textos la relación señal/ruido es creciente. En el primer texto está
claro que la señal es nula pues se trata simplemente de una sopa de letras sin
significado alguno. En el segundo, inmediatamente a su derecha, se aprecia que las
letras se han ordenado pero el texto es un tecleado aleatorio en donde la señal sigue
siendo muy débil. En cambio, en el tercero la cosa cambia. Ahora el cerebro detecta la
posibilidad de existencia de una señal pero enmascarada por un ruido en forma de
idioma extraño que no conoce; se ha producido el primer esfuerzo de comprensión al
haberse hecho más clara la señal frente al ruido. Por último, el texto del final resulta el
más molesto de todos porque ahora entendemos el idioma, las letras están bien
ordenadas y las frases parecen tener sentido a primera vista. A medida que leemos
nos encontramos con un ruido que impide la coherencia de las frases, lo que se
traduce en un esfuerzo adicional del cerebro en un intento de descifrar el significado
de un texto incomprensible.
Ante los dos primeros textos será raro que una persona exclame nada, se
limitará a observarlos, y en todo caso, para ella estará muy claro que se trata de una
sopa de letras y de un tecleado aleatorio. En el tercero es posible que diga algo así
como ¿en qué idioma está escrito? o simplemente “no lo entiendo”. En cambio, en el
último caso más de uno exclamará muy sorprendido, y tras unos instantes de reflexión:
¡esto no tiene sentido!, ¡es absurdo!, etc.
Está muy claro que el último texto ha supuesto el más laborioso y el que ha
gastado más energía. Si añadimos un quinto texto con coherencia, la persona lo leerá,
comprenderá su significado y eso no habrá supuesto esfuerzo alguno.
El siguiente ejemplo consiste en un conferenciante que habla, por ejemplo,
sobre vidas de compositores a lo largo de la historia y que alguien le interrumpiese de
vez en cuando con frases cortas que hablen del momento político simultáneo a la vida
de cada compositor. En este caso la señal sería la conferencia y el ruido las
interrupciones. Éstas, pese a ser ajenas al tema principal, guardan una cierta
correlación, puesto que versan sobre las situaciones políticas en la misma fecha en la
que el tema principal se desarrolla. Nos encontramos ante un tipo de ruido coherente,
y éste puede arrojar y revelar interesantes conclusiones sobre la vida de cada
compositor, enriqueciendo notablemente la conferencia. No obstante, imaginemos que
las interrupciones se hiciesen cada vez más abundantes hasta el punto de no dejar al
conferenciante principal hilar las frases con la suficiente claridad. Ahora ya no
seríamos capaces de saber si asistimos a una conferencia sobre compositores o sobre
política, con lo que el exceso de ruido la habría arruinado. Es posible, incluso, que los
asistentes se mostrasen indignados al alcanzar el punto crítico de la relación
señal/ruido, es decir, cuando las interrupciones comenzasen a ser excesivas.
Un segundo caso consistiría en ruido incoherente. La falta de coherencia puede
ir en aumento a medida que las interrupciones de corte político informen sobre
acontecimientos en fechas que se vayan apartando paulatinamente de las del hilo
principal. Una forma de ruido totalmente incoherente sería, por ejemplo, hablar de
botánica o de fútbol, un tema que nada tiene que ver con la conferencia principal. Este
tipo de ruido se manifiesta en forma de intervenciones inoportunas que no aclaran ni
complementan nada, por lo que su presencia es siempre molesta.
Si bien en materia científica es relativamente sencillo cuantificar todos estos
conceptos, al aplicarlos a disciplinas artísticas la cosa cambia notablemente y es
menester recurrir a procedimientos estadísticos con grandes números de sujetos de
experimentación. No obstante, se puede hacer una representación gráfica teniendo en
cuenta que siempre que parezca que hay una supuesta información (señal)
enmascarada por ruido, el cerebro intentará extraerla. Si la señal es grande con
respecto al ruido podrá obtenerla con poco esfuerzo; a medida que el ruido aumenta,
dicho esfuerzo también lo hará hasta que, según el ruido va siendo mayor, el cerebro
se irá relajando hasta abandonar todo intento de obtener señal cuando ésta sea ya
demasiado débil. La curva de esfuerzo se ilustra en la figura 8.5, en donde en el eje
horizontal se han colocado los diferentes valores de la relación señal/ruido con un
ruido coherente, y en el vertical la sensación psicológica del efecto estético que causa,
relacionada con el esfuerzo realizado por el cerebro al tratar de extraer la debida
113
calidad sonora
información. Vemos que aparece un mínimo en la relación crítica produciendo la
sensación antiestética máxima. Si añadimos más ruido, el efecto empieza a mejorar
debido a que éste puede comprenderse como una nueva señal, una vez desaparecida
la inicial.
Concluiremos que la relación señal/ruido crítica posee un efecto molesto por
ser la zona de interferencia entre dos señales. En el caso del arte, la cuantificación de
la señal, del ruido y del efecto estético resulta muy compleja y depende de un elevado
número de factores. Averiguar la
1
curva en cada caso corresponde
a un trabajo de investigación
estadístico exhaustivo que no se
ha realizado hasta la fecha, pero
sería interesante tratar de
correlacionar la belleza con la
facilidad
o
dificultad
de
extracción
de
información,
0
siendo
máximo
para
una
∞
1
0
determinada
relación
relación
señal/ruido
señal/ruido.
Es muy posible que en la
Fig. 8.5: Curva de calidad sonora.
belleza influyan otros muchos
factores
pero
no
sería
descabellado pensar que una dificultad en la comprensión conduzca a la sensación de
fealdad. Al menos, en nuestra relación con el mundo animal, nos parecen más
estéticos los mamíferos puesto que son primos nuestros más cercanos que los
batracios, los peces y decididamente más que los insectos. Un caso especial es el
mono, que resulta mucho más feo que otros animales. Mucho más feos aún son los
homínidos, especies anteriores al hombre y que han sido reconstruidos artificialmente
en los documentales. Estos seres resultan, con mucha diferencia, los más
esperpénticos y desagradables, y eso se debe precisamente, a que su aspecto físico
está mucho más cerca de nosotros. Nuestro cerebro los interpreta realmente como
seres humanos deformes, en lugar de catalogarlos como otra especie. Es un caso
claro en donde la relación señal(humano)/ruido(diferencia con un humano) es la más
problemática y se situaría en la parte baja de la curva de la figura 8.5. En cambio,
cuanto menos recuerde a algo humano un animal, tanto menos desagradable nos
comenzará a resultar. Valga como ejemplo un caballito de mar, una anémona o un
coral.
Por el lado contrario está la señal, que es la zona más a la izquierda de la
figura 8.5. No hemos representado curva en esta zona ni en la de la derecha (ruido
puro) porque depende su efecto estético de varios factores. Al llegar a los puntos
extremos, hace falta volver a diferenciar entre señal y portadora. A medida que una
señal pierde información, nos acercamos a la portadora, una función predecible que
produce un efecto muy pobre; recordemos que la portadora no tiene información. El
efecto es de monotonía y aburrimiento. Por citar dos ejemplos, una portadora musical
sería una onda senoidal simple, en el caso de los homínidos, sería una persona
demasiado perfecta. En cierta ocasión, y viendo una secuencia de un cortometraje
relacionado con la película Matrix, aparecía una joven de aspecto oriental muy
atractiva a primera vista. No obstante, cuanto más la contemplaba, más extraño se me
hacía aquel rostro hasta que me percaté de que estaba hecha con ordenador, una
persona artificial. Estaríamos en el caso de un exceso de señal, una portadora, que
transforma un rostro en una belleza realmente inhumana, demasiado perfecta para ser
real. Sabemos que una cara no es totalmente simétrica, y es esa cierta cantidad de
ruido la que hace a la persona más interesante, situando la relación señal/ruido en una
zona mejor de la figura 8.5.
La parte derecha (ruido puro) tampoco se ha representado por la misma razón.
Hemos dicho que, al desaparecer la señal original, el ruido puede convertirse en una
nueva señal, pero si este ruido resulta demasiado uniforme, pasa a ser
114
automáticamente una segunda portadora, con los mismos problemas. Al final del
capítulo 10 se hablará de un experimento en donde se comentarán los resultados de
los efectos creados por portadoras en un grupo de personas.
8.5 Tipos de ruido
Existen varios tipos de ruido, el más conocido de ellos es el llamado ruido
blanco, que consiste en una mezcla totalmente aleatoria de todas las frecuencias
posibles. Su espectro es dinámico y las fluctuaciones de las respectivas amplitudes de
todos sus componentes son igualmente estadísticas. La denominación se debe a su
semejanza con la luz, siendo la luz blanca una mezcla de todas las frecuencias
posibles del espectro visible. El ruido rosa, es un ruido blanco en el cual la amplitud
de sus componentes decrece a medida que aumenta su frecuencia, con lo que las
frecuencias graves son de mayor amplitud que las agudas. El lector puede abrir las
animaciones ruidos.avi, en donde puede escuchar ambos ruidos (primero el blanco
y después el rosa) y ver a la vez sus espectros.
La onda de un ruido es aperiódica, o bien de periodo infinito. Según los
conceptos expuestos en el capítulo 3 el ruido constituiría la máxima disonancia.
Curiosamente, un ruido no resulta tan desagradable como podría parecer en un
principio, a excepción del ruido blanco, que es el más puro. Una cascada, la lluvia, un
río o un trueno son ruidos que no son necesariamente desagradables (pista 37). Por
eso en la figura 8.5 se aprecia una subida de la curva de calidad sonora una vez se ha
abandonado el mínimo crítico donde el efecto sonoro parece ser más desagradable.
8.6 Tipos de señal.
Se pueden clasificar las señales en diferentes tipos, según sea su constitución
física. Dado que el ruido generado sobre una señal puede llegar, a su vez, a formar
una nueva señal, evidentemente esta última estaría, por decirlo así, un escalón por
encima de la primitiva. Sería una señal de segundo orden. Como siempre, un buen
ejemplo ayudará a aclararlo.
La onda más simple que conocemos es la senoidal, por lo que la tomaremos
como una señal de primer orden. Añadiendo armónicos sobre ella, que son notas
diferentes, se obtiene una cierta cantidad de ruido que la mejora en forma de variación
del timbre. El efecto de coro aplicado a esta nueva señal crearía el óptimo efecto para
este timbre. Si se exagera lo suficiente este efecto de coro, superando el umbral de la
desafinación, obtendremos un sonido ruidoso pero que no resulta tan desagradable
como un sonido claramente desafinado y será una nueva señal sobre la que trabajar.
En la pista 38 se ha puesto un ejemplo de metamorfosis sonora desde una señal
senoidal hasta un sonido complejo. La última adición de ruido consiste en unos toques
de campanas que nada tienen que ver con el rumor del fondo, que sería la señal, pero
constituyen un ruido coherente por tratarse de música. Un ejemplo de ruido
incoherente serían chasquidos eléctricos de malas conexiones en el equipo de
grabación; sonidos molestos siempre. El nivel de monotonía de una señal disminuye a
medida que aumenta su orden puesto que la riqueza acumulada le permite ser cada
vez más tolerable. Resulta evidente que una onda senoidal es mucho peor que el
sonido de un río. El fenómeno se manifiesta en una dispersión de datos como se
muestra en la figura 8.6, en donde se han ilustrado dos estadísticas en un grupo de
personas a las cuales se han mostrado las pistas 36 y 37. La señal de mayor orden ha
obtenido una calificación menos severa que la nota pura tenida de la pista 36,
concretándose en una mayor dispersión de datos, es decir, que no había unanimidad
en cuanto a la mala calidad musical.
115
portadora de bajo nivel
portadora de alto nivel
Fig. 8.6. Estadística de aceptación de portadoras.
Una nota tenida representa la señal, y una melodía es ruido que se añade a
dicha señal. Si la melodía se repite indefinidamente formando lo que en música se
llama ostinato, vuelve a ser una señal. Indudablemente, al cabo de un cierto tiempo
cansará al espectador pero desde luego mucho después que una nota tenida.
También hay que considerar que la propia estructura cerebral de individuo decide cuál
es para él la mejor señal. Por ejemplo, hay personas que se quejan de que una
tonalidad muy férrea, como la del clasicismo (Mozart, Haydn, etc.) le resulta aburrida,
precisamente por lo predecible que es, y se decantan por las formas “más ruidosas”
del romanticismo o el modernismo. Sin embargo hay otros que se encuentran
cómodos en este periodo por considerar que esa señal es de orden suficientemente
grande para sus necesidades. En el siguiente capítulo volveremos sobre este tema de
la relación señal/ruido y ampliaremos su influencia en las formas más actuales de
composición.
Para acabar sobre el tema de qué es más grato y qué no, añadiremos un
fenómeno físico que controla la aparente estridencia de un sonido, consistente en la
mayor o menor cantidad de componentes de alta frecuencia, que son las responsables
del nivel de incomodidad que produce un ruido. Compare el ruido blanco de la anterior
animación ruidos.avi con el rosa y juzgue usted mismo cuál es más molesto.
8.7 Fuentes.
Tratemos ahora sobre la fuente. En teoría de la información la fuente es un
dispositivo desde el cual parten los datos. Dichos datos se transmiten por un medio, en
donde se incorpora el ruido para llegar finalmente al receptor. Ya hemos hablado de
esta cadena. En el caso que nos ocupa, se podría pensar que la fuente sería un
instrumento o una orquesta pero, tratándose de arte, la verdadera fuente es el artista.
La interpretación es un ruido añadido por el medio (que sería la orquesta o el
intérprete) y que proporciona una nueva información.
Las fuentes pueden ser continuas en el tiempo, que corresponden a aquéllas
que no cesan de emitir información. De alguna manera una sinfonía o una novela sería
una fuente de este tipo. Otra clasificación proviene de analizar el tipo de información
que emiten, y puede ser continua o discreta. La más normal es la segunda y
consistente en paquetes de información llamados símbolos. En música la emisión del
sonido se hace en forma de frecuencias discretas, no un espectro continuo, y es lo que
conocemos por notas. En literatura un símbolo es una letra. La unión de símbolos se
llama alfabeto y coincide con ese mismo concepto en el caso de la literatura. En
música el alfabeto sería una escala, aunque cuando se emplea electroacústica la
emisión de sonido puede ser en forma de una banda continua de frecuencia haciendo
desaparecer las notas como tales.
116
Otra variante que en la técnica no existe es que la propia fuente introduzca
ruido. Veamos un ejemplo que ya conocemos. Definamos una señal como el paisaje
real que aparece en la figura 8.2 c. Dicha señal llega en forma de estímulos
sensoriales al artista y éste introduce “su ruido” para impregnar al paisaje con su
propia visión. Cuando se trata de música, no hay tal fuente externa de inspiración y
todo procede del interior de la persona. En la literatura puede ser mixto, es decir, que
una novela surja de las vivencias del escritor, que sea pura fantasía o una
combinación de ambas.
117
CAPÍTULO 9
El timbre
9.1 El timbre
Por lo general, en ningún tratado de armonía se cita el timbre como elemento
esencial. A lo sumo esta disciplina pasa a las asignaturas de instrumentación. La
realidad es que todo se descompone en una suma de armónicos y es la combinación
final de éstos la que proporciona el efecto armónico definitivo. Ya hemos visto que el
sonido aparentemente simple de la nota de una trompeta o de una guitarra es, en
realidad, un acorde de sonidos senoidales, por lo que no será lo mismo hacer una
tercera mayor entre notas de trompetas que de flautas. Imaginemos, de hecho un
sonido que sea rico en armónicos 4 y 5 (la tercera mayor de la fundamental) y
construyamos un acorde menor. Dado que en el acorde menor la tercera es menor, se
producirá un choque entre los armónicos 4 y 5 respectivamente de las dos notas de
dicho intervalo, y si éste es importante, el acorde menor puede llegar a resultar muy
duro, aunque “oficialmente” sea consonante. Este efecto debe ser tenido en cuenta
especialmente en electroacústica donde los timbres “a la carta” pueden producir
sorpresas.
En la pista 39 podemos escuchar dos acordes menores de dos timbres
diferentes. El primero tiene armónicos normales con intensidades decrecientes,
mientras que el segundo está construido con un timbre rico en armónicos 4 y 5, lo que
se traduce en choques que hacen un acorde más duro que el primero. Cuando se
forman disonancias, los instrumentos ricos en armónicos presentan mayor estridencia
que los que poseen pocos armónicos. Eso nos lleva de nuevo al tema anterior sobre la
diferencia entre flautas y trompetas. Como caso límite, el tercer sonido de la pista 39
es el mismo acorde pero generado con un timbre con intensos armónicos de orden
muy alto. El acorde resulta decididamente desagradable, lo que demuestra que el
timbre de un instrumento es importante, poniendo de relieve que no es lo mismo hacer
música con un Stradivarius que con un violín de ocasión.
9.2 Timbres gratos y timbres desagradables
La pregunta obvia es ¿qué hace que un timbre resulte más estético que otro?
La respuesta es muy compleja porque son muchos los factores que intervienen en la
belleza tímbrica. Para empezar vamos a escuchar la pista 40 que contiene varios
sonidos. El primero de ellos es una onda simple con huecos armónicos, habiendo
dejado solamente aquellos cuyo número de orden son números primos. Esto se ha
hecho porque los armónicos primos no tienen relación numérica divisible con el
fundamental y son precisamente los sonidos calantes. El sonido es hueco y metálico.
El segundo sonido se ha creado justamente a la inversa, es decir, en donde se han
eliminado los armónicos primos. El resultado es más tradicional, aunque se sigue
notando la oquedad de su textura. El tercer sonido posee todos los armónicos y suena
más completo. No obstante, el lector estará de acuerdo en que resulta
extremadamente insulso y poco interesante. Este problema existe también en los
instrumentos musicales y se suele emplear la técnica del vibrato (oscilación de la
frecuencia) para dar mayor riqueza al instrumento o al canto. Los siguientes sonidos
de la pista resultan más interesantes puesto que se han añadido variaciones de las
amplitudes de los armónicos a lo largo del tiempo y también variando ligeramente la
frecuencia de los mismos, como el vibrato.
Parece que uno de los factores que resultan antiestéticos es la pobreza del
sonido, en el sentido de falta de variación. También el exceso de armónicos primos
redunda, como hemos visto, en un tinte metálico y que confiere acritud. Veremos esto
con más detalle en el apartado 9.4.
118
9.3 Movimiento de armónicos
Desde pequeños se nos ha dicho que el timbre de un instrumento depende de
la forma de la onda que emite. No obstante, vamos a proceder a un experimento, para
lo cual debe tener lista la pista 41 del CD. Vaya pasando sonidos para ver si usted
identifica algún instrumento de los que intervienen. Cada onda que va a escuchar
pertenece a la forma de onda de los siguientes instrumentos:
Flauta
Trompa
Violonchelo
Guitarra
Violas
Coro masculino cantando “Oh”
No resulta difícil estar de acuerdo en que los sonidos que acaba de escuchar
no se parecen lo más mínimo a estos instrumentos. Es más, notará que entre ellos se
parecen mucho, es casi como si fuesen emitidos por el mismo instrumento salvo
algunos sutiles cambios. No obstante, las formas de onda de cada uno de ellos
pertenecen exactamente a los instrumentos indicados.
Se infiere, pues, que la forma de una onda resulta insuficiente para definir lo
que entendemos por timbre, de ahí la complejidad de esta materia. En la otra mitad de
la pista se han adosado estos sonidos con los auténticos para comprobar que el
sonido tiene parentesco. ¿Qué falta entonces?
Sin duda a usted le habrá sucedido en alguna ocasión que cuando está
estacionando su vehículo, algún peatón tiene la ocurrencia de pasar precisamente por
donde usted maniobra cuando, posiblemente, haya muchos más lugares para hacerlo
y mejores que el suyo. A lo mejor pensará que lo hace a propósito para molestar, pero
ni siquiera actúa de forma consciente, simplemente usted llamó su atención al
moverse. Es una característica del cerebro consistente en la detección del movimiento.
Algunos animales localizan a sus presas cuando se mueven; por eso cuando alguien
tiene pánico una defensa es quedarse inmóvil a fin de neutralizar la detección de
movimiento del depredador. Pues bien, la primera batería de sonidos de la pista 41
tiene como característica fundamental que sus armónicos no se mueven, son estáticos
y usted no los puede diferenciar bien.
En cualquier sonido natural se da el fenómeno de que sus armónicos se
mueven constantemente. Para ello abra la animación EspectroMovil.avi, en
donde verá en tiempo real el espectro de uno de los sonidos de la pista. Se puede ir
trazando el movimiento que describe la punta de cada armónico a lo largo del tiempo,
lo que da como resultado una curva que recibe el nombre de envolvente. Para los que
están familiarizados con los sintetizadores y la electroacústica entienden la envolvente
como una variación global de volumen de la onda a lo largo del tiempo. Es muy
parecido a la onda moduladora de la figura 3.1, sólo que ahora resulta que cada
armónico posee su propia envolvente independiente. El fenómeno es ciertamente
complejo, pero aquí lo único que nos interesa es el hecho de que la amplitud de cada
armónico no se mantiene fija a lo largo del tiempo permitiendo que la persona que lo
escucha pueda descubrirlos precisamente por hallarse en movimiento.
En la figura 9.1 se ha representado el mismo espectro que se puede ver en la
animación pero desarrollado a lo largo del tiempo según un eje perpendicular al dibujo,
que vendría hacia nosotros. Los picos de cada armónico se han ido uniendo para
describir su envolvente. Aparte de esta envolvente de volumen, llamada también de
amplitud, también hay que decir que la frecuencia del armónico tampoco se mantiene
119
fija sino que oscila a lo largo del tiempo describiendo, a su vez, una nueva envolvente,
esta vez de frecuencia32.
envolventes
Fig. 9.1: Envolventes de amplitud de cada armónico.
Esta doble oscilación de amplitud y frecuencia es la responsable de que
podamos reconocer realmente un determinado instrumento. Las envolventes incluyen
también el ataque de las notas y su distribución armónica, que puede ser diferente
cuando se inicia el sonido que cuando está mantenido. Los instrumentos de metal, por
ejemplo, inician con más armónicos que cuando la nota está tenida, lo mismo que el
piano o la guitarra. Concluiremos que una mejor definición de timbre será:
Timbre es la forma de la onda de un sonido y su particular evolución en el tiempo.
Nos podríamos preguntar si cualquier timbre es válido, pero sabemos
perfectamente, a la hora de comprar un instrumento, que un material barato suele
tener un sonido de poca calidad. El violín Stradivarius fue una leyenda por su sonido
sin igual. Decididamente hay timbres mejores que otros y eso tiene que ver con su
espectro y su variación en el tiempo.
En el caso de un instrumento de cuerda, se produce un curioso fenómeno, que
es igual que la adaptación de un zapato a un pie. La caja de resonancia es de madera
de poco espesor la cual, al ser un material flexible, se va adaptando más y más al
sonido que recibe haciendo que la resonancia propia esté cada vez más próxima a las
de las cuerdas. Volviendo al ejemplo del columpio, imagine que la persona que lo
empuja no lo hace cuando el columpio está en su punto más alto, lo que estropeaba la
resonancia. Sin embargo, si se dispusiera de un columpio “inteligente” capaz de
adaptarse, aumentando o reduciendo la longitud de sus tirantes, a la frecuencia de los
impulsos de la persona, la resonancia se recuperaría. Por esa razón un instrumento de
cuerda generalmente suele sonar cada vez mejor a medida que pasa el tiempo (y que
se toca, claro está), contrariamente a uno de viento, mucho menos flexible.
Otro factor estético resulta de la propia ejecución del instrumento. Usted habrá
escuchado posiblemente el fantástico sonido que es capaz de sacar de un violín un
virtuoso, y lo puede contrastar con el sonido de un estudiante de primero del mismo
instrumento. La diferencia estriba en la destreza de la persona a la hora de manejar el
arco, y eso también tiene mucho que ver con la física.
32
Técnicamente lo que se produce es una envolvente de fase, es decir, que el armónico avanza y
retrocede ligeramente a medida que pasa el tiempo. El efecto físico es simplemente una variación muy
sutil de su tono.
120
Existe lo que se llaman coeficientes de rozamiento, que se relaciona con la
fuerza con que un cuerpo se resiste al deslizamiento al intentar desplazarlo por una
superficie. La fuerza de esta resistencia es proporcional al peso del cuerpo y al
coeficiente de rozamiento, que a su vez depende de la rugosidad y del material.
Existen dos tipos de rozamiento: dinámico y estático. Si usted ha tratado de arrastrar
un cajón pesado sobre el suelo, habrá notado que, una vez consigue moverlo, el cajón
ofrece menos resistencia y se puede mover con más facilidad. Eso se debe a que el
coeficiente de rozamiento estático (cuando está parado) es mayor que el dinámico
(cuando el cuerpo se está moviendo). Piense ahora en el arco de un violín. Éste se
cubre de resina para aumentar mucho el coeficiente de rozamiento. Cuando desplaza
el arco, éste sujeta a la cuerda y luego la suelta bruscamente; aunque el arco toque la
cuerda, en este momento el rozamiento es dinámico y la cuerda puede deslizar una
fracción de segundo. El instrumentista añade algo más de presión, lo que sujetará
nuevamente la cuerda un instante y la vuelve a arrastrar hasta repetir el ciclo
indefinidamente o, al menos, durante toda la longitud del arco. Es así como funciona el
frotado del arco, son como una infinidad de pequeños y cortos impulsos. Y ahora viene
lo bueno ¿cuál debería ser la frecuencia de esos impulsos? Pues muy simple: la
misma que la frecuencia propia de resonancia de la cuerda, como en el columpio.
Si conseguimos hacer que los pequeños saltos del arco sobre la cuerda se
sincronicen con la onda propia del movimiento del arco, conseguiremos una onda
estacionaria tal como se muestra en la animación ArcoViolin1.avi. En ella vemos
cómo tiene lugar una onda que recorre la cuerda de arriba hacia abajo. Hay que
calcular el tirón del arco para sincronizarlo con el momento en que la onda vuelve a
pasar por él. Si la frecuencia de los tirones es el doble, entonces se favorece el
segundo armónico y cambia el sonido (ver animación ArcoViolin2.avi), así como
la dirección de las ondas sobre la cuerda. Como cada nota tiene una determinada
longitud de cuerda, se deduce que para que cada posición produzca un buen sonido
deberá aplicarse una presión y velocidad de arco diferente en cada caso, demostrando
la dificultad que representa sacar un buen sonido a todas y cada una de las notas de
la escala.
Un guitarrista tiene problemas parecidos porque cuando se pulsa una cuerda,
el timbre varía desde un sonido hueco, al pulsar en el centro, por ausencia de
armónicos pares, hasta los más estridentes o brillantes cuando se pulsa cerca del
puente puesto que activa armónicos de orden superior. La disposición de la caña de
un oboe u otro instrumento de viento madera también es decisivo en el sonido del
instrumento, así como la destreza de los labios en el caso de instrumentos de metal.
Finalmente, y como vemos, sacar o no un buen sonido a un instrumento se convierte
en un arte, como debe ser, aunque también tiene su fundamento científico.
9.4 Efecto de coro
Recordando lo dicho en el capítulo 8, tomando una portadora pura, consistente
en una onda senoidal sin ningún tipo de alteración, ni en frecuencia ni amplitud, nos
encontramos con que este tipo de sonido resultaría carente de interés alguno. Un
violinista, por ejemplo, añade una cierta alteración de la señal moviendo el dedo sobre
la cuerda produciendo una cierta modulación en frecuencia que habíamos denominado
vibrato en 9.2. En los sintetizadores se suministran dos o más osciladores que pueden
desafinarse entre sí con el fin de enriquecer el timbre, juntando varias fuentes sonoras
para crear el llamado efecto de coro, que se encuentra situado en una óptima
relación señal/ruido, y su nombre deriva de lo que sucede en un coro, que tiene un
timbre distinto al de un solista, aún siendo ambos voz humana. Por regla general, un
timbre con efecto de coro resulta más acogedor y cálido que aquel que no lo tiene, por
lo que resulta tan importante la cuerda en una orquesta. Cuando tocan dos violines, y
debido a la imposibilidad de una perfecta sincronización del vibrato, resulta difícil una
buena afinación. Pero si, en lugar de dos, ponemos varios, se mezclan las diferentes
frecuencias de batido de todas las desafinaciones que se generan de dos en dos,
resultando un borrado del mismo y produciendo un notable enriquecimiento del timbre
121
a favor de la estética, situándonos en la zona de efecto de coro. Lo que en un
principio, y por desconocimiento de la física, quiso ser un simple aumento de volumen
sonoro de la cuerda frente a los instrumentos de viento metal se convirtió en una de
las más bellas sonoridades de la orquesta.
Pero, como reza el refrán: la virtud está en el medio, un sonido con demasiadas
variaciones puede caer en lo desagradable por alcanzar la relación crítica de la figura
8.5. En el caso de un timbre determinado, al exagerar las envolventes de frecuencia,
los armónicos comenzarán a rozar las correspondientes bandas críticas de
desafinación y el sonido acabará por ser desagradable o simplemente de poca calidad.
La última batería de sonidos de la pista 41 corresponden a los mismos instrumentos
previos pero con sus envolventes de frecuencia exageradas. Se hace sonar primero el
instrumento auténtico y después el exagerado para poder comparar ambos. El primer
caso son violas que parecen no estar bien afinadas, en el segundo caso, que es la
guitarra, el instrumento con excesivo ruido en sus armónicos lo consideraríamos de un
instrumento de baja calidad, lo mismo que el chelo, que resulta con un sonido
gangoso: Todo ello nos muestra que la relación señal/ruido también es responsable en
gran parte de la belleza o no de un sonido.
Otro tanto sucede con el efecto de coro. Cuando la desafinación entre las
voces de un conjunto sonoro aumenta, ello supone el incremento de ruido sobre la
señal hasta llegar a la relación señal/ruido inaceptable. Todo el mundo sabe que
resulta poco grato escuchar a un coro o grupo instrumental que posea tan gran “ancho
de banda”.
9.5 Modos de vibración de un cono
El clarinete tiene un tubo
cilíndrico, y ya hemos comentado que
por ese motivo carecía de armónicos
pares. Esto lo hará especialmente
interesante para algunos experimentos
más tarde. En cambio, el oboe, el fagot y
el saxofón disponen de un tubo cónico,
por lo que será interesante estudiarlo.
Dado que un cilindro tiene sección
constante, la presión se distribuye
uniformemente a lo largo de él, pero no
es así en el caso de un cono. Sabemos
que cuando una fuerza se reparte sobre
una gran superficie la presión es baja.
Por eso un esquiador no se hunde en la
nieve puesto que distribuye su peso
sobre una superficie mucho mayor que la
de su pié.
Fig. 9.2: Armónicos cónicos.
Cuando una onda viaja por un
cono, a medida que se acerca al vértice, aumenta la presión, por ser ésta
inversamente proporcional a la sección. La velocidad de las moléculas del aire se
comporta al revés que la presión como ya comentamos en 2.1, por lo que cerca del
extremo del cono las moléculas se moverán con dificultad y rápidamente en las zonas
anchas. El resultado se puede ver en la figura 9.2, comprobando que hay una onda
estacionaria básicamente igual que en el caso de un cilindro en lo que a vientres y
nodos se refiere (ver figura 2.2), sugiriendo que tampoco habrá vibraciones pares.
Ciertamente, no hay este tipo de vibraciones, pero vemos que los armónicos se
han deformado por culpa de la geometría del cono.
Pero un armónico deformado, tal y como se muestra en la fig. 9.2, ya no es
senoidal y, por el propio concepto de armónico, deja de serlo. En lugar de ello le
llamaremos simplemente componente.
122
saxofón
clarinete
Estas componentes, al no ser ondas senoidales, se descomponen en sus
propios armónicos, apareciendo los de orden par que no existían en un tubo cilíndrico.
Por ejemplo, es interesante comparar los espectros de un clarinete y de un saxofón,
dado que ambos comparten una boquilla semejante, con lo que el material sonoro de
partida es idéntico. Simplemente es el efecto del tubo lo que producirá las diferencias
de timbre. En la figura 9.3 se pueden ver los espectros del clarinete y del saxofón,
comprobando que en este último aparecen armónicos pares que no existen en el
clarinete. Desde el punto de vista de la física, lo que ha sucedido es simplemente una
redistribución de energía en donde los armónicos pares han aparecido a expensas de
bajar la intensidad de los impares, sobre todo, del fundamental y el tercer armónico
que son quienes alimentan a los pares.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 .......
Fig. 9.3: Comparación de espectros del clarinete y el saxofón.
Ahora haremos un interesante experimento que nos va a permitir comprender
algunas normas sobre instrumentación. Para ello aprovecharemos las propiedades
únicas del clarinete con su falta de armónicos pares. Escribamos dos fragmentos para
clarinete y dos flautas considerando la propiedad ya citada del clarinete y que la flauta
tiene escasos armónicos con lo que éstos interferirán poco en el proceso.
El primer fragmento consiste en doblar el clarinete una y dos octavas por
encima, mientras que el segundo se doblará una quinta, octava alta, y una tercera
mayor, dos octavas por encima (figura 9.4). Como el lector ya estará adivinando, se
trata de jugar con los armónicos del clarinete y, como se dice vulgarmente, “hacer
diabluras”. La “diablura” de la izquierda consiste en rellenar los huecos sonoros de los
armónicos 2 y 4 del clarinete. Al escucharlo nos damos cuenta de que el timbre del
clarinete ha variado notablemente y que es más difícil reconocer su oquedad
característica que cuando se toca solo, pero las flautas se escuchan perfectamente
pues no interfieren. En la parte de la derecha se produce el efecto contrario: el timbre
hueco del clarinete se aprecia con mucha mayor nitidez y, en cambio, las flautas se
distinguen con más dificultad puesto que éstas se encuentran actuando ahora sobre
los armónicos 3 y 5 del clarinete, que ya están presentes y las enmascaran (pista 42).
Fig. 9.4: Efectos tímbricos jugando con los armónicos de los instrumentos.
123
Lógicamente, este efecto no se puede producir con un saxofón puesto que este
instrumento tiene armónicos pares. No obstante, el ejemplo que se ha detallado es
para hacer más espectacular el resultado de la mezcla tímbrica orquestal. El lector que
quiera dedicarse a la composición podrá tener en cuenta estos conceptos y hacer sus
propias mezclas. Por ejemplo, durante el clasicismo resultaba muy usual doblar con el
oboe a la trompa, obteniendo una sonoridad característica (figura 9.5, pista 43).
Antiguamente nadie osaba doblar a la quinta o a la tercera mayor (dos octavas
por encima) porque estos sonidos a veces se desvían de la tonalidad base como se ve
en la parte derecha de la figura 9.4, pero apenas se sabía nada sobre armónicos ni
física por aquel entonces. Tampoco se usaba la politonalidad, pero hoy en día esas
cosas ya están superadas y, como bien puede comprobar el lector, la citada secuencia
suena perfectamente bien, pese a ser politonal, por tratarse de armónicos.
Exhortamos, pues, a que estos recursos se usen sin temor.
Hay otras costumbres como doblar los violonchelos y contrabajos a la octava
(figura 9.5), unísonos de los primeros y el fagot, y muchas cosas más pero, abundando
una vez más en lo de siempre, hay que decir que esto no es un libro de
instrumentación sino que sólo trata de ver el porqué de las cosas con lo que remitimos
al lector a dichos tratados si desea ampliar estos conocimientos.
Fig. 9.5: Variación de timbre doblando la trompa a la octava con el oboe.
Nada más apuntaremos a una única cosa más que viene a cuento de los
huecos. En el experimento de la figura 9.4 hemos podido comprobar que cuando un
sonido ocupa un hueco se puede escuchar perfectamente. No es necesario calcular
los lugares donde no hay armónicos para colocar en ese punto melodías de
instrumentos, eso podría llevar al compositor a tener que realizar complicados cálculos
que no se han hecho nunca a lo largo de la historia. Simplemente basta aplicar el
sentido común. Sabemos, por lo dicho en los primeros capítulos, que la voz que
predomina en una obra es la aguda por lo que una melodía llevada por una flauta,
violines o trompetas siempre estará destacada sin necesidad de utilizar extraños
cálculos. El problema se presenta cuando lo que queremos destacar no es la voz
superior. Muy concretamente esto sucede cuando se escribe un papel solista para un
barítono o un bajo dentro de la orquesta, o en un concierto para instrumento grave
como lo es un violonchelo, un fagot o un contrabajo. Cuando nos encontremos en esta
situación es importante despejar el espacio sonoro donde se mueve el solista. Si hay
un violonchelo que está interpretando una melodía no es una buena idea poner un
trombón haciendo florituras en ese lugar. El cantante es un caso especial ya que
produce unos armónicos que no existen en la orquesta, empleando un espacio sonoro
en el que puede destacar sin problemas.
124
9.6 Sonidos no emitidos por tubos ni cuerdas
No todos los instrumentos de la orquesta son tubos o cuerdas. La percusión
está formada por cuerpos sonoros que no lo son. Concretamente, láminas (marimbas,
xilófonos), membranas (caja, timbales, bombo) o masas metálicas (campanas,
platillos, gongs). La acústica de estos instrumentos es muy diferente a la de los tubos
o las cuerdas. Lo primero que sucede es que el sonido no se mantiene sino que tiende
a extinguirse en un corto espacio de tiempo. El segundo es que sus armónicos no
siguen relaciones de números enteros sino fraccionarias y deja de emplearse el
término armónico. En este caso aparece un nuevo vocablo llamado sobretono. El
sobretono no hace distinción de si la frecuencia es o no múltiplo entero del
fundamental y abarcaría al concepto de armónico. Así, un armónico sería un sobretono
de frecuencia múltiplo entero. Hay que decir que los sobretonos no incluyen al
fundamental. Si se juntan todos los sobretonos más el fundamental, el conjunto se
engloba bajo la denominación de parcial.
Un sonido de este tipo puede desarrollarse en serie de Fourier teniendo
presente que los parciales serán simplemente múltiplos fraccionarios del fundamental.
El resultado de unir frecuencias tan dispares es un periodo armónico extremadamente
largo, como corresponde a su mínimo común múltiplo. Cuando hablábamos del
concepto de disonancia, y más concretamente del índice de consonancia, decíamos
que éste medía la longitud
del periodo de la onda
resultante. En el caso de
composición de sobretonos
fraccionarios su índice de
consonancia será elevado,
indicando que estamos en
presencia de una disonancia.
El timbre de un instrumento
de
percusión
será,
en
general,
disonante
traduciéndose en un sonido
metálico o inarmónico.
En el caso de las
láminas, los parciales tienen
frecuencias
que
siguen
relaciones f, 2,71f, 3,25f,
3,57f, 5,15f, etc., donde f es
Fig. 9.6:Modos de vibración de láminas.
la frecuencia del sonido
fundamental. Los modos de vibración son parecidos a las cuerdas pero, al ser de dos
dimensiones, las láminas también vibran de forma transversal (figura 9.6 y animación
Laminas.avi). Las membranas tienen igualmente sobretonos fraccionarios, y cuando
son circulares, como es el caso del bombo, timbales, tambores, etc., siguen los valores
en donde se hace cero una expresión matemática llamada función de Bessel, que se
produce en fenómenos de simetría cilíndrica.
En la animación Membranas.avi se pueden ver los modos de vibración de
una membrana circular, siendo sus sobretonos de la forma:
f , 1,59 f, 2,14 f , 2, 3f , 2, 65f , 2, 92 f , 3,16 f ,...
125
Fig. 9.7: Espectros dinámicos de un timbal (izquierda) y un tam-tam (derecha).
Además ya hemos dicho que su espectro dinámico es muy variable y el sonido
se extingue rápidamente tras haber sido percutido el objeto sonoro. En la figura 9.7
(izquierda) se puede ver el espectro de un timbal.
Ya que los sobretonos no son armónicos, por no ser múltiplos enteros del
fundamental, el sonido de una nota emitida por un timbal es ambiguo, aunque hay que
tener en cuenta que la membrana está montada sobre un hemisferio que actúa como
caja de resonancia y modifica sustancialmente el contenido armónico. Esto último
mejora la definición de las notas del timbal, lo que no ocurre con otras membranas
como el bombo.
Citaremos también la campana que, a diferencia de otros cuerpos masivos,
posee parciales múltiplos enteros (armónicos), excepto el tercero, de relación 12/5.
Concretamente, en la figura 9.8 se desglosan estos armónicos y se puede apreciar
que se forma un acorde menor en la parte baja y que explica
el por qué el tañer de una campana suele tener un tinte
melancólico. En la pista 44 se ha hecho un experimento,
consistente en una secuencia con notas de piano con la
configuración de parciales de campana. Esta secuencia
“campanoide” con la melodía característica del carillón de la
abadía de Westminster recuerda a dicho instrumento.
Naturalmente no tiene el timbre exacto de una campana
Fig. 9.8: Armónicos de la
puesto que las cuerdas del piano tienen sus propios
campana.
armónicos, pero lo recuerda.
En definitiva, no sería de extrañar que en una cultura
con instrumentos basados en la campana, el acorde natural sería el menor en lugar
del mayor. La única diferencia es que este intervalo menor no es múltiplo entero del
inferior y forma mayor disonancia que en el caso mayor. El parcial de frecuencia más
baja curiosamente no se le suele llamar fundamental sino humming; el fundamental se
entiende como el segundo parcial, es decir, el Do4.
Finalmente existen muchos instrumentos de percusión metálicos con modos de
vibración de extremada complejidad como los platillos, gongs y tam-tam cuyas
vibraciones son mucho más complejas aún y están representadas a la derecha de la
figura 9.7. Los contenidos de parciales de alta frecuencia son abundantes y producen
choques importantes en el sonido, que le confieren su característico timbre metálico.
Estando cercanos al ruido, el sonido emitido por estos instrumentos, no resulta
desagradable, como se muestra en la figura 8.5, y por ese motivo forman parte de la
orquesta sin interferir en la tonalidad, modalidad, atonalismo o cualquier otro recurso.
Este hecho es especialmente interesante cuando se incluye dentro de la orquesta la
electroacústica, puesto que ruidos electrónicos o concretos como viento, olas, truenos
y otros pueden formar parte de la plantilla sonora de la composición actual.
126
9.7 Del espectro discreto al continuo. La transformada de Fourier
Cuando el sonido de un cuerpo se extingue rápidamente, tal como sucede en la
percusión, al tratarlo como un todo, es decir, no como un espectro variable a lo largo
del tiempo sino como una onda completa, se obtiene la llamada transformada,
consistente en un espectro cuyas componentes de frecuencia no son discretas como
se ha visto hasta la fecha, sino continuas. Es decir, que las frecuencias de sus
parciales están infinitamente próximas.
Este suele ser el caso de los instrumentos de percusión. El espectro es tanto
más ancho cuanto más corta es la duración de un sonido. El caso límite es un pulso de
intensidad infinita y duración infinitamente corta llamado delta de Dirac. El espectro de
una delta de este tipo consiste en una banda infinitamente ancha de frecuencias. Este
ente no tiene existencia real pero puede aproximarse como un golpe seco y corto.
Podemos realizar un experimento con un piano acústico dando un golpe sobre la caja.
Cuando se da con un objeto duro, como un bolígrafo de plástico, por ejemplo, se
asemeja a una delta de Dirac; ya que su espectro es muy ancho, abarcará una gran
gama de frecuencias y si se mantiene el pedal del piano bajado escucharemos cómo
la práctica totalidad de las cuerdas vibran. Comparando este golpe con otro dado con
el puño, al ser éste más blando, su duración es superior y su espectro más estrecho.
Normalmente escucharemos sólo las cuerdas graves.
Comparemos este efecto una vez más con la relación señal/ruido. Cuando a un
sonido se le añade una determinada cantidad de armónicos ya hemos dicho en 9.5
que el sonido mejora. Si se suman parciales no armónicos (en relación no entera)
aparece una alteración que resulta aún más cercana al concepto físico de ruido. Al
aumentar el número de parciales se alcanza la relación desfavorable y cuando
aumenta aún más se llega a producir un espectro continuo, transformándose el sonido
en un pulso corto. El batido de un tambor se adapta a este tipo de pulsos que verifica
una vez más el efecto más grato reflejado en la figura 8.5. El tambor puede crear una
célula rítmica, es decir, una señal de orden mayor. Las variaciones de ritmo
constituirán, pues, el ruido de la nueva señal.
9.8 Efecto de la fase en los armónicos
La lámina I ilustra diversas formas de onda
para los intervalos, pero éstas formas no son fijas e
invariables puesto que si varía la fase relativa entre
armónicos las formas varían. Pese a todo, el efecto
que causa en el oído no resulta discernible, a no
ser que, siguiendo la norma general de movimiento,
las fases se muevan a lo largo del tiempo creando
el efecto llamado phasing. En la pista 45 se detallan
Fig. 9.9: Dos terceras con diferentes
sonidos
de tercera mayor con formas de onda de la
fases entre armónicos.
figura 9.9 en donde las fases de los armónicos son
diferentes. En el último sonido las fases varían en el tiempo.
127
CAPÍTULO 10
Más allá de la tonalidad
10.1 Acordes separados por cuartas y quintas
Cuentan que una vez el sultán de un estado árabe, cuando se encontraba en
un país europeo, acudió a un concierto invitado por las autoridades de dicho país y
que, al final de la actuación, a la pregunta de qué le había gustado más, contestó
decididamente que el principio, refiriéndose al momento de la afinación de los
instrumentos. Pues bien, verdad o no, esta anécdota que haría reír a más de uno, no
es tan descabellada. En el momento de la afinación de la orquesta se produce una
impresionante masa de acordes por quintas y por cuartas, por cuya sonoridad quedó
muy impresionado nuestro querido sultán.
Hemos hablado de las tríadas, cuatríadas y acordes de muchas notas en
donde el intervalo que separa a las tres notas X, Y, Z es la tercera. Por extensión
matemática nos entra la curiosidad de construir acordes basados en otros intervalos.
Estudiaremos aquellos que superan la tercera, es decir, cuartas y quintas. Estos
acordes se emplean en música contemporánea pero también se hace en el jazz.
Comencemos por los acordes por quintas. Cuando se toma una tríada de
quintas hay que tener precaución de ubicar la nota grave de tal manera que la superior
esté dentro de la escala natural a la que pertenezca. Se pueden conseguir cuatríadas
de acordes por quintas y de más notas si se sitúa en el bajo la nota desde su orden
más bajo, es decir, que por ejemplo en Do mayor sabemos que la de orden más bajo
es el Fa por su condición de nota negativa, e inicio de la serie de quintas Fa, Do, Sol,
Re, La, Mi, Si. Podemos hacer un acorde de siete notas sin que se salga de la
tonalidad. Si los acordes son por cuartas, que es la inversión de la quinta y un intervalo
“negativo” como se explicó en 6.1, la secuencia se invierte lógicamente de mayor a
menor (Si, Mi, La, Re, Sol, Do, Fa) y tomaremos ahora las primeras notas como bajo si
queremos un acorde de muchas notas.
La sonoridad de estos acordes es impresionante y de carácter marcadamente
épico (recordemos lo que le sucedió al sultán) pero la inclusión de tritonos debilita su
estructura por lo que insistimos en la construcción ordenada según la serie de quintas
recién explicada. En la pista 46 se puede escuchar un fragmento de acordes de este
tipo en mi sinfonía nº 8. Aunque la sonoridad de estos acordes es muy buena tienen
un problema, y es su homogeneidad, siendo prácticamente indiscernibles entre sí. Eso
hace que no se puedan usar durante un tiempo excesivamente prolongado porque
llegarían a provocar la falta de interés por exceso de parecido. Como siempre, el
compositor será quien deba arbitrar su uso.
Fig. 10.1: Acordes por cuartas y quintas.
En la figura 10.1 se ve un acorde por quintas, que puede ser considerado
simplemente como un acorde de novena al que le falta la tercera y la séptima. En la
parte derecha se ve un acorde por cuartas, que es la inversión del acorde por quintas
correspondiente. Los acordes por cuartas o quintas no son consonantes puesto que,
aunque X con Y, e Y con Z sean muy consonantes (más que las terceras), X con Z
forma, bien una novena mayor, o una séptima menor. El nivel de disonancia sería
intermedio entre los consonantes mayores o menores y los de séptima y novena. Si
son cuatríadas, entonces se pueden ver como acordes de decimotercera con sus
correspondientes huecos 3, 7, 11 y, aunque disonantes, eliminan problemas típicos de
estos acordes en cuanto a formación de novenas menores.
128
La característica fundamental psicológica de estos acordes se desprende de
todo lo dicho. Por un lado son levemente disonantes y al faltarles la tercera su
modalidad es ambigua, careciendo de la contundencia de un acorde mayor o menor.
Estos acordes pueden generar sus propias modulaciones, que se producen al
realizar progresiones. Ya se ha dicho que, para completarse, necesitan tener su
fundamental cerca de la nota negativa (Fa en Do mayor) en la secuencia Fa, Do, Sol,
Re, La, Mi, Si por lo que, a medida que avanza la progresión, aumenta la probabilidad
de que su tercera nota no pueda caer dentro de la tonalidad en que se inició; con
mucha mayor razón si empleamos cuatríadas o acordes de más notas. En ese caso, la
última nota habrá que sacarla fuera del tono original y se producirá la modulación
forzosa, a no ser que se introduzca un tritono, cosa poco aconsejable si se desea
mantener la sonoridad de estos acordes. En la figura 10.2 se ven dos de estas
progresiones (pista 47). En la primera de ellas, que es de acordes por quintas
separados por terceras, el cuarto de ellos se ve obligado a modificar el Fa para evitar
el tritono. En la derecha vemos otra progresión semejante de acordes por cuartas y, en
este caso hay modulación brusca a dos bemoles.
Fig. 10.2: Progresiones de acordes de quintas y cuartas.
Estos acordes no admiten inversiones excepto la suya natural que las convierte
de cuartas a quintas y viceversa. La razón es que se pierde su sonoridad
característica, a no ser que sea eso lo que se pretende. Como vemos, la inversión
produce intervalos de segunda y eso merece ser tratado aparte más adelante.
Por su ambigüedad y facilidad de paso a diferentes tonalidades son la puerta al
sistema que se verá en el apartado 10.3.
10.2 Acordes híbridos
Un acorde híbrido se compone de intervalos diferentes entre sus notas. Hay
varios casos, el primero consistiría en un acorde de quinta más una tercera, que en
realidad es una séptima mayor en la que se ha quitado la tercera del acorde. Si
tenemos dos quintas más una tercera, el acorde equivale a un acorde de undécima sin
tercera ni séptima (figura 10.3). En cuanto a la combinación con cuartas, el acorde
formado por una cuarta y una tercera no es otra cosa que de cuarta y sexta tratado en
el epígrafe 6.1, dos cuartas y una tercera es la cuarta inversión de un acorde de
novena mayor en un acorde mayor sin séptima, y un acorde con una cuarta, una
tercera y otra cuarta es la tercera inversión del acorde de séptima sobre el segundo
grado.
En general, los acordes híbridos de relevancia aparecen en la figura 10.3 y
pueden verse simplemente como acordes mayores y menores a los cuales se añade
una nota aparentemente extraña en el bajo. El cifrado se realiza mediante una barra
inclinada a la derecha y a continuación la nota que está en el bajo.
Fig. 10.3: Acordes híbridos.
En la figura aparecen los acordes híbridos junto a aquel del que proceden, en donde
las notas pequeñas son las eliminadas.
129
10.3 Sistemas atonales. Dodecafonismo
Se define un sistema atonal como aquel en el cual no existe ningún centro
preferente sobre el que cadenciar. Hasta ahora hemos visto acordes que necesitaban
resolver, como era el caso del tritono, produciendo un movimiento obligado desde una
dominante hacia una tónica. También se vio que en música modal existían unos
acordes cadentes que daban el sabor característico a dicha modalidad y que en el
caso de cadencias rotas, aún no moviéndose hacia los acordes que era de esperar,
también lo hacían hacia centros bien definidos. Por tanto, un sistema modal no es
atonal.
En una pieza atonal no existen estos centros, ni cadencias propiamente dichas,
sino más bien sucesiones de acordes sin orden jerárquico. En definitiva, lo que sucede
es que desaparece la tónica, (es lo que significa literalmente atonal, sin tónica) y como
consecuencia la dominante, así como cualquier tipo de acorde cadencial. Lo primero
que se nos ocurre es relacionar un sistema atonal con determinadas escalas, y si no
debe existir tónica es porque han desaparecido las jerarquías entre notas. Dichas
jerarquías se producen porque existen diferencias entre los diversos grados, y la mejor
forma de eliminarlas será haciendo que todos los grados de la escala sean
equidistantes. Volviendo una vez más a la figura 5.2, nos encontramos con estas
escalas, que ya se han tratado antes. La primera se trata de la hexacordal, o de tonos
enteros, cuyos grados están siempre separados por un tono. Si las distancias entre
notas son idénticas es porque no existen, efectivamente, jerarquías y cualquier nota es
buena tanto para comenzar como para concluir la pieza. Este es un problema aún no
muy bien resuelto en el atonalismo, y es el saber dar carácter conclusivo a una obra
por lo que el compositor deberá jugar con otros recursos que indiquen que la música
ha llegado a su fin, sin que los intérpretes o los directores de orquesta se vean
obligados a tener que realizar gestos corporales exagerados que indiquen al público el
término de la obra y que pueden comenzar a aplaudir. Uno de estos recursos suele ser
la dinámica33 haciendo que el sonido se extinga paulatinamente. En mi caso particular,
prefiero no terminar con fragmentos atonales sino más bien incluirlos en el transcurso
de la obra, a no ser que emplee una base de electrónica.
Existen más escalas atonales de distancias fijas, representadas siempre en el
círculo de quintas con polígonos regulares, que denotan la equidistancia. Así tenemos
el cuadrado (terceras menores, o tono y medio), que definen el acorde de séptima
disminuida, el triángulo (distancias de terceras mayores, o dos tonos), definiendo
ahora el acorde de aumentada, y otra escala consistente simplemente en distancias de
tritono, quedando reducida a dos notas. Se pueden construir escalas a distancia de
cuarta o de quinta, que enlazarían con los acordes anteriormente descritos y que
revelan que la armonía obtenida con acordes por cuartas o quintas definen, de hecho,
un sistema atonal. Queda la figura del dodecágono que, por su importancia, será
tratada más tarde con detalle.
Las tríadas en la armonía de las escalas hexacordales se forman a base de
acordes de aumentada, todos idénticos. Como los acordes que construyen la armonía
de la escala hexacordal son todos iguales, no hay necesidad de cadenciar y la música
puede moverse sin ningún tipo de norma ante este equilibrio indiferente. Aunque la
representación de esta escala sea geométricamente bella, el resultado no es similar,
precisamente porque un exceso de simetría redunda en algo poco variado (señal) y
que puede conducir rápidamente al aburrimiento, especialmente cuando los acordes
de su armonía, si bien se hallan a distinta altura, son también idénticos en su
estructura. El efecto psicológico de esta escala es exactamente lo que anuncia su
propia descripción matemática: indiferente, homogénea, sin tensión, algo insípida. Por
todo ello, el uso de este recurso debería aplicarse con precaución, sin caer en el
abuso. En la pista 48 se ha incluido un fragmento breve de modo hexacordal y que,
33
En música se entiende por dinámica el volumen del sonido, que va desde piano (baja intensidad) a
forte.
130
como vemos, no tiene un final convincente. En la rueda de quintas se pueden inscribir
dos hexágonos, por tanto hay sólo dos escalas hexacordales posibles.
La escala triangular formada por distancias de dos tonos es un hijo de la
hexacordal, pues es ella misma, en la cual aparece una nota sí, otra no. La cuadrada
no es otra cosa que un simple acorde de séptima disminuida, no siendo de excesivo
interés usarla en solitario puesto que, además, sus tritonos están invitando a resolver.
No resulta un recurso especialmente potente, excepto cuando se aprovecha su
carácter atonal para ser usado dentro de un marco tonal como elemento de
modulación hacia tonos lejanos. Esto es especialmente interesante si se combina con
sus escalas homólogas. En la figura 5.2 se aprecia que en el círculo se pueden
inscribir tres cuadrados, por giro de 30 grados, y eso quiere decir que solamente hay
tres escalas posibles de este tipo. Al no haber jerarquías, cada escala es atonal en sí y
la música puede moverse de una a otra sin necesidad de acordes de enlace excepto la
propia séptima disminuida que define, tal como se dijo en 6.6, cada séptima
disminuida puede derivar a una tonalidad lejana, y si se unen las escalas cuadradas es
posible usarlas como bisagra para aparecer en cualquier tonalidad. Por tanto, las
escalas cuadradas tienen la peculiaridad de ser ambivalentes, es decir, que pueden
ser tanto atonales como tonales. Existe un símil químico con los jabones. Las
moléculas pueden ser polares o no polares; en el primer caso son sales y se disuelven
bien en el agua mientras que en el segundo no se disuelven en agua pero sí lo hacen
en disolventes orgánicos. La molécula de jabón tiene una parte polar y otra no polar;
con la parte no polar atrae las grasas y las obliga a disolverse en agua a través de su
parte polar. Lo mismo pasa con las escalas disminuidas de las que hablamos.
Y nos queda finalmente una importante escala que usa intervalos de semitono,
y que recibe el nombre de escala cromática, representada en la rueda de quintas por
el dodecágono. Esta escala está formada con doce sonidos en un sistema temperado
y crea un recurso muy importante conocido como sistema dodecafónico (de
dodeca=12), que fue introducido por el compositor Arnold Schönberg a principios del
siglo XX. Este sistema usa como base la escala cromática y emplea sus doce sonidos
para las melodías y armonías. Visto así, la tonalidad y cualquier otra escala posible,
sería un caso especial del sistema dodecafónico, si no es porque éste tiene unas
normas que lo apartan de cualquier tipo de tonalidad o modalidad, encuadrándolo
inconfundiblemente dentro de un marco atonal.
La música dodecafónica ha sido injustamente vilipendiada por ser confundida
con la música a la cual yo llamo “música marrón”, consistente en una agrupación
caótica de sonido. Por el contrario, el dodecafonismo es un recurso interesante que ha
sido explotado por compositores como Béla Bártòk en obras como Música para
Cuerda Percusión y Celesta y que también se usa en el cine. Aunque la armonía es
libre, con la condición de no formar acordes tradicionales y mantener así su carácter
atonal, las líneas melódicas están extremadamente trabajadas cuando esta técnica se
une al serialismo, fundamentado en las leyes del contrapunto, y que emplea recursos
como aumentar un tema o disminuirlo, invertirlo o rescribirlo a espejo (conocido como
movimiento retrógrado). En esta técnica, existe un motivo musical central, que es el
que se denomina serie (de ahí su denominación), y se construye a partir de las doce
notas cromáticas, sin que se reconozcan escalas mayores, menores o modales. Dicha
serie se va utilizando en las diversas voces de la manera antes explicada. Para más
información se recomienda consultar libros especializados. Desde el punto de vista
psicológico es bueno para la creación de atmósferas tensas y angustiosas, películas
de terror, etc. Puede el lector escuchar la pista 49, en donde he incluido un pequeño
fragmento dedicado al dodecafonismo serial de mi suite Las Eras de la Música.
Si el dodecágono gira 30º se queda igual que estaba, por lo que sólo existe una
única escala cromática.
131
10.4 El cluster: racimos de notas
Comenzamos el capítulo ampliando los acordes para distancias superiores a la
tercera (cuartas y quintas) y ahora nos preguntamos si se podrían formar con los
intervalos inferiores a ésta, es decir, segundas mayores o menores. Cuando se juntan
varias de estas notas en tales disposiciones definen lo que se llama actualmente un
cluster. Esta palabra viene del inglés y significa literalmente racimo. Si la escala es
una diatónica clásica como un modo mayor o menor, los clusters alternan segundas
mayores y menores, según la posición, y en escalas como la cromática se definen
tríadas y cuatríadas muy variadas a distancias de segunda mayor o menor de manera
indiferente.
Desde el punto de vista físico, los armónicos superiores, como en la figura 2.7,
forman precisamente un cluster. Quizá si situamos uno de estos clusters en zona
aguda y añadimos un bajo a distancia de fundamental no suene tan mal como
parecería a simple vista. El experimento es el de la figura 10.4 y está en la pista 50.
Fig. 10.4: Clusters armónicos.
Se ha elegido una flauta para que los choques sean menores y se ha bajado su
intensidad para simular que son armónicos. La sonoridad no deja de ser dura debido a
que no son armónicos reales sino que estos sonidos instrumentales, a su vez, tienen
los suyos propios. La escala del bajo es, no obstante, perfectamente nítida. El
fragmento se podría definir como una “tonalidad áspera”.
En las escalas naturales los clusters se pueden considerar todos ellos como
acordes de decimotercera en diversas inversiones ya que éstos se componen de todas
las notas de la escala. Por el contrario, en las escalas atonales como la cromática o
hexacordal, resultaría artificioso tratar de encontrar un acorde del cual el cluster sea su
inversión. Simplemente le llamaremos cluster a secas.
Es de esperar que en la composición actual los clusters no se sitúen en la zona
armónica sino en cualquier lugar, pero, de alguna manera, y por el fenómeno de
reconstrucción del fundamental a partir de sus armónicos, el oído detecta en los
clusters un sonido muy grave que produce su efecto psicológico de oscuridad y
misterio, a no ser que su frecuencia se sitúe en el rango infrasónico. Si los clusters
están producidos por instrumentos ricos en armónicos como la trompeta, por ejemplo,
las disonancias son extremadamente duras y pueden llegar a cansar y aturdir. Aunque
puede que ciertos sectores no teman caer en ello, un compositor responsable debería
medir bien este recurso si lo que desea es convertir su estilo contemporáneo en algo
interesante y de calidad.
Añadamos una tercera voz a los clusters de flauta recién hechos, consistente
en un oboe formando politonalidad con el bajo como voz superior a dos quintas de
distancia (Re mayor contra Do mayor en el bajo), que resulta ser el quinto armónico
con lo que se rellenan huecos sonoros y mejora aún más (figura 10.5 y segunda parte
de la pista 50).
132
Fig. 10.5: Clusters con politonalidad.
Esto demuestra que palabras como cluster y politonalidad, que asustan a
primera vista, incluso si están combinadas, son capaces de arrojar un buen resultado
cuando cumplen las leyes de la física. Sin embrago no debería caer en saco roto todo
lo dicho en el apartado 4.7, referente a la falta de concordancia entre armonía y
melodía, con lo que en una pieza, aunque funcione bien armónicamente como el caso
de la figura 10.5, se deberán hacer las consideraciones melódicas pertinentes.
10.5 Música estocástica
En la introducción hablaba de cierto tipo de música a la cual llamo “música
marrón”. En realidad, existen dos conceptos auténticos conocidos como música
blanca y marrón. Esta última, y dada su relación con el movimiento browniano, de las
moléculas de un cuerpo, he preferido denominarla música browniana, por su aspecto
más científico y menos coloquial que “marrón”.
Ambos conceptos se centran en dos aspectos estadísticos diferentes. La
música blanca, llamada así por su semejanza con el ruido blanco, se centra en valores
completamente aleatorios de una melodía, tanto en lo que respecta a su duración
como su altura. Por el contrario, la música browniana, si bien posee ciertas
desviaciones estadísticas entre una nota y la siguiente, dichas fluctuaciones están
correlacionadas con la nota previa. Como una imagen vale más que mil palabras, nos
referiremos a la figura 10.6, en donde se muestran ambos tipos de melodía.
Fig. 10.6: Música blanca y browniana.
La música blanca presenta un aspecto completamente aleatorio o caótico,
mientras que en la browniana, cada nota guarda una relación estrecha con la anterior.
En la segunda, el rumbo que toma cada nota es al azar cada cierto tiempo, bien
subiendo o bien bajando, y su duración el doble o la mitad que la anterior. El cambio
de rumbo, es decir, el momento en el cual cambia de dirección o de duración es
aleatorio, pero ambos parámetros se podrían conjuntar de forma que los cambios
fuesen predecibles. En tal caso, la música browniana representaría la señal y la lógica
total, mientras que la blanca estaría relacionada con el ruido y la ilógica. Estos dos
conceptos ya han sido tratados, y se han deducido igualmente sus repercusiones. En
grafología existe un paralelismo total entre dos tipos de escritura: desligada y ligada. El
primer caso consiste en que las letras de un texto escrito se encuentran sueltas, y en
el segundo están todas ligadas con la anterior y la posterior. En esta disciplina se
considera tan malo lo uno como lo otro, puesto que una escritura desligada
corresponde a una persona ilógica, y en la segunda, el exceso de lógica conduce a
obsesión y fanatismo. Un compositor con escritura desligada compondrá de forma
133
igualmente desligada e ilógica. Otro con escritura ligada al cien por cien creará una
música obsesiva y atenazada, sin libertad.
La música blanca presenta un aspecto caótico y la browniana reducida a meras
escalas, pero ninguna de ambas posee un valor estético aceptable. Lo mismo que en
grafología se dice que la escritura óptima tiene un cierto porcentaje de desligada
(ilógica), una melodía deberá regirse por los mismos principios, si es que nos
queremos adaptar al funcionamiento normal de un cerebro sano. En el caso que
tratamos, si sobre una música browniana practicamos de vez en cuando una serie de
saltos aleatorios, propios de la música blanca, obtendremos unas melodías mucho
más estéticas que sus extremos blanco y browniano. En la figura 10.7 se ha diseñado
una melodía aleatoria híbrida, mezclando los conceptos de música blanca (ruido) y
señal (browniana).
Fig. 10.7: Música híbrida.
Los tres ejemplos, blanco, browniano e híbrido pueden escucharse en la pista 51. La
melodía híbrida propuesta, no es precisamente una obra maestra, pero tiene mucho
mayor valor estético que sus compañeros blanco y browniano.
Quizá uno de los mayores problemas de la música de nuestro tiempo radique
en su crecimiento silvestre a espaldas de todo principio científico que podría haber
arrojado luz sobre un nuevo tipo de estética y no sobre el axioma de la validez de
cualquier cosa. Existen sistemas, más o menos esotéricos, que usan unas tablas de
doble entrada, siendo una de ellas la duración (en negras, blancas, corcheas, etc.) y la
otra las alturas de una secuencia de notas obtenida aleatoriamente. Aún valorando el
esfuerzo, este sistema resulta caprichoso y no obedece a ningún fundamento científico
excepto el de la mera ocurrencia bajo un aspecto aparentemente formal, pues no se
basa en ningún fenómeno tanto físico como fisiológico o neurológico, ni tampoco se
sustenta en investigación alguna. Los conservatorios tampoco ofrecen alternativas
académicas.
Por el contrario, el principio de relación señal/ruido podría ser un buen baremo
para plantear la composición actual, pues es un campo que repercute en muchos
aspectos de la vida cotidiana, incluido el arte y el funcionamiento del cerebro.
Este principio es particularmente interesante en el campo de la electrónica, que
analizaremos después, puesto que su estética llega a apartarse notablemente de los
conceptos clásicos de la música.
En el siguiente apartado analizaremos el caso de la música blanca cuando se
armoniza de una manera semejante, obteniendo una música aleatoria tanto en lo
horizontal como en lo vertical.
10.6 Música aleatoria
En este grupo aparecería la música a la que he llamado coloquialmente
“marrón”. No contiene relación horizontal ni vertical. En su parte melódica (horizontal)
sería simplemente música blanca, y la parte vertical, o armónica, no seguiría ninguna
norma física de las ya vistas. Un acorde se formaría con la concurrencia de notas sin
parentesco. Esta música se crearía a partir de los doce sonidos de la escala por lo que
sería dodecafónica pero no serial. Este tipo de composición ha resultado frecuente en
la segunda mitad del siglo XX, y aunque, como siempre, y siguiendo la tónica de este
libro, no se condena ningún recurso, debería ser analizado minuciosamente antes de
su uso indiscriminado.
Sería bueno conocer previamente algunas peculiaridades del cerebro,
especialmente su tendencia a la sincronización con los patrones de estímulos a los
134
que se halla sometido, lo que ha dado lugar a algunas terapias. El cerebro emite
cuatro tipos de ondas que son de tipo ruidoso, es decir, aperiódicas. Pese a ello, se
pueden reconocer algunas frecuencias aproximadas que, si bien no corresponden a
sonidos senoidales, pueden considerarse ligeramente marcadas. Bajo estas premisas
veamos el siguiente cuadro:
estado físico
vigilia
relajación
umbral del sueño
sueño profundo
onda
Beta (β)
Alfa (α)
Theta (θ)
Delta (δ)
frecuencia base (Hz)
14 – 33
18 – 14
4–8
0–4
Tabla XVIII: Tipos de ondas cerebrales.
En la pista 52, primer sonido, se han reproducido ondas del tipo beta, que son propias
de la vigilia, y en la segunda parte ondas theta propias de estados inductores del
sueño34. Todos sabemos, por ejemplo, que en un largo viaje, el sonido del motor del
coche provoca estados de somnolencia, y eso es porque asemeja las ondas theta
cerebrales. Al escuchar este sonido, el cerebro tiende a sincronizarse con él y aparece
la tendencia a dormir. Tanto las ondas theta como las delta, del sueño profundo,
poseen una frecuencia muy baja y son infrasonidos por lo que se asocian más con el
ritmo. Un batido de esas frecuencias resultan ser hipnóticas y se aprovechan con tal
fin.
La adaptación del cerebro a los estímulos se emplea en técnicas como la
grafoterapia, que consiste en obligar al sujeto a cambiar determinados trazos de su
escritura, transformando el comportamiento cerebral. Lo mismo que la escritura refleja
la personalidad del individuo, los cambios deliberados de su forma también los efectúa
en el cerebro con la práctica grafológica prolongada. Esta técnica, que antes era de
corte esotérico, forma parte ahora de las terapias psicológicas ortodoxas.
Pues bien, toda esta disertación previa nos sirve para analizar qué sucede en
el cerebro frente a la música aleatoria. La forma más caótica de sonido es el ruido, que
ya se estudió en el capítulo anterior. En este caso la señal es débil o nula y no hay
esfuerzo alguno para intentar extraer información ya que ésta no existe. Estos ruidos
son los que ya estudiamos antes y no sólo el cerebro no sufre por escucharlos,
siempre que su volumen no supere los umbrales de incomodidad, sino que puede
incluso ser agradable o sincronizar ondas de relajación alfa o theta. Es lo que en 8.5
se denominó una señal de orden superior. En el caso de la música aleatoria no existen
acordes reconocibles, ni relaciones frecuenciales, nada coincide con nada y las
disonancias se suceden sin resolución ni nexos lógicos entre un sonido y el siguiente.
Aunque aparentemente es ruido en su estado más puro, no es del todo cierto, existe
una cierta señal. Dicha señal se debe a dos factores: el primero es el hecho de poder
reconocer instrumentos, escalas y las frecuencias de las notas que emiten, patrones
que surgen y se extinguen rápidamente, etc. El segundo es que la música la ha creado
una persona y, automáticamente, el cerebro del espectador piensa que esa persona
está tratando de comunicar algo, pero no acaba de entenderlo. Y es esta señal débil la
que resulta molesta, conduciéndonos al caso del cuarto texto, punto más bajo de la
figura 8.5, y en donde existe un enorme esfuerzo por tratar de extraer
infructuosamente una supuesta señal. Si la música se genera electrónicamente puede
parecerse mucho más al ruido, quedando en un punto intermedio entre éste y la
música aleatoria. Además, lo novedoso de algún timbre electrónico inédito añade más
interés que realizar estos cócteles con instrumentos tradicionales.
El caos que la música aleatoria produce en el cerebro se traduce en sensación
de falta de lógica, puesto que a lo largo de este libro hemos tratado de desentrañar las
pautas lógicas que unen los sonidos, y que éstas se entroncan con las leyes físicas.
34
Deberá disponer de un equipo de sonido con una buena reproducción de graves.
135
El abuso del recurso de la música aleatoria encierra un peligro fisiológico desconocido
y que se está practicando hoy en día en numerosas salas de conciertos. El hecho se
basa en la primera propiedad del cerebro de adaptarse a determinados estímulos.
Cuando un cerebro está inmerso día y noche en música aleatoria, se vuelve ilógico, al
igual que ella y procede exactamente igual que cuando se somete a una grafoterapia.
Si bien es cierto que en muchas ocasiones un artista no necesita demasiada lógica
para salir adelante en la vida, otras personas que se hayan adaptado a este tipo de
música pueden sufrir las consecuencias de ésta en aspectos de su vida que necesiten
de la lógica. Alguien adaptado a esa música rechazará sistemáticamente cualquier
intento de razonamiento puesto que no puede seguir ningún proceso de concatenación
intelectiva, y presentará dificultades al tratar de resolver problemas matemáticos o
lógicos. Lejos de querer hacer una crítica, sino un simple descripción psicológica, hay
que decir que quienes componen habitualmente este tipo de obras poseen una mente
vaga e imprecisa en cualquier otro aspecto extramusical de su vida, e incluso su modo
de expresión se tiñe de esa misma característica.
Se dice en medicina que no existen venenos sino la proporción en la que se
toma una determinada sustancia. Por ejemplo, es posible ingerir arsénico o cianuro sin
que pase nada. Los efectos letales de estos productos se manifiestan cuando la
proporción es la inadecuada. Lo mismo sucede con la música caótica que, en sí, no es
letal para la lógica cerebral, sino la proporción en la que se usa. El uso constante de
música aleatoria pura también puede conducir hacia ciertas neurosis obsesivas contra
los acordes y la tonalidad, rechazando hacer cualquier otro tipo de música. Privado el
cerebro del arma de la lógica, se crean círculos viciosos en donde cuanto más se
escucha la música aleatoria, más ilógica se vuelve la persona y, por consiguiente, más
adicta al caos. Este recurso debería ser usado con mucha precaución y sin caer en el
fanatismo. También sería importante realizar un estudio serio psicológico sobre las
curvas de respuesta del cerebro ante diferentes relaciones señal/ruido e investigar
sobre este nuevo tipo de estética con el aplomo y el rigor científico que necesita y no
como hasta ahora, que no se le ha prestado la debida atención.
Pasando al ejemplo práctico, en la pista 53 se han incluido ejemplos de
músicas con diferentes relaciones señal/ruido. En estos casos resulta difícil de
cuantizar precisamente por la falta de investigación sobre formas contemporáneas,
pero un reducido número de personas concluyeron que existía una relación crítica
señal/ruido y que la música menos grata era instrumental, atonal, pero con pequeñas
pinceladas de señal que no acababa de definirse, con el consiguiente desconcierto de
quienes la escuchaban. Por el contrario, sonidos electrónicos decididamente ruidosos
en lo que a su espectro se refiere (no a un volumen particularmente alto) parecían
causar más aceptación. Finalmente, una música con más señal, esto es, más cercana
a las reglas del clasicismo y la física armónica era más fácil de desentrañar y obtuvo
mejor puntuación. En ésta se incluyeron elementos de música celular, de la que
hablaremos a continuación y que, al estar más emparentada con dichas reglas,
definían un mayor nivel de señal.
10.7 Música celular
Este es, sin duda, un curioso tipo de música y que he escuchado en pocas
ocasiones. Básicamente consiste en un tipo de música aleatoria pero consonante. Se
fundamenta en la técnica de celdas modales simples vistas en el párrafo 7.6 pero
distribuida esta vez al azar en lugar de seguir la pauta de un polígono regular. Cada
celda se encuentra en una determinada tonalidad o modalidad, con lo que no es
especialmente disonante, a diferencia de otros tipos de música aleatoria. Baste para
ello decir que dentro de cada celda puede existir incluso, un acorde mayor o menor,
con lo que la consonancia sería total.
Vemos que es, en efecto, relativamente aleatoria puesto que no existe ninguna
relación lógica de una celda con la siguiente. Por ejemplo, podrían sucederse
armonías de Do mayor, Fa# mayor, Si bemol menor, Re mayor, La bemol menor, La
mayor, etc. No existe justificación alguna entre un acorde y el siguiente produciendo
136
una armonía consonante pero inconexa desde el punto de vista físico estudiado a lo
largo de este libro. Las células armónicas pueden ser muy cortas con lo que la melodía
se mueve de forma errática por todas las tonalidades engendrando en realidad una
escala dodecafónica atonal en el sentido de su definición, es decir, que no existe un
centro preferente donde cadenciar. El efecto psicológico que produce depende de la
duración y la habilidad del compositor a la hora de controlar el efecto final. Cuando la
obra es corta el efecto es positivo porque no castiga con la disonancia y la persona se
muestra bastante tolerante a ella. Por el contrario, si se prolonga en el tiempo, la falta
de cohesión comienza a producir una completa indiferencia, es como un cilindro
apoyado en el suelo sobre una generatriz: el objeto rueda pero siempre parece estar
en la misma postura pues todas ellas son indiscernibles. En este caso, la música
celular tiene un efecto negativo sobre el cerebro y suele terminar en el aburrimiento
por falta de estímulo ni de dirección hacia la que moverse. No hay ningún vector en la
música que trace una ruta. Ante una hipotética composición en donde se hubiera
abusado de este recurso una persona normal creería que su autor podría ser
demasiado inmaduro como para pretender transmitir algo concreto. Posiblemente
sería la piedra angular que buscaba aquel señor de los algoritmos del que hablamos
en la introducción, una música que no produciría ningún efecto al igual que el
elemento neutro de una operación matemática35.
En la pista 54 se ha detallado un fragmento celular. Se puede comprobar que el
recurso no es malo en sí, siempre que no se abuse de él o se sepa usar con destreza.
Aplicando los conceptos de la teoría de la información, un pequeño fragmento de esta
música puede contener su parte de señal y ruido pero si es largo, el exceso de
parecido hace que comience el fenómeno que se denominó redundancia, aparentando
que el autor nos repite su discurso una y otra vez.
10.8 Música sucia
En el argot de composición se llama coloquialmente “ensuciar” al proceso de
alterar una obra tonal produciendo determinadas disonancias y excursiones de la
tonalidad de forma que la obra quede distorsionada y no sea reconocible su estructura
tonal.
Este proceso resulta peligroso y, tras el proceso de “ensuciado”, la obra debe
ser inmediatamente escuchada para ver el efecto pues éste puede resultar muy
negativo, sobre todo porque el cerebro estructura e identifica la base tonal y considera
tales excursiones como fallos del intérprete en lugar de pinceladas atonales.
Si el proceso cae en el descontrol la obra queda definitivamente estropeada ya
que el ensuciado se reconoce como ruido incoherente, y si la señal es clara, el
conjunto se sitúa en la zona mala de la figura 8.5, equivaliendo a una orquesta
desafinada, inadmisible en cualquier estilo. En la pista 55 se muestra un ejemplo de
música sucia en donde la alteración de la línea principal está descuidada y cae de
lleno en la zona problemática, con el consiguiente efecto negativo. Aunque pueda
resultar el ejemplo una caricatura, diré como curiosidad, que en cierta ocasión,
haciendo un curso de composición, el profesor “vanguardista” expuso un proceso de
ensuciado en donde las notas del mismo nombre presentasen diferentes alteraciones
cuando coincidían verticalmente o durante un mismo fragmento armónico. A ello
alegaba que juntar, por ejemplo en un mismo acorde, Re natural, sostenido y bemol,
añadía “riqueza” a la composición. El fragmento de la pista 55 se ha realizado a partir
de una obra tonal con un proceso de ensuciado semejante al promulgado. Juzgue el
lector por sí mismo su opinión sobre la “riqueza” de esta obra.
El ensuciado de obras es bastante delicado y suele conducir a resultados que
no agradan al público en general. En este caso sí sería aplicable que un auditorio
formado por personas con conocimientos musicales pueden valorar mejor este tipo de
obras, pues están más acostumbradas a escuchar disonancias y técnicas similares, lo
35
En una suma el elemento neutro es el cero. Cualquier número al que se suma cero resulta inalterado.
En el producto el neutro es el uno; cualquier número multiplicado por uno es él mismo.
137
que les hace más receptivas y condescendientes con lo que el compositor ofrece. Sin
ir más lejos, el propio Mahler hizo un proceso de ensuciado en su cuarta sinfonía,
tratando de imitar un ambiente teatral sórdido en donde aparece un violinista callejero,
bohemio y completamente bebido. El solo de violín debe imitar ese efecto de
desafinado, propio de un intérprete ebrio, por lo que se procede a ensuciar la obra. En
este proceso aparece el reto de dar a entender al espectador la escena que se
describe y que sólo un artista genial, como lo fue Mahler, pudo llevar a cabo
satisfactoriamente.
Cuando el ensuciado es torpe y da lugar a equívocos, un intérprete debería
negarse a interpretarlo, pues el espectador puede confundir fácilmente una obra mal
planteada con un pésimo intérprete.
10.9 El caos sonoro
Y llegamos por fin a la “música marrón” o caos sonoro. Si bien la música
aleatoria ya presenta unos ciertos problemas debido a su falta de parentesco
armónico, aún resulta posible estructurarla de tal forma que la señal se haga lo
suficientemente notable como para mantener un interés y una cierta forma. El
planteamiento puede ser atonal, pero conservando crescendos, pianos y fortes y cierto
parentesco entre sus notas aunque sean clústeres. Eso sería de un efecto
relativamente bueno (pista 56).
No obstante, aún eso se puede perder y generar definitivamente el caos
sonoro, no solo en cuanto a la armonía, sino referente a cualquier posible estructura.
Igual que en los casos anteriores, un caos completo no sería especialmente molesto,
siempre que las frecuencias en uso no sean hirientes, pero si alcanza la relación
crítica señal/ruido, entonces se produce la música marrón. Esta música, careciendo
por completo de la señal primitiva, es susceptible de generar a su vez otra nueva,
completamente predecible tal como se trató en 8.5 y que puede caer fácilmente en la
monotonía. Aunque existe un determinado público que escucha y goza con el caos
sonoro, indudablemente por encontrar aceptable esta nueva señal de orden superior,
la mayoría de los cerebros normales no suelen hallar suficiente sustancia en él y les
resulta difícil mantener la atención en algo tan aburrido, con el consabido disgusto
hacia este tipo de conciertos. Un ejemplo de “música marrón” puede escucharse en la
pista 57.
La falta de estudio de estos fenómenos, como relaciones señal/ruido y
funcionamiento del cerebro es quizá responsable de las grandes dificultades que ha
tenido la música contemporánea, y que ha degenerado en enfrentamientos dialécticos
entre compositores, críticos, intérpretes y público. No existen en la actualidad unas
normas precisas para la composición llamada vanguardista y eso ha dado lugar a una
enorme especulación. Por un lado, los compositores achacan el rechazo del público a
la ignorancia y a su falta de preparación y, por el otro lado, el público se siente
engañado. Los intérpretes también están divididos radicalizándose ambos bandos. Al
final de este capítulo propondremos un arbitraje para esta situación.
Lo cierto es que, llegado el atonalismo a principios de siglo, cierta cantidad de
público decidió rechazar de plano esas nuevas tendencias y entregarse a una música
que era más fácil de comprender floreciendo el pop y el rock, que son plenamente
tonales. Otro sector tomó un camino intermedio con música tonal, desenfadada pero
de mayor complejidad armónica, y así avanzó el jazz. Personalmente creo que hoy en
día faltan estudios serios que diluciden de una vez por todas, qué es aceptable y qué
no lo es en el género vanguardista de nuestros días y que integren las diversas
tendencias musicales que se escindieron en el siglo XX.
10.9 Electroacústica
A diferencia de un compositor clásico o instrumental, que no necesita de
conocimiento alguno sobre acústica, aquel creador que quiera realizar trabajos sobre
electroacústica, sí necesitará conocimientos científicos. Tendrá que saber qué es un
138
armónico y la acción que tiene sobre el sonido un filtro pasabajos o pasaaltos. Un
modulador en anillo, por ejemplo, es un dispositivo que multiplica dos ondas. Si un
determinado sonido posee armónicos superiores con intensidad grande, éstos pueden
chocar en acordes que no son teóricamente disonantes.
La electroacústica es un campo muy extenso y ella sola ocuparía un tratado
completo de muchas páginas, motivo por el cual no podemos entrar en materia con la
suficiente profundidad en este libro. Remitiremos al lector a la literatura específica
sobre este tema.
Hablaremos de la electroacústica como una herramienta que ha revolucionado
la propia estructura de la música. Antiguamente existían notas específicas y definidas,
emitidas por los instrumentos acústicos. En teoría de la información se dijo que un
sistema con notas era discreto y que cada nota recibía el nombre de carácter. Las
escalas correspondían al alfabeto. A diferencia de un sistema discreto, la electrónica
produce timbres cambiantes, haciendo que una sola nota pueda evolucionar en el
tiempo de manera sorprendente. Cuando un timbre varía mucho, el instrumento
electrónico no puede ejecutar notas rápidas puesto que perdería su efecto peculiar. Si
el compositor desea elaborar melodías tendrá que recurrir a timbres parecidos a los
acústicos o mezclar éstos con la electrónica.
El mundo tímbrico que se presenta al compositor puede llegar a abrumar.
Aparte de esto, la costumbre de escuchar instrumentos acústicos nos hace poder
concebir fácilmente una obra, ya sea desde una canción simple con acompañamiento
de guitarra, hasta una orquesta sinfónica. Con la electrónica la composición se hace
muy difícil, tanto de concebir como de tratar de recrear un timbre electrónico que
suene en nuestra cabeza.
La electroacústica es una técnica que, por ser muy maleable, permitiría graduar
muy bien la relación señal/ruido y permitir hacer música de buena calidad, siempre que
se admita que dicha relación sea la responsable de la estética musical.
10.10 Otras técnicas: microtonalidad y espectralismo
Será bueno comentar algunas otras técnicas modernas y discutir su viabilidad.
Concretamente serán dos: microtonalidad y espectralismo. La segunda consiste en
una técnica para el tratamiento del timbre y tiene un fundamento físico muy concreto.
Sabemos que en el sonido aparecen siempre parciales, ya sea armónicos o
sobretonos (recordemos que los primeros tienen relaciones de frecuencia de números
enteros y los segundos son fraccionarios). Pues bien, sabiendo que estas ondas están
siempre ahí, el espectralismo las busca, filtra y trabaja con ellas. Sería muy tedioso
tratar de explicar los métodos ya que ellos supondría al lector con un nivel alto de
conocimientos en electrónica (filtros pasabajos, pasabanda, de rechazo de banda, así
como factor de resonancia, moduladores en anillo, etc.). Baste decir que los parciales
se procesan y esto produce un efecto en el timbre del sonido, tal como ya se comentó
en el capítulo 9. Aunque muchos compositores que utilizan esta técnica cultivan el
atonalismo, hay que decir que la técnica en sí, no se circunscribe necesariamente a
esta estética y puede usarse también dentro del marco tonal.
No se puede decir otro tanto de la microtonalidad. Una persona no debería
confiar en que el uso de un término rimbombante justifique un determinado trabajo. Al
final del capítulo 4 se habló de la limitación que supone la longitud de una cóclea en
cuanto a la resolución de dos frecuencias próximas, y que ello suponía la percepción
de la disonancia. En ese mismo apartado 4..8 se sugirió la inclusión de un organismo
extraterrestre, con una fisiología ampliamente diferente a la nuestra, para poder
percibir nuestras disonancias como consonancias. Pues bien, imaginemos lo que
supone crear música en escalas microtonales con intervalos que la tradición ha
identificado con lo que se llama desafinar. Un intervalo de quinta justa más un cuarto
de tono es, simplemente, una quinta desafinada e inadmisible en cualquier concierto.
El resultado positivo o negativo de esta interválica se deberá estudiar según lo
expuesto en 4.6, que es donde se investigó si los intervalos temperados (que
corresponderían realmente a una microtonalidad), evitando así caer en el engaño de
139
alguna nomenclatura más o menos altisonante. Valga como ejemplo, algo cómico, que
sería el resultado de calificar a una orquesta con los adjetivos: microtonal de banda
ancha. Realmente esto impresiona, parece algo épico, cuando no es más que una
orquesta incapacitada para que varios de sus músicos, supuestamente tocando al
unísono, emitan una misma nota sino un amasijo de sonidos desafinados.
10.11 ¿Bueno? ¿Malo?
El arte no es un fenómeno físico ni matemático y eso lleva a una ambigüedad
total en la definición de qué es bueno y qué es malo. Cuando un aparato no funciona
bien, se puede demostrar científicamente su poca calidad porque no cumple
determinadas especificaciones para las cuales fue creado expresamente. En el caso
del arte las fronteras son mucho más difusas y polémicas. Una misma pieza de
Stockhausen, por ejemplo, puede parecerle a algunos una obra maestra y para otros
la expresión de un perturbado mental. ¿Es relativo el concepto de bueno y malo?
¿debería abandonarse dicho concepto puesto que depende de quien lo escuche?
Existen valores relativamente absolutos como el hecho de que un conjunto
instrumental emita un ancho de banda de frecuencias que produzcan malestar. A eso
normalmente se le llama desafinar y propio de malos intérpretes. Incluso se podría
demostrar con aparatos el nivel de desafinación y cuantificarlo con una cifra, un índice
numérico que expresase la baja calidad de una determinada interpretación. Algo más
difícil que esto resultaría ponderar la mediocridad tímbrica, es decir, el sonido emitido
por un instrumento malo, pero aún así se podría llegar a hacer un recuento de sus
armónicos, variaciones de los mismos y así también se expresaría numéricamente la
calidad instrumental.
Otra cosa muy diferente es la valoración artística de una determinada obra.
Podríamos citar otro ejemplo: un concurso de composición, en donde la decisión se
confía a un jurado compuesto por personas de reconocido prestigio. Faltaría saber
también cómo se ha llegado a ese supuesto prestigio que, generalmente consiste en
su aceptación por parte de un buen número de personas cercanas al arte que
practican. Eso no quita, sin embargo, que su criterio esté impregnado por sus propias
ideas y convicciones, y que juzguen de acuerdo a un código parcial que no se ajusta a
ninguna norma científica ni mesurable. Hoy en día se presenta la paradoja de que un
jurado puede ser elegido por esa aceptación mayoritaria y que, contra todo pronóstico,
premien una obra que sea del desagrado general del público.
También hemos comentado que algunos compositores de músicas difíciles
achacan a la falta de conocimiento del público la mala acogida de sus obras pero
tampoco son capaces de demostrar científicamente que sus obras alcancen la calidad
necesaria. En pocas palabras, la apreciación del arte no deja de ser un fenómeno
subjetivo y demasiado ambiguo. Suele suceder que una determinada película haga
mella en una persona que se identifique especialmente, bien con el guión, bien con
algunas circunstancias, o bien con ciertos personajes. Una persona que haya sufrido
por causa de un desengaño amoroso resonará más con guiones que traten de ese tipo
de sinsabores, mientras que un homosexual tenderá a valorar más las películas que
traten de los problemas sociales que se derivan de las tendencias sexuales de una
persona inmersa, por ejemplo, en una sociedad intolerante con este tipo de cosas.
A esto se suma todo lo dicho en 8.5 sobre las diferentes impresiones hacia una
señal dada en función de los mecanismos particulares cerebrales del individuo,
haciendo que cada persona se incline en mayor o menor medida a determinadas
temáticas en función de su propia personalidad pero, aún así, insistiremos de nuevo
en la pregunta de si hay arte bueno y arte malo. Es muy posible que, por mala que sea
una representación de teatro, siempre exista una persona a la que le parezca bien, y
basta que eso ocurra para no poder calificar la función como “mala” desde un punto de
vista unánime. La única solución matemáticamente aceptable sería realizar una
estadística de las personas a quienes les ha gustado y a las que no, evaluando
igualmente el nivel cultural de las mismas. Con ello se podría generar un índice que
combinase el número de personas a favor o en contra y su nivel cultural. Pese a todo,
140
decidir si algo es bueno o malo en función de la cifra alcanzada por dicho índice no
pasaría de se un mero convenio sin un claro valor objetivo y absoluto.
Concluiremos, para no herir susceptibilidades, que los gustos son subjetivos y
que también dependen de los diferentes funcionamientos cerebrales. Hay gustos
mayoritarios y minoritarios, tan respetables unos como otros y nadie debería censurar
a ciertos sectores del público por el mero hecho de que su gusto no se adapte a
determinado estilo. Cada forma musical debería igualmente dirigirse al sector
adecuado y eso no debería suponer ningún problema. Lo que es un clarísimo error es
ofrecer a un determinado público un lenguaje que se sabe positivamente que no va a
asimilar y luego echar la culpa del fracaso a la incapacidad intelectual de éste, cuando
la única incapacidad es la de aquel que ha realizado la programación.
Este nuevo siglo se presenta prometedor porque cada día que pasa la opresión
de las modas pierde fuerza, haciendo que la personalidad de cada compositor se
pueda desarrollar con normalidad, evitando tener que soportar censuras que, por otra
parte, no se fundan en fenómeno científico alguno ni tampoco pueden medirse.
Contrariamente a la opinión generalizada, la música está lejos de terminar; en
mi modesta forma de ver las cosas, creo que lo que está es empezando, ya que en
tiempos de Bach o Mozart no existían la cantidad de recursos que hay en la actualidad
y cuando el atonalismo del siglo XX deje de ser una moda que excluya al resto de los
estilos para pasar a ser un recurso más, estaremos en disposición de usar la enorme
paleta que, tanto el siglo XX como la tradición de varios siglos de música, ha dejado en
nuestras manos.
10.12 En busca de una estética
En lugar de aceptar como premisa la incapacidad del público para entender un
nuevo tipo de estética más actual, o que no ha escuchado suficiente cantidad de obras
en esa línea, he partido justamente de todo lo contrario, del axioma de pensar que si lo
que hago desagrada a un gran número de personas, es porque algo está fallando en
mis planteamientos. Como ya hemos discutido ampliamente en anteriores apartados,
ambas premisas son igualmente válidas siempre que se aplique el principio de no
obligar a nadie tener que soportar aquello que le disguste y que cada tipo de música
se dirija al público adecuado.
En este apartado estudiaremos el principio de producir una estética aceptable
para un gran número de personas y, cómo no, mediante la aplicación de los principios
de la teoría de la información. Para ello se dispusieron diez fragmentos de música
atonal, o difícil, con el fin de que fuesen valorados por un grupo de X personas. Este
grupo se formó con personas de nivel cultural alto y la mitad de ellos con
conocimientos musicales (alumnos del conservatorio y músicos). La música tonal
posee unas normas muy claras y no se necesita hacer ningún trabajo de investigación
para dilucidad qué es bueno y qué no. Antes de dar el resultado quizá prefiera hacer
usted mismo el test y después conocer la respuesta de la muestra de observadores
del experimento y compararlo.
Las piezas fueron las siguientes, algunas de ellas ya las conoce:
Sonido 1: pista 58.
Sonido 2: pista 35.
Sonido 3: pista 54.
Sonido 4: pista 56.
Sonido 5: pista 37.
Sonido 6: pista 57.
Sonido 7: pista 59.
Sonido 8: pista 36.
Sonido 9: pista 60.
141
Sonido 10: pista 55.
Para realizar la valoración estética, cada fragmento debe ser puntuado de cero
(disgusto total) hasta 10 puntos (aceptación plena). El resultado estadístico dispuso en
forma de diagramas de barras y posteriormente se pasaron a curvas para poder
compararlos en una misma gráfica. Para poder realizar un estudio comparativo
coherente de las diferentes muestras, sería menester establecer su relación
señal/ruido y ubicar la muestra en la figura 8.5. A diferencia de lo que sucede en teoría
de la información con las secuencias de datos, asignar un valor numérico a nuestras
muestras, y en general a cualquier expresión de arte, es algo prácticamente imposible
debido a la gran cantidad de variables y parámetros en juego. Esa es una de las
razones por las cuales hay que recurrir a estadísticas y también el fenómeno de la
dispersión de datos, algo ausente en teoría de la información. La dispersión de datos
se produce, tal como se explicó en el apartado 8.1, a la falta de unanimidad de los
distintos observadores, que actúan con criterio propio característico de su condición de
persona y no de máquina. Además, como veremos, en el estudio de una serie de
muestras se superponen diferentes aspectos que analizaremos debidamente.
Daremos una aproximación de la situación de la muestra en el diagrama de la
figura 8.5 evaluando su cantidad de ruido y señal. El primer estudio ya se ha
consignado en 8.6, y se refiere a la diferencia entre una portadora de primer orden
(muestra de la pista 36) y otra de orden mayor (pista 37). Ninguna de las dos ha
obtenido buena calificación pero la portadora de primer orden ha sido la peor casi por
unanimidad. La razón es simple: un sonido puro mantenido es totalmente predecible y
la información que contiene es nula por lo que su valor musical es igualmente nulo. En
cambio, la muestra de la pista 37 tiene mayor riqueza y produce mayor dispersión en
las opiniones. Ordenemos ahora las muestras según la cantidad de señal o ruido que
contengan.
El orden es el siguiente:
Pista 36 (sonido puro)
Pista 54 (música celular)
Pista 56 (música aleatoria)
Pista 59 (“marrón claro”)
Pista 57 (“marrón oscuro”)
Pista 55 (Música “sucia”)
Pista 60 (música electroacústica)
Pista 37 (efectos naturales)
pista 58
pista 59
Fig. 10.8:Dos estadísticas de muestras semejantes.
Ahora justificaremos el porqué de este ordenamiento pero, como curiosidad,
diremos que en la prueba se introdujo un dato redundante, con dos músicas bastante
142
similares, que son las pistas 58 y 59. El resultado estadístico fue muy similar (figura
10.8), lo que demuestra que los sujetos de experimentación supieron identificar
perfectamente dos muestras con una relación señal/ruido semejante.
Es evidente que la pista 36 es una portadora de primer orden y que deberá
ocupar la relación S/R más alta. La pista 54 ocupa el siguiente lugar puesto que tiene
un nivel tenue de ruido, consistente en desligar las relaciones armónicas entre las
diferentes celdas. Un paso más de ruido creará mayor nivel de disonancia pero
conservando estructuras rítmicas y una cierta relación secuencial entre notas, es decir,
que contiene crescendos y decrescendos, y puntos similares con la música browniana,
tal como se dijo en 10.5 (música aleatoria). Rompiendo algo más estas relaciones, las
muestras se aproximan hacia el punto problemático de la figura 8.5 y obtenemos la
primera muestra de la “música marrón”, como la he llamado (pistas 59 y 57). Nótese
que, para diferenciarlas, y dado que la densidad sonora de ambas es muy diferente,
les he añadido el calificativo de “claro” y “oscuro”. De las dos, la segunda muestra
tiene un aspecto más caótico y, por consiguiente, es más ruidosa. Tal como ya se ha
dicho en 10.9, se conserva una señal de notas discernibles debido a los instrumentos
acústicos y se sitúa en la peor relación S/R. A este aspecto se superpone otro,
referente a la predictibilidad de la señal. Ciertamente las notas se suceden en forma
azarosa pero, precisamente es ese azar el que hace que el oyente sepa con certeza
que la siguiente nota será tan arbitraria como la anterior y generará una portadora de
orden superior. El resultado es una cantidad de información deficiente, y su curva
estadística, la número 5, tiene una calificación mala.
En la figura 10.9 se pueden ver las distintas curvas y cómo un ruido creciente
hace decrecer su calidad al aproximarse a la relación crítica.
efectos
naturales
electrónica
celular
aleatoria
“marrón claro”
portadora “marrón oscuro”
6
1
3
5
2
7
4
Fig. 10.9: Diferentes curvas de calidad en función de la relación S/N.
Ahora vamos a subir el ruido aún más haciendo que los timbres sonoros de
instrumentos tradicionales no sean reconocibles como tales. Eso es fácil recurriendo a
143
la electroacústica, obteniendo la muestra de la pista 60. Una vez más se superponen
aquí conceptos diferentes. La pista 60 y la 35 son ambas electroacústicas, pero la 35
obtuvo en la figura 8.6 un mal resultado, mientras que la 60 (curva 6 de la figura 10.9)
ha sido mucho mejor aceptada ¿por qué? El propio lector podría deducirlo fácilmente:
la pista 60 es monótona, tiene muy poca información y posee características de
portadora, mientras que la 35 se presenta mucho más variada (con más ruido en
relación a la pista 60) y está más cercano al máximo de calidad de la figura 8.5.
Finalmente se ha optado por eliminar por completo las frecuencias reconocibles
como notas musicales y aparece una pista con sonidos naturales, físicamente ruido,
que obtuvo la máxima aceptación (curva 7). Además, a esto puede sumarse el efecto
relajante que este tipo de sonidos causan en los organismos vivos.
Hemos visto en todo este desarrollo lo entremezclado de los conceptos. Eso
sucede porque cada magnitud física puede generar su propia serie de relaciones
señal/ruido, es decir, la armonía, el ritmo, el timbre, etc. Como norma general se ha
visto en las estadísticas que la monotonía equivale a una portadora y que las señales
que se mueven poco tienen poca información y tienen poca aceptación.
Pero queda algo interesante, relacionado con una relación señal/ruido crítica,
normalmente producida por la interferencia de dos señales poco compatibles
(recuérdese el ejemplo del conferenciante del apartado 8.4). Se trata de una música
“sucia” que ha sido especialmente diseñada para que esté en la relación crítica. El
resultado de la estadística reveló que el público quedó desconcertado (figura 10.10)
con un resultado global negativo pero sumamente dividido entre lo malo y lo muy malo,
con una pequeña fracción que pensó que era interesante. La razón se debe a que se
está dando en esta muestra una de cal y otra de arena. Parece que la base es
coherente, se trata de música tonal que “chirría” de vez en cuando, terminando en un
acorde mayor. Los sentimientos del oyente oscilan entre la aceptación y el rechazo y
le resulta difícil evaluar qué ha pesado más, si lo positivo o lo negativo.
De la figura 10.9 parece desprenderse que la peor música es la “marrón
oscuro” (descartando, naturalmente el pitido de la pista 36, que se ha introducido nada
más que por motivos de control). Eso es completamente cierto si la tónica de la obra
es similar de principio a fin, pero no del todo cierto si es solamente un fragmento. Es
decir, que la calidad de una música depende mucho de todo lo que ocurrirá a lo largo
de un desarrollo prolongado. En nuestro experimento hemos tenido que optar por
muestras cortas para no cansar a los voluntarios pero, por ejemplo, si una música con
aceptación, como la celular, se prolongase durante mucho tiempo, acabaría por caer
en la monotonía decayendo su
música sucia
calificación ostensiblemente. Si una
música como la marrón oscuro ocupase
una fracción pequeña de una obra más
larga, mejoraría su situación porque
dejaría de ser tan monótona y
predecible; añadiría información, en
otras palabras.
En el pico máximo, óptimo de la
fig. 8.5 se situaría la música clásica
tradicional, pero eso no quiere decir que
una música tonal sea siempre buena ni
Fig. 10.10: Estadística sobre música “sucia”.
mucho menos. Las hay pésimas y son,
además mucho más fáciles de juzgar que las atonales. Para una composición tonal
rezan los mismos principios y, pese a cumplir normas estéticas, puede que no
transmita ninguna información, que no aporte absolutamente nada nuevo, y que esa
falta de información haga que sea poco o nada aceptada por el oyente. Lo que sucede
es que una música atonal, por su condición disonante y difícil, será mucho más
criticada si no es buena, y necesita un tratamiento mucho más cuidadoso que la tonal,
lo cual no suele suceder en muchos casos.
144
10.13 ¿Lo sublime es parametrizable?
Hemos tratado los principios físicos del sonido que hacen que un sonido sea
duro o fácil al oído, el desarrollo a lo largo del tiempo producido por resoluciones y
progresiones armónicas. Son centros de referencia donde el oído tiende a sentirse
más cómodo o entender un discurso lógico. También nos hemos adentrado en formas
más atrevidas y modernas en donde al parecer, la teoría de la información juega un
papel importante a la hora de decidir si la música transmite o no algo.
Todo esto constituye un material básico en donde asentar el arte de la música;
es lo mismo que juzgar a un buen intérprete y diferenciarlo de otro malo. Al menos
debe cumplir una serie de condiciones sin las cuales no se puede construir una obra
de arte. Un buen intérprete no debe desafinar, debe sacar un timbre hermoso a su voz
o al instrumento que toca y tiene que poseer una técnica que le impida cometer
errores, tanto rítmicos como dar notas equivocadas. Pero hay algo más, consistente
en la transmisión de algo intangible, de naturaleza si se quiere espiritual, que provoque
sentimientos profundos en el oyente. Puede que un cantante de voz privilegiada y
técnica impecable sea incapaz de transmitir eso y acabará por aburrir. Ciertamente
también se puede aplicar la teoría de la información, aunque esta vez lo que se exige
no son meros elementos sonoros originales que eviten la monotonía, sino la emisión
de otro tipo de información, mucho más sutil y difícilmente plasmable en números o
fórmulas
matemáticas:
es
la
comunicación de una vivencia mental,
psicológica. Hay tendencias actuales
(recordemos la anécdota de los
algoritmos) que desprecian por completo
estos aspectos y los califican de
“anticuados”. En ese caso lo sublime
sería por completo parametrizable ya que
ni siquiera existirá semejante concepto
de “sublimidad”, relegándose a simples
ondas transmitiéndose por el aire sin
finalidad alguna. En ese caso no hacen
falta normas, ni siquiera público,
simplemente el autor de la obra.
Volviendo a nuestro punto de
Fig. 10.11: Fractal del conjunto de Madelbrot
vista anticuado, parece que lo sublime no
se
puede
reducir
fácilmente
a
ecuaciones. Sí es cierto que cualquier música se puede contemplar en su lado físico
como ondas más o menos complicadas y de esta manera reducir matemáticamente
hasta la obra más profunda, espiritual y grandiosa. Yo mismo tengo en varios CD ROM
las obras de pintura más excelsas de la humanidad, tomadas de los museos más
importantes del mundo, y reducidos a una secuencia de ceros y unos. La obra musical
más excelsa, interpretada por el mejor director de orquesta de todos los tiempos se
reduce igualmente a una secuencia de ceros y unos. Pero no es eso lo que significa
parametrizar lo sublime, ya que su verdadera misión no es la de digitalizar a posteriori
lo ya hecho sino crear desde cero la belleza, lo que implicaría conocer la descripción
matemática de ésta. Hay algunos estudios sobre el segmento áureo y las series de
Fibonacci, pero esto es lo mismo de lo que hablábamos antes, es un sustrato sobre el
que construir, no el reflejo de la belleza misma. Desde luego hay estudios sobre
fractales, innegablemente bellos y que parten de una función matemática muy
concreta (ver figura 10.11) pero aún no parece suficiente comparar un efecto físico
estético con la honda impresión causada por una sinfonía o una misa de requiem.
Quizá algún día pueda determinarse esto pero, hoy por hoy no existe ninguna fórmula
que, supliendo a la genialidad del artista, permita a un compositor hacer esa música
que deja huella. Si se consigue algún día no cabrá duda de que nos habremos
adentrado en uno de los misterios más profundos de la existencia: el origen y la
naturaleza misma de la consciencia, el fundamento mismo del alma humana.
145
Apendice A
1. Suma de dos ondas
Vamos a demostrar que cuando se suman dos ondas senoidales, el resultado
es una nueva onda senoidal cuya frecuencia es la semisuma de las frecuencias de las
notas de partida y que está modulada por otra sinusoide de frecuencia la
semidiferencia.
Para ell recurriremos a la expresión de la onda en su notación compleja, es
j 2 πνt
, en donde j es la unidad imaginaria ( j = −1 ), n la
decir: exp( j2πνt) = e
frecuencia de la onda y t el tiempo. La razón estriba en que la demostración en
notación compleja es mucho más compacta y simple.
Sean dos ondas de frecuencias n1 y n2. Expresemos su suma como Ψ(t):
ψ (t) = exp( j2πν1t) + exp( j2πν 2t) .
La expresión se puede desarrollar de la siguiente forma:
ψ (t) = exp( j2πν1t) + exp( j2πν 2t) = exp( jπν1t) ⋅ exp( jπν1t) + exp( jπν 2t) ⋅ exp( jπν 2t)
Ahora vamos a hacer una operación invariante en cada sumando del segundo
miembro multiplicando y dividiendo por la misma cantidad:
ψ (t) = exp( jπν1t)
exp( jπν 2t)
exp( jπν1t)
exp( jπν1t) + exp( jπν 2t)
exp( jπν 2t)
exp( jπν 2t)
exp( jπν1t)
ψ (t) = exp [ jπ(ν1 + ν 2 )t] exp [ jπ(ν1 − ν 2 )t] + exp [ jπ(ν 2 + ν1 )t] exp [ jπ(ν 2 − ν1 )t] =
= exp [ jπ(ν1 + ν 2 )t] exp [ jπ(ν1 − ν 2 )t] + exp [ jπ(ν1 + ν 2 )t ] exp [ − jπ(ν1 − ν 2 )t] =
= exp [ jπ(ν1 + ν 2 )t]{exp [ jπ(ν1 − ν 2 )t] + exp [ − jπ(ν1 − ν 2 )t ]}
Pero la cantidad que está entre llaves es, según la ecuación de Euler, el coseno:
exp [ jπ(ν1 − ν 2 )t] + exp [ − jπ(ν1 − ν 2 )t]
2
 ν −ν 
= cos  2π 1 2 t 
2


y sustituyendo:
ν + ν2 

 ν −ν 
ψ (t) = exp  2 jπ 1
t  ⋅ cos  2π 1 2 t  ,
2
2




quedando demostrado que hay una onda portadora
e
2 jπ
ν1 +ν 2
t
2


modulada por cos  2π
ν1 − ν 2 
t
2

2. Índice de consonancia
Sean dos ondas H1 y H2 de un intervalo con frecuencias respectivas n1 y n2.
Ambas las supondremos que son armónicos de una fundamental de frecuencia n.
Definiremos el índice de consonancia mediante la relación:
146
σ=
ν1 + ν 2
,
ν
Como las ondas son armónicos de un sonido, estarán relacionadas con su
fundamental mediante una relación de número entero, es decir:
ν1 = a ⋅ ν; ν 2 = b ⋅ ν
(A1)
en donde a y b son dos enteros cualesquiera. De esta forma, el índice de consonancia
queda:
σ=
ν1 + ν 2 aν + bν
=
=a+b.
ν
ν
(A2)
Ahora se trata de calcular el número de periodos de la onda portadora que
entrarán en un periodo de la onda moduladora, para lo cual habrá que hacer unos
pasos previos para deducir los periodos de ambas.
Sabemos que la frecuencia de la moduladora es la semidiferencia, obteniendo:
νm =
En cuanto a la portadora:
νp =
ν1 − ν 2 aν − bν ν
=
= (a − b) .
2
2
2
ν1 + ν 2 aν + bν
a +b
=
=ν
.
2
2
2
(A3)
Ahora falta deducir cuál será el periodo de la onda modulada resultante. Para la
onda H1, que podemos representar mediante su forma de coseno: cos(2pn1t), se tiene
que su periodo termina cada vez que el argumento del coseno es múltiplo entero de
2p. Esto define unos intervalos de tiempo a partir de los cuales los valores se vuelven
a repetir cíclicamente. Es decir: 2πν1t = n1 2π → ν1t = n1 , donde n1 es un número
entero cualquiera que denota el número completo de periodos transcurridos. De esta
ecuación se deducen una serie de valores discretos del tiempo para los cuales la onda
vuelve a repetirse. Por otro lado, para la otra onda, que tiene su propio periodo,
también se podrá decir que ν 2t = n2 , siendo n2 otro número entero también, y que
definirá, a su vez, aquellos valores del tiempo para los cuales la segunda onda se
repite. Esto se expresará como:
t=
n1
= n1T1
ν1
n
t = 2 = n2T2
ν2
(A4)
La onda modulada resultante deberá ser tal que haya coincidencia de los valores de
ambos periodos (figura A.1) y para el mismo valor de t, es decir, que igualando las
ecuaciones (A4) se tiene que en la onda resultante deberá verificarse que:
n1T1 = n2T2 = Tr ,
(A5)
igual a su vez al periodo de la resultante Tr. Y teniendo en cuenta las relaciones (A1)
ν1 = a ⋅ ν; ν 2 = b ⋅ ν :
147
n1 = n2
T2
ν
aν
a
= n2 1 = n2
= n2
ν2
T1
bν
b
que muestra el número de veces (n1) que el periodo 1 entrará en n2 periodos del 2.
Para que esta ecuación resulte compatible hay que tener en cuenta que los n deberán
ser números enteros y que a y b son indivisibles. Si fueran divisibles significaría que
habríamos tomado dos armónicos que forman
un intervalo que ya estaría en un lugar más
H1
bajo. Por ejemplo, 9/6 corresponde a la quinta
G4D5, cuando el intervalo de quinta ya está
T1
más abajo como C4G4 y con relación 3/2 que
resulta de simplificar 9/6. Por tanto, siendo a y b
indivisibles,
la única posibilidad es que sea
H2
n2 = b , con lo que n1 = a .
T2
En el ejemplo de la figura A.1 sen ha
puesto dos ondas cuyas relaciones de
frecuencias son 5/2. En ese caso a = 5, b = 2,
con lo que n1 = 5, n2 = 2. Para construir el
periodo resultante hay que colocar cinco
Fig. A.1
periodos de H1 contra 2 periodos de H2, como
se muestra en la figura. En la onda resultante se ve con claridad que ambas ondas
coinciden cuando se apilan de esta forma y que ése será el periodo de la resultante.
De la ecuación (A5) sacaremos dicho periodo:
Tr = aT1 = bT2 ,
con lo que la frecuencia (inversa de T) es:
νr =
o bien:
ν1 ν 2
= ;
a
b
νr =
aν bν
=
=ν,
a
b
(A6)
Tr = T
Este es un resultado muy interesante que explica lo comentado en el texto sobre el
reconocimiento del grave en aparatos de baja calidad. Si el periodo de la suma de H1
y H2 coincide con el del fundamental, cuando la onda sufra alguna pequeña distorsión
este reaparecerá puesto que está latente. Esto es lo que sucede en la membrana
basilar del oído interno y comenzará a vibrar con la nota fundamental reconstruyendo
el grave aunque no se hubiese emitido. También hay un experimento de
reconstrucción de la fundamental que se puede realizar con el piano.
Ahora ya podemos calcular la relación entre el periodo de la onda resultante y
de la portadora deducido de (A3), puesto que ya sabemos que el periodo de la
resultante es igual al de la fundamental
1 1 a+b
=
Tp T 2
→
T a+b
=
,
Tp
2
que relacionado con (A2):
σ = a +b = 2
148
T
,
Tp
(A7)
Representando el doble de la relación entre el periodo de la onda resultante y el de la
portadora. Este índice reúne dos conceptos aparentemente diferentes. El primero, que
se desprende de (A7) es el número de periodos de la portadora que entran en un
periodo de la resultante, pero visto de esta otra manera:
1
T = σTp
2
mide la longitud aparente del periodo. Si tenemos varios intervalos diferentes pero
todos ellos con la misma longitud de su portadora Tp, al ser común Tp para todos
ellos resulta que la longitud de la resultante es proporcional a s. En este caso el índice
s mide la longitud del periodo de la onda modulada resultante.
Aunque ambos conceptos son diferentes tienen la misma expresión
matemática con lo que el índice de consonancia nos sirve para los dos.
3. Relaciones entre intervalos en el sistema pitagórico
Desarrollemos los cocientes:
3
,
2
1,
9
,
4
27 81
,
,
8
16
243
.
32
Sabiendo que el Fa es una nota “negativa”, tenemos que añadir a esta serie una
quinta descendente:
2
, 1,
3
3
,
2
9
,
4
27 81
,
,
8
16
243
.
32
Ahora falta ordenar los sonidos y dejarlos todos en la misma octava. El Fa hay que
subirlo una octava, por lo que habrá que multiplicar por 2 la fracción, quedando 4/3.
Hay que bajar una octava (dividir por 2) los sonidos:
9
4
y
27
9
, es decir:
8
8
y
27
,
16
y bajar dos octavas (dividir por 4) los restantes:
81
64
y
243
.
128
Ordenando de menor a mayor se tienen los diferentes grados de la escala:
I
II
III
IV
V
VI
VII
1,
9
,
8
81
,
64
4
,
3
3 27 243
,
,
2 16 128
Para ver las relaciones de frecuencia entre una nota y su anterior dividiremos ambas
fracciones (segunda partido por primera):
149
I-II →
9
8
81/ 64 9
=
9/8
8
4/3
256
=
III-IV →
81/ 64 243
3/ 2 9
IV-V →
=
4/3 8
II-III →
150
27 /16 9
=
3/ 2
8
243/128 9
VI-VII →
=
27/16
8
2
256
VII-I →
=
243/128 243
V-VI →
Apendice B
1. Cálculo de diferencias frecuenciales.
Deduciremos la forma general para calcular residuos o intervalos formados al
ascender desde una determinada nota base cuya frecuencia es n por dos caminos
diferentes.
En primer lugar hay que especificar la escala en la que se trata de calcular la
diferencia entre notas enarmónicas. En general, el método a seguir consiste en subir
por dos caminos diferentes a partir de una misma nota. Cuando subamos por el primer
camino, se creará una serie ascendente de notas a intervalos iguales. El segundo
camino lo hará también de la misma forma pero con un intervalo diferente. Sea X la
nota base, que puede ser un Do, un Fa, un Mi o cualquier otra nota. Al crear el primer
intervalo, la nueva nota X’ tendrá una relación de frecuencia a/b con relación a la
fundamental. La siguiente, X’’ tendrá una relación, a su vez de a/b con X’, de donde:
de donde:
a
X ' = X;
b
X '' =
a
X '' = X ' ,
b
a2
X.
b2
Siguiendo de forma análoga construyendo las subsiguientes notas X’’’, Xiv, etc., se
tiene que para la n-ésima nota:
Xn =
an
X.
bn
Cuando se traza el segundo camino con intevalos diferentes y cuya relación es,
m
digamos c/d, se alcanza una nota Y de valor:
Ym =
cm
X,
dm
de donde la relación de frecuencias n2 y n1 entre ambas notas extremas será:
ε=
ν 2 X n a n / bn
=
=
.
ν1 Ym cm / dm
(B1)
pudiendo calcular la diferencia entre ambas frecuencias, y a la cual llamaremos d, con
lo que:
δ = ν 2 − ν1 = ν1ε − ν1 = ν1 ( ε − 1)
(B2)
Cuando e es mayor que la unidad significa que la frecuencia de la nota final obtenida
por quintas es mayor que la obtenida por el segundo camino y el resultado d será
positivo. Si es menor que la unidad, será negativo y entonces n1 >n2. Para unificar
criterios, es costumbre dar la relación de frecuencias como la mayor partida por la
menor. Como a veces no se sabe a priori cual será mayor de las dos, si e nos diese
menor que la unidad, bastará invertirlo para obtener la relación correcta.
151
1.1 Cálculo de la diferencia entre semitono diatónico y cromático.
Pongamos un ejemplo práctico aplicándo esta ecuación al cálculo del intervalo
de semitono cromático y diatónico de las escalas. Para ello debemos primero fijar la
escala en la cual vamos a calcular y después idear los dos caminos. Por ejemplo,
cuando se trata de una escala pitagórica, el primer camino está constituido mediante
quintas ascendentes, y el segundo se forma con otros tipos de intervalo, octavas por
ejemplo. En el caso de quintas ascendentes, cada nota tiene una relación de 3/2 con
la anterior, luego a=3 y b=2. Las octavas tienen una relación de 2 y será entonces
c=3 y d=1, quedando la expresión (B1) como:
3n / 2n
ε= m .
2
Vamos a calcular la distancia entre una nota X y su nota alterada sostenida X#.
El primer camino lo haremos subiendo 7 quintas por un lado y 4 octavas por el
segundo camino con lo que n=7 y m=4. La expresión correspondiente será:
εcr =
37 / 27 37
= 11 ,
24
2
que es la relación buscada. Para que no resulte tan abstracto, podremos un ejemplo
con notas concretas. Partiendo de la nota Fa1, al ascender 7 quintas nos situamos
sobre la nota Fa#5. Subiendo 4 octavas a partir de Fa1 obtenemos Fa5, de lo que
resulta la relación Fa5−Fa#5. Comparemos este intervalo cromático con el semitono
diatónico, para lo cual se puede simplemente subir 5 quintas por un lado (ejemplo de
Do1 a Si3) y por el otro 3 octavas (ej. Do1 a Do4), siendo ahora n=5 y m=3. Como Do4
está por encima del Si habrá que invertir e para obtener un número mayor que la
unidad.
23
28
εd = 5 5 = 5 ,
3 /2
3
y comparando ambos:
37
εcr 211 37 35 312
ηp =
= 8 = 11 8 = 19 = ε p ,
2
εd
2 2
2
5
3
(B3)
y que se denomina coma pitagórica.
A continuación estudiemos las relaciones de semitonos diatónico y cromático
en la escala de afinación justa. El cromático se obtendría subiendo dos terceras
mayores por un camino (ejemplo C1 a G#1) y simplemente una quinta justa por el otro
lado (intervalo G−G#). Los valores que hay que introducir en (B1) son la tercera (5/4):
a=5 y b=4 dos veces n=2 y por el otro lado una quinta: c=3, d=2, m=1:
εcr =
52 / 4 2 2 ⋅ 52
52
=
=
,
3/ 2
3 ⋅ 42 3 ⋅ 23
y el semitono diatónico ya está calculado y vale 16/15. Comparando ambos:
152
16
ε
27
ηz = d = 152 = 3 = ε δ ,
5
5
εcr
3
3⋅ 2
(B4)
que se llama díesis enarmónica. A diferencia del caso pitagórico, en la escala de
afinación justa el semitono diatónico es mayor que el cromático.
1.2 Cálculo de la diferencia entre notas enarmónicas.
En la escala pitagórica realizaremos los siguientes caminos: primero se
asciende 12 quintas (a=3, b=2, n = 12) y el segundo 7 octavas (c=2, d=1, m = 7), de
donde:
ε#b =
312 / 212 312
= 19 = ε p ,
27
2
coincidente con (B3) y que muestra que la diferencia entre dos notas enarmónicas en
una escala pitagórica es una coma. La diferencia de frecuencias se deduce de (B2):
δ = ν1 (ε p − 1) = 0, 0136ν1 .
En la escala Zarlino podemos llegar a dos notas enarmónicas simplemente
subiendo tres terceras mayores (ejemplo de Do a Mi, Sol#, Si#) con (a=5, b=4, n = 3)
y una simple octava (de Do1 a Do2) (c=2, d=1, m = 1). Las tres terceras se quedan
cortas por lo que invertiremos el cociente:
ε#b =
2
27
=
= εδ ,
53 / 43 53
coincidente con (B4) y que muestra que la diferencia entre dos notas enarmónicas en
una escala de afinación justa es una diesis enarmónica. En este caso se tiene una
diferencia de frecuencias:
δ = ν1 (ε δ − 1) = 0, 024ν1 ,
aproximadamente el doble que en una escala pitagórica.
2. Cálculo del intervalo en el temperamento igual.
Para relacionar ambos ejes de la figura 4.7, tomaremos logaritmos en la escala
de frecuencias, obteniendo:
log1 = 0
log2
log4 = log(22 ) = 2log2
log8 = log(23 ) = 3log2
log16 = log(24 ) = 4log2
Comparando este resultado con el eje horizontal, se deduce que:
153
a = log2
Si se quiere dividir la octava en n partes iguales, al dividir el segmento a en n, cada
fragmento tendrá una longitud a/n, y podemos poner:
a 1
= log2 = log(2)1/ n = log n 2 ,
n n
quedando el eje vertical dividido según n 2 , pero, a diferencia del eje horizontal, que
es lineal, esta distancia no es, en modo alguno la de cada división vertical. Veamos
qué sucede si sumamos dos divisiones horizontales en semitonos:
a a
a
+ = 2 = 2 log n 2 = log
n n
n
( 2)
n
2
= log  n 2 ⋅ n 2  .
Por tanto, para calcular el intervalo de frecuencia entre la tónica y cualquier grado de
la escala hay que multiplicar las frecuencias del intervalo en lugar de sumarlas, como
se hacía con los semitonos. Sucesivamente, se obtienen las relaciones de intervalos
de frecuencia correspondientes a cada nota:
2
( 2) ;
n
3
( 2) ;
n
4
( 2) ;
n
L
( 2)
n
n −1
;
2
Se ha dejado a propósito n sin definir, ya que hay diferentes temperamentos
que usan divisiones distintas de la octava. Particularmente están las escalas árabe e
india, con valores respectivamente de n = 17 y n = 22. Para el sistema europeo, es
sobradamente sabido que n = 12, con lo que se podrán calcular las relaciones
frecuenciales de las notas de la escala temperada con las ecuaciones anteriores.
Una de las divisiones más rigurosas de la octava consiste en dividir el semitono
en cien partes iguales. A cada una de estas partes se le llama cent, en cuyo caso, al
haber 12 semitonos, se tiene que n = 1.200, y cada fracción o cent vale
1.200
2.
3. Tabla de frecuencias
Las frecuencias de las notas en los tres sistemas, temperado, entonación justa
y pitagórico se detallan a continuación en la siguiente tabla para la octava C4 – C5.
Para cualquier otra octava bastará con multiplicar por 2.
Nota
C4
C#4
Db4
D4
D#4
Eb4
154
Temperamento igual (Hz)
Entonación justa (Hz)
Pitagórico (Hz)
261,63
277,18
277,18
293,66
311,13
311,13
264,00
275,00
285,12
297,00
309,38
316,80
260,74
278,44
274,69
293,33
313,24
309,03
Nota
Temperamento igual (Hz) Entonación justa (Hz)
E
F
F#4
Gb4
G
G#4
Ab4
A
A#4
Bb4
B
C5
329,63
349,23
369,99
369,99
392,00
415,30
415,30
440,00
466,16
466,16
493,88
523,25
330,00
352,00
366,67
380,16
396,00
412,50
422,40
440,00
458,33
475,20
495,00
528,00
Pitagórico (Hz)
330,00
347,65
371,25
366,25
391,11
417,66
412,03
440,00
469,86
463,54
495,00
521,48
4. Banda crítica
He aquí dos ejemplos interesantes de la banda crítica, que son la quinta
“oculta” y la disonante. Para calcular la primera deberemos hacer que la diferencia
entre las frecuencias de ambas sea inferior a la banda crítica en la frecuencia media.
Sean n1 y n 2 las frecuencias de ambas notas, y Df la banda crítica. Entonces:
∆f > ν 2 − ν1
Si hacemos un ejemplo con quintas sabemos que la relación de frecuencia es:
ν2 3
3
= , de donde: ν 2 = ν1 ,
ν1 2
2
y sustituyendo:
∆f > ν1
la frecuencia media será:
ν
3
− ν1 = 1 ;
2
2
ν1 < 2∆f ;
3
ν +ν
ν 2 + ν1 2 1 1 5
νm =
=
= ν1 ,
2
2
4
que es la tercera, como ya sabemos. Sustituyendo:
νm <
Juntando ambas:
5
5
2∆f = ∆f
4
2
2
ν1 < 2∆f , y ∆f > νm
5
Si Df es 100, se tiene: ν m < 250 y ν1 < 200 , que da un buen número de
posibilidades. Si por ejemplo, ν1 = 100 , sería ν m =
5
500
ν1 =
= 125 , y ν 2 = 150 con lo
4
4
que se cumplen ambas relaciones, dando una quinta oculta.
En cuanto a la quinta disonante, habrá que igualar la diferencia de frecuencias
a la cuarta parte de la banda crítica y tener presente que, al ser una quinta ν 2 = ν1
3
:
2
155
ν 2 − ν1 =
∆f
∆f
3
; ν1 − ν1 =
;
4
2
4
ν1 =
∆f
.
2
Para la banda crítica de 90 Hz, la frecuencia de la nota grave será 45 Hz, que es
donde se produce la quinta de mayor disonancia. Fijémonos en que, al ser la banda
más o menos constante a esas frecuencias, si baja de valor se obtiene una diferencia
de frecuencias inferior a la cuarta parte de la banda y será menos disonante según la
figura 4.8. La quinta disonante no se puede producir en ninguna otra zona porque, por
ejemplo para Df=160 la frecuencia media es de 1 kHz, y 160/2 es 80 con lo que ya no
puede coincidir.
5. Ejercicio
Vamos a plantear el siguiente problema:
¿Qué intervalo resulta más disonante de los de la figura en un sistema temperado?
Ambas son dos segundas mayores pero situadas en diferente tesitura. Deberemos
primeramente hallar el batido de ambas. El grave está formado con un Do2 y Re2
cuyas frecuencias sacamos de la tabla del apartado 3 dividiendo por 4 las de Do4 y
Re4. Haremos lo mismo para el agudo (Do5 Re5):
Re2 − Do2 =
1
32
(293, 66 − 261, 63) ≈
= 8 Hz con una frecuencia central (media) que
4
4
será la semisuma, es decir, del orden de 70 Hz.
Re5 − Do5 = 587,32 − 523,25 ≈ 64 Hz con frecuencia central de 555 Hz.
Con ambos valores entramos en el gráfico de la figura 2.15 y vemos que para
frecuencias de 70 Hz la banda crítica corresponde a 100, lo que hace un cuarto de
banda de 25.
Para 555 el ancho es de unos 120 Hz, con un cuarto de banda de 30 Hz. Vemos que
ambos sonidos se alejan de la zona de alta disonancia (que correspondería a sonidos
desafinados desagradables), lo que dice que una segunda mayor no es una
disonancia de alta dureza. La grave está a distancia de un tercio de la zona disonante,
mientras que la aguda lo está al doble. La disonancia grave es menor que la aguda. Si
el lector lo comprueba en un piano quizá no esté de acuerdo con esto pero no
olvidemos que en un instrumento aparecen choques de los armónicos que
enmascaran la verdadera disonancia de sus fundamentales. Para completar el
ejercicio veamos en qué zona se diferencian mejor dos notas separadas. La diferencia
en la zona grave está por debajo, mientras que en la aguda lo está por encima. Hay
mejor resolución en el agudo, y puede comprobarse la sensación confusa que esta vez
sí aparece convincentemente en el piano cuando se pulsan las teclas graves.
156
Apendice C
Escalas.
Adonai Malakh
Ahavoh Rabboh
Akebono
Algeriana
Alhijaz
Alterada
Arabe
Arabe 2
Arabe 3
Arabe 4
Arabe 5
Aumentada 1
Aumentada 2
Aumentada 3
Balinesa 1
Balinesa 2
Be-Bop Dominante
Be-Bop Mayor
Be-Bop menor
Be-Bop Semi-disminuida
Bi Yu
Bizantina 1
Bizantina 2
Blues 1
Blues 2
Blues 3
Blues 4
Blues 5
Blues 6
Blues 7
Blues 8
Blues 9
Blues 10
Chad Gadyo
1,b2,2,b3,4,5,6,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,2,b3,5,6
1,2,b3,4,b5,5,b6,7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,b2,b3,3,b5,b6,b7
1,2,3,4,b5,b6,b7
1,2,b3,4,#4,#5,6,7
1,2,b3,4,b5,6,b7
1,2,b3,4,5,6,b7,7
1,b2,#2,3,4,5,b6,b7,7
1,b3,3,5,#5,7
1,#2,3,5,#5,b7
1,2,3,#4,#5,b7
1,b2,b3,4,b6
1,b2,b3,5,b6
1,2,3,4,5,6,b7,7
1,2,3,4,5,b6,6,7
1,2,b3,3,4,5,6,b7
1,b2,b3,4,b5,5,b6,7
1,b3,5,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,b6,7
1,b3,4,b5,5,b7
1,b3,4,b5,5,b7,7
1,2,b3,3,4,#4,5,6,b7,7
1,b2,b3,3,b5,5,6,b7
1,2,b3,4,b5,5,b7
1,2,b3,4,b5,5,6,b7
1,b3,3,4,b5,5,b7,7
1,2,b3,3,4,b5,5,6,b7
1,b3,3,4,b5,5,6,b7,7
1,b3,3,4,5,b6,b7
1,2,b3,4,5
Chaio
Chiao 2
China
China 1
China 2
China antigua
China octontónica
Coreana 1
Coreana 2
Cromática
1,2,4,#5,b7
1,2,b3,4,5,b6,b7
1,b3,b5,b6,b7
1,3,#4,5,7
1,2,3,5,6
1,2,3,#4,5,6
1,2,3,4,5,6,b7,7
1,2,3,5,6
1,2,4,5,6,b7
1,b2,2,#2,3,4,#4,5,#5,6
,#6,7
1,2,b3,4,#4,#5,6,7
1,#2,3,#4,5,6,b7
1,b2,#2,3,#4,5,6,b7
1,b2,3,4,5,b6,7
Disminuida 1
Disminuida 2
Disminuida 3
Doble Armónica
Dominante sus 4
Dórica
Dórica alterada
Dórica b2
Dórica cromática
Egipcia
Enigmática 1
Enigmática 2
Enigmática de Verdi 1
Enigmática de Verdi 2
Enigmática de Verdi 3
Española hexatónica
Española octotónica
Espla
Esquimal heptatónica
Esquimal hexatónica 1
Esquimal hexatónica 2
Esquimal tetratónica
Etíope 1
Etíope 2
Etíope 3
Eólica o menor natural
Flamenca
Frigia
Frigia #6
Frigia cromática
Frigia doble hexatónica
Frigia española
Frigia hexatónica
Frigia Mayor
Frigia árabe
Genus chromaticum
Genus diatonicum
Genus diatonicum
veterum
Genus primum
Genus secundum
Genus tertium
Ghana heptatónica
Ghana pentatónica 1
Ghana pentatónica 2
Gong
Gregoriana
Han-Kumoi
Armónica Mayor
1,2,4,5,6,b7
1,2,b3,4,5,6,b7
1,2,b3,4,b5,b6,b7
1,b2,b3,4,5,6,b7
1,b2,2,4,5,b6,6
1,2,4,5,b7
1,b2,b3,4,b6
1,b2,3,#4,#5,7
1,b2,3,4,b5,b6,b7,7
1,b2,3,4,#5,#6,7
1,b2,3,#4,#5,#6,7
1,b2,3,4,5,b7
1,b2,b3,3,4,b5,b6,b7
1,b2,#2,3,4,b5,b6,b7
1,2,b3,4,5,6,b7
1,2,3,b5,b6,7
1,2,b3,4,5,b7
1,2,3,5
1,2,3,4,5,6,7
1,2,b3,4,5,b6,b7
1,2,3,4,5,b6,7
1,2,b3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,b2,b3,4,5,b6,b7
1,b2,b3,4,5,6,b7
1,#2,3,4,#5,6,b7
1,b2,b3,4,b5,6
1,b2,#2,3,4,5,b6,b7
1,b3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,b2,#2,3,4,5,b6,b7,7
1,b2,b3,3,4,5,b6,6,7
1,2,3,4,5,6,b7,7
1,2,3,4,b5,5,6,7
1,2,4,5
1,3,4,5,6,7
1,b3,3,5,b6,7
1,2,3,4,5,6,7
1,2,b3,4,5
1,2,3,5,6
1,2,3,5,6
1,2,b3,4,5,b6,6,b7
1,2,4,5,b6
1,2,3,4,5,b6,7
Hawayana 1
Hawayana 2
Hedjaz
Hexacordal
1,2,b3,5,6,7
1,2,b3,4,5,6,7
1,2,b3,#4,5,6,b7
1,2,3,#4,#5,#6
157
Hipodórica cromática
Hexatónica Piramidal
Hipolidia cromática
Hipofrigia cromática
Hispano-árabe
Hira-joshi
Hitzaz
Hitzaskiar
Honchoshi
Hon-kumoi-joshi
Houzam
Honchoshi Plagal
Húngara Mayor 2
Húngara Mayor 1
Húngara menor 2
Húngara menor 1
In
Ichikosucho
Ishikotsucho
Indostán
Israelí 2
Israelí 1
Iwato
Javanesa 1
Javanesa 2
Javanesa 3
Jin Yu
Jazz Menor
Jónica o Mayor natural
Judía
Kokin-joshi
Jónica aumentada
Kung
Kumoi
Leading Whole Tone
Kyemyonjo
Lidia aumentada
Lidia
Lidia cromática
Lidia b7
Lidia hexatónica
Lidia disminuida
Locria Mayor
Locria
Magyar
Magen Abot
Mayor Jonica
Mahometana
Maqam Bayat Esfahan
Mayor invertida
Maqam Hijaz
Maqam Hicaz
Maqam Huzzam
Maqam Humayun
Mela Suryakanta
158
1,2,b3,3,5,b6,6
1,2,b3,4,b5,6
1,b2,3,#4,5,b6,7
1,b3,4,b5,5,#6,7
1,b2,3,4,5,b6,7
1,2,b3,5,b6
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,b6,7
1,4
1,b2,4,5,b6
1,b3,3,4,5,6,7
1,b2,b3,4,b5,b7
1,b2,3,#4,5,b6,b7
1,#2,3,#4,5,6,b7
1,2,b3,#4,5,b6,7
1,2,b3,#4,5,b6,b7
1,b2,b3,4,5,b6,b7
1,2,3,4,b5,5,6,7
1,2,3,4,b5,5,6,7
1,2,3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,#1,#2,3,#4,#5,6,7
1,b2,4,b5,b7
1,b2,b3,4,b6
1,b2,b3,4,5,6,b7
1,b2,b3,5,b6
1,2,4,5,b7
1,2,b3,4,5,6,7
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,4,#5,6,7
1,b2,4,5,b7
1,2,3,4,#5,6,7
1,2,3,b5,6
1,3,4,6,7
1,2,3,#4,#5,#6,7
1,b3,4,5,6
1,2,3,#4,#5,6,7
1,2,3,#4,5,6,7
1,b2,3,4,b5,6,7
1,2,3,#4,5,6,b7
1,2,3,5,6,7
1,2,b3,#4,5,6,7
1,2,3,4,b5,b6,b7
1,b2,b3,4,b5,b6,b7
1,2,b3,#4,5,b6,7
1,b2,#2,3,#4,#5,6,7
1,2,3,4,5,6,7
1,2,b3,4,5,b6,7
1,2,b3,4,5,b6,7
1,b2,b3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7,7
1,b2,3,4,5,6,b7
1,b2,b3,3,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,6,7
Maqam Kurd
Maqam Karcigar
Maqam Nakriz
Maqam Nahawand
Maqam Shahnaz Kurdi
Maqam Shadd'araban
Maqam Suzdil
Maqam Shawq
Marva That
Maqam Zengule
Mela Calanata
Mela Bhavapriya
Mela Carukesi
Mela Calanata
Mela Citrambari
Mela Chakravakam
Mela Dhatuvardhani
Mela Dharmavati
Mela Divyamani
Mela Dhavalambari
Mela Gangeyabhusani
Mela Ganamurti
Mela Gayakapriya
Mela Gavambodhi
Mela Hatakambari
Mela Harikambhoji
Mela Salaga
Mela Hemavati
Mela Jhankaradhvani
Mela Jhalavarali
Mela Kantamani
Mela Jyotisvarupini
Mela Latangi
Mela Kosalam
Mela Mararanjani
Mela Manavati
Mela Namanarayani
Mela Naganandini
Mela Navanitam
Mela Natakapriya
Mela Pavani
Mela Nitimati
Mela Raghupriya
Mela Ragavardhani
Mela Rasikapriya
Mela Ramapriya
Mela Rupavati
Mela Ratnangi
Mela Salaga
Mela Sadvidhamargini
Mela Senavati
Mela Sanmukhapriya
Mela Sucaritra
Mela Shankarabharanam
Pentatónica Alt.b3/b6
1,b2,b3,4,5,b6,b7
1,2,b3,4,b5,6,b7
1,2,b3,#4,5,6,b7
1,2,b3,4,5,b6,b7,7
1,b2,b3,4,5,b6,7
1,b2,#2,3,4,b5,6,b7
1,2,b3,#4,5,b6,b7
1,2,3,4,5,6,b7,7
1,b2,3,#4,5,6,7
1,b2,3,4,5,b6,7
1,#2,3,4,5,#6,7
1,b2,b3,#4,5,b6,b7
1,2,3,4,5,b6,bb7
1,#2,3,4,5,#6,7
1,2,3,#4,5,#6,7
1,b2,3,4,5,6,b7
1,#2,3,#4,5,b6,7
1,2,b3,#4,5,6,7
1,b2,b3,#4,5,#6,7
1,b2,3,#4,5,b6,bb7
1,#2,3,4,5,b6,7
1,b2,2,4,5,b6,7
1,b2,3,4,5,b6,bb7
1,b2,b3,#4,5,b6,bb7
1,b2,3,4,5,#6,7
1,2,3,4,5,6,b7
1,b2,2,#4,5,b6,b7
1,2,b3,#4,5,6,b7
1,2,b3,4,5,b6,bb7
1,b2,2,#4,5,b6,7
1,2,3,#4,5,b6,bb7
1,#2,3,#4,5,b6,b7
1,2,3,#4,5,b6,7
1,#2,3,#4,5,6,7
1,2,3,4,5,b6,bb7
1,b2,2,4,5,6,7
1,b2,3,#4,5,b6,b7
1,2,3,4,5,#6,7
1,b2,2,#4,5,6,b7
1,b2,b3,4,5,6,b7
1,b2,2,#4,5,6,7
1,2,b3,#4,5,#6,7
1,b2,2,#4,5,#6,7
1,#2,3,4,5,b6,b7
1,#2,3,#4,5,#6,7
1,b2,3,#4,5,6,b7
1,b2,b3,4,5,#6,7
1,b2,2,4,5,b6,b7
1,b2,2,#4,5,b6,bb7
1,b2,b3,#4,5,6,b7
1,b2,b3,4,5,b6,bb7
1,2,b3,#4,5,b6,b7
1,#2,3,#4,5,b6,bb7
1,2,3,4,5,6,7
1,2,b3,5,b6
Mela Sulini
1,#2,3,4,5,6,7
Mela Syamalangi
1,2,b3,#4,5,b6,bb7
Mela Suvarnangi
Mela Vagadhisvari
Mela Tanarupi
Mela Vanaspati
Mela Vakulabharanam
Mela Visvambhari
Mela Varunapriya
Menor Natural Eolica
Mela Yagapriya
Menor hexatónica
Menor Armónica
Menor Melódica
Messiánica 1
Messiánica 2
Messiánica 3
Messiánica 4
Messiánica 5
Minyo
Mischung 1
Mischung 2
Mischung 3
Mischung 4
Mischung 5
Mischung 6
Mixolidia
Mixolidia aumentada
Mixolidia cromática
Mixolidia hexatónica
Mongólica
Napolitana 1
Napolitana 2
1,b2,b3,#4,5,6,7
1,#2,3,4,5,6,b7
1,b2,2,4,5,#6,7
1,b2,2,4,5,6,b7
1,b2,3,4,5,b6,b7
1,b2,3,#4,5,#6,7
1,2,b3,4,5,#6,7
1,2,b3,4,5,b6,b7
1,#2,3,4,5,b6,bb7
1,2,b3,4,5,b7
1,2,b3,4,5,b6,7
1,2,b3,4,5,6,7
1,b2,2,3,4,b5,5,6,b7
1,b2,2,b3,#4,5,#5,6
1,b2,2,#4,5,b6
1,b2,2,3,#4,5,b6,b7
1,b2,2,b3,3,#4,5,#5,6,b
7
1,b3,4,5,b7
1,2,b3,4,5,6,7
1,2,3,4,5,b6,7
1,2,3,4,5,6,b7
1,2,b3,4,5,b6,7
1,2,b3,4,5,6,b7
1,2,3,4,5,b6,b7
1,2,3,4,5,6,b7
1,2,3,4,#5,6,b7
1,b2,2,4,b5,5,b7
1,2,4,5,6,b7
1,2,3,5,6
1,b2,3,#4,6,b7
1,b2,b3,4,5,6,7
Napolitana 3
Niagari ditónica
Niagari hexatónica
Niavent
Nohkan
Nonatónica
Octatónica
Oriental 1
Oriental 2
Ousak
Overtone
1,b2,b3,4,5,b6,7
1,5
1,b2,4,5,b6,b7
1,2,b3,#4,5,b6,7
1,2,4,b5,#5,6,7
1,2,b3,3,b5,5,#5,6,7
1,b2,#2,3,#4,5,6,b7
1,b2,3,4,b5,b6,b7
1,b2,3,4,b5,6,b7
1,b2,b3,4,5,b6,b7
1,2,3,#4,5,6,b7
Peiraiotikos
Pelog
1,b2,3,#4,5,6,7
1,b2,b3,5,b7
Pentatónica Alt. b5
Pentatónica Alt.b2
Pentatónica Alt. b6
1,2,3,b5,6
1,b2,3,5,6
1,2,3,5,b6
Pentatónica de
Dominante
Pentatónica de
Dominante 2
Pentatónica Mayor 1
Pentatónica Mayor 2
Pentatónica Menor 1
Pentatónica Menor 2
Pentatónica Menor 3
Pentatónica Menor 4
Pentatónica neutral 1
Pentatónica neutral 2
Persa 1
Persa 2
Peruana mayor
Peruana menor
Peruana tritónica 1
Peruana tritónica 2
Pien Chih
Prometheus
Prometheus neopolitan
Pyongjo
Raga Abhogi
Raga Adana
Raga Ahir Bhairav
Raga Amarasenapriya
Raga Amritavarsini
Raga Audav Tukhari
Raga Bagesri
Raga Barbara
Raga Bauli
Raga Bhanumanjari
Raga Bhanumati
Raga Bhatiyar
Raga Bhavani
hexatónica
Raga Bhavani tetratónica
Raga Bhinna Pancama
Raga Bhinna Shadja
Raga Bhupalam
Raga Bhupeshwari
Raga Bilashkhani Todi
Raga Brindabani Sarang
Raga Caturangini
Raga Chandrajyoti
Raga Chandrakauns-Kafi
Raga ChandrakaunsModer
Raga Chhaya Todi
Raga ChndrakaunsKiravani
Raga Cintamani
Raga Darbar
Raga Desh
1,2,3,5,b7
1,3,4,5,b7
1,2,3,5,6
1,2,3,5,7
1,b3,4,5,b7
1,2,b3,5,6
1,b3,4,b5,b7
1,2,b3,5,b7
1,2,4,5,b7
1,b2,4,5,6
1,b2,3,4,b5,b6,7
1,b2,3,4,5,b6,7
1,2,3,4,5,6,7
1,2,b3,4,5,b6,b7
1,3,5
1,b3,5
1,b2,b3,4,b5,b6,b7
1,2,3,b5,6,b7
1,b2,3,b5,6,b7
1,2,4,5,6,b7
1,2,b3,4,6
1,2,b3,4,5,b6,b7
1,b2,3,4,5,6,b7
1,2,b3,#4,5,7
1,3,#4,5,7
1,2,b3,4,#5
1,2,b3,4,6,b7
1,2,3,#4,6,b7
1,b2,3,5,b6,7
1,#2,3,4,5,b7
1,b2,2,4,5,6,b7
1,b2,3,4,b5,5,6,7
1,b2,b3,b5,b6,b7
1,2,4,6
1,2,4,5,b6,7
1,3,4,6,7
1,b2,b3,5,b6
1,2,3,5,b6
1,b2,b3,4,5,b6,b7
1,2,4,5,#6,7
1,2,3,#4,5,7
1,b2,2,#4,5,6
1,b3,4,6,b7
1,b3,4,6,7
1,b2,b3,b5,b6
1,b3,4,b6,7
1,2,b3,#4,5,b6,6,b7
1,2,4,5,6,b7
1,2,4,5,7
159
Raga Deshgaur
Raga Devakriya
Raga Devaranji
Raga Devranjani
Raga Dhavalangam
Raga Dhavalashri
Raga Dipak
Raga Gambhiranata
Raga Ganasamavarali
Raga Gandharavam
Raga Gaula
Raga Gauri
Raga Ghantana
Raga Girija
Raga Gopikavasantam
Raga Gopriya
Raga Gorakh Kalyan
Raga Gurjari Todi
Raga Hamsa Vinodini
Raga Hamsadhvani
Raga Hamsanandi
Raga Hari Nata
Raga Harikauns
Raga Hejjajji
Raga Hindol
Raga Jaganmohanam
Raga Jayakauns
Raga Jivantika
Raga Jivantini
Raga Jyoti
Raga Kaikavasi
Raga Kalagada
Raga Kalakanthi
Raga Kalavati
Raga Kamalamanohari
Raga Kambhoji
Raga Kanakambari
Raga Khamaji Durga
Raga Khamas
Raga Kiranavali
Raga Kokil Pancham
Raga Kshanika
Raga Kumud
Raga Kumurdaki
Raga Kuntvarali
Raga Lalita
Raga Latika
Raga Lavangi
Raga Madhukauns
Raga Madhuri
Raga Madhyamavati
Raga Mahathi
Raga Malasri
Raga Malayamarutam
Raga Malkauns
160
1,b2,5,b6,7
1,2,4,5,6
1,4,5,b6,7
1,4,5,b6,b7
1,b2,3,#4,5,b6
1,3,#4,5,6
1,2,3,4,b5,5
1,3,4,5,7
1,b2,2,4,5,b6,7
1,b2,b3,4,5,b7
1,b2,3,4,5,7
1,b2,4,5,7
1,2,b3,4,b6,7
1,3,4,#5,7
1,b3,4,5,b6,b7
1,2,3,#4,#5,b7
1,2,4,6,b7
1,b2,b3,b5,b6,7
1,2,3,4,6,7
1,2,3,5,b7
1,b2,3,b5,6,7
1,3,4,5,6,7
1,b3,b5,b6,b7
1,b2,3,#4,#5,6
1,3,b5,6,7
1,2,#4,5,b6,b7
1,b3,4,b5,b7
1,b2,4,5,6,7
1,b3,#4,5,#6,7
1,3,#4,5,b6,b7
1,2,b3,#4,5,7
1,b2,3,5,b6,6
1,b2,4,5,b6,6
1,b2,3,4,5,6
1,3,4,5,b6,b7
1,2,3,4,5,6
1,b2,2,4,5,b6,bb7
1,3,4,6,b7
1,3,4,5,6,b7
1,2,b3,4,5,b6,7
1,b3,4,5,b6
1,b2,4,b6,7
1,2,3,5,6,7
1,2,3,b5,7
1,4,5,6,b7
1,b2,3,4,b5,b6,7
1,2,3,5,b6,7
1,b2,5,b7
1,b3,#4,5,6,b7
1,3,4,5,6,b7,7
1,2,4,5,b7
1,3,5,b7
1,3,5
1,b2,3,5,6,b7
1,b3,4,b6,b7
Raga Manaranjani I
Raga Mamata
Raga Manaranjani II
Raga Manavi
Raga Mandari
Raga Manohari
Raga Matha Kokila
Raga Megharanjani
Raga Megharanji
Raga Mian Ki Malhar
Raga Mohanangi
Raga Mruganandana
Raga Mukhari
Raga Multani
Raga Nabhomani
Raga Nagagandhari
Raga Nagasvaravali
Raga Nalinakanti
Raga Nata
Raga Navamanohari
Raga Neroshta
Raga Ongkari
Raga Padi
Raga Palasi
Raga Paraju
Raga Patdip
Raga Phenadyuti
Raga Pilu
Raga Priyadharshini
Raga Purna Pancama
Raga Purnalalita
Raga Puruhutika
Raga Rageshri
Raga Ragesri
Raga Ramdasi Malhar
Raga Ramkali
Raga Ranjani
Raga Rasamanjari
Raga Rasavali
Raga Rasika Ranjani
Raga Rasranjani
Raga Reva
Raga Rudra Pancama
Raga Salagavarali
Raga Salanganata
Raga Samudhra Priya
Raga Sarang
Raga Sarasanana
Raga Sarasvati
Raga Sarasvati
Raga Saravati
Raga Sarvasri
Raga Saugandhini
Raga Saurastra
Raga Shobhavari
1,b2,3,5,b7
1,3,5,6,7
1,b2,4,5,6
1,2,b3,5,6,b7
1,b2,3,#4,5,7
1,b3,4,5,6,b7
1,2,5,6,b7
1,b2,3,4,b6
1,b2,3,4,7
1,2,b3,4,5,6,b7,7
1,#2,3,5,6
1,2,3,b5,6,7
1,2,b3,4,5,b6,6,b7
1,b3,#4,5,7
1,b2,2,#4,5
1,2,4,5,6,7
1,3,4,5,6
1,2,3,4,5,7
1,b3,4,5,7
1,2,4,5,b6,b7
1,2,3,b6,b7
1,#4,5
1,b2,4,5,b6,7
1,2,b3,4,5,b7
1,3,4,5,b6,7
1,2,b3,4,5,6,7
1,b2,4,5,b6,b7
1,2,b3,4,5,b6,6,b7,7
1,2,4,b6,7
1,b2,3,4,5,b6
1,2,b3,4,5
1,4,5,6,7
1,2,3,4,6,b7
1,2,3,4,6,b7,7
1,2,b3,3,#4,#5,6,b7,7
1,b2,3,4,b5,5,b6,7
1,2,b3,b5,6,7
1,#2,3,#4,5,7
1,b2,4,5,6,b7
1,b2,3,5,6
1,2,4,6,7
1,b2,3,5,b6
1,b2,3,4,6,b7
1,b2,b3,5,6,b7
1,b2,4,5,b6
1,b3,#4,5,b7
1,2,4,5,#6,7
1,2,3,4,b6,7
1,2,#4,5,#6,7
1,2,#4,5,6,b7
1,3,4,5,b6,bb7
1,4,5
1,b2,#4,5,b6
1,b2,3,4,5,b6,6,7
1,2,4,5,b6
Raga Shri
Raga Shri Kalyan
Raga Shuddh Kalyan
Raga Simharava
Raga Sindhi Bhairavi
Raga Sindhura Kafi
1,b2,3,#4,5,b6,7
1,2,#4,5,6
1,2,3,#4,5,6,7
1,2,b3,#4,5,b7
1,b2,2,b3,3,4,5,b6,b7,7
1,2,b3,4,5,7
Semitono-Tono
Sengah
Shang
Simétrica 1
Simétrica disminuida
Simétrica 3
Raga Siva Kambhoji
Raga Sivaranjini
Raga Sorati
Raga Suddha Bangala
Raga Suddha Mukhari
Raga Suddha Simantini
Raga Suddha Todi
Raga Sumukam
Raga Syamalam
Raga Takka
Raga Tilang
Raga Trimurti
Raga Vaijayanti
Raga Valaji
Raga Vasanta
Raga Vasantabhairavi
Raga Vibhavari
Raga Vijayanagari
Raga Vijayasri
Raga Vijayavasanta
Raga Viyogavarali
Raga Vutari
Raga Yamuna Kalyani
Raga Zilaf
Rast
Ritsu
Ritusen
Rumana
Ryosen
Ryukyu
Sambah
Sansagari
Semidisminuida
1,2,3,4,5,b7
1,2,b3,5,6
1,2,4,5,6,b7,7
1,2,b3,4,5,6
1,b2,2,4,b6,6
1,b2,b3,4,5,b6
1,b2,b3,4,b6,b7
1,2,#4,7
1,2,b3,#4,5,b6
1,b3,4,5,b6,7
1,3,4,5,#6,7
1,2,b3,5,b6,b7
1,2,#4,5,7
1,3,5,6,b7
1,b2,3,4,6,7
1,b2,3,4,b6,b7
1,b2,4,5,b7
1,2,b3,#4,5,6
1,b2,b3,#4,5,7
1,3,#4,5,#6,7
1,b2,b3,4,b6,7
1,3,#4,5,6,b7
1,2,3,#4,5,6
1,3,4,5,b6
1,2,3,4,5,6,b7,7
1,b2,b3,4,b6,b7
1,2,4,5,6
1,2,b3,#4,5,6,b7
1,2,3,5,6
1,3,4,5,7
1,2,b3,b4,5,b6,b7
1,4,b7
1,2,b3,4,b5,b6,b7
Simétrica hexatónica
Siria
Skriabin 1
Skriabin 2
Souzinak
Super dominante
Super Locria
Taishikicho
Tcherepnin
Tetratónica
Todi That
Tono-semitono
Tonal o exatona
Tritónica
Ujo
Ultra Locria
Ute
Warao ditónica
Warao tritónica
Warao tetratónica
Yo
Yi Ze
Yosen
Youlan
Yu pentatónica
Yu heptatónica
Zíngara española
Zhi
Zíngara Mayor 1
Zíngara hexatónica
Zíngara Menor
Zíngara Mayor 2
Zirafkend
1,b2,#2,3,#4,5,6,b7
1,b3,3,4,5,b6,7
1,2,3,5,b7
1,2,#2,4,#4,#5,6,7
1,#1,#2,3,#4,5,6,b7
1,#1,2,3,4,#4,5,b6,b7
,7
1,b2,3,4,#5,6
1,b2,3,4,b6
1,2,3,#4,6,b7
1,b2,3,5,6
1,2,b3,#4,5,6,b7
1,b2,b3,3,#4,5,6,b7
1,b2,#2,3,b5,b6,b7
1,2,3,4,b5,5,6,b7,7
1,#1,#2,3,4,5,#5,6,7
1,4,b5,7
1,b2,b3,#4,5,b6,7
1,2,b3,4,b5,b6,6,7
1,2,3,#4,#5,#6
1,4,5
1,2,4,5,6
1,b2,b3,3,b5,b6,6
1,b3,b7
1,b7
1,4,5
1,2,b3,b7
1,2,4,5,b7
1,b3,4,b6,b7
1,2,4,5,6,b7
1,b2,2,3,4,b5,5,6,b7
1,b3,4,5,b7
1,2,b3,4,5,6,b7
1,2,b3,4,5,b6,7
1,2,4,5,6
1,b2,3,4,5,b6,7
1,b2,3,4,5,b6,bb7
1,2,b3,#4,5,b6,7
1,b2,3,#4,5,b6,b7
1,2,b3,4,5,b6,6,7
161
Glosario de términos
Acorde: Unión de dos o más notas que suenan simultáneamente.
Alteración: Se llama alterar una nota al hecho de modificar su frecuencia
subiéndola o bajándola. Si es un semitono ascendente, la alteración es un
sostenido (#) y si baja un bemol (b). Cuando sube o baja un tono entero se
denomina doble sostenido (X) o doble bemol (º) respectivamente.
Altura: Frecuencia del sonido. A mayor frecuencia mayor altura.
Armadura: Es el número de alteraciones que tiene una determinada
tonalidad y que se indica al inicio de una partitura o fragmento de la
misma.
Atonal: Que carece de tónica.
Blanca: Figura musical (h) con duración doble a la negra.
Cadencia: Sucesión lógica de dos acordes que derivan hacia un centro tonal.
Puede tener carácter conclusivo o de reposo intermedio.
Clave: Signo que se pone al inicio de una partitura y que indica qué notas
habrá en cada una de las posiciones del pentagrama. Pueden ser clave de
sol: , do:  y fa: .
Corchea: Figura musical (e) con duración mitad que la negra.
Cromático: Elemento que queda fuera de una escala natural, cuando uno de
sus grados se altera.
Desafinación: Falta de concordancia de frecuencia entre dos sonidos
simultáneos.
Diatónico: Propio de las escalas naturales. Entre dos notas de una escala
natural siempre se produce un intervalo diatónico.
Dinámica: Volumen sonoro de un fragmento. Puede ir desde muy baja
intensidad (pp), poca (p), media (mf), fuerte (f), fortísimo (ff).
Dominante: En música tonal es el acorde tras el cual aparece el de tónica. Es
siempre el primer acorde de las llamadas cadencias perfectas.
Escala natural: Sucesión de notas formada con las mismas frecuencias que
los armónicos naturales de vibración de cuerdas y tubos.
Intervalo: Distancia en frecuencia entre dos sonidos.
Modalidad: Determinada distribución de distancias entre notas de una escala
natural.
Música modal: Dícese de aquella que, aún siendo tonal en el sentido estricto
de poseer una tónica o centro de atracción, carece del juego de resolución
de tritono y cadencias dominante-tónica, apartándose de los llamados
modos mayor y menor.
Música tonal: Dícese de aquella que posee un centro de atracción preferente
sobre el que reposa la música. Especialmente en la que aparece el juego
de cadencia dominante-tónica y resolución de tritono.
Negra: Figura musical (q) que representa la unidad de tiempo en una obra. La
duración depende del tempo.
Octava: Intervalo entre dos notas cuyas frecuencias son una el doble de la
otra.
Pentagrama: Conjunto de las cinco líneas donde se escribe la música.
Semitono: Distancia de frecuencia equivalente a la doceava parte de una
octava. Si ambas notas forman parte de una escala natural se denomina
162
diatónico y si corresponde a una nota alterada que no pertenece a la
escala natural es un semitono cromático.
Sensible: En música tonal, nota que se halla a distancia de semitono por
debajo de la tónica. Pertenece al acorde de dominante y forma tritono con
la séptima moviéndose hacia la tónica en la resolución de éste.
Tempo: Velocidad de la obra. Va desde Largo (muy lento), Adagio (lento),
Andante (poco movido), Moderato (moderado), Allegro (deprisa) y Presto
(muy rápido).
Tonalidad: Nombre de la tónica correspondiente a la escala.
Tónica: Centro preferente hacia el que tiende determinado tipo de música. El
acorde de tónica es aquel sobre el que reposa el final de una pieza.
Tono: Distancia de frecuencia equivalente a la sexta parte de una octava.
Bibliografía
Afinación y temperamentos históricos. J. Javier Goldáraz Gainza. Alianza Música.
2004.
Atlas de música. Ulrich Michels, Alianza Editorial, 1985.
Introducción a la música. Otto Károlyi. Alianza Editorial. 1965.
The science of sound. Thomas D. Rossing. Addison-Wesley publishing comp. 1990.
163
LAMINA 1
Formas de onda de los diferentes intevalos
164
octava
quinta
sexta mayor
cuarta
sexta menor
tercera mayor
tercera menor
septima mayor
segunda mayor
septima menor
segunda menor
tritono
L A M IN A 2
la s es c a la s p e n ta tó n ic a s
Re
La
Re
La
S ol
Do
Mi
Do
Mi
Fa
Si
Re
La
Sol
Do
Mi
Fa
Si
Re
La
S ol
Do
Mi
Fa
Si
Re
La
S ol
Do
Mi
Fa
Si
Re
La
Sol
Mi
Fa
Si
Sol
Do
Fa
Si
Tra d ic io n a l
Re
La
Re
La
S ol
Do
Mi
Do
Mi
Fa
Si
Re
La
Sol
Do
Mi
Fa
Si
Re
Re
La
S ol
Do
Mi
Fa
Si
La
S ol
Mi
Fa
Si
frig io
Re
Re
S ol
La
Do
Mi
S ol
La
Do
Mi
Fa
Si
Re
Re
Sol
La
Do
Mi
Fa
Si
La
Mi
Fa
Si
H ira -jo s h i (h f)
Re
La
Re
S ol
La
Do
Mi
La
Do
Mi
Fa
Si
Re
Sol
Mi
Fa
Si
P e lo g (frig io )
Re
Re
La
La
S ol
Do
Mi
Mi
Fa
Si
165
Re
La
Mi
Si
Sol
Do
Fa
Si
Sol
Do
Fa
Si
S ol
Do
Fa
Si
S ol
Do
Fa
Si
Sol
Do
Fa