Unidad 7 Problema explicados 2013

Unidad 7 Problema explicados 2, 7, 10 y 13
2) (a) Calcular la fuerza magnética que actúa sobre un electrón que lleva una velocidad cuyas
componentes son vx = 4,4 106 m/s, vy = -3,2 106 m/s, vz = 0 en un punto donde el campo
magnético tiene las componentes Bx = 0, By = - 12 mT, Bz= 12 mT. (b) Mostrar las direcciones de
estos tres vectores en un diagrama.
La fuerza que actúa sobre una carga en movimiento en una región donde existe un campo de inducción
magnética está dada por la relación:

 
F  qv  B
En este caso conocemos la carga1, la velocidad y el vector inducción magnética. Entonces lo único que hay que
hacer es resolver esta operación. La única dificultad es que la operación es un producto vectorial. Hay varias
maneras de hacerlo.




a) Una es plantear: F  q v x iˆ  v y ˆj  v z kˆ  Bx iˆ  B y ˆj  Bz kˆ y resolver aplicando propiedad distributiva y
recordando los valores del los productos vectoriales de los versores cartesianos:
iˆ  iˆ  0
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  iˆ  kˆ
kˆ  iˆ  ˆj
ˆj  ˆj  0
kˆ  ˆj  iˆ
iˆ  kˆ   ˆj
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  kˆ  0
b) Otra manera es determinar en primer lugar la dirección y sentido del producto vectorial, aplicando la regla de
la mano derecha y sabiendo que el vector producto debe ser perpendicular a los dos vectores que se
multiplican vectorialmente. Luego se puede determinar el módulo del vector fuerza, por medio de:

 
F  q v B sen , expresión en la que  es el ángulo formado por los vectores velocidad e inducción del
campo magnético.
c) Por último, el procedimiento detallado en (a) se puede resolver en forma más mecánica planteando el
producto en forma de determinante:
iˆ

F  q vx
Bx
ˆj
kˆ
vy
By
vz
Bz
La ventaja de este método es que no es necesario memorizar los resultados de los productos vectoriales de los
versores unitarios. De cualquier modo es necesario saber el resultado de los productos vectoriales de los
versores. Esto se puede hacer memorizando la tablita que dimos en el ítem (a) o recurriendo a la siguiente regla
mnemotécnica:
iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ
Cada versor con el que le sigue a la derecha, da el tercero a la derecha positivo.
Cada versor con el anterior, ubicado a la izquierda, da el de la izquierda de este último con signo
negativo. Cada versor por sí mismo da producto nulo.
1
La carga del electrón es qe= e = 1,61019 C
De todos modos, no es indispensable ni memorizar, ni recurrir a esta regla. Cada producto
vectorial de versores unitarios se puede resolver utilizando la regla de la mano derecha. Por
ejemplo: Supongamos que queremos hacer el producto: kˆ  ˆj . Colocamos el dedo pulgar de la
mano derecha alineado con el eje z y apuntando en el sentido positivo, el dedo índice alineado con
el eje y, entonces el dedo mayor señala el sentido negativo del eje x. Entonces resulta: kˆ  ˆj  iˆ
Realizaremos el cálculo en este problema por medio del determinante:
ˆj
ˆj
iˆ
kˆ
iˆ

F  q vx v y vz  e vx v y
Bx B y Bz
0 By

F  e v y Bz iˆ  v x Bz  ˆj  v x B y kˆ

kˆ
0  e v y Bz  0  B y iˆ  v x Bz  0  ˆj  v x B y  0  v y kˆ 
Bz






m
m
m
 

F  1,6  1019 C   3,2  106  12  103 T iˆ   4,4  106  12  103 T  ˆj  4,4  106
 12  103 T kˆ  
s
s
s
 




m
F  1,6  1019 C  106  12  103 T  3,2iˆ  4,4 ˆj  4,4kˆ
s



m
m
m
 

F  1,6  1019 C   3,2  106  12  103 T iˆ   4,4  106  12  103 T  ˆj  4,4  106
 12  103 T kˆ  
s
s
s
 




N
F  6,144iˆ  8,448ˆj  8,448kˆ  1015 A  m 

Am

F  6,144iˆ  8,448ˆj  8,448kˆ  1015 N
Entonces la fuerza que actúa sobre el electrón en movimiento debido al campo magnético tiene componentes en
 
x, en y y en z, todas positivas. Es importante destacar que el producto v  B tiene sentido opuesto al vector
 
fuerza calculado. Es decir si aplicamos la regla de la mano derecha al producto v  B obtenemos un vector,
luego al multiplicar por la carga, que en este caso es negativa, obtenemos la fuerza que s un vector de sentido
opuesto al producto mencionado.










En sistema de coordenadas cartesiano podemos representar aproximadamente estos tres vectores. El electrón
está ubicado en un punto arbitrario (Se lo podría haber ubicado en el origen):
Vamos a realizar ahora una verificación del cálculo realizado. La fuerza, por ser el resultado del producto
vectorial, debe ser perpendicular, tanto al vector velocidad como al vector campo. Deberíamos poder determinar
en forma independiente el ángulo  entre el vector fuerza y el vector velocidad y el ángulo  entre el vector
fuerza y el vector inducción del campo magnético.
Para ello podemos recurrir al producto escalar. En efecto:
   
v  F  v F cos
 
vF
cos   
v F
   
B  F  B F cos
 
BF
cos   
B F
Entonces:
 
v  F 4,4  106  6,144 1015  3,2  106  8,448 1015 m
27,0336 27,0336
cos    
N
 0    90º
6 m
15
s
61,952 319,013
v F
61,952 10
 319,013 10 N
s
 
B  F  12  8,448 12  8,448 3
cos    
10 T  1015 N  0    90º
 
B F
B F
Tengamos en cuenta que los vectores velocidad y campo pueden formar cualquier ángulo. Podrían ser
perpendiculares pero esto no es necesario. Pero la fuerza que actúa sobre el electrón es un vector perpendicular
al plano determinado por los vectores velocidad y campo.
En especial, el hecho de que la fuerza sea perpendicular a la velocidad tiene como consecuencia que dicha
fuerza, debida al campo magnético, no puede provocar variación en el módulo de la velocidad. Sólo puede
causar un cambio en la dirección del vector velocidad.
Dicho de otro modo, la fuerza que ejerce el campo magnético sobre una partícula cargada en movimiento no
realiza trabajo (es decir, no provoca variación en la energía cinética)
Unidad 7 Problema 7
7) Un electrón del haz de un tubo de imagen de TV es acelerado por una diferencia de potencial de 20000 V.
Después pasa por una región de campo magnético, donde se mueve en un arco circular de 13 cm de radio. ¿Cuál es
el módulo del campo magnético?
Suponiendo que el electrón parte del reposo desde el cátodo, será acelerado por el campo eléctrico hasta
alcanzar una velocidad v. El trabajo realizado por el campo eléctrico es igual a la variación de la energía
cinética.
1
|𝑞𝑒 |∆𝑉 = 𝑚𝑣 2
2
La velocidad que alcanza el electrón en la zona con campo eléctrico es:
𝑣=√
2|𝑞𝑒 |∆𝑉
2 ∙ 1,6 × 10−19 𝐶 ∙ 20000𝑉
𝑚
6
=√
=
84
×
10
𝑚
9,1 × 10−31 𝑘𝑔
𝑠
Cuando el electrón ingresa en la región con campo magnético actúa sobre él una fuerza perpendicular a su
velocidad:
⃗⃗
𝐹⃗ = 𝑞𝑣
⃗⃗⃗⃗ × 𝐵
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
|𝑞𝑒 |𝑣𝐵 =
𝑚𝑣 2
𝑅
Despejamos el campo magnético:
𝑚𝑣
|𝑞𝑒 |𝑅
9,1 × 10−31 𝑘𝑔 ∙ 84 × 106 𝑚⁄𝑠
𝐵=
= 3,675𝑚𝑇
1,6 × 10−19 𝐶 ∙ 0,13𝑚
𝐵=
Unidad 7 Problema 10
10) ¿Se puede mover una partícula cargada a través de un campo magnético sin que experimente ninguna fuerza? Si
la respuesta es afirmativa, ¿cómo?. Si no, ¿por qué no?
Si el campo magnético es uniforme y la velocidad de la partícula tiene la misma dirección que el campo, el producto
vectorial entre la velocidad y el campo es nulo. Por lo tanto la fuerza es cero. Si no existe otro tipo de campo la
fuerza total es cero. En este caso la partícula se moverá con MRU, ya que su aceleración es nula.
Unidad 7 Problema 13
Tres partículas cargadas de igual carga ingresan
por la posición (0 cm ; 1 cm) con la misma
velocidad vo paralela al eje x, en la región
determinada por x>0 e y >0 donde existe un
campo magnético uniforme perpendicular al plano
xy y con el sentido del eje z. Fuera de esta región
no existe ningún tipo de campo. La partícula de
masa m1 = 8 g sale de dicha región por la
posición (1 cm; 0 cm).
a) ¿Cuál es la posición por la que egresa la
partícula de masa m2 = 40 g? ¿Cuál es la
posición por la que egresa la partícula de
masa m3 = 5 g?
b) El vector velocidad de la partícula 1
cuando sale de la región con campo
magnético es v1 f  vo ˆj . Determinar el
vector velocidad de las otras dos partículas en el instante en que cruzan el eje x.
a) Al entrar en la región donde hay campo magnético sobre cada partícula actúa una fuerza en la dirección  y
si la carga es positiva.


 
Esta fuerza inicial está dada por F  qv  B y en este caso da F  qvo iˆ  Bz kˆ  qvo  ˆj . Provocará una
variación en el vector velocidad, solamente en su dirección, no en su módulo, y por lo tanto la dirección de la
fuerza irá variando de acuerdo a la dirección que va tomando la velocidad. Se puede demostrar que la
trayectoria será circular y la fuerza tendrá en todos los puntos sentido hacia el centro de la circunferencia
m vo
(fuerza centrípeta). Cada partícula describirá un arco de circunferencia dado por R 
q Bz
 
mvo 8 109 kg  vo
Entonces el radio del arco de circunferencia de la partícula 1 es: R 

 0,01 m Esta
q Bz
q Bz
partícula entra por y =1 cm y sale por x =1 cm por lo tanto su trayectoria es un cuarto de circunferencia cuyo
centro coincide con el origen de coordenadas:
La partícula 2, tiene una masa 5 veces mayor que la masa de la partícula 1, entonces el radio de su trayectoria
será 5 veces mayor, para iguales valores de velocidad, carga y campo magnético. Entonces el radio es R2 = 5
cm, y por lo tanto el centro de la circunferencia tiene que estar en la posición (0; 4 cm). La ecuación de esta
2
circunferencia es, por lo tanto: x 2   y  4  25
Para saber cuál es el punto por el que egresa esta partícula 2 de la región con campo magnético, hacemos y = 0
y nos queda:
2
x 2  0  4  25  x  3
Por lo tanto la partícula de masa m2 sale por el punto (3 cm; 0)
Para la partícula 3…
Su masa es 5/8 de la masa de la partícula 1. Por lo tanto el radio de su trayectoria es R3 = 0,625 cm. El centro de
la circunferencia está ubicado en la posición (0; 0,375 cm). La ecuación de la trayectoria es
2
x 2   y  0,375  (0,625) 2 . Cuando y = 0,
el valor de x nos indica el punto de salida de
la región con campo.
x 2  0  0,375  (0,625) 2
2
x 2  0,390625 0,140625 0,25
x  0,5 centím etros
En la figura se muestran las tres trayectorias.
La parte curva de trazos en color indica la
trayectoria que tendría cada partícula si
también hubiera campo para y < 0.
Las líneas rectas continuas en color indican
la trayectoria de cada partícula una vez que
abandonan la región con campo magnético.
b) Como la fuerza que ejerce el campo
magnético no modifica el módulo de la velocidad, las tres velocidades de “salida” de las partículas tendrán
módulo igual a vo. Pero, ¿cómo podemos determinar su dirección y sentido?

Para la partícula 1 es bastante obvio: v1  vo ˆj
Para la partícula 2, como el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria, debemos determinar la
pendiente de la recta tangente a la trayectoria (indicada en azul) en el punto (3 cm; 0). Podemos tomar la
ecuación de la trayectoria y derivarla con respecto a x. Esto nos permitirá hallar el ángulo que el vector
velocidad forma con el eje x.
x 2   y  4  25
2
2 x  2 y  4
dy
0
dx
dy
 2x

dx 2( y  4)
dy
 23
3
En (3;0) 

   tg
dx 2(0  4)
4



Entonces v2  vo cos iˆ  vo sen ˆj  vo 0,8 iˆ  0,6 ˆj El ángulo   36,87º
En forma análoga se puede determinar la velocidad de salida de la partícula 3.
En este caso el ángulo resulta   233,13º o   126,87º.


v3  vo cos iˆ  vo sen ˆj  vo  0,6 iˆ  0,8 ˆj
