La teoría de la Relatividad (Final)

Actividades del final de la unidad
1. Explica qué son las ecuaciones de transformación que caracterizan una teoría
de relatividad y cuáles son las magnitudes de que constan.
Son un conjunto de ecuaciones que relacionan entre sí las mediciones que de un mismo suceso se llevan a cabo desde distintos sistemas de referencia. Las magnitudes habituales son las cinemáticas (posición, velocidad y aceleración), aunque cualquier
magnitud física es susceptible de ser analizada desde distintos sistemas de referencia.
2. ¿Qué significa que en la relatividad de Galileo el tiempo es absoluto? ¿Crees que,
por nuestra forma de pensar, tenemos esa misma concepción del tiempo?
Significa que no se ve afectado por el cambio de sistema de referencia. Se supone
que existe un único tiempo para todo los sistemas de referencia. Nuestra concepción
habitual del tiempo responde también a este esquema de «tiempo absoluto».
3. Comenta la afirmación siguiente:
«Si lanzamos una canica hacia arriba en el interior de un barco, su movimiento es el mismo que poseería si el barco estuviese en reposo, porque este se
mueve muy despacio. De hecho, si el experimento se realizara en un avión, sí
se vería afectado por el movimiento».
La afirmación es falsa. Siempre que el barco o el avión se muevan con velocidad
constante, su movimiento no afectará a la trayectoria de la canica, a condición de que
esté referida al sistema de referencia que se mueve con el avión o el barco.
4. Escribe, a partir de las ecuaciones de transformación de Galileo, la posición
de una pelota que rueda en el interior de un tren a 10 km/h, respecto al andén
y respecto al interior, en los dos casos siguientes:
a) Rueda en la misma dirección y sentido que el tren.
b) Rueda en sentido contrario.
Dato: La velocidad del tren es de 90 km/h.
a) Las ecuaciones de transformación de Galileo para la posición y la velocidad son:
x4 = x – u · t
v4 = v – u
a) donde v 4 es la velocidad de la pelota respecto a S 4, y u es la velocidad de S 4 respecto a S:
a) v 4 = 10 km/h = 2,78 m/s ; u = 90 km/h = 25 m/s
Y
Y'
S
S'
v'
u
O
Z
360
X
O'
X'
Z'
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
Por tanto, la posición de la pelota, respecto a ambos sistemas, es:
• Respecto a S 4:
x 4 = v 4 · t = 2,78 · t
• Respecto a S:
x = x 4 + u · t = 2,78 · t + 25 · t = 27,78 · t
b) En este caso, tenemos:
x4 = x + u · t ; v4 = v + u
• Respecto a S 4:
x 4 = –2,78 · t
• Respecto a S:
x = (–2,78 · t + 25 · t) = 22,22 · t
Y
Y'
S
S'
v'
u
O
X
Z
X'
O'
Z'
5. Una mosca vuela a 15 km/h en el interior de un autobús que se desplaza a
80 km/h. Calcula su velocidad respecto a la carretera, a partir de la composición
de velocidades de Galileo, si el autobús y la mosca se mueven en el mismo sentido.
En unidades del S.I., las velocidades de la mosca respecto al autobús (sistema S 4) y
de este respecto a la carretera (sistema S) son, respectivamente:
v 4 = 15 km/h = 4,17 m/s ; u = 80 km/h = 22,22 m/s
Y
Y'
S
S'
v'
u
O
Z
X
O'
X'
Z'
Aplicando la transformación de Galileo, tendremos:
v 4 = v – u 8 v = v 4 + u = 4,17 + 22,22 = 26,39 m/s
6. Define qué son sistemas de referencia inerciales y señala cómo se relacionan las
medidas que desde ellos se realizan, acerca de la aceleración de una partícula.
Son sistemas de referencia que carecen de aceleración. Están en reposo o moviéndose con un m.r.u. La aceleración de una partícula es la misma cualquiera que sea el
sistema de referencia inercial al que esté referida.
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
361
7. En el interior de una nave espacial que viaja a 200 000 km/s se enciende una
linterna que emite un rayo de luz en la misma dirección y sentido que el movimiento de la nave. ¿Cuál será la velocidad del rayo respecto a un observador
en tierra, en el contexto de la relatividad de Galileo?
Llamamos u a la velocidad de la nave respecto al sistema S en Tierra, y c 4 a la velocidad de la luz medida en S 4:
u = 200 000 km/s ; c 4 = 300 000 km/s
Y
Y'
S
S'
X
O
c'
O'
Z
u
X'
Z'
De acuerdo con las transformaciones de Galileo, la velocidad del rayo de luz, medida
desde S, sería:
v4 = v – u 8 v = v4 + u 8 c = c4 + u
c = 300 000 + 200 000 = 500 000 km/s
resultado que, como ya sabemos, contradice las medidas experimentales.
8. ¿Cómo se relacionan entre sí las medidas que se hacen de la aceleración de
una partícula, desde distintos sistemas inerciales, en el marco de la relatividad
de Galileo? ¿Y las velocidades?
Si consideramos dos sistemas de referencia inerciales, S y S 4, y suponemos que S 4 se
8
8
mueve a velocidad constante, u , respecto a S, y que v 4 es la velocidad de la partícula respecto a S 4, tendremos las siguientes medidas para la aceleración y la velocidad,
de acuerdo con las transformaciones de Galileo:
8
8
8
8
8
a4= a ; v 4 = v – u
Y'
Y
S
v'
S'
u
O
Z
X
O'
X'
Z'
9. Razona si es una característica exclusiva de la luz que su velocidad de propagación sea independiente del estado de movimiento del foco emisor.
No lo es. La velocidad de propagación de una onda a través del medio correspondiente es independiente del estado de movimiento del foco emisor.
362
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
10. A pesar de que los físicos estaban convencidos de su existencia, al éter se le
atribuían características contradictorias. ¿Sabes por qué?
Porque debía ser extraordinariamente liviano como para que los planetas se moviesen a través de él sin rozamiento, y a la vez debía ser extraordinariamente rígido para que la luz tuviera esa velocidad de propagación tan inmensa.
11. Comenta qué es un interferómetro y para qué utilizaba Michelson los que diseñó.
Es un dispositivo que divide un haz luminoso original en dos idénticos y posteriormente los hace interferir, recogiendo en una pantalla el diagrama de interferencias.
Por extensión, a veces se utiliza el término para dispositivos en los que se producen
interferencias de otro tipo de ondas.
Michelson los utilizaba para medir longitudes y, a partir de ellas, velocidades, con
una precisión sin precedentes en su época.
12. Comenta cuál fue la finalidad con que fue ideado el experimento de Michelson-Morley y qué papel desempeñaba en la experiencia el movimiento de
traslación de la Tierra. ¿Qué avance técnico permitió desarrollar una experiencia que requería tan elevado grado de precisión?
El experimento se ideó para medir la velocidad de la Tierra respecto al éter, para lo
cual, lógicamente, debería existir este. Es decir, de manera indirecta se deseaba probar la existencia del éter.
Si el éter definía el sistema de referencia en reposo absoluto, la Tierra, al moverse
alrededor del, Sol tenía que desplazarse a través del éter.
El avance que permitió diseñar tal experiencia no fue otro que el interferómetro de
Michelson.
13. ¿Qué hecho resultó extraño en las experiencias de Fizeau sobre la propagación de la luz en agua en movimiento?
El hecho de que la velocidad obtenida para la propagación de la luz a través del líquido no se correspondía con la que cabía esperar en el marco de las transformaciones de Galileo.
14. Comenta cuál fue el resultado del experimento de Michelson-Morley y si era
el que esperaban estos científicos cuando lo idearon.
El resultado fue que la velocidad de la luz no se veía afectada por el movimiento de
la Tierra, lo cual se manifestaba por la invarianza del diagrama de interferencias,
cualquiera que fuese la orientación del interferómetro. No esperaban este resultado.
15. Explica por qué los físicos habían concebido la existencia del éter luminífero. ¿Tuvo algo que ver la formulación de Maxwell de la teoría electromagnética?
Una vez que la comunidad científica aceptó que la luz tenía naturaleza ondulatoria,
tal y como se desprendía de las ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético, entendió que era preciso que existiera un medio, que lo «inundase» todo, a través del cual se propagaría la luz. Tal medio sería el éter luminífero o, simplemente,
éter, que además sería el soporte del campo electromagnético.
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
363
16. Comenta brevemente la interpretación que hizo Fitzgerald del resultado del
experimento de Michelson-Morley.
8
Fitzgerald supuso que cualquier objeto que se mueva con velocidad u verá reducida
su longitud en la dirección del movimiento, de acuerdo con la siguiente expresión:
l = l0 ·
√
2
1 – u2
c
Y
Y'
S
S'
l0
O'
O
Z
X
u
X'
Z'
De acuerdo con esto, el brazo del interferómetro orientado en la dirección del movimiento de la Tierra vería reducida su longitud.
17. Fitzgerald y Lorentz propusieron soluciones al problema planteado por el
resultado del experimento de Michelson-Morley. ¿Sugirieron que se desechara la teoría del éter?
No. Ambos creían que debía existir dicha sustancia que todo lo impregnaría, y sus
propuestas no pretendían poner en entredicho la existencia del éter.
18. Cuando Lorentz encontró las ecuaciones de transformación que llevan su
nombre, se hallaba investigando algo que nada tiene que ver con el movimiento de partículas. ¿De qué se trataba?
Se sabía que si se sometían las ecuaciones de Maxwell a las transformaciones de
Galileo, resultaban alteradas. Lorentz investigaba unas transformaciones entre sistemas de referencia inerciales bajo las cuales las ecuaciones de Maxwell no se alterasen (permaneciesen invariantes).
19. ¿Por qué el primer postulado de Einstein generaliza el postulado que define
la relatividad de Galileo y que está referido a sistemas inerciales?
Porque el postulado de Galileo está referido a las leyes de la mecánica, mientras
que el primer postulado de Einstein se refiere a todas las leyes de la física.
20. Enuncia los postulados de la teoría de la relatividad especial de Einstein y razona qué novedades aportaron.
Los postulados de Einstein son:
1. Las leyes de la física son las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales.
2. La velocidad de la luz es independiente del estado de movimiento del foco emisor y del receptor.
El primero generaliza el postulado de Galileo, que estaba formulado solo en el contexto de la mecánica, mientras que el segundo aporta, como auténtica novedad,
que la velocidad de la luz no depende de la velocidad del observador.
364
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
21. En el contexto de la relatividad especial, ¿cuál será la velocidad de un rayo de
luz que se emite en el interior de una nave que viaja a 200 000 km/s, en la
misma dirección y sentido que el movimiento de esta?
La velocidad de este rayo de luz, respecto al sistema S supuesto en reposo, y respecto al sistema S 4, supuesto en movimiento con la nave, es c = 300 000 km/s.
Y
Y'
S
S'
X
O
Z
c'
O'
u
X'
Z'
22. Comenta por qué a las ecuaciones de transformación de la relatividad especial se las conoce con el nombre de ecuaciones de Lorentz.
Porque antes de que Einstein hubiese publicado su teoría de la relatividad especial,
ya las había obtenido Lorentz estudiando ecuaciones de transformación que no
afectasen a las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell.
23. En las ecuaciones de Lorentz aparece un tiempo, t, asociado al sistema S, y
otro, t 4, asociado al sistema S 4. ¿Por qué hay dos tiempos diferentes? Compáralo con la concepción que tenía Newton del tiempo.
La concepción de Newton de un tiempo universal implica que existe un único tiempo, t, para todos los sistemas de referencia. En relatividad especial, la medida del
tiempo depende del sistema de referencia desde el que se lleve a cabo. De ahí que
se considere un tiempo, t, asociado al sistema S, supuesto en reposo, y otro, t 4, asociado al sistema S 4 en movimiento respecto a S.
24. Explica en qué consiste la paradoja de los gemelos. ¿A qué crees que se debe
que haya suscitado tantas controversias?
Se trata de un ejemplo de cómo el tiempo transcurre de manera diferente si se refiere a sistemas de referencia diferentes: si un gemelo se queda en la Tierra y el otro se
va de viaje en una nave, con una velocidad próxima a la de la luz, cuando se vuelven a encontrar, el que ha permanecido en la Tierra es más viejo que el otro.
Ha suscitado controversias porque es una situación reñida con nuestro sentido común.
25. Un astronauta despistado se va de paseo por la galaxia a pasar la tarde y lo hace durante cinco horas, medidas por su reloj, a una velocidad de 0,9999 · c.
¿Qué intervalo de tiempo ha transcurrido en la Tierra mientras ha estado
fuera?
El tiempo medido en la Tierra será mucho mayor:
t = g · t0 =
1
√
2
1 – v2
c
· t0 =
1
0,9999 · c
1–
c
√ (
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
)
2
· 5 h = 70,71 · 5 h = 353,6 h
365
26. Comenta la afirmación siguiente: «Que el reloj del interior de una nave que
se mueva a gran velocidad parezca retrasarse, se trata de una ilusión fruto de
la percepción del observador exterior, ya que realmente el tiempo transcurre igual dentro que fuera de la nave».
Es falsa. En el marco de la relatividad especial, la medida de los tiempos se ve afectada por el movimiento. En particular, el reloj en movimiento se retrasa respecto al
que quedó en reposo.
27. Cuando un astronauta volvió de un largo viaje interestelar de seis años, según el calendario de la nave, le esperaba su hermano gemelo, que resultó ser
15 años más viejo que él. Calcula a qué velocidad se llevó a cabo el viaje y qué
espacio se recorrió en él.
Llamamos t0 al tiempo medido por el hermano que viajó en la nave, y t, al tiempo
transcurrido para el hermano gemelo que se quedó en Tierra:
t0 = 6 años ; t = 6 + 15 = 21 años
Con estos datos podemos calcular la velocidad a la que tuvo lugar el viaje:
t = g · t0 8 g =
t
21
=
= 3,5
t0
6
Por tanto:
1
√
2
1 – v2
c
v2
= 0,0816 8 v = 0,958 · c = 2,874 · 108 m/s
c2
= 3,5 8 1 –
El espacio recorrido durante el viaje, medido desde el sistema de referencia de la
nave, es:
s 4 = t0 · v = 5,44 · 1016 m
28. Comenta la afirmación siguiente: «Si dos sucesos transcurren a la vez respecto a un sistema de referencia, también sucederán al mismo tiempo para
cualquier otro».
Es una afirmación cierta en el contexto de la relatividad de Galileo, válida solo para
pequeñas velocidades, pero no es cierta en general, pues la simultaneidad depende
del sistema de referencia respecto al que se observan los sucesos.
29. Desde la Tierra se mide la longitud de una nave que viaja por el espacio y se
obtiene 275 m. Sin embargo, se sabe que en reposo la nave mide 300 m. ¿Es
posible? ¿A qué velocidad se mueve?
Es posible por la contracción de la longitud debida al movimiento:
l = l0 ·
√
1–
l
l
200
v2
= 1,09
= 0 8 g= 0 =
2
g
l
275
c
Sustituyendo los datos:
1
√ ()
1– v
c
366
2
= 1,09 8 1 –
()
v
c
2
= 0,84 8 v = c ·
√0,16
= 0,4 · c = 120 000 km/s
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
30. Dentro de una nave que viaja a 250 000 km/s hay un cuadrado de alambre de
20 cm de lado, con dos de sus lados alineados con el movimiento. Calcula las
dimensiones del cuadrado respecto a tierra.
Los dos lados alineados con el movimiento verán reducida su longitud al medirla
desde la Tierra, mientras que los dos lados perpendiculares la mantendrán, como se
observa en la figura.
Medido
desde la Tierra
Y
S
Medido
desde la nave
Y'
l0
l0
X
O
v
l0
l
Z
X'
O'
S'
Z'
Así, el cuadrado, visto desde la Tierra, será un rectángulo de dimensiones l Ò l0,
donde:
l=
l0
= l0 ·
g
El valor de g resulta:
g=
1
=
√ ()
1– v
c
√ () √ (
2
1– v
c
2
1
1 – 250 000
300 000
)
2
= 1,8
Por tanto, la longitud de los lados paralelos a la velocidad es:
l=
20
= 11,11 cm
1,8
31. Se sabe que una nave espacial medía antes de despegar 77 m y que su velocidad, medida desde la Tierra, es de 230 000 km/s. ¿Qué podemos decir de su
longitud si es medida desde la Tierra?
Podemos decir que, debido al movimiento, su longitud se verá reducida, siendo su
valor, medido desde la Tierra:
l=
l0
g
Donde el valor de g es:
g=
1
=
√ () √ (
1– v
c
2
1
1 – 230 000
300 000
)
2
= 1,56
Por tanto:
l=
l0
77
=
= 49,4 m
g
1,56
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
367
32. Calcula qué velocidad debe poseer una nave para que su longitud disminuya
un 10%. ¿A qué se debe dicha variación de la longitud?
La disminución de la longitud es una consecuencia de los postulados de Einstein de
la relatividad especial; como disminuye un 10%, será el 90% de la longitud propia:
l = 0,9 · l0
Por otra parte, la contracción de la longitud viene dada por la expresión:
l0
= l0 ·
g
l=
√ ( )
1– v
c
2
Igualando ambas expresiones, resulta:
l = 0,9 · l0 =
l0
1
8
=
g
g
√
2
v2
v2
1 – v 2 = 0,9 8 1 – 2 = 0,81 8 2 = 0,19
c
c
c
Por tanto, la velocidad de la nave debe ser:
v = 0,436 · c = 0,436 · 3 · 105 km/s = 130 800 km/s
33. En el interior de una nave espacial gigante que se desplaza a 270 000 km/s se
mueve una segunda nave a 50 000 km/s en la misma dirección y sentido que
la primera. ¿Cuál será su velocidad respecto a la Tierra?
Llamamos v a la velocidad de la nave grande respecto a la Tierra, y u 4, a la velocidad de la nave pequeña respecto al sistema de referencia de la nave.
Y'
Y
S
u'
X
O
Z
S'
O'
v
X'
Z'
La composición relativista de velocidades nos permite calcular la velocidad de la nave pequeña medida desde la Tierra. Para ello, partimos de la expresión deducida en
la página 335 del libro del alumno; en ella, en este caso u 4 es la velocidad de la nave pequeña respecto a la grande, 50 000 km/s; u, la velocidad de la nave pequeña
respecto a la Tierra (la incógnita del problema); v, la velocidad con que la nave gigante se mueve respecto a la Tierra, 270 000 km/s, y c, la velocidad de la luz; si despejamos u, resulta:
u4 =
(
(
u4 + v = u · 1 +
368
)
4u – v4
u4 · v
v
8 u4 · 1 – 2 ·u = u – v 8 u4 –
·u=u–v
c2
v
c
1– 2 ·u
c
)
u4 · v
8 u =
c2
50 000 + 270 000
u4 + v
=
= 278 000 km/s
270 000
v
·
50
000
1 + 2 · u4 1 +
300 0002
c
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
34. Demuestra que las transformaciones de Galileo son un caso particular de las
de Lorentz para velocidades pequeñas.
Las transformaciones de Lorentz son:
x 4 = g · (x – v · t)
v
t4 = g · t – 2 · x
c
(
)
Si v es muy pequeña:
g=
1
√ ()
1– v
c
2
›1 ;
v
›0
c2
Con lo que queda:
x4 › x – v · t
t4 › t
que son las transformaciones de Galileo.
35. Calcula la velocidad que debe poseer un móvil para que su longitud se reduzca a la mitad. ¿Cómo lo perciben sus ocupantes?
Si la longitud del móvil se reduce a la mitad:
l
l
l= 0 = 0 8 g=2
g
2
De donde se deduce la velocidad que debe llevar el móvil es:
g=
1
√ ()
1– v
c
2
=2 8 1–
()
v
c
2
=
1
22
v2
= 0,75 8 v = 0,87 · c = 0,87 · 3 · 105 km/s = 261 000 km/s
c2
Los ocupantes del móvil no perciben ningún cambio en las longitudes de los objetos de la nave, ni de esta.
36. Desde una nave que se mueve respecto a la Tierra a 200 000 km/s se mide la
velocidad de un meteorito que se mueve en su misma dirección y en sentido
contrario a 100 000 km/s. ¿Qué resultado se obtiene?
La velocidad del meteorito, desde la Tierra, es u = 100 000 km/s, y la velocidad de la
nave es v = 200 000 km/s.
Como, en este caso, el meteorito se mueve en sentido contrario a la nave, sustituimos en la expresión deducida en la página 335 u por –u; así, resulta:
u4 =
–100 000 – 200 000
–u – v4
=
= –245 000 km/s
200 000
v
·
100
000
1+ 2 ·u 1+
300 0002
c
El signo negativo obtenido indica que el meteorito y la nave se mueven en sentido
contrario.
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
369
37. Habrás estudiado en Química la ley de conservación de la masa en el transcurso de una reacción química. ¿Crees que si en un proceso se desprende o
absorbe energía la masa no variará?
En tal proceso, la masa variará; si DE es la energía desprendida o absorbida en él, la
masa de las sustancias participantes variará en una cantidad Dm que cumplirá:
DE
Dm = 2
c
Si se ha desprendido energía, Dm < 0, y en caso contrario, Dm > 0.
38. Comenta la afirmación siguiente: «La masa de una partícula es una constante
que no se ve afectada por el estado de movimiento de la partícula».
Es falsa. De acuerdo con la teoría de la relatividad especial, si m0 es la masa en reposo de la partícula, su masa al moverse a velocidad v es:
m=
m0
√ ()
1– v
c
2
= g · m0 > m0
39. Calcula la velocidad que debe poseer una partícula para que su masa se doble. ¿Es independiente el resultado del sistema de referencia?
Como m = 2 · m0, y m = g · m0, se tendrá, al igualar ambas expresiones:
2 · m0 = g · m0 8 g = 2 8
1–
()
v
c
2
1
√ ()
1– v
c
2
=2
= 0,25 8 v = 0,87 · c = 0,87 · 3 · 105 km/s = 261 000 km/s
Para cualquier otro sistema de referencia respecto al cual la velocidad de la partícula sea distinta a esta, la masa tendrá un valor diferente al indicado en el enunciado.
40. Un protón (mp = 1,67 · 10–27 kg) es acelerado en un ciclotrón hasta una velocidad igual al 75% de la de la luz en el vacío. Calcula su masa respecto al sistema de referencia del laboratorio y respecto a un sistema que se mueve a
esa misma velocidad junto al protón.
Al acelerar el protón hasta alcanzar la velocidad v = 0,75 · c, su masa aumenta según la relación m = g · m0, donde:
g=
1
=
√ () √ (
1– v
c
2
1
1 – 0,75 · c
c
)
2
= 1,51
Por tanto, la masa del protón será:
m = 1,51 · m0 = 1,51 · 1,67 · 10–27 kg = 2,52 · 10–27 kg
Respecto a un sistema de referencia en movimiento junto al protón, la masa de este
no varía, y sigue siendo 1,67 · 10–27 kg.
370
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
41. Calcula la cantidad de movimiento de una partícula de 0,002 g que se mueve a:
a) 1 m/s.
b) 200 000 km/s.
a) La velocidad es tan baja que no se ve afectada por las correcciones relativistas;
por tanto:
p = m · v = 2 · 10–6 kg · 1 m · s–1 = 2 · 10–6 kg · m · s–1
b) Como la velocidad es muy elevada, hemos de emplear la relación:
p=
m0
√ ()
1– v
c
2
· v = g · m0 · v
Donde:
g=
1
=
√ () √ (
1– v
c
2
1
1 – 200 000
300 000
)
2
= 1,34
Por tanto:
p = 1,34 · 2 · 10–6 kg · 2 · 108 m · s–1 = 536 kg · m · s–1
42. En una central nuclear se transforman 250 g de uranio íntegramente en
energía. ¿Qué energía se habrá desprendido?
La variación de masa en el proceso ha sido Dm = 0,25 kg; por tanto, la energía desprendida será:
DE = Dm · c2 = 0,25 · (3 · 108)2 = 2,25 · 1016 J
43. Una partícula de 0,002 g es acelerada hasta un 65% de la velocidad de la luz
en el vacío. Calcula su masa en movimiento y la energía que ha sido necesario suministrarle para que consiga tal velocidad.
La masa de la partícula en movimiento viene dada por:
m = g · m0
El valor de g resulta:
g=
√ (
1
1 – 0,65 · c
c
)
2
= 1,32
Por tanto:
m = 1,32 · 2 · 10–6 = 2,64 · 10–6 kg
La energía total que tiene la partícula a esa velocidad es:
E = m · c2 = 2,64 · 10–6 · (3 · 108)2 = 2,38 · 1011 J
La energía inicial de la partícula era:
E0 = m0 · c 2 = 2 · 10–6 · (3 · 108)2 = 1,8 · 1011 J
La energía suministrada es la diferencia entre ambas:
DE = E – E0 = 2,38 · 1011 – 1,8 · 1011 = 5,8 · 1010 J
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
371
44. Si en una reacción química se transforman 550 g de reactivos en productos y
se desprenden 120 J de calor, ¿cuál será la masa de los productos que se han
obtenido?
Ayuda: Ten en cuenta que en una reacción de este tipo, la disminución de
masa se debe a la equivalencia entre la masa y la energía.
La energía que se ha desprendido procede de la transformación en energía de una
pequeñísima parte de la masa de los reactivos. La variación de masa ha sido:
120
DE
=
= 1,33 · 10–15 kg = 1,33 · 10–12 g
(3 · 108)2
c2
La masa de los productos será 550 g menos Dm; por tanto, la diferencia es inapreciable. La masa de los productos resulta:
Dm =
mp = 550 – 1,33 · 10–12 = 549,99999999999867 g
45. Si fuese posible transformar en masa toda la energía que se desprende en el
choque contra el suelo de un bloque de granito de 10 t que cae desde
2 km de altura, ¿cuál sería el valor de la masa obtenida?
La energía transformada será la energía potencial que tenía el bloque inicialmente:
DE = m · g · h = 104 · 9,8 · 2 · 103 = 1,96 · 108 J
Por tanto, esa hipotética masa generada sería:
Dm =
DE
1,96 · 108
= 2,18 · 10–9 kg
2 =
c
(3 · 108)2
46. Calcula la energía y la cantidad de movimiento de un electrón (me = 9,1 · 10–31 kg)
que se mueve al 80% de la velocidad de la luz en el vacío.
Las expresiones que permiten calcular la energía y la cantidad de movimiento son:
E = m · c2 = g · m0 · c2 ; p = m · v = g · m0 · v
Calculando, en primer lugar, g, y sustituyendo valores, queda:
1
1
g=
=
= 1,67
2
2
v
0,8
·
c
1–
1–
c
c
√ () √ (
)
E = 1,67 · 9,1 · 10–31 · (3 · 108)2 = 1,37 · 10–13 J
p = 1,67 · 9,1 · 10–31 · 0,8 · 3 · 108 = 3,65 · 10–22 kg · m · s–1
47. Una varilla de aluminio de 120 cm posee una masa en reposo de 100 g. Calcula cuál será su longitud y su masa si se encuentra en el interior de una nave
que se mueve a 260 000 km/s.
A esa velocidad, la longitud y la masa de la varilla, medidas desde la Tierra, así como el valor g para este caso, vienen dadas por:
l=
l0
; m = g · m0 ; g =
g
Por tanto:
l=
372
1
=
√ () √ (
1– v
c
2
1
1 – 260 000
c
)
2
=2
120
= 60 cm ; m = 2 · 100 = 200 g
2
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
48. Se dice que de ser ciertas las consecuencias derivadas de los postulados de
Einstein, viajar a las estrellas será siempre imposible. ¿Por qué?
Teniendo en cuenta que la estrella más cercana a nosotros (a-centauro) está a
4,5 años-luz, y que las galaxias más próximas están a más de dos millones de añosluz de nosotros, los viajes a las estrellas durarían muchos años, y a las galaxias, millones de años, pues no puede construirse ninguna nave que viaje a la velocidad de
la luz o más rápido que esta.
49. Demuestra que la ecuación fundamental de la dinámica, expresada en su forma
tradicional (F = m · a), es perfectamente válida para pequeñas velocidades.
En su forma relativista, tenemos:
1
3
F=
2 3/2 · m0 · a = m0 · g · a
1– v
c
[ ( )]
Si v es muy pequeña comparada con c, se obtiene la expresión tradicional:
v 2
› 1 8 g 3 › 1 8 F › m0 · a
1–
c
()
50. Calcula la aceleración que adquiere una partícula de 2 g de masa si, estando
en reposo, se le aplica una fuerza de 10 N. ¿Y si se está moviendo a una velocidad de 210 000 km/s?
Si la partícula está inicialmente en reposo, aplicamos la expresión clásica de la segunda ley de la dinámica:
F
10
F = m0 · a 8 a =
8 a=
= 5 · 103 m/s2 = 5 000 m/s2
m0
2 · 10–3
Si se mueve a 210 000 km/s, debemos emplear la relación relativista que liga la fuerza y la masa:
F
F = m0 · g 3 · a 8 a = 3
g · m0
El valor de g resulta:
g=
1
=
√ () √ (
1– v
c
2
1
1 – 210 000
300 000
)
2
= 1,4
Por tanto, la aceleración, en este caso, es:
10
a=
= 1,82 · 103 m/s2 = 1 820 m/s2
1,43 · 2 · 10–3
51. Comenta la afirmación siguiente:
«Si una partícula se moviese a la velocidad de la luz y quisiésemos aumentar
su velocidad, habría que aplicarle una fuerza infinitamente grande aunque
su masa fuese muy pequeña».
La afirmación es correcta, si aceptamos que una partícula se mueva a la velocidad
de la luz. Teniendo en cuenta la ecuación fundamental de la dinámica en forma relativista:
F
a= 3
g · m0
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein
373
Y como se cumple que, si v se aproxima a c, g tiende a infinito, la aceleración tenderá a cero, con independencia del valor que tenga la masa de la partícula (con tal
de que tenga un valor finito y no nulo).
En lenguaje matemático:
lím g = lím
v8c
v8c
1
√ ()
1– v
c
F
=0
g 3 · m0
= @ 8 lím
v8c
2
52. Al aplicar una fuerza de 3 N a una partícula de 12 g, esta ha adquirido una
aceleración de 0,1 m/s2. ¿Cómo lo explicarías?
Al aplicar la expresión relativista de la segunda ley de la dinámica, tenemos:
3
F = m0 · g · a 8 g =
3
√
F
8 g=
m0 · a
3
√
3
= 13,57
12 · 10–3 · 0,1
Como vemos, se trata de un valor muy alto para g. Esto indica que la velocidad inicial de la partícula debía ser muy elevada, lo que justifica el hecho de que la aceleración adquirida sea tan pequeña.
La velocidad de la partícula se puede calcular como sigue:
g = 13,57 =
()
v
c
2
1
√ ()
1– v
c
2
8 1–
()
v
c
2
=
1
13,572
= 0,995 8 v = 0,997 · c = 0,997 · 3 · 105 km/s = 299 100 km/s
Observa que, si aplicamos la segunda ley de la dinámica en su forma tradicional
(para velocidades pequeñas), la aceleración que adquiere una partícula de 12 g sobre la que se aplica una fuerza de 3 N es:
F=m·a 8 a=
F
3N
=
= 250 m/s2
m 12 · 10–3 kg
53. Calcula la fuerza que habría que aplicar a una partícula de 1 g que se mueve a
0,99 · c para suministrarle una aceleración de 1 m/s2.
Para calcular la fuerza, aplicamos la expresión relativista de la segunda ley de la dinámica:
F = m0 · g 3 · a
El valor de g es:
g=
√ (
1
1 – 0,99 · c
c
)
2
= 7,09
Por tanto, la fuerza que habría que aplicar será:
F = 10–3 · 7,093 · 1 = 0,356 N
374
Unidad 11. La teoría de la relatividad de Einstein