transparencias - Universidad Autónoma de Madrid

Apantallamiento y función dieléctrica:
Plasmones y Espectros Opticos
Rubén Pérez
Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada,
Universidad Autónoma de Madrid, Spain
ruben.perez@uam.es
“Física de Sistemas Complejos”, Curso 2009/2010
Función dieléctrica y propiedades ópticas
Gas de electrones
ε (0, ω ) =1 −
ω p2
ω 2 + iωγ
Sólido real: Al
Reflectividad experimental de Al
comparada con la de un gas de
electrones (con ħω=15.2 eV y
σ=0 o σ=3.6 x 105 Ω-1 cm-1 (---))
Metales: Función dieléctrica de Drude
ε (0, ω ) =1 −
ω p2
2
ω + iωγ
2
(n + iκ ) = ε1 + iε 2
ε1 = n 2 − κ 2
ε 2 = 2nκ
ε1 =1 +
ω p2
ω2 + γ 2
ω p2γ
ε2 =
ω (ω 2 + γ 2 )
1
1

2
2 2
n =  (ε1 + ε 2 ) + ε1 
2

(
1
1

2
2 2
κ =  (ε1 + ε 2 ) − ε1 
2

(
Espectros ópticos: Reflectividad y Absorción
(1 − n) 2 + κ 2
R=
(1 + n) 2 + κ 2
(interfase solido-vacio
e incidencia normal)
)
2ω
α= κ
c
)
1
2
1
2
Transiciones intra- e inter-banda
Metales
Bandas parcialmente ocupadas:
Respuesta dielectrica
determinada fundamentalmente
por transiciones intrabanda, con
correcciones por las transiciones
interbanda.
⇒ Gas de e- es un modelo
razonable para ε(0,ω)
Semiconductores y Aislantes
Bandas llenas: Respuesta
dielectrica determinada
fundamentalmente por
transiciones interbanda.
⇒ Frecuencias caracteristicas
asociadas a las transiciones
(excitaciones) a traves del gap
Función dielectrica para semiconductores
8π e 2
ε (q , ω ) =1 + 2
q
iq ⋅r
2
ψ c ,k + q e ψ v ,k
dk
∑
3
∫
(2
π
)
Ec ,k + q − Ev , k − hω − iη
v ,c
(dominada por las transiciones entre la banda de valencia y la de conducción)
Modelo sencillo: reemplazamos Ec , k + q − Ev ,k
por una energía de excitación promedio ħωav
⇒ Conduce a la función
dielectrica de Lorentz
ω p2
ε (0, ω ) =1 + 2
ωav − ω 2 − iωγ
(Clásicamente, asociada a un conjunto de cargas ligadas que pueden oscilar
con frecuencia ωav. Metal corresponde al caso de cargas libres (ωav = 0))
Función dielectrica y espectros para un
modelo con excitación promedio ωav
ω p2
ε (0, ω ) =1 + 2
ωav − ω 2 − iωγ
ω p2 (ωav2 − ω 2 )
ε1 =1 + 2
(ωav − ω 2 ) 2 + ω 2γ 2
ω p2ωγ
ε2 = 2
(ωav − ω 2 ) 2 + ω 2γ 2
Funcion de perdidas centrada en:
ω
2
p
2
av
(ω + ω )
1
2
(ħωav = 4 eV, ħγ= 1 eV, ħωp =√60 eV= 7.7460 eV)
Reflectancia en metales
Al
Fuerte reduccion en
reflectividad para 1.5 eV
debida a transiciones
interbanda cerca de W y
K
⇒ Bandas paralelas:
muchas transiciones
a la misma energía
Transiciones
intrabanda en banda
4s (ocupacion ~ ½)
Las transiciones
interbanda 3d→4s
dominan debido a
la alta densidad de
estados asociada a
los orbitales 3d
pesar de que los metales son generalmente buenos
El Color de Aespejos,
precibimos visualmente que Au tiene un color
los metales amarillo, Cu rojizo, mientras que Ag no presenta ningún
color.
⇒ Relacionado con la
energia minima para
transiciones interbanda d→s
Cu: 3d →4s Emin ~ 2 eV
⇒ Perdemos las ω > 2 eV en el
espectro reflejado ⇒ color rojizo
(rojo= 1.59 -1.99 eV)
Ag: 4d →5s Emin ~ 4 eV
⇒ Reflectividad ~ 100 % en todo
el rango óptico (1.59-3.18 eV).
Reflectancia y
absorción en Si
Los picos en absorción (E1=3.5 y E2=4.3 eV)
y en reflectividad están asociados con
transiciones en las cercanias de L y X
Reflectancia (%)
Las transiciones indirectas son menos probables
porque es necesaria la emisión/absorción de un
fonón para conservar el momento
Anomalías de Kohn
Las singularidades de ε(q):
Ek + q ≈ Ek
para q~2kF
son responsables de las
anomalias de Kohn en el
espectro vibracional de
metales para q~2kF : “kinks”
para q correspondiente a
diametros extremales de la
superficie de Fermi
Función dielectrica Longitudinal en sólidos (1)
8π e 2
ε (q , ω ) =1 + 2
q
2
iq ⋅r
ψ n,k + q e ψ m,k
dk
 f ( E m , k ) − f ( En , k + q ) 
∑
3
∫


m , n (2π ) En , k + q − Em , k − hω − iη
• Sólo transiciones intrabanda ⇒ ε(q, ω) para el gas de electrones
f ( Em ,k ) − f ( En ,k + q )
8π e2
dk
ε (q , ω ) =1 + 2 ∫
h2 2
q
(2π )3 h 2
2
(k + q ) −
k − hω − iη
2m
2m
q→0
(Drude)
ε (0, ω ) =1 −
ω p2
ω 2 + iωγ
(Se puede integrar para
tener expresiones analíticas)
2
kTF
q
ε (q , 0) =1 − 2 F (
)
q
2k F
(Lindhard)
ω p2
γ=
4πσ
ω,η→ 0
(γ relacionada con parte real de la conductividad)
• Sólo transiciones interbanda ⇒ dominan transiciones banda valencia → conducción
8π e 2
ε (q , ω ) =1 + 2
q
iq ⋅r
2
ψ c ,k + q e ψ v ,k
dk
∑
∫ (2π )3 Ec,k +q − Ev,k − hω − iη
v ,c
q → 0 + excitación promedio ωav
(Lorentz)
(cargas ligadas con
oscilaciones ωav)
ω p2
ε (0, ω ) =1 + 2
ωav − ω 2 − iωγ
Función dielectrica Longitudinal en sólidos (2)
1
Función de − Im
perdidas
ε (q , ω )
Metales
Dominada por los plasmones
ε (q , ω ) =0
ω ωp
Semiconductores
ω
ω + ω 
2
p
2
av
1
2
Función dielectrica transversal en sólidos
A( r , t )
P2
Ho =
+ V (r )
2m
Potencial Vector
electromagnético
• Gauge de Coulomb ∇ ⋅ A(r , t ) = 0
H = Ho +
• Aprox. dipolar: despreciamos A2
ˆ
A( r , t ) = A0 ee
i ( q ⋅r −ωt )
8π e 2
ε T (q , ω ) =1 + 2
m
ˆ
+ A0 ee
2
1  2 e

H=
P
+
A
(
r
,
t
)
+ V (r )


2m 
c

i ( ω t − q ⋅r )
Perturbación
transversal
iq ⋅r
dk ψ n ,k + q e eˆ ⋅ P ψ m ,k
∑
∫ (2π )3 ( En,k +q − Em,k )2 / h2
m .n
e
A( r , t ) ⋅ P
mc
ê ⊥ q
2
f ( Em ,k ) − f ( En ,k + q )
En ,k + q − Em,k − hω − iη
Las f. dielectricas longitudinal εL(q, ω) y transversal εT(q, ω) coinciden
en el límite q→0 en medios isótropos
q→0
ψβ e
iq ⋅r
ψα
iq ⋅ r ψ β r ψ α
ψ β P ψα
h
= iq ⋅
m
Eβ − Eα
[ H 0 , r ] = −i
2
8π e2
ε L (0, ω ) =1 + 2
m
h
P
m
f ( Em ,k ) − f ( En ,k + q )
dk ψ n ,k + q qˆ ⋅ P ψ m,k
∑
∫ (2π )3 ( En,k +q − Em,k )2 / h2 En,k +q − Em,k − hω − iη
m. n