Integrales definidas: trabajo practico N°1 – Matematica Aplicada

Integrales definidas:
trabajo practico N°1 – Matematica Aplicada - 2011
Calcular las siguientes integrales directas
1.
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 =
4.
7.
∫
10.
∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 =
3.
∫
∫ √𝑥 𝑑𝑥
5.
∫(3𝑥 + 5)𝑑𝑥 =
6.
2
∫ 3 𝑑𝑥 =
√𝑥
3
8.
∫ 6𝑡 2 √𝑡 𝑑𝑡 =
9.
∫(3𝑢5 − 2𝑢)𝑑𝑢 =
11.
∫ √𝑥 (𝑥 +
3
𝑑𝑦 =
√𝑦
∫(5𝑥 4 − 8𝑥 3 + 9𝑥 2 − 2𝑥 + 7)𝑑𝑥 =
3
1
) 𝑑𝑥 =
𝑥
13.
∫ 3𝑥 4 𝑑𝑥 =
14.
5
∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 =
2
16.
∫ 5𝑢2 𝑑𝑥 =
3
17.
19.
∫ 𝑋 4 (5 − 𝑋 2 )𝑑𝑋 =
22.
∫(8𝑥 4 + 4𝑥 3 − 6𝑥 2 − 4𝑥 + 5)𝑑𝑥 =
25.
28.
31.
1
𝑑𝑥 =
𝑥2
2.
∫( 3 −
1
1
+ 2 )𝑑𝑥 =
4
𝑥
𝑥
1
3
∫( √𝑥 + 3 )𝑑𝑥 =
√𝑥
∫
3
√𝑥 3 𝑑𝑥 =
2
12.
∫
5𝑡 2 + 7
4
3
𝑑𝑥 =
𝑡5
15.
∫
∫ 10 √𝑋 2 𝑑𝑥 =
18.
∫ 𝑦 3 (2𝑦 2 − 3)𝑑𝑦 =
20.
∫(2 + 3𝑥 2 − 8𝑋 3 )𝑑𝑥 =
21.
∫ √𝑥 (𝑥 + 1)𝑑𝑦 =
23.
∫ (√𝑥 −
24.
2
3
∫( 3 + 2 + 5)𝑑𝑥
𝑥
𝑥
=
26.
29.
32.
3
∫
∫
1
√𝑥
) 𝑑𝑦 =
𝑥 2 + 4𝑥 − 4
√𝑥
27𝑡 3 − 1
3
√𝑡
𝑑𝑥 =
27.
30.
𝑑𝑡 =
∫(3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 =
∫
𝑦 4 + 2𝑦 2 − 1
33.
Sen x csc x =1
Cos x sec x = 1
Tan x cot x = 1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 1 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥
𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
Cot x = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
√𝑦
∫(2𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 =
Identidades trigonométricas necesarias para los cálculos
Tan x =
𝑑𝑡 =
𝑡3
𝑑𝑦 =
2 cot 𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1.
∫(3 sec 𝑥 tan 𝑥 − 5𝑐𝑠𝑐 2 𝑥) 𝑑𝑥 =
2.
3.
∫(3 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑𝑥 =
4.
∫(5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 =
5.
∫(4 csc 𝑥 cot 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥) 𝑑𝑥 =
6.
∫(3 sec 𝑥 tan 𝑥 − 5𝑐𝑠𝑐 2 𝑥) 𝑑𝑥 =
7.
∫(𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 4)𝑑𝑥 =
8.
∫(3𝑐𝑠𝑐 2 𝑡 − 5 𝑠𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑡) 𝑑𝑡 =
9.
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
10.
∫(3𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 − 3 𝑡𝑎𝑛2 𝜃) 𝑑𝜃 =
11.
∫
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
12.
∫
∫
3 tan 𝜃 − 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝑑𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
Problemas:
1)
Encontrar la antiderivada de la ecuación :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 , sabiendo que la primitiva tiene como
punto a P(2;6).
2)
En cualquier punto (x; y) de una curva particular la tangente tiene una pendiente igual a 4x 5. Si la curva contiene al punto (3; 7), obtenga su ecuación.
1
3)
La función costo marginal C´ está determinada por una compañía como: C’(x) = 4𝑥 −2 + 1;
donde C(x) dólares es el costo total de producción de x unidades cuando se producen no más de 25
unidades. Si el costo de producción de 4 unidades es de $50, e: a) la función costo total b) el costo de
producción de 10 unidades.
4)
El punto (3,2) esta en una curva, y en cualquier punto (x, Y) de la curva de la recta tangente
tiene una pendiente igual a 2x – 3. Determine una ecuación de la curva.
5)
La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) de una curva es 3√𝑥. Si el punto
(9,4) esta en la curva, obtenga una ecuación de la misma.
6)
La función costo marginal esta definida por : C’(x) = 3𝑥 2 + 8𝑥 + 4 y el costo general es de
$6. Determine la función de costo total correspondiente.
7)
El volumen de agua de una tanque es V 𝑐𝑚3 cuando la profundidad del agua es de h mt. Si la
tasa de variación de V con respecto a h es π (4ℎ2 +12h +9), determine el volumen de agua en el
tanque cuando la profundidad es de 3m.
8)
Un coleccionista de arte compró por $1.000 un cuadro de un artista cuya obra aumenta de
valor con frecuencia respecto al tiempo y de acuerdo a la fórmula
𝑑𝑉
𝑑𝑡
2
= 5𝑡 3 + 10𝑡 + 50 donde V
dólares es el valor previsto de un cuadro cuando t años después de su compra. Si esta fórmula fuese
válida para los siguientes 6 años. ¿cuál sería el valor previsto del cuadro 4 años después?
Integración por sustitución: Trabajo practico N°2 – Matemática Aplicada - 2011
1.
∫((𝟏 + 𝒙)𝟐 )𝟗 𝟐𝒙𝒅𝒙 =
2.
∫ √𝟑𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 =
3.
∫ 𝒙𝟐 (𝟓 + 𝟐𝒙𝟑 )𝟖 𝒅𝒙 =
4.
∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =
𝟒𝒙𝟐
𝒅𝒙 =
(𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 )𝟒
6.
∫ 𝒙𝟐 √𝟏 + 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒔𝒆𝒏 √𝒙
8.
∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 √𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 =
5.
∫
7.
1)
∫
√𝒙
𝒅𝒙 =
9.
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =
10.
∫
𝒅𝒙 =
11.
∫
𝒅𝒙 =
12.
∫
𝒅𝒙 =
13.
∫
𝒅𝒙 =
14.
∫
𝒅𝒙 =
15.
∫
𝒅𝒙 =
16.
∫
𝒅𝒙 =
∫
𝒅𝒙 =
∫
𝒅𝒙 =
Problemas:
a)
Una herida está sanando de una manera que t días a partir del lunes el área de la herida ha
disminuido a una tasa de -3 (𝒕 + 𝟐 )−𝟐 𝒄𝒎 𝟐 por día. Si el martes el área de la herida fue de 2𝒄𝒎𝟐 .
¿cuál era el área de la herida el lunes?¿cual será el área prevista de la herida el viernes si continúa
sanando a esa tasa?
𝟏
b)
Una función costo marginal para un artículo en particular está dada por C´(x) = 3(𝟓𝒙 + 𝟒) −𝟐 . si
el costo general es de $10, determine la función costo total.
c)
Si q couloumbs es la carga eléctrica recibida por un condensador de corriente eléctrica de i
amperes a los t segundos, entonces 𝒊 =
𝒅𝒒
.
𝒅𝒕
Si 𝒊 = 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 𝒕 𝒚 𝒒 = 𝟎 cuando 𝒕 =
𝟏
𝟐
𝝅, determine la
mayor carga positiva del condensador.
d)
Realice el ejercicio anterior considerando ahora 𝒊 = 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟐𝟎𝒕 𝒚 𝒒 = 𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕 = 𝟎 .
e)
El costo de cierta pieza de maquinaria es de $700, y su valor disminuye con el tiempo de acuerdo
con la fórmula
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= −𝟓𝟎𝟎 (𝒕 + 𝟏)−𝟐 , donde V dólares es su valor t años después de la compra.¿ cuál
será su valor 3 años después de su compra?
f)El volumen de agua de una tanque es V 𝒎𝟑 cuando la profundidad del agua es de h mt. Si la tasa de
𝒅𝑽
variación de V con respecto a h está dada por 𝒅𝒉 = 𝝅(𝟐𝒉 + 𝟑)𝟐 , calcule el volumen del agua del tanque
cuando su profundidad es 3m.
g)
Para los primeros 10 días de diciembre una célula vegetal creció de forma que t días después del
1 de diciembre el volumen de la célula estuvo creciendo a una tasa de (𝟏𝟐 − 𝒕)−𝟐 𝝁𝟑 (micras cúbicas)
por día. Si el 3 de diciembre el volumen de la célula fue de 3𝝁𝟑 ,¿Cuál fue el volumen el 8 de diciembre?
h)
𝒅𝑽
El volumen de una globo crece de acuerdo a la fórmula 𝒅𝒉 = √𝒕 + 𝟏 +
𝟐
𝟑
𝒕, donde V cm cúbicos
es el volumen del globo a los t seg. Si V = 33 cuando t = 3, determine una fórmula de V en términos de t,
y el volumen del globo a los 8 seg.
Integración por Partes: Trabajo practico N°3 – Matemática Aplicada - 2011
1)
Tabla de integrales:
1)
∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝒄
2)
𝒂 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = a ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =
3)
∫[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 =
4)
∫[𝒂𝒇(𝒙) + 𝒃 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 =a ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + 𝒃 ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 =
5)
∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =
6)
∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏│𝒙│ + 𝒄
7)
∫ 𝒂𝒙 𝒅𝒙 =
8)
∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄
9)
∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄
10)
∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙𝒅𝒙 =
11)
∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 + 𝒄
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝒄
𝟏
𝒂𝒙
𝒍𝒏 𝒂
+𝒄
𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒄
12)
∫ 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒄
13)
∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒔𝒄𝒙 + 𝒄
14)
Integración por sustitución:
. 𝒈´(𝒙)𝒅𝒙
= ∫ 𝒇(𝒖) . 𝒅𝒖
∫ 𝒇[𝒈(𝒙)]
⏟
⏟
V
𝒖
15)
∫ 𝒇(𝒙). 𝒇´(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒖 . 𝒅𝒖
𝒅𝒖
Integración por partes:
𝒖 . ⏟
𝒅𝒗 = ⏟
𝒖 .
∫⏟
𝒖(𝒙) 𝒗′ (𝒙)𝒅𝒙
𝒖(𝒙)
⏟
𝒗
− ∫ ⏟𝒗
∫ 𝒗′ (𝒙)𝒅𝒙
16)
Regla de Barrow:
17)
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
Cálculo de áreas:
∫ 𝒗′ (𝒙)𝒅𝒙
. ⏟𝒅𝒖
𝒖′ (𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑨
(á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒇(𝒙)𝒚 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙
18)
Integración por fracciones parciales:
𝟏
∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏│𝒙│ + 𝒄
y
𝟏
∫ 𝟏+ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝒄