Int. confianzas diferencias.

UNIVERSIDAD POPULAR DELCESAR
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA.
ESTADISTICA INFERENCIAL Y MUESTREO
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DEMEDIA Y D EPROPORCIONES

σB2 σ 2A
σB2 σ 2A 
IC   x B  x A  z α

 μB  μA   x B  x A  z α


0.5 
0.5 
nB nA
nB nA 
2
2






pA  1 pA  pB  1 pB 
pA  1 pA  pB  1 pB  
IC  pA  pB   z α

 p A  pb   pA  pB   z α


0.5 
0.5

nA
nV
nA
nV
2
2


1. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el
rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y
75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen
constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el
promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96%
sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones
estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente.
Datos:
x A  36 millas
x B  42 millas
δ A  6 millas
δ B  8 millas
n A  50
n B  75
Niv el de conf ianza  96%
IC  ?
Solución:
Es deseable que la diferencia de medias sea positiva por lo que se recomienda restar las media
mayor menos la media menor. En este caso será la media del motor B menos la media del motor
A.
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una
probabilidad de 0,48 es Zα  2.05 . Por tanto:
2
0.48
NC=0.96
α/2=2.0%
α/2=2.0%
-Z=-2.05
Z=2.05

σB2 σ 2A
σB2 σ 2A 
IC   x B  x A  z α

 μB  μA   x B  x A  z α


0.5 
0.5 
nB nA
nB nA 
2
2


64 36
64 36 
IC  42  36  2.05

 μB  μA   42  36  2.05


75 50
75 50 

IC  3.43  μB  μA   8.57
La interpretación de este ejemplo sería que con un nivel de confianza del 96% la diferencia del
rendimiento promedio esta entre 3.43 y 8.57 millas por galón a favor del motor B. Esto quiere decir
que el motor B da más rendimiento promedio que el motor A, ya que los dos valores del intervalo
son positivos.




2. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su
flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento
utilizando 12 de cada marca(los cuales se distribuyen normalmente. Los neumáticos se utilizan
hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y
para la marca B 38,100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia
promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma
aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100
kilómetros para la marca B.
Datos:
x A  36300 Km
xB  38100 Km
δ A  6 millas
δB  8 millas
n A  12
nB  12
Niv el de conf ianza  95%
IC  ?
Solución:
Es deseable que la diferencia de medias sea positiva por lo que se recomienda restar los medios
mayores menos la media menor. En este caso será la media del motor B menos la media del motor
A.
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una
probabilidad de 0,475 es Zα  1.96 . Por tanto:
2
0.475
NC=0.95
α/2=2.5%
α/2=2.5%
-Z=-1.96
Z=1.96

σ B2 σ 2A
σ B2 σ 2A 
IC  xB  x A   z α

 μB  μA   xB  x A   z α


0.5 
0.5 
nB n A
nB n A 
2
2


61002 50002
61002 50002 
IC  38100  336300  1.96

 μB  μA   38100  336300  1.96


12
12
12
12 

IC   2662.68  μB  μA   6262.67
Como el intervalo contiene el valor "cero", no hay razón para creer que el promedio de duración del
neumático de la marca B es mayor al de la marca A, pues el cero nos está indicando que pueden
tener la misma duración promedio.
3. Se está considerando cambiar el procedimiento de manufactura de partes. Se toman muestras
del procedimiento actual así como del nuevo para determinar si este último resulta mejor. Si 75
de 1.000 artículos del procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo sucedió con 80 de
2.500 partes del nuevo, determine un intervalo de confianza del 90% para la verdadera
diferencia de proporciones de partes defectuosas.
Datos:
75
 0.075
1000
80
pB 
 0.032
2500
n A  1000
pA 
n B  2500
Niv el de conf ianza  90%
IC  ?
Solución:
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una
probabilidad de 0,45 es Z α  1.645 . Por tanto:
2
0.45
NC=0.90
α/2=5%
α/2=5%
-Z=-1.645
Z=1.645

p  1 pA  pB  1 pB 
p  1 pA  pB  1 pB  
IC  pA  pB   z α A

 p A  pb   pA  pB   z α A


0.5 
0.5 
n
n
nA
nV
A
V
2
2



0.0750.925 0.0320.968
0.0750.925 0.0320.968 
IC  0.075  0.032  1.645 

 p A  pb   0.075  0.032  1.645 


1000
2500
1000
2500


IC  0.0281  p A  pb   0.0579
Tenemos una certeza del 90% de que la diferencia de proporciones está entre 0´0281 y 0´0579
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
4. Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia a la tensión. Se prueban 50
piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, la marca A tuvo una resistencia
promedio a la tensión de 78.3 Kg, mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de
87.2 Kg. Se sabe de antemano que las
5. Oficiales escolares comparan el coeficiente intelectual entre niños de dos grupos. De una
muestra de 159 niños del grupo 1 78 califican con más de 100 puntos, de una muestra de 250
niños del grupo 2 123 califican con más de 100 puntos. Construya un intervalo de confianza
para la diferencia entre las dos proporciones del grupo 1 y 2 de los niños con califican con más
de 100.
6. El departamento de zoología de la Universidad de Virginia llevó a cabo un estudio para estimar
la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río
James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estación
1 y se obtuvo una media de 3.84 con una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro,
mientras que 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 con una
desviación estándar 0.80 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para
la diferencia del contenido promedio real de ortofósforo en estas dos estaciones, suponga que
las observaciones vienen de poblaciones normales con varianzas diferentes.
7. Dos maquinarias A y B, usadas para el corte de pieles para zapato, tienen que ser comparadas
para comprobar la calidad de la producción. Se extrae una muestra de 50 elementos por la
maquinaria A y 45 para la maquinaria B. También, se sabe que la varianza de los cortes es de
9 cm para el grupo A y 16 para el grupo B. Sabiendo que las medias maestrales obtenidas son
respectivamente iguales a 140 cm y 120 cm, hallar un intervalo de confianza al 93% para la
diferencia de las dos poblaciones.
8. Se quiere comparar el porcentaje de piezas defectuosas en grandes lotes suministrados por
dos fabricantes. Se tienen dos muestras de tamaño 35 y 42, y se ha examinado el porcentaje
de piezas defectuosas para cada proveedor. Los resultados obtenidos son 7% y 9%. Con un
nivel de confianza del 95%, obtenga un intervalo para la diferencia de proporciones de los dos
lotes.
9. De dos grupos de terapia se toma una muestra de 5 y 10 enfermos con distribución normal.
Reciben un fármaco para dormir y obtenemos como número medio de horas de sueño 7,82 y
6,75, con unas desviaciones típicas de 0,24 y 0,3 respectivamente. Hallar un intervalo de
confianza al 99% para la diferencia del número medio de horas de sueño en ambos grupos.
10. 50 muchachas y 75 muchachos presentan un examen de química, las chicas obtuvieron una
calificación promedio de 76 con desviación estándar de 6, de los chicos fue 82 con desviación
estándar de 8. Encontrar el intervalo de confianza de 96% para la diferencia
donde
es la puntuación media de todos los muchachos y
la de todas las chicas.
11. Se considera cierto cambio en un procedimiento de fabricación de determinadas partes
componentes. Se toman muestras utilizando el procedimiento existente y el procedimiento
nuevo, a fin de resolver si este último da por resultado un mejoramiento. Si se encontró que
estuvieron defectuoso 75 de 1500 elementos manufacturados con el procedimiento existente y
80 de 2000 fabricados con el nuevo procedimiento. Obtener un intervalo de confianza del 90%
para la diferencia verdadera en la fracción de defectuosas entre el proceso existente y el
nuevo.
12. Se realizó un estudio para determinar si8 determinado tratamiento metálico tenía algún efecto
en la cantidad de metal eliminado en una operación de inmersión en ácido. Se sumergió una
muestra de 100 piezas en un baño durante 24 hrs, sin el tratamiento, dando un promedio de
12.2 milímetros de metal removido y una desviación estándar muestral de 1.1 milímetros. Una
segunda muestra de 200 piezas se expuso al tratamiento y después de una inmersión en el
baño durante 24 hrs, lo que resulto en una eliminación promedio de 9.1 milímetros de metal
con una desviación estándar muestral de 0.9 milímetros. Calcule una estimación del intervalo
de confianza del 98% para una diferencia de las medias poblacionales. ¿Parece que el
tratamiento reduce la cantidad promedio de metal removido?
Octubre 21 de 2011.