Temario para exámenes finales Importante: Los exámenes tendrán una parte teórica y otra práctica; para aprobar el examen es necesario aprobar cada una de estas partes. Esta es una guı́a para estudiar para los exámenes finales de Algebra 1. Describe los contenidos teórico-prácticos dictados en el curso que serán evaluados en los exámenes. La parte práctica constará de ejercicios y problemas similares a los ejercicios y problemas de los prácticos. 1 Números reales • La suma, el producto y el orden de los reales. • Axiomas de los números reales. Unicidades del neutro, de la identidad, de los opuestos y de los inversos. • Propiedades aritméticas de la suma y el producto. • Propiedades aritméticas del orden. • Valor absoluto. • Aritmética de fracciones. 2 Números naturales e inducción • Axiomas de los números naturales. • El Principio de Inducción. Enunciado y demostración. • Inducción corrida. Enunciado y demostración. • Inducción fuerte. Enunciado. • Conjuntos inductivos. • El Principio de buena ordenación. Enunciado y demostración. • Definiciones recursivas. Sumatoria, productoria, la potenciación, el factorial. • Sucesiones definidas por recurrencia. • Sumas sumables: enteros consecutivos, impares, cuadrados y cubos. • Suma de potencias. • Progresiones aritméticas y geométricas. Sumas de progresiones aritméticas y geométricas. 1 3 Aritmética entera • Suma y producto de enteros. Propiedades. Inversibles en Z. • Divisibilidad. Divisores y múltiplos. Propiedades. • Los conjuntos de divisores y los conjuntos de múltiplos. • Números primos. • División entera. Enunciado y demostración. • Máximo común divisor y mı́nimos común múltiplo. • Números coprimos y divisibilidad. • Máximo común divisor y combinaciones lineales enteras. • El Algoritmo de Euclides. • El Teorema fundamental de la aritmética. Enunciado y demostración. Existencia y unicidad. • Factorización de enteros, divisores, mcd y mcm. • La función φ de Euler. • Representación decimal de enteros. • Representación binaria. • Representaciones s-ádicas. 4 Aritmética modular • La congruencia de enteros. Congruencia, suma y producto. • Clases de congruencia. Enteros modulares Zm ; suma y producto, buena definición. • Tablas de suma y producto de Zm . Cálculo de potencias. • Propiedades aritméticas. • Unidades y divisores de cero. Definición. • Caracterización de unidades y divisores de cero. Enuncidado y demostración. • Cálculo de inversos. 2 • Reglas de divisibilidad. • Ecuaciones de congruencia. Propiedade y reducciones. • Solución de ecuaciones lineales generales. Enunciado y demostración. • Teorema de Euler-Fermat. Enunciado y demostración. Aplicación al cálculo de inversos. • Pequeño Teorema de Fermat y Teorema de Wilson. Enunciados y demostraciones. • Sistemas de ecuaciones lineales de congruencia. • Teorema chino del resto. Enunciado y aplicaciones. 5 Números complejos • Definición. Parte real y parte imaginaria. Suma y producto. Propiedades. • Representación cartesiana. • Conjugación y módulo. Inversos. • eiθ . Fórmula de De Moivre. Enunciado y demostración. • Representación polar. • S 1 y el producto. • Interpretación en el plano de la suma y el producto. • Potencias e inversos. • Las raı́ces de la unidad. • Soluciones de ecuaciones de segundo grado. 6 Principios de combinatoria y conteo • Principios de adición, multiplicación y complemento. Principios de inyección y biyección. • Ordenar. Formas de ordenar. Enunciado y demostración. • Ordenar en cı́rculo o cı́clicamente. Formas de ordenar cı́clicamente. Enunciado y demostración. • Elegir. Definición del número combinatorio. Formas de elegir. Enunciado y demostración. 3 • Combinaciones, permutaciones y arreglos. • Problemas de equipos y comités. • Ordenar con repetición. • Distribuir. 7 Números combinatorios • Definición y cálculo de valores particulares. • Simetrı́a. Enunciado. Demostración aritmética y demostración combinatoria. • Identidad de Pacal. Enunciado, demostración aritmética y demostración combinatoria. • El cardinal de partes de un conjunto de n elementos. Enunciado y demostración. • El binomio de Newton. Enunciado y demostración. Aplicaciones. • El triángulo de Pascal. 8 Funciones y combinatoria • Teorema sobre la no existencia de funciones inyectivas. Enunciado y demostración. • Definición de cardinalidad y demostración de buena definición. • Principio de adición y principio de multiplicación. Enunciados y demostraciones. • El Principio del palomar. Enunciado y aplicaciones. 4