Lógica Matemática

Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Lógica Matemática
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
II Lógica Matemática
2.1 Lógica Proposicional
2.2 Lógica de Predicados
2.3 Métodos de Demostración
El establecimiento de cualquier teoría o concepto se hace
mediante declaraciones y/o afirmaciones llamadas enunciados o
proposiciones que tienen un valor de verdad o falsedad pero no
ambos.
Conocer y manejar estas proposiciones es el objetivo de este tema.
Para ello se definen dos principales conceptos: proposición y
conectivo.
Conocer, entender y aplicar los conceptos de:
Lenguaje proposicional:
• Proposición primitiva
• Proposición compuesta
• Conectivo lógico:
o Conjunción
o Disyunción
o Implicación
o Bicondición
o Tautología
o Contradicción
o Contingencia
o Equivalencia lógica
En muchas ocasiones es necesario conocer si dos situaciones son
iguales o equivalentes.
En matemáticas necesitamos saber cuando dos entidades son
iguales o esencialmente lo mismo.
En la lógica matemática se conoce como el álgebra de las
proposiciones en donde por medio de equivalencias se establece
cuando dos proposiciones son esencialmente la misma
Es objetivo de este tema conocer las leyes de la lógica para poder
establecer equivalencias.
Conocer, entender y aprender las siguientes leyes de la lógica:
Semántica de lógica proposicional:
• Ley de la doble negación
• Leyes de Morgan
• Leyes Conmutativas
• Leyes asociativas
• Leyes distributivas
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
36
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
• Leyes idempotencia
• Leyes de neutro
• Leyes de dominación
• Leyes inversa
Leyes de absorción
Para analizar la demostración de teoremas dentro de las
matemáticas discretas se estudia el concepto de argumento y de
cuándo un argumento es válido.
Conocer, entender y aprender las reglas de inferencia de:
Implicación
Regla de Separación: Modus Ponens·
Método de negación: Modus Tollens·
Ley del silogismo:
Implicación lógica
Regla de conjunción
Regla de contradicción
Regla de amplificación
Métodos de demostración
Método del absurdo
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
37
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
2 Lógica matemática
INTRODUCCIÓN
Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el
razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y
no en el contenido de una afirmación en particular.
Los métodos lógicos se usan en matemáticas para demostrar teoremas y en
las ciencias de la computación, para probar que los programas ejecutan lo que
deben de hacer. [Johnsonbaugh, 1]
El lenguaje natural es un instrumento de comunicación humana, que se
caracteriza por su gran flexibilidad y puede estar lleno de redundancias y
ambigüedades. Estas características hacen que la lógica formal no esté interesada
en el lenguaje natural.
La lógica pretende ser una ciencia rigurosa y universal que permita realizar
cálculos exactos. Para ello, la lógica requiere el diseño de un lenguaje artificial que
sea formal, donde lo que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado
de las frases y donde sólo los mensajes que cumplan rigurosamente las normas
sintácticas sean aceptados como correctos.
La lógica se ocupa básicamente de declaraciones o enunciados que se
caracterizan porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad. Esto es, la lógica
trata a las proposiciones que se pueden definir como enunciados simples, ya sean
falsos o verdaderos, son proposiciones.
La lógica formal es una ciencia que estudia el conocimiento que genera un
conocimiento y este conocimiento puede producirse de dos formas, por
constatación, de hechos o ideas o por deducción, a partir de un conocimiento se
obtiene otro conocimiento. Esto es, la lógica formal estudia la deducción o
razonamiento como proceso mental capaz de generar nuevos elementos de
conocimiento a partir de otros.
Finalmente, la lógica formal es una ciencia. Una ciencia formal. Es el estudio
del razonamiento formalmente válido, es la ciencia de la inferencia deductiva. La
principal aportación que la lógica hace a las ciencias está en la ordenación,
estructuración y análisis de las verdades conocidas. . [Arenas, 3]
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
38
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
2.1 Lógica proposicional
2.1.1 Lenguaje formal de la lógica proposicional
(sintaxis)
El lenguaje formal de la lógica proposicional está formado por dos
elementos: proposiciones y conectivos.
Proposiciones
• Proposición o enunciado: oración declarativa que es verdadera o falsa pero no
ambas [Grimaldi, 51]
• Proposiciones, frases declarativas simples: son la mínima unidad del lenguaje
con contenido de información sobre la que es posible enunciarse con un
“verdadero” o con un “falso” como valor de verdad. [Arenas, 5]
Las proposiciones se representan con letras minúsculas a partir de la “ p ”: p, q,
r, s, t, u, v…
Las proposiciones pueden ser de tres tipos:
• Proposiciones de acción con sujeto no determinado:
o Hace calor
o Es jueves
• Proposiciones de atribución de propiedades a sujetos determinados:
o Alberto estudia ingeniería
o Beatriz vive en Cuernavaca
o Carlos nació en México
• Proposiciones de relación:
o Alberto es primo de Beatriz
o Cuernavaca es la capital del estado de Morelos
o Para ir a Monterrey por carretera se pasa por los estados de
Distrito Federal, Querétaro, Estado de México, Guanajuato, San
Luis Potosí y Coahuila.
No son proposiciones aquellas declaraciones de tipo interrogativo e
imperativo:
o ¿Habla usted inglés?
o Cierra la ventana
ƒ Por favor, apaga la luz
Las proposiciones son oraciones declarativas
Pueden ser
•
FALSAS:
VERDADERAS:
“F” o “0”
“V” o “1”
Valor de verdad
Proposición primitiva: no se puede descomponer [Grimaldi, 52].
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
39
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
•
Conectivos: son los elementos del lenguaje que permiten construir frases
nuevas a partir de las existentes obteniendo nuevos significados. [Arenas, 5]
Conectivos
conectivo
Negación
Símbolo lógico
¬p
Conjunción
(“y”)
p∧q
Disyunción
(“0”)
p∨q
Condicional
implicación
p→q
Bicondicional
doble
implicación
•
p↔q
Expresión en
lenguaje natural
Ejemplos
Hoy no hace calor
No llegaré tarde
Eso no es verdad
No p
No ocurre que p
No es cierto que p
Es falso que p
y q
aunque q
pero q
sin embargo q
no obstante q
a pesar de q
Vamos al cine y a
cenar también
Luis trabaja aunque
estudia de noche
Llegué a tiempo no
obstante haber salido
tarde
p o q o ambos
O bien p o bien q
Al menos p o q
Como mínimo p o q
O vamos al cine o
vamos a cenar
O me saco un 7 o me
saco un 8
si p entonces q
sólo si q entonces p
p es suficiente para q
q es necesaria para p
No p a menos que q
Si saco 8 entonces mi
promedio aprobatorio
Si saco 8 en el parcial
tendré el promedio
aprobado
Para tener el promedio
aprobado debe de
sacar 8
p si y solo si q
necesario
p
suficiente para q
Voy de vacaciones si y
solo si apruebo todas
mis materias
p
p
p
p
p
p
y
Proposición compuesta: combinación de proposiciones por medio de conectivos
lógicos [Kolmar, 47].
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
40
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Equivalencia entre conectivos13:
1. Implicación – disyunción: p → q es equivalente a ¬ p ∨ q . Ejemplo: si
llueve entonces me mojo, es equivalente a decir, o no llueve o me mojo.
2. Implicación – conjunción: p → q es equivalente a ¬ ( p ∧ ¬ q ) . Ejemplo: si
llueve entonces me mojo, es equivalente a decir, no ocurre que llueva y no
me moje.
3. Disyunción – conjunción: ¬ p ∨ q es equivalente a ¬ ( p ∧ ¬ q ) .
4. Bicondicional – implicación: p ↔ q es equivalente a ( p → q ) ∧ (q → p )
Sintaxis
Definición formal del lenguaje proposicional
La definición formal de un lenguaje requiere la especificación de su alfabeto
y de sus reglas de sintaxis14.
1. Alfabeto: los símbolos que se utilizan son
a. Símbolos de proposiciones: p, q, r , s, t , u , v
b. Símbolos de conectivos: ¬, ∧, ∨, →, ↔
c. Símbolos de paréntesis: { [ ( ) ] }
2. Reglas de sintaxis:
1ª Las fórmulas bien construidas (fbc) del lenguaje proposicional
se definen de la siguiente manera:
a. Las letras p, q, r , s, t , u , v son fbc
b. Si p y q son fbc también lo son ¬ p y ¬ q
c. Sólo son fbc las que se obtienen de las definiciones anteriores
(a y b)
2ª Para la correcta relación entre proposiciones y conectivos las
fbc:
a. No deben aparecer dos conectivos adyacentes, excepto en la
negación.
b. Es preciso definir la relación conectivo-proposición cuando
hay más de un conectivo en la fórmula:
• Un conectivo pertenece a la proposición inmediata o al
conjunto de proposiciones encerradas en un paréntesis,
corchete o llaves.
• Para evitar exceso de paréntesis, se define una jerarquía de
prioridades entre conectivos:
o Nivel 1 : negación
o Nivel 2: conjunción y disyunción
o Nivel 3: implicación y bicondicional
13
14
En el tema demostración de equivalencias se demostrará las siguientes equivalencias
Sintaxis son las reglas que define cualquier lenguaje.
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
41
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
2.1.2 Semántica de lógica proposicional
Un sistema de fórmulas y razonamientos válidos se construye a partir del
significado (verdadero o falso) de las proposiciones compuestas, esto es, a partir de
la forma de dar un valor al contenido de la información de cada proposición. Se
llama semántico15 al método de demostración de los valores del significado de una
proposición compuesta.
La forma en cada conectivo genera los valores de una proposición compuesta
es por medio de una tabla de verdad en donde se definen todas las combinaciones
posibles de los valores que pueden tener el conjunto de proposiciones simples que
hacen una proposición compuesta.
Cálculo proposicional
Tablas de verdad de conectivos
15
Semántica define el significado de los signos de un lenguaje.
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
42
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
En resumen:
p
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧ q
0
0
0
1
¬ p
1
0
p∨ q
0
1
1
1
p∨ q
0
1
1
0
p→ q
1
1
0
1
p↔ q
1
0
0
1
Tautología, contradicción y contingencia
•
TAUTOLOGÍA T0 : Cuando una proposición compuesta es verdadera
para todos los valores de verdad.
• CONTRADICCIÓN Fo : Cuando una proposición compuesta es falsa para
todos los valores de verdad.
• CONTINGENCIA: Proposición que puede ser falsa o verdadera
dependiendo de los valores de verdad.
Ejemplos:
•
•
•
p → ( p ∨ q)
p q
p∨q
p → ( p ∨ q)
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
p ∧ (¬ p ∧ q )
p
q
¬ p
¬ p∧q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
p ∨ ( p ∧ ¬q )
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬ q
( p ∧ ¬q )
1
0
1
0
0
0
1
0
Ngj/v2008
Tautología
p ∧ (¬ p ∧ q )
0
0
0
0
p ∨ ( p ∧ ¬q )
0
0
1
1
2.1 Lógica proposicional
Contradicción
Contingencia
43
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Equivalencias lógicas
Proposición equivalente: Cuando todos los valores son siempre verdadero o
falso.
Ejemplo: p → q ⇔ ¬ p ∨ q
p
0
0
1
1
¬ p
1
1
0
0
q
0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
¬ p ∨ q
1
1
0
1
equivalentes
p↔q ⇔
( p → q)
∧
( q → p)
p
q
p→q
q→ p
( p → q ) ∧ (q → p )
p↔q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
equivalentes
Dos proposiciones S1 y S2 son lógicamente equivalentes (se escribe S1 ⇔ S2 )
cuando la proposición S1 es verdadera (respectivamente falsa) si y solo si la
proposición S2 es verdadera (respectivamente falsa).
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
44
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Leyes de la lógica
1
2
3
4
5
6
¬
(
¬ p) ⇔ p
∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q
∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q
p ∧ q ⇔q ∧p
p ∨ q ⇔q ∨p
p ∧ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∧q)∧r
p ∨ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∨q)∨r
p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)
p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ p⇔ p
p ∧ p⇔ p
¬
¬
(p
(p
p ∨ F0 ⇔ p
7
9
10
11
12
Ngj/v2008
p ∨ ¬ p ⇔ T0
p ∧ ¬ p ⇔ F0
(
(
p ∧ q
p ∨ q
)⇔
)⇔
Leyes conmutativas
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes ídem
potentes
Leyes de
dominación
p ∧ F0 ⇔ F0
p ∨
p ∧
Leyes de Morgan
Leyes de neutro
p ∧ T0 ⇔ p
p ∨ T0 ⇔ T0
8
Ley de la doble
negación
Leyes inversa
p
p
Leyes de absorción
p→q ⇔ ¬ p ∨ q
p ↔ q ⇔ ( p → q) ∧ ( q → p)
2.1 Lógica proposicional
45
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Reglas de sustitución
1) Si P (una proposición compuesta) es una tautología y p (una proposición
primitiva) aparece en P. Si p se reemplaza por otra proposición q y resulta P1
entonces P1 también es una tautología.
Ejemplo:
P: p → q ↔ ¬ p ∨ q es una tautología
Reemplazar p por r ∧ s
P1 :
[ (r ∧ s )
→ q] ↔ ¬
[ (r ∧ s )
∨ q ] también es una tautología
2) Sea P una proposición compuesta donde p es una proposición arbitraria que
aparece en P, y sea q una proposición tal que q ⇔ p. Si se reemplaza p por q
resulta la proposición P1 . Entonces P1 ⇔ P.
Ejemplo:
P: ( p ∧ F0 ) ↔ F0
Si p se reemplaza por (q ∨ r ) → s
P1: [ [ (q ∨ r ) → s ] ∧ F0 ] ↔ F0
Aplicación:
[ (r → s ) ∧ [ (r → s ) → (¬ t ∨ u ) ] ] → (¬ t ∨ u )
si p ⇔ r → s
y q ⇔ ¬t∨u
[ p ∧ ( p → q) ] → q
p q
0
0
1
1
Ngj/v2008
0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
p ∧ ( p → q)
0
0
0
1
[
p ∧ ( p → q) ] → q
1
1
1
1
2.1 Lógica proposicional
46
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
NAND (↑)
Otras equivalencias
(p ↑ q)
⇔ ¬ ( p ∧ q)
se lee como: “p nand q”.
Tabla de verdad
NOR (↓)
p
q
NAND
p∧ q
0
0
1
0
1
0
0
0
0
(p ↓ q)
p↑ q
1
1
1
⇔ ¬ ( p ∨ q)
se lee como: “p nor q”.
Tabla de verdad
Ngj/v2008
p
q
NOR
p∨ q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
p↓ q
1
0
0
0
2.1 Lógica proposicional
47
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Actividades de Lógica Proposicional
1
Transforma las siguientes sentencias de lenguaje natural al lenguaje formal de
la lógica proposicional.
a. Si voy a clase y entiendo el tema, entonces o estudio y apruebo o me
voy al cine.
b. Si me compro un abrigo nuevo y no es muy grueso tendré frío o si no
compro abrigo nuevo tendré frío.
c. Sólo si voy a clase y estudio, aprobaré el examen.
d. Si voy a clase y estudio aprobaré el examen.
2
Escribe el siguiente argumento en forma simbólica:
Si Norma va a su reunión del martes por la mañana, entonces deberá levantarse
muy temprano ese día. Si va al concierto de rock el lunes por la noche, entonces
llegará a su casa después de las 11:00 p.m. Si Norma llega a su casa a esa hora y se
levanta temprano al día siguiente, entonces tendrá que ir a trabajar después de
dormir menos de siete horas. Por desgracia, Norma no puede trabajar con menos
de siete horas de descanso. Norma no deberá ir al concierto de rock o deberá faltar
a su reunión del martes por la mañana.
3
Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes implicaciones:
a. Si 3+4=12, entonces 3+2=6
b. Si 3+3=6, entonces 3+6=9
c. Si 3+3=6, entonces 3+4=9
d. Si Juan Álvarez fue el primer presidente de México, entonces 2+3 = 5
4
Escribe las siguientes proposiciones como una implicación de la forma sientonces:
a.
La práctica diaria de su servicio es una condición suficiente para
que Daniela tenga una buena posibilidad de ganar el torneo de
tenis.
b.
Arregle mi aire acondicionado o no pagaré la renta
c.
María puede subir a la moto de Luis sólo si usa el casco.
5
Construye una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones; p,
q y r denotan proposiciones primitivas y decir si es tautología, contradicción o
contingencia:
[( p → q ) ∧ (q → r )] → ( p → q )
a.
b.
( p ∧ q) → p
c.
[( p → q ) ∧ (q → r )] → ( p → r )
6
Verifica que [ p → (q → r )] → [( p → q ) → ( p → r )] es una tautología
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
48
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
7
¿Cuántas filas se necesitan para la tabla de verdad de la proposición compuesta
( p ∧ ¬ q ) ↔ [(¬ r ∧ s ) → t ] donde p, q, r, s y t son proposiciones primitivas?
8
Determina todas las asignaciones de valores de verdad, si existen, para las
proposiciones primitivas p, q, r, s y t que hacen que todas las siguientes
proposiciones compuestas sean falsas:
a.
[( p ∧ q ) ∧ r ] → (s ∨ t )
b.
[ p ∧ (q ∧ r )] → (s∀t )
9
Si la proposición q tiene el valor de verdad uno (1), determinar todas las
asignaciones de valores de verdad para las proposiciones primitivas p, r y s para
las que el valor de la proposición (q → [(¬ p ∨ r ) ∧ ¬ s ]) ∧ [¬ s → (¬ r ∧ q )] es
igual a 1. Hacer lo mismo para q igual a cero (0).
10 Sean p, q y r proposiciones primitivas. Usando las tablas de verdad, verificar la
equivalencia lógica de:
a.
[ ( p ∨ q ) → r ] ⇔ [ ( p → r ) ∧ (q → r ) ]
b.
[p → ( p ∨ r ) ] ⇔ [ ¬ r → ( p → q) ]
11
Si p y q son proposiciones primitivas, demostrar por medio de las leyes que
(¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∧ ( p ∧ q )) ⇔ ( p ∧ q )
12 Para las proposiciones primitivas p, q: Verificar que es una tautología por
medio de las reglas de sustitución y las leyes de la lógica:
a.
( p ∨ q ) → [q → q]
[ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ (s → t ) ] ↔ [ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ s] ∧ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ t
b.
13
Escribe los pasos y las razones que establecen la equivalencia:
a.
p ∨ [ p ∧ ( p ∨ q )] ⇔ p
b.
c.
d.
e.
Ngj/v2008
¬( p ↑ q ) ⇔ (¬p ↓ ¬q )
p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ⇔ p ∨ q ∨ r
[(¬p ∨ ¬q ) → ( p ∧ q ∧ r )] ⇔ p ∧ q
p ∧ [(¬q → (r ∧ r )) ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ r ) ∨ (r ∧ ¬s ))]] ⇔ p
2.1 Lógica proposicional
49
]]
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
14 Después de hornear un pastel para sus dos sobrinos y sus dos sobrinas que
vienen a visitarla, la tía Natalia deja el pastel en la mesa de la cocina para que se
enfríe. Luego, ella va al centro comercial para cerrar su tienda durante el resto
del día. Al regresar, descubre que alguien se ha comida la cuarta parte del pastel
( e incluso tuvo el descaro de dejar el plato sucio al lado del pastel). Puesto que
nadie estuvo en casa ese día a excepción de los cuatro visitantes, la tía Natalia
se pregunta cuál de sus sobrinos se comería el pastel. Los cuatro “sospechosos”
le dicen lo siguiente:
CARLOS: Jimena se comió el trozo de pastel
DELIA: Yo no me lo comí
JIMENA: Toño se lo comió
TOÑO: Jimena mintió cuando dijo que yo me lo había comido
Si solo uno de estas proposiciones es verdadera y sólo uno de ellos cometió el
terrible crimen, ¿quién es el culpable al que la tía Natalia debe castigar?
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
50
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Solución de Actividades de Lógica Proposicional
1. Transforma las siguientes sentencias de lenguaje natural al lenguaje formal de la
lógica proposicional.
a. Si voy a clase y entiendo el tema, entonces o estudio y apruebo o me
voy al cine.
p: voy a clase
q: entiendo el tema
( p ∧ q ) → (r ∧ s ) ∨ t
r: estudio
s: apruebo
t: voy al cine
b. Si me compro un abrigo nuevo y no es muy grueso tendré frío o si no
compro abrigo nuevo tendré frío.
p: compro abrigo
q: abrigo no es muy grueso
[ ( p ∧ q ) → r ] ∨ (¬ p → r )
r: tendré frío
c. Sólo si voy a clase y estudio, aprobaré el examen.
p: voy a clase
q: estudio
( p ∧ q) ↔ r
r: aprobaré examen
d. Si voy a clase y estudio aprobaré el examen.
p: voy a clase
q: estudio
( p ∧ q) → r
r: aprobaré examen
2. Escribe el siguiente argumento en forma simbólica:
Si Norma va a su reunión del martes por la mañana, entonces deberá levantarse
muy temprano ese día. Si va al concierto de rock el lunes por la noche, entonces
llegará a su casa después de las 11:00 p.m. Si Norma llega a su casa a esa hora y se
levanta temprano al día siguiente, entonces tendrá que ir a trabajar después de
dormir menos de siete horas. Por desgracia, Norma no puede trabajar con menos
de siete horas de descanso. Norma no deberá ir al concierto de rock o deberá faltar
a su reunión del martes por la mañana.
p: ir a reunión
q: levantarse temprano
( p → q ) ∧ (r → s ) ∧ [ (s ∧ q ) → t ] ∧ ¬ t ∧ (¬r ∨ ¬p )
r: ir al concierto
s: llegar tarde
t: trabajar sin dormir
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
51
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
3. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes implicaciones:
a. Si 3+4=12, entonces 3+2=6 F → F ⇔ V
b. Si 3+3=6, entonces 3+6=9
V→V ⇔ V
c. Si 3+3=6, entonces 3+4=9
V→F ⇔ F
d. Si Juan Álvarez fue el primer presidente de México, entonces 2+3 = 5 F → V
⇔V
4. Escribe las siguientes proposiciones como una implicación de la forma sientonces:
a.
La práctica diaria de su servicio es una condición suficiente para
que Daniela tenga una buena posibilidad de ganar el torneo de
tenis.
Si Daniela practica diariamente su servicio entonces tendrá una
buena posibilidad de ganar el torneo de tenis.
b.
Arregle mi aire acondicionado o no pagaré la renta
Si no arregla mi aire acondicionado entonces no pagaré la renta
c.
María puede subir a la moto de Luis sólo si usa el casco.
Si María usa casco entonces se puede subir a la moto con Luis.
5. Construye una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones; p,
q y r denotan proposiciones primitivas y decir si es tautología, contradicción o
contingencia:
a. [( p → q ) ∧ (q → r )] → ( p → q ) Tautología
b. ( p ∧ q ) → p Tautología
p q
p∧q
( p ∧ q) → p
0 0
0
1
0 1
0
1
1 0
0
1
1 1
1
1
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
52
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
d.
[( p → q ) ∧ (q → r )] → ( p → r )
Tautología
6. Verifica que [ p → (q → r )] → [( p → q ) → ( p → r )] es una tautología
7. ¿Cuántas filas se necesitan para la tabla de verdad de la proposición compuesta
( p ∧ ¬ q ) ↔ [(¬ r ∧ s ) → t ] donde p, q, r, s y t son proposiciones primitivas?
2 5 = 32
8. Determina todas las asignaciones de valores de verdad, si existen, para las
proposiciones primitivas p, q, r, s y t que hacen que todas las siguientes
proposiciones compuestas sean falsas:
a. [( p ∧ q ) ∧ r ] → (s ∨ t )
p = 1, q = 1, r = 1, s = 0, t = 0
b. [ p ∧ (q ∧ r )] → (s∀t )
p = 1, q = 1, r = 1, s = 0, t = 0
p = 1, q = 1, r = 1, s = 1, t = 1
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
53
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
9. Si la proposición q tiene el valor de verdad uno (1), determinar todas las
asignaciones de valores de verdad para las proposiciones primitivas p, r y s para las
que el valor de la proposición {q → [(¬ p ∨ r ) ∧ ¬ s ]} ∧ [¬ s → (¬ r ∧ q )] es igual a 1.
Hacer lo mismo para q igual a cero (0).
p
q
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
s
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
r
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
¬p
¬s
6
¬r
7
¬p∨r
8
¬r ∨ q
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
9
7 ∧6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
10
q →9
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
11
¬s →8
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10 ∧ 11
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
10. Sean p, q y r proposiciones primitivas. Usando las tablas de verdad, verificar la
equivalencia lógica:
a)
[ ( p ∨ q ) → r ] ⇔ [ ( p → r ) ∧ (q → r ) ]
p
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Ngj/v2008
r
0
1
0
1
0
1
0
1
p∨q
( p ∨ q) → r
p→r
q→r
( p → r ) ∧ (q → r )
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
2.1 Lógica proposicional
54
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
b) [ p → ( p ∨ r ) ] ⇔ [ ¬ r → ( p → q ) ]
Solución
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
p∨r
0
1
0
1
1
1
1
1
p → (p ∨ r)
1
1
1
1
1
1
1
1
¬r
p→q
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
¬ r → ( p → q)
1
1
1
1
0
1
1
1
No es equivalencia
11. Si p y q son proposiciones primitivas, demostrar por medio de las leyes que
(¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∧ ( p ∧ q )) ⇔ ( p ∧ q )
(¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∧ ( p ∧ q )) ⇔ (¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q ) ley IDEM potente
⇔ [(¬ p ∨ q ) ∧ p ] ∧ [(¬ p ∨ q ) ∧ q ] ley distributiva
⇔ [(¬ p ∨ q ) ∧ p ] ∧ q ley absorción
⇔ [(¬ p ∨ p ) ∧ (q ∧ p )] ∧ q ley distributiva
⇔ [T0 ∧ (q ∧ p )] ∧ q ley inversa
⇔ (q ∧ p ) ∧ q ley del neutro
⇔ (q ∧ p ) ley IDEM potente
12. Para las proposiciones primitivas p, q: Verificar que es una tautología por
medio de las reglas de sustitución y las leyes de la lógica.
a) ( p ∨ q ) → [q → q ]
( p ∨ q ) → [q → q ]
q → q ⇔ ¬ q ∨ q definición
⇔ T0
( p ∨ q ) → T0
( p ∨ q ) → T0
inversa
sustitución
⇔ ¬ ( p ∨ q ) ∨ T0
⇔ T0 do min ación
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
55
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
b)
[ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ (s → t ) ]
↔
[ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ s] ∧ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ t ] ]
[ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ (s → t ) ] ↔ [ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ s ] ∧ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ t ] ]
u ⇔ ( p ∨ q) → r
[u ∨ (s → t )] ↔ [(u ∨ s ) ∧ u ∨ t ]
s →t ⇔ ¬ s∨t
[u ∨ (¬ s ∨ t )] ↔ [u ∨ (s ∧ t )]
u
0
0
0
0
1
1
1
1
s
0
0
1
1
0
0
1
1
t
0
1
0
1
0
1
0
1
¬s
¬ s∨t
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
u ∨ (¬ s ∨ t )
0
1
0
0
1
1
1
1
s∧t
0
0
0
1
0
0
0
1
u ∨ (s ∧ t )
0
0
0
1
1
1
1
1
u ∨ (¬ s ∨ t ) ↔ u ∨ (s ∧ t )
1
0
1
0
1
1
1
1
13. Escribir los pasos y las razones que establecen la equivalencia:
a) p ∨ [ p ∧ ( p ∨ q )] ⇔ p
p ∨ [ p ∧ ( p ∨ q )] ⇔ p ∨ p absorción
p ∨ [ p ∧ ( p ∨ q )] ⇔ p
idem potente
b) ¬( p ↑ q ) ⇔ (¬p ↓ ¬q )
¬ ( p ↑ q ) ⇔ ¬ [¬ ( p ∧ q )
⇔
]
p∧q
¬ p ↓ ¬ q ⇔ ¬ (¬ p ∨ ¬ q )
⇔ p∧q
∴ ¬ ( p ↑ q ) ⇔ (¬ p ↓ ¬ q )
definición de NAND
doble negación
definición de NOR
morgan
c) p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ⇔ p ∨ q ∨ r
p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ∨ ¬p ) ∧ ( p ∨ q ∨ ¬q ) ∧ ( p ∨ q ∨ r ) distribuutiva
⇔ [ ( p ∨ ¬p ) ∨ q ] ∧ [ p ∨ (q ∨ ¬q )]∧ ( p ∨ q ∨ r ) asociativa
⇔ (T0 ∨ q ) ∧ ( p ∨ T0 ) ∧ ( p ∨ q ∨ r ) inversa
⇔ T0 ∧ T0 ∧ ( p ∨ q ∨ r ) neutro
⇔ ( p ∨ q ∨ r ) neutro
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
56
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
d) [(¬p ∨ ¬q ) → ( p ∧ q ∧ r )] ⇔ p ∧ q
[(¬p ∨ ¬q ) → ( p ∧ q ∧ r )] ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )
p→q
definición
⇔ (¬¬p ∧ ¬¬q ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) morgan
⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) doble negación
⇔ ( p ∧ q)
absorción
e) p ∧ [(¬q → (r ∧ r )) ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ r ) ∨ (r ∧ ¬s ))]] ⇔ p
p ∧ [(¬q → (r ∧ r )) ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ s ) ∨ (r ∧ ¬s ) ) ]]
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ s ) ∨ (r ∧ ¬s ) ) ] ]
idemptente
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ (r ∧ (s ∨ ¬s ) ) ] ] distributiva
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ (r ∧ T0 ) ] ] inversa
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ r ] ] neutro
⇔ p ∧ [(¬¬q ∨ r ) ∨ ¬[q ∨ r ] ] definición de →
⇔ p ∧ [(q ∨ r ) ∨ ¬[q ∨ r
⇔ p ∧ T0
inversa
⇔ p
neutro
]]
doble negación
14. Después de hornear un pastel para sus dos sobrinos y sus dos sobrinas que
vienen a visitarla, la tía Natalia deja el pastel en la mesa de la cocina para que se
enfríe. Luego, ella va al centro comercial para cerrar su tienda durante el resto del
día. Al regresar, descubre que alguien se ha comida la cuarta parte del pastel (e
incluso tuvo el descaro de dejar el plato sucio al lado del pastel). Puesto que nadie
estuvo en casa ese día a excepción de los cuatro visitantes, la tía Natalia se pregunta
cuál de sus sobrinos se comería el pastel. Los cuatro “sospechosos” le dicen lo
siguiente:
CARLOS: Jimena se comió el trozo de pastel
DELIA: Yo no me lo comí
JIMENA: Toño se lo comió
TOÑO: Jimena mintió cuando dijo que yo me lo había comido
Si solo uno de estas proposiciones es verdadera y sólo uno de ellos cometió el
terrible crimen, ¿quién es el culpable al que la tía Natalia debe castigar?
Carlos
Delia
Jimena
Jimena se comió el trozo de
pastel
Yo no me lo comí
VoF
V
Toño se lo comió
F
F
V
F
V
V
VoF
V
V
F
F
F
VoF
VoF
VoF
F
VoF
V
F
F
V
F
Toño
Jimena mintió cuando dijo que yo
me lo había comido
V
F
F
VoF
V
V
V
F
Por lo tanto Delia es la culpable
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
57