Modelos de Asignación de Tránsito: Aplicación a la Red

Modelos de Asignación de Tránsito:
Aplicación a la Red Metropolitana del Valle
de México
Ana G. Fernández, L. Héctor Juárez, Joaquín Delgado, M.
Victoría Chávez, Elsa Omaña
Departamento de Matemáticas UAM–I
Junio 13, 2013
Seminario de Matamáticas Aplicadas y Computacionales
Google Maps
http://www.google.com/ma
Flujo en redes de transporte
Modelos Matemáticos para Mejorar la Operación de la Red del STC–Metro
Map data ©2012 Google, INEGI -
Modelos de asignación:
Objetivos:
I
Modelos de tráfico.
I
Estudiar la red de tránsito de AMVM
I
Modelos de tránsito.
I
Satisfacer las demandas del STC–Metro
Ejemplo en una red sencilla
¿Cómo ir de O a D en el
menor tiempo posible?
I
La ruta más ‘corta’
I
La mejor estrategía
Posibles rutas
O
O
O
O
O
1
2
2
2
2
−→ D
−→ A
−→ B
−→ B
−→ A
3
4
3
3
−→ D
−→ D
−→ D
−→ B
4
→D
6 + 25
6 + 7 + 15 + 8
6 + 13 + 3 + 10
6 + 13 + 15 + 4
6 + 7 + 15 + 4 + 3 + 10
= 31 min
= 36 min
= 32 min
= 38 min
= 45 min
Estrategias alternativas
Secuencia de mejor transbordo: tiempo de viaje esperado 30.5 min
Estrategia óptima: tiempo de viaje esperado 27.75 min
Modelo de Spiess–Florian
Se considera que se conocen las líneas disponibles en cada nodo y
las frecuencias de salida de los vehículos.
ESTRATEGIA: Definida por:
1. El conjunto de líneas atractivas en cada nodo.
2. El nodo de bajada para cada línea atractiva (en cada nodo).
REGLAS PARA ALCANZAR EL DESTINO
1. NODO = origen.
2. Abordar el primer vehículo de un conjuntos de líneas atractivas.
3. Bajar en un nodo predeterminado.
4. Si no se ha llegado al destino, poner NODO = al nodo actual y
volver a 1.
Líneas atractivas
Nodo
O
O
O
O
O
Líneas atractivas
línea → Nodo bajada
1→D
2→A
2→B
1 → D, 2 → A
1 → D, 2 → B
Tiempo espera
minutos
6.0
6.0
6.0
3.0
3.0
1
1.00
−−
−−
0.50
0.50
Probabilidad
2
−−
1.00
1.00
0.50
0.50
de línea
3
−−
−−
−−
−−
−−
4
−−
−−
−−
−−
−−
A
A
A
A
A
2→B
3→B
3→D
2 → B, 3 → B
2 → B, 3 → D
6.0
15.0
15.0
4.3
4.3
−−
−−
−−
−−
−−
1.00
−−
−−
0.71
0.71
−−
1.00
1.00
0.29
0.29
−−
−−
−−
−−
−−
B
B
B
3→D
4→D
3 → D, 4 → D
15.0
3.0
2.5
−−
−−
−−
−−
−−
−−
1.00
−−
0.17
−−
1.00
0.83
Representación nodo-arista del ejemplo
Notación:
A: conjunto de arcos,
N : conjunto de nodos
Modelo básico con tiempo de viaje fijo
Tiempo de tránsito = tiempo de espera + tiempo de viaje
(valor esperado)
(valor fijo)
X
X
Para cada nodo destino r :
ti vir +
ta var
i∈N
Tiempos de espera: ti = α/
X
a∈A
fa
a∈A+
i
Tiempos de viaje: ta , fijos y conocidos.
Volumen acumulado en i:
vir =
X
var + gir
a∈A−
i
Tiempo acumulado en i: wir = ti vir
Problema: minimizar el tiempo de tránsito del sistema.
Empleando wir como variable, el problema es un problema de programación lineal con
una restricción adicional: var ≤ fa ωir (Spiess & Florian, 1989).
Primal
/
Dual
Problema lineal convexo, separable por nodo destino r :
Problema primal
X
X
min
ωir +
ta var ,
Ā⊂A
a∈A+
i
a ∈ A+
i ,
a ∈ A.
i∈N
tal que
i ∈ N,
a∈A−
i
≤ fa ωi ,
≥ 0,
N
a∈A
i∈N
tal que
X
X
var −
var = gir
var
var
Problema dual
X
max
gir τir ,
i ∈ N,
τjr + ta + µa ≥ τir , a = (i, j) ∈ A,
X
fa µa = 1, i ∈ N ,
a∈A+
i
µa ≥ 0,
a ∈ A.
τir = tiempo total esperado de viaje del nodo i al destino r .
Se resuelve el problema dual utilizando:
programación dinámica =⇒ Problemas de gran escala.
Algoritmo de solución basada en el dual
Calcula:
C. de holgura compl.
(
τi − τj − ta , a ∈ Ā,
µa =
0,
a∈
/ Ā.
τi = P
a∈Ā+
i
=
P
1
fa
W (Ā+
i )
+
I
Tiempos esperados totales: τi .
I
Estrategia óptima: Ā∗ .
Restricción dual
X
fa µa = 1 =⇒
P
fa (ta + τj )
a∈Ā+
i
+
a∈Ā+
i
a∈A+
i
a∈Ā+
i
X
fa
Pa (Ā+
i ) (ta + τj )
a∈Ā+
i
T. espera en i
+
X
T. de viaje de i a r .
fa (τi − τj − ta ) = 1
Resumen
Etapa 1: Estrategia óptima y tiempos τi
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Arcos
a = (i, j)
con
fa
minimo
τj + ta
τj + ta
a ∈ Ā
(B3, D)
(B, B3)
(A, B3)
(B, D)
(B3, B)
(A2, B)
(A, A2)
(A2, A)
(O, A2)
(O, D)
∞
4.0
4.0
8.0
10.0
11.5
17.5
17.5
19.0
24.5
25.0
si
si
si
si
no
si
si
no
si
si
1
15
1
15
1
3
∞
∞
1
6
∞
1
6
1
6
O
∞, 0
Etiqueta
A2
∞, 0
de
A
∞, 0
00
00
00
00
00
00
00
00
23,
00
00
00
nodo
B3
∞, 0
4, ∞
00
1
15
00
00
(τi , fi )
B
∞, 0
00
19,
00
00
00
00
00
00
17.5, ∞
00
00
00
00
00
19,
00
00
00
30.5, 16
27.75, 31
17.5, ∞
00
7
30
00
19,
Etapa 2: Asignación de la demanda
Asignación inicial: vir = gir .
vjr = vjr + var .
En cada paso se actualiza vj en el arco a = (i, j) :
va = Pa (Ā+
i ) vi = P
fa
fb
b∈Ā+
i
vi
00
2
5
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
7
30
00
1
15
11.5,
00
D
0, 0
4, ∞
00
11.5,
00
2
5
0, 0
Aplicación a la red del Valle de México
Esta red contiene
1,705 centroides y 7,241 nodos.
31,720 arcos.
Modos de transporte:
I Tráfico: automóviles particulares.
I Tránsito:
metro, metro
ferreo, tren ligero, tranvía,
metrobús, trolebús, autobús
del DF, autobús del Estado
de México, colectivo, suburbano, taxi de sitio y taxi
independiente
I Auxiliar:
correspondencias del metro, bandas
transportadoras,
accesos
a metrobús, accesos a
suburbano y peatonales
Líneas de tránsito: 845 (46981 segmentos de línea):
I
20 líneas del metro,
I
2 líneas de metro férreo,
I
2 líneas de tren ligero,
I
2 líneas de suburbano,
I
102 líneas de autobuses del DF,
I
97 líneas de autobús del Estado de México,
I
16 líneas de trolebús,
I
18 líneas de metrobús
I
586 líneas de colectivos.
Se incluyen los tiempos de recorrido en cada arco y los headways de
cada línea.
La matriz origen–destino es una proyección al 2012 de la obtenida en
2007.
Desbordamiento
Línea A, La Paz – Pantitlán
Línea B, Cd. Azteca – Buenavista
El modelo no considera:
I
La congetión en horas de mayor demanda.
I
Los límites de capacidad de los vehículos.
Modelando la congestión
Se puede modelar con funciones de congestión sobre los segmentos
de las líneas de tránsito:
Funciones de costo = costo fijo + función volumen–demora
ta (va ) = ta0 {1 + da (va )},
d(0) = 0.
en donde, la función volumen–demora d(x) es creciente.
1. BPR (Bureau of Public Roads):
d(x) = x α ,
α > 1,
x=
v
c
2. Cónicas (Spiess):
q
d(x) = 2 α2 (1 − x)2 + β 2 −α (1−x)−β.
β=
2 α−1
2 α−2
Es posible considerar otro tipo de funciones.
Modelo con congestión
Problema (nolineal) de mínimización convexa:
(
X Z
X X
X
r
0 r
ta0
min
ωi +
ta va +
r ∈D
|
a∈A
a∈A
i∈N
{z
Tiempo total de tránsito
+
tal que
X
X
var −
var = gir
a∈A+
i
)
da (v ) dv
0
|
}
var
{z
}
Tiempo de congestión
i ∈ N, r ∈ D
a∈A−
i
var ≤ fa ωir ,
a ∈ A+
i , i ∈ N, r ∈ D
var ≥ 0,
a ∈ A, r ∈ D,
I
Requiere de un método de aproximación lineal (e.j. Frank-Wolf).
I
En cada iteración se resuelve un P.L. básico.
Problema: Este modelo subestima los tiempos de espera.
Modelando la capacidad limitada
El mecanismo para modelar los tiempos de espera crecientes es el de frecuencia
efectiva: que se obtiene del headway percibido (ó ajustado).
Headway percibido = headway original ∗ factor del headway
1
= headway original ∗
1−
subidas
capacidad residual
β
(inspirado en teoría de colas)
Cada pasajero selecciona un subconjunto
no vacío de líneas s ⊆ A, y aborda el primer
vehiculo con capacidad disponible.
En este caso la decisión óptima de cada
pasajero se ve afectada por las decisiones
de otros!. Por lo tanto, puede haber más
de una estrategia óptima s.
Modelo con congestion y límites de capacidad
Una caracterización del equilibrio en términos de la condición de
Wardrop implica que el flujo de equilibrio de tránsito es solución del
siguiente problema:
Primal
−
Dual
"z
}|
{
{#
z
X X
X
X }|
r
r
r r
min GAP(v ) = min
ωi +
ta (v) va −
gi τi (v)
v
v
r ∈D
i∈N
a∈A
i∈N
sujeto a las mismas restricciones que el problema lineal.
En el óptimo:
Tiempo t. de tránsito − Tiempo sobre estrategías más cortas = 0
Problema considerablemente más difícil
Información adicional: capacidades de los vehículos de transporte:
(por ej., un vagón del metro soporta 360 sentados y 1530 parados).
El algoritmo de promedios sucesivos
0 Inicialización:
Se calcula la solución inicial para cada segmento.
1. Actualización de costos y frecuencias:
Se calculan los nuevos costos y headways basados en los flujos
recién calculados.
2. Cálculo de la nueva solución de costo lineal:
Se resuelve problema de costo lineal, de estrategía óptima con
frecuencia fija, para obtener los nuevos flujos.
3. Promedios sucesivos:
Se realiza el promedio. El paso de la iteración es 1/No. de
iteración;
4. Criterio de paro:
Se calcular el valor de la función Gap;
Si la solución es suficientemente pequeña, se para;
En caso contrario, se regresa al paso 2
Convergencia de la función GAP
Iteraciones contra el valor de la función GAP
Entre 6:00–9:00 hrs se asignó un total de 5,121,359 viajeros.
Desvanecimiento de la sobresaturación
Líneas del metro a las que les toma más iteraciones descartar el exceso de volumen.
Línea A, Linea B, línea 6: Zonas de alta demanda, bajos recursos y
con pocas opciones de transporte) como: Texcoco, Nezahualcoyotl e
Iztapalapa (línea A), Ecatepec y Valle de Aragón (línea B), norte del
DF (línea 6)
Línea A, dirección Pantitlan: iteraciones 1 y 22.
Línea con mayor exceso de volumen
Menos del 1% de los segmentos de la red tienen exceso de volumen.
Línea con mayor exceso de volumen: EE1 de trolebús
Insurgentes–UV Guerrero.
Zonas de mayor demanda asignada
953
730
12
435
539
Zonas con mayor volumen asignado
La zona 539 es la de mayor demanda (70 mil), seguida de otras
cuatro de 25 mil.
Nodos con mayor actividad
Node value 1
Node value 2
Node value 3
Node value 4
El mayor número de transbordos
ocurre en la estación del metro
Pantitlán (zona oriente), en varias
de las estaciones de la línea 1
(zona central), en la estación Indios Verdes (zona norte), en Barranca del Muerto y Mixcoac (zona
sur–poniente), en Taxqueña (sur),
asi como en la zona de Tlahuac–
Canal de Chalco sobre el Periférico.
Esto último justifica la reciente introducción de la línea 12 del metro.
Numero de abordajes, transbordos y descensos.
Comparación de tiempos de viaje
Línea
1a
1b
2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b
6a
6b
7a
7b
8a
8b
9a
9b
aa
ab
ba
bb
headway
1.92
1.92
2.17
2.17
2.08
2.08
5.83
5.83
4.17
4.17
4.00
4.00
3.75
3.75
2.83
2.83
2.33
2.33
2.50
2.50
3.25
3.25
t. real.
31.00
31.25
37.17
36.83
38.17
38.25
15.58
15.42
22.08
22.83
17.75
18.08
25.25
25.25
29.00
29.00
21.25
21.50
26.50
26.50
34.50
35.00
t. calc.
28.62
28.62
35.44
35.44
36.91
36.91
14.98
14.98
22.09
22.11
17.67
17.67
24.05
24.05
27.39
27.39
20.05
20.05
20.62
20.62
34.09
34.09
v. Lin.
150286
32815
51613
119209
79801
31140
21320
16178
7713
7658
34787
28020
56125
59283
25115
139436
215892
10758
5423
437437
316409
53116
v. CAP.
114693
17150
38776
73848
79728
52370
3847
1185
3567
20448
6745
11335
16396
10971
4210
77737
61823
4355
1146
69135
74934
6425
La Matriz de demanda
En la planecación del transporte uno de los requerimientos más
importantes es el conocimiento del patrón de tráfico/tránsito entre
varias zonas.
Usualmente la demanda de transporte se especifica por medio de la
estimación de la matriz origen destino (O–D).
Problemas fundamentales:
I
No es posible obtener una matriz O–D exacta, especialmente en
redes de gran tamaño.
I
La matriz O–D cambia constantemente: variación de la oferta y
de la demanda, modificación de la infraestructura, etc.
I
La generación de matrices O–D es sumamente costoso
Por lo tanto, hay necesidad de estimar las matrices O–D a partir de
información incompleta que puede tener errores de medición.
Métodos:
I
Método tradicional: Muestras de gran tamaño, que se obtienen
por medio de encuestas.
I
Modelos de estimación de demanda.
Categorías:
I
Estáticos: se utilizan en planeación a largo plazo, se calcula la
demanda promedio en un horizonte de tiempo.
I
Dinámicos: se utilizan para la planeación de estrategias de
corto plazo: guía de rutas, control del tráfico, etc.
La precisión de la estimación puede variar dependiendo de
I
El modelo de estimación.
I
Errores en los datos.
I
Decisión sobre dónde y cómo realizar los conteos.
Modelo de Transporte de Entropía Máxima
P
gpq !
E(g) = Q
pq gpq !
pq
Entropia :
Se conocen:
I
Una matriz de demanda G = {Gpq } no actualizada.
I
Las producciones Op , para todo origen p.
I
Las atracciones Dq , para todo destino q.
La matriz actualizada g = {gpq } resuelve
min
g
X
gpq (log gpq − log Gpq − 1)
pq
sujeto a
X
gpq = Op
gpq = ap bq Gpq ,
∀p
p
X
q
gpq = Dq
El mínimo satisface:
∀q
con ap = e−αp ,
bq = e−βq
Mínimos cuadrados
Se conocen
I
Una matriz de demanda no actualizada G = {Gpq }.
I
Mediciones de volúmenes en ciertos arcos {Va }a∈Ā
La matriz actualizada g = {gpq } resuelve
min Z (g) =
g
kX
1 X
2
2
(va (g) − Va ) +
(gpq − Gpq )
2
2 pq
a∈Ā
sujeto a
v (g) = volumenes asignados con la matriz g