Teoría Electrodébil

Teoría Electrodébil
Abdel Pérez-Lorenzana
CINVESTAV-IPN
aplorenz@fis.cinvestav.mx
II Escuela de Fı́sica Fundamental. Sonora, Abril 2006
Teorı́a Electrodébil – p.1/32
Contenido
Introduccción a las interacciones débiles
Decaimiento beta
La Teoría de Fermi
Decaimiento del pión
Decaimiento del muón.
De la teoría de Fermi al Modelo Estándard
Introducción a la Teoría de Campos de Norma
Densidades lagrangianas
Simetría de Norma
Rompimiento Espontáneo de la Simetría
Simetrías Globales y el bosón de Goldstone
Simetrías locales y el bosón de Higgs
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
Teorı́a Electrodébil – p.2/32
Contenido
Bases de la Teoría Electrodébil
Ingredientes del modelo de leptones
Corrientes Cargadas
Corrientes neutras
Adición de quarks al modelo
Acoplamientos de Yukawa: Masas y mezclas de fermiones
Conteo de parámetros
Construcción de Modelos
Algunas Pruebas experimentales
Física más alla del Modelo Estándard
Masas y mezclas de neutrinos,
SUSY,
Teorías de Unificación,
etc.,
Teorı́a Electrodébil – p.2/32
Capítulo 1
Introducción
a las
Interacciones Débiles
Teorı́a Electrodébil – p.3/32
Decaimiento beta
La historia de las interacciones débiles
inicia con el descubrimeinto de la radioactividad por Becquerel en 1896.
Particularmente, en el decaimiento beta
un nucleo emite un electrón e incrementa
64
Cu → 64 Zn + e−
su carga:
Chadwick mostró en 1914 que el espectro
primario del electrón es continuo.
Pero:
E64 Cu 6= E64 Zn + Ee
En 1931 Pauli postuló que una partícula sin masa, sin carga y escencialmente
sin interacción "...as a desperate remedy to save the principle of energy
conservation...", a la que sugirió llamar "neutrón", era emitida en el proceso.
Teorı́a Electrodébil – p.4/32
Decaimiento beta
La historia de las interacciones débiles
inicia con el descubrimeinto de la radioactividad por Becquerel en 1896.
Particularmente, en el decaimiento beta
un nucleo emite un electrón e incrementa
64
Cu → 64 Zn + e−
su carga:
Chadwick mostró en 1914 que el espectro
primario del electrón es continuo.
Pero:
E64 Cu 6= E64 Zn + Ee
En 1931 Pauli postuló que una partícula sin masa, sin carga y escencialmente
sin interacción "...as a desperate remedy to save the principle of energy
conservation...", a la que sugirió llamar "neutrón", era emitida en el proceso.
El nombre "neutrino" fue sugerido por Fermi en 1934, después dado el
descubrimiento del neutrón por Chadwick (1932).
La propuesta recibió críticas inmediatas: Bethe and Peierls, Nature (1934):
"If [there are no new forces]... one can conclude that there is no practically
possible way of observing the neutrino."
Teorı́a Electrodébil – p.4/32
Decaimiento beta
La historia de las interacciones débiles
inicia con el descubrimeinto de la radioactividad por Becquerel en 1896.
Particularmente, en el decaimiento beta
un nucleo emite un electrón e incrementa
64
Cu → 64 Zn + e−
su carga:
Chadwick mostró en 1914 que el espectro
primario del electrón es continuo.
Pero:
E64 Cu 6= E64 Zn + Ee
En 1931 Pauli postuló que una partícula sin masa, sin carga y escencialmente
sin interacción "...as a desperate remedy to save the principle of energy
conservation...", a la que sugirió llamar "neutrón", era emitida en el proceso.
El nombre "neutrino" fue sugerido por Fermi en 1934, después dado el
descubrimiento del neutrón por Chadwick (1932).
Sin embargo, la hipótesis de Pauli fue verificada en 1956 por Cowan y Reines
-Nobel 1995-, quienes detectaron el primer antineutrino de electrón emitido
de un reactor en Savannah River, Carolina del Sur.
Teorı́a Electrodébil – p.4/32
Decaimiento beta
El decaimiento beta tiene la sorprendente característica de violar paridad.
La naturaleza no es ambidiestra. Sólo
las componentes izquierdas de ambos,
el electrón y el neutrino, participan de
la interacción asociada al decaimiento
beta.
Teorı́a Electrodébil – p.5/32
La teoría de Fermi
Con el descubrimiento del neutrón se sugirió que el decaimiento beta era en
realidad producto del decaimiento: n → p + e− + ν̄e
Sin embargo los tiempos de vida característicos van de unos minutos a
años!!!
De hecho τn ≈ 15 min vs. τπ0 →γγ ≈ 10−16 s.
La interacción responsable del decaimiento beta debe ser más débil que la
electromagnética.
Teorı́a Electrodébil – p.6/32
La teoría de Fermi
Con el descubrimiento del neutrón se sugirió que el decaimiento beta era en
realidad producto del decaimiento: n → p + e− + ν̄e
Sin embargo los tiempos de vida característicos van de unos minutos a
años!!!
De hecho τn ≈ 15 min vs. τπ0 →γγ ≈ 10−16 s.
La interacción responsable del decaimiento beta debe ser más débil que la
electromagnética.
En 1934 Enrico Fermi desarrolló un teoría
p
e
para el decaimiento beta, basada en el Hamiltoniano (en unidades naturales)
GF † µ
−
H = √ Jµ J
J
J
2
−
+|
n
e
con la corriente cargada Jµ† = p̄γµ n + ν̄e γµ e
GF = 1.16637(1) × 10−5 GeV −2
Posteriormente la corriente vecorial fue cambiada por V-A: γµ → γµ (1 − γ5 ),
entre otras adiciones.
Teorı́a Electrodébil – p.6/32
Decaimiento del pión
Los decaimientos de piones cargados: π + → µ+ νµ ; π − → µ− ν̄µ ; que
ocurren casi el 100% de las veces con Γ = 2.53 × 10−14 M eV , ilustran tanto
la violación de paridad como la universalidad de la interacción débil.
Teorı́a Electrodébil – p.7/32
Decaimiento del pión
Los decaimientos de piones cargados: π + → µ+ νµ ; π − → µ− ν̄µ ; que
ocurren casi el 100% de las veces con Γ = 2.53 × 10−14 M eV , ilustran tanto
la violación de paridad como la universalidad de la interacción débil.
La teoria de Fermi es fácilmente extendida en este caso considerando:
jℓµ = ēγ µ (1 − γ5 )νe + µ̄γ µ (1 − γ5 )νµ + τ̄ γ µ (1 − γ5 )ντ
h
i
µ
µ†
H = α2π jℓ ∂µ Φπ + jℓ ∂µ Φ†π
Γπ→ℓνℓ =
Al orden más bajo:
α2π
4π
(1 − vℓ ) p2ℓ Eℓ ;
2
τ (π→µνµ )
τ (π→eνe )
por tanto:
De las observaciones:
2
m2µ (m2π −m2µ )
= 1.28 × 10−4
Γπ→eνe = 3.11 × 10−18 M eV ; Γπ→µνµ = 2.53 × 10−14 M eV ;
entonces απ = 2.09 × 10−9 M eV −1 ;
2.42 × 10−10 M eV
=
m2e (m2π −m2e )
vs.
Se predice Γτ →πντ =
α2
π
m3 [1 − (mπ /mτ )2 ]2
32π τ
=
(2.6 ± 0.1) × 10−10 M eV
Teorı́a Electrodébil – p.7/32
Decaimiento del muón
El análsis de los decaimientos µ− → e− ν̄e νµ ; y µ+ → e+ νe ν̄µ ;
jugado un importante papel en establecer el Modelo Estándard.
De :
GF † ν
H = √ jℓν Jℓ
2
se predice
ha
m5µ G2F
1
=
τ (µ → eνe νµ )
192π 3
La extraordinaria precisión alcanzada τµ = (2.19703 ± 0.00004) × 10−6 s
provee una de las mejores estimaciones de GF
Teorı́a Electrodébil – p.8/32
Decaimiento del muón
El análsis de los decaimientos µ− → e− ν̄e νµ ; y µ+ → e+ νe ν̄µ ;
jugado un importante papel en establecer el Modelo Estándard.
De :
GF † ν
H = √ jℓν Jℓ
2
se predice
ha
m5µ G2F
1
=
τ (µ → eνe νµ )
192π 3
La extraordinaria precisión alcanzada τµ = (2.19703 ± 0.00004) × 10−6 s
provee una de las mejores estimaciones de GF
De la misma teoría se obtienen buenas estimaciones para otros procesos ,
τ (τ →µν ν )
m
como τ → µνµ ντ y τ → eνe ντ con la razón τ (τ →eνeµνττ) ≈ ( mµτ )5
El cociente de masas da 7.43 × 10−7 ; vs. 7.36 × 10−7 observado.
Ademas:
K + → µ+ νµ ; π 0 eνe ; . . .
Decaimiento de Hyperones: Λ → pπ − ; Σ− → nπ − ; Σ+ → Λe+ νe −;. . .
Dispersión de neutrinos: νµ e → νµ e; νµ n → µp; νµ n → µX;. . .
Teorı́a Electrodébil – p.8/32
De Fermi al Modelo Estándard
Aunque exitosa, la Teo. de Fermi no es perfecta. Consideremos νe e → νµ e
e−
H=
G
√F j † j µ
2 eµ e
; indica que σ ∼
G2F s
π
;s=
e
2
Ecm
.
Sin embargo, unitariedad (para un proceso de onda S)
requiere que σ < 16π
s . q
⇒ A energías 21 Ecm > GπF ∼ 500 GeV ; σ viola unitariedad.
e−
e
Teorı́a Electrodébil – p.9/32
De Fermi al Modelo Estándard
Aunque exitosa, la Teo. de Fermi no es perfecta. Consideremos νe e → νµ e
e−
H=
G
√F j † j µ
2 eµ e
; indica que σ ∼
G2F s
π
;s=
e
2
Ecm
.
Sin embargo, unitariedad (para un proceso de onda S)
requiere que σ < 16π
s . q
⇒ A energías 21 Ecm > GπF ∼ 500 GeV ; σ viola unitariedad.
e−
e
e
La no unitariedad de la amplitud en la aproximación de
Born usualmente se reestablece por los términos de alto
orden. Sin embargo, la teo. de Fermi involucra diagramas divergentes en el segundo orden.
e
El problema en si surge de que la teoría no es renormalizable pues GF no es adimensional.
e
Teorı́a Electrodébil – p.9/32
De Fermi al Modelo Estándard
p
e−
Yukawa sugirió en 1935 el concepto de bosones
intermediarios, W ± . La idea fue retomada por
Schwinger en 1957.
W−
e
n
e−
Z
Suponiendo que el bosón es masivo, en el régimen de baja energía, m2W ≫ Q2 ; se puede iden-
tificar
G
√F
2
∼
g2
8m2w .
Además σ será bien compor-
tada a altas energías.
Sin embargo para procesos tales como ee →
W W ; σ nuevamente violará unitariedad a menos
que una corriente neutra sea añadida.
Finalmente, en 1961 Glashow desarrolló el modelo de Norma SU (2) × U (1)
que involucra ya a la QED.
e−
Finalmente la introducción del mecanismo de Higgs debida a Weinberg
(1967) y Salam (1968) estableció las bases del Modelo Estándard.
Teorı́a Electrodébil – p.9/32
De Fermi al Modelo Estándard
En 1971 ’t Hoof y Veltman probaron la renormalizabilidad del Modelo.
El estudio del sector de quarks tuvo un gran
desarrollo entre los 60’s y 70’s. Actualmente
se sabe de la existencia de tres familias de
fermiones.
El W y el Z fueron observados directamente
en CERN en 1983 por UA1 y UA2.
Excelentes pruebas de precisión fueron
obtenidas por LEP (CERN) y SLC (SLAC)
desde 1989 hasta ∼ 2000.
Solo el Higgs sigue siendo elusivo...
Teorı́a Electrodébil – p.9/32
Capítulo 2
Introducción
a la
Teoría de campos de Norma
Teorı́a Electrodébil – p.10/32
Densidades Lagrangianas
La cantidad fundamental en cualquier Teoría de campo cuántica es la acción,
la cual en el formalismo lagrangiano esta dada por
S=
Z
d4 x L(x) ,
donde la densidad lagrangiana L es una función local y real de los campos y
sus derivadas, además de ser invariante de Poincaré sin dependencia
explícita de las coordenadas. Ejemplos explícitos de utilidad posterior:
Campo escalar complejo:
Campo EM:
Lφ = ∂ µ φ∗ (x)∂µ φ(x) − m2 φ∗ φ − λ4 (φ∗ φ)2
LEM = − 14 Fµν F µν ; donde Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
Campo espinorial:
Lψ = ψ̄ (iγ µ ∂µ − m) ψ
Teorı́a Electrodébil – p.11/32
Densidades Lagrangianas
Brevemente (para refrescar la memoria): ψ es solución a
(iγ µ ∂µ − m) ψ = 0 ;
ψ̄ = ψ † γ 0 . Las matrices de Dirac obedecen el élgebra
de Clifford: {γ µ , γ ν } = 2η µν y en la representación quiral tienen la forma
0
γ =
0
1
1
0
~γ =
0
−~σ
~σ
0
con ~σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) las matrices de Pauli.
γ5 = iγ 0 γ1 γ 2 γ 3 =
−1
0
0
1
tal que {γµ , γ5 } = 0, podemos
ψL
en general descomponer ψ = ψL + ψR ≡
donde γ5 ψR,L = ±ψR,L
ψR
Definiendo
Notece que: ψ̄ψ = ψ̄L ψR + ψ̄R ψL
pero
ψ̄γµ ψ = ψ̄L γµ ψL + ψ̄R γµ ψR
(Tarea)
Teorı́a Electrodébil – p.12/32
Simetría de Norma
Entre los lagrangianos de interacción será de interes:
LI = −qAµ ψ̄γ µ ψ
µ
= −Aµ jEM
el cual describe el acoplamiento de un fermión al potencial electromagnético.
Este es derivado de la regla clásica de acoplamiento mínimo: pµ → pµ − qAµ
lo que provee el lagrangiano de QED:
1
LQED = ψ̄ [γ µ (i∂µ − qAµ ) − m] ψ − F 2
4
Teorı́a Electrodébil – p.13/32
Simetría de Norma
Entre los lagrangianos de interacción será de interes:
LI = −qAµ ψ̄γ µ ψ
µ
= −Aµ jEM
el cual describe el acoplamiento de un fermión al potencial electromagnético.
Este es derivado de la regla clásica de acoplamiento mínimo: pµ → pµ − qAµ
lo que provee el lagrangiano de QED:
1
LQED = ψ̄ [γ µ (i∂µ − qAµ ) − m] ψ − F 2
4
Sin embargo, también puede obtenerse observando primero que bajo la
Lψ = ψ̄ (iγ µ ∂µ − m) ψ es invariante.
transformación global ψ → e−iα ψ;
Teorı́a Electrodébil – p.13/32
Simetría de Norma
Entre los lagrangianos de interacción será de interes:
LI = −qAµ ψ̄γ µ ψ
µ
= −Aµ jEM
el cual describe el acoplamiento de un fermión al potencial electromagnético.
Este es derivado de la regla clásica de acoplamiento mínimo: pµ → pµ − qAµ
lo que provee el lagrangiano de QED:
1
LQED = ψ̄ [γ µ (i∂µ − qAµ ) − m] ψ − F 2
4
Sin embargo, también puede obtenerse observando primero que bajo la
Lψ = ψ̄ (iγ µ ∂µ − m) ψ es invariante.
transformación global ψ → e−iα ψ;
Esta simetría es más fundamental de lo que parece. Basta notar que bajo la
transformacón local ψ → e−iqα(x) ψ
1
LQED → ψ̄ [γ µ (i∂µ − q (Aµ − ∂µ α)) − m] ψ − F 2
4
es de hecho invariante si simulltaneamente se realiza la transformación de
norma
Aµ → Aµ + ∂µ α(x)
Teorı́a Electrodébil – p.13/32
Simetría de Norma
Lección I: Podemos empezar con un lagrangiano globalmente invariante (Lψ )
y forzarlo a ser invariante bajo la correspondiente transformación local.
Para lograr esto debemos:
Añadir el (o los) campo(s) de norma Aµ necesario(s), asociado(s) al
grupo de simetría
Cambiar la derivada ∂µ por la derivada covariente Dµ = ∂µ + iqAµ
Teorı́a Electrodébil – p.14/32
Simetría de Norma
Lección I: Podemos empezar con un lagrangiano globalmente invariante (Lψ )
y forzarlo a ser invariante bajo la correspondiente transformación local.
Para lograr esto debemos:
Añadir el (o los) campo(s) de norma Aµ necesario(s), asociado(s) al
grupo de simetría
Cambiar la derivada ∂µ por la derivada covariente Dµ = ∂µ + iqAµ
Consideremos por ejemplo:
Lφ = ∂ µ φ∗ ∂µ φ
transformación global φ → e−iα φ
el cual es invariante bajo la
Teorı́a Electrodébil – p.14/32
Simetría de Norma
Lección I: Podemos empezar con un lagrangiano globalmente invariante (Lψ )
y forzarlo a ser invariante bajo la correspondiente transformación local.
Para lograr esto debemos:
Añadir el (o los) campo(s) de norma Aµ necesario(s), asociado(s) al
grupo de simetría
Cambiar la derivada ∂µ por la derivada covariente Dµ = ∂µ + iqAµ
Consideremos por ejemplo:
Lφ = ∂ µ φ∗ ∂µ φ
transformación global φ → e−iα φ
Consideramos entonces: φ → e−iα(x) φ ;
⇒ Lφ no permanece invariante.
⇒
el cual es invariante bajo la
∂µ φ → e−iα (∂µ − iq∂µ α) φ
Sin embargo, Dµ φ → Dµ e−iα φ = e−iα [∂µ + iq (Aµ − ∂µ α)] → e−iα Dµ φ
siempre que además Aµ → Aµ + ∂µ α.
Por tanto L = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − 14 F 2 ES INVARIANTE de Norma.
notece, sin embargo, que la masa de Aµ no lo es...
Teorı́a Electrodébil – p.14/32
Simetría de Norma no Abeliana
Podemos generalizar los conceptos anteriores a grupo mas generales. De
manera ilustrativa consideremos el grupo SU (N ), cuyos generadores, Ta ,
satisfacen el álgebra [Ta , Tb ] = ifabc Tc normalizados por T rTa Tb = 21 δab
Teorı́a Electrodébil – p.15/32
Simetría de Norma no Abeliana
Podemos generalizar los conceptos anteriores a grupo mas generales. De
manera ilustrativa consideremos el grupo SU (N ), cuyos generadores, Ta ,
satisfacen el álgebra [Ta , Tb ] = ifabc Tc normalizados por T rTa Tb = 21 δab
Dada una colección de N escalares Φ, cuyo lagrangiano: L = ∂ µ Φ† · ∂µ Φ
es invariante bajo la tranformación global:
Φ → U (x)Φ ≡ e−igλa Ta Φ .
Entonces, construimos la teoría invariante locálmente introduciendo la
Derivada covariente: Dµ = ∂µ + igTa Aaµ (x)
Teorı́a Electrodébil – p.15/32
Simetría de Norma no Abeliana
Podemos generalizar los conceptos anteriores a grupo mas generales. De
manera ilustrativa consideremos el grupo SU (N ), cuyos generadores, Ta ,
satisfacen el álgebra [Ta , Tb ] = ifabc Tc normalizados por T rTa Tb = 21 δab
Dada una colección de N escalares Φ, cuyo lagrangiano: L = ∂ µ Φ† · ∂µ Φ
es invariante bajo la tranformación global:
Φ → U (x)Φ ≡ e−igλa Ta Φ .
Entonces, construimos la teoría invariante locálmente introduciendo la
Derivada covariente: Dµ = ∂µ + igTa Aaµ (x)
Para los campos de Yang-Mills:
Además debemos anexar
donde
a
Fµν = Ta Fµν
y
Ta Aaµ ′ = U −1 Ta Aaµ U + iU −1 ∂µ U
a
F aµν
LY M = − 21 T rFµν F µν = − 14 Fµν
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gfabc Abµ Acν
Tarea: Verificar la invarianza de (Dµ Φ)† (Dµ Φ)
Teorı́a Electrodébil – p.15/32
Rompimiento Espontáneo de la Simetría
vacío = Estado de mínima energía. Puede
ser degenerado.
Teorema de Coleman: Si el vacío es invariante bajo un grupo de transformaciones, G,
el lagrangiano lo es también necesariamente
Sim. exacta
vinv
.
Sim
vno−inv
t.
pon
rota
Linv
es
Sim. explic. rota
Lno−inv
El Teo. describe una simetría exacta
Teorı́a Electrodébil – p.16/32
Rompimiento Espontáneo de la Simetría
vacío = Estado de mínima energía. Puede
ser degenerado.
Teorema de Coleman: Si el vacío es invariante bajo un grupo de transformaciones, G,
el lagrangiano lo es también necesariamente
Sim. exacta
vinv
.
Sim
vno−inv
t.
pon
rota
Linv
es
Sim. explic. rota
Lno−inv
El Teo. describe una simetría exacta
Si el vacío no es invariante, el lagrangiano puede o no serlo En ambos casos
la simetría como un todo esta rota.
- L no invariante indica una simetría explícitamente rota
- Cuando L es invariante decimos que la simetría esta espontáneamente
rota
Existe una conección muy estrecha entre el rompimiento espontáneo y las
masas de los bosones de norma
Teorı́a Electrodébil – p.16/32
Rompimiento Espontáneo de una Simetría global
Consideremos el lagrangiano:
Lφ = ∂ µ φ∗ (x)∂µ φ(x) − m2 φ∗ φ −
λ ∗ 2
(φ φ)
4
λ>0
invariante bajo las transformaciones del grupo global U (1):
φ → e−iα φ
Teorı́a Electrodébil – p.17/32
Rompimiento Espontáneo de una Simetría global
Consideremos el lagrangiano:
Lφ = ∂ µ φ∗ (x)∂µ φ(x) − m2 φ∗ φ −
λ ∗ 2
(φ φ)
4
λ>0
invariante bajo las transformaciones del grupo global U (1):
φ → e−iα φ
El vacío correpondera al valor del campo que minimiza el potencial (o valor
de expectación en el vacío). En este caso hφi = 0.
El vacío no es degenerado y es invariante → la simetría es exacta.
V
8
6
4
2
-2
-1
1
2
Teorı́a Electrodébil – p.17/32
Rompimiento Espontáneo de una Simetría global
Consideremos el lagrangiano:
Lφ = ∂ µ φ∗ (x)∂µ φ(x) − m2 φ∗ φ −
λ ∗ 2
(φ φ)
4
λ>0
invariante bajo las transformaciones del grupo global U (1):
φ → e−iα φ
En cambio, si consideramos el potencial:
λ ∗ 2
V (φ) = −µ φ φ + (φ φ)
4
2 ∗
El mínimo ahora cumple la condición (Tarea):
2µ2
|hφi| =
λ
2
≡v
La degeneración es en la fase. U (1) mapea un vacío dado en cualquier otro.
La simetría está espontáneamente rota.
Teorı́a Electrodébil – p.17/32
Rompimiento Espontáneo de una Simetría global
Conviene considerar la redefinición de las variables de campo sobre el vacío
φ → hφi + φ(x)
clásico:
Insertando esta en el potencial tendremos (Tarea):
4
µ
V (φ) = −
+ 2µ2 (Re φ)2 +
λ
La teoría describe:
Un campo escalar masivo:
Un campo escalar sin masa:
Goldstone.
√
r
λ
λ 4
2
µ Re φ|φ + |φ|
2
4
√
2 Re φ
con masa
2µ.
√
φ1 = 2 Im φ llamado bosón de
φ1 =
Teorı́a Electrodébil – p.18/32
Rompimiento Espontáneo de una Simetría local
Consideremos en cambio:
Bajo la redefinición:
tenemos que V (φ) = V (ϕ),
L = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − V (φ) − 14 F 2
φ→
1
√
v+
ϕ(x) e−iχ(x)/v
2
y (Tarea):
2
√
1 1
1
2
|Dµ φ| → ∂µ ϕ + iqϕ Aµ − ∂µ χ + i 2qv Aµ − ∂µ χ 2
qv
qv
Teorı́a Electrodébil – p.19/32
Rompimiento Espontáneo de una Simetría local
Consideremos en cambio:
Bajo la redefinición:
tenemos que V (φ) = V (ϕ),
L = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − V (φ) − 14 F 2
φ→
1
√
v+
ϕ(x) e−iχ(x)/v
2
y (Tarea):
2
√
1 1
1
2
|Dµ φ| → ∂µ ϕ + iqϕ Aµ − ∂µ χ + i 2qv Aµ − ∂µ χ 2
qv
qv
Podemos eliminar el campo fase (bosón de Goldstone) mediante una
1
∂µ χ
transformación de Norma, definiendo: Bµ = Aµ − qv
Ahora, aparecerá el término de masa:
q 2 v 2 Bµ B µ
Teorı́a Electrodébil – p.19/32
Rompimiento Espontáneo de una Simetría local
Consideremos en cambio:
Bajo la redefinición:
tenemos que V (φ) = V (ϕ),
L = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − V (φ) − 14 F 2
φ→
1
√
v+
ϕ(x) e−iχ(x)/v
2
y (Tarea):
2
√
1 1
1
2
|Dµ φ| → ∂µ ϕ + iqϕ Aµ − ∂µ χ + i 2qv Aµ − ∂µ χ 2
qv
qv
Podemos eliminar el campo fase (bosón de Goldstone) mediante una
1
∂µ χ
transformación de Norma, definiendo: Bµ = Aµ − qv
Ahora, aparecerá el término de masa:
q 2 v 2 Bµ B µ
Lección II: Cuando la simetría se rompe espontáneamente, el campo de
norma adquiere masa absorviendo al bosón de Goldstone.
Este es el Mecanismo de Higgs (Anderson, Kibble, Guralnik, Hagen, Brout, y Englert)
Teorı́a Electrodébil – p.19/32
Sistemática del mecanismo de Higgs
La generación de masas en el caso de teorías de norma no abelianas sigue
una dinámica similar.
Dada una representación de campos escalares, con derivada covariante
Dµ Φ = (∂µ + igTa Aaµ )Φ ;
es fácil ver que la sola contribución del vacío, hΦi proveniente del término
cinético, |Dµ Φ|2 , producirá los térmios de masa
†
g 2 (Ta hΦi) (Tb hΦi) Aaµ Abµ
Teorı́a Electrodébil – p.20/32
Sistemática del mecanismo de Higgs
La generación de masas en el caso de teorías de norma no abelianas sigue
una dinámica similar.
Dada una representación de campos escalares, con derivada covariante
Dµ Φ = (∂µ + igTa Aaµ )Φ ;
es fácil ver que la sola contribución del vacío, hΦi proveniente del término
cinético, |Dµ Φ|2 , producirá los térmios de masa
†
g 2 (Ta hΦi) (Tb hΦi) Aaµ Abµ
Algunas combinaciones de campos adquirirán masa
Los campos de norma asociados a Ta , tal que Ta hΦi = 0, permanecerán
sin masa ⇒ estos Ta generán una simetría residual (no rota): G′ ⊂ G.
†
Cuáles? → se debe diagonalizar m2ab = g 2 (Ta hΦi) (Tb hΦi)
Exploremos un ejemplo de interés...
Teorı́a Electrodébil – p.20/32
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
Consideremos el lagrangiano
λ † 2
(Φ Φ)
4
φ1
Φ=
φ2
LΦ = ∂ µ Φ† (x)∂µ Φ(x) + µ2 Φ† Φ −
con Φ el doblete de escalares:
El modelo es invariante bajo el grupo de transformaciones globales SU (2).:
a
1
Φ → e−igα τa Φ
con
τa = σ a
a = 1, 2, 3
2
Teorı́a Electrodébil – p.21/32
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
Consideremos el lagrangiano
λ † 2
(Φ Φ)
4
φ1
Φ=
φ2
LΦ = ∂ µ Φ† (x)∂µ Φ(x) + µ2 Φ† Φ −
con Φ el doblete de escalares:
El modelo es invariante bajo el grupo de transformaciones globales SU (2).:
a
1
Φ → e−igα τa Φ
con
τa = σ a
a = 1, 2, 3
2
0
∂µ Φ → Dµ Φ = ∂µ + igAaµ τa Φ si hΦi =
En la teoría local
v
0
Por tanto: |Dµ hΦi|2 = g 2 0 v τa τb
Aaµ Abµ
v
1 2 2 a aµ
1 2
0
a bµ
g
Aµ A = g v Aµ A
=
0 v {τa , τb }
v
2
4
Todos los campos de norma adquieren masa
Teorı́a Electrodébil – p.21/32
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
Consideremos el lagrangiano
λ † 2
(Φ Φ)
4
φ1
Φ=
φ2
LΦ = ∂ µ Φ† (x)∂µ Φ(x) + µ2 Φ† Φ −
con Φ el doblete de escalares:
El modelo es invariante bajo el grupo de transformaciones globales SU (2).:
a
1
Φ → e−igα τa Φ
con
τa = σ a
a = 1, 2, 3
2
Sin embargo, SU (2) no es toda la simetría. También U (1):
′
Φ → e−ig β Φ
Teorı́a Electrodébil – p.21/32
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
Consideremos el lagrangiano
λ † 2
(Φ Φ)
4
φ1
Φ=
φ2
LΦ = ∂ µ Φ† (x)∂µ Φ(x) + µ2 Φ† Φ −
con Φ el doblete de escalares:
El modelo es invariante bajo el grupo de transformaciones globales SU (2).:
a
1
Φ → e−igα τa Φ
con
τa = σ a
a = 1, 2, 3
2
′
Sin embargo, SU (2) no es toda la simetría. También U (1): Φ → e−ig β Φ
a
′1
La teoría local tendrá entonces:
Dµ Φ = ∂µ + igAµ τa + ig 2 Bµ Φ
2
⇒ |Dµ hΦi|
=
=
0
v
gAaµ τa
v 2 h 2 1 2
g Aµ + g 2
4
1 ′ µ
gA τb + g B
2
2 i
3
2 2
′
Aµ + gAµ − g Bµ
1 ′
+ g Bµ
2
bµ
0
v
(Tarea)
Teorı́a Electrodébil – p.21/32
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
i
v 2 h 2 1 2
2
2
g Aµ + g 2 A2µ + gA3µ − g ′ Bµ
4
Tenemos entonces:
Tres bosones masivos:
1
1
2
= √ Aµ ∓ iAµ
2
1
′
3
gAµ − g Bµ
Zµ = p
2
′2
g +g
Wµ±
gv
mW = √
2
p
v
2
′2
√
mZ = g + g
2
con masa
con masa
(Que identificaremos como los mediadores de las interacciones débiles.
PDG (2002): mW = 80.423 ± 0.039 GeV ; mZ = 91.1876 ± 0.0021 GeV ).
Un bosón sin masa (el fotón)
Aµ = p
1
g2
+
g ′2
g
′
A3µ
+ gBµ
Teorı́a Electrodébil – p.22/32
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
Conviene definir el ángulo de mezcla:
cos θW = p
con lo cual escribimos:
g
g2
+
g ′2
mW
=
;
mZ
Z
A
=
sin θW = p
cos θW
sin θW
g′
g 2 + g ′2
− sin θW
cos θW
3
A
B
Teorı́a Electrodébil – p.23/32
Rompimiento espontáneo de SU (2) × U (1)
Conviene definir el ángulo de mezcla:
cos θW = p
con lo cual escribimos:
g
g2
+
g ′2
mW
=
;
mZ
Z
A
=
sin θW = p
cos θW
sin θW
g′
g 2 + g ′2
− sin θW
cos θW
3
A
B
Finalmente, es conveniente escribir la derivada covariante en términos de los
campos masivos.
′1
Tarea: Partiendo de Dµ = ∂µ + igAa
y definiendo
T
+
ig
a
µ
2 Y Bµ
1
gg ′
= g sin θW = g ′ cos θW
Q = T3 + Y
y
e= p
2
g 2 + g ′2
podemos escribir:
g
g
2
− −
+ +
Zµ T3 − sin θW Q + ieAµ Q
Dµ = ∂µ + i √ Wµ T + Wµ T + i
cos θW
2
con T ± = T 1 ± iT 2 .
Tres parametros controlan las int. ED: e ; θW ; mW .
Teorı́a Electrodébil – p.23/32
Capítulo 3
Bases
de la
Teoría Electrodébil
Teorı́a Electrodébil – p.24/32
Ingredientes del Modelo de leptones
Aprovechando la universalidad de las interacciones débiles, podemos
comenzar estudiando sólo el modelo para una familia de leptones: e, νe .
De la teoría de Fermi: eL y νeL deben tener interacciones débiles → los
colocaremos en un doblete de SU (2):
νeL
L=
eL
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
Aprovechando la universalidad de las interacciones débiles, podemos
comenzar estudiando sólo el modelo para una familia de leptones: e, νe .
De la teoría de Fermi: eL y νeL deben tener interacciones débiles → los
colocaremos en un doblete de SU (2):
νeL
L=
eL
Las interacciones electromagnéticas, sin embargo, no distinguen la
chiralidad del fermión, asi que tendremos que añadir eR ; invariante
(singlete) bajo SU (2).
νR no tiene interacciones ni débiles, ni EM, así que no lo incluiremos en
el modelo "mínimo".
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
Aprovechando la universalidad de las interacciones débiles, podemos
comenzar estudiando sólo el modelo para una familia de leptones: e, νe .
De la teoría de Fermi: eL y νeL deben tener interacciones débiles → los
colocaremos en un doblete de SU (2):
νeL
L=
eL
Las interacciones electromagnéticas, sin embargo, no distinguen la
chiralidad del fermión, asi que tendremos que añadir eR ; invariante
(singlete) bajo SU (2).
νR no tiene interacciones ni débiles, ni EM, así que no lo incluiremos en
el modelo "mínimo".
Para decidir el valor de la hipercarga (Y ) recurriremos a la carga
eléctrica: Q = T3 + 12 Y .
L(Y = −1)
⇒
eR (Y = −2)
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
Las derivadas covariantes de L(2, −1) y eR (1, −2), serán
1
Dµ L =
∂µ + igAaµ τa − ig ′ Bµ L
2
Dµ eR
de modo que
= (∂µ − ig ′ Bµ ) eR
Le = iL̄γ µ Dµ L + iēR γ µ Dµ eR .
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
Las derivadas covariantes de L(2, −1) y eR (1, −2), serán
1
Dµ L =
∂µ + igAaµ τa − ig ′ Bµ L
2
Dµ eR
de modo que
= (∂µ − ig ′ Bµ ) eR
Le = iL̄γ µ Dµ L + iēR γ µ Dµ eR .
Debemos introducir "mínimamente" un doblete escalar Φ, tal que
0
hΦi =
v
a
′1
así que: Φ(2, Y = 1). ⇒ Dµ Φ = ∂µ + igAµ τa + ig 2 Bµ Φ
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
Las derivadas covariantes de L(2, −1) y eR (1, −2), serán
1
Dµ L =
∂µ + igAaµ τa − ig ′ Bµ L
2
Dµ eR
de modo que
= (∂µ − ig ′ Bµ ) eR
Le = iL̄γ µ Dµ L + iēR γ µ Dµ eR .
Debemos introducir "mínimamente" un doblete escalar Φ, tal que
0
hΦi =
v
a
′1
así que: Φ(2, Y = 1). ⇒ Dµ Φ = ∂µ + igAµ τa + ig 2 Bµ Φ
No es posible escribir me ēL eR . La masa provendrá de los
acoplamientos de Yukawa LY = hL̄ΦeR + h.c.. ⇒ me = hhΦi = hv
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
Las derivadas covariantes de L(2, −1) y eR (1, −2), serán
1
Dµ L =
∂µ + igAaµ τa − ig ′ Bµ L
2
Dµ eR
de modo que
= (∂µ − ig ′ Bµ ) eR
Le = iL̄γ µ Dµ L + iēR γ µ Dµ eR .
Debemos introducir "mínimamente" un doblete escalar Φ, tal que
0
hΦi =
v
a
′1
así que: Φ(2, Y = 1). ⇒ Dµ Φ = ∂µ + igAµ τa + ig 2 Bµ Φ
No es posible escribir me ēL eR . La masa provendrá de los
acoplamientos de Yukawa LY = hL̄ΦeR + h.c.. ⇒ me = hhΦi = hv
El lagrangiano total LW S = Lℓ + LΦ + LY M + LY
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
El lagrangiano total LW S = Lℓ + LΦ + LY M + LY
Para tres familias de leptones:
Lℓ =
X
ℓ=e,µ,τ
Le ; Lµ ; Lτ ; eR ; µR ; τR ;
µ
µ
i L̄ℓ γ Dµ Lℓ + ℓ̄R γ Dµ ℓR
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
El lagrangiano total LW S = Lℓ + LΦ + LY M + LY
Para tres familias de leptones:
Lℓ =
X
ℓ=e,µ,τ
Le ; Lµ ; Lτ ; eR ; µR ; τR ;
µ
µ
i L̄ℓ γ Dµ Lℓ + ℓ̄R γ Dµ ℓR
LΦ = (Dµ Φ)† (Dµ Φ) + µ2 Φ† Φ −
λ † 2
(Φ Φ)
4
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
El lagrangiano total LW S = Lℓ + LΦ + LY M + LY
Para tres familias de leptones:
Lℓ =
X
ℓ=e,µ,τ
Le ; Lµ ; Lτ ; eR ; µR ; τR ;
µ
µ
i L̄ℓ γ Dµ Lℓ + ℓ̄R γ Dµ ℓR
LΦ = (Dµ Φ)† (Dµ Φ) + µ2 Φ† Φ −
LY M
λ † 2
(Φ Φ)
4
1 a aµν 1
− Bµν B µν
= − Fµν F
4
4
a
con Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gǫabc Abµ Acν ;
y
Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
El lagrangiano total LW S = Lℓ + LΦ + LY M + LY
Para tres familias de leptones:
Lℓ =
X
ℓ=e,µ,τ
Le ; Lµ ; Lτ ; eR ; µR ; τR ;
µ
µ
i L̄ℓ γ Dµ Lℓ + ℓ̄R γ Dµ ℓR
LΦ = (Dµ Φ)† (Dµ Φ) + µ2 Φ† Φ −
LY M
λ † 2
(Φ Φ)
4
1 a aµν 1
− Bµν B µν
= − Fµν F
4
4
a
con Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gǫabc Abµ Acν ;
Finalmente:
LY =
X ℓ=e,µ,τ
y
Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
hℓ L̄ℓ ΦℓR + h.c
Aún falta hΦi . . .
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
A continuación debemos introducir el rompimiento espontáneo:
!
0
Φ=
√
v + h(x)
2
Y los bosones de norma masivos:
1
2
1
= √ Aµ ∓ iAµ
2
3
3
Zµ = cos θW Aµ − sin θW Bµ
Aµ = sin θW Aµ + cos θW Bµ
Wµ±
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Ingredientes del Modelo de leptones
A continuación debemos introducir el rompimiento espontáneo:
!
0
Φ=
√
v + h(x)
2
Y los bosones de norma masivos:
1
2
1
= √ Aµ ∓ iAµ
2
3
3
Zµ = cos θW Aµ − sin θW Bµ
Aµ = sin θW Aµ + cos θW Bµ
Wµ±
Recordatorio:
gAaµ Ta + g ′ 12 Y Bµ
equivale a
g
g
2
+ +
− −
√ Wµ T + Wµ T +
Zµ T3 − sin θW Q + eAµ Q
cos θW
2
Teorı́a Electrodébil – p.25/32
Corrientes cargadas
√g
2
Wµ+ T +
+
Wµ− T −
⇒ solo Lℓ tendra acoplamientos con W ± .
El lagrangiano de interacción:
g
LC = − √ Wµ+ L̄ℓ γ µ (τ1 + iτ2 ) Lℓ + h.c
2
τ1 = 12 σi
Teorı́a Electrodébil – p.26/32
Corrientes cargadas
√g
2
Wµ+ T +
+
Wµ− T −
⇒ solo Lℓ tendra acoplamientos con W ± .
El lagrangiano de interacción:
τ1 = 12 σi =⇒
g
LC = − √ Wµ+ L̄ℓ γ µ (τ1 + iτ2 ) Lℓ + h.c
2
g
0 1
νℓL
+ h.c
LC = − √ Wµ+ ν̄ℓL ℓ̄L γ µ
ℓL
0 0
2
Teorı́a Electrodébil – p.26/32
Corrientes cargadas
√g
2
Wµ+ T +
+
Wµ− T −
⇒ solo Lℓ tendra acoplamientos con W ± .
El lagrangiano de interacción:
τ1 = 12 σi =⇒
=⇒
where
g
LC = − √ Wµ+ L̄ℓ γ µ (τ1 + iτ2 ) Lℓ + h.c
2
g
0 1
νℓL
+ h.c
LC = − √ Wµ+ ν̄ℓL ℓ̄L γ µ
ℓL
0 0
2
g
g
+
µ
LC = − √ Wµ (ν̄ℓL γ ℓL ) + h.c ≡ − √ Wµ+ jcµ + h.c
2
2 2
jcµ = ν̄e γ µ (1 − γ5 )e + ν̄µ γ µ (1 − γ5 )µ + ν̄τ γ µ (1 − γ5 )τ
Teorı́a Electrodébil – p.26/32
Corrientes cargadas
g
g
+
µ
LC = − √ Wµ (ν̄ℓL γ ℓL ) + h.c ≡ − √ Wµ+ jcµ + h.c
2
2 2
=⇒
jcµ = ν̄e γ µ (1 − γ5 )e + ν̄µ γ µ (1 − γ5 )µ + ν̄τ γ µ (1 − γ5 )τ
where
e−
e−
u
u
W−
JW+
JW
JW+
JW
GF/ 2
| Q | < < MW
Q
d
d
e
e
2
Q ≪
2
MW
⇒
LW ≈
2
MW
Wµ− W +µ
g + µ
− µ†
− √ Wµ jc + Wµ jc
2 2
2
Wµ− ≈
La ecuación de movimiento de W − es entonces: MW
=⇒
LW
g 2 µ†
jc jc µ
≈−
2
8MW
=⇒
g2
GF
√ =
2
8MW
2
2
g
√
µ
j
c
2
e2
=
2 sin2 θ
8MW
W
Teorı́a Electrodébil – p.26/32
Corrientes Neutras
Consideremos ahora:
g
cos θW
Zµ
2
T3 − sin θW Q + eAµ Q
Teorı́a Electrodébil – p.27/32
Corrientes Neutras
Consideremos ahora:
Dado que:
=⇒
Lℓ (2, −1) ;
g
cos θW
Zµ
ℓR (1, −2)
2
T3 − sin θW Q + eAµ Q
y
Q = T3 + 21 Y :
La interacción electromagnética:
µ
µ
LEM =eAµ ℓ̄L γ ℓL + ℓ̄R γ ℓR =eAµ ℓ̄γ µ ℓ
Teorı́a Electrodébil – p.27/32
Corrientes Neutras
Consideremos ahora:
Dado que:
=⇒
Lℓ (2, −1) ;
g
cos θW
2
Zµ
ℓR (1, −2)
T3 − sin θW Q + eAµ Q
y
Q = T3 + 21 Y :
La interacción electromagnética:
µ
LEM =eAµ ℓ̄L γ ℓL + ℓ̄R γ ℓR =eAµ ℓ̄γ µ ℓ
µ
LEM =eAµ JEM
⇒
µ
µ
JEM
= ēγ µ e + µ̄γ µ µ + τ̄ γ µ τ
Teorı́a Electrodébil – p.27/32
Corrientes Neutras
g
cos θW
Consideremos ahora:
Zµ
El acoplamiento al Z
( 1
g
2
Zµ L̄ℓ
LZ = −
0
cos θW
−ℓ̄R
2
µ
sin θW Q γ ℓR
2
T3 − sin θW Q + eAµ Q
0
1
2
− sin2 θW
0 0
0 −1
γ µ Lℓ
)
Teorı́a Electrodébil – p.27/32
Corrientes Neutras
g
cos θW
Consideremos ahora:
Zµ
El acoplamiento al Z
( 1
g
2
Zµ L̄ℓ
LZ = −
0
cos θW
−ℓ̄R
LZ = −
2
µ
sin θW Q γ ℓR
2
T3 − sin θW Q + eAµ Q
0
1
2
− sin2 θW
0 0
0 −1
γ µ Lℓ
)
1
1
g
Zµ ν̄ℓ L γ µ νℓ L + − + sin2 θW
cos θW
2
2
ℓ̄L γ µ ℓL + sin2 θW ℓ̄R γ µ ℓR
Teorı́a Electrodébil – p.27/32
Corrientes Neutras
LZ = −
g
1
1
Zµ ν̄ℓ L γ µ νℓ L + − + sin2 θW
cos θW
2
2
Las corrientes neutras:
µ
jn,ν
=
µ
jn,ℓ
=
1
2
ℓ̄L γ µ ℓL + sin2 θW ℓ̄R γ µ ℓR
µ
e
µ
LZ = − sin(2θ
j
Z
+
j
µ
n,ν
n,ℓ
W)
con
[ν̄e γ µ (1 − γ5 )νe + ν̄µ γ µ (1 − γ5 )νµ + ν̄τ γ µ (1 − γ5 )ντ ]
− 21
+ ξ [ēγ µ (1 − γ5 )e + µ̄γ µ (1 − γ5 )µ + τ̄ γ µ (1 − γ5 )τ ]
+ξ [ēγ µ (1 + γ5 )e + µ̄γ µ (1 + γ5 )µ + τ̄ γ µ (1 + γ5 )τ ]
ξ = sin2 θW
Teorı́a Electrodébil – p.27/32
Corrientes Neutras
Las corrientes neutras:
µ
jn,ν
=
µ
jn,ℓ
=
1
2
LZ =
e
Zµ
− sin(2θ
W)
µ
jn,ν
+
µ
jn,ℓ
con
[ν̄e γ µ (1 − γ5 )νe + ν̄µ γ µ (1 − γ5 )νµ + ν̄τ γ µ (1 − γ5 )ντ ]
− 21
+ ξ [ēγ µ (1 − γ5 )e + µ̄γ µ (1 − γ5 )µ + τ̄ γ µ (1 − γ5 )τ ]
+ξ [ēγ µ (1 + γ5 )e + µ̄γ µ (1 + γ5 )µ + τ̄ γ µ (1 + γ5 )τ ]
e−
νµ e → νµ e
Z
con
e−
σ(νµ e → νµ e) =
σ(ν̄µ e → ν̄µ e) =
G2F s
π
G2F s
π
4
3
4
3
Lef f
jℓµ = ν̄ℓ γ µ 12 (1 − γ 5 )νℓ + ℓ̄γ µ (cV − cA γ5 )ℓ
4
2
sin θW − sin θW +
4
sin θW −
GF
= − √ jℓ,µ jℓµ
2
ξ = sin2 θW
1
3
2
1
4
sin θW +
1
12
sin2 θW = 0.2324 ± 0.0083
Teorı́a Electrodébil – p.27/32
Adición de quarks al modelo
Quarks también tienen interacciónes débiles. Además de fuertes.
A baja energía el Modelo debe describir el decaimiento beta n → peν
El modelo de hadrones (Curso de Genaro)
indica que:
p = (uud) ;
n = (udd)
Cargas eléctricas: u(2/3) ;
d(−1/3)
Tres colores: Qα ; α = 1, 2, 3.
Tres familias: (u, s) ; (c, b) ; (t, b).
Extendamos el modelo electrodébil:
1
Q 2,
3
=
α,iL
uα,iL
dα,iL
;
uα,iR
4
1,
3
;
dα,iR
2
1, −
3
Teorı́a Electrodébil – p.28/32
Adición de quarks al modelo
1
Q 2,
3
=
α,iL
uα,iL
dα,iL
;
uα,iR
4
1,
3
;
dα,iR
2
1, −
3
Las derivadas covariantes (excluyendo color):
Dµ QiL
Dµ uiR
Dµ diR
1
∂µ + igAaµ τa + ig ′ Bµ QiL
6
′2
=
∂µ + ig Bµ uiR
3
1
=
∂µ − ig ′ Bµ uiR
3
=
Teorı́a Electrodébil – p.28/32
Adición de quarks al modelo
1
Q 2,
3
=
α,iL
uα,iL
dα,iL
;
uα,iR
4
1,
3
;
dα,iR
2
1, −
3
Las derivadas covariantes (excluyendo color):
Dµ QiL
Dµ uiR
Dµ diR
1
∂µ + igAaµ τa + ig ′ Bµ QiL
6
′2
=
∂µ + ig Bµ uiR
3
1
=
∂µ − ig ′ Bµ uiR
3
=
Mas conveniente:
g
g
2
+ +
− −
Zµ T3 − sin θW Q + ieAµ Q
Dµ = ∂µ + i √ Wµ T + Wµ T + i
cos θW
2
Teorı́a Electrodébil – p.28/32
Adición de quarks al modelo
Mas conveniente:
g
g
2
+ +
− −
Zµ T3 − sin θW Q + ieAµ Q
Dµ = ∂µ + i √ Wµ T + Wµ T + i
cos θW
2
Tras el algebra (Tarea):
Lint =
Jqµ
µ
Jc,q
µ
Jn,q
=
−eJqµ Aµ
e
g
− µ
µ
− √ Wµ Jc,q + h.c −
Zµ Jn,q
sin(2θW )
2 2
2
1 ¯ µ
µ
µ
dγ d + s̄γ s + b̄γ b − (ūγ µ u + c̄γ µ c + t̄γ µ t)
3
3
= ūγLµ d + c̄γLµ s + t̄γLµ b
=
1
2
+
−
2
3ξ
− 12
+
µ
γLµ ≡ γ µ (1 − γ5 ); γR
≡ γ µ (1 + γ5 )
µ
µ
µ
[ūγLµ u + c̄γLµ c + t̄γLµ t] − 32 ξ [ūγR
u + c̄γR
c + t̄γR
t]
1
3ξ
µ
µ
µ
µ
µ µ 1
¯
¯
dγL d + s̄γL s + b̄γL b + 3 ξ dγR d + s̄γR s + b̄γR b
Teorı́a Electrodébil – p.28/32
Acoplamientos de Yukawa: Masas y mezclas de fermiones
hℓℓ′ L̄ℓ ΦℓR siempre puede escribirse tal que : hℓℓ′ = hℓ δℓℓ′ ⇒ mℓ = hℓ hΦi
Teorı́a Electrodébil – p.29/32
Acoplamientos de Yukawa: Masas y mezclas de fermiones
No es el caso del sector de quarks!!:
fab Q̄aL ΦdbR + hab Q̄aL Φ̃ubR
donde Φ̃ es el campo conjugado de carga, hΦ̃i = σ1 hΦi
Teorı́a Electrodébil – p.29/32
Acoplamientos de Yukawa: Masas y mezclas de fermiones
No es el caso del sector de quarks!!:
fab Q̄aL ΦdbR + hab Q̄aL Φ̃ubR
donde Φ̃ es el campo conjugado de carga, hΦ̃i = σ1 hΦi
d¯aL (Md )ab daR + ūaL (Mu )ab uaR
donde (Md )ab ≡ vfab ;
con: hΦi =
0
v
(Mu )ab ≡ vhab
Teorı́a Electrodébil – p.29/32
Acoplamientos de Yukawa: Masas y mezclas de fermiones
No es el caso del sector de quarks!!:
fab Q̄aL ΦdbR + hab Q̄aL Φ̃ubR
donde Φ̃ es el campo conjugado de carga, hΦ̃i = σ1 hΦi
con: hΦi =
d¯aL (Md )ab daR + ūaL (Mu )ab uaR
donde (Md )ab ≡ vfab ;
Para diagonalizar:
Similarmente:
2
MdL
2
MuL
0
v
(Mu )ab ≡ vhab
= Mu ·
= Md ·
Md†
Mu†
→
→
2
MuL
diag
2
MdL
diag
2
= UL · MuL
· UL†
2
= VL · MdL
· VL†
Teorı́a Electrodébil – p.29/32
Acoplamientos de Yukawa: Masas y mezclas de fermiones
No es el caso del sector de quarks!!:
fab Q̄aL ΦdbR + hab Q̄aL Φ̃ubR
donde Φ̃ es el campo conjugado de carga, hΦ̃i = σ1 hΦi
con: hΦi =
d¯aL (Md )ab daR + ūaL (Mu )ab uaR
donde (Md )ab ≡ vfab ;
Para diagonalizar:
Similarmente:
2
MdL
2
MuL
0
v
(Mu )ab ≡ vhab
= Mu ·
= Md ·
Así los estados de masa:
Md†
Mu†
→
→
2
MuL
diag
2
MdL
diag
2
= VL · MdL
· VL†
uα,L = (UL )αa · uaL ;
Wµ ūaL γ µ daL = Wµ ūαL (UCKM )αβ γ µ dβL
2
= UL · MuL
· UL†
dα,L = (VL )αa · daL
UCKM = UL VL†
Teorı́a Electrodébil – p.29/32
Acoplamientos de Yukawa: Masas y mezclas de fermiones
UCKM

Uud
=  Ucd
Utd
Uus
Ucs
Uts

 
0.9741(56) 0.219(26) 0.0025(48)
Uub
Ucb  =  0.219(26) 0.9732(48) 0.038(44) 
0.004(14) 0.037(44) 0.9990(3)
Utb
Parametrización estándard: tres angulos y una fase:
UCKM

c12 c13
=  −s12 c23 − c12 s23 s13 eiϕ
s12 s23 − c12 c23 s13 eiϕ
s12 c13
c12 c23 − s12 s23 s13 eiϕ
−c12 s23 − s12 c23 s13 eiϕ
−iϕ

s13 e
s23 c13  ;
c23 c13
θ12 = θC ≃ 12.9o ; θ23 =≃ 2.4o ; θ13 =≃ 0.2o ; δ = 59o ± 13
Parametrización de Wolfenstein:
UCKM

1 2
2λ
1−
=
−λ
Aλ3 (1 − ρ − iη)
λ
1 − 21 λ2
−Aλ2

Aλ(ρ − iη)
 ;
Aλ2
1
λ = 0.2243 ;
A = 0.82 ;
ρ = 0.20 ;
η = 0.33
Teorı́a Electrodébil – p.30/32
Conteo de parámetros
3
′
constantes de acoplamiento: g ; g ; gs o bien αs =
1:
gs2
4π
; αEM ; sin2 θW .
número de familias = 3
9
masas de fermiones.
4
parámetros en UCKM
2
parámetros del sector de Higgs: µ2 ;
λ ; o bien mH ;
MW .
Total: 19 parámetros libres
Teorı́a Electrodébil – p.31/32
Construcción de Modelos
Lecciones generales para la construcción de un modelo:
Elija las simetrías.
vgr.
un grupo de Norma G
Elija las representaciones en las cuales se acomodan los fermiones
Introduzca un número apropiado de multipletes escalares apropiados
para el rompimiento espontáneo de la simetría deseado.
Escriba el Lagrangiano localmente invariante. Incluya todos los términos
renormalizables que la simetría permita: L = Lℓ + LΦ + LY M + LY
Determine la configuracón del vacío que rompe la simetría
Introduzca los vevs y diagonalice las matrices de masas.
Finalmente, reescriba el lagrangiano en terminos de los eigen-estados
de masa.
Someta a prueba su modelo.
Teorı́a Electrodébil – p.32/32