Análisis Matemático 2014

Análisis Matemático
2014
PROGRAMA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
E. P. E. T. N° 20 - 2014
UNIDAD N° 1: FUNCIONES REALES
Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica,
trigonométricas, por partes) a partir de su gráfico: dominio, imagen, intersección
con los ejes cartesianos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,
máximos, mínimos, intervalos de concavidad, puntos de inflexión.
UNIDAD Nº 2: FUNCIÓN EXPONENCIAL .FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Función exponencial. Gráfico. Corrimientos. Logaritmo: definición. Propiedades.
Función logarítmica. Gráfico. Corrimientos. Ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
UNIDAD Nº 3: LÍMITES
Límite de una función escalar. Propiedades de los límites. Límites infinitos.
Indeterminaciones del tipo 0/0. Indeterminaciones del tipo
. Continuidad
de una función en un punto. Discontinuidades. Asíntotas.
UNIDAD Nº 4: DERIVADAS
Concepto de derivada. Derivación de funciones elementales. Derivación de
funciones compuestas. Recta tangente y recta normal. Extremos relativos.
Concavidad. Optimización. Análisis y gráficos de funciones.
UNIDAD Nº 5: INTEGRALES
Integral indefinida. Propiedades de las primitivas. Integral indefinida de una
función. Integrales inmediatas: Tabla de primitivas. Reglas de integración.
Métodos de integración: por descomposición, por cambio de variables
(sustitución).Cálculo de la integral definida. Concepto y propiedades. Regla de
Barrow. Cálculo de áreas. Área encerrada entre dos curvas. Ejercicios de
aplicación.
BIBLIOGRAFÍA
#Matemática 2 Activa. Polimodal. Editorial Puerto de Palos
# Matemática/Polimodal: Funciones 1 y 2. Editorial Longseller
# Elementos de cálculo diferencial e integral (Tomo I y II). Rabuffetti, Hebe. Ed.
El Ateneo
# Matemática 5. De Simone-Turner. Ed. Az (Serie de Plata)
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 1
Análisis Matemático
2014
Unidad n°1: Funciones Reales
Contenidos de la unidad:
Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica, trigonométricas,
por partes) a partir de su gráfico: dominio, imagen, intersección con los ejes cartesianos,
intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos, mínimos, intervalos de concavidad,
intervalos de positividad y negatividad; puntos de inflexión.
Introducción:
“Las funciones desempeñan en la actualidad un papel importante en las aplicaciones de la
matemática a otras ciencias.
El término “función” (del latín functio, acto por realizar) lo utilizó por primera vez Gottfried
Leibniz en 1694, referido a curvas. Un siglo más tarde, Leonbard Euler veía una función como
una expresión formada por constantes y variables. Fue él quien puso de moda el símbolo f(x),
introducido por Alexis Clairaut en 1734. La definición hoy aceptada la incorporó Gustav
DIrichlet a mediados del siglo XIX.
El concepto matemático de función formaliza la idea de asignación, tan frecuente en nuestra
experiencia cotidiana: asignamos a cada persona su edad, a cada círculo su área, a cada
número su cuadrado, a cada mes su producción…Todas ellas atribuyen un número a elementos
de muy distintas categorías.
La faceta fundamental de la investigación científica consiste en poner en relación diversos
tipos de fenómenos que pueden ser plasmados en una fórmula y hacer predicciones con ellas.
Es así como el físico sabe lo que sucederá al lanzar una piedra, o el médico lo que ocurrirá si
hace descender el nivel de glucosa en la sangre de un paciente.”(1)
Para poder comprender más acerca del concepto de función y sus elementos, vamos a resolver
algunos problemas.
Problema 1
Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia
de una radio en una ciudad. El porcentaje se
refiere a toda la población del lugar de 14 años o
más.
a. ¿A qué hora hubo más audiencia?
b. ¿Cuál es el período de menor audiencia?
¿por qué?
c. Identifica las variables que se relacionan
Problema 2
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 2
Análisis Matemático
2014
Los teléfonos actuales tienen asignados a sus teclas letras y números, por lo que a muchas
empresas que contratan el servicio de 0800 les asignan números fáciles de memorizar para sus
clientes. Así, por ejemplo una escuela podría tener el 08003728352, que se corresponde con el
0800ESCUELA.
a. ¿Qué números habría que marcar para comunicarse con el 0800HELADOS?
b. ¿A qué palabra corresponderá el 08001843367?
c. Identifica las variables que se relacionan
En cada problema se relacionaron dos variables, por ejemplo: porcentaje de audiencia y hora
del día. En este caso decimos que la hora del día es la variable independiente y el porcentaje
de audiencia la variable dependiente (¿por qué reciben estos nombres?)
DEFINICIÓN 1: Una relación entre dos variables es una FUNCION si a cada valor de la
variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.
En funciones dadas por fórmulas se suele utilizar la siguiente notación:
f(x)=y
x e y son variables (¿por qué?).
x es la variable independiente e y la variable dependiente
Observación: los nombres de las variables (x e y) o el nombre de la función (f) pueden variar
Actividad: dadas las siguientes relaciones dadas por fórmula decidir cuáles de ellas
corresponden a funciones y cuáles no. Justifica tú respuesta
a.
b.
c.
d.
+3
DEFINICION 2: El DOMINIO de una función es el conjunto de todos los valores que puede
tomar la variable independiente.
Se denota Dom f o Df
DEFINICION 3: La IMAGEN de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la
variable dependiente. Se denota Im f o If
Ambos son imagen de x
f(x)=y
Como se vio en la actividad anterior las relaciones de los incisos a y b nos son funciones; sin
embargo podemos restringir el domino de cada una de ellas eliminando valores para que
verifiquen las condiciones necesarias para ser función. Por ejemplo:
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 3
Análisis Matemático
Para que la relación
2014
sea función, basta con eliminar el valor x=0 del dominio; ya que
la división por cero no existe. Luego el dominio sería:
O lo que es lo mismo
También puede escribirse en forma de intervalo:
Restricciones al Dominio:
Las restricciones más comunes son:
-
Los denominadores: deben ser distintos de cero
Las raíces de índice par: el radicando debe ser mayor o igual a cero
Los logaritmos: el argumento debe ser mayor que cero
La tangente: la tangente de 90° y 270°, entre otras, no existe
Actividad:
Determinar el dominio de las siguientes relaciones para que sea función
e. f(x)=
a.
b.
f(x)=3.x+1
f.
f(x)= x.
c. f(x)=
g. f(x)=
d.
h.
f(x)=
DEFINICIÓN 4:
Los CEROS O RAÍCES de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero.
Para hallar los ceros de una función debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación.
Los valores de la VI que verifican la ecuación son los ceros o raíces de la función.
Ejemplo:
Hallar las raíces de la función
Estamos buscando los valores de x para los cuales y vale cero, por lo tanto simbólicamente
escribimos
Si resuelven la ecuación pueden verificar que x=2 y x=-2 son las raíces de la ecuación
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 4
Análisis Matemático
2014
Ampliación del análisis de una función de dominio real
Hasta ahora hemos visto que cuando se nos pide que analicemos una función definimos el
dominio; la imagen; raíces y ordenada al origen, pero analizar una función implica observar
otros aspectos además de los mencionados. En esta sección definiremos y
ejemplificaremos otros aspectos que deberán ser tenidos en cuenta al analizar una
función.
DEFINICION 5: Intervalos de crecimiento
Un intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a
mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores de la
variable dependiente.
Simbólicamente escribimos:
DEFINICION 6: Intervalos de decrecimiento
Un intervalo de decrecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual
a mayores valores de la variable independiente le corresponde menores valores de la
variable dependiente. En símbolos:
Para comprender estos conceptos resolveremos el siguiente problema:
La siguiente gráfica nos muestra la temperatura de un radiador desde que se enciende la
calefacción (8 h) hasta 14 horas más tarde.
a) Calcula el aumento de temperatura
por hora entre las 8 h y las 10 h. ¿Es el
mismo entre las 10 h y las 12 h?
b) ¿Cuál es el dominio de esta
función?
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 5
Análisis Matemático
2014
c) Di en qué intervalo es decreciente la función.
DEFINICION 7: Máximos y mínimos absoluto
La función f alcanza un MÁXIMO ABSOLUTO en el valor a del dominio si para todo x
perteneciente al mismo, x≠a, la imagen de x es menor que la imagen de a. Simbólicamente
escribimos:
La función f alcanza un MINIMO ABSOLUTO en el valor a del dominio si para todo x
perteneciente al mismo, x≠ la imagen de x es mayor que la imagen de . Simbólicamente
escribimos:
-------------------------------------
--------------------------------------------
DEFINICION 8: Máximos y mínimos relativos
La función f alcanza un MÁXIMO RELATIVO en
si existe un intervalo que contiene a
tal que para todo x perteneciente a dicho intervalo, x≠a, la imagen de x es menor que la
imagen de a.
Simbólicamente escribimos:
La función f alcanza un MINIMO RELATIVO en
si existe un intervalo que contiene a
tal que para todo x perteneciente a dicho intervalo, x≠a, la imagen de x es mayor que la
imagen de a. Simbólicamente escribimos:
En el problema anterior se puede observar que en x=14 la temperatura alcanza su valor
máximo y es el único que puede observarse; luego x=14 determina un máximo absoluto.
Sin embargo los valores x=8 y x=22 determinan y=10°C e y=17°C respectivamente, cada uno
de ellos es un mínimo relativo. Como x=8 determina el menor valor de y en toda la imagen de
la función se dice que x=8 determina un mínimo absoluto.
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 6
Análisis Matemático
2014
Actividad: determina los máximos y mínimos relativos y absolutos del Problema 1 (página 1)
Conjuntos de positividad y negatividad
DEFINICION 9: El CONJUNTO DE POSITIVIDAD (C+) de una función es el subconjunto del
dominio cuyas imágenes son números positivos
En símbolos:
DEFINICION 10: El CONJUNTO DE NEGATIVIDAD (C-) de una función es el subconjunto del
dominio cuyas imágenes son números negativos
En símbolos:
Actividad: Determina los intervalos de positividad y negatividad en el siguiente gráfico
Corrimientos:
Actividad: Responde a las siguientes situaciones problemáticas
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 7
Análisis Matemático
1.
2014
Una aerolínea registró la altura a la que vuela un avión que parte de un aeropuerto
ubicado a nivel del mar, durante un viaje. Lo representaron de la siguiente manera:
a. Si el avión parte de un aeropuerto que está a 1000m de altura respecto del nivel del
mar y realiza un viaje en las mismas condiciones que el anterior, ¿cómo será el gráfico
de la función que vincula su altura respecto del nivel del mar con el tiempo de viaje?
b. ¿cómo será el gráfico de otro avión desde el nivel del mar y realiza un viaje en las
mismas condiciones pero que parte20 minutos más tarde?
2.
Un corredor está recorriendo una pista circular. El siguiente gráfico representa la
distancia hasta la largada en función del tiempo.
a.
¿Cómo será el gráfico de otro corredor que está recorriendo la misma pista
pero lo hace en la mitad del tiempo?
b.
Compara ambos gráficos
Conclusiones de los problemas anteriores:
- El gráfico de f(x-a) es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia la derecha sobre el
eje x
-
El gráfico de f(x)+a es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia arriba sobre el eje y
-
El gráfico de f(ax) es el gráfico de f(x) “afinado ” o “ensanchado” a veces según sea a
mayor o menor que 1
f(x-a); f(x)+a y f(x)+a se llaman corrimientos de f(x)
Actividad: Indica todos los corrimientos posibles para f(x)
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 8
Análisis Matemático
2014
Observación: El objetivo de esta unidad es que puedas graficar a partir de los corrimientos de
una determinada función para luego realizar un análisis completo de ella.
Funciones polinómicas y racionales
Funciones polinómicas
Se denomina función polinómica a las funciones cuya fórmula es un polinomio de
grado n. Su fórmula general es la siguiente:
Toda función polinómica tiene como dominio al conjunto de los números reales (¿Por qué?).
La imagen varía de acuerdo a la función de que se trate
En este apartado estudiaremos solo aquellas funciones polinómicas de la forma
En años anteriores has estudiado funciones polinómicas con este formato, fueron los casos en
donde n=0; 1y 2
 Si n=o
, es la denominada función
constante
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 9
Análisis Matemático
 Si n=1
2014
. Función
Lineal
Actividad: Indicar todos los posibles corrimientos de f(x)=x
 Si n=2
Función Cuadrática
Actividad:
Hallar el vértice de las siguientes funciones, indicar cuáles son las traslaciones respecto
de la función y=x2.
¿Cuál es el eje de simetría en cada caso?
Grafica cada una de ellas
a. y=2(x-3)2+5
b. y= -2 (x+2)2-5
c. y=2(x+2)2-5
d. y=2(x-2)2
Otras funciones polinómicas:
Función cúbica:
 Si n=3
Función Cúbica
Fórmula general a analizar:
Actividad:
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 10
Análisis Matemático
2014
1. Asígnale valores a los diferentes parámetros y grafica utilizando GRAPHMATICA.
Arma una tabla de valores que indique las características que deben tener los parámetros para
obtener los diferentes corrimientos.
Ejemplos:
Izquierda: se analiza la función
Derecha:
se
analiza
la
función
2.
Grafica, en tú carpeta, las siguientes funciones y realiza un análisis completo de
ellas
3
3
a. f(x)=-5x
d. i(x)=-3x
3
3
b. g(x)=x +3
e. k(x)=2(x-1) +3
3
c. h(x)=(x-1)
Graficar aproximadamente y dar la fórmula de las siguientes funciones cúbicas, a
partir de f(x)=x3
a.
Se desplaza 3 unidades hacia arriba y ½ unidad hacia la izquierda
b.
Se desplaza 5/2 hacia abajo
4. Observa qué sucede cuando aumentamos el valor de n en
. Grafica en
3.
GRAPHMATICA
Funciones racionales:
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 11
Análisis Matemático
Son funciones de la forma
2014
, donde P(x) y Q(x) son polinomios, x es la variable
independiente y Q(x) debe ser distinto de cero (¿por qué?).
En esta sección nos interesa analizar la familia de las funciones de la forma:
a.
b.
Función hipérbola:
Completa la siguiente tabla:
Responde:
a- ¿Qué sucede cuando x toma valores positivos cada vez más
grandes?
b- ¿y cuándo x toma valores cercanos a cero?
c- Analiza el comportamiento de f para valores negativos
(“grandes” y cercanos a cero)
d- ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función?
e- Realiza
un
análisis
X
1
10
100
1000
1/10
1/100
1/1000
f(x)=1/x
completo
Asíntotas:
Definición 11: ASINTOTA horizontal
Una recta horizontal (y=k) es una asíntota horizontal de una función f(x) si a medida que los
valores de x crecen o decrecen indefinidamente, f(x) se acerca a k
En símbolos:
Definición 12: ASINTOTA VERTICAL
Una recta vertical x=h se llama asíntota vertical de la función f(x) si k Dom f y a medida que x
toma valores cada vez más cercanos a h, f(x) crece o decrece indefinidamente
En símbolos:
Actividad: ¿cuáles son las asíntotas de la función f(x)=1/x?
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 12
Análisis Matemático
2014
Ampliaremos el estudio de este concepto en la unidad N°3; en esta unidad nos abocaremos
solo a la determinación de asíntotas verticales y horizontales a partir de los parámetros
(corrimientos) que afecten a la función
y
Fórmula general:

modifica la curvatura de la función, cuanto mayor sea , menor será curvatura. Si
es menor que cero la gráfica cambia de cuadrantes

determina el desplazamiento a derecha o izquierda según el signo de .
Si
la gráfica se desplaza hacia la izquierda
 C determina los desplazamientos hacia arriba o abajo
Observación: visita la siguiente página
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html
Para comprender el comportamiento y una de las tantas aplicaciones de esta función vamos a
resolver un pequeño problema
Un club dispone de $50000 mensuales para el sueldo de sus deportistas
a. Si el club tiene 100 deportistas y cobran todos lo mismo, ¿cuánto cobra cada uno?
Arma una tabla de valores
b. Encuentra una fórmula que permita calcular lo que cobra cada uno en función de la
cantidad de deportistas.
c. ¿Cuáles son las variables que intervienen en esta relación?
d. ¿qué pasa si la cantidad de deportistas aumenta?
e. Si de lo que cobra cada deportista debe pagar $20 en impuestos, ¿cuál es el número de
deportistas que debe tener el club para que cada uno cobre por lo menos $300?
Actividad: grafica y analiza las siguientes funciones
1.
4.
2.
5.
3.
Función
Es una función PAR (se llama así cuando el “eje y” actúa como espejo de la gráfica de la
función).
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 13
Análisis Matemático
2014
Presenta como asíntotas a x=0 e y=0 (explica por qué sucede esto)
Dom f= R-{0}
Im f= {x|x ϵ (0;+∞)}= {x|x>0}
Fórmula general:
Actividad:
A partir de la fórmula general indica todos los corrimientos posibles de f, grafica y
analiza
Función Módulo o Valor Absoluto
Definición “geométrica”: se puede definir el valor absoluto de un número como su distancia al
cero
Definición “algebraica”:
x , si x≥0
|x|=
-x, si x≤0
Observación: Para comprender mejor este concepto visita la siguiente página:
http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Valor%20Absoluto.htm
La función módulo o valor absoluto es de la forma
Gráfica de f(x)=|x|:
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 14
Análisis Matemático
2014
Actividad: arma una tabla de valores para corroborar la gráfica
Ejemplo:
Dom f= R
Im f= {x|x ϵ [-4;+∞)}= {x|x≥-4}
Vértice: al igual que en la función
cuadrática se encuentra en (h;k).
Vértice: (1;-4)
Para calcular las raíces de una función V.A. se procede de la siguiente manera:
1° igualo la función a cero y comienzo a resolver la ecuación
sumando 4 y luego divido por 2
, la expresión queda de la siguiente manera:
, se lee así: “la distancia de un número a 1 es 2”
Para resolver esta última ecuación se aplica la siguiente propiedad:
Propiedad: Sea k  R tal que k > 0,  a  k  a  k ó a  k
Luego,
(x-1)=2
o
(x-1)=-2
Luego x=3 o x=-1 y por lo tanto las raíces de la función se ubican en los puntos (3;0) y (-1;0),
como se puede apreciar en la gráfica
Actividad:
1.
Completa el análisis de la función trabajada en el ejemplo
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 15
Análisis Matemático
2.
2014
Grafica y analiza 5 corrimientos posibles de la función valor absoluto
Funciones definidas por partes
En matemáticas, una función definida por partes (también conocida como función a trozos), es
una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor
de la variable independiente.
La función valor absoluto es un ejemplo de este tipo de funciones
Ejemplos:
si x≤-2
; si -2<x≤1
k(x)=
Actividad:
Grafica las siguientes funciones definidas por partes
1.
2.
3.
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 16
Análisis Matemático
2014
4.
si x
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
Página 17