Geometr´ıa Proyectiva

Geometrı́a Proyectiva J.M. Aroca M.J. Fernández Bermejo 11 de abril de 2009 2 Índice general 1. Introducción a la geometrı́a 1.1. El objeto de la geometrı́a . . . . . . 1.2. Los espacios abstractos . . . . . . . . 1.3. La forma del espacio . . . . . . . . . 1.4. La geometrı́a proyectiva . . . . . . . 1.5. Los teoremas de Desargues y Pappus 1.6. Introducción histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 12 18 26 28 36 2. Retı́culos. Espacios proyectivos generalizados 2.1. Retı́culos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Dimensión en retı́culos modulares . . . . . . . . 2.3. Isomorfismos de retı́culos . . . . . . . . . . . . 2.4. Espacios proyectivos generalizados . . . . . . . 2.5. Colineaciones y proyectividades. Homologı́as . . 2.6. Cuerpo asociado a un espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 51 55 58 72 80 3. Espacio proyectivo 3.1. Dependencia lineal. Subespacios . . . . . . . . . 3.2. Referencias proyectivas. Coordenadas . . . . . . 3.3. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Inmersión del espacio afı́n en el proyectivo . . . 3.6. Apéndice: Topologı́a de los espacios proyectivos 3.6.1. Esferas y espacios proyectivos . . . . . . 3.6.2. Topologı́a del plano proyectivo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 95 100 104 110 122 124 127 . . . . . 131 131 133 141 145 152 4. Razón doble. Cuaternas armónicas 4.1. Razón simple y coordenadas afines . . 4.2. Razón doble de cuatro puntos . . . . 4.3. Razón doble y coordenadas proyectivas 4.4. Cuaternas armónicas . . . . . . . . . . 4.5. Redes de racionalidad . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5. Proyectividades 5.1. Rectas de isomorfismos semilineales . 5.2. Proyectividades de Poncelet . . . . . 5.3. Colineaciones . . . . . . . . . . . . . 5.4. Afinidades y Proyectividades . . . . ÍNDICE GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 156 162 169 178 6. Clasificación de proyectividades 6.1. Equivalencia lineal de endomorfismos . . . . . . . 6.2. Grupo lineal de un cuerpo finito . . . . . . . . . . 6.3. El grupo general proyectivo . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Proyectividades de P1K y P2K . . . . . . . . 6.3.2. Elementos invariantes de una proyectividad 6.4. Homologı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 181 187 190 191 195 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Cuádricas proyectivas 7.1. Geometrı́a de las cuádricas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Cuádricas y formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Ortogonalidad y polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Correlaciones y polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Clasificación de las cuádricas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Cuádricas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Homogeneidad de las cuádricas. Teorema de Witt . . . . . 7.4. Cuádricas afines. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Cuádricas con centro y sin centro . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Clasificación de las cuádricas afines (K algebraicamente cerrado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Clasificación de las cuádricas afines (K = R) . . . . . . . 205 205 205 210 220 224 230 235 241 243 245 246 Capı́tulo 1 Introducción a la geometrı́a Alejáos de todas las curiosidades apasionantes. Sobre todo no os dejéis embrujar por los diabólicos atractivos de la geometrı́a: nada hará tanto como ellos para extinguir en vosotros el espı́ritu interior de gracia y recogimiento. Fenelon. Cartas espirituales En esta introducción presentaremos brevemente algunas reflexiones sobre el objeto y naturaleza de la geometrı́a que nos conducirán a la razón de ser de la geometrı́a proyectiva. No pretendemos escribir ni una historia de la geometrı́a ni un tratado filosófico sobre el concepto de espacio, intentamos simplemente mostrar que hay una pregunta básica: ¿que es el espacio?, que no solo es legı́timo hacerse, sino que se han hecho a lo largo de la historia numerosos matemáticos fı́sicos y filósofos dando respuestas, a veces enormemente complejas, que han conducido a un mejor conocimiento del universo o al menos de la forma en que lo percibimos. Y aquı́ entramos en otra pregunta igualmente básica y legı́tima que la anterior: ¿Las matemáticas estudian objetos existentes o son una mera especulación?. ¿Los matemáticos descubrimos o inventamos?. 1.1. El objeto de la geometrı́a En un artı́culo sobre los principios de la geometrı́a publicado en la Enciclopedia de las Matemáticas [14], F. Enrı́ques señalaba que el objetivo de la 5 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA geometrı́a es el estudio del espacio, pero distinguı́a tres espacios distintos: 1. El espacio intuitivo habitual. Es el constituido por objetos ideales, puntos rectas planos etc. tal como los concibe nuestra imaginación. Dichos objetos han de ser definidos y su comportamiento ha de ser regulado por medio de unas reglas o axiomas. Una vez hecho esto, el método de la geometrı́a es esencialmente deductivo, limitándose a aplicar las reglas de la lógica para obtener propiedades de esos objetos, propiedades que son consecuencias más o menos difı́ciles de obtener de las definiciones y axiomas, pero que no corresponden necesariamente a hechos observables. 2. El espacio fı́sico. Constituido por objetos reales cuyas propiedades nos son conocidas por experiencia. La geometrı́a obtiene por un proceso deductivo nuevas propiedades que se pueden comprobar después experimentalmente, y es capaz de justificar hechos observados. 3. Los espacios abstractos. Es decir espacios más generales que podemos obtener de los espacios fı́sicos, por procesos de abstracción o generalización, los objetos que conforman estos espacios no son idealización de objetos reales, son objetos inventados y en principio su estudio tiene solo interés por si mismo. Resulta imposible separar con claridad las tres categorı́as, lo más que podemos hacer es apreciar si una determinada manera de concebir el espacio tiene más de una que de otra. En principio el primer objetivo de las geometrı́as es dar un modelo más o menos ideal del mundo fı́sico y el segundo que sus resultados sean aplicables, la distancia entre el objeto fı́sico y su modelo marca el grado de generalidad de la geometrı́a, pero cuanto más quiere abarcar una geometrı́a menos puede decir, ya que al aumentar el número de objetos a considerar disminuyen sus propiedades comunes, ası́ tenemos el riesgo de construir una teorı́a tan general que no tiene casos particulares (G. Ancoechea). Desde un punto de vista lógico, es razonable pensar que los primeros modelos de la geometrı́a corresponden a descripciones del espacio fı́sico, luego se deberı́a pasar por una fase de idealización para concluir con un proceso de abstracción. Sin embargo el origen de la geometrı́a como ciencia se sitúa generalmente después de un proceso sistemático de idealización, el de Euclides, de modo que comenzaremos por el primero de los espacios, es decir el espacio descrito por una serie de definiciones y axiomas, irreprochables desde un punto de vista lógico, pero que no corresponden exactamente a objetos reales aunque permiten crear una ciencia, la geometrı́a, cuya existencia real nadie puede discutir. El que los objetos ideales de la geometrı́a sean próximos a la realidad no es necesariamente una ventaja, por ejemplo para P. Abellanas la semejanza entre los objetos definidos y los reales solo puede enturbiar el razonamiento al mezclarlo con la intuición, ası́ refiriéndose a los procesos de fundamentación de la matemática del pasado siglo escribı́a: La nueva fundamentación de la matemática se apoya en un principio bien simple que se puede enunciar ası́: para poder demostrar con rigor las proposiciones es necesario vaciar de contenido a los conceptos primitivos, limitándonos 1.1. EL OBJETO DE LA GEOMETRÍA 7 a establecer el mecanismo lógico permitido y las relaciones fundamentales entre dichos conceptos.(P. Abellanas [2]) Esta era también la idea de D. Hilbert, que, aunque en sus Grundlagen [24], se referı́a a los axiomas como hechos fundamentales de nuestra intuición, posteriormente en respuesta a una carta de G. Frege [16] en la que éste decı́a que los axiomas proceden de una fuente que no es lógica y a la que llamaba intuición del espacio, Hilbert afirmaba: Desde que empecé a pensar, a escribir y a dar cursos sobre estas materias, digo siempre lo contrario: si axiomas arbitrariamente propuestos no se contradicen ni lo hacen tampoco sus consecuencias, son ciertos, y las cosas definidas por ellos existen. Estos son para mi los criterios de verdad y existencia. Por su parte en [35] H. Poincaré escribı́a : Los axiomas no son ni juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales, son convenios. Nuestra elección entre todos los convenios posibles se hace en base a hechos experimentales; pero es libre y está limitada solamente por la necesidad de evitar contradicciones. De este modo los postulados pueden resultar rigurosamente ciertos aunque las leyes experimentales que hayan sugerido su adopción sean solo aproximadas. En otros términos, los axiomas de la geometrı́a son solo definiciones enmascaradas. La cuestión de la veracidad de la geometrı́a no tiene sentido También se sitúa en esta lı́nea un libro delicioso publicado en 1923 [18]. Su autor, un geómetra olvidado, el Vizconde de Güell, se expresaba de modo más apasionado: El espacio del geómetra no existe, no tiene realidad fı́sica, ni necesita para nada someterse a las condiciones que dimanan de los objetos reales en movimiento o en reposo. Es un espacio ı́ntegramente ideal, espacio pensado, espacio inventado, espacio construido por el entendimiento abstracto y a cuyas propiedades no atañen nada las exigencias que puedan derivarse de la realidad. Nadie puede negarle al intelecto humano el perfecto derecho a construir esa noción, a precisarla y a determinarla idealmente según las leyes rigurosas del pensamiento lógico. El paradigma de la geometrı́a como estudio de los espacios ideales es Euclides, con sus Elementos de geometrı́a [22]. Para P. Abellanas, la geometrı́a, como toda entidad dotada de vida propia, tiene un código genético y una historia, y su porvenir es consecuencia de ambos. Los genes de la geometrı́a son los Elementos y su historia es una espiral que retorna periódicamente a ellos. El primer libro de los elementos comienza con veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas. Las definiciones son a veces simples descripciones, no demasiado precisas, de conceptos primitivos ası́ por ejemplo: Un punto es un objeto indivisible Una lı́nea es una longitud sin anchura Una superficie es un objeto que solo tiene longitud y anchura Para Euclides los limites de las lı́neas son puntos y los de las superficies lı́neas. De entre las lı́neas destaca las lı́neas rectas y las circunferencias, definiéndolas 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA de un modo a primera vista impreciso y alejado de nuestra forma actual de expresarnos, pero difı́cilmente mejorable: La recta es la lı́nea que se extiende igualmente respecto a todos sus puntos (es decir la lı́nea que es dividida por cualquiera de sus puntos en dos partes iguales). El cı́rculo es una figura plana encerrada por una lı́nea tal que, todas las rectas que pasan por un determinado punto (el centro), que se encuentra dentro de la figura, la cortan en partes iguales entre si (ver figura 1.1.) P x P P A A A B B B Figura 1.1: Cualquiera de sus puntos divide a la recta en dos partes iguales, y cualquier diámetro lo hace con la circunferencia No vamos a entrar en todas las definiciones de los Elementos, que no son sino las de los objetos comunes de la geometrı́a métrica. Señalemos únicamente que Euclides no define ni utiliza los grados como medida de ángulos, y define el ángulo recto como el ángulo formado por una recta y otra a la que corta de modo que los ángulos que se forman a ambos lados son iguales. Resulta interesante enunciar los axiomas (hechos comunes) y postulados tomados de la versión de los Elementos hecha por Heath [22] Axiomas (1).- Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sı́. (2).- Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales. (3).- Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales. (4).- Las cosas que coinciden una con la otra son iguales entre sı́. (5).- El todo es mayor que la parte. Postulados (1).- Se puede trazar una única recta de cualquier punto a cualquier punto. (2).- Se puede prolongar un segmento de recta continuamente en lı́nea recta. (3).- Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y radio. (4).- Todos los ángulos rectos son iguales entre sı́. (5).- Si una recta corta a otras dos, contenidas en un mismo plano, de modo que la suma de los ángulos interiores situados a un mismo lado es menor que 1.1. EL OBJETO DE LA GEOMETRÍA 9 dos rectos, las dos rectas, prolongadas suficientemente, se cortan en el lado en que la suma es inferior a dos rectos. Como puede apreciarse, los axiomas expresan verdades que dependen únicamente de los conceptos que figuran en su enunciado, es decir son lo que Kant llamaba juicios analı́ticos, y se refieren a un dominio más amplio que la geometrı́a, el de la lógica. Los postulados afirman la posibilidad de efectuar determinadas construcciones primitivas, son de naturaleza puramente geométrica, y añaden algo a los conceptos que figuran en su enunciado, son juicios sintéticos en la terminologı́a de Kant. De entre los postulados del primer libro de los Elementos, el que ha tenido más repercusión es el quinto postulado, que se ha hecho célebre con un enunciado ligeramente diferente al inicialmente propuesto por Euclides, aunque equivalente a él. Si se definen las lı́neas paralelas como aquellas que prolongadas indefinidamente no se cortan (definición 23 de Euclides), el quinto postulado es equivalente a la afirmación: por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una paralela a ella. También es equivalente a la afirmación de que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es de dos rectos. Muchos geómetras anteriores a Euclides admitı́an el quinto postulado, pero otros, tanto anteriores como posteriores, pensaron que deberı́a ser un teorema, es decir que podı́a ser demostrado como consecuencia de los restantes axiomas y postulados. Fueron necesarios dos mil años para llegar a la conclusión de que el quinto postulado es realmente independiente de los restantes axiomas y postulados de la geometrı́a euclı́dea. Los libros de Harsthorne [21] o Gray [19] contienen buenos estudios sobre el origen y desarrollo de las geometrı́as no euclı́deas, es decir de aquellas en las que no se verifica el quinto postulado, y algunos de lo artı́culos fundacionales de esta rama de la geometrı́a se encuentran en el libro de Stilwell [41]. Como veremos más tarde, estas geometrı́as abren una de las vı́as para la aparición de espacios abstractos. La axiomática de Euclides no es única. En vez de intentar que nuestras definiciones describan objetos reales de modo más o menos aproximado, podemos renunciar a ello y aplicar un proceso de abstracción en lugar de la idealización; en este proceso los objetos básicos no se presentan como modelos de objetos fı́sicos, sino como conjuntos que verifican unas ciertas propiedades. Ası́ podemos describir algunos espacios de un modo muy simple: El espacio será simplemente un conjunto, a cuyos elementos se llamará puntos, y las rectas y planos serán ahora subconjuntos del espacio que verificaran, por ejemplo, los postulados siguientes (cuyo origen es indudablemente fruto de un proceso de observación de rectas y planos como objetos fı́sicos, pero que son lo bastante poco exigentes como para que los cumplan objetos muy generales) : 1. Dos puntos distintos pertenecen a una recta y solo a una. 2. Tres puntos no situados en una misma recta, pertenecen a un plano y a uno solo. 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA 3. La recta determinada por dos puntos de un plano está contenida en el plano. 4. Dos planos que tienen un punto común, necesariamente tienen un segundo punto común. El ejemplo más simple de un espacio que verifica estos postulados, es el conjunto de cuatro puntos: E3 = {A, B, C, D} con las rectas: R = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}} y los planos: P = {{A, B, C}, {A, B, D}, {A, C, D}, {B, C, D}} Ası́ podemos ver a qué extremos conduce la sustitución de un objeto por su modelo ideal; las condiciones que se exigen al modelo (axiomas) no son necesariamente las que describen el objeto modelizado y solo a este, se exigen solamente las condiciones mı́nimas que permiten manejar el modelo. De este modo la teorı́a elaborada es aplicable no solo a los objetos de partida, sino a otros que verifiquen las condiciones iniciales, y como señalábamos al principio, cuanto menores sean las exigencias mayor será el numero de objetos que las cumplan, y más lejos estarán de lo que nuestra intuición reconoce como geometrı́a; este proceso de generalización algunas veces es estéril, pero otras lleva al desarrollo de sistemas formales cuyas aplicaciones se descubren con posterioridad a su elaboración, de modo que, como dice P. Griffiths: Uno de los misterios profundos de la vida es la forma en la cual la mejor matemática pura, interesante por sı́ misma, inexplicablemente e impredeciblemente resulta ser útil. Y en el caso de la geometrı́a, esta utilidad no es privativa de la geometrı́a construida con un sistema de axiomas proveniente de nuestra intuición del espacio, también ramas tan alejadas de la intuición como las geometrı́as finitas, han resultado tener interesantes aplicaciones a problemas prácticos como es el de codificación. Hemos elegido la geometrı́a de Euclides como ejemplo de geometrı́a del espacio ideal. Para presentar la geometrı́a como ciencia del mundo fı́sico el mejor ejemplo es probablemente la geometrı́a de Hemholtz (1821-1894). Fı́sico, fisiólogo y especialista en óptica, Hemholtz se sitúa en una lı́nea de identificación de la geometrı́a con la descripción del mundo fı́sico, que comienza en Galileo y Newton. Hemholtz considera la geometrı́a como el lenguaje exacto de la naturaleza, como una teorı́a que, gracias al carácter abstracto y lógico de sus conceptos y métodos, proporciona la garantı́a de una aplicabilidad efectiva de las matemáticas al estudio del mundo real. (Texto recogido en [7]). El trabajo de Hemholtz es coetáneo e independiente del de B. Riemann, que afronta el problema de describir el espacio fı́sico desde una óptica puramente 1.1. EL OBJETO DE LA GEOMETRÍA 11 matemática, es decir desde el punto de vista que antes hemos llamado ideal, pero tratando de describir la realidad, por una parte de un modo más preciso que Euclides y por otra de modo que abarque también la posibilidad de un universo no euclı́deo. Son muy significativos los tı́tulos de las publicaciones que ambos dedican al problema del espacio, la de Hemholtz se titula :Sobre los hechos que están en los fundamentos de la geometrı́a [23], mientras que el tı́tulo de la de Riemann [38] es: Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometrı́a. Según Hemholtz resulta claro que percibimos cosas; además el origen de nuestras sensaciones es independiente de nuestra actividad mental y exterior a nosotros. Nuestras percepciones pueden originarse en algo que simplemente está, la materia, o en algo que actúa sobre nosotros o produce cambios, las fuerzas. El espacio no es más que una relación entre los distintos objetos y el movimiento es el cambio de esta relación. El espacio comprende todos los cambios que pueden producirse en la materia, es decir los movimientos. Ası́ Hemholtz introduce en la geometrı́a las transformaciones, y también introduce las funciones, ligadas a los grados de libertad (dimensión). Para Hemholtz: El espacio se extiende hasta el infinito y es infinitamente divisible. Se admiten infinitas determinaciones del espacio diferenciadas por la dimensión; en un espacio de dimensión n se puede fijar la presencia de un punto material mediante n cantidades independientes (coordenadas) que varı́an de forma continua (diferenciable) al moverse el punto. En el espacio hay subespacios de todas las dimensiones, cada subespacio de dimensión t esta dado por n − t ecuaciones, la lı́nea es el subespacio de dimensión uno. La longitud de la lı́nea más corta entre dos puntos se llama distancia; si la distancia entre dos puntos A y B es a y la distancia entre B y C es b, la distancia entre A y C no puede ser menor que a − b ni mayor que a + b. Existen en el espacio sistemas de puntos y solidos rı́gidos, que se pueden desplazar libremente por él. Si un cuerpo material se desplaza, todas sus partes mantienen inalterada su posición relativa. Si dos segmentos tienen la misma longitud se puede desplazar uno de ellos hasta hacerlo coincidir con el otro. Si un cuerpo se desplaza, las coordenadas de sus puntos varı́an continuamente. El planteamiento de Hemholtz presenta algunas lagunas lógicas, y fue discutido por muchos de sus coetáneos, pero desde el punto de vista de hoy presenta claras novedades respecto a su época; la primera es la introducción de los movimiento como elemento fundamental de la geometrı́a, la segunda la admisión de la existencia fı́sica de los espacios de dimensión arbitraria y la tercera, aunque no es el primero que propone la idea, es la consideración de la métrica como un 12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA objeto local, ya que la distancia se presenta como solución de un problema variacional (un problema de mı́nima longitud de las curvas que unen dos puntos). Esa es precisamente la idea de Riemann, para medir longitudes de curvas basta con medir vectores en cada espacio tangente, y que los coeficientes de la métrica varı́en diferenciablemente con el punto. A la métrica de cada espacio tangente se le exige que verifique el teorema de Pitágoras, es decir que sea definida positiva. Un proceso de integración permite medir curvas, y la distancia, como hemos dicho, es el mı́nimo de las longitudes de las curvas que unen dos puntos. Ası́ las rectas son las lı́neas de mı́nima distancia, las geodésicas, y no hay problema para definirlas. En esencia el método de trabajo con los espacios abstractos es el mismo que usaba Gauss con las superficies, pero para dar el salto entre la geometrı́a de las superficies y la geometrı́a de los espacios abstractos, es decir encontrar la relación entre métrica y forma, todavı́a fue necesario algún tiempo más. La relación de la geometrı́a del mundo fı́sico con la geometrı́a ideal, o más precisamente la determinación de cuales de los resultados de la geometrı́a corresponden a hechos comprobables experimentalmente y cuales son simplemente definiciones, es el primer problema a resolver ya que: Las figuras de la geometrı́a son objetos ideales, a los que las figuras materiales del mundo real solo pueden aproximarse, sin verificar nunca plenamente las propiedades que las caracterizan. Además para comprobar experimentalmente la invariabilidad de la forma de un cuerpo, y la presencia en el mismo de rectas y planos, nos hace falta utilizar proposiciones relativas a ellas, de modo que se hace necesario encontrar una suerte de demostración experimental de estas proposiciones(Hemholtz) El mérito de este planteamiento es que, junto con las geometrı́as no euclı́deas de Lobatchewski y Bolyai, abre la puerta a las dos formas actuales de concebir el tercer objeto de la geometrı́a, los espacios abstractos. La primera se inicia en Riemann (1826-1866) como hemos dicho de modo simultáneo e independiente del trabajo de Hemholtz. Riemann se fija únicamente en las funciones que definen las coordenadas, el espacio para el era lo que hoy en dı́a se conoce por una variedad diferenciable riemanniana de curvatura nula [31]. La segunda se fija en los movimientos y alcanza su culminación en el Programa de Erlangen de Klein [29], para este, una geometrı́a es un conjunto junto con un grupo que actúa sobre él de modo transitivo, las propiedades geométricas son aquellas que son invariantes por la acción del grupo. La geometrı́a de Hemholtz encaja en este modelo; S. Lie caracterizó los grupos que corresponden en el contexto de Klein a los espacios fı́sicos de Hemholtz, y para ello desarrolló la teorı́a de los llamados hoy en dı́a grupos de Lie [17]. 1.2. Los espacios abstractos El modelo de la geometrı́a de Klein es el modelo abstracto más próximo a la Fı́sica, Yaglom [44] recoge un texto de Galileo que pone de manifiesto esta proximidad. En ese texto, demasiado largo para ser incluido aquı́, Galileo nos 1.2. LOS ESPACIOS ABSTRACTOS 13 sitúa en un barco con moscas, mariposas, un pez en una pecera, una botella que gotea en un plato etc., y nos hace observar el movimiento de los animales, la caı́da de la gota etc., con el barco quieto y luego con el barco desplazándose con un movimiento uniforme. No hay diferencia en la apreciación de los movimientos en ambos casos; es decir: los fenómenos observados son independientes de cambios de una referencia, a otra que se desplaza respecto a ella con movimiento uniforme y rectilı́neo (transformaciones de Galileo). Ası́, la mecánica clásica es una geometrı́a para el grupo de transformaciones de Galileo. También están en la Fı́sica algunas de las razones por las cuales,a pesar de su admitida independencia del mundo real, la geometrı́a se interesa en espacios de dimensión mayor que tres e incluso de dimensión infinita. Si lanzamos una barra al aire y tratamos de describir su movimiento, bastará describir el movimiento de sus extremos, llamémosles A y B. Uno, por ejemplo A, se mueve libremente es decir sus posiciones quedan parametrizadas por los puntos de R3 y para cada una de sus posiciones, B está situado en una esfera de centro A y radio la longitud de la barra. Por tanto las posiciones de la barra están en correspondencia con los puntos de un espacio de dimensión 5. El movimiento de la barra es una curva continua en ese espacio y las magnitudes fı́sicas asociadas al movimiento se pueden definir en términos geométricos sobre él. Si en vez de una barra tratamos con un sistema de n partı́culas, el espacio que parametriza sus posiciones (espacio de estados) seria R3n , lo que podemos observar (observables) son las funciones sobre ese espacio, funciones que forman un álgebra conmutativa, de esta forma el par (espacio de estados, observables) es decir (espacio, anillo de funciones) describe también el sistema mecánico. En la mecánica cuántica, los puntos materiales se substituyen por distribuciones de probabilidad, y el espacio de estados es el espacio de rayos de un espacio de Hilbert, los observables son operadores acotados en el espacio, y la estructura del conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert, es la de álgebra no conmutativa (álgebra de Von Neumann), ahora la estructura geométrica es más complicada y está ligada a un tipo de estructuras completamente distintas de las correspondientes a la mecánica clásica. Si queremos estudiar nuestro sistema fı́sico no solo globalmente sino también localmente, entramos en otra forma de espacio abstracto. Tenemos que considerar ahora todos los abiertos del espacio de estados y los anillos de observables en ellos, de esta forma se obtiene otro concepto de geometrı́a que vuelve al de Riemann. Ahora: una geometrı́a es un espacio topológico junto con un haz de funciones. Abstrayendo su origen y limitándonos a las geometrı́as diferencial o analı́tica real, exigiremos condiciones más precisas. Una geometrı́a es un par (X, F) donde: X es una variedad topológica de dimensión n, o lo que es lo mismo un espacio topológico separado localmente homeomorfo a Rn , es decir tal que existen: un recubrimiento abierto {Ui }i∈I de X, abiertos {Vi }i∈I de Rn , y homeomorfismos (cartas locales) φi : Ui ' Vi , ∀i ∈ I. F es un haz de funciones en X, es decir es una familia {F(U )}U ∈∆ (donde 14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ∆ es el conjunto de abiertos de X ) verificando las propiedades siguientes: 1. Cada F(U ) es un subanillo del anillo de funciones continuas sobre U con valores reales. 2. La familia es cerrada por restricciones, es decir si U, V ∈ ∆, U ⊂ V , F(U ) contiene a la restricción a U de toda función de F(V ). 3. La familia es cerrada por recolección es decir si {Ui }i∈I es un recubrimiento abierto de U y todas las restricciones de una función continua f : U → R a los abiertos Ui están en los F(Ui ), entonces f ∈ F(U ). 4. Las cartas locales inducen, por composición, isomorfismos locales del haz de funciones diferenciables sobre Rn en F En los espacios ası́ descritos aparecen dos elementos claramente diferenciados, el espacio base de la geometrı́a y el haz de funciones. El primero no es un espacio topológico arbitrario; ya que entre las condiciones impuestas está que el espacio construido es localmente isomorfo a un modelo y que esos isomorfismos locales pegan los modelos de una forma determinada. Esto impone ciertas restricciones a la estructura global del espacio; en la geometrı́a diferencial real el modelo local es el que ya hemos indicado, en la geometrı́a analı́tica compleja es Cn con las funciones analı́ticas, y en la algebraica, el espectro de un álgebra generada finitamente sobre un cuerpo (esquema afı́n). También se pueden elegir espacios convenientes para admitir la presencia de singularidades, o se pueden añadir más condiciones, una métrica, una estructura compleja, etc.. Cada uno de los dos elementos que intervienen en la geometrı́a, tiene un papel propio, aunque ambos no son completamente independientes, e incluso las condiciones impuestas pueden dar lugar a geometrı́as rı́gidas, esto es determinadas unı́vocamente por la topologı́a. Para entender el papel del espacio base podemos recurrir a un cuento escrito por Weeks [43]utilizando ambientes y personajes de Abbot [1]. Sus protagonistas son animales fabulosos, las planarias. Ellas y su mundo planilandia (flatland), son descritas ası́ por Abbot: Imaginaos una amplia hoja de papel en que lı́neas, rectas, triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y otras figuras, en vez de permanecer fijas en sus lugares, se movieran libremente por todas partes, sobre la superficie o más precisamente dentro de la superficie, sin la capacidad ni de poder alzarse por encima ni de poder hundirse por debajo de ella, muy parecidos a sombras, solo que consistentes y con los bordes luminosos, y poseeréis una noción bastante correcta de mi paı́s y de mis paisanos Weeks introduce la revolución en planilandia. Uno de sus habitantes, llamado C.C. (Cristóbal Colón, claro está), intenta convencer a sus paisanos de que habitan sobre una esfera. La noción de esfera es tan abstrusa para una planaria, como la de 3-esfera (que describiremos más adelante) para nosotros, de modo que la tarea de C.C. es realmente compleja. Afortunadamente tiene una idea genial; para demostrar a sus paisanos la veracidad de su teorı́a, saldrá de su pueblo caminando hacia el norte en lı́nea recta y aparecerá por el sur tras dar la vuelta a su universo. Felizmente su mundo es pequeño y completa la expedición 1.2. LOS ESPACIOS ABSTRACTOS 15 en poco tiempo. Pero a su regreso continua chocando con la incredulidad de sus paisanos que le hacen ver amablemente, que además de estar loco tiene una pierna más corta que otra y, creyendo andar en lı́nea recta, se ha movido en un circulo por la llanura. C.C. no se desanima y recurre a un nuevo experimento. Repetirá el viaje marcando el camino con una lı́nea roja, y luego hará un nuevo viaje saliendo por el este para regresar por el oeste. Ası́ midiendo los pasos caminados en este segundo viaje, si lo que sus paisanos dicen es cierto, la distancia desde el pueblo al punto en que encuentre la lı́nea roja, será distinta de la distancia recorrida desde este punto hasta llegar de nuevo al pueblo. Si, por el contrario, son iguales él es quien tiene razón. Completa la primera expedición e inicia la segunda y tras mucho caminar y antes de encontrar la lı́nea roja, ve ante si otro pueblo. Corre sorprendido a saludar a sus desconocidos habitantes y al acercarse se da cuenta de que está de nuevo en su punto de salida. Esta vez CC decide ingresar voluntariamente en el manicomio, por suerte, ya en la puerta, tuvo la suficiente intuición del espacio para comprender que habitaba sobre una rosquilla. La historia de C.C. habrı́a sido aun más difı́cil si planilandia hubiera sido una banda de Möbius, en este caso se habrı́an intercambiado su izquierda y su derecha tras su primera vuelta al mundo. Esta perspectiva hace terrorı́fico un viaje de circunnavegación en un universo tridimensional, ya que en uno de los tipos posibles de geometrı́a de un tal universo, se pueden intercambiar el dentro y el fuera del viajero. Esta fábula nos hace apreciar el papel de la topologı́a del espacio base en la naturaleza global del espacio. El papel del haz de funciones es diferente, permite describir coordenadas locales, medir cuándo es posible hacerlo, y sobre todo permite definir las transformaciones propias de la geometrı́a y en consecuencia determina las propiedades geométricas. El espacio topológico base no determina el haz de funciones; el ejemplo más simple lo proporcionan las curvas elı́pticas, estructuras analı́ticas complejas no isomorfas montadas sobre el mismo espacio topológico base, el toro bidimensional. Un ejemplo más sofisticado y puramente real es el que suministró Milnor construyendo dos estructuras diferenciales no isomorfas sobre la esfera de dimensión 7. Ası́ se puede apreciar que se abren dos problemas generales completamente distintos: el de clasificar módulo homeomorfismos las variedades topológicas y el de clasificar diferenciable o analı́ticamente todas las variedades diferenciables o analı́ticas con espacio base prefijado. Estos problemas de clasificación son de enorme importancia, no cabe entender el interés de los matemáticos por ellos como una aspiración de semejarse a zoólogos. En su momento conocer la forma y el tamaño de la tierra fue un problema central para la humanidad, hoy lo es conocer todas las formas posibles del universo, y saber de entre ellas cual es la real. Volviendo a las superficies, hemos visto en nuestra fábula que podemos distinguir un toro de una esfera y ello de forma puramente topológica. Cabe preguntarse ahora por la cantidad de superficies esencialmente distintas que podemos encontrar, y cuando decimos esencialmente distintas, queremos decir no 16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA isomorfas topológicamente (es decir no homeomorfas). Normalmente se suelen describir de forma intuitiva los espacios homeomorfos como aquellos que se pueden transformar uno en otro por una deformación sin cortar ni agujerear. El inconveniente de esta descripción es que de forma insensible imaginamos nuestros espacios como subespacios de R3 y ası́ perdemos precisión; por ejemplo un aro de cuerda es homeomorfo al resultado de cortarlo anudarlo y volverlo a pegar y sin embargo, no es posible en general deshacer el nudo deformándolo en R3 sin cortar la cuerda de nuevo. Por tanto hay que distinguir los problemas de clasificar espacios mediante las relaciones: Dos espacios X e Y son equivalentes si y solo si son homeomorfos Dos espacios X e Y sumergidos en un espacio Z son equivalentes si y solo si existe un homeomorfismo de Z en Z que transforma X en Y Ambos son problemas muy distintos, que además admiten variantes, equivalencia homotópica, isotopı́a etc extremadamente sutiles. Si nos limitamos a la primera clasificación y para superficies compactas y conexas, es bien sabido que el grupo de Poincaré (grupo fundamental) suministra un sistema completo de invariantes. más precisamente: El abelianizado del grupo fundamental de una superficie conexa compacta X es: Z2g si X es orientable. Zg−1 × Z/2 si X es no orientable. Dos superficies son homeomorfas si y solo si los abelianizados de sus grupos fundamentales son isomorfos. El numero g se llama el género de la superficie; entonces dos superficies orientables son homeomorfas si y solo si tienen el mismo género y lo mismo sucede con las no orientables. En particular, la única superficie compacta y conexa simplemente conexa (es decir con grupo fundamental trivial) es la esfera de dimensión 2 (2-esfera). De esta forma hemos encontrado un sistema completo de invariantes para la clasificación de las superficies por homeomorfı́a. De forma optimista podrı́amos intentar buscar un resultado similar para dimensión tres, es decir buscar un sistema completo de invariantes para variedades topológicas tridimensionales, pero el problema es enormemente más complicado. Para entender un poco más el grado de complejidad del problema , tratemos de imaginar como es la 3-esfera, es decir la esfera en el espacio de dimensión cuatro. Naturalmente cabe pensar en la 3-esfera como el conjunto de los puntos (x, y, z, t) del espacio real de dimensión 4 que verifican la ecuación: x2 + y 2 + z 2 + t2 = 1 Ahora bien esta ecuación no da idea de la forma de esfera, para acercarnos más podemos recurrir a la proyección estereográfica, es decir la proyección de la esfera desde uno de sus puntos (polo de la proyección), sobre el hiperplano 1.2. LOS ESPACIOS ABSTRACTOS 17 tangente en el punto diametralmente opuesto. Como la aplicación es un homeomorfismo de la esfera menos el polo sobre el hiperplano la n-esfera serı́a el resultado de añadir al espacio de dimensión n un punto en el que se colapsarı́a todo el infinito, pero ası́ solo se ven bien las esferas de dimensiones 1 y 2 para las que esta descripción no es tampoco necesaria. Un método topológicamente más adecuado es comenzar por la esfera de dimensión 0, es decir los puntos +1 y −1 en la recta. Estos puntos limitan la bola de dimensión uno, que es el segmento de extremos +1 y −1. Pegando dos bolas de dimensión uno por su borde, es decir el +1 de la primera con el de la segunda y lo mismo el −1, se obtiene topológicamente, es decir tras una pequeña deformación, una circunferencia, que limita el cı́rculo o bola de dimensión dos. Pegando dos cı́rculos por su borde se obtiene una esfera que encierra una bola de dimensión tres, pegando dos bolas por su borde, es decir tomando dos esferas terrestres e identificando cada punto de la primera con el punto de la segunda con su misma longitud y latitud, se obtiene la esfera tridimensional. A A' A + = + B B A = A' A' = B' B = B' B' O O O + γ = γ + = γ' γ = γ' O' O' O' + = ¿ ? Figura 1.2: Pegando dos segmentos se construye una circunferencia, pegando por su borde dos cı́rculos se obtiene una esfera, la 3-esfera resultante de pegar dos bolas por su borde no se ve tan fácilmente Entonces, la traslación a la 3-esfera de la caracterización topológica de la 2-esfera, que serı́a el escalón más sencillo en la clasificación de variedades tridimensionales, es la llamada conjetura de Poincaré (ver [32]): la 3-esfera es conexa, compacta y simplemente conexa (es decir cualquier lazo trazado sobre ella se puede contraer hasta cerrarlo en un punto). Poincaré conjeturó que estas 18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA propiedades son caracterı́sticas de la 3-esfera, es decir que toda variedad tridimensional conexa, compacta y simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera. La conjetura de Poincaré tiene una generalización natural: Toda variedad topológica con los mismos invariantes (homológicos y homotópicos) de una esfera de dimensión n es homeomorfa a ella. Hemos visto la respuesta afirmativa a esta conjetura para n = 2, que era ya bien conocida en el siglo XIX. Para n mayor o igual que 5 la conjetura fue probada en los años 60 por Smale. En 1982 M. H. Freedman probó la conjetura para n = 4 (ver [13]), más aun proporcionó una clasificación completa de las variedades topológicas de dimensión 4 compactas y simplemente conexas por medio de dos invariantes. Sin embargo en su formulación inicial, es decir para la tres esfera, la conjetura de Poincaré ha permanecido abierta largo tiempo y solo muy recientemente Perelman ha anunciado una prueba que en este momento aún no ha sido plenamente aceptada. En general la geometrı́a en dimensión tres es muy complicada, por ejemplo entender las variedades diferenciales de dimensión tres, fue el trabajo de Thurston que le valió la medalla Fields en 1982 y fue la primera revolución en la geometrı́a en baja dimensión. C.T.C. Wall en la descripción de la obra de Thurston hecha con motivo de su medalla Fields en el I.C.M. de 1983, observa que: La topologı́a en dimensión 3 tenı́a una fuerte tradición de técnicas de ” manos desnudas” y relativamente poca interacción con otros temas, tras la obra de Thurston los argumentos directos continúan jugando un papel esencial, pero la topologı́a 3-dimensional ha retornado a la corriente principal de las matemáticas. 1.3. La forma del espacio Una vez que tenemos un espacio abstracto cabe preguntarse hasta que punto su geometrı́a se puede reducir a una geometrı́a ya estudiada, la forma más simple de hacerlo es tratar de sumergir nuestro espacio en otro conocido, por ejemplo Rn , de forma que la inmersión conserve la geometrı́a. El problema de la inmersión esta ligado entonces a la posibilidad de hablar de forma de una variedad. En la geometrı́a clásica,es decir trabajando con subconjuntos de R3 , es razonable decir de una superficie que se curva o hablar de forma de una superficie. Esta idea intuitiva de forma se puede extender a Rn , pero un espacio abstracto no está en un espacio ambiente, por tanto no parece tener sentido decir que un tal espacio se curva. Siempre podemos pensar en sumergirlo en otro para tener ası́ un ambiente, eso es posible con algunas restricciones y precisamente un matemático español Flores de Lémus (ver [15]), fue uno de los pioneros en el estudio de este problema. Sin embargo esto no es estrictamente necesario y para comprobarlo volvamos de nuevo a nuestra fabulosa planilandia, y esta vez tomándonos, si cabe, más libertades matemáticas que en la visita anterior. Imaginemos ahora una sola planaria llamada S situada en el centro de un circulo de cien pasos de diámetro. S avanza un paso hacia el borde, es decir en cualquier dirección, y aunque ella no aprecia nada, nosotros observamos que su 1.3. LA FORMA DEL ESPACIO 19 tamaño disminuye y lo hace en la cantidad precisa para que le sigan quedando 100 pasos hasta el borde, y ası́ pasa cada vez, cuanto más se acerca al borde se hace más y más pequeña, y aunque para nosotros se aproxima a salir del circulo, a ella le queda siempre la misma cantidad de camino por recorrer para alcanzarlo. Su universo, acotado desde nuestro punto de vista, es para ella infinito. Esta diferencia entre la visión del universo desde dentro y desde fuera, de modo que para un observador exterior un cambio de posición lleva aparejado un cambio de forma o tamaño imperceptible para el que lo padece repugna a nuestra intuición, ya que nuestra percepción del espacio es inicialmente táctil, y por ello nos resulta difı́cil dudar de la inmutabilidad de los objetos sólidos. Pero desde el punto de vista matemático es fácil construir este tipo de universos, el más fácil es el plano hiperbólico. La figura 1.3 corresponde al modelo de Poincaré del plano hiperbólico, las rectas son los arcos de circunferencia ortogonales al borde del disco unidad, los giros con centro el centro del cı́rculo no tienen un comportamiento extraño, pero las homotecias con el mismo centro producen la disminución de tamaño a la que aludı́amos antes. Se puede definir una distancia en el interior del circulo con la cual tiene estructura de espacio métrico [30] [21] [41], las lı́neas de mı́nima distancia (rectas) para esa métrica son, como hemos dicho, los arcos intersecados por el cı́rculo unidad en las circunferencias ortogonales a su borde, y la geometrı́a del cı́rculo tiene las propiedades de la euclı́dea, salvo las derivadas del celebre quinto postulado(por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a ella), que obviamente no es válido en este espacio. ¿ Pero que tiene que ver esta métrica con la forma?. Imaginemos dos rectas paralelas en el plano situadas a igual distancia a uno y otro lado de una recta r y tracemos una curva asintótica a ambas rectas y simétrica respecto a r, a continuación giremos la figura en torno a r construyendo ası́ un cilindro de revolución con una superficie en su interior asintótica al cilindro. Supongamos que la superficie es transparente e iluminémosla con un foco en el infinito para que se proyecte en una pantalla ortogonal al eje del cilindro. Coloquemos ahora a S en el vértice de la superficie. En la pantalla veremos un circulo con S en su centro, si ahora S se mueve en la superficie, su sombra se desplazará por el cı́rculo, pero nunca llegará al borde, porque ahora S deberá recorrer una distancia verdaderamente infinita para que esto sucediera. El habitat de S tiene ahora nuestra métrica, pero tiene forma y el efecto es el mismo. Es decir la forma no es sino una métrica distinta, y cabe hablar de curvatura de la métrica en lugar de curvatura del espacio. De un modo formal podemos definir una métrica de Riemann en una variedad diferenciable, como una familia de métricas en los espacios tangentes que varı́an diferenciablemente con el punto. La longitud de un arco de curva diferenciable se calcula integrando la medida de su vector tangente, y la distancia se obtiene como solución de un problema variacional de mı́nimo de las longitudes de arcos que unen dos puntos. En particular, la métrica estándar de Rn induce una métrica de Riemann en sus subvariedades. Schlafi conjeturó que dada una variedad diferenciable de dimensión 2 con 20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA Figura 1.3: Todos los ángeles y todos los demonios son iguales para la geometrı́a hiperbólica una métrica de Riemann, la variedad se puede sumergir localmente en R3 , de modo que la inmersión sea una isometrı́a, si se dota su imagen de la métrica inducida por la del espacio ambiente. La superficie imagen está curvada y la forma de medir en ella es la usual; ası́ se puede considera que hablar de métrica es una manera de hablar de forma. La conjetura de Schlafi fue demostrada por Janet y Cartan [9], pero subsiste el problema de buscar condiciones para la existencia de una inmersión isométrica global, que salvo en casos muy particulares está abierto. Una vez analizada la posibilidad de existencia de inmersiones, podemos volver a plantear el problema de la clasificación de variedades sumergidas en un espacio ambiente y hablaremos de ella solo en un caso particular: Todos tenemos una idea intuitiva de los objetos geométricos llamados formalmente nudos [3], basta tomar una cuerda anudarla de la forma que se desee 1.3. LA FORMA DEL ESPACIO 21 y pegar después sus extremos, ası́ tenemos una figura homeomorfa a una circunferencia pero que, a menos que hayamos hecho los nudos de una forma muy especial, no puede transformarse en una circunferencia sin cortarla, desanudarla y volverla a pegar. Dos nudos que pueden transformarse uno en otro sin cortar la cuerda, se llaman equivalentes. Formalmente se consideran los nudos sumergidos en la esfera y orientados, y se llaman isótopos si existe un homeomorfismo lineal a trozos de la esfera en si misma que conserva la orientación y transforma uno en otro. Una propiedad compartida por un nudo y los equivalentes a él se llama un invariante. La primera propuesta de clasificación sistemática de nudos se debe a un fı́sico, P. Tait. Tait se interesó por la clasificación de los nudos porque en 1867 Lord Kelvin conjeturó que los átomos eran tubos anudados de éter. Ası́ el intento de Tait de clasificar los nudos y las coligaciones, (una coligación ó link es una colección de nudos entrelazados), por los puntos de cruzamiento de sus proyecciones planas, abrı́a aparentemente la puerta a una fundamentación de la clasificación (Sistema periódico) de los elementos quı́micos. Cuando una veintena de años después, el modelo de Kelvin desapareció, ya estaba lanzado a los matemáticos el desafı́o de la clasificación de nudos. El polinomio invariante de Alexander, descubierto en 1927, resultó ser una herramienta mejor que las empleadas por Tait y los resultados de Brauner y Burau encaminados a describir localmente y desde el punto de vista real las curvas analı́ticas irreducibles complejas, que veremos a continuación, dieron nuevo interés a la teorı́a de nudos, esta vez dentro exclusivamente de las matemáticas: Una curva analı́tica plana es el conjunto de ceros de una función analı́tica compleja de dos variables. El plano complejo se puede identificar al espacio real de dimensión cuatro, y, como la anulación de una función compleja equivale a la anulación de sus partes real e imaginaria, una curva analı́tica compleja se puede visualizar como una superficie real en R4 con una singularidad aislada en el origen. Esta superficie es transversal a una tres esfera centrada en el origen y de radio suficientemente pequeño, de modo que la intersección de ambas es una curva esférica cerrada y no singular. La proyección estereográfica de esta curva es un nudo en R3 , nudo que no depende de la esfera (si el radio de ésta es lo suficientemente pequeño). La forma del nudo es muy curiosa. Un toro hueco se obtiene pegando una superficie cilı́ndrica por sus extremos, cuidando de no anudarla. Tiene por tanto dos agujeros, el central y el envuelto por la superficie cilı́ndrica. Si consideramos un toro y arrollamos sobre él una cuerda que antes de cerrarse da m1 vueltas en torno al agujero central y n1 en torno al otro, tenemos un nudo tórico de genero 1. Si ahora inflamos la cuerda para convertirla en un toro anudado y repetimos el proceso tenemos un nudo tórico de genero dos y ası́ sucesivamente. Brauner y Burau probaron que las curvas analı́ticas daban lugar a nudos tóricos de genero finito y que los exponentes caracterı́sticos del nudo (m1 , n1 ), . . . , (mg , ng ), que son un sistema completo de invariantes del mismo, se podı́an calcular directamente a partir de las series de potencias de exponentes fraccionarios que Puiseux habı́a demostrado eran las soluciones de la ecuación (ecuaciones de las ramas). Este resultado sirvió a Zariski como base de la llamada teorı́a de la 22 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA equisingularidad una de las ramas más estudiadas de la geometrı́a algebraica en los años 70. A finales de los 80 Cameron, Gordon y Luecke probaron que los complementos de dos nudos son homeomorfos si y solo si los nudos son isótopos, resultado que no es válido para las coligaciones. De este modo el estudio de los nudos es de enorme interés para la clasificación topológica de las variedades de dimensión tres, al menos de aquellas que son complementos de nudos. Salvo para un tipo muy particular de nudos, las variedades complementarias de los nudos admiten una estructura hiperbólica (son precisamente las variedades estudiadas por Thurston). Al mismo tiempo V. Jones hizo otro descubrimiento sorprendente, esta vez relacionado con una estructura muy próxima a los nudos, las trenzas. Una trenza (braid) no es más que una colección de cuerdas que unen puntos situados en planos paralelos y se han entrelazado entre sı́ sin anudar unas con otras. Dos trenzas del mismo número de cuerdas se pueden componer sin más que unir los extremos de las cuerdas de la primera con los orı́genes de las de la segunda, ası́ se puede dotar al conjunto de clases de trenzas, de un numero de cuerdas dado, de una estructura algebraica de grupo. Artin en 1923 dio una descripción de estos grupos en términos de generadores y relaciones. Claramente una trenza da lugar a una coligación si se pegan los extremos de las cuerdas que la forman. Alexander probó en 1928 que todas las coligaciones se pueden obtener de esta forma. V. Jones en 1984 descubrió una relación entre las álgebras de Von Neumann de las que hemos hablado en conexión con la mecánica cuántica y los grupos de trenzas: Los conjuntos de generadores y relaciones de las álgebras de Von Neumann coinciden con los de los grupos de trenzas, ası́ los grupos de trenzas y las coligaciones tienen una vı́a natural de conexión con la mecánica cuántica. Usando esta analogı́a Jones descubrió en 1987 un nuevo polinomio invariante de los nudos y abrió un camino para búsqueda de polinomios invariantes (en poco tiempo aparecieron media docena más de ellos, uno de los cuales el HOMFLY fue descubierto simultáneamente por seis matemáticos cuyas iniciales dan nombre al polinomio) y también abrió la puerta a los trabajos de E. Witten que extendió estos invariantes a tres variedades generales (es decir no necesariamente complementarias de nudos). Otro de los resultados esenciales de Witten ha sido la interpretación de los invariantes de Jones como integrales de Feynman de una teorı́a gauge tridimensional, esta interpretación permite extender la teorı́a de Jones de nudos en la esfera tridimensional a nudos en variedades arbitrarias de dimensión tres. Claramente quedan justificadas las palabras de M. Atiyah referidas a Witten: En este amplio y excitante campo, en el que trabajan muchos de los fı́sicos y matemáticos más importantes del mundo, Edward Witten se presenta como la figura más influyente e importante. Aunque es definitivamente un fı́sico, y ası́ lo demuestra claramente su lista de publicaciones, pocos matemáticos rivalizan con él en el dominio de las matemáticas, y su habilidad para interpretar ideas fı́sicas en forma matemática es única. Una y otra vez ha sorprendido a la comunidad matemática por sus brillantes aplicaciones del punto de vista fı́sico para obtener 1.3. LA FORMA DEL ESPACIO 23 nuevos y profundos teorema matemáticos. Se vuelve ası́ a la idea de Hemholtz, la geometrı́a esta ligada de modo indisoluble al mundo fı́sico, y no solo para interpretarlo, hay un proceso de retroalimentación que lleva de nuevo los resultados observables a ideas geométricas a menudo enormemente abstractas. Para terminar esta introducción debemos decir algo sobre la geometrı́a de nuestro universo (ver [27]). Durante mucho tiempo los cosmólogos pensaron que la teorı́a de la relatividad general suministra suficiente información para conocer la geometrı́a del espacio-tiempo, pero las ecuaciones de Einstein que relacionan la curvatura con la materia son de naturaleza puramente local y para conocer la estructura global de nuestro espacio necesitamos no solo conocer la curvatura sino también información sobre la topologı́a del universo. En un artı́culo reciente, Cornish y Weeks [10] establecen de modo claro la situación actual de nuestro conocimiento del problema, aceptando como es habitual las hipótesis de homogeneidad e isotropı́a del universo. Esta aceptación no es gratuita. En 1965 Penzias y Wilson descubrieron un resto de la gran explosión que dio origen a nuestro universo, una radiación de microondas a aproximadamente tres grados Kelvin a la que se denomina por sus siglas CMB. La isotropı́a de esta radiación permite suponer, a gran escala, que el universo admite secciones espaciales tridimensionales de curvatura constante, es decir que el continuo espacio-temporal es R × M, donde M es una tres variedad de curvatura constante. La métrica en la sección Mt correspondiente a un instante t es producto de un factor de escala por la métrica estándar de curvatura constante. F C F=A D E D B B E E C C A =F D Figura 1.4: La recta corta a los lados de las cuadrı́culas en puntos A, B, C, ... que aparecen en el borde de la cuadrı́cula seleccionada cuando todas las demás se pegan sobre ella Debemos pues describir las variedades de dimensión tres de curvatura constante, O (modelo euclı́deo), 1 (modelo elı́ptico) y -1 (modelo hiperbólico). Con 24 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA estas hipótesis en los casos elı́ptico e hiperbólico la topologı́a determina completamente la geometrı́a, es decir al suponerse la curvatura constante, dos variedades elı́pticas o hiperbólicas homeomorfas son isométricas, lo que no sucede con las elı́pticas. Volvamos por última vez al mundo plano, pero ahora a uno más parecido al nuestro, un universo bidimensional con un mundo circular en cuya superficie, la circunferencia, vive una planaria. El mundo esta iluminado por un sol y el universo es un toro. B G F E E A A S C C D D P B G D Figura 1.5: En un Universo bidimensional toroidal con una sola estrella, el observador verı́a estrellas en todas direcciones, más débiles en brillo cuando corresponden a dominios más distantes. Podemos representar un toro como cociente del plano euclı́deo por el grupo de traslaciones generado por las traslaciones de vectores (1, 0) y (0, 1), es decir en un sistema cartesiano de coordenadas cuadriculamos el plano mediante rectas paralelas a los ejes para obtener ası́ cuadrı́culas de lado uno, luego recortamos las cuadrı́culas y las pegamos todas sobre una de ellas y, por ultimo, pegamos unos a otros lados del borde de esta, identificando cada punto de un lado con el que ocupa la misma posición en el lado opuesto. Como mapa del toro usamos esta única cuadrı́cula, bien entendido que si salimos de ella por un punto del borde volvemos por el punto del lado opuesto que se identifica con él. En la figura 1.4 se representa una recta en el plano sobre las cuadrı́culas a la izquierda y en una sola de ellas a la derecha, aparecen solo un numero finito de segmentos porque la recta es de pendiente racional, si fuera de pendiente irracional no se cerrarı́a nunca y darı́a lugar a un conjunto denso en el plano. En virtud de la construcción que acabamos de señalar, si el universo es lo suficientemente pequeño la planaria verı́a su cielo tachonado de estrellas, todas ella imágenes ilusorias de su sol, resultado de dar la luz vueltas alrededor del universo. La diferencia de las distancias aparentes a las estrellas producirı́a 1.3. LA FORMA DEL ESPACIO 25 variaciones en su brillo que harı́a creer a la planaria que se trataba realmente de estrellas distintas como se aprecia en la figura 1.5. (Claro está que un espectrómetro la podrı́a sacar de su error). Nuestro Universo podrı́a ser similar con una dimensión más, por ejemplo en el caso de curvatura cero, podrı́a ser un toro espacial resultado de identificar caras opuestas en un paralelepı́pedo. En un caso ası́ y al igual que le pasaba a la planaria, cabrı́a la posibilidad de que alguna de las galaxias que observamos fuera la nuestra, pero eso es difı́cil de averiguar. Hay un experimento más fácil y que está ya en marcha basado en la CMB. A B C E R D D Q P F F S A B C E Figura 1.6: En un Universo bidimensional toroidal las circunferencias última emisión se cortan en puntos, si les añadimos una dimensión más se cortarı́an en cı́rculos. Actualmente se intenta detectar esos cı́rculos, que de encontrarse determinarı́an la topologı́a del universo En cierto sentido la CMB contiene registros de la gran explosión, los fotones de la CMB se originan, según el modelo cosmológico que usamos, aproximadamente a los 300.000 años de la explosión, en un momento en que el universo completo esta lleno de plasma que se condensa a gas. Ası́ esos fotones se originan en todos los puntos del universo y viajan isotrópicamente en todas direcciones, de este modo los que llegan a nosotros en cada momento se han originado en una esfera que nos tiene por centro: la esfera de ultima emisión. Y lo mismo sucede para cualquier otro observador del universo. Desde nuestro punto de vista el mapa de la CMB presenta ligeras variaciones de temperatura de microondas; el mapa de la CMB correspondiente a otro punto del Universo seria diferente, pero a lo largo de la circunferencia intersección de las esferas de última emisión, ambos mapas serı́an iguales. Ahora bien si el universo es finito, nosotros lo vemos como si ocupásemos distintas posiciones a la vez, solo que los fotones que nos alcanzan corresponden a esferas de emisión de distintas épocas, eso motivarı́a la aparición de circunferencias en la CMB que serı́an identificables y nos darı́an una idea de la forma real de nuestro universo. 26 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA 1.4. La geometrı́a proyectiva Nuestro objetivo en este texto es el estudio de los principios de una geometrı́a no euclı́dea, ya que no verifica el quinto postulado, de naturaleza local (como veremos más adelante al hablar de la topologı́a del espacio proyectivo real), pero que permite trabajar en el infinito y contiene a una geometrı́a no local como es la euclı́dea. Esta geometrı́a paradójica es la geometrı́a proyectiva. La geometrı́a proyectiva se ocupa de resultados geométricos que se pueden enunciar y demostrar sin utilizar ángulos ni distancias (Poncelet [36]). más precisamente, la geometrı́a proyectiva parte de unas figuras elementales: puntos, rectas, planos, etc., a las que llamamos subespacios y una relación entre ellas, la relación de incidencia, que es el nombre geométrico que designa indistintamente a las expresiones conjuntistas contenido y contiene. Asociadas a la relación de incidencia hay dos operaciones básicas entre subespacios, sección de S1 por S2 que es simplemente la intersección conjuntista, es decir S1 ∩ S2 , y proyección de S1 desde S2 que es el mı́nimo subespacio, S1 + S2 , incidente con ambos. Con este único punto de partida y unas reglas mı́nimas, llamadas axiomas de incidencia, construimos nuevos objetos y estudiamos sus propiedades. Estos nuevos objetos son esencialmente de dos tipos; pueden ser agregados de objetos elementales, por ejemplo: Un haz plano de rectas es el conjunto de rectas contenidas en un plano π y que pasan por un punto P ∈ π llamado vértice del haz. Una perspectividad con eje en una recta r entre dos haces planos de rectas, ambos coplanarios con r, es una correspondencia entre los haces que asocia a cada recta x del primero la recta del segundo que pasa por x ∩ r. Naturalmente para que la perspectividad esté bien definida es necesario que r no contenga a ninguno de los vértices de los haces. La composición de perspectividades se llama una proyectividad. Obviamente la noción de proyectividad no se limita a los haces de rectas, y el estudio de las proyectividades y de las propiedades invariantes por ellas es uno de los objetivos de la geometrı́a. Una configuración plana de tipo (pα , rβ ) 1 es un sistema de p puntos y r rectas del plano, tales que cada punto incide con un numero fijo α de rectas y cada recta con un numero fijo β de puntos. Por ejemplo, un triángulo es una configuración (32 , 32 ). Es claro que dados cuatro números al azar p, α, r, β, no existe una configuración (pα , rβ ); veremos más adelante que la existencia de determinadas configuraciones refleja propiedades del cuerpo base de la geometrı́a, por ejemplo la existencia de la configuración (73 , 73 ) equivale a caracterı́stica 2. 1 El estudio de las configuraciones tiene numerosas aplicaciones en geometrı́a y durante el primer cuarto del siglo XX fue una de las ramas más importantes de la geometrı́a proyectiva. El libro de Hilbert y Cohn - Vossen Geometry and Imagination [25] contiene un capı́tulo dedicado a este tema. 1.4. LA GEOMETRÍA PROYECTIVA 27 A’ A B’ B C’ C D’ D E’ E F’ F G’ G H’ H I I’ Figura 1.7: La proyección paralela define una proyectividad que lleva A, B, C, .... a A0 , B 0 , C 0 , .... tenemos ası́ una proyectividad entre los haces de rectas, las rectas homólogas se cortan en una cónica Los nuevos objetos pueden ser también de naturaleza no lineal. Por ejemplo, como tendremos ocasión de comprobar, el lugar geométrico de los puntos de corte de rectas homólogas en una proyectividad, que no sea perspectividad, entre dos haces coplanarios de rectas, es una cónica (ver figura 1.7). Es decir, con una regla se pueden construir tantos puntos de una cónica como se desee. Como consecuencia de los axiomas, se puede asociar a cada espacio proyectivo un cuerpo, atribuir coordenadas a sus puntos y definir ecuaciones para las figuras geométricas. De este modo, no solo se establece un método algebraico de resolver mediante ecuaciones los problemas geométricos, sino que se puede construir toda la geometrı́a a partir del álgebra lineal. Surgen ası́ dos formas distintas y tradicionalmente antagónicas de entender la geometrı́a proyectiva: Utilizar únicamente los objetos geométricos elementales y la relación de incidencia para probar los resultados, lo cual constituye lo que se entiende por geometrı́a sintética. Utilizar coordenadas, ecuaciones y la maquinaria del álgebra para resolver los problemas geométricos, tenemos ası́ la geometrı́a analı́tica. La geometrı́a proyectiva como la entendemos hoy, es el resultado de un largo proceso de evolución que comienza con la geometrı́a métrica griega y culmina en la obra de los geómetras franceses y alemanes de la segunda mitad del siglo XIX y el primer tercio del XX. La trayectoria histórica de la geometrı́a transcurre entre las dos lı́neas que acabamos de señalar, la geometrı́a analı́tica y la geometrı́a sintética, de ellas hablaremos en la segunda sección de este capı́tulo, pero antes y para mostrar con más precisión la diferencia entre estas dos lı́neas de pensa- 28 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA D A B O C T E F S R Figura 1.8: El teorema de Desargues en el plano real establece la existencia de una configuración (103 , 103 ) miento, vamos a exponer dos ejemplo paradigmáticos, los llamados teorema de Desargues y teorema de Pappus. 1.5. Los teoremas de Desargues y Pappus Los teoremas de Desargues y Pappus establecen respectivamente la existencia de las configuraciones planas (103 , 103 ) y (93 , 93 ) en el plano real, aunque su significado geométrico es más profundo. El teorema de Desargues es un resultado muy clásico, probablemente conocido por Euclides al menos en alguna de sus formas reducidas, y que no fue publicado por Desargues sino por uno de sus discı́pulos A. Bosse [8], que lo atribuyó a su maestro. El teorema en si es muy importante y extremadamente útil para la geometrı́a, pero es la demostración de Desargues [11], por medio de proyección y sección, la que hace que sea de interés excepcional desde el punto de vista metodológico, ya que marca claramente la distinción entre propiedades métricas y propiedades proyectivas en el espacio. Dos triángulos, [A, B, C], [D, E, F ] del plano o el espacio reales, se dice que están en posición homológica si las rectas A + D, B + E, C + F , son distintas dos a dos y concurrentes en un punto O. Los pares de vértices (A, D), (B, E), (C, F ) y los pares de lados (A + B, D + E), (B + C, E + F ), (A + C, D + F ) se llaman homólogos. Entonces se verifica que: Teorema 1.5.1.– Si dos triángulos, [A, B, C], [D, E, F ] del plano o el espacio reales, están en posición homológica, y si: (A + B) ∩ (D + E) = R, (A + C) ∩ (D + F ) = S, (B + C) ∩ (E + F ) = T entonces R, S, T están alineados (ver figura 1.8). Demostración: [Demostración analı́tica] 1.5. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 29 Para probar el teorema fijaremos una referencia adecuada y asignaremos coordenadas a los puntos que intervienen en el enunciado. En principio habrı́a que hacer dos demostraciones distintas, para el plano y para el espacio, y dentro del contexto en que nos movemos habrı́a que elegir referencias cartesianas. Como solo tratamos de dar un ejemplo, elegiremos una referencia afı́n y nos limitaremos al caso plano. La referencia más razonable es la −→ −−→ −→ −−→ −−→ R = {O : α.OA, β.OC}, con α.OA + β.OC = OB. En esta referencia los puntos del enunciado tendrán las coordenadas: A : (a, 0), B : (1, 1), C : (0, c), D : (d, 0), E : (e, e), F : (0, f ), con: a 6= 0, c 6= 0, d ∈ / {0, a}, e ∈ / {0, 1}, f ∈ / {0, c}. Un cálculo elemental y tedioso muestra entonces que: R: ( a(d − e) + (1 − a)de e(d − a) , ), d − ae d − ae T : ( S: ( ad(c − f ) cf (d − a) , ) cd − af cd − af e(c − f ) ef (c − 1) + c(e − f ) , ) ec − f ec − f y como ¯ ¯ d − ae ¯ ¯ cd − af ¯ ¯ ec − f a(d − e) + (1 − a)de e(d − a) ad(c − f ) cf (d − a) e(c − f ) ef (c − 1) + c(e − f ) ¯ ¯ ¯ ¯=0 ¯ ¯ los tres puntos están alineados. Demostración: [Demostración sintética] O D F E A T C S B R Figura 1.9: Teorema de Desargues en el espacio de dimensión 3 30 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA La demostración geométrica comienza por el caso de espacio ambiente tridimensional (ver figura 1.9). Suponemos que α = A + B + C y β = D + E + F son planos distintos, porque, en otro caso, estarı́amos en el plano. Como: (A + B) ∩ (D + E) = R, (A + C) ∩ (D + F ) = S, (B + C) ∩ (E + F ) = T y A + B, A + C, B + C están contenidas en α , y D + E, D + F, E + F , están contenidas en β, entonces R, S, T ∈ α ∩ β y por tanto están alineados. El caso plano se reduce al caso de dimensión tres por proyección y sección. Llamamos α al plano de los dos triángulos, tomamos un punto P ∈ / α y un segundo punto Q ∈ (O + P ) − {O, P }, y tal que ninguno de los pares de rectas (P + A, Q + D), (P + B, Q + E), (P + C, Q + F ) sean paralelas. Como las rectas de esos pares son coplanarias y no paralelas, son concurrentes y definen puntos: M = (P + A) ∩ (Q + D), N = (P + B) ∩ (Q + E), L = (P + C) ∩ (Q + F ) que determinan un plano β. P Q L M N R D A O S B C T E F Figura 1.10: Prueba del Teorema de Desargues plano por reducción al caso tridimensional Ası́ los triángulos [A, B, C], [M, N, L] están en posición homológica , y también lo están los triángulos [D, E, F ], [M, N, L]. En consecuencia y por el teorema de Desargues del caso tridimensional, llamando r = α ∩ β, se verifica que: (A + B) ∩ (M + N ) ∈ r, (M + N ) ∩ (D + E) ∈ r ⇒ (A + B) ∩ (D + E) ∈ r y lo mismo sucede con los otros pares de lados homólogos, (ver figura 1.10). Las hipótesis del teorema de Desargues son genéricas, y se pueden dar versiones degeneradas o reducidas del mismo, algunas de las cuales aparecen recogidas en la figura 1.11. En la primera de ellas se amplia la condición de posición homológica, a triángulos tales que las rectas que unen pares de vértices homólogos sean paralelas, y lo mismo se hace en la tercera. Respecto a la condición de que los puntos de corte de lados homólogos estén alineados que aparece en la tesis 1.5. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 31 del teorema, en las figuras primera y segunda se transforma en: si dos pares de lados homólogos son paralelos, el tercero también, y en la tercera figura se transforma en que: la recta determinada por los puntos de corte de dos pares de lados homólogos es paralela al par de lados homólogos restantes. Figura 1.11: Algunos casos degenerados del Teorema de Desargues en el plano Mediante proyección y sección se puede transformar el caso genérico en los casos reducidos, de modo que una vez probado el primero, los segundos quedan probados automáticamente. Vemos en primer lugar en la figura 1.12, cómo proyectar sobre un plano β desde un punto P , una recta r situada en un plano α. Para construir la recta proyección, basta observar que dicha recta es la intersección de β con el plano P + r que pasa por P y r. Tomando el plano γ paralelo a β por P , (P + r) ∩ γ = s = P + O, O = r ∩ (γ ∩ α) es paralela a la recta proyección t = β ∩ (P + r), ya que ambas son secciones de un plano P + r por dos planos paralelos γ y β. Entonces la construcción de la recta t se hace como sigue: Dados α, β, P y r ⊂ α, se construye el plano γ paralelo a β por P , se dibujan los puntos de corte de r con α ∩ γ y con α ∩ β, O y R respectivamente, se traza la recta s que pasa por P y O y la recta buscada e la paralela t a s por R. En la parte inferior de la figura 1.12, se hace ver cómo las proyecciones de dos rectas, v, w que se cortan en α ∩ γ son rectas paralelas v1 , w1 y cómo se puede construir la proyección de un punto Q, tomando dos rectas v, u que se cortan en él y proyectando ambas rectas, el punto de corte v1 ∩ u1 de las rectas proyección da la proyección T de Q desde P . En la figura 1.13 se aprecia cómo una de las formas reducidas del teorema de Desargues se obtiene por proyección y sección de la forma genérica del teorema. Por tanto, una vez probada ésta, quedan también probadas las formas reducidas. Estas versiones degeneradas del teorema de Desargues , y otras que se pueden describir fácilmente, se reducen también a la versión genérica si consideramos del mismo modo las rectas paralelas y las secantes, esto puede hacerse añadiendo al plano un punto por cada dirección , de este modo añadimos al plano una recta del infinito y establecemos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma dirección, esto es, pasan por el mismo punto de la recta del infinito. 32 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA Q s P γ α r t β R P γ s t α u v w w1 β u1 v1 Figura 1.12: Construcción de la proyección de rectas y puntos del plano α sobre el plano β desde el punto P Ası́ alcanzamos uno de los principios básicos que sustentan la Geometrı́a proyectiva, que es el de mirar el espacio desde fuera. Por ejemplo, si un plano π es visto por el observador O (ver figura 1.14), los puntos, son las rectas que pasan por O. De este modo, junto a puntos ordinarios P, Q, R representados por las rectas p,q,r, aparecen puntos del infinito representados por las rectas que pasan por O y son paralelas al plano π. Una recta r es el conjunto de sus puntos, es decir el conjunto de rectas que unen O con todos sus puntos, o lo que es lo mismo rectas por O contenidas en el plano definido por O y r. Ahora aparece un nuevo punto en cada recta, el punto del infinito, que es la recta r∞ por O paralela a r. Dos rectas s, t paralelas en π, corresponden a dos planos por O que se cortan en una recta paralela a π que serı́a el punto del infinito común a ambas (ver figura 1.15). La presencia de los puntos del infinito, que como hemos visto son aquellos puntos donde se cortan las rectas paralelas, introduce la simetrı́a en los axiomas de la geometrı́a plana (por dos puntos distintos pasa una única recta; dos rectas distintas se cortan en un solo punto) y permite, entre otros muchos resultados, establecer un principio de dualidad (si una proposición relativa a puntos y rectas es válida, automáticamente es cierto el enunciado dual que se obtiene intercambiando punto y recta, contenido y contiene), ampliamente explotado por los geómetras franceses. El teorema de Pappus es una versión degenerada de un teorema probado por Blaise Pascal (1623-1662) cuando solo tenı́a dieciséis años. Pascal fue alumno de Desargues y abandonó las matemáticas para dedicarse a la teologı́a. El teorema, 1.5. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 33 P α A B L C C1 A1 M N L1 N1 Q M1 R β Figura 1.13: Por proyección y sección pueden obtenerse las formas degeneradas del teorema de Desargues a partir de la forma genérica llamado por su autor mysterium hexagrammicum [40], establece que: Teorema 1.5.2.– [Pascal] Si {A, B, C, D, E, F } es un hexágono inscrito en una cónica real no degenerada, los puntos de corte de pares de lados opuestos: (A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A) están alineados(ver figura 1.16). Cuando la cónica degenera en un par de rectas, la condición hexágono inscrito se traduce en que hay tres vértices no contiguos del hexágono en cada una de ellas, de modo que ninguno de los vértices coincide con el punto de intersección de ambas. Ası́ se obtiene el teorema de Pappus : Teorema 1.5.3.– [Pappus] Dadas dos rectas coplanarias r y s, tres puntos A, C, E sobre r y otros tres B, D, F sobre s, tales que ninguno de ellos es r ∩ s, los puntos: (A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A) están alineados (ver figura 1.17). Este teorema es equivalente al siguiente: Teorema 1.5.4.– Dados dos puntos del plano R y S, tres rectas a, c, e por R y otras tres b, d, f por S, tales que ninguna de ellas es R + S, las rectas: (a ∩ b) + (d ∩ e), (b ∩ c) + (e ∩ f ), (c ∩ d) + (f ∩ a) 34 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA Ο r∞ s∞ p t q r b r T s B P R Q Figura 1.14: Los puntos ordinarios, vistos desde O son rectas que pasan por O y cortan al plano π, cuando el observador de O mira al infinito, es decir paralelamente a π, aparecen los puntos del infinito son concurrentes (ver figura 1.17). Lo mismo que el teorema de Desargues, el de Pappus se puede probar en el plano real por métodos analı́ticos, es decir, eligiendo una referencia afı́n adecuada y trabajando en coordenadas. También puede probarse de modo sintético, a partir de un teorema del espacio por posterior proyección y sección. Pero esta vez la existencia de una proyección conveniente, que lleva una proposición evidente del espacio al teorema de Pappus, deriva de un resultado de naturaleza no lineal, que es el recogido en el siguiente teorema. Teorema 1.5.5.– Dados seis puntos distintos dos a dos del espacio real tridimensional: {A, B, C, D, E, F }, tales que las rectas {A + B, C + D, E + F } y las rectas {B +C, D +E, F +A} se cruzan dos a dos,y cada una de las tres primeras rectas corta a las tres segundas, entonces las rectas {A + D, B + E, C + F } son concurrentes. Demostración: Como A + B y D + E son concurrentes (ver figura 1.18), son coplanarias y las rectas A + D y B + E se cortan en un punto. El mismo razonamiento prueba que también lo hacen A+D y C +F , y B+E y C +F . Si los tres puntos de corte no coincidiesen estas tres rectas serı́an coplanarias y también lo serı́an los seis puntos en contradicción con las hipótesis, en consecuencia el teorema se verifica. Demostración: [Teorema de Pappus en el plano real] Un cálculo analı́tico elemental prueba que el lugar geométrico de las rectas del espacio real tridimensional que se apoyan en tres rectas que se cruzan dos a dos, es una cuádrica hiperbólica. En consecuencia las seis rectas de la hipótesis del teorema anterior 1.5. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 35 r∩s O r s Figura 1.15: Dos rectas son paralelas si se cortan en el infinito están contenidas en una cuádrica hiperbólica (ver figura 1.18), de modo que las tres primeras pertenecen a una de las familias de generatrices y las tres segundas a la otra. Tomando dos rectas r y s, una en cada una de las familias de generatrices de la cuádrica y distintas ambas de la anteriores, r y s se cortan en un punto O de la cuádrica . Por proyección desde O sobre un plano que no contenga a ninguna de las rectas usadas, se tiene un hexágono plano que cumple las hipótesis de 1.5.4 y también la tesis. El único problema es construir para un hexágono plano que verifique las hipótesis de 1.5.4 otro espacial que verifique las de 1.5.5 junto con las rectas r y s del párrafo anterior y que se proyecte sobre el primero desde el punto O. Pero esa construcción es un ejercicio fácil que dejamos al lector. Hemos visto que hay un cierto paralelismo entre los dos teoremas presentados en esta sección, ambos prueban la existencia de configuraciones planas muy semejantes y en sus demostraciones geométricas se usan teoremas análogos en dimensión tres. No obstante hay entre ellos una diferencia fundamental, el teorema de Desargues tridimensional depende solo de resultados formulables en términos de incidencia pero no sucede lo mismo con el de Pappus. En la prueba de este último interviene una cuádrica, pero esto no es el problema, ya que como hemos señalado al principio de este capı́tulo, las cónicas y las cuádricas se pueden definir en términos de propiedades de incidencia; el problema está en la existencia de las dos familias generatrices lo cual requiere no solo la construcción de una proyectividad, sino el hecho de que una proyectividad entre rectas reales queda determinada unı́vocamente por las imágenes de tres puntos distintos, y aquı́ juega un papel esencial la propiedad conmutativa de la multiplicación en el cuerpo base. Como veremos posteriormente, ambos enunciados son independientes de los axiomas de incidencia de la geometrı́a plana, por lo cual pueden añadirse como 36 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA F D B A C E Figura 1.16: El teorema de Pascal es válido en condiciones genéricas, o admitiendo que las rectas paralelas se cortan en el infinito axiomas. Ahora bien admitiendo Desargues plano como axioma, el enunciado de Pappus no es demostrable, debido a que para un plano sobre un cuerpo, este teorema equivale a la conmutatividad de la multiplicación, y existen cuerpos no conmutativos. Por la misma razón, es decir la existencia de cuerpos no conmutativos, aunque en un plano contenido en un espacio tridimensional se verifica automáticamente Desargues, no necesariamente lo hace Pappus. Sin embargo si se toma como axioma el enunciado de Pappus, el de Desargues es un teorema, es decir puede deducirse de los axiomas usuales de incidencia y del axioma de Pappus (Teorema de Hessenberg)(ver [12]). 1.6. Introducción histórica Desde un punto de vista formal, el creador de la geometrı́a proyectiva fue Girard Desargues (1591-1661) , ingeniero y arquitecto francés que en su obra Brouillon-projet d’une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plane [11] utiliza sistemáticamente la proyección central, es decir la proyección desde un punto, para probar resultados geométricos y especialmente para obtener propiedades de las cónicas. Es claro que la proyección. central no conserva ni distancias ni ángulos, por tanto Desargues desvincula la geometrı́a de la métrica y en consecuencia cambia sustancialmente la primera. La geometrı́a ya no es solo el estudio de las propiedades de las figuras derivadas de la medida de sus ángulos y distancias, incluye también propiedades proyectivas es decir propiedades estables por proyección . Hemos indicado que situamos el origen de la geometrı́a proyectiva en Desargues sólo desde un punto de vista formal, porque su obra, pese a los comentarios elogiosos de su amigo Descartes, no tuvo resonancia en su época ni reconocimiento posterior hasta mediados del siglo XIX cuando ya habı́a sido descubierta de nuevo por personas que no conocı́an su existencia. La idea de usar la pro- 1.6. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 37 R A a C c E r e f s b B F d D S Figura 1.17: Las dos figuras prueban claramente la equivalencia entre los enunciados 1.5.3, 1.5.4 yección central para probar resultados geométricos, sobre todo relativos a las cónicas, aparece fugazmente en varios autores, Pascal , La Hire , Mac Laurin o Lambert son los más conocidos. Pero el momento en que esta idea adquiere un papel estelar no llega hasta el primer cuarto del siglo XIX con la obra de Victor Poncelet (1788 -1867). Poncelet, oficial de artillerı́a del ejército de Napoleón, antiguo alumno de Monge en la Escuela Politécnica, decide reescribir la geometrı́a en la prisión rusa en que estuvo confinado tras el desastre de la gran armada. El resultado de su trabajo ve la luz en 1822 con el titulo: Traité des propriétés projectives des figures [36], y su forma, completamente nueva, de entender las propiedades geométricas es la siguiente: ... Una figura cuyas partes no guardan entre ellas más relaciones que las indestructibles por efecto de la proyección, se llamará figura proyectiva. Estas relaciones y en general todas las propiedades que subsisten a la vez en la figura dada y en todas sus proyecciones se llamaran propiedades proyectivas.... Al adoptar esta postura, Poncelet además de olvidar la métrica hace aparecer de modo fı́sico el infinito. La introducción del infinito para resolver problemas de perspectiva arquitectónica se debe también a Desargues pero no se usa sistemáticamente hasta Poncelet . La obra fundamental de Poncelet hace explotar una polémica que venia gestándose entre los geómetras desde hacia más de un siglo. La introducción de los métodos cartesianos en geometrı́a habı́a transformado a ésta en subsidiaria del análisis algebraico, todos los problemas geométricos se resolvı́an mediante coordenadas y los métodos y razonamientos de los Elementos de Euclides parecı́an condenados a desaparecer. La nueva geometrı́a proyectiva no se podı́a reducir a coordenadas y en palabras de Carnot iba a librar a la geometrı́a de los jeroglı́ficos del análisis. Como hemos indicado, Poncelet no es el creador de la polémica analı́tico versus sintético, pero su geometrı́a da un arma, en ese 38 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA O A s r D F E B C Figura 1.18: Los lados del hexágono ABCDEF se apoyan en las rectas r y s que se cortan en O. Los pares de lados opuestos son coplanarios al pertenecer a dos familias distintas de generatrices del hiperboloide momento definitiva, a los geómetras sintéticos, cuya situación a principios del XIX era bastante precaria. Monge habı́a impulsado grandemente la geometrı́a descriptiva, geometrı́a cuyo objeto es la representación plana de figuras espaciales. Esta geometrı́a cubrı́a, y cubre hoy casi todas las necesidades de la ingenierı́a, pero desde el punto de vista del matemático deja mucho que desear y Poncelet conocı́a los resultados de Dupin que probaban que resulta imposible reflejar mediante dibujos planos todas las propiedades geométricas de una figura tridimensional. Por ello Poncelet busca un camino completamente nuevo y su situación de aislamiento le ayuda a hacerlo, aunque sus condiciones de trabajo no fueran las ideales: Esta obra es el resultado de las investigaciones que realicé, desde la primavera de 1813, en la prisión de Rusia. Privado de todo tipo de libros y de ayuda y, sobre todo, distraı́do por las desventuras de mi patria y las mı́as propias, no he podido darle toda la perfección deseable. Poncelet no olvida en absoluto la métrica y sus enunciados tienen muchas 1.6. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 39 O π'' P π S Q R Q' R' P' S' Figura 1.19: La proyección de un cuadrilátero puede ser un rectángulo, es decir ni ángulos ni razones de distancias son invariantes por proyección, en cambio cuadrilátero si es una noción proyectiva veces contenido analı́tico. La misma tónica se mantiene en los continuadores de su trabajo, y es Von Staudt (1798 - 1867) quien en su Geometrie der Lage (1847)[42] desliga totalmente ambas geometrı́as, limitando las operaciones de la geometrı́a proyectiva a conceptos proyectivos. Ası́, libera también la geometrı́a proyectiva de su vinculación al cuerpo real, y con ello desaparece otro de los conceptos poco comprendidos hasta el momento, el de punto imaginario introducido también por Poncelet [36]. Es un hecho curioso, que la aparición en geometrı́a de los puntos imaginarios se produce sin ninguna vinculación con los números complejos, que ya empezaban a utilizar los analistas. Queda fuera de los lı́mites de esta introducción explicar detalladamente el manejo geométrico de los puntos imaginarios, pero vamos a exponer sin mucho detalle un ejemplo significativo. Consideremos en el plano real una cónica Q y una recta r, definidas en una referencia cartesiana por las ecuaciones q(x, y) = 0 y r(x, y) = 0 respectivamente. Las ecuaciones a.q(x, y) + b.r(x, y)2 = 0 definen, al variar los números a, b, una familia de cónicas, {Qa,b }, que es lo que se llama un haz de cónicas. Si la recta y la cónica se cortan en dos puntos, todas las cónicas del haz pasan por ellos, ya que sus coordenadas anulan simultáneamente las ecuaciones de ambas. La cuestión es averiguar si todas las cónicas del haz tienen algo en común cuando la recta y la cónica no se cortan. Si extendemos el cuerpo para trabajar con los complejos, ese algo que tienen en común es precisamente un par de puntos 40 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA imaginarios conjugados, pero nuestro objetivo es buscar un objeto real. P A B C r D E F G H I J K L Figura 1.20: La polaridad permite utilizar los puntos imaginarios, las dos cónicas y la recta de la figura, se cortan en la involución de la recta inducida por una de ellas, ya que ambas definen la misma involución. Para ello debemos dar una noción distinta de intersección de una recta con una cónica. La cónica Q induce una transformación en la recta r, que se describe como sigue: Si P ∈ r es un punto arbitrario, (ver figura 1.20), se pueden tomar las rectas tangentes por P a Q, estas rectas cortan a la cónica en puntos B y J; la recta B + J a su vez, corta a r en el punto fQ (P ) = L al que tomamos como imagen de P en la transformación. La transformación ası́ definida es una proyectividad involutiva (si r no es tangente a Q), y si r corta a Q, tiene dos puntos invariantes reales que son precisamente los puntos de corte de r y Q. Por tanto el dato de esta transformación equivale al de los puntos de corte, si éstos existen. Además como una proyectividad involutiva de la recta real queda unı́vocamente determinada por sus puntos invariantes, todas las cónicas Qa,b , que cortan a r en los mismos puntos que Q, inducen en r la misma transformación. Parece entonces razonable decir que la intersección de Q y r es la transformación fQ . La transformación fQ se puede definir aunque Q y r no se corten, y en este caso también todas las cónicas Qa,b inducen en r la misma transformación, que ahora no tiene puntos invariantes reales, pero es el elemento común a todas las cónicas del haz y la recta r, ası́ que tiene sentido decir que es la intersección de la recta y la cónica. Si vamos un poco más lejos, pasamos al cuerpo complejo y calculamos los puntos invariantes de la involución fQ , encontramos dos puntos imaginarios conjugados, que son precisamente los puntos complejos de corte de r y Q. Es decir el objeto real fQ permite manejar puntos de coordenadas imaginarias. 1.6. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 41 Los métodos analı́ticos vuelven a entrar en la geometrı́a proyectiva, de la mano de Plücker (1801-1868), que redescubre (en su obra Analytisch-geometrische Entwicklungen[33] (1828), ahora de modo definitivo, las coordenadas homogéneas, que con anterioridad habı́an sido descritas con poco éxito por Feuerbach y Moebius. Al mismo tiempo observa que el intercambio de coeficientes y variables en las ecuaciones permite hablar de coordenadas de rectas en el plano y demuestra de modo indudable el principio de dualidad de Poncelet . Todavı́a se escapan a la coordinatización de la geometrı́a muchos objetos, y los más importantes son las rectas del espacio tridimensional. Pasan más de veinte años hasta que, esencialmente por medio del álgebra lineal, se resuelve este problema a la vez que se transforma la geometrı́a proyectiva en el lenguaje geométrico del álgebra. La introducción sistemática de los espacios vectoriales de dimensión arbitraria sigue dos caminos distintos, por una parte Arthur Cayley (1821-1895) desarrolla la geometrı́a analı́tica de Rn usando sistemáticamente la teorı́a de determinantes (1846), por otra parte Grassmann (1809-1877), en un trabajo no comprendido hasta casi veinte años después, sienta las bases del álgebra lineal moderna con la introducción de las “magnitudes con extensión” que corresponden a nuestros vectores y formas y son la contrapartida puramente geométrica de la teorı́a de determinantes ( Incidentalmente: Grassmann abandonó las matemáticas para dedicarse al estudio del sánscrito y es el creador de la última gran ley de la lingüı́stica). Plücker [34] en 1868 describe con ayuda de las técnicas desarrolladas por Grassmann un espacio de dimensión 4 (una cuádrica de un espacio de dimensión 5), cuyos elementos son las rectas del espacio tridimensional y da la victoria definitiva a la geometrı́a analı́tica. Una tercera forma de extender la geometrı́a, es por medio de los grupos de transformaciones, y fue expuesta por un alumno de Plücker, F. Klein en su Programa de Erlangen[29](1872). Para Klein, una geometrı́a es un grupo de transformaciones que actúa en un conjunto, las propiedades geométricas son aquellas invariantes por estas transformaciones. Desde este punto de vista, podemos considerar en R3 dos operaciones: proyectar desde un punto O (proyección), que consiste en unir cualquier punto del espacio con O mediante una recta, y cortar por un plano π (sección); ası́, dado un plano π, una familia de puntos, O1 , ..., Or , y otra de planos, π1 , ..., πr−1 (situados razonablemente), podemos proyectar π desde O1 y cortar por π1 , proyectar π1 desde O2 y cortar por π2 ,..etc, hasta proyectar πr−1 desde Or y cortar de nuevo por π. Tenemos ası́ una transformación de π en π que se llama una proyectividad. Las proyectividades forman un grupo y la geometrı́a proyectiva es el estudio de propiedades de π invariantes por dicho grupo. A finales del primer tercio del pasado siglo, el papel de las estructuras combinatorias en Matemáticas se hace de enorme importancia, y hay un grupo de geómetras y lógicos que se interesan por los fundamentos combinatorios de la geometrı́a sintética, ası́ Birkhoff y Menger publican axiomáticas de la geometrı́a proyectiva, libres de la noción de cuerpo base, cubriendo incluso modelos no desarguesianos. Ambos utilizan los retı́culos como elementos básicos de la geometrı́a. En el capı́tulo siguiente introduciremos de modo formal estos objetos que juegan un papel central en la geometrı́a elemental actual. 42 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA Capı́tulo 2 Retı́culos. Espacios proyectivos generalizados Nuestro objetivo principal en este libro es presentar de forma analı́tica la geometrı́a proyectiva, pero no queremos renunciar a ofrecer una presentación sintética, ni a la utilización de métodos sintéticos donde sea más natural hacerlo. Por ello hemos decidido comenzar con una visión axiomática, pero en lugar de presentar una axiomática al modo clásico, hemos preferido utilizar los retı́culos obteniendo una caracterización del retı́culo de subespacios de un espacio proyectivo, que no es sino el de los subespacios del espacio vectorial asociado. Asociados a estos retı́culos describiremos los espacios proyectivos generalizados que proporcionan una buena aproximación axiomática a la geometrı́a proyectiva en dimensión arbitraria. 2.1. Retı́culos La estructura de retı́culo en un conjunto, se puede presentar bajo dos formas, como una relación de orden con unas propiedades particulares o como una estructura algebraica. Daremos ambas definiciones y probaremos después que son equivalentes: Definición 2.1.1.– Llamaremos retı́culo (ordenado) a un conjunto ordenado (R, ≤) tal que: ∀ a, b ∈ R, ∃ inf {a, b}, ∃ sup{a, b} Llamaremos retı́culo (algebraico) a un conjunto R con dos operaciones u, t que verifican las siguientes propiedades: 1. Idempotencia ∀ a ∈ R, a t a = a u a = a 2. Conmutativa ∀ a, b ∈ R, a t b = b t a, a u b = b u a 43 44CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 3. Asociativa ∀ a, b, c ∈ R, a t (b t c) = (a t b) t c, a u (b u c) = (a u b) u c 4. Simplificación ∀ a, b ∈ R, a t (a u b) = a, a u (a t b) = a Proposición 2.1.2.– Si (R, ≤) es un retı́culo (ordenado), y se definen en R las operaciones ∀ a, b ∈ R : a u b = inf {a, b}, a t b = sup{a, b} entonces (R, u, t) es un retı́culo (algebraico). Recı́procamente, si (R, u, t) es un retı́culo (algebraico), se verifica que: ∀ a, b ∈ R, a t b = a ⇔ a u b = b. Definiendo ahora: ∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ a u b = b se verifica que (R, ≤) es un retı́culo (ordenado). Demostración: Supuesto que (R, ≤) es un retı́culo (ordenado), la unicidad de los extremos superior e inferior, prueba que u y t son operaciones. Sus propiedades, salvo la de simplificación, son consecuencia evidente de las propiedades de los extremos. Para probar la propiedad de simplificación basta, por simetrı́a, probar una sola de las igualdades que aparecen en ella: Como a ≤ a y a ≤ sup{a, b}, se verifica que: a ≤ inf {a, sup{a, b}} = a u (a t b). Por otra parte y por definición de extremo inferior: a u (a t b) = inf {a, sup{a, b}} ≤ a luego se verifica la igualdad y (R, u, t) es un retı́culo (algebraico). Supuesto ahora que (R, u, t) es un retı́culo (algebraico), por la propiedad de simplificación: a t b = b ⇒ a u b = a u (a t b) = a del mismo modo a u b = a ⇒ a t b = (a u b) t b = b luego a t b = b ⇔ a u b = a. Veamos ahora que si definimos ≤ por: a≤b⇔aub=a⇔atb=b entonces (R, ≤) es un retı́culo (ordenado) 2.1. RETÍCULOS 45 Por la propiedad de idempotencia ∀a ∈ R : a u a = a luego a ≤ a ∀ a, b ∈ R : a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = a u b = b ∀ a, b, c ∈ R : a ≤ b ⇒ a = a u b, b ≤ c ⇒ b = b u c. Entonces a u c = (a u b) u c = a u (b u c) = a u b = a. Luego a ≤ c Notas y ejemplos 2.1.3.– 2.1.3.1. - Hay que completar la proposición anterior demostrando que si tomamos el retı́culo ordenado asociado a uno algebraico, este es precisamente el retı́culo algebraico asociado al primero, es decir si (R, u, t) es un retı́culo algebraico y definimos ≤ por a ≤ b ⇔ a u b = a ⇔ a t b = b, entonces ∀ a, b ∈ R : inf {a, b} = a u b, sup{a, b} = a t b. Veamos la primera igualdad: a t (a u b) = a ⇒ a u b ≤ a. Por la misma razón, a u b ≤ b. Supongamos ahora que c ≤ a, c ≤ b, entonces a u c = b u c = c, luego c u (a u b) = (c u a) u b = c u b = c. Por tanto c ≤ a u b y en consecuencia inf {a, b} = aub. Del mismo modo se prueba que sup{a, b} = atb. Recı́procamente si (R, ≤) es un retı́culo ordenado y definimos las operaciones u, t, por inf {a, b} = a u b, sup{a, b} = a t b, se verifica que el orden dado por a ¹ b ⇔ a u b = a coincide con ≤: a ¹ b ⇔ a u b = a ⇔ inf {a, b} = a ⇔ a ≤ b De este modo hemos comprobado que ambas estructuras son equivalentes y en lo sucesivo las consideraremos conjuntamente, ası́ al hablar de retı́culo tendremos la familia (R, ≤, u, t). 2.1.3.2. - La propiedad de idempotencia es consecuencia de las restantes propiedades de la definición. Efectivamente, dado un elemento arbitrario a ∈ R, por la propiedad de simplificación aplicada a a y al mismo a, se verifica que a u (a t a) = a, entonces: a t a = a t (a u (a t a)) = a por la propiedad de simplificación aplicada ahora a a y a t a. Del mismo modo se prueba la idempotencia para la intersección. No obstante no suprimiremos la propiedad de idempotencia de la definición de retı́culo, ya que aparece en la práctica totalidad de los textos que se ocupan de ellos. 2.1.3.3. [Principio de dualidad en retı́culos].- En virtud de la proposición 2.1.2 podemos suprimir la mención (ordenado) o (algebraico) tras el nombre y hablaremos de retı́culos, suponiendo que tenemos a la vez el orden y las operaciones, y que ambos están ligados por las relaciones descritas en dicha proposición. 46CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS Se puede observar que en los enunciados de todas las propiedades caracterı́sticas de la definición de retı́culo hay una simetrı́a absoluta entre t y u por tanto si probamos una proposición relativa a retı́culos, tanto en el enunciado como en todo el proceso de la prueba, se pueden intercambiar t y u y la proposición continuará siendo cierta. Este resultado se conoce por principio de dualidad , y se dice que dos proposiciones o definiciones son duales cuando se obtiene una de la otra por el intercambio antes citado. Por ejemplo la afirmación dual de a ≤ b es a ≥ b ya que: a ≤ b ⇔ a t b = b, intercambiando t y u se obtiene a u b = b ⇔ a ≥ b. 2.1.3.4. .- Un conjunto totalmente ordenado es siempre un retı́culo. La existencia en un retı́culo de extremos superior e inferior para cada par de elementos dota a su representación gráfica de aspecto de red, y esta es la razón del nombre que se asigna a la estructura. En la figura 2.1 se presentan los gráficos de dos conjuntos ordenados, en ellos un elemento es menor que otro si están conectados por una poligonal ascendente, entonces el conjunto de la izquierda es un retı́culo y el de la derecha no. a15 a14 b15 a13 a12 a11 a9 a8 a5 a4 a6 a3 a1 a0 b12 b12 b13 b11 b10 a10 a7 a2 b14 b9 b8 b6 b3 b7 b5 b2 b4 b1 Figura 2.1: El grafo de la izquierda corresponde a un retı́culo con cero y uno, el de la derecha no es un retı́culo 2.1.3.5. .- Si C es un conjunto, el conjunto de subconjuntos de C ordenados por inclusión es un retı́culo, al que representaremos por P(C) y llamaremos retı́culo de partes de C. Las operaciones del retı́culo son la unión e intersección de subconjuntos. También el conjunto PF (C) de subconjuntos finitos de C y el conjunto PCF (C) de subconjuntos de complemento finito de C, ordenados por inclusión, son retı́culos, que coinciden con P(C) si C es finito. La doble estructura de orden y algebraica plantea problemas a la hora de hablar de subestructuras. Dado un retı́culo (R, ≤, t, u) y un subconjunto E de (R tenemos dos opciones a la hora de decir que E es un subretı́culo: 2.1. RETÍCULOS 47 Usando el orden, E es un subretı́culo si (E, ≤) es un retı́culo Usando la estructura algebraica, E es un subretı́culo si (E, t, u) es un retı́culo Si E es subretı́culo con la segunda definición, lo es con la primera, pero el recı́proco no es cierto, por ejemplo {a0 , a7 , a8 , a15 } es un subretı́culo del retı́culo de la figura 2.1 de acuerdo con la primera definición pero no con la segunda. Elegiremos cómo definición la segunda y llamaremos subretı́culo de un retı́culo (R, ≤, t, u) a todo subconjunto de R cerrado para las operaciones algebraicas t, u. Obviamente en este caso los extremos inferior y superior para el orden inducido en el subretı́culo coinciden con los del retı́culo, es decir las operaciones restringidas son las asociadas al orden restringido. Ası́ PF (C) y PCF (C) son subretı́culos de P(C). Sin embargo, como ya hemos señalado, un subconjunto de R que sea retı́culo con el orden inducido, no es necesariamente un subretı́culo, ya que los extremos en R y en el subconjunto no tienen porqué coincidir, es decir las operaciones serı́an diferentes en ambos conjuntos como sucede en el ejemplo siguiente: Sea V un espacio vectorial, el conjunto de subespacios de V ordenados por inclusión es un retı́culo, al que representaremos por L(V ). Las operaciones del retı́culo son la suma e intersección de subespacios. En este caso L(V ) es retı́culo con el orden inducido por el de P(V ) pero no es subretı́culo de éste. Lo mismo sucede con los subespacios de un espacio afı́n, los subgrupos de un grupo, los ideales de un anillo, etc. 2.1.3.6. .- La existencia de extremos inferior y superior para conjuntos de dos elementos, lleva consigo la existencia de extremos para conjuntos finitos no vacı́os, ya que es inmediato comprobar que: inf {a1 , inf {a2 , a3 }} = inf {a1 , a2 , a3 } y en general, inductivamente: inf {a1 , inf {a2 , . . . , an }} = inf {a1 , a2 , . . . , an } y lo mismo para el extremo superior. En cambio, en un retı́culo no existen necesariamente extremos inferiores y superiores de subconjuntos infinitos, por ejemplo en PF (C) no hay extremos superiores de familias infinitas y en PCF (C) no los hay inferiores. En general se admite, y lo haremos aquı́, que el subconjunto vacı́o de un conjunto ordenado (C, ≤) tiene extremo inferior si y solo si el conjunto tiene máximo, y tiene extremo superior si y solo si el conjunto tiene mı́nimo, y en este caso: inf {∅} = max(C), sup{∅} = min(C). Definición 2.1.4.– Un conjunto ordenado (C, ≤) se llama completo si todo subconjunto de C tiene extremo inferior y superior (en consecuencia es un retı́culo con mı́nimo y máximo) 48CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS Proposición 2.1.5.– Un conjunto ordenado (C, ≤) es completo si y solo si todos sus subconjuntos tienen extremo inferior. Demostración: Solo hay que probar que si todos los subconjuntos de C tienen extremo inferior, también lo tienen superior y para ello basta observar que: ∀E ⊂ C, sup(E) = inf {x | x es cota superior de E}. Notas y ejemplos 2.1.6.– 2.1.6.1. .- Un retı́culo (R, ≤, u, t) se llama distributivo si y solo si: ∀ a, b, c ∈ R, a t (b u c) = (a t b) u (a t c), a u (b t c) = (a u b) t (a u c) P(C) es distributivo y L(V ) no lo es, como se comprueba inmediatamente, tomando por ejemplo como a, b, c rectas vectoriales distintas dos a dos en un espacio de dimensión 2. La propiedad de ser distributivo es también simétrica respecto al intercambio de t y u luego el principio de dualidad es válido en los retı́culos distributivos. 2.1.6.2. .- Un retı́culo (R, ≤, u, t) se dice modular, si verifica la propiedad siguiente, cuyo enunciado se debe a Dedekind : ∀ a, b, c ∈ R : a ≤ c ⇒ a t (b u c) = (a t b) u c Todo retı́culo distributivo es modular. L(V ) es modular. En cualquier retı́culo se verifica que: a ≤ c ⇒ a t (b u c) ≤ (a t b) u c Por tanto la propiedad modular equivale a: ∀ a, b, c ∈ R : a ≤ c ⇒ a t (b u c) ≥ (a t b) u c La propiedad dual de la ley modular es: ∀ a, b, c ∈ R : a ≥ c ⇒ a u (b t c) = (a u b) t c aplicando la propiedad conmutativa, esta fórmula se reescribe como: ∀ a, b, c ∈ R : c ≤ a ⇒ c t (b u a) = (c t b) u a que es otra vez la misma ley modular. Por tanto esta propiedad es autodual y el principio de dualidad es válido en los retı́culos modulares. 2.1. RETÍCULOS 49 2.1.6.3. .- En cada retı́culo (R, ≤, u, t), llamaremos 0 y 1 al mı́nimo y el máximo de R si existen. Un retı́culo se llama complementario si tiene 0 y 1 y: ∀ a ∈ R, ∃ca | a u ca = 0, a t ca = 1 Los retı́culos P(C) y L(V ) son complementarios, pero en el primero el complementario es único y en el segundo no. El mı́nimo y el máximo son duales uno del otro, y la propiedad de ser retı́culo complementario es autodual por lo que también es de aplicación el principio de dualidad a los retı́culos complementarios. 2.1.6.4. .- En un retı́culo con 0, (R, ≤, u, t), se llama átomo a todo elemento a ∈ R, a 6= 0, tal que b ≤ a ⇒ b = a ó b = 0. Un retı́culo se llama atómico si todo elemento diferente de cero del retı́culo es mayor o igual que un átomo. Los retı́culos P(C) y L(V ) son atómicos; en el primero, los átomos son los subconjuntos compuestos por un solo elemento y en el segundo, los subespacios de dimensión uno. En cambio el retı́culo PCF (C) no es atómico si C es infinito. Definición 2.1.7.– Sea (R, ≤, u, t) un retı́culo completo, diremos que S ⊂ R es un subconjunto cerrado por extremos inferiores, ó inf-cerrado si y solo si ∀ E ⊂ S, infR (E) ∈ S; como trabajamos al tiempo con dos conjuntos ordenados R, S precisamos con el subı́ndice el conjunto en que se toma el extremo, pero una vez que se establezca que S es inf-cerrado, infS = infR y el subı́ndice puede suprimirse. Si S es un subconjunto cerrado por extremos inferiores, la aplicación: LS : R −→ R, LS (a) = infS {x | x ∈ S, x ≤ a} se llama operador de linealización relativo a S y si a, b ∈ R, se dice que a depende linealmente de b respecto de S si y solo si a ≤ LS (b) Proposición 2.1.8.– En las condiciones de la definición anterior, el operador LS verifica las propiedades siguientes: 1. ∀ a ∈ R, a ≤ LS (a). 2. ∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇒ LS (a) ≤ LS (b). 3. ∀a ∈ R, L2S (a) = LS (a). Además ImLS = S. Recı́procamente si R es un retı́culo completo y una aplicación: L : R −→ R verifica las tres propiedades anteriores, el subconjunto T = ImL ⊂ R es cerrado para extremos inferiores y L = LT . Demostración: La primera parte de la proposición es trivial. Para probar la segunda consideramos una familia E ⊂ R, y, como es habitual llamamos L(E) = {L(a) | a ∈ E}. Obviamente : ∀a ∈ E, inf (E) ≤ a ⇒ ∀a ∈ E, L(inf (E)) ≤ L(a) ⇒ L(inf (E)) ≤ inf (L(E)) 50CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS sea ahora F ⊂ ImL entonces ∃ E ⊂ R tal que F = L(E). Por las hipótesis sobre L, L(F ) = L2 (E) = L(E) = F y en consecuencia: L(inf (F )) ≤ inf (L(F )) = inf (F ) ≤ L(inf (F )) ⇒ L(inf (F )) = inf (F ) Por tanto inf (F ) ∈ ImL e ImL es cerrado por extremos inferiores. La ultima afirmación es trivial. Nota 2.1.9.– - La proposición anterior establece una correspondencia biunı́voca entre los subconjuntos T cerrados por extremos inferiores, es decir por intersecciones arbitrarias, de un retı́culo completo R, y los operadores de linealización, es decir las aplicaciones de R en si mismo que cumplen las propiedades de la proposición 2.1.8. Esta correspondencia asocia a cada operador de linealización de un retı́culo completo (R, u, t), el retı́culo (Im(L), u, +), cuya primera operación es la misma de R, y la segunda es a + b = L(a t b). Recı́procamente a cada subconjunto inf-cerrado T ⊂ R le corresponde el operador de linealización dado por: \ LT (a) = b a≤b∈T y a su vez este operador dota a T de estructura de retı́culo. Observemos que este es el caso del conjunto de subespacios de un espacio vectorial V que es cerrado por intersecciones en el retı́culo P(V ) de subconjuntos de V , o del conjunto de subespacios de un espacio afı́n A cerrado por intersecciones en P(A). Los operadores correspondientes a estos conjuntos son respectivamente los de dependencia lineal y dependencia afı́n. En el lenguaje de la dependencia de la definición 3.1, las propiedades de L se traducen en: 1. a depende linealmente de a. 2. Si a depende linealmente de b y b depende linealmente de c, entonces a depende linealmente de c (transitividad de la dependencia lineal). 3. a depende linealmente de b y b depende linealmente de a si y solo si L(a) = L(b) Ejercicios de la sección 2.1 Ejercicio 2.1.1 Probar que en un retı́culo: aub=atb⇔a=b Ejercicio 2.1.2 Probar que el conjunto {a, b} con las operaciones t y u dadas por las tablas siguientes: 2.2. DIMENSIÓN EN RETÍCULOS MODULARES t a b a a a b b b u a b a a a 51 b a b verifica todas las propiedades de la definición de retı́culo salvo la conmutativa de t. Ejercicio 2.1.3 Poner ejemplos en la lı́nea del ejercicio anterior que prueben que con la excepción de la propiedad de idempotencia, los axiomas de la definición de retı́culo son independientes. Ejercicio 2.1.4 Dibujar los grafos de todos los retı́culos de menos de cinco elementos 2.2. Dimensión en retı́culos modulares En un conjunto ordenado cualquiera (C, ≤) se llama cadena de longitud n a una sucesión ordenada estrictamente creciente de elementos de C: a0 < a1 < ..... < an a0 y an se llaman extremos de la cadena. El conjunto ordenado C se llama de longitud finita si el conjunto de longitudes de las cadenas de C está acotado superiormente, en este caso al máximo de este conjunto se le llama longitud de C. Por ejemplo el retı́culo de subconjuntos de un conjunto finito C es un conjunto ordenado de longitud finita y su longitud es el número de elementos de C, también el retı́culo de subespacios de un espacio vectorial V de dimensión finita es de longitud finita y su longitud, es la dimensión de V como espacio vectorial. En cambio el retı́culo de subconjuntos de un conjunto infinito no es de longitud finita. Si C es un conjunto ordenado de longitud finita con un mı́nimo 0, y x ∈ C, se llama dimensión de x, dim(x), al máximo de las longitudes de las cadenas de extremos 0 y x, o lo que es lo mismo a la longitud del segmento: [0, x] = {z ∈ C | 0 ≤ z ≤ x} Diremos que y es el siguiente de x, o que x precede a y, y escribiremos x ≺ y si y solo si: x<y y ∀z ∈ C : x ≤ z ≤ y ⇒ x = z ó y = z. En un conjunto de longitud finita no se verifica necesariamente que: x ≺ y ⇒ x ≤ y y dim(y) = dim(x) + 1 pero veremos que esto es cierto imponiendo al conjunto condiciones complementarias. 52CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS El conjunto de cadenas de un conjunto ordenado C, y el conjunto de cadenas de C con extremos prefijados, se pueden ordenar por la relación de contenido y, cómo consecuencia del axioma de elección, toda cadena de un conjunto ordenado está contenida en una cadena maximal, y toda cadena con extremos a y b está contenida en una maximal con los mismos extremos. En un conjunto de longitud finita las cadenas maximales son todas ellas finitas, sin embargo no necesariamente tienen todas la misma longitud. Diremos que un conjunto ordenado de longitud finita C verifica la propiedad de Jordan si para todo par de elementos x e y de C, todas las cadenas maximales de extremos x e y tienen la misma longitud. Si además C tiene mı́nimo, 0, es claro que la longitud común a todas las cadenas maximales entre 0 y x es dim(x), y si 0 6= x < y, como la cadena 0 < x < y está contenida en una maximal, la longitud de todas las cadenas maximales de extremos x e y es precisamente dim(y) − dim(x). Teorema 2.2.1.– [ Dedekind] Si R es un retı́culo modular de longitud finita, R verifica la propiedad de Jordan, es decir para todo par de elementos a y b de R, todas las cadenas maximales de extremos a y b tienen la misma longitud Demostración: Probaremos el teorema demostrando por recurrencia que: Para todo par de elementos a y b de R tales que existe una cadena maximal de longitud n con extremos a y b, entonces toda cadena con extremos a y b tiene longitud menor o igual que n. Es obvio que si probamos la afirmación anterior queda probado el teorema. Si n = 1 esta afirmación es cierta. Sea ahora n ≥ 2 y sean: a = a0 < a1 < ..... < an = b, a = b0 < b1 < ..... < br = b dos cadenas con los mismos extremos, la primera de las cuales es maximal y de longitud n ≥ 2. Como a1 < b = br , y a1 a = b0 , podemos afirmar que existe un ı́ndice j, 1 ≤ j ≤ r, tal que a1 ≤ bj , a1 bj−1 y en consecuencia: (∗) ∀ i < j, a1 bi , ∀k ≥ j a1 ≤ bk formamos la sucesión creciente: a1 ≤ a1 t b1 ≤ ..... ≤ a1 t bj ≤ a1 t bj+1 ≤ .... ≤ a1 t br = b. Por la fórmula (∗), a1 t bk = bk ∀k ≥ j entonces la sucesión es realmente: a1 = a1 t b0 ≤ a1 t b1 ≤ ..... ≤ a1 t bj−1 ≤ bj < bj+1 < .... < br = b. Ahora si para algún valor de i, 1 ≤ i ≤ j − 1, a1 t bi−1 = a1 t bi , aplicando primero la propiedad de simplificación y luego la modular: bi = (bi t a1 ) u bi = (bi−1 t a1 ) u bi = bi−1 t (a1 u bi ). 2.2. DIMENSIÓN EN RETÍCULOS MODULARES 53 Pero por ser maximal la primera cadena a0 ≺ a1 , entonces se verifica que: a0 ≤ a1 u bi ≤ a1 ⇒ a0 = a1 u bi ó a1 = a1 u bi la primera opción es imposible porque como a0 ≤ bi−1 , serı́a: bi = bi−1 t (a1 u bi ) = bi−1 t a0 = bi−1 absurdo. La segunda opción lleva consigo que: a1 ≤ bi en contradicción con la hipótesis sobre i. Tenemos entonces la sucesión: a1 < a1 t b1 < ..... < a1 t bj ≤ bj+1 < .... < br = b que es una cadena entre a1 y b de longitud r − 1 ó de longitud r, según sea a1 t bj = bj+1 , ó a1 t bj < bj+1 . Como entre estos elementos hay una cadena maximal de longitud n − 1, por hipótesis de inducción se verifica que r − 1 ≤ n − 1 ⇒ r ≤ n, ó r ≤ n − 1 ⇒ r < n. Consecuencia 2.2.2.– Si R es un retı́culo modular, de longitud finita y con mı́nimo, existe una única función: dim : R −→ N tal que: Si 0 es el mı́nimo de R, dim(0) = 0 ∀x, y ∈ R, x ≺ y ⇒ dim(y) = dim(x) + 1 Y esta función verifica además que: 1. ∀x, y ∈ R, x ≤ y, dim(x) = dim(y) ⇒ x = y 2. ∀x, y ∈ R, dim(x) + dim(y) = dim(x t y) + dim(x u y) Demostración: Si tomamos como función dimensión la que asocia a cada elemento x del retı́culo la longitud de una cadena maximal que lo conecta con 0, esta función verifica las condiciones de la proposición, y cualquier función que verifique estas condiciones coincide con ella. La segunda afirmación se sigue de que si x < y, toda cadena maximal que termina en x se puede ampliar siempre con y y dim(x) < dim(y). La tercera es trivial si x ≤ y ó si y ≤ x. Si x e y no son comparables podemos considerar las cadenas: 0 < x u y < x, 0 < x u y < y En las que eventualmente pueden coincidir los dos primeros elementos, y en este caso dim(x u y) = 0. Ampliamos las dos cadenas a cadenas maximales: 0 < x1 < .... < xr = x u y < xr+1 < .... < xn = x 0 < y1 < .... < yr = x u y < yr+1 < .... < ym = y 54CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS En consecuencia: dim(x) = n, dim(y) = m, dim(x u y) = r ≥ 0. Veamos ahora que: x t yt ≺ x t yt+1 , ∀t, r ≤ t ≤ m − 1. Obviamente : x t yt ≤ x t yt+1 y si se verifica la igualdad, cortamos con y, aplicamos la propiedad modular y que x u y = yr ≤ yt y se tiene: x t yt = x t yt+1 ⇒ (yt t x) u y = (yt+1 t x) u y ⇒ yt t (x u y) = = yt+1 t (x u y) ⇒ yt = yt+1 . Por tanto se llega a un absurdo y necesariamente: x t yt < x t yt+1 . Si suponemos ahora: xtyt ≤ z ≤ xtyt+1 , cortando de nuevo por y y usando el resultado anterior se tiene yt ≤ z u y ≤ yt+1 . Como por la maximalidad de la cadena de las y-s, es yt ≺ yt+1 , se verifica que, ó bien: z u y = yt ⇒ x t yt = x t (y u z) = (x t y) u z = z ó bien z u y = yt+1 y por el mismo razonamiento anterior x t yt+1 = z. En consecuencia la cadena: 0 < x1 < .... < xr = x u y < xr+1 < .... < xn = x = x t yr < ... < x t ym = x t y es maximal y dim(x t y) = n + m − r = dim(x) + dim(y) − dim(x u y). Ejercicios de la sección 2.2 Ejercicio 2.2.5 Se llama función de dimensión en un conjunto ordenado C a toda aplicación dim : C −→ Z≥0 , tal que ∀x, y ∈ C : x ≺ y ⇒ dim(y) = dim(x) + 1. 1. Probar que sobre un conjunto ordenado de longitud finita, con mı́nimo 0 y que verifica la propiedad de Jordan existe una única función de dimensión tal que dim(0) = 0 2. Dar un ejemplo de un conjunto finito, que verifique la propiedad de Jordan y sin embargo no admita una función de dimensión 3. Averiguar si un conjunto ordenado de longitud finita, con mı́nimo y tal que existe sobre él una función de dimensión verifica la condición de Jordan. Ejercicio 2.2.6 Probar que si a y b son elementos distintos de un retı́culo: a ≺ x, b ≺ x ⇒ x = a t b Ejercicio 2.2.7 Poner un ejemplo de un conjunto ordenado, de longitud finita y con mı́nimo en el cual existan dos elementos x e y tales que x ≺ y y sin embargo dim(y) 6= dim(x) + 1. Ejercicio 2.2.8 Se considera el conjunto ordenado C de la figura 2.2 2.3. ISOMORFISMOS DE RETÍCULOS 55 A C B D E Figura 2.2: Representación gráfica del conjunto ordenado C 1. Probar que C es un retı́culo no modular. 2. Probar que si un retı́culo contiene un subretı́culo isomorfo a C el retı́culo no es modular. 3. Sea R un retı́culo no modular, y sean x, y ∈ R tales que: x ≥ z, x t (y u z) < (x t y) u z. Probar que: y u z, x t (y u z), y, (x t y) u z, x t y es un subretı́culo de R isomorfo a C. Ejercicio 2.2.9 Describir los cinco retı́culos de cinco elementos señalando cuales son modulares Ejercicio 2.2.10 Dar el enunciado dual de: dim(a) = r, en un retı́culo modular de dimensión n. 2.3. Isomorfismos de retı́culos En esta sección estudiaremos las transformaciones propias entre retı́culos. Definición 2.3.1.– Sean R, S conjuntos ordenados, y sea f : R −→ S una aplicación. 1. f se llama monótona si y solo si ∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇒ f (a) ≤ f (b) 2. f se llama isomorfismo ordenado si y solo si es biunı́voca y ∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ f (a) ≤ f (b) 56CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS Si R, S son retı́culos, f se llama homomorfismo de retı́culos si y solo si ∀ a, b ∈ R, f (a ∪ b) = f (a) ∪ f (b), f (a ∩ b) = f (a) ∩ f (b). Un homomorfismo biunı́voco de retı́culos se llama un isomorfismo de retı́culos. Un automorfismo de R es un isomorfismo de R en R. Proposición 2.3.2.– Si R, S son retı́culos y f : R −→ S es una aplicación, f es isomorfismo ordenado si y solo si es isomorfismo de retı́culos. Demostración: Un isomorfismo ordenado preserva extremos de pares de elementos, veámoslo con los inferiores: c = inf {a, b} = a u b ⇒ c ≤ a, c ≤ b ⇒ f (c) ≤ f (a), f (c) ≤ f (b) Por otra parte como f es sobre ∀s ∈ S, ∃ d ∈ R s = f (d), luego: s ≤ f (a), s ≤ f (b) ⇒ f (d) ≤ f (a), f (d) ≤ f (b) ⇒ d ≤ a, d ≤ b ⇒ ⇒ d ≤ c ⇒ s = f (d) ≤ f (c) Por tanto f (c) = inf {f (a), f (b)} = f (a)uf (b) y lo mismo sucede con el extremo superior, luego f es isomorfismo de retı́culos. Recı́procamente, si f es isomorfismo de retı́culos: ∀a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ a ∩ b = a ⇒ ⇒ f (a) ∩ f (b) = f (a) ⇒ f (a) ≤ f (b) Además por ser f biunı́voca, si a, b ∈ R y si f −1 es la inversa de f : a ∩ b = f f −1 (a) ∩ f f −1 (b) = f (f −1 (a) ∩ f −1 (b)) ⇒ f −1 (a ∩ b) = f −1 (a) ∩ f −1 (b) Entonces: ∀a, b ∈ R, f (a) ≤ f (b) ⇒ f (a) ∩ f (b) = f (a) ⇒ ⇒ a = f −1 f (a) = f −1 f (a) ∩ f −1 f (b) = a ∩ b ⇒ a ≤ b Consecuencia 2.3.3.– Si R1 y R2 son retı́culos completos, f : R1 −→ R2 es un isomorfismo de retı́culos, T ⊂ R1 , U ⊂ R2 son subconjuntos inf - completos y LT , LU son los operadores de linealización correspondientes, entonces se verifica que f.LT = LU .f , si y solo si f induce un isomorfismo de retı́culos de T en U Demostración: Como f es biunı́voca y f.LT = LU .f , f aplica biunı́vocamente T = Im(LT ) sobre U = Im(LU ) y obviamente al restringirla a T sigue siendo isomorfismo ordenado. Recı́procamente, el razonamiento de la proposición anterior muestra que un isomorfismo ordenado conserva los extremos inferiores, entonces: \ \ ∀a ∈ R1 , f.LT (a) = f ( b) = f (b) = LU (f (a)) a≤b∈T a≤b∈T 2.3. ISOMORFISMOS DE RETÍCULOS 57 Verificándose la ultima igualdad por la hipótesis de ser f isomorfismo ordenado entre T y U. Nota 2.3.4.– Siempre que existan en ambos retı́culos, los isomorfismos transforman máximo y mı́nimo en máximo y mı́nimo, complementario en complementario y conservan la dimensión. Definición 2.3.5.– Sea f : R −→ S una aplicación entre conjuntos ordenados, f se llama antiisomorfismo si y solo si es biunı́voca y: ∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ f (a) ≥ f (b) Si además R, S son retı́culos, f se llama antihomomorfismo de retı́culos si ∀a, b ∈ R, f (a ∪ b) = f (a) ∩ f (b), f (a ∩ b) = f (a) ∪ f (b). Un antihomomorfismo biunı́voco de retı́culos se llama un antiisomorfismo de retı́culos. Del mismo modo que la proposición 2.3.2, se demuestra que si R, S son retı́culos y f : R −→ S es una aplicación, f es antiisomorfismo ordenado si y solo si es antiisomorfismo de retı́culos. Ejercicios de la sección 2.3 Ejercicio 2.3.11 Probar que una aplicación entre retı́culos modulares de dimensión dos es un isomorfismo si y solo si es biunı́voca y lleva el 0 en el 0 y el 1 en el 1 Ejercicio 2.3.12 Sea f : R −→ T una aplicación entre retı́culos tal que: ∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f (x) < f (y), f (x u y) = f (x) u f (y) Probar que f es isomorfismo de retı́culos. Ejercicio 2.3.13 Sea (C, ≤) un conjunto ordenado, para cada subconjunto A de C definimos: ↓ A = {x ∈ C | ∃ a ∈ A, x ≤ a} y diremos que A es un l-subconjunto si y solo si A =↓ A. 1. Probar que el conjunto, ↓ P(C), de l-subconjuntos de C con la inclusión como orden, es un retı́culo completo. 2. Probar que la correspondencia: ψC : C −→↓ P(C); ψC (x) =↓ {x} es inyectiva, monótona y preserva extremos inferiores. Ejercicio 2.3.14 Probar que todo conjunto ordenado se puede sumergir en un retı́culo completo, de modo que se mantenga el orden y se conserven, cuando existan, los extremos inferiores de conjuntos arbitrarios. 58CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS Ejercicio 2.3.15 Sea f : C −→ D una aplicación monótona entre conjuntos ordenados. Probar que para todo subconjunto A de C: ↓ f (A) =↓ f (↓ A) Averiguar si es cierto que, con las notaciones de los problemas anteriores, ∀ x ∈ C, ψD f (x) =↓ f (ψC (x)) y en consecuencia la inmersión descrita en el problema 13 induce una inmersión para las aplicaciones monótonas. 2.4. Espacios proyectivos generalizados Esta sección está dedicada a introducir una primera versión del espacio proyectivo y a caracterizar el retı́culo de sus subespacios. Definición 2.4.1.– Un espacio proyectivo generalizado es un par P = (E, R), donde E es un conjunto a cuyos elementos llamaremos puntos y R una familia de subconjuntos de E a cuyos elementos llamaremos rectas, que verifican las condiciones siguientes: Axioma P − 1 Toda recta contiene al menos dos puntos Axioma P − 2 Para cada par de puntos distintos hay una única recta que los contiene Axioma P − 3 Dados cinco puntos distintos dos a dos, A, B, C, B 0 , C 0 tales que A, B, C y A, B 0 , C 0 están alineados, existe un punto A0 tal que B, A0 , C 0 y C, A0 , B 0 están alineados(figura 2.3)(alineados significa contenidos en una recta) Por convenio llamaremos también espacios proyectivos generalizados a los pares: (∅, ∅), ({P }, ∅) Definición 2.4.2.– En un espacio proyectivo generalizado (E, R), se llama variedad lineal o subespacio a todo subconjunto S de E, tal que: S = ∅, S contiene un solo punto, o ∀{P, Q} ⊂ S, P 6= Q, la recta que pasa por P y Q está contenida en S. Ejemplos 2.4.3.– 2.4.3.5. .- Sea C un conjunto arbitrario con más de un elemento, el par (C, R), con R = {C} es un espacio proyectivo generalizado, ya que cumple las dos primeras condiciones de la definición y la tercera no tiene sentido por haber en el espacio una única recta. Los subespacios de este espacio son ∅, los puntos y todo C. 2.4.3.6. .- Sea C un conjunto con más de un elemento, el par (C, R), donde R es el conjunto de todos los subconjuntos de C compuestos por dos elementos, es 2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 59 A A A’ B B B’ C’ A’ C C C’ B’ Figura 2.3: El axioma 3 impone que dos rectas coplanarias tienen necesariamente intersección no vacı́a un espacio proyectivo generalizado, las dos primeras condiciones de la definición se verifican trivialmente, y la tercera también porque ninguna recta tiene tres puntos. Los subespacios de este espacio son todos los subconjuntos de C. 2.4.3.7. .- Sea X = {A, B, C, D} y sea R = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C, D}}, entonces (X, R) es un espacio proyectivo generalizado. Los subespacios son el vacı́o, los puntos, las rectas y todo el espacio. Obsérvese que en este ejemplo no todas las rectas tienen el mismo número de puntos. 2.4.3.8. .- Sea K un anillo con división, es decir, un conjunto con una estructura idéntica a la de cuerpo salvo que no se impone la propiedad conmutativa de la multiplicación. Podemos construir el conjunto K n+1 de matrices de una fila y n + 1 columnas, lo mismo que en el caso de cuerpos, este conjunto con la suma de matrices cómo operación es un grupo abeliano, pero ahora se puede definir la ley externa de dos formas. Si λ ∈ K y a = (a0 , ..., an ) ∈ K n+1 , podemos definir: λ.a = (λa0 , ..., λan ) (producto por la izquierda) λ.a = (a0 λ, ..., an λ)(producto por la derecha) Estas dos operaciones verifican propiedades similares a las de la ley externa en espacios vectoriales. En lo que sigue usaremos solamente la operación por la izquierda. Definimos en K n+1 − {(0, ..., 0)}, la relación: (a0 , ..., an ) ' (b0 , ..., bn ) ⇔ ∃ a ∈ K∗, ai = abi , ∀ i, 0 ≤ i ≤ n El conjunto cociente PnK = (K n+1 − {(0, ..., 0)})/ ' se llama espacio proyectivo n-dimensional sobre K. Los puntos de este espacio son clases de matrices: [a] = [a0 , ..., an ] = {(aa0 , ..., aan ) | a ∈ K∗}, ∀ (a0 , ..., an ) ∈ K n+1 − {(0, ..., 0)} y las rectas los subconjuntos: [a] + [b] = {[αa + βb] | [a], [b] ∈ PnK , [a] 6= [b], (α, β) ∈ K 2 − {(0, 0)}} 60CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS De la definición es claro que toda recta contiene al menos dos puntos, ya que cada recta [a] + [b] contiene al menos a [a] y [b], y que por dos puntos [a], [b] pasa al menos una recta, [a] + [b]. La unicidad se sigue de que: [c], [d] ∈ [a] + [b], [c] 6= [d] ⇒ [a] + [b] = [c] + [d] Probemos esta igualdad. De la hipótesis se sigue que : c = αa + βb, d = γa + δb. Entonces: [x] ∈ [c] + [d] ⇒ x = λc + µd = λ(αa + βb) + µ(γa + δb) = (λα + µγ)a + (λβ + µδ))b ⇒ [x] ∈ [a] + [b] Para probar el recı́proco, basta probar que [c], [d] ∈ [a]+[b] ⇒ [a], [b] ∈ [c]+[d] y por simetrı́a basta comprobarlo con [a], es decir basta probar que tiene solución el sistema vectorial: a = xc + yd = x(αa + βb) + y(γa + δb) = (xα + yγ)a + (xβ + yδ))b equivalente al sistema numérico: xα xβ + + yγ yδ = 1 = 0 Cómo los puntos son distintos, prescindiendo de los casos triviales, podemos suponer α 6= 0, β 6= 0 y multiplicando por la izquierda la primera ecuación por α−1 y la segunda por β −1 , se tiene x + x + yγα−1 yδβ −1 = = α−1 0 restando las ecuaciones y(γα−1 − δβ −1 ) = α−1 , y como γα−1 − δβ −1 6= 0, porque en caso contrario γα−1 = δβ −1 ⇒ γ −1 δ = β −1 α ⇒ [c] = [αa + βb] = [β −1 αa + b] = [γ −1 δa + b] = [γa + δb] = [d]. Entonces el sistema tiene solución. La comprobación de la tercera condición se traduce en un sistema de ecuaciones lineales que se resuelve inmediatamente, teniendo en cuenta siempre que no se puede usar la propiedad conmutativa de la multiplicación. Proposición 2.4.4.– Las variedades lineales de un espacio proyectivo generalizado P = (E, R), forman un retı́culo completo y atómico L(P), respecto al orden inducido por la inclusión. Demostración: En virtud de la proposición 2.1.5, basta probar que la intersección conjuntista de una familia arbitraria de variedades lineales es una variedad lineal, porque esto significa que el conjunto de variedades lineales es cerrado para extremos inferiores de conjuntos arbitrarios y en consecuencia es retı́culo completo. Pero de la definición de variedad lineal es claro que la intersección conjuntista de variedades es una variedad. El mı́nimo del retı́culo es el vacı́o, el máximo es el espacio completo y los átomos son los subconjuntos compuestos por un solo punto. El primer axioma garantiza que el retı́culo es atómico. 2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 61 Proposición 2.4.5.– Sea (L(E, R), ∩, +) el retı́culo de subespacios de un espacio proyectivo generalizado (E, R). 1. Si S es un subespacio de (E, R), (S, RS ) donde RS es el conjunto de rectas contenidas en S, es también un espacio proyectivo generalizado. 2. Si A, B ∈ E, A 6= B, A + B es la recta que pasa por A y B. (Por abuso de lenguaje, que mantendremos en lo sucesivo, siempre que A sea un punto identificaremos A con {A}) 3. Si L1 y L2 son variedades lineales de (E, R) [ L1 + L2 = A+B A∈L1 ,B∈L2 ,A6=B en todos los casos en que el segundo miembro de la igualdad tenga sentido. Demostración: Las dos primeras afirmaciones son evidentemente ciertas. Respecto a la tercera, los casos en que no tiene sentido el segundo miembro de la igualdad son: L1 = ∅ ó L2 = ∅ L1 = L2 = {P } Y en ellos es claro que L1 + L2 = L2 , L1 + L2 = L1 , ó L1 + L2 = L1 = L2 respectivamente. Fuera de estos casos y por definición de la operación suma: L1 + L2 = Inf {L ∈ L | L1 ⊂ L, L2 ⊂ L} por tanto hemos de probar que el segundo miembro de la igualdad del enunciado de la proposición, al que llamaremos T , es una variedad lineal contenida en todas las variedades que contienen a L1 y a L2 y que las contiene a ambas. Veamos primero que L1 ⊂ T : Sea P ∈ L1 , si L2 6= P , como L2 6= ∅, existe Q ∈ L2 , Q 6= P , entonces P + Q ⊂ T ⇒ P ∈ T . Si L2 = P , como no estamos en uno de los casos triviales, L1 6= P , y existe R ∈ L1 , R 6= P , en consecuencia R + P ⊂ T y P ∈ T . Una argumentación similar prueba que L2 ⊂ T . Hay que comprobar ahora que L1 ⊂ L, L2 ⊂ L ⇒ T ⊂ L. Pero esta afirmación resulta de la definición de variedad lineal. Por último T es una variedad lineal. En efecto si P, Q ∈ T , y ambos están en L1 o en L2 , la recta que los une está en el subespacio correspondiente y por tanto en T. Lo mismo sucede, ahora por definición de T, si cada uno de los puntos está en uno de los subespacios. En consecuencia los únicos casos que nos quedan son P ∈ / L1 ∪ L2 o Q ∈ / L1 ∪ L2 . Por simetrı́a basta considerar los casos P ∈ L1 , Q ∈ / L1 ∪ L2 y P ∈ / L1 ∪ L2 , Q ∈ / L1 ∪ L2 . En el primer caso ( figura 2.4), existen A2 ∈ L1 , B2 ∈ L2 , Q ∈ A2 + B2 . Ası́ si X es un punto arbitrario de P + Q, Q, B2 , A2 y Q, X, P están alineados y por el axioma 3 existe X 0 con A2 , X 0 , P alineados, luego X 0 ∈ L1 , y B2 , X, X 0 alineados luego X ∈ X 0 + B2 , X 0 ∈ L1 , B2 ∈ L2 y X ∈ T . 62CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS L1 P X' L1 A2 A1 X Q A2 X P Q P1 B2 B1 L2 B2 L2 Figura 2.4: Los dos casos de la proposición En el segundo caso existen A1 , ∈ L1 , B1 ∈ L2 tales que P ∈ A1 + B1 , entonces si X ∈ P + Q, P, A1 , B1 , y P, X, Q están alineados, de nuevo el axioma 3 establece que ∃P1 tal que P1 , B1 , Q alineados, y por el caso anterior P1 ∈ T , y X, P1 , A1 alineados, luego de nuevo por el caso anterior X ∈ T . Proposición 2.4.6.– El retı́culo L(E, R) de variedades lineales de un espacio proyectivo generalizado es modular. Demostración: En virtud de 13 basta probar la desigualdad: ∀ L1 , L2 , L3 ∈ L(E, R), L1 ≤ L3 ⇒ L1 + (L2 ∩ L3 ) ⊃ (L1 + L2 ) ∩ L3 . Sea P ∈ (L1 + L2 ) ∩ L3 , entonces: P ∈ L3 y, dejando fuera los casos limite triviales, y aplicando la proposición anterior P ∈ L1 + L2 ⇒ ∃A ∈ L1 , B ∈ L2 , P ∈ A + B entonces, si P = A, P ∈ L1 ⊂ L1 + (L2 ∩ L3 ) y si P 6= A: B ∈ A + P ⇒ B ∈ L3 ⇒ B ∈ L2 ∩ L3 ⇒ P ∈ L1 + (L2 ∩ L3 ) Proposición 2.4.7.– El retı́culo L de variedades lineales de un espacio proyectivo generalizado (E, R) es complementario. Demostración: Dada una variedad lineal L, podemos formar el conjunto CL = {T ∈ L | L ∩ T = ∅} que es no vacı́o porque al menos ∅ ∈ CL , veamos que está ordenado inductivamente por inclusión, para ello basta probar que: [ {Ti }i∈I ⊂ CL totalmente ordenado ⇒ T i ∈ CL S i∈I Pero es claro que i∈I Ti ∈ L, ya que [ [ P, Q ∈ Ti ⇒ ∃j ∈ I, con P, Q ∈ Tj ⇒ P + Q ∈ Tj ⊂ Ti i∈I i∈I 2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 63 Por otra parte por la distributividad de la intersección respecto de la unión conjuntista [ [ [ L ∩ ( Ti ) = (L ∩ Ti ) = ∅ ⇒ Ti ∈ CL i∈I i∈I i∈I entonces hay en CL algún maximal T , este es un complementario de L pues T ∈ CL ⇒ L ∩ T = ∅ y: T + L 6= E ⇒ ∃P ∈ E, P ∈ / T + L ⇒ (T + P ) ∩ L = ∅ porque en caso contrario ∃Q ∈ (T + P ) ∩ L ⇒ ∃R ∈ T, Q ∈ (R + P ) ∩ L ⇒ P inR + Q ⊂ T + L Entonces T + P ∈ CL , T ⊂ T + P, T 6= T + P , en contradicción con la maximalidad de T . Hemos comprobado que dado un espacio proyectivo generalizado su retı́culo de subespacios es modular complementario y atómico, si además es de longitud finita, el espacio proyectivo generalizado se dice finito dimensional. Como el retı́culo de subespacios de un espacio proyectivo generalizado finito dimensional P es modular y de longitud finita se puede definir en él una función de dimensión. Llamaremos dimensión proyectiva de un subespacio de P a su dimensión como elemento del retı́culo de subespacios disminuida en una unidad. Como consecuencia de las propiedades de la dimensión ya probadas en retı́culos, la dimensión proyectiva dimP verifica las propiedades siguientes: 1. dimP (∅) = −1, dimP (L) = 0 ⇔ L = {P }, P ∈ E 2. dimP (L) = r ⇔ ∃∅ ⊂ L0 ⊂ ..... ⊂ Lr = L cadena maximal 3. L1 ⊂ L2 ⇒ dimP (L1 ) ≤ dimP (L2 ) y se verifica la igualdad si y solo si L1 = L2 4. dimP (L1 ) + dimP (L2 ) = dimP (L1 + L2 ) + dimP (L1 ∩ L2 ) De estas propiedades se pueden deducir las siguientes: Propiedades 2.4.8.– 2.4.8.1. .- Si L1 y L2 son subespacios de un espacio proyectivo generalizado P de dimensión n y dimP (L1 ) + dimP (L2 ) ≥ n, entonces dimP (L1 ∩ L2 ) = dimP (L1 ) + dimP (L2 ) − dimP (L1 + L2 ) ≥ 0 y en consecuencia L1 ∩ L2 6= ∅. 2.4.8.2. .- Si r y r0 son dos rectas de un plano, o bien r = r0 , o bien r y r0 se cortan en un único punto. En efecto, si r y r0 son distintas, r ⊂6= r + r0 ⊂ P ⇒ 1 = dimP (r) < dimP (r + 0 r ) ≤ 2 ⇒ dimP (r+r0 ) = 2 ⇒ dimP (r∩r0 ) = dimP (r)+dimP (r0 )−dimP (r+r0 ) = 1 + 1 − 2 = 0 ⇒ r ∩ r0 es un punto. 64CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 2.4.8.3. .- Se llama hiperplano de un espacio de dimensión n a todo subespacio de dimensión n − 1, claramente un subespacio H ⊂ P es un hiperplano si y solo si H ≺ P, es decir el único subespacio que contiene estrictamente a H es todo el espacio. Entonces si H es un hiperplano y S un subespacio de dimensión r no contenido en H, S +H = P, porque contiene estrictamente a H, y por la fórmula de las dimensiones dimP (H ∩ S) = r − 1. En particular, dados un hiperplano H y una recta r, o bien r ⊂ H o bien r corta a H en un único punto. 2.4.8.4. .- Si S y T son subespacios complementarios en P y dimP (P) = n, entonces dimP (S) = n − 1 − dimP (T ).En efecto: ¾ S+T =P ⇒ dimP (S) + dimP (T ) = dimP (P) + dimP (∅) = n − 1 S∩T =∅ Por ejemplo, si S es una recta en un espacio de dimensión tres, su espacio complementario es otra recta, que se dice que se cruza con ella. 2.4.8.5. .- Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimensión y S es un complementario común a S1 y S2 , para todo subespacio T de S1 , dimP ((T + S) ∩ S2 ) = dimP (T ). En efecto, T ⊂ S1 ⇒ T ∩ S = ∅ y § ⊂ T + S ⇒ (T + S) + S2 = P, entonces de la formula de las dimensiones: dimP ((T + S) ∩ S2 ) = dimP (T + S) + dimP (S2 ) − dimP ((T + S) + S2 ) = = dimP (T ) + dimP (S) − dimP (T ∩ S) + dimP (S2 ) − n = dimP (T ) porque al ser S complementario de S2 , dimP (S) + dimP (S2 ) = n − 1 = n + dimP (S ∩ T ). Proposición 2.4.9.– Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimensión y S es un complementario común a S1 y S2 1. Para todo punto P de S1 , (P + S) ∩ S2 ) es un punto de S2 . 2. La correspondencia ψS : S1 −→ S2 , ψS (P ) = (P + S) ∩ S2 es biyectiva 3. S1 y S2 tienen el mismo cardinal Demostración: El apartado uno es un caso particular de la propiedad 5 y el tercero es consecuencia del segundo. Para probar el apartado segundo basta probar que ψS tiene inversa y veremos que es: ϕS : S2 −→ S1 , ϕS (Q) = (Q + S) ∩ S1 Si P ∈ S1 , se verifica que: ϕS ψS (P ) = (ψS (P ) + S) ∩ S1 = ((P + S) ∩ S2 ) + S) ∩ S1 ) 2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 65 cómo S ⊂ P +S, por la propiedad modular S+(S2 ∩(P ∗S)) = (S+S2 )∩(P +S) = P ∩ (P + S) = P + S y de nuevo por la propiedad modular, al ser P ∈ S1 es (P + S) ∩ S1 = P + (S ∩ S1 ) = P + ∅ = P . Por simetrı́a se obtiene que ϕS es también la inversa por la derecha de ψS . Observemos que en el ejemplo 7 de 2.4.3 las rectas {A, B} y {B, C, D} no tienen un complementario común mientras que las {A, B} y {A, C} si lo tienen, el punto D. Definición 2.4.10.– Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimensión y S es un complementario común a S1 y S2 , la biyección: ψS : S1 −→ S2 , ψS (P ) = (P + S) ∩ S2 se llamara en lo sucesivo proyección desde S en P de S1 en S2 La proyección no depende del ambiente P como prueba el resultado siguiente: Proposición 2.4.11.– Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimensión y T es un subespacio de P que contiene a S1 y S2 . 1. Si S es un complementario común en P a S1 y S2 T ∩ S es un complementario común a S1 y S2 en T y la proyección desde S en P, ψS , coincide con la proyección desde S ∩ T en T , ψS∩T 2. Si U es un complementario común a S1 y S2 en T , y R es un complementario de T en P, U + R es un complementario común a S1 y S2 en P y ψU = ψU + R Demostración: Comprobemos que S = S ∩ T es un complementario de S1 en T, para ello basta usar la propiedad asociativa de la intersección la ley modular y que S es complementario de S1 . S ∩ S1 = (T ∩ S) ∩ S1 = T ∩ (S ∩ S1 ) = T ∩ ∅ = ∅ S + S1 = (T ∩ S) + S1 = T ∩ (S + S1 ) = T ∩ P = T De la misma forma se prueba que S ∩ T es complementaria de S2 en T, y como: ∀ P ∈ S1 , ((S ∩ T) + P ) ∩ S2 ⊂ (S + P ) ∩ S2 y ambos subespacios son puntos, los dos son iguales. Luego las proyecciones de S1 sobre S2 desde S y S ∩ T coinciden. Para probar la segunda parte de la proposición basta probar, teniendo en cuenta la primera, que U + R es un complementario de S1 y de S2 en P y que (U +R)∩T = U . La última afirmación es consecuencia de la propiedad modular, y la primera resulta de que obviamente: (R + U ) + S1 = R + (U + S1 ) = R + T = P P y de que por la fórmula de las dimensiones: R ∩ U = ∅ ⇒ dim(R + U ) = dimR + dimU + 1 66CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS S1 U A B C B' C' S2 A' U+A U+B U+C S+A T S+B S S+C Figura 2.5: P es el espacio tridimensional y T el plano, la proyección de S1 en S2 desde U en el plano coincide con la proyección desde S en el espacio y al ser U complementario de S1 en T y R complementario de T en P, dimT = dimU +dimS +1, dimP = dimR+dimT+1 = dimR+dimU +dimS +2 entonces d1m((R+U ) capS1 ) = dim(R+U )+dimS1 −dim(R+U +S1 ) = dimR+dimU +1+dimS1 −dimP = −1 Y lo mismo sucede con S2 Definición 2.4.12.– Un conjunto F ⊂ E de puntos de un espacio proyectivo se llama conjunto de puntos dependientes si y solo si ∃ P ∈ F, P ∈ L(F − {P }) F se dice parte libre o conjunto de puntos independientes si no es un conjunto de puntos dependientes, esto es si y solo si ∀ P ∈ F, P ∈ / L(F − {P }) Proposición 2.4.13.– Sea (E, R) un espacio proyectivo generalizado de dimensión finita: 1. Si S1 y S2 son subespacios de(E, R), tales que S1 ⊂ S2 , se verifica que dim(S2 ) = dim(S1 ) + 1 si y solo si existe un punto P ∈ / S1 tal que S2 = S1 + P . 2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 67 2. Si S es un subespacio de (E, R), dim(S) = r si y solo si ∃ {P0 , ..., Pr } ⊂ S, parte libre y tal que S = P0 + ... + Pr 3. Si F = {P0 , ...Pr } ⊂ E, F es parte libre si y solo si dimP (L(F )) = dimP (P0 + ... + Pr ) = r 4. Si {P0 , ...Pn } ⊂ P y la dimensión de P es n, {P0 , ...Pn } son independientes si y solo si P0 + ... + Pr = P 5. Si {P0 , ...Pr } son independientes en un espacio de dimensión n existen puntos {Pr+1 , ...Pn } tales que {P0 , ...Pn } son linealmente independientes. Demostración: Observemos en primer lugar que P ∈ / L1 ⇒ {P } ∩ L1 = ∅ y por la formula de las dimensiones: dimP (L1 + P ) = dimP (L1 ) + dimP (P ) − dimP ({P } ∩ L1 ) = dimP (L1 ) + 1 Recı́procamente, si L1 ⊂ L2 , dimP (L1 ) + 1 = dimP (L2 ) existe al menos un punto P ∈ L2 , P ∈ / L1 , entonces: L1 ⊂ (L1 + P ) ⊂ L2 , dimP (L1 +P ) = dimP (L1 )+ 1 = dimP (L2 ) ⇒ L2 = L1 + P La segunda afirmación resulta trivialmente de la primera por inducción, y lo mismo la tercera, la cuarta es un caso particular de la segunda y la quinta se sigue de la primera. Consecuencia 2.4.14.– Si S es un subespacio de P y P ∈ / S es un punto, existe un hiperplano que contiene a S y no contiene a P , y en consecuencia todo subespacio de dimensión r de un espacio de dimensión n es intersección de n − r hiperplanos. Demostración: Si S = ∅ o S es un hiperplano no hay nada que demostrar, en caso contrario dimP (S) = r, 0 ≤ r ≤ n − 2 y existen r + 1 puntos independientes {P0 , ..., Pr } con S = P0 +...+Pr , cómo P ∈ / S, {P0 , ..., Pr , P } son linealmente independientes y existen {Pr+2 , ..., Pn }tales que {P0 , ..., Pr , P, P r + 2, ..., Pn } son independientes y su suma es todo el espacio. Entonces, P0 +...+Pr +Pr+2 +...+Pn es el hiperplano buscado. La segunda afirmación es trivial de la ya probada. Proposición 2.4.15.– Si toda recta de un espacio proyectivo contiene al menos tres puntos, todo par de subespacios de la misma dimensión tienen un complementario común (y en consecuencia todos los subespacios de la misma dimensión tienen el mismo cardinal). Demostración: Sean S1 y S2 dos subespacios de la misma dimensión r de P, si S1 = S2 no hay nada que demostrar, si S1 6= S2 como tienen la misma dimensión ninguno de ellos contiene al otro, luego ∃P ∈ S1 , P ∈ / S2 , ∃Q ∈ 68CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS S2 , Q ∈ / S1 , entonces la recta P + Q contiene al menos un tercer punto R1 , y R1 ∈ / S1 porque P + R1 = P + Q ∈ / S1 y por la misma razón R1 ∈ / S2 , pero por definición de suma R1 ∈ S1 + S2 . Tomamos ahora S1 + R1 , S2 + R2 que tienen la misma dimensión r + 1 y si son distintas repetimos el proceso, cómo estamos limitados por la dimensión de P, llegamosaunmomentoenque :S1 + R1 + ... + Rt = S2 + R1 + ... + Rt . Sea ahora T un complementario de este subespacio, dimP (T ) = n − (r + t) y dimP (T + R1 + ... + Rs ) = n − r, y como S1 + R1 + ... + Rt + T = S2 + R1 + ... + Rt + T = P, por la formula de las dimensiones T + R1 + ... + Rt es un complementario de S1 y S2 . Hemos visto las propiedades de los retı́culos de subespacios de un espacio proyectivo generalizado, vamos a ver que estas propiedades bastan para caracterizar dichos retı́culos de subespacios. más precisamente, dado un retı́culo R modular, complementario, atómico y de longitud finita, podemos considerar el conjunto de sus átomos A(R) y este conjunto es suficiente para determinar el retı́culo como establece la siguiente proposición: Proposición 2.4.16.– Si R es un retı́culo modular, complementario y atómico, se verifica que: 1. Si a, b ∈ R, a ≤ b, ∃ c, tal que : a t c = b, a u c = 0 2. Si ∀ x ∈ R, [x] = {a ∈ A(R), a ≤ x}, se verifica que x ≤ y ⇔ [x] ⊂ [y] y en consecuencia, x = y ⇔ [x] = [y] Demostración: La primera afirmación resulta de la existencia del complementario a de a. Si llamamos c = b u a, es: a u c = a u (a u b) = (a u a) u b = 0 u b = 0 y por la propiedad modular, como a ≤ b es: a t c = a t (a u b) = (a t a) u b = 1 u b = b. Para probar la segunda basta observar que claramente x ≤ y ⇒ [x] ⊂ [y]. La otra implicación resulta de que decir que x y equivale a x u y < y entonces por el apartado primero de la proposición hay un complementario z 6= 0 de x u y en y, como el retı́culo es atómico hay al menos un átomo a ≤ z, entonces a ≤ y y a no es menor o igual que x, luego [x] no es subconjunto de [y]. Con las notaciones anteriores podemos llamar puntos a los átomos de R y rectas a los conjuntos [r] correspondientes a los elementos r del retı́culo de dimensión 2, y podemos designar con R al conjunto de rectas de R Teorema 2.4.17.– [Frink] Si R es un retı́culo modular, complementario, atómico, y de longitud finita, entonces (A(R), R) es un espacio proyectivo generalizado. Demostración: Hay que comprobar que se verifican los axiomas. 2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 69 1. Toda recta contiene al menos dos puntos, ya que si [r] es una recta, dim(r) = 2 y hay una cadena maximal 0 < P < r con lo que P es necesariamente un átomo. Como P tiene un complementario en r, [r] contiene al menos otro átomo. 2. Para cada par de puntos distintos P, Q el elemento P t Q, verifica que: dim(P t Q) = dim(P ) + dim(Q) − dim(P u Q) = 2 porque P y Q tienen dimensión uno y como son átomos distintos P uQ = 0. Por tanto por P y Q pasa la recta [P tQ], y es la única con esta propiedad, pues: {P, Q} ⊂ [r] ⇒ P ≤ r, Q ≤ r ⇒ P t Q ≤ r y como ambos tienen la misma dimensión, coinciden. 3. Dados cinco puntos distintos dos a dos, A, B, C, B 0 , C 0 tales que A, B, C y A, B 0 , C 0 están contenidos respectivamente en dos rectas [r], [s], podemos suponer que ambas son distintas, porque si son iguales el resultado es trivial, Entonces, r u s = A y por la fórmula de las dimensiones: dim(r t s) = dim(r) + dim(s) − dim(r u s) = 2 + 2 − 1 = 3 Como B, C, B 0 , C 0 son menores o iguales que r t s, también B t C 0 y C t B 0 son menores o iguales que r t s y en consecuencia también lo es (B t C 0 ) t (C t B 0 ), y por tanto: dim((B t C 0 ) u (C t B 0 )) = dim(B t C 0 ) + dim(C t B 0 )− −dim(B t C 0 ) t (C t B 0 ) ≥ 2 + 2 − 3 = 1 Luego existe al menos A0 tal que B, A0 , C 0 y C, A0 , B 0 están alineados. Es un ejercicio trivial aunque tedioso, comprobar que las dos correspondencias que hemos establecido son inversas una de la otra, es decir que si partimos de un retı́culo modular, complementario, atómico y de dimensión finita y construimos el espacio proyectivo generalizado compuesto por sus átomos, el retı́culo de subespacios de éste es isomorfo al de partida y, recı́procamente, si partimos de un espacio proyectivo generalizado y construimos el espacio de átomos de su retı́culo de subespacios, obtenemos, con la identificación evidente, el retı́culo de partida. Ejercicios de la sección 2.4 Ejercicio 2.4.16 En el retı́culo de subespacios L(P) de un espacio proyectivo generalizado de dimensión proyectiva n, P: 1. Calcular la dimensión proyectiva de un complementario S de S. 70CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 2. Escribir la afirmación dual de dimP (S) = r 3. decir cuales son los objetos duales de punto y recta en el plano y de punto, recta y plano en el espacio de dimensión tres. Ejercicio 2.4.17 Probar que dos subespacios de un espacio proyectivo ndimensional de dimensiones d y r con d + r ≥ n tienen necesariamente intersección no vacı́a Ejercicio 2.4.18 Escribir, en el plano y en el espacio tridimensional las afirmaciones duales de los axiomas de la definición de espacio proyectivo generalizado Ejercicio 2.4.19 Estudiar las posiciones relativas de dos rectas del espacio de dimensión tres, en términos de su suma y de su intersección. Ejercicio 2.4.20 Se dice que dos rectas del espacio de dimensión tres se cruzan si no se cortan. Dada la proposición: Si r y s son dos rectas que se cruzan en un espacio de dimensión tres y P es un punto no situado sobre ninguna de las dos, existe una única recta que pasa por P y se apoya en r y s . Enunciar la proposición dual y demostrar ambas Ejercicio 2.4.21 Sean r y s rectas distintas del plano proyectivo tales que r ∪ s 6= P. Probar que ambas tienen el mismo cardinal. Ejercicio 2.4.22 Escribir los espacios proyectivos mı́nimos tales que: 1. Contengan tres puntos no alineados 2. Contengan cuatro puntos no alineados 3. Contengan cuatro puntos tales que tres cualesquiera de ellos no estén alineados Ejercicio 2.4.23 Se llama triángulo a un conjunto de tres puntos no alineados de un espacio proyectivo. Dados dos triángulos A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , se dice que están en posición homológica si Ai 6= Bi ∀i y las rectas A1 + B1 , A2 + B2 , A3 + B3 . Probar que dos triángulos en posición homológica son coplanarios (es decir están contenidos en un mismo plano, o están contenidos en un espacio de dimensión tres. Ejercicio 2.4.24 [Teorema de Desargues espacial] Dados dos triángulos A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , en posición homológica y no coplanarios, probar que los tres pares de rectas Ai + Aj y Bi + Bj , 1 ≤ i < j ≤ 3 son concurrentes. Probar que si P es el punto de corte de A1 + A2 con B1 + B2 , Q el de corte de A2 + A3 con B2 + B3 y R el de corte de A1 + A3 con B1 + B3 , P , Q y R están alineados. 2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 71 Ejercicio 2.4.25 [Teorema de Desargues plano ] Probar el mismo resultado del problema anterior si los dos triángulos están en un plano contenido en un espacio de dimensión mayor o igual que tres. Enunciado dual Ejercicio 2.4.26 [Cuaterniones] Sea Q un espacio vectorial de dimensión cuatro sobre el cuerpo real con base {1, i, j, k}. 1. Probar que existe una única operación en Q compatible con las de espacio vectorial y tal que i2 = j2 = k2 = −1 ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j 2. Probar que con esa operación y la adición de la estructura de espacio vectorial Q es un anillo con división. Ejercicio 2.4.27 Sea K un anillo con división, probar que las rectas del plano proyectivo sobre K son exactamente los subconjuntos: r( a, b, c) = {[x, y, z] | xa + yb + zc = 0}, (a, b, c) 6= (0, 0, 0) Ejercicio 2.4.28 Dados en el plano proyectivo sobre un anillo con división K, las dos ternas de puntos A = [0, 1, O], C = [1, 1, 0], E = [x, 1, 0] y B = [0, 0, 1], D = [1, 0, 1], F = [1, 0, y]. Probar que ambas ternas de puntos están alineadas. Probar además que los puntos: (A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A) están alineados si y solo si xy = yx. Ejercicio 2.4.29 [Pappus]1.5.3 Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: 1. Dadas en un plano proyectivo sobre un anillo con división K dos rectas r y s, tres puntos A, C, E sobre r y otros tres B, D, F sobre s, tales que ninguno de ellos es r ∩ s, los puntos: (A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A) están alineados. 2. K es conmutativo. Ejercicio 2.4.30 Escribir todos los puntos y rectas del plano P2K cuando K = Z/2Z Ejercicio 2.4.31 Se llama t- diseño de tipo (v, k, λ) a un par D = (C, B) donde C es un conjunto de v elementos, llamados puntos del diseño, B es una familia de subconjuntos de C, llamados bloques, de modo que, cada bloque contiene exactamente k puntos y cada conjunto de t puntos está contenido exactamente en λ bloques. 72CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 1. Comprobar que un plano proyectivo que no es unión de dos rectas es un diseño y averiguar su tipo. 2. Comprobar que en todo 2-diseño con λ = 1 el número de bloques que contienen a cada punto es constante, y si llamamos a este número r se verifica que:r(k − 1) = v − 1 3. Comprobar que en todo 2-diseño con λ = 1 el número de bloques b verifica que: b.k = v.r Ejercicio 2.4.32 Comprobar que una configuración (pα , rβ ) es un diseño, averiguar su tipo, y determinar si las fórmulas del problema anterior permiten establecer la imposibilidad de existencia de configuraciones para valores arbitrarios de p, r, α, β Ejercicio 2.4.33 Dado un diseño D = (C, B) con C = {P1 , ....Pv }, B = {e1 , ...., eb }, se llama matriz de incidencia de D a una matriz MD de v filas y b columnas cuyo elemento de lugar (i, j) es un 1 si Pi ∈ ej y un cero en caso contrario. 1. Si Jn,m es la matriz n × m compuesta por unos. Probar que: MD Jb,h = kJv,h , Jh,v MD = rJh,b 2. Probar que : 2.5. MDt MD = (r − λ)Ib + λJb,b Colineaciones y proyectividades. Homologı́as Esta sección está dedicada a trabajar de modo sintético con las transformaciones propias entre espacios proyectivos generalizados, en una primera aproximación trabajaremos sin hipótesis suplementarias y probaremos que esas transformaciones son esencialmente isomorfismos de retı́culos. Posteriormente añadiremos hipótesis suplementarias para hacerlas más manejables. Definición 2.5.1.– Sean P = (E, R), T = (F, S) espacios proyectivos generalizados. Se llama colineación de P en T a toda aplicación π : E −→ F tal que: π es biunı́voca ∀U ⊂ E, R, π(U ) ∈ S ⇔ U ∈ R Notas y ejemplos 2.5.2.– 2.5.2.1. .- Sean P = (E, R), T = (F, S) espacios proyectivos generalizados, y sea π : E −→ F una colineación. Entonces ∀U ⊂ E, π(U ) es un subespacio de T si y solo si U es un subespacio de P. 2.5. COLINEACIONES Y PROYECTIVIDADES. HOMOLOGÍAS 73 En efecto: En los casos en que U = ∅ o contiene un solo punto, el resultado es trivial. En el caso general, si U es subespacio y A0 , B 0 son puntos distintos de π(U ), por ser π biyectiva ∃A, B ∈ U , con A0 = π(A), B 0 = π(B), la recta A+B está contenida en U y π(A + B) es una recta que contiene a A0 y a B 0 , luego coincide con A0 + B 0 y en consecuencia A0 + B 0 ⊂ π(U ). El mismo razonamiento aplicado a π −1 prueba que si π(U ) es subespacio, U lo es. 2.5.2.2. .- Es un ejercicio simple comprobar que la composición de colineaciones es una colineación, y la inversa de una colineación también lo es. En consecuencia las colineaciones de un espacio en sı́ mismo forman un grupo. 2.5.2.3. .- Si S1 y S2 son subespacios de un espacio proyectivo generalizado que admiten un complementario común S, la aplicación ψS : S1 −→ S2 descrita en 2.4.9 es una colineación, ya que por 5 tanto ella como su inversa transforman rectas en rectas. Esta colineación se llama perspectividad de vértice S. Cómo veremos posteriormente, no toda colineación es composición de perspectividades. Al subgrupo generado por las perspectividades en el grupo de colineaciones se le llama grupo proyectivo y a sus elementos proyectividades, es decir una proyectividad es el resultado de componer un numero finito de perspectividades. 2.5.2.4. .- Si M es una matriz (n + 1) × (n + 1) con elementos en un anillo con división K, hay obviamente problemas en hablar de determinante, pero no los hay en decir que M sea inversible, entonces si M es inversible define una aplicación biunı́voca: fM : K n+1 −→ K n+1 , fM (x0 , ..., xn ) = (x0 , ..., xn )M Es claro que fM (λx) = λfM (x) y en consecuencia fM induce una aplicación biunı́voca: FM : PnK −→ PnK , FM ([x]) = [fM ([x]) que según se comprueba fácilmente es también una colineación. Si K es un cuerpo, es decir si la multiplicación es conmutativa, FM está unı́vocamente determinada por las imágenes de los puntos: [1, 0, ...., 0], ..., [0, 0, ..., 1], [1, 1, ...., 1] pero si no lo es este resultado no es cierto.(ver problema 41) Proposición 2.5.3.– Sean P = (E, R), T = (F, S) espacios proyectivos generalizados y sea π : E −→ F una aplicación. Las condiciones siguientes son equivalentes: 1. π es una colineación. 2. π transforma subespacios en subespacios (v. 2.5.2) e induce un isomorfismo de retı́culos de L(E, R) en L(F, S) 3. π es sobre y, ∀{P0 , P1 , ..., Pr } ⊂ E los puntos {P0 , P1 , ..., Pr } son linealmente dependientes, si y solo si lo son los {π(P0 ), π(P1 ), ..., π(Pr )}. 74CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS Demostración: (1) ⇒ (2).- Obvio porque π transforma subespacios en subespacios y al ser biunı́voca ella y su inversa conservan el contenido. (2) ⇒ (3).- Los puntos {P0 , P1 , ..., Pr } ⊂ E son linealmente dependientes, si y solo si dimP (P0 + P1 + ... + Pr ) < r y como pi es isomorfismo de retı́culos esto es equivalente a que dimP (π(P0 ) + π(P1 ) + ... + π(Pr ) < r y en consecuencia a que {π(P0 ), π(P1 ), ..., π(Pr )} son dependientes. (3) ⇒ (1).- Si se verifica la condición (3), π es biunı́voca pues es sobre por hipótesis y es inyectiva porque: π(P ) = π(P 0 ) ⇔ {π(P ), π(P 0 )} lin.dep. ⇔ {P, P 0 )} lin.dep. ⇔ P = P 0 . Por tanto existe π −1 y transforma puntos dependientes en dependientes e independientes e independientes por la equivalencia del enunciado, ası́ que basta probar que la imagen por π de una recta es una recta y automáticamente π −1 tendrá esta misma propiedad´y quedará probado que π es colineación. Pero r ⊂ (E) es una recta en P si y solo si existen P1 , P2 linealmente independientes en r tales que ∀P ∈ P : {P, P1 , P2 } lin. dep. ⇔ P ∈ r , ya que al ser independientes P1 , P2 , la condición {P, P1 , P2 } dependientes, equivale a P depende linealmente de {P1 , P2 }. Con esta hipótesis, π(P1 ), π(P2 ) ∈ π(r) son linealmente independientes y ∀P 0 ∈ T, como π es sobre, ∃P ∈ P, con π(P ) = P 0 y {P 0 = π(P ), π(P1 ), π(P2 )} son linealmente dependientes si y solo si {P, P1 , P2 } lo son y en consecuencia P ∈ r ⇔ P 0 = π(P ) ∈ π(r). Luego π(r) es una recta de T Una consecuencia inmediata de esta proposición es que un isomorfismo de retı́culos modulares, complementarios, atómicos y de dimensión finita induce una colineación entre sus retı́culos de átomos, y por tanto si identificamos espacios proyectivos generalizados y retı́culos con las propiedades antes citadas, las colineaciones se identifican con los isomorfismos de retı́culos. En lo sucesivo y para evitar ejemplos como el 7en el que aparecen subespacios con distinto cardinal, y para garantizar la existencia de complementarios comunes a subespacios de la misma dimensión substituiremos de ahora en adelante el primer axioma de la definición de espacio proyectivo generalizado por otro más restrictivo,el P − 1∗. Además para poder exigir propiedades razonables a las homologı́as añadiremos un cuarto axioma : Axioma P − 1∗ Toda recta contiene al menos tres puntos Axioma P − 4 (Desargues) Dados seis puntos distintos dos a dos y tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , las rectas A1 + B1 , A2 + B2 , A3 + B3 son concurrentes si y solo si (A1 + A2 ) ∩ (B1 + B2 ) = P , (A2 + A3 ) ∩ (B2 + B3 ) = Q, (A1 + A3 ) ∩ (B1 + B3 ) = R, y, P , Q y R están alineados. Como hemos visto en ?? si la dimensión del espacio es mayor que dos no es necesario imponer este último axioma ya que es consecuencia de los anteriores, 2.5. COLINEACIONES Y PROYECTIVIDADES. HOMOLOGÍAS 75 si la dimensión de P es dos existen planos proyectivos generalizados en los que no se verifica este axioma (ver el problema ??) Definición 2.5.4.– Llamaremos espacio proyectivo arguesiano a todo espacio proyectivo generalizado que verifique los axiomas P − 1∗ y P − 4 Llamaremos homologı́a a toda colineación de un espacio proyectivo P en sı́ mismo con un hiperplano de puntos invariantes. Proposición 2.5.5.– Si σ : P −→ P es una homologı́a distinta de la identidad existe un haz de rectas invariantes por σ y uno solo, es decir existe un único punto O ∈ P tal que para toda recta r con O ∈ r, σ(r) = r Demostración: Sea H el hiperplano de puntos invariantes de σ (ver figura 2.6), como σ 6= 1 existe un punto A tal que A 6= σ(A) = A0 . La recta A + A0 no está contenida en H, porque A no es invariante, luego corta a H en un punto T , T 6= A0 porque en caso contrario A0 ∈ H ⇒ σ(A0 ) = A0 = σ(A) en contradicción con la inyectividad de σ. Entonces: A+A0 = A+T = A0 +T ⇒ σ(A+A0 ) = σ(A+T ) = σ(A)+σ(T ) = A0 +T = A+A0 y A + A0 es invariante. Como en H hay algún punto distinto de T , podemos tomar uno de ellos U , y en A + U hay algún otro punto B, entonces: B ∈ A + U ⇒ B 0 = σ(B) ∈ σ(A) + σ(U ) = A0 + U Como (A+U )∩(B +U ) = U , B 6= B 0 luego existe la recta B +B 0 y es invariante por la misma razón que lo era la A+A0 . Además A+A0 y B +B 0 son coplanarias porque los cuatro puntos que las definen están en el plano A + A0 + U , por tanto se cortan en un único punto O, que al ser intersección de dos rectas invariantes es invariante. Si O ∈ / H, todas las rectas por O cortan a H y al tener dos puntos invariantes, son invariantes. O es el único punto con esa propiedad, porque si hubiese otro O0 : ∀X ∈ / O + O0 , X = (O + X) ∩ (O0 + X) ⇒ σ(X) = σ((O + X) ∩ (O0 + X)) = = σ(O + X) ∩ σ(O0 + X) = X y si Y ∈ O + O0 y Y 6= σ(Y ) = Y 0 , deberı́a ser Y 0 ∈ O + O0 ya que esta recta es invariante, y por el razonamiento que hemos hecho con A existirı́a B no invariante fuera de O + O0 . Si O ∈ H todas las rectas X + σ(X) pasan por O porque si alguna no lo hiciera cortarı́a a A + A0 en un punto O0 ∈ / H, entonces O0 serı́a invariante y todas las rectas por O0 también, en consecuencia B = B 0 y se llegarı́a a contradicción. Como O es invariante, todas las rectas X + σ(X) son invariantes, y siempre σ(X) ∈ O + X, porque en caso contrario aparecerı́a otro punto invariante. En consecuencia las rectas por O son invariantes y O es el único punto con esa propiedad. 76CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS O O Y A B B A' O' X Y' B' B' U R P T Q S H T Figura 2.6: Construcciones de la existencia y unicidad del vértice del haz de rectas invariantes Definición 2.5.6.– El hiperplano de puntos invariantes se llama eje de la homologı́a y el vértice del haz de rectas invariantes se llama centro de la homologı́a. Una homologı́a se llama degenerada si su centro es un punto de su eje, y no degenerada en caso contrario. Proposición 2.5.7.– Sea π una homologı́a de un espacio proyectivo P de dimensión mayor o igual que dos, con centro O y eje h. 1. Si existe un punto P 6= O, P ∈ / h tal que π(P ) = P entonces π es la identidad 2. Si π 6= 1P y P 6= O, P ∈ / h, P + π(P ) pasa por O / h, Q 6= O, Q ∈ / h, P 6= Q, O ∈ / P + Q entonces P + Q y 3. Si P 6= O, P ∈ π(P ) + π(Q) se cortan en h 4. Una homologı́a queda unı́vocamente determinada por su centro, O, su eje h y la imagen de un punto P 6= O, P ∈ /h Demostración: Cómo P ∈ / h, toda recta por P corta a h en un punto, que también será invariante, por tanto todas las rectas por P son invariantes, entonces, X ∈ / P + O ⇒ X = (O + X) ∩ (P + X, luego X es intersección de dos rectas invariantes y por tanto invariante. Si X ∈ P + O, como hay algún punto R fuera de (P + O) ∪ h, y R es invariante por la construcción anterior, X∈ / O + R y X es también invariante. Por el resultado anterior P 6= π(P ) luego existe la recta P + π(P ), cómo la recta O + P es invariante, π(P ) ∈ O + P ⇒ O ∈ O + P = P + π(P ) y se verifica la segunda afirmación. La tercera es consecuencia de que la recta P + Q no está contenida en h y en consecuencia la corta en un punto R que es invariante, entonces R ∈ P + Q ⇒ R = π(R) ∈ π(P ) + π(Q) 2.5. COLINEACIONES Y PROYECTIVIDADES. HOMOLOGÍAS P h R R O 77 P h C' C C' B' C A' A' A B O (I) B' B A (II) Figura 2.7: Construcciones de las imagen de un punto en una homologı́a, en los dos casos, degenerado y no degenerado Si π y φ son dos homologı́as con centro O eje h y tales que π(P ) = φ(P ) = Q, entonces ∀X ∈ / O + P, X = (O + X) ∩ (P + X) (ver la figura 2.7), pero por los apartados anteriores, si R = (P + X) ∩ h, P + X = P + R → π(P + X) = π(P + R) = Q + R = φ(P + R) = φ(P + X), y cómo O + X es invariante por ambas homologı́as, π(X) = φ(X). Si X está en la recta O + P , se toma un punto fuera de ellas y se repite el razonamiento. Nota 2.5.8.– Dados un punto O un hiperplano h y un par de puntos A, A0 diferentes de O, no contenidos en h y tales que O ∈ A + A0 , la proposición anterior no garantiza la existencia de una homologı́a con centro O, eje h y que transforme A en A0 . Una tal homologı́a, si existe, debe transformar cada punto X ∈ / O + P en el punto X 0 = (O + X) ∩ (R + A),con R = (P + X) ∩ h. Entonces no hay problema para construirla fuera de la recta O + A, pero para construirla sobre la recta dependemos de la elección de un punto fuera de ella, entonces dados B y C no situados en O + P y sus imágenes B 0 , C 0 y un punto D ∈ O + P tenemos que probar que la imagen de este punto construida usando B, B 0 es la misma que la construida usando C, C´(figura 2.8) Para probar este resultado necesitamos el axioma de Desargues, que aplicado a A, B, C, A0 , B 0 , C 0 establece que B + C y B 0 + C 0 se cortan en P + S (figura 2.8 ), de nuevo la misma condición aplicada a B, C, D, B 0 , C 0 , D0 , con D0 = (C 0 + Q) ∩ (B 0 + R), establece que D0 ∈ D + O y por tanto el resultado. Obsérvese que hasta este punto no hemos precisado el axioma de Desargues, cuya finalidad es garantizar la existencia de suficientes homologı́as en el sentido de esta nota y para espacios arguesianos hemos demostrado la siguiente proposición: Proposición 2.5.9.– Dados un hiperplano H, un punto O ∈ / H y dos puntos A, B no contenidos en H, distintos de O, y tales que O ∈ A + B existe una única homologı́a con eje H, centro O y que transforma A en B Dados un hiperplano H, y dos puntos A, B no contenidos en H, existe una única homologı́a degenerada con eje H, que transforma A en B. (El centro de 78CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS P Q R S h D' C' B' A' D B A C O Figura 2.8: esta homologı́a seria precisamente O = H ∩ (A + B)) Ejercicios de la sección 2.5 Ejercicio 2.5.34 Dados dos triángulos {A1 , A2 , A3 }, {B1 , B2 , B3 } de un plano proyectivo arguesiano tales que ningún vértice de uno de ellos esta sobre un lado del otro, probar que son equivalentes las afirmaciones siguientes: Las rectas Ai + Bi , i = 1, 2, 3, son concurrentes Existe una homologı́a no degenerada que transforma Ai en Bi , i = 1, 2, 3 Calcular el centro y el eje de esa homologı́a y comprobar que es única. Ejercicio 2.5.35 Dados en un plano proyectivo arguesiano un triángulo [A1 A2 A3 ] y una recta r que no pasa por ninguno de sus vértices, llamamos ∀{i, j, k} = {1, 2, 3}, Bi = r ∩ (Aj + Ak ), Bi,j = (Ai + Bi ) ∩ (Aj + Bj ). Probar que las rectas Ak + Bi,j , ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual. Ejercicio 2.5.36 Sean {A1 , A2 , A3 , A4 } cuatro puntos de un plano proyectivo arguesiano tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados, y sean P1 ∈ (A1 + A2 ) − {A1 , A2 }, P2 ∈ (A2 + A3 ) − {A2 , A3 }, P3 ∈ (A3 + A4 ) − {A3 , A4 }, P4 ∈ (A1 + A4 ) − {A1 , A4 }. Si (P1 + P2 ) ∩ (P3 + P4 ) ∈ (A1 + A3 ), probar que (P1 + P4 ) ∩ (P3 + P2 ) ∈ (A2 + A4 ). Enunciado dual. Ejercicio 2.5.37 Dados cuatro puntos alineados y distintos dos a dos {P, Q, R, S} se dice que forman una cuaterna armónica, o que S es el cuarto armónico de 2.5. COLINEACIONES Y PROYECTIVIDADES. HOMOLOGÍAS 79 R respecto de P, Q, si existen otros cuatro puntos {A, B, C, D} tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados y: P = (A + B) ∩ (C + D), Q = (B + C) ∩ (A + D) R = (P + Q) ∩ (A + C), S = (P + Q) ∩ (B + D) Probar que en un plano arguesiano el cuarto armónico esta unı́vocamente determinado, es decir que dados {A0 , B 0 , C 0 , D0 } tales que tres cualesquiera de ellos no estén alineados y : P = (A0 + B 0 ) ∩ (C 0 + D0 ), Q = (B 0 + C 0 ) ∩ (A0 + D0 ), R = (P + Q) ∩ (A0 + C 0 ) entonces S = (P + Q) ∩ (B 0 + D0 ) Ejercicio 2.5.38 Se considera el conjunto R2 como conjunto de puntos y se llaman rectas a los conjuntos ra , rm,a definidos para cada par de numeros reales (m, a) por: ra = {(x, y) ∈ R2 | x = a} Si m ≤ 0, rm,a = {(x, y) ∈ R2 | y = mx + a} Si m > O y H + , H − son las dos regiones en que el eje x divide al plano, la primera compuesta por los puntos de ordenada positiva y la segunda por puntos de ordenada negativa. rm,a ∩ H − = {(x, y) ∈ R2 | y = mx + a} rm,a ∩ H + = {(x, y) ∈ R2 | y = 2mx + 2a} Probar que con estas rectas R2 es un plano afı́n generalizado, es decir verifica que: A-1 Por dos puntos distintos pasa una única recta A-2 Dadas una recta r y un punto P ∈ / r, existe una única recta s tal que P ∈s y r∩s=∅ Y si embargo no verifica el axioma de Desargues (que se plantea para el plano afı́n en cualquiera de sus formas reducidas (ver 1.5)). ¿Se puede completar el plano anterior a un plano proyectivo no arguesiano? Ejercicio 2.5.39 Describir todas las homologı́as del plano proyectivo de siete puntos Ejercicio 2.5.40 Un espacio proyectivo se dice que tiene caracterı́stica 2 si contiene una figura como la 4.10. Comprobar que el plano de siete puntos es de caracterı́stica 2 y probar que en un espacio que no es de caracterı́stica dos una homologı́a involutiva (es decir de cuadrado igual a la identidad) y distinta de la identidad es necesariamente no degenerada. 80CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS C B A Figura 2.9: Ejercicio 2.5.41 Se consideran en el espacio proyectivo P2Q , donde Q es el anillo con división de los cuaterniones, las proyectividades definidas por las matrices (ver 2.5) diag(1, 1, 1) y diag(i, i, i). Probar que ambas son distintas pero que dejan invariantes todos los puntos [x0 , x1 , x2 ], xi ∈ R∀ i 2.6. Cuerpo asociado a un espacio proyectivo Esta sección esta dedicada a probar que todo espacio proyectivo arguesiano es de la forma PnK . Para ello necesitamos construir un cuerpo asociado al espacio proyectivo. Las construcciones usuales se hacen dotando de estructura de cuerpo cada recta del espacio, después de suprimir en ellas un punto, que como veremos representa el infinito de la recta. Hay construcciones de dos tipos, unas puramente proyectivas cono la de [26]y otras de naturaleza afı́n como las de [39] o [20], pero en ella no esta claro que la construcción no depende de la recta elegida, es decir se dota a cada recta de estructura de cuerpo, pero aunque las estructuras correspondientes a dos rectas sean cuerpos isomorfos, no se pruebe que no difieren en un automorfismo no trivial. Hay otro método que usa técnicas puramente algebraicas, construyendo de partida unas operaciones ternarias excesivamente complejas y poco geométricas, el lector interesado puede encontrar buenas exposiciones en esta lı́nea en [6] ó [28]. En este texto adaptaremos a nuestro lenguaje una construcción muy geométrica de tipo afı́n propuesta por E. Artin [5], basada en el uso de las homologı́as degeneradas, que en el lenguaje afı́n corresponden a las traslaciones. Proposición 2.6.1.– Las homologı́as de eje H de un espacio proyectivo arguesiano, con la composición como operación, forman un grupo. Las homologı́as degeneradas de eje H forman un subgrupo invariante de dicho grupo Demostración: La primera afirmación es trivial porque la composición de dos colineaciones que dejan invariantes todos los puntos de H es una colineación y 2.6. CUERPO ASOCIADO A UN ESPACIO PROYECTIVO 81 deja invariante los puntos de H, y lo mismo sucede con la colineación inversa de una colineación que deja invariantes los puntos de H. Para probar la segunda afirmación, consideremos primero una homologı́a degenerada σ de eje H, σ queda unı́vocamente determinada por H y por un par de puntos homólogos distintos A, σ(A) 2.5.9, y su centro es el punto O = (A + σ(A)) ∩ H. Entonces existe una única homologı́a no degenerada τ de eje H que transforma σ(A) en A, y su centro vuelve a ser el puntoO. En consecuencia τ σ es una homologı́a degenerada de centro O, puesto que todas las rectas por O son invariantes por ambas homologı́as. Además τ σ(A) = A, luego τ σ = 1 y τ es el inverso de σ. Luego la inversa de una homologı́a degenerada es otra con el mismo eje. Veamos que sucede con la composición. Por la primera afirmación si τ, σ son homologı́as degeneradas de eje H, τ σ es una homologı́a de eje H y solo hay que ver que es degenerada, si no lo es, tiene un centro P fuera de H y: τ σ(P ) = P ⇒ σ(P ) = τ −1 (P ) pero como ambas son homologı́as degeneradas τ −1 = σ y τ σ = 1 Solo nos queda ver que el subgrupo de las homologı́as degeneradas de eje H es invariante: Para comprobarlo tomamos una homologı́a degenerada τ de centro O ∈ H y una homologı́a arbitraria σ. Para toda recta r que pasa por O, σ −1 (r) pasa por σ −1 (O) = O y σ −1 es una biyección del haz de rectas de vértice O en si mismo, en consecuencia si s pasa por O, existe otra recta por O, r, tal que s = σ −1 (r) y: σ −1 τ σ(s) = σ −1 τ σ(σ −1 (r)) = σ −1 τ (r) = σ −1 (r) = s Por tanto σ −1 τ σ es una homologı́a degenerada de centro O como τ , y se verifica la proposición. Proposición 2.6.2.– El grupo de las homologı́as degeneradas de eje H de un espacio proyectivo arguesiano, al que llamaremos TH , es abeliano. Demostración: Consideremos primero el caso en que τ y σ tienen distintos centros, τ στ −1 es una homologı́a degenerada cuyo centro, como hemos visto en la proposición anterior es el centro T de σ. Como el centro de σ −1 coincide con el de σ es también T y en consecuencia lo es de (τ στ −1 )σ −1 si es que esta homologı́a no es la identidad. Ahora (τ στ −1 )σ −1 = τ (στ −1 σ −1 ) y por el mismo razonamiento que acabamos e hacer si no es la identidad su centro es el de τ , en consecuencia: τ στ −1 σ −1 = 1 ⇒ τ σ = στ Si ambas homologı́as tienen el mismo centro, como en H hay más de un punto hay otra homologı́a degenerada ρ con un centro distinto, entonces ρ conmuta con ambas. Además τ ρ tiene centro distinto del de σ, por que si tuvieran el mismo, que es también el de τ , τ −1 (τ ρ) = ρ tendrı́a el mismo centro que τ , ası́ σ y τ ρ conmutan y: σ(τ ρ) = (τ ρ)σ = τ (ρσ) = τ (σρ) 82CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS y multiplicando por ρ−1 se sigue el resultado Proposición 2.6.3.– Si P es un espacio proyectivo arguesiano y H es un hiperplano de P el grupo TH actúa de forma simple y transitiva sobre P r H Demostración: La acción de grupo de TH sobre P r H es obvia, solo hay que probar que es simple y transitiva, es decir que dados dos puntos distintos A, B ∈ / H, existe una única homologı́a degenerada de eje H que transforma A en B, pero esto es lo que dice la proposición 2.5.9. En lo que sigue llamaremos τAB a la única homologı́a degenerada de eje H que transforma A en B (ambos puntos en P r H y completamos esta notación llamando, para cualquier punto A, τAA = Id, entonces se verifica que para toda terna de puntos A, B, C de P r H, τBC τAB = τA C. Consideremos ahora el conjunto k de los endomorfismos f de TH tales que: ∀ σ ∈ TH , σtiene el mismo centro quef (σ) al que añadimos el endomorfismo 0 dado por 0(τ ) = Id, donde Id es la aplicación identidad del espacio proyectivo que es el elemento neutro del grupo TH Proposición 2.6.4.– Si f, g ∈ k, existen elementos f + g, f.g ∈ k tales que: ½ (f + g)(τ ) = f (τ )g(τ ) ∀ τ ∈ TH , (f.g)(τ ) = f (g(τ )) Además, con las operaciones +, ., k es un anillo. Demostración: Como . es la composición de aplicaciones, es claro que (k, .) es un semigrupo con elemento unidad. Para la suma la cuestión es menos simple, es claro que f + g es aplicación y que τ y (f + g)(τ ) tienen siempre el mismo centro, pero hemos de probar que f + g es homomorfismo de grupos: (f + g)(τ σ) = f (τ σ)g(τ σ) = f (τ )g(σ)g(τ )g(σ) = = f (τ )g(τ )f (σ)g(σ) = (f + g)(τ )(f + g)(σ) Las igualdades primera y última se deben a la definición de f + g, la segunda a que f y g son homomorfismos y la tercera a la conmutatividad del grupo, y por ellas f + g ∈ k. Las propiedades asociativa y conmutativa de la suma se deducen de las de TH , el cero dde la suma es la aplicación 0 que hemos definido más arriba, y para cada f ∈ k, −f es la aplicación: (−f ) : TH −→ TH , (−f )(τ ) = τ −1 que obviamente está en k. Solo queda la propiedad distributiva, a izquierda y derecha que es consecuencia de las definiciones como se aprecia a continuación: ((f + g)h)(τ ) = (f + g)(h(τ )) = (f h)(τ )(gh)(τ ) = (f h + gh)(τ ) 2.6. CUERPO ASOCIADO A UN ESPACIO PROYECTIVO 83 (h(f + g))(τ ) = h(f (τ )g(τ )) = (hf )(τ )(hg)(τ ) = (hf + hg)(τ ) Para probar que todo elemento de k tiene inverso multiplicativo, como la multiplicación es la composición de aplicaciones, hay que probar que dos los elementos de k son automorfismos de TH , y para eso lo más cómodo es buscar una forma de construir explı́citamente los elementos de k Proposición 2.6.5.– Si f ∈ k, f 6= 0 y si P ∈ / H, existe una homologı́a única de eje H y centro P, σ tal que f (τ ) = στ σ −1 , ∀τ ∈ TH Demostración: Probemos primero la unicidad de σ a la vez que obtenemos su expresión. Para ello observemos que si el σ de la proposición existe, deja invariante P y: f (τP Q ) = στP Q σ −1 ⇒ f (τP Q )(P ) = στP Q σ −1 (P ) = στP Q (P ) = σ(Q) Luego σ si existe debe verificar que σ(Q) = f (τP Q )(P ) y por tanto es único, y solo queda probar que esta fórmula define una homologı́a que cumple la proposición. Esto es consecuencia de la definición de f . Si Q ∈ / H es un punto arbitrario distinto de P y (P + Q) ∩ H = T , T es el centro de τP Q y en consecuencia de f (τP Q ) luego la recta P + σ(Q) = P + f (τP Q )(P ) pasa por T , luego cualquiera que sea Q, Q + σ(Q) pasa por T . Elegimos un punto A ∈ /H y tomamos σ(A), ahora cualquiera que sea Q no situado en A + P : τP A = τQA τP Q ⇒ f (τP A ) = f (τQA )f (τP Q ) ⇒ σ(A) = = f (τP A )(P ) = f (τQA )f (τP Q )(P ) = f (τQA )(σ(Q)) Y como τQA y f (τQA ) tienen el mismo centro R, (A + Q) ∩ H = (σ(A) + σ(Q)) ∩ H = R, luego σ(Q) = (P + Q) ∩ (R + σ(A)) que es exactamente la construcción de la única homologı́a de eje centro P y eje H que transforma A en σ(A). Una vez que hemos visto que σ es una homologı́a, es inmediato que: (σ −1 f (τP A )σ)(P ) = σ −1 f (τP A )(P ) = σ −1 σ(Q) = Q Ahora bien,τP A es degenerada, luego su centro está en H, f (τP A ) tiene el mismo centro luego es también degenerada y por la invariancia del subgrupo de homologı́as degeneradas, es también degenerada y con el mismo centro σ −1 f (τP A )σ. Como una homologı́a degenerada queda unı́vocamente determinada por la imagen de un punto, σ −1 f (τP A )σ = τP A ⇒ f (τP A ) = στP A σ −1 84CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS Consecuencia 2.6.6.– k es un anillo con división. Demostración: Es inmediato de la proposición, al ser cada f ∈ k un automorfismo interior del grupo TH tiene inverso multiplicativo Definición 2.6.7.– Llamaremos espacio proyectivo a todo espacio proyectivo arguesiano que verifique la siguiente condición: Axioma P − 5 (Pappus) Para cada par de rectas r y s secantes y distintas, dados tres puntos distintos dos a dos A, A0 , A00 sobre r y otros tres también distintos dos a dos B, B 0 , B 00 sobre s, tales que ninguno de ellos es r ∩ s, los puntos: (A + B) ∩ (A00 + B 00 ), (B + A0 ) ∩ (B 0 + A00 ), (A + B 0 ) ∩ (A0 + B 00 ) están alineados (figura 2.10). Proposición 2.6.8.– Si P es un espacio proyectivo de dimensión mayor o igual que dos, el anillo con división k asociado a P es un cuerpo. Además en este caso, para cualquier hiperplano H, TH es un k- espacio vectorial, y P r H admite una acción de TH con la cual es un espacio afı́n. Demostración: La propiedad conmutativa de la multiplicación es consecuencia directa del axioma P−5, ya que dadas f, g ∈ k, en virtud de la proposición 2.6.5, existen homologı́as no degeneradas con el mismo centro P , σ, τ , tales que: ∀γ ∈ TH , f (γ) = σ −1 γσ, g(γ) = τ −1 γτ Entonces: f g(γ) = σ −1 (τ −1 γτ )σ = (τ σ)−1 γτ σ y, del mismo modo: gf (γ) = τ −1 (σ −1 γσ)τ = (στ )−1 γστ Luego: f g = gf ⇔ τ σ = στ Por tanto solo hay que comprobar que la composición de homologı́as no degeneradas con centro y eje dados es conmutativa. Si τ y σ son homologı́as de centro P y eje H (ver la figura 2.10), y quedan determinadas por τ (A) = A0 , σ(B) = B 0 , construyendo τ σ(B) = B 00 , στ (A) = A00 , el axioma de Pappus garantiza la conmutatividad. Las restantes afirmaciones de la proposición son consecuencia de la definición de k y de la proposición 2.6.5. Notas 2.6.9.– 2.6.9.1. - Con la proposición anterior hemos comprobado que dado un espacio proyectivo P y un hiperplano H en el, existe un cuerpo k tal que P r H tiene estructura de espacio afı́n sobre k. En el capı́tulo siguiente 2.6. CUERPO ASOCIADO A UN ESPACIO PROYECTIVO 85 P A B A’ B’ A’’ B’’ H Figura 2.10: veremos que esa estructura de espacio afı́n se puede extender para dotar a P de estructura de espacio proyectivo sobre k con las mismas rectas del espacio inicial. De este modo se completa nuestro objetivo de este capı́tulo. Hemos comprobado que las estructuras de retı́culo modular, complementario y atómico, y espacio proyectivo generalizado son equivalentes. Y que la de espacio proyectivo sobre un cuerpo equivale a las dos primeras cuando se añaden los axiomas de Pappus y Desargues. 2.6.9.2. - Hemos comprobado también que el significado geométrico del axioma de Desargues es la transitividad de la acción del grupo de las homologı́as degeneradas y que el de Pappus significa la conmutatividad del cuerpo, desde el punto de vista algebraico, pero desde el punto de vista geométrico equivale a la conmutatividad de la composición de homologı́as non degeneradas con los mismos centros y ejes. También significa como hemos visto en los problemas 41 42, la unicidad de la proyectividad de una recta del plano en otra que transforma tres puntos dados en otros tres. Solo queda comparar las nociones de proyectividad y colineación y ese es precisamente el objetivo del teorema de Staudt que tendremos ocasión de demostrar más adelante. Ejercicios de la sección 2.6 Ejercicio 2.6.42 Sean r, s dos rectas distintas de un plano proyectivo, con r ∩ s = {P }, sean {A, B, C} ⊂ r, {A0 , B 0 , C 0 } ⊂ s dos ternas de puntos distintos dos a dos y distintos de P . 1. Probar que (A + B 0 ) ∩ (B + A0 ), (A + C 0 ) ∩ (C + A0 ), (B + C 0 ) ∩ (C + B 0 ), 86CAPÍTULO 2. RETÍCULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS están alineados. 2. Probar que existe una única proyectividad de r en s que transforma A, B, C en A0 , B 0 , C 0 Ejercicio 2.6.43 Probar que la proyectividad del problema anterior es una perspectividad si y solo si transforma P en P Ejercicio 2.6.44 Construir siguiendo el proceso descrito en esta sección, el cuerpo asociado al plano proyectivo de siete puntos y siete rectas. Capı́tulo 3 Espacio proyectivo En este capı́tulo introduciremos de forma analı́tica los espacios proyectivos como espacios de rectas vectoriales de espacios vectoriales de dimensión finita, ası́ tenemos un tipo particular de espacios proyectivos generalizados a los que se pueden aplicar simultáneamente, tanto las técnicas del álgebra lineal como las técnicas geométricas desarrolladas en los capı́tulos anteriores. 3.1. Dependencia lineal. Subespacios En todo lo que sigue, designaremos con V a un espacio vectorial de dimensión n + 1 sobre un cuerpo arbitrario K. La relación definida en el conjunto V − {0} por v ∼ w ⇒ ∃a ∈ K | av = w es claramente una relación de igualdad. Definición 3.1.1.– Llamaremos espacio proyectivo asociado al espacio vectorial V al conjunto P(V ) = V − {0}/ ∼ Los elementos de P(V ), a los que llamaremos puntos, son los conjuntos de vectores: P = [v] = {av | a ∈ K, a 6= 0}, ∀v ∈ V − {0} Si P = [v], diremos que el vector v representa al punto P . Si al conjunto de vectores [v] que forman un punto proyectivo le añadimos el vector cero, tenemos la recta vectorial de V generada por v, por esta razón a los puntos los llamaremos a veces rectas vectoriales. Para desvincular la noción de punto de la de vector, se puede dar una definición más general de espacio proyectivo que es la siguiente: Definición 3.1.2.– Llamaremos Espacio proyectivo a una terna (P, ψ, V ), donde: P es un conjunto, a cuyos elementos llamaremos puntos, V es un espacio 87 88 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO vectorial de dimensión n + 1, (n se llama entonces dimensión de P) y ψ es una biyección de P sobre P(V ). En lo sucesivo y cuando no haya confusión en ello, representaremos al espacio proyectivo (P, ψ, V ), simplemente por P, diremos que está asociado a V e identificaremos cada punto con la recta vectorial que le corresponde por ψ, es decir diremos que el vector v es un representante del punto P y escribiremos P = [v] para representar ψ(P ) = [v] [v4] [v5] v4 [v1] v5 [v3] v2 v1 [v2] v3 Figura 3.1: Los puntos {[v1 ][v2 ][v3 ]} son linealmente dependientes, y los {[v1 ][v2 ][v4 ]} son independientes, el punto [v5 ] depende linealmente de {[v1 ][v2 ][v4 ]} Notas 3.1.3.– El espacio proyectivo es algo más que el conjunto P(V ), ya que, aunque las operaciones de V no se pueden llevar a P(V ), la estructura de V se traslada parcialmente a este espacio. Podemos transmitir la estructura de V a P(V ) de tres formas distintas recogidas en las tres notas siguientes: 3.1.3.1. La propiedad más caracterı́stica de V es la dependencia lineal, que se lleva al espacio proyectivo diciendo que los puntos P1 , . . . , Pr de P(V ) son linealmente dependientes (o independientes) si Pi = [vi ], 1 ≤ i ≤ r, y los vectores v1 , . . . , vr son linealmente dependientes (o independientes). También se dice que el punto P depende linealmente del subconjunto E = {Pi }i∈I = {[vi ]}i∈I de P(V ) si y solo si el vector v depende linealmente de los vectores {vi }i∈I , es decir si y solo si existen P1 , . . . , Pr contenidos en E tales que v depende linealmente de v1 , . . . , vr . Obviamente las definiciones anteriores no dependen de los vectores elegidos como representantes de los puntos. También es claro que la dependencia e independencia lineales de puntos verifican las mismas propiedades que las de vectores, y en consecuencia, podemos definir en el retı́culo de subconjuntos de 3.1. DEPENDENCIA LINEAL. SUBESPACIOS 89 un espacio proyectivo P asociado a un espacio vectorial V un operador LP por: LP (E) = {P ∈ P | P depende linealmente de E}. Las propiedades de la dependencia lineal de vectores prueban que LP es un operador de linealización (ver 2.1.8). 3.1.3.2. Si P = P(V ) y L 6= {0} es un subespacio del espacio vectorial V , L es también espacio vectorial y se puede construir su espacio proyectivo asociado P(L). Como cada recta vectorial en L es también una recta vectorial en V , P(L) es un subconjunto de P(V ). Podemos definir también P({0}) = ∅, construyendo ası́ una aplicación, claramente inyectiva, P : L(V ) −→ P(P(V )). Esta aplicación conserva los extremos inferiores, es decir las intersecciones, de familias arbitrarias. En efecto, dada la familia de subespacios, {Li }i∈I : P( \ i∈I Li ) = {[v] | v ∈ \ i∈I Li } = \ {[v] | v ∈ Li } = i∈I \ P(Li ). i∈I En consecuencia la imagen de la aplicación P es un subconjunto del retı́culo de subconjuntos de P(V ) cerrado para extremos inferiores de conjuntos arbitrarios, luego tiene estructura de retı́culo completo con las operaciones intersección conjuntista y suma, donde esta última está definida por: P(L1 ) + P(L2 ) = inf {P(L) | P(L1 ) ⊂ P(L), P(L2 ) ⊂ P(L)} = P(inf {L | L1 ⊂ L, L2 ⊂ L}) = P(L1 + L2 ) = P(L) se llama subespacio proyectivo asociado a L y el retı́culo Im(P) con las operaciones anteriores se llama retı́culo de subespaciosdel espacio proyectivo y se representa por L(P(V )), claramente la aplicación P es un isomorfismo entre este retı́culo y el de subespacios de V . 3.1.3.3. Podemos construir una estructura de espacio proyectivo generalizado en el conjunto P(V ) llamando rectas a los conjuntos ru,v , definidos para cada par de vectores linealmente independientes u, v de V por: ru,v = {[αu + βv] | (α, β) ∈ K 2 , (α, β) 6= (0, 0)}. No comprobaremos aquı́ que se verifican las propiedades caracterı́sticas de la estructura, ya que lo hemos visto par el caso más general en que K es un anillo con división (ver 2.4.3) y además está incluido en la proposición que sigue: Proposición 3.1.4.– Sea P = P(V ) un espacio proyectivo, con las notaciones anteriores se verifica que: 1. El retı́culo L(P(V )) es el retı́culo asociado al operador de linealización LP 2. El retı́culo L(P(V )) es modular complementario y atómico y su espacio proyectivo generalizado asociado es el descrito en la nota anterior. 90 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO Demostración: Para probar la primera afirmación, basta probar que LP (P(L)) = P(L), lo cual es trivial, ya que por la definición de dependencia lineal, se verifica que: [v] ∈ LP (P(L)) ⇒ [v] depende linealmente de {[v1 ], ..., [vr ]} ⊂ P(L) ⇒ v depende linealmente de {v1 , ..., vr } ⊂ L ⇒ v ∈ L ⇒ [v] ∈ P(L) y el otro contenido es consecuencia de las propiedades del operador de linealización. La segunda afirmación es consecuencia de que los retı́culos de subespacios de P y V son isomorfos. La tercera se sigue de que los elementos de P(V ) son las rectas vectoriales, es decir son los átomos de L(V ) y las rectas ru,v son exactamente, ru,v = P(L(u, v)) es decir los elementos de dimensión dos del retı́culo de subespacios. Por tanto P(V ) tiene la estructura de espacio proyectivo generalizado asociada al retı́culo L(P) ' L(V ) Nota 3.1.5.– Como consecuencia de la proposición anterior: 1. Las operaciones en el retı́culo de subespacios L(P) son: Si = P(Li ), i = 1, 2 ⇒ S1 ∩ S2 = P(L1 ∩ L2 ), S1 + S2 = P(L1 + L2 ) 2. El retı́culo L(P) tiene las mismas propiedades que el L(V ), es decir ; es un retı́culo con cero (∅) y uno (P), atómico, complementario y modular. 3. Se puede definir en P como espacio proyectivo generalizado la dimensión proyectiva dimP (P(L)) = dim(L) − 1, donde dim(L) es la dimensión de L como subespacio vectorial de V que es la misma que su dimensión como elemento del retı́culo L(V ) y se verifica que : a) dimP (∅) = −1 b) S1 ⊂ S2 ⇒ dimP (S1 ) ≤ dimP (S2 ) c) S1 ⊂ S2 , dimP (S1 ) = dimP (S2 ) ⇒ S1 = S2 d ) dimP (S1 ) + dimP (S2 ) = dimP (S1 + S2 ) + dimP (S1 ∩ S2 ) e) Si S es el complementario de S, dimP (S = dimP (P) − dimP (S) − 1 Ejemplos 3.1.6.– 3.1.6.4. - Si V = K n+1 , los puntos de P(V ) son clases de matrices: [a0 , ..., an ] = {(aa0 , ..., aan ) | a ∈ K, a 6= 0, (a0 , ..., an ) 6= (0, ..., 0)} Al espacio proyectivo P(K n+1 ) lo representaremos por PnK . Si K es un cuerpo finito y #(K) = r, el número de elementos de K n+1 − {0} es rn+1 − 1 . Como cada clase en la relación ∼ tiene r − 1 elementos, resultado de multiplicar un representante de la clase por los r − 1 elementos no nulos de K, el número de puntos de PnK es entonces n #(PnK ) rn+1 − 1 X i = r = r−1 i=0 3.1. DEPENDENCIA LINEAL. SUBESPACIOS 91 Ası́, P2Z/(2) tiene 1 + 2 + 22 = 7 puntos y P2Z/(3) 1 + 3 + 32 = 13 puntos. Teniendo en cuenta el isomorfismo L(Pn (K) ' L(K n+1 ) para averiguar cuantos subespacios de dimensión d hay en Pn (K) basta averiguar cuantos subespacios de dimensión d + 1 hay en K n+1 , y para hacer esto ultimo observemos que en este espacio: 1. El número de vectores distintos de 0 es rn+1 − 1 2. Para cada vector v1 6= 0, los vectores dependientes de él forman un espacio de dimensión uno es decir son exactamente r , luego el número de vectores linealmente independientes de el es rn+1 − r. En consecuencia el numero de pares de vectores linealmente independientes es (rn+1 − 1)(rn+1 − r). Ahora, como el número de bases en un espacio de dimensión dos es el numero de pares de vectores independientes en un espacio de dimensión dos o sea (r2 − 1).(r2 − r), el numero de subespacios de dimensión dos, que es el de rectas proyectivas, se obtiene sin más que dividir el número total de bases por el número de las que hay en cada plano, es decir es 3 (r n+1 −1)(r n+1 −r) −1)(r 3 −r) . Ası́ el número de rectas en el plano es (r (r 2 −1)(r 2 −r) (r 2 −1)(r 2 −r) = r2 + r + 1 y el de rectas en un espacio de dimensión 3, (r2 + 1)(r2 + r + 1) (r 4 −1)(r 4 −r) (r 2 −1)(r 2 −r) = 3. Inductivamente se prueba que el número de (d + 1)-uplas de vectores independientes es (rn+1 −1)(rn+1 −r)...(rn+1 −rd ), y como el número de bases de un espacio de dimensión d + 1 es también el numero de (d + 1)-uplas de vectores independientes en ese espacio, o sea (rd+1 − 1)(rd+1 − r)...(rd+1 − rd ), el número de subespacios vectoriales de dimensión d + 1, que es el de subespacios proyectivos de dimensión d es: (rn+1 − 1)(rn+1 − r)...(rn+1 − rd ) (rd+1 − 1)(rd+1 − r)...(rd+1 − rd ) 3.1.6.5. .- Si R2 /O es el conjunto de rectas afines que pasan por el origen de R2 , podemos dotarlo de estructura de espacio proyectivo con la correspondencia: φ : R2 /O −→ P1R , φ(s) = [v] ⇔ v tiene la dirección de s Para hacernos una idea mejor de la estructura de este espacio, podemos cortar R2 /O por una recta r que no pase por O; tenemos ası́ una aplicación r −→ R2 /O que asigna a cada punto B la recta OB, componiendo con φ, tenemos una aplicación: r −→ P1R −−→ que asigna a cada punto B de r el punto de P1R representado por [OB]. 92 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO O=∞ P∞ r∞ A5 A1 A4 B5 P5 B4 P4 A2 A3 =B3 P3 B2 P2 B1 P1 Figura 3.2: Se puede establecer una correspondencia biunı́voca entre la recta proyectiva real,la recta r mas el punto r∞ , y la circunferencia, el punto del infinito se corresponde con el O Esta aplicación (ver figura 3.2) es inyectiva, pero no es sobre, ya que el punto P∞ de P1R correspondiente a la recta r∞ , paralela a r por O no pertenece a la imagen de la aplicación, ası́ y ”de modo ingenuo”podemos decir que (?) P1R = r ∪ P∞ Ahora bien, observemos que: 1. Si partimos del punto P1 ∈ P1R y, fijado un sentido de recorrido , iniciamos un camino a lo largo de este espacio, mirando al mismo tiempo la marcha del punto correspondiente en r, se aprecia que este último se va yendo hacia el ”infinito”, pero una vez pasado éste, sin que el hecho se aprecie en P1R , se vuelve desde el infinito para llegar de nuevo al punto de partida. 2. La fórmula (?) no es privativa de R. Si K es un cuerpo finito #(P1K ) = 1 + #(K) Es decir, P1K añade siempre un ”punto del infinito.a la recta afı́n. 3. Si consideramos una circunferencia S que pasa por O y sea tangente a r podemos definir una correspondencia biunı́voca : ψ : S −→ P1R −→ ψ(A) = [OA], ∀A 6= O, ψ(O) = r∞ (paralela a r por O) que dota a S de estructura de espacio proyectivo. Desde un punto de vista topológico esta es una buena representación de P1R ya que mantiene mejor 3.1. DEPENDENCIA LINEAL. SUBESPACIOS 93 la proximidad de los puntos que la anterior. En la última sección de este capı́tulo hablaremos de la topologı́a de los espacios proyectivos reales y complejos y precisaremos esta afirmación. 3.1.6.6. .- Si K[x0 , .., xn ] es el anillo de polinomios en las indeterminadas x0 , .., xn , los polinomios homogéneos de grado d X P (x0 , .., xn ) = Pi0 ,...,in xi00 . . . . .xinn i0 +..+in =d µ ¶ n+d al que se suele repred sentar por Sn,d . El espacio proyectivo P(Sn,d ), llamado espacio de d-formas en n + 1 variables , tiene considerable interés en geometrı́a. Por ejemplo, si d = 1 las 1- formas: forman un K-espacio vectorial de dimensión [a0 x0 + .. + an xn ] = = {aa0 x0 + .. + aan xn = 0 | a ∈ K, a 6= 0 (a0 , .., an ) 6= (0, .., 0)} se pueden identificar con los hiperplanos de K n+1 , ya que cada hiperplano vectorial de K n+1 tiene una ecuación en la referencia canónica a0 x0 + · · · + an xn = 0 y dos hiperplanos coinciden si y solo si sus ecuaciones son proporcionales, es decir, representan la misma 1-forma. Entonces, P(Sn,1 ) es el espacio de hiperplanos de K n+1 En el caso d = 2, se obtienen todas las 2-formas, que se pueden identificar a las clases de formas cuadráticas sobre K n+1 , módulo la relación Q1 ∼ Q2 ⇔ Q1 = λQ2 más adelante veremos que cada clase de formas cuadráticas se puede identificar a una cuádrica y P(Sn,2 ) es un espacio cuyos puntos se corresponden con las cuádricas del espacio proyectivo. 3.1.6.7. .- Como es bien sabido, fijada en R2 una referencia cartesiana, la ecuación de una circunferencia es x2 + y 2 + ax + by + c = 0, a2 + b2 − 4c > 0. La misma circunferencia está definida también por el resultado de multiplicar su ecuación por un número real no nulo. Podemos, por tanto, llamar “circunferencia´´ e incluso suprimir las comillas, a toda familia de ecuaciones: γ(a0 x2 + a0 y 2 + a1 x + a2 y + a3 ) = 0 El conjunto Γ de “circunferencias´´,es un conjunto de clases de ecuaciones. Ahora bien, identificando cada clase de ecuaciones con el conjunto de sus soluciones, Γ contiene a todas las circunferencias usuales, pero también contiene a las circunferencias imaginarias como x2 + y 2 + 1 = 0 94 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO a todas las rectas: ax + by + α = 0 e incluso ecuaciones como la 1 = 0, que se puede interpretar como la ecuación del conjunto vacı́o. Γ se puede dotar de estructura de espacio proyectivo (Γ, ψ, V ) tomando V = R4 y definiendo ψ(γ(a0 x2 + a0 y 2 + a1 x + a2 y + a3 )) = [a0 , a1 , a2 , a3 ]. Observemos por ejemplo, que si C1 , C2 son circunferencias que se cortan en dos puntos A y B, una circunferencia C depende linealmente de C1 y C2 si y solo si contiene a los puntos A y B y que la recta A + B también depende linealmente de C1 y C2 . Ejercicios de la sección 3.1 Ejercicio 3.1.45 Sea K un cuerpo con q elementos y sea V un espacio vectorial de dimensión n + 1 sobre K. Calcular cuantas bases distintas (como subconjuntos) tiene V , cuantas referencias distintas hay en P(V ) y cuantos subespacios de dimensión d hay en P(V ) Ejercicio 3.1.46 Probar que si una familia de rectas {r1 }1≤i≤n de un espacio de dimensión tres se cortan dos a dos, todas ellas están contenidas en un plano. Resultado dual Ejercicio 3.1.47 Se consideran dos circunferencias reales C1 y C2 en el espacio proyectivo de circunferencias. Probar que en la recta de dicho espacio que pasa por C1 y C2 hay una única recta r 1. Probar que si C1 ∩ C2 = {A, B} r es la recta que pasa por A y B 2. ¿Que recta es la recta r si C1 y C2 son tangentes? 3. Probar que r es el eje radical de C1 y C2 , es decir el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a las dos circunferencias Ejercicio 3.1.48 Averiguar la posición relativa de todas las rectas del plano euclı́deo que pertenecen a un plano del espacio de circunferencias definido por tres circunferencias reales. Ejercicio 3.1.49 Comprobar que si r ≥ 1, s ≥ 1la correspondencia: Vrs : PrK × PsK −→ Prs+r+s Vrs ([x0 , ..., xr ], [y0 , ..., ys ]) = [x0 y0 , ..., x0 ys , x1 y0 , ..., xr ys ] Es una aplicación inyectiva, pero no sobre. Para r = s = 1 dar la ecuación de la imagen de la aplicación. 3.2. REFERENCIAS PROYECTIVAS. COORDENADAS 3.2. 95 Referencias proyectivas. Coordenadas Si V es un espacio vectorial de dimensión n+1 sobre un cuerpo K, la elección de una base de V supone definir una biyección entre V y K n+1 asignando a cada vector sus coordenadas en dicha base. Si partimos ahora de un espacio proyectivo P(V ) y si B = {v0 , . . . , vn } es una base de V , podemos asociar Pna cada punto [v] de P(V ) las coordenadas [a0,... , an ] ∈ P(K n+1 ), si v = i=0 ai vi , estas coordenadas no son únicas, al no serlo el representante del punto, pero están determinadas salvo un factor de proporcionalidad. Ahora bien, el concepto base de V no es proyectivo, ya que en P(V ) solo hay puntos, y no hay a priori ninguna manera de elegir vectores que los representen. Mas precisamente, si tomamos n+1 puntos independientes {P0 , . . . , Pn }, como la dimensión de V es n+1, estos puntos serán también generadores, en el sentido de que todo punto de P(V ) dependerá de ellos. Estos puntos corresponden a rectas vectoriales: {[v0 ], . . . , [vn ]}, tales que cualquier conjunto de representantes de estas rectas es una base de V , el problema es que se obtienen bases {w0 , . . . , wn }, con wi = ai vi , 1 ≤ i ≤ n donde {a0 , ..., an } varı́an arbitrariamente. De este modo no se puede asociar a cada punto unas coordenadas, ya que estas variarı́an arbitrariamente en función de la base elegida. Ası́ que no bastan n + 1 puntos independientes para tener coordenadas y es necesario hacer la construcción que se indica a continuación: P0 T v0 t w0 u w1 v 0 + v1 U v1 P1 Figura 3.3: La base {v0 , v1 } es la base normalizada asociada a la referencia {P0 , P1 ; U }. En cambio la base normalizada asociada a {P0 , P1 ; T } es {w0 , w1 } Definición 3.2.1.– Llamaremos referencia proyectiva en un espacio proyectivo de dimensión n a un conjunto ordenado de n + 2 puntos R = {P0 , . . . , Pn ; U } 96 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO tales que n + 1 cualesquiera de ellos son linealmente independientes. Llamaremos base normalizada asociada a la referencia (ver figura 3.3), a una base B = {v0 , . . . , vn } tal que [vi ] = Pi , 0 ≤ i ≤ n, [v0 + · · · + vn ] = U Proposición 3.2.2.– Sea R = {P0 , . . . , Pn ; U } una referencia proyectiva de un espacio P de dimensión n sobre un cuerpo K. 1. Existe una base normalizada asociada a R 2. Si B1 = {v0 , . . . , vn }, B2 = {u0 , . . . , un } son dos bases normalizadas asociadas a R, existe λ ∈ K tal que: vj = λuj , ∀j, 0 ≤ j ≤ n Demostración: Sea Pi = [wi ], 0 ≤ i ≤ n y sea U = [w], como P0 , . . . , Pn son linealmente independientes, los vectores {w0 , . . . , wn } lo son también y puesto que P = P(V ) y dim(V ) = dim(P) + 1 = n + 1, estos vectores son base de V . Entonces w = λ0 w0 + · · · + λn wn cj , · · · , U , y λi 6= 0, ∀i, ya que en caso contrario, ∃j con λj = 0 y los puntos P0 , · · · , P c donde Pj significa que se suprime Pj , serı́an dependientes, en contradicción con la definición de referencia. Pn Por tanto si llamamos vi = λi wi , ∀i, 0 ≤ i ≤ n, se verifica que: Pi = [vi ], [ 0 vi ] = [w] = U y {v0 , . . . , vn } es una base normalizada asociada a la referencia R. Si {v0 , . . . , vn } y {u0 , . . . , un } son bases normalizadas asociadas a la referencia R, U = [v0 +· · ·+vn ] = [u0 +· · ·+un ] ⇒ λ(v0 +· · ·+vn ) = u0 +· · ·+un . Por otra parte, Pi = [ui ] = [vi ], ∀i, 0 ≤ i ≤ n, luego ui = λi vi , de donde λ(v0 + · · · + vn ) = u0 + · · · + un = λ0 v0 + · · · + λn vn y por ser {v0 , . . . , vn } una base, se deduce que λ0 = . . . = λn = λ como querı́amos demostrar. En consecuencia, si P ∈ P(V ), R = {P0 , . . . , Pn : U } es una referencia de P y B = {v0 , . . . , vn } es una base normalizada asociada a R, tomando un representante v de P , las coordenadas (x0 , . . . , xn ) de v en B dependen, salvo un factor de proporcionalidad, de P y B ya que el representante v de P y la base B están unı́vocamente definidas salvo un factor de proporcionalidad. Estos numeros, (x0 , . . . , xn ) se llaman coordenadas de P en la referencia R, y puesto que dos juegos de coordenadas del punto P son proporcionales, en lo sucesivo, llamaremos coordenadas de P a la familia de matrices [x0 , . . . , xn ] = {(ρx0 , . . . , ρxn ) | ρ ∈ K, ρ 6= 0} En resumen, dado un punto P y una referencia R = {P0 , . . . , Pn : U }, las afirmaciones siguientes son equivalentes: 3.2. REFERENCIAS PROYECTIVAS. COORDENADAS 97 1. P tiene coordenadas [x0 , . . . , xn ] en R Pn 2. Si Pi = [vi ], 0 ≤ i ≤ n, U = [ 0 vi ] y es: P = [v] y ∃λ ∈ K con v = λx0 v0 + · · · + λxn vn . 3. Existen representantes wi de los puntos Pi , 0 ≤ i ≤ n tales que: [w0 + ... + wn ] = U, [x0 w0 + ... + xr wr ] = P En términos más formales, cada referencia R induce una biyección πR : P(V ) P −→ PnK 7→ [x0 , . . . , xn ] que transforma puntos dependientes en dependientes y puntos independientes en independientes. Como las coordenadas de puntos son en esencia coordenadas de vectores, las formulas de cambio de referencia en el espacio proyectivo son las mismas que las de cambio de base en el espacio vectorial. más precisamente, pretendemos resolver el problema siguiente: Dadas dos referencias en el espacio proyectivo P(V ): R = {P0 , . . . , Pn : U }, R0 = {Q0 , . . . , Qn : W } y supuesto que conocemos las coordenadas [ai0 , . . . , ain ] de Qi , 0 ≤ i ≤ n y las coordenadas [a0 , . . . , an ] de W en R, relacionar, para un punto genérico P de P(V ), las coordenadas [x0 , . . . , xn ] de P en R, y las coordenadas [y0 , . . . , yn ] de P en R0 . Para resolverlo, lo planteamos en términos vectoriales y para ello tomamos dos bases normalizadas asociadas a las referencias R y R0 respectivamente: {p0 , . . . , pn }, {q0 , . . . , qn } entonces [qi ] = [ai0 p0 + · · · + ain pn ] [w] = [a0 p0 + · · · + an pn ] por ser [ai0 , . . . , ain ] las coordenadas de Qi y [a0 , . . . , an ] las de W en la referencia R. i = λi (ai0 p0 +· · ·+ain pn ), w = λ(a0 p0 +· · ·+an pn ) y como P De este modo, qP [ qi ] = [w] es β. qi = w; llevando a esta formula las igualdades anteriores, se tiene β n X i=0 λi n X aij pj = w ⇒ β. n X n n X X ( λi aij )pj = λ. aj pj j=0 j=0 i=0 de donde ∀j β. n X i=0 λi aij = λaj j=0 98 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO y llamando ρ = λ/β, seria, en términos matriciales:     a00 a10 . . . an0 λ0  a01 a11 . . . an1   λ1        ..   ..  = ρ  .. ..  .  .   . . a0n a1n . . . ann λn a0 a1 .. .      an Si llamamos M a la matriz (aij ), Λ = (λ0 , . . . , λn ), a = (a0 , . . . , an ), estas formulas se escriben Λt = ρ.M −1 at De este modo y salvo el factor común ρ, las coordenadas (λi ai0 , . . . , λi ain ) de qi en la base {p0 , . . . , pn } quedan completamente determinadas.P Entonces, si el n punto P tiene coordenadas [x0 , . . . , xn ] en R, es P = [v], v = δ i=0 xi pi , y si Pn 0 P tiene coordenadas [y0 , . . . , yn ] en R , es v = µ. j=0 yj qj y se comprueba sin más que sustituir, que: v = µ. n X yj qj = µ. j=0 n X j=0 Entonces ∀k, µ. yj ( n X λj ajk pk ) = µ. k=0 j=0 k=0 n X n X n X ( yj λj ajk )pk yj λj ajk = δxk j=0 o en términos matriciales, y llamando ν = µ/δ,    yo λo    ν.M.  ...  =  yn λn es  x0 ..  .  xn Y las formulas completas del cambio de referencia serı́an:   y 0 λ0   xt = ν.M.  ...    λ0  ..   .  = λn  yn λn a0 −1  ..  M  .  an donde el factor ρ de proporcionalidad que aparecı́a en la segunda de estas ecuaciones, se puede suprimir ya que al sustituir los valores de λ en la primera, quedarı́an incluidos en el factor ν. Si se quiere escribir una única formula, basta con observar que       y0 0 . . . 0 y0 λ0 λ0  0 y1 . . . 0   ..    .   .  =  .. .. ..   ..   . . .  y n λn λn 0 0 . . . yn 3.2. REFERENCIAS PROYECTIVAS. COORDENADAS y entonces sustituyendo se obtiene  y0 0  0 y1  xt = ν.M  . ..  .. . 0 donde: 0    M =  ... ... 0 0 .. . ... yn     −1  M   a00 a01 .. . ... ... an0 an1 .. . a0n ... ann 99  a0 ..  .  an      En el caso particular en que solo se cambie el punto unidad, M = I y la formula se reduce a xi = ν.ai .yi con [a0 , . . . , an ] coordenadas del nuevo punto unidad. Ejercicios de la sección 3.2 Ejercicio 3.2.50 Se consideran en el espacio P(R4 ) los puntos: A0 = [2, 1, −1, 0], A1 = [2, −1, 3, 1], A2 = [−1, 0, 1, 2], A3 = [1, 0, 1, 1] y se llama L al subespacio que generan. 1. Probar que L tiene dimensión 2 2. Probar que R = {A0 , A1 , A2 ; A3 } es una referencia de L 3. Calcular una base normalizada asociada a esa referencia y las coordenadas en ella del punto [1, 2, −5, −3] 4. Averiguar si existe un punto B ∈ L tal que el punto [1, 2, −5, −3] tenga en la referencia {A0 , A1 , A2 ; B} las coordenadas [1, 2, 1] Ejercicio 3.2.51 Sean A0 = [1, −1, 2], A1 = [2, 1, 3], A2 = [2, 2, 6], U = [1, 0, 2] puntos de P(R3 ). Comprobar que forman una referencia, escribir una base normalizada asociada a la referencia y escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1] y las ecuaciones de la recta x0 − x1 + 2x2 = 0 Ejercicio 3.2.52 Sean π1 , π2 , π3 , tres planos distintos de un espacio proyectivo P3 de dimensión tres, tales que π1 ∩ π2 ∩ π3 es una recta r y sea s una recta que se cruza con r. Probar que existe una referencia de P3 tal que en ella se verifican simultáneamente las siguientes condiciones: 1. π1 , π2 tienen respectivamente las ecuaciones:x1 = 0, x2 = 0 100 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO 2. r ∩ π1 , r ∩ π2 , r ∩ π3 tienen las coordenadas [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0] respectivamente Ejercicio 3.2.53 Señalar los signos de las coordenadas proyectivas en cada una de las siete regiones en que dividen al plano las tres rectas xi = 0 de una referencia del plano proyectivo real. 3.3. Subespacios Las ecuaciones de subespacios proyectivos, son completamente análogas a las de subespacios vectoriales. Si S es un subespacio de P(V ), podemos pensar en él de dos formas distintas: o bien S = LP (Q0 , . . . , Qn ) = Q0 + . . . + Qn (subespacio que pasa por los puntos Q0 , . . . , Qn ), o bien S = P(L) (espacio proyectivo asociado al subespacio vectorial L). Si en una referencia fija R los puntos Qi tienen coordenadas [qi0 , . . . , qin ], respectivamente, un punto P de coordenadas [x0 , . . . , xn ] respecto de R, está en el subespacio S si y solo si depende proyectivamente de los Qi , o lo que es lo mismo, si (x0 , . . . , xn ) depende linealmente de los (qi0 , . . . , qin ), 0 ≤ i ≤ r, es decir ∃λ0 , . . . , λr ∈ K con:    x0 = λ0 q00 + · · · + λr qr0 .. .. .. (1) . . .   xn = λ0 q0n + . . . + λr qrn Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas del subespacio S . Claramente, dim(S) = rg(qij ) − 1. De la misma manera, si S = P(L) y, en la base asociada a la referencia R, el subespacio vectorial L tiene como ecuaciones implı́citas:    b00 x0 + · · · + b0n xn = 0 .. .. .. (2) . . .   bt0 x0 + · · · + btn xn = 0 Un punto P , de coordenadas [x0 , . . . , xn ] en R, está en S si y solo si sus coordenadas verifican este sistema de ecuaciones. En este caso, dim(S) = n − rg(bij ). Como sucede con las ecuaciones de subespacios vectoriales, eliminando los parámetros en las ecuaciones (1), se obtienen las ecuaciones (2) y resolviendo las ecuaciones (2) se obtienen las ecuaciones paramétricas. En particular, si en el sistema (2), t = n − 1 y las ecuaciones son independientes, el sistema define un punto cuyas coordenadas son [c0 , c1 , . . . , cn ] con ¯ ¯ ¯ b00 ¯ ... b0i−1 b0i+1 . . . bn−10 ¯ ¯ ¯ . . . . .. .. .. .. ¯¯ ci = ¯ ¯ ¯ ¯ bn−10 . . . bn−1i−1 bn−1i+1 . . . bn−1n ¯ 3.3. SUBESPACIOS 101 Dados dos subespacios S1 y S2 , se pueden obtener las ecuaciones de S1 ∩ S2 y S1 + S2 en términos de las de S1 y S2 . 1. Si S1 = LP (P1 , . . . , Pr ) y S2 = LP (Q1 , . . . .Qt ) entonces: S1 + S2 = LP (P1 , . . . , Pr , Q1 , . . . , Qt ). En consecuencia, si las ecuaciones paramétricas de S1 y S2 son respectivamente:    x0 = λ1 a10 + · · · + λr ar0 .. .. .. S1 = . . .   xn = λ1 a1n + · · · + λr arn    x0 .. S2 = .   xn = µ1 b10 .. . = µ1 b1n +···+ µt bt0 .. . + · · · + µt btn Las ecuaciones paramétricas de S1 + S2 son    x0 = λ1 a10 + · · · + λr ar0 + µ1 b10 .. .. .. .. . . . .   xn = λ1 a1n + · · · + λr arn + µ1 b1n +···+ µt bt0 .. . +···+ µt btn 2. Si S1 = P(L1 ), S2 = P(L2 ), es S1 ∩ S2 = P(L1 ∩ L2 ). En consecuencia, si las ecuaciones implı́citas de S1 y S2 son respectivamente:      c10 x0 + · · · + c1n xn = 0  d10 x0 + · · · + d1n xn = 0 . . . .. .. .. .. .. S2 : S1 : . .     cl0 x0 + · · · + cln xn = 0 dh0 x0 + · · · + dhn xn = 0 las de S1 ∩ S2 son  c10 x0     ..   .    cl0 x0 S1 ∩ S2 : d10 x0     ..    .   dh0 x0 +···+ c1n xn .. . =0 .. . +···+ +···+ cln xn d1n xn .. . =0 =0 .. . +···+ dhn xn =0 Bien entendido que en el primer caso se pueden reducir los parámetros a un conjunto maximal de ellos cuyos vectores de coeficientes sean linealmente independientes y en el segundo, se pueden reducir las ecuaciones a un conjunto maximal de ellas que sean linealmente independientes. 102 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO Ejercicios de la sección 3.3 Ejercicio 3.3.54 Hallar una referencia del subespacio S de P(R4 ) de ecuaciones: x0 − x1 + x2 − 6x3 x1 + x2 − 2x3 = 0 = 0 En la cual el punto [2, 1, −1, 0] tenga las coordenadas [−1, 0, 1] Ejercicio 3.3.55 Sean A, B, C, D los vértices de un cuadrilátero en un plano proyectivo sobre un cuerpo K,y sean P = (A + B) ∩ (C + D), Q = (A + C) ∩ (B + D), R = (A + D) ∩ (C + B). Probar que P, Q, R están alineados si y solo si la caracterı́stica de K es 2. Ejercicio 3.3.56 Sea R = {A0 , A1 , A2 ; U } una referencia en el plano proyectivo sobre un cuerpo K, se consideran tres puntos Ck ∈ (Ai +Aj )−{Ai , Aj }, {i, j, k} = {0, 1, 2} y sean [0, 1, β0 ], [β1 , 0, 1], [1, β2 , 0] respectivamente las coordenadas de C0 , C1 , C2 en la referencia R 1. Obtener en términos de los βi la condición necesaria y suficiente para que los puntos Ci estén alineados. 2. Obtener en términos de los βi la condición necesaria y suficiente para que las rectas Ai + Ci sean concurrentes. 3. Deducir los teoremas de Ceva y Menelao. Nota Los teoremas de Ceva y Menelao son los siguientes: Dado un triángulo en el plano real y puntos sobre sus lados como en el enunciado anterior: TeoremadeCeva,- Los puntos Ci están alineados si y solo si: A0 C2 A1 C0 A2 C1 . . = −1 A1 C2 A2 C0 A0 C1 TeoremadeMenelao.- Las rectas Ai + Ci son concurrentes si y solo si: A0 C2 A1 C0 A2 C1 . . =1 A1 C2 A2 C0 A0 C1 Donde si X, Y, Z son puntos alineados decimos que −−→ −−→ XY = aZY XY ZY = a si y solo si Ejercicio 3.3.57 Un cuadrilátero del espacio de dimensión tres se dice alabeado si no esta contenido en un plano. Dados un cuadrilátero alabeado [ABCD] y un plano π que no contiene a ninguno de sus vértices se toman los planos π1 = (A + B) + (C + D) ∩ π y π2 = (B + C) + (A + D) ∩ π y las rectas r1 = π ∩ π1 , r2 = π ∩ π2 y dos planos β1 , β2 que contengan a r1 y r2 respectivamente. 3.3. SUBESPACIOS 103 Probar que los puntos β1 ∩ (B + C), β1 ∩ (A + D), β2 ∩ (A + B), β2 ∩ (C + D) son coplanarios. Ejercicio 3.3.58 Dados dos cuadrivértices inscritos uno en otro y con los puntos diagonales situados sobre la misma recta, probar que los puntos de corte de sus diagonales coinciden Ejercicio 3.3.59 Sean A1 , A2 , A3 , tres puntos no alineados del plano proyectivo sobre un cuerpo K , tomamos subconjuntos no vacı́os Γk ⊂ (Ai + Aj ) − {Ai , Aj }, {i, j, k} = {1, 2, 3} tales que ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} y para cada par de elementos Xi ∈ Γi , Xj ∈ Γj exista Xk ∈ Γk de modo que Xi , Xj , Xk estén alineados, y una terna de puntos U1 , U2 , U3 , que verifiquen estas condiciones. 1. Comprobar que se puede definir el punto unidad U para que en la referencia R = {A1 , A2 , A3 ; U } los puntos U1 , U2 , U3 tengan respectivamente coordenadas [0, 1, −1], [−1, 0, 1], [1, −1, 0] 2. Sean [0, 1, −αX1 ], [−αX2 , 0, 1], [1, −αX3 , 0], respectivamente, las coordenadas en R de una terna de puntos genérica X1 , X2 , X3 verificando las condiciones del enunciado, y sea Gi = {αXi , Xi ∈ Γi } . Probar que los Gi son subgrupos del grupo multiplicativo de K y son iguales. 3. Si ](Gi ) = n ≥ 3 probar que Gi es cı́clico de orden n Ejercicio 3.3.60 Se llama configuración de Sylvester a un par P, Q donde, con las notaciones del ejercicio anterior P = Γ1 ∪Γ2 ∪Γ3 , Q = {r, recta con ](r∩P) ≥ 2} 1. Probar que ](P) = 3n, ](Q) = n2 + 3 2. Probar que todas las rectas de Q excepto 3 contienen exactamente 3 puntos de P. Ejercicio 3.3.61 Sean A, B, C tres puntos no alineados de un plano proyectivo sobre un cuerpo K de caracterı́stica distinta de 2 y sea P ∈ (B + C) − {B, C} un punto fijo. Se toma una recta variable r por P y se llama: Qr = r ∩ (A + C), Rr = r ∩ (A + B), Mr = (A + P ) ∩ (B + Qr ) Probar que todas las rectas Rr +Mr son concurrentes. Comprobar si el resultado sigue siendo cierto cuando K tiene caracterı́stica 2. Ejercicio 3.3.62 Dadas en el plano proyectivo dos rectas distintas r, s, un punto O ∈ / r ∪ s y dos puntos A, B alineados con O y no contenidos en r ∪ s, se considera una recta variable m por O que corta a r y s en puntos Pm y Qm 104 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO respectivamente. Estudiar el lugar geométrico descrito por el punto (A + Pm ) ∩ (B + Qm ) Ejercicio 3.3.63 En el plano proyectivo real se toman dos rectas d1 , d2 con d1 ∩ d2 = O , otras dos r1 , r2 con r1 ∩ r2 = L ∈ / d1 ∪ d2 y un punto I ∈ / r1 ∪ r2 ∪ d1 ∪ d2 . Sea s una recta variable por O y sean: s ∩ ri = Ri s , (I + Ri s ) ∩ dj = Ai,j s , i = 1, 2; j = 1, 2 Probar que todas las rectas A1,1 s +A2,2 s pasan por un punto fijo J, que todas las rectas A1,2 s + A2,1 s pasan por otro C y que los puntos I, L, J, C están alineados 3.4. Dualidad Como hemos señalado en el capitulo inicial, los geómetras del siglo XIX admitı́an en la geometrı́a proyectiva plana, un principio llamado principio de dualidad, que establece que: Si una proposición relativa a puntos, rectas, incidencia, sumas e intersecciones es cierta, también es cierta la proposición que resulta de intercambiar las palabras punto y recta, contenido y contiene, suma e intersección Vamos a probar, en un contexto completamente general, este principio, que ya habı́amos tenido en cuenta en el capı́tulo anterior al hablar de retı́culos (ver 3). Recordemos que el espacio dual de un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo K, es el espacio V ∗ = Hom(V, K), y que si V es un espacio vectorial de dimensión finita se verifica que 1.- Si {v0 , . . . , vn } es una base de V y definimos vi∗ : V −→ K por vi∗ (vj ) = δij , entonces {v0∗ , . . . , vn∗ } es base de V ∗ y en particular : dim(V ) = dim(V ∗ ) 2.- La aplicación: ϕ : V −→ (V ∗ )∗ , ϕ(v)(v∗ ) = v∗ (v) es un isomorfismo que permite identificar (V ∗ )∗ con V . 3.- Si L(V ) y L(V ∗ ) son los retı́culos de subespacios de V y V ∗ , definimos ∀L ∈ L(V ) ω(L) = {v∗ ∈ V ∗ | v∗ (v) = 0, ∀v ∈ L} ∀T ∈ L(V ∗ ) ω(T ) = {v ∈ V | v∗ (v) = 0, ∀v∗ ∈ T } Ası́ definida, ω es una biyección y como el dual del dual de V es el propio V , tiene sentido considerar también ω como aplicación de L(V ∗ ) en L(V ) y ω 2 = Id. Además, ω verifica en ambos sentidos las siguientes propiedades: i. L1 ⊂ L2 ⇔ ω(L2 ) ⊂ ω(L1 ) en consecuencia ω es un antiisomorfismo de retı́culos (??) y verifica también: ii. ½ ω(L1 + L2 ) = ω(L1 ) ∩ ω(L2 ) ω(L1 ∩ L2 ) = ω(L1 ) + ω(L2 ) iii.dim (ω(L) = dim(V ) − dim(L)) 3.4. DUALIDAD 105 iv. El subespacio L está generado por los vectores u1 , . . . , ur de coordenadas {(ai0 , . . . , ain )}1≤i≤r en la baseB = {v0 , . . . , vn } si y solo si las ecuaciones implı́citas de ω(L) en la base B ∗ = {v1∗ , . . . , vn∗ } son:    a10 x0 + · · · + a1n xn = 0 .. .. .. (?) . . .   ar0 x0 + · · · + arn xn = 0 Y recı́procamente: L esta definido, respecto de la base B, por las ecuaciones (?) si y solo si ω(L) esta generado por los vectores que en la base B ∗ tienen por coordenadas (ai0 , . . . , ain ), 1 ≤ i ≤ r. Teorema 3.4.1.– [Teorema de dualidad] Si P(V ) es el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial V de dimensión finita, existe una biyección canónica ∼ L(P(V )) −→ L(P(V ∗ )) que asigna a cada subespacio S de P(V ), su dual S ∗ en P(V ∗ ),y que verifica las propiedades siguientes: 1. dim(S ∗ ) = dim(P(V )) − dim(S) − 1 2. S ⊂ S 0 ⇔ S ∗ ⊃ S 0∗ 3. (S1 ∩ S2 )∗ = S1∗ + S2∗ 4. (S1 + S2 )∗ = S1∗ ∩ S2∗ Demostración: Basta definir la aplicación por: ∀S ∈ L(P(V )), S = P(L), S ∗ = P(ω(L)) ∈ L(P(V ∗ )). Como la correspondencia que lleva los subespacios vectoriales a sus subespacios proyectivos asociados es isomorfismo de retı́culos y ω es antiisomorfismo, la correspondencia S 7→ S ∗ es antiisomorfismo y las propiedades enunciadas resultan de las correspondientes de ω. Comprobaremos únicamente la (1): Si S = P(L), dim(S) = dim(L) − 1 y S ∗ = P(ω(L)) ⇒ dim(S ∗ ) = dim(ω(L)) − 1 = dim(V ) − dim(L) − 1 = dim(V ) − dim(S) = dim(P(V )) − 1 − dim(S). Notas y ejemplos 3.4.2.– 3.4.2.1. - Si demostramos una proposición relativa al espacio proyectivo de dimensión n sobre un cuerpo K, dicha proposición es válida en P(V ), cualquiera que sea el espacio vectorial V de dimensión n + 1 sobre K. En particular, y fijado un tal espacio V , la proposición es cierta en P(V ∗ ); entonces, si volvemos a P(V ) vı́a la biyección anterior, dicha proposición continúa siendo valida, pero ahora aparecen intercambiados, subespacios de dimensión r y subespacios de dimensión n − r + 1, contenido y contiene, suma e intersección. Se obtiene ası́ el 106 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO principio clásico de dualidad (que es por otra parte el motivo de que a V ∗ se le llame espacio dual de V ). 3.4.2.2. - Es claro que si A y B son puntos de un plano proyectivo P, existe una única recta r que pasa por ellos. La afirmación dual, que es automáticamente cierta, dice que si a y b son rectas del plano, a ∩ b es siempre un único punto. Resultado este, que ya habı́amos obtenido usando la formula de las dimensiones. 3.4.2.3. .- Si r y s son rectas que se cruzan en un espacio de dimensión tres, como r ∩ s = ∅, si P ∈ r entonces P ∈ / s y por tanto hay un único plano π que contiene a s y pasa por P , es decir: Si r y s son rectas de un espacio de dimensión tres que se cruzan, por cada punto P de r, existe un único plano π que pasa por s y contiene a P . La afirmación dual dice que: Si r y s son rectas que se cruzan en un espacio de dimensión tres, para cada plano π que contenga a r, existe un único punto P en s que está contenido en π. Es decir, todo plano que pasa por r, corta a s en un único punto. En resumen, hemos demostrado que hay una correspondencia biunı́voca entre el conjunto de planos que contiene a una de las rectas y el conjunto de puntos de la otra, y el principio de dualidad nos ha permitido hacer la prueba demostrando sólo la ”mitad ”de la afirmación. 3.4.2.4. - Hemos visto que el plano proyectivo sobre un cuerpo de r elementos tiene r2 + r + 1 puntos y en consecuencia tiene también r2 + r + 1 rectas, como además cada recta contiene r + 1 puntos, por cada punto deben pasar exactamente r + 1 rectas, es decir el plano proyectivo sobre un cuerpo de r elementos es la configuración ((r2 + r + 1)(r+1) , (r2 ) + r + 1)(r+1) . Estas configuraciones no existen en general en el plano real, ya que su existencia está ligada a la caracterı́stica del cuerpo base. Por ejemplo P((Z/(2))3 ) es la configuración (73 , 73 ) llamada configuración de Fano (v. Ver figura. 3.4). A1 A2 A5 A4 A3 A6 A7 Figura 3.4: La existencia de la configuración de Fano obliga a que los puntos A, estén alineados. En este dibujo aunque cada recta esta formada por solo tres puntos, al representarla en el plano real la dibujamos con un trazo continuo. La construcción que hemos efectuado sirve también para construir un nuevo 3.4. DUALIDAD 107 espacio proyectivo. Sea P un espacio proyectivo y sea H el conjunto de hiperplanos de P. En particular, si P = P(V ), los elementos de H son los subconjuntos P(L) con L hiperplano de V . Vamos a dotar a H de estructura de espacio proyectivo.Para ello hay dos procedimientos: 1. Fijamos una referencia R; cada hiperplano H ∈ H tiene una ecuación en R, y dos ecuaciones representan el mismo hiperplano si y solo si son proporcionales. Ası́ tenemos una biyección de H en P(Sn,1 ) (v. 5 de 3.1.6) y por tanto una estructura de espacio proyectivo en H. El problema de esta construcción es que depende de la referencia R. 2. Si la estructura de P está dada por una biyección sobre P(V ), cada H ∈ H es de la forma H = P(L), con L hiperplano vectorial en V . Entonces en el espacio dual V ∗ , ω(L) es una recta vectorial y si es v∗ ∈ ω(L), v∗ 6= 0, dicho vector define un punto [v∗ ] ∈ P(V ∗ ). Esto permite construir una correspondencia ψ H −→ P(V ∗ ) que claramente es una biyección, ya que dado [v∗ ] ∈ P(V ∗ ), Ker(v∗ ) es un hiperplano de V y P(Ker(v∗ )) es un elemento de H, obteniéndose ası́ la correspondencia inversa de ψ. Al contrario que la de (1), esta construcción es intrı́nseca. H con esta estructura se llama Espacio de hiperplanos de P . Veamos como es, en términos de coordenadas esta segunda construcción. Tomemos una referencia R = {P0 , . . . , Pn : U } en P y sea B = {v0 , . . . , vn } una base normalizada asociada. Podemos definir la base dual B ∗ = {v0∗ , . . . , vn∗ } y la referencia de P(V ∗ ), R∗ = {P0∗ , . . . , Pn∗ : U ∗ }, donde Pi∗ = [vi∗ ], i ∈ {0, . . . , n}, U ∗ = [u∗ ] = [v0∗ + · · · + vn∗ ], esta referencia no depende de la base normalizada asociada a R que elijamos y se llama referencia dual de R, o se dice que R y R∗ son referencia duales . A los puntos de R∗ les corresponden los hiperplanos de P : [vi∗ ] ≡ P(Ker(vi∗ )) = Hi , [u∗ ] ≡ P(Ker(u∗ )) = HU Pero si v tiene coordenadas (x0 , . . . , xn ) en B, entonces vi∗ (v) = xi luego Ker(vi∗ ) viene dado por la ecuación xi = 0 y u∗ (v) = x0 + · · · + xn , por tanto HU viene dado por la ecuación x0 + · · · + xn = 0. Además si H ∈ H es un hiperplano de ecuación a0 x0 + · · · + an xn = 0, el punto de P(V ∗ ) que le corresponde es el representado por el vector (a0 , . . . , an ), luego las coordenadas de H en la referencia {H0 , . . . , Hn : HU } son exactamente los coeficientes de la ecuación, [a0 , . . . , an ]. En el espacio H, un subespacio SH de dimensión r, será SH = P(L∗ ) con L∗ subespacio de V ∗ de dimensión r+1, luego SH esta formado por los hiperplanos: H ∈ SH ⇔ ψ(H) ∈ P(L∗ ) ⇔ ψ(H) = [v∗ ], v∗ ∈ L∗ Pero: v∗ ∈ L∗ ⇔ ω(L∗ ) ⊂ ω(v∗ ) = Ker(v∗ 108 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO y P(Ker()v∗ ) = H. Entonces SH es exactamente el conjunto de todos los hiperplanos que contienen al subespacio P(ω(L∗ )) cuya dimensión es: dim(P(ω(L∗ )) = = = dim(ω(L∗ )) − 1 dim(V ) − dim(L∗ ) − 1 = dim(V ) − (dim(SH ) + 1) − 1 dim(P) − dim(SH ) − 1 Ası́, en el plano proyectivo (n = 2), todas las rectas forman otro espacio de S R∩S R R R∩π π Figura 3.5: Las rectas del plano de rectas son los haces planos de rectas R1 , R2 , la intersección de los dos haces es una recta (punto en el plano de rectas). En el espacio de planos de un espacio de dimensión tres, R es una recta π un plano y el plano que contiene a la arista de R y al vértice de π es su punto de intersección dimensión dos. En él, los puntos son rectas, y las rectas son los haces de rectas con vértice en un punto. En el espacio de dimensión 3, los puntos del espacio de hiperplanos H3 , son los planos, las rectas son los haces de planos con arista en una recta, y los planos, son las radiaciones de planos con vértice un punto (Ver figura 3.5). Podemos combinar las dos construcciones anteriores, dualidad y espacio de hiperplanos, para construir más espacios de la forma siguiente: Si S es un subespacio de P(V ) de dimensión r, los hiperplanos de S considerado como espacio proyectivo, forman otro espacio proyectivo de la misma dimensión , HS , cuyos elementos son subespacios S 0 de P(V ) contenidos en S y con dimensión r − 1. Pasando por dualidad a la figura correspondiente , el dual de: HS = {S 0 | S 0 subespacio, S 0 ⊂ S, dim(S 0 ) = r − 1} es: HS∗ = {T | T subespacio, S ∗ ⊂ T, dim(T ) = n − r} 3.4. DUALIDAD 109 Como dim(S ∗ ) = n − r − 1, si llamamos d = n − r − 1, encontramos que HS∗ es el conjunto de subespacios de dimensión d + 1 que contienen a un subespacio de dimensión d, HS∗ es entonces un espacio proyectivo que se llama radiación de arista S ∗ . Este espacio se puede construir también directamente sin hacer intervenir la dualidad como sigue: Si P = P(V ) y S = P(L), construimos el espacio vectorial V /L y el espacio proyectivo asociado P(V /L), dotando de estructura de espacio proyectivo a la radiación de arista S, a la que llamaremos P/S, del modo siguiente: Si S 0 ∈ P/S, S 0 ⊃ S y dim(S 0 ) = dim(S) + 1, escribimos S 0 = P(L0 ) , con L ⊂ L0 y dim(L0 ) = dim(L) + 1; entonces, si tomamos v ∈ L0 , v ∈ / L, podemos construir el punto [v + L] de P(V /L). Recı́procamente, si v + L 6= 0, v ∈ / L y el subespacio L(v) + L = L0 verifica que dim(L0 ) = dim(L) + 1 y L ⊂ L0 por tanto P(L0 ) ∈ P/S. Ambas correspondencias son inversas una de la otra y permiten dotar de nuevo al conjunto de subespacios de dimensión d + 1 que contienen a un subespacio fijo S de dimensión d, de estructura de espacio proyectivo de dimensión r = n − d − 1. Por ejemplo, todas las rectas del espacio de dimensión 3 que pasan por un punto, forman un espacio de dimensión 3 − 0 − 1 = 2. Ejercicios de la sección 3.4 Ejercicio 3.4.64 Dados en un plano proyectivo un triángulo [A1 A2 A3 ] y una recta r que no pasa por ninguno de sus vértices, llamamos ∀{i, j, k} = {1, 2, 3}, Bi = r ∩ (Aj + Ak ), Bi,j = (Ai + Bi ) ∩ (Aj + Bj ). Probar que las rectas Ak + Bi,j , ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual. Ejercicio 3.4.65 Sean {A1 , A2 , A3 , A4 } cuatro puntos de un plano proyectivo tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados, y sean P1 ∈ (A1 + A2 ) − {A1 , A2 }, P2 ∈ (A2 + A3 ) − {A2 , A3 }, P3 ∈ (A3 + A4 ) − {A3 , A4 }, P4 ∈ (A1 + A4 ) − {A1 , A4 }. Si (P1 + P2 ) ∩ (P3 + P4 ) ∈ (A1 + A3 ), probar que (P1 + P4 ) ∩ (P3 + P2 ) ∈ (A2 + A4 ). Enunciado dual. Ejercicio 3.4.66 Sean A, B, C, D los vértices de un cuadrilátero en un plano proyectivo sobre un cuerpo de caracterı́stica distinta de dos, y sean P, Q, R, S puntos situados respectivamente sobre los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero no coincidentes con ninguno de los vértices. Probar que si P + Q ∩ R + S está sobre la diagonal A + C, entonces P + S ∩ R + Q está sobre la diagonal B + D. Enunciado dual Ejercicio 3.4.67 Se considera en P(R4 ) el plano π que en la referencia canónica tiene la ecuación x0 −x1 +2x2 −x3 = 0 y en dicho plano se consideran los puntos: A0 = [1, −1, 2, 4], A1 = [2, 1, 3, 8], A2 = [2, 2, 6, 12], U = [1, 0, 2, 5]. 1. Probar que forman una referencia de π 110 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO 2. Escribir una base normalizada asociada a la referencia 3. Escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1, 2] y las ecuaciones de la recta intersecada en π por el plano x0 − x1 + 2x2 = 0 Ejercicio 3.4.68 Se consideran en P(R4 ) las rectas cuyas ecuaciones en la referencia canónica son:{r0 : x0 −x1 = x1 +x2 = 0}, {r1 : x3 = x0 +x2 = 0}, {r2 : 2x0 −x1 +x2 +x3 = x1 +x2 −2x3 = 0}, {r3 : x0 +x1 +2x2 −x3 = x1 +x2 +x3 = 0} 1. Comprobar que todas pasan por un punto P y definen una referencia en P(R4 )/P 2. Escribir las coordenadas de la recta : {s : x0 + 2x1 + 3x2 − 4x3 = x0 + x2 − x3 = 0} en esa referencia. 3. Escribir las ecuaciones de la recta cuyas coordenadas en la referencia anterior son : [1, −1, 2] Ejercicio 3.4.69 Se consideran en P(R4 ) el plano x0 − x1 + 2x2 − x3 = 0 (ver problema 67) y la radiación del problema 68, y se considera la correspondencia: φ : π −→ P(R4 )/P , φ(X) = X + P Escribir las coordenadas en la referencia del problema 68, de la imagen de un punto de π conocidas sus coordenadas en la referencia del problema 67, y recı́procamente, dadas las coordenadas de una recta en la referencia de la radiación, escribir sus coordenadas en la referencia del plano. 3.5. Inmersión del espacio afı́n en el proyectivo Nuestro objetivo es completar el espacio afı́n añadiendo puntos de modo que tenga sentido la siguiente expresión: Dos subespacios son paralelos si y solo si se cortan en el infinito Para ello, lo más razonable es comenzar haciendo que se corten las rectas paralelas, por el procedimiento de añadir al espacio tantos puntos como familias de rectas paralelas se puedan formar. Comprobaremos que esto es suficiente. Sea A un espacio afı́n de dimensión n sobre un cuerpo K, de espacio vectorial asociado V . Consideramos el conjunto < de rectas de A, y definimos en él la relación ∀r, r0 ∈ <, r k r0 ⇔ r es paralela a r0 Claramente, k es una relación de igualdad en < y podemos construir el conjunto cociente </ k, a cuyos elemento se les llaman direcciones en A. Cada clase r k se denomina dirección de la recta r, y es el conjunto de todas las rectas paralelas a r. La aplicación: </ k −→ P(V ) rk 7→ [v] 3.5. INMERSIÓN DEL ESPACIO AFÍN EN EL PROYECTIVO 111 donde v es un vector distinto de cero contenido en r, es claramente una biyección y permite identificar </ k con P(V ), dotándolo por tanto de estructura de espacio proyectivo de dimensión n−1. Este espacio se llama espacio o hiperplano del infinito de A y se representa por A∞ K A r2 r3 P=[1,v] v r1 [0, w] w v π∞ Figura 3.6: Fijo el punto O, A se puede identificar de modo natural con el subconjunto de K × V compuesto por los elementos con primera componente 1, V se identifica con {0} × V y la acción de V sobre A con la suma en K × V . Entonces el punto afı́n P se identifica con ~ ], y cada haz de rectas paralelas r1 , r2 , r3 , . . . con el punto del infinito [0, w] [1, OP ` ` El conjunto A = A A∞ , donde por representamos la unión disjunta, se llama completado del espacio afı́n y se puede dotar, de modo natural, de estructura de espacio proyectivo mediante la siguiente construcción (Ver figura. 3.6): Fijamos un punto O ∈ A, construimos el espacio vectorial K × V de dimensión n + 1 y el espacio proyectivo P(K × V ) y definimos la correspondencia ψO : A −→ P(K × V ) −−→ por: ∀P ∈ A, ψO (P ) ` = [1, OP ]; ∀r k∈ A∞ , ψO (r k) = [0, v] con v vector director de r. Como A = A A∞ , ψO está bien definida y es aplicación. Además es biyectiva, como vamos a comprobar a continuación. Veamos primero que ψO es inyectiva. En efecto, si P ∈ A, r k∈ A∞ , ψO (P ) 6= ψO (r k), ya que el primero tiene primera componente igual a uno y el segundo la tiene igual a cero. Si los puntos P y Q están en A: −−→ −−→ −−→ ψO (P ) = ψO (Q) ⇒ [1, OP ] = [1, OQ] ⇒ ∃λ ∈ K, (1, OP ) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ = λ(1, OQ) ⇒ 1 = λ, OP = λOQ ⇒ OP = OQ ⇒ P = Q Si r k y s k están en A∞ es ψO (r k) = ψO (s k) ⇒ [0, v] = [0, w] ⇒ ∃λ ∈ K, λ(0, v) = (0, w) 112 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO ⇒ λv = w ⇒ r k= s k ya que r y s serı́an paralelas por tener vectores directores proporcionales. ψO es sobre porque si [α, v] ∈ P(K × V ), existen dos posibilidades: i) α = 0 con lo cual [0, v] = ψO (r k) donde r es una recta cualquiera paralela av ii) α 6= 0 con lo cual [α, v] = [1, (1/α)v] = ψO (Q) donde Q = O + (1/α)v De este modo, A es un espacio proyectivo de dimensión n que contiene tanto al espacio afı́n A como a las direcciones de A. Veamos ahora qué sucede con la geometrı́a afı́n en el paso de A a A. Comencemos por la dependencia afı́n de puntos. Los puntos A1 , . . . , Ar ∈ A son afı́nmente dependientes si y solo si ∃λ1 , . . . , λr ∈ K, no todos cero verificando r X −−→ λi OAi = 0, i=1 r X λi = 0 i=1 condición equivalente a que ∃λ1 , . . . , λr ∈ K no todos cero con r X −−→ λi (1, OAi ) = 0 ⇔ −−→ −−→ {[1, OA1 ], . . . , [1, OAr ]} = {ψO (A1 ), . . . , ψO (Ar )} linealmente dependientes i=1 Es decir, los puntos A1 , . . . , Ar son dependientes (resp. independientes) en A si y solo si, considerados como puntos de A, son dependientes (resp. independientes). Obviamente lo mismo sucede con el hecho de depender un punto de otros: el punto A depende afı́nmente de los puntos A1 , . . . , Ar si y solo si ∃λ1 , . . . , λr ∈ K verificando: r r i=1 i=1 X X −→ X −−→ −→ −−→ OA = rλi OAi , 1 = λi ⇔ (1, OA) = λi (1, OAi ) i=1 −→ condición equivalente a que [1, OA] = ψO (A) dependa linealmente de: −−→ −−→ {[1, OA1 ] = ψO (A1 ), . . . , [OAr ] = ψO (Ar )}. Sea S un subespacio afı́n de A, S no es en general un subespacio proyectivo de A pero se puede construir el mı́nimo subespacio proyectivo de A que lo contiene, S = LP (ψO (S)). Obviamente, si S es no vacı́o, S * A∞ . Recı́procamente, si T es un subespacio proyectivo de A y T * A∞ , T ∩ A es un subespacio afı́n de A ya que por ?? es cerrado respecto a la dependencia afı́n. De este modo, si L(A) es el conjunto de subespacios proyectivos de A no contenidos en A∞ y el conjunto vacı́o y L(A es el conjunto de subespacios afines de A, se pueden definir dos correspondencias L(A) S L(A) −→ 7→ S = LP (ψO (S)) L(A) −→ L(A) T 7→ T ∩ A 3.5. INMERSIÓN DEL ESPACIO AFÍN EN EL PROYECTIVO 113 que según vamos a ver, son inversas una de la otra. Para comprobar esta afirmación, tenemos que estudiar con más detalle cómo es S. Por una parte,S ⊂ A, luego: S = S ∩ A = S ∩ (A ∪ A∞ ) = (S ∩ A) ∪ (S ∩ A∞ ). Por otra parte, P ⊂ S si y solo si P depende linealmente de un conjunto finito de puntos {P1 , . . . , Pr } ⊂ S entonces: 1. P ∈ S ∩ A. En este caso, P depende linealmente de {P1 , . . . , Pr } si y solo siP depende afı́nmente de {P1 , . . . , Pr }, luego P ∈ S, es decir S ∩ A = S 2. P ∈ S ∩ A∞ . En este caso P = [0, v] y si Pi = [1, vi ], como P depende linealmente de {P1 , . . . , Pr } es: ½ Pr r X λ = 0 ⇒ λ1 = −λ2 = · · · = −λr −−→ i=1 Pri [0, v] = λi [1, OPi ] ⇒ −−→ v = i=1 λi OPi i=1 de donde se deduce que: −−→ −−→ −−→ −−→ v = λ1 OP1 + · · · + λr OPr = (−λ2 − · · · − λr )OP1 + · · · + λr OPr −−→ −−→ −−→ −−→ = λ2 (OP2 − OP1 ) + · · · + λr (OPr − OP1 ) −−−→ −−−→ = λ1 P1 P2 + · · · + λr P1 Pr ∈ d(S) donde hemos representado por d(S) al subespacio dirección del subespacio afı́n S. El recı́proco es inmediato, luego S ∩ A∞ = P(d(S)). A P(d(S) , espacio proyectivo asociado al subespacio dirección de S, se le representa por S∞ ; se verifica entonces que S S∞ = = S ∪ S∞ P(d(S)) S∩A S ∩ A∞ = = S S∞ En consecuencia, como S ∩ A = S es ψϕ = 1L(A) . Veamos ahora que ψϕ = 1L(A) , es decir que para cada subespacio T 6= ∅ no contenido en A∞ , es LP (T ∩ A) = T . Como T ∩ A) ⊂ T es LP (T ∩ A) ⊂ T . Recı́procamente, si un punto P ∈ T y −−→ P ∈ / T ∩A, es P ∈ T ∩A∞ , luego P = [0, v]. Como T ∩A 6= ∅, ∃Q ≡ [1, OQ] ∈ T , −−→ luego [1, OQ + v] = Q0 ∈ T ; ahora bien, Q0 ∈ A, Q0 ∈ T ∩ A y P depende linealmente de Q y Q0 , luego P ∈ T ∩ A y T ⊂ T ∩ A, con lo que se tiene la igualdad. En estas condiciones, S se llama cierre proyectivo de S o compleción de S, y claramente se verifica que si S1 y S2 son subespacios del espacio y S1 ∩ S2 = ∅, es S1 ∩ S2 = S1∞ ∩ S2∞ = P(d(S1 )) ∩ P(d(S2 )) = P(d(S1 ) ∩ d(S2 )), luego S1 es paralelo a S2 si y solo si: ¾ S1 ∩ S2 = ∅ ⇒ S 1 ∩ S 2 6= ∅yS 1 ∩ S 2 ⊂ A∞ d(S1 ) ∩ d(S2 ) 6= {0} 114 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO que es lo que buscábamos. Si R = {O; u1 , . . . , un } es una referencia afı́n en el espacio A, llamaremos referencia proyectiva asociada a dicha referencia, a la referencia construida en el espacio A (donde A se obtiene usando el punto O para la inmersión): R = {[1, 0], [0, u1 ], . . . , [0, un ]; [1, n X ui ]} i=1 compuesta por el origen de coordenadas, las direcciones de los ejes coordenados y el punto afı́n de coordenadas (1, . . . , 1) en R como punto unidad. P1 A P = [x0, x1, x2] y1 x2/x0 1 U v1 [0, v1] x1/x0 [0, v2] vo P2 v2 P0 x1 y2 x0 x2 Figura 3.7: Referencias asociadas y coordenadas proyectivas En esta referencia, las coordenadas proyectivas se calculan muy fácilmente en términos de las afines. En efecto, si el punto P ∈ A tiene de coordenadas −−→ Pn (x1 , . . . , xn ) en la referencia R, es OP = i=1 xi ui . Como la base normalizada asociada a R es {(1, 0), (0, u1 ), . . . , (0, un )}, el punto P , que como punto del −−→ espacio proyectivo es [1, OP ], se escribe: n X −−→ [1, OP ] = [(1, 0) + xi (0, ui )] i=1 tiene, en R, coordenadas [1, x1 , . . . , xn ]. Recı́procamente, si P ∈ A tieneP de coordenadas [y0 , . . . , yn ] en R, entonces si P n P = [α, w], (α, w) = λ(y0 (1, 0) + 1 yi (0, ui )), luego α = λy0 , w = λ( yi ui ) y se pueden dar dos caso (Ver figura 3.7): 1. y0 = 0 ⇔ α = 0 ⇔ P ∈ A∞ . Es decir, A∞ es el hiperplano de ecuación y0 = 0 en R 3.5. INMERSIÓN DEL ESPACIO AFÍN EN EL PROYECTIVO 2. y0 6= 0. Entonces: [y0 , . . . , yn ] = [1, 115 y1 yn ,..., ] y0 y0 y P es el único punto afı́n de coordenadas en R ( y1 yn ,..., ) y0 y0 Es decir, el paso de la situación afı́n a la proyectiva en coordenadas, se obtiene escribiendo (x1 , . . . , xn ) en términos de (y0 , . . . , yn ) por las fórmulas yi = xi , ∀i, 1 ≤ i ≤ n y0 Por ejemplo, si H es un hiperplano afı́n de ecuación, en la referencia R: a0 + a1 x1 + · · · an xn = 0 la sustitución nos da: a0 + a1 y1 yn + · · · + an =0 y0 y0 y quitando denominadores, a0 y0 + a1 y1 + · · · + an yn = 0 Veamos que ésta es la ecuación de H en R. En efecto, H = H ∪ H∞ y H∞ = P(d(H)) (v. ??), entonces un punto Q : [y0 , . . . , yn ] está en H si verifica 1. Q ∈ H = H ∩ A, es decir y0 6= 0 y las coordenadas ( y1 yn ,..., ) y0 y0 verifican la ecuación de H, o sea a0 + a1 y1 yn + · · · + an = 0 ⇔ a0 y0 + · · · an yn = 0 y0 y0 2. Q ∈ H∞ , entonces y0 = 0 y dado que (y1 , . . . , yn ) son las coordenadas de un vector de dirección de H, y por tanto verifican la ecuación de la dirección de H, a1 x1 + · · · an xn = 0, entonces a1 y1 + · · · an yn = 0, de donde a0 y0 + a1 y1 + · · · an yn = 0 y , por ser y0 = 0, [y0 , . . . , yn ] verifica también la ecuación a0 y0 + · · · an yn = 0 Dado que todo subespacio es intersección de hiperplanos, se puede escribir que el subespacio afı́n S tiene en la referencia R las ecuaciones:    a00 +a01 x1 + · · · + a0n xn = 0 .. .. .. .. . . . .   ar0 +ar1 x1 + · · · + arn xn = 0 116 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO si y solo si las ecuaciones de S en R son:    a00 y0 +a01 y1 + · · · + .. .. . .   ar0 y0 +ar1 y1 + · · · + a0n yn = .. . arn yn 0 .. . =0 Y el proceso de paso de A a A es simplemente cambiar xi por denominadores ”. yi y0 y ”quitar P =[v1] =[v2] =[v3] [v3 + v] v P=[p] [u] v3 v v2 [v2 +v] P+ v w [v1 + v] v v v u H∞ w v H∞ Figura 3.8: La acción de V sobre P − H no queda definida a menos que fijemos de modo unı́voco un representante para cada punto P Vamos a invertir el proceso de 3.7, es decir dado un espacio proyectivo P y un hiperplano H, vamos a comprobar que A = P − H se puede dotar de modo natural de estructura de espacio afı́n, de manera que A = P, y A∞ = H. De este modo, se puede elegir como ”infinito.a cualquier hiperplano. Sea P = P(V ) y H = P(L), con L hiperplano de V . Para construir en A = P − H una estructura de espacio afı́n, vamos a definir una acción de L sobre A, es decir vamos a dar sentido a la expresión P + v, si P ∈ A y v ∈ L. Como P = [p] es una recta vectorial, podrı́amos escribir P + v = [p + v], pero esta construcción depende claramente del representante elegido(Ver figura. 3.8). Entonces necesitamos un método de fijar un representante de cada punto P ∈ A. Para ello, hacemos lo siguiente: Sea u ∈ V, u ∈ / L. El vector u existe porque L 6= V y además u ∈ / L ⇒ L + L(u) es suma directa, luego dim(L + L(u)) = dim(L) + 1 = dim(V ) ⇒ L + L(u) = V Y como la suma es directa, ∀v ∈ V , ∃w ∈ L y λ ∈ K, únicos, de modo que v = w + λu Entonces, si P ∈ P − H, existe un único representante de P , p, tal que p = l + u, con l ∈ L. En efecto, si v es un representante de P , v = w + λu de donde (1/λ)v = (1/λ)w + u es un representante de P con la propiedad pedida, 3.5. INMERSIÓN DEL ESPACIO AFÍN EN EL PROYECTIVO 117 se puede dividir por λ porque si λ = 0, seria v = w ∈ L y P = [v] ∈ H en contra de ser P ∈ P − H. Este representante es único con la propiedad citada, ya que si P = [p1 ] = [p2 ] y p1 = l + u, p2 = l0 + u (con l, l0 ∈ L) y p1 6= p2 , entonces [p1 − p2 ] = P y p1 − p2 = l + u − (l0 + u) ∈ L de donde se deduce que P ∈ H, contradicción. Definimos entonces una acción de L sobre A = P −H como sigue (Ver figura. 3.8): ½ P = [p] p = l + u ∀P ∈ A, ∀t ∈ L, P + t = Q ⇔ Q = [p + t] Veamos que con esta acción, que esta bien definida, A es espacio afı́n. En efecto: i) ∀P ∈ A, P + 0 = P , evidente. ii) ∀P ∈ A, ∀t1 , t2 ∈ L, (P + t1 ) + t2 = P + (t1 + t2 ). Esto es claro pues P = [p] con p = l + u, l ∈ L, Q = P + t1 = [p + t1 ]. Ahora bien, como q = p + t1 = l + t1 + u y l + t1 ∈ L Q + t2 = [q + t2 ] = [(p + t1 ) + t2 ] = [p + (t1 + t2 )] = P + (t1 + t2 ) . es iii) ∀P, Q ∈ A, ∃t ∈ L único con P + t = Q. En efecto, si P = [p], Q = [q] ¾ p = l + u, l ∈ L ⇒ q − p = l0 − l ∈ L q = l0 + u, l0 ∈ L Entonces P + (q − p) = [p + q − p] = [q] = Q Por tanto, A = P − H es espacio afı́n con espacio vectorial asociado L. Veamos ahora que A se identifica a P, de modo que la inmersión de A en A corresponde a la inmersión de A en P como subconjunto. Como L + L(u) = V y la suma es directa, K × L ' V vı́a el isomorfismo que asigna a cada λu + l el elemento (λ, l) de K × L ; luego P ≡ P(K × Ā) y A se identifica , en P(K × L), al conjunto de puntos construidos como sigue: −−→ Si O = [u] ∈ P − H = A, para cada P ∈ A, el vector OP se obtiene, en la estructura afı́n que hemos establecido en A, escribiendo: ½ P = [p] p = l + u, l ∈ L O = [u] u = 0 + u, 0 ∈ L −−→ y OP = p − u = l ∈ L. −−→ Si construimos ahora A, el punto P como punto afı́n se identifica a [1, OP ] ~ ) de K × L que se identifica al vector de V representada por el vector (1, OP −−→ −−→ u + OP = p, luego el punto [1, OP ] vuelve a ser el punto P proyectivo de partida; esto prueba que la inmersión A ,→ A ≡ P no es sino la que ya tenı́amos de A en P 118 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO Sea H un hiperplano del espacio P, elegimos una referencia en dicho espacio, R = {P0 , . . . , Pn ; U } tal que {P0 , . . . , Pi−1 , Pi+1 , . . . Pn } ⊂ H, entonces la ecuación de H en R es xi = 0. Podemos elegir una base normalizada asociada a la referencia, {v0 , . . . , vn } y si H = P(L), los vectores {v0 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn } son una base de L y se puede elegir el vector vi como vector u en la construcción de 3.9. De esta manera, para la estructura afı́n de A = P − H, Ri = {Pi : v0 , . . . , v̂i , . . . , vn } es una referencia y dado un punto cualquiera X = [w] de A, el vector P~i X se obtiene escribiendo: w = x0 v0 + · · · + xn vn = xi vi + x0 v0 + · · · + xd i vi + · · · + xn vn conxi 6= 0. Por tanto 1 x0 c xi xn w = vi + v0 + · · · + vi + · · · + vn xi xi xi xi y 1/xi w es el representante del punto X que se selecciona, luego X xj X xj P~i X = vi + vj − vi = vj . xi xi j6=i j6=i Luego el punto X de coordenadas proyectivas [x0 , . . . , xn ] respecto de la referencia R, tiene en la referencia afı́n Ri , las coordenadas (x0 /xi , . . . , x[ i /xi , . . . , xn /xi ) (téngase en cuenta que por ser X ∈ / H es xi 6= 0). Recı́procamente, si X ∈ A tiene en la referencia afı́n Ri las coordenadas (y1 , . . . , yn ), se verifica que: P~i X = y1 v0 + · · · + yi vi−1 + yi+1 vi+1 + · · · + yn vn Luego el punto X esta representado por el vector x dado por x = = vi + P~i X y1 v0 + · · · + yi vi−1 + vi + yi+1 vi+1 + · · · + yn vn Por tanto, las coordenadas del punto X en la referencia R son [y1 , . . . , yi−1 , 1, yi+1 , . . . , yn ] Observemos que si R = {P0 , . . . , Pn ; U }, podemos llamar Hi al hiperplano Hi = LP (P0 , . . . , P̂i , . . . , Pn ), es decir, al hiperplano de ecuación xi = 0, entonces n \ i=0 Hi = ∅ ⇒ n [ (P − Hi ) = P i=1 Llamando Ai = P − Hi , tenemos ası́ un total de n + 1 espacios afines n dimensionales que recubren el espacio P. En cada uno de estos espacios Aj , 3.5. INMERSIÓN DEL ESPACIO AFÍN EN EL PROYECTIVO 119 tenemos una referencia construida tomando una base normalizada asociada a R, {v0 , . . . , vn } y formando Rj = {Pj : v0 , . . . , vˆj , . . . , vn }. Se verifica que si P ∈ P, P ∈ Aj ⇔ P ∈ / Hj , es decir si P tiene en R las coordenadas [x0 , . . . , xn ], se verifica que P ∈ Aj ⇔ xj 6= 0 y entonces las \ coordenadas del punto P en la referencia Rj son (x0 /xj , . . . , x i /xj , . . . , xn /xj ). P0 O1 A1 P=[x0, x1] x1 U x1/x0 v1 1 v0 v x0 1 0 x0/x1 O0 v1 P1 A0 Figura 3.9: Cartas afines del espacio proyectivo real de dimensión 1 Ejemplos 3.5.1.– 3.5.1.5. - Dado un punto P de P(R2 ) de coordenadas [x0 , x1 ] en la referencia R = {P1 , P2 ; U }, con x0 6= 0, x1 6= 0, P ∈ A0 ∩ A1 porque no está en ninguno de los hiperplanos xi = 0 i ∈ {0, 1}. En A0 la referencia es {O0 ; v0 } y la coordenada de P en ella es (x0 /x1 ). En A1 , en la referencia {O1 ; v1 }, la coordenada de P es (x1 /x0 ) (Ver figura. 3.9) 3.5.1.6. - Dadas las rectas r y s de P(R3 ) de ecuaciones: a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 b0 x0 + b1 x1 + b2 x2 = = 0 0 aj 6= 0 ∀j bj 6= 0 ∀j r y s determinan rectas afines sobre las tres cartas: r ∩ A0 tiene de ecuación a0 + a1 y1 + a2 y2 = 0 con y1 = x1 /x0 , y2 = x2 /x0 . r ∩ A1 tiene de ecuación a0 y1 + a1 + a2 y2 = 0 con y1 = x0 /x1 , y2 = x2 /x1 . r ∩ A2 tiene de ecuación a0 y1 + a1 y2 + a2 = 0 con y1 = x0 /x2 , y2 = x1 /x2 . Y se determinan rectas similares para s 120 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO A2 r r2 s2 s s1 r1 A1 r0 s0 r∩s A0 P1 P2 P0 Figura 3.10: Cartas afines del espacio proyectivo real de dimensión 2 En la figura 3.10, hemos elegido r y s para que se vean como secantes en las cartas A1 y A2 y como paralelas en la carta A0 . 3.5.1.7. Como el polinomio, F (x0 , x1 , x2 ) = x21 + x22 + 2x0 x2 es homogéneo, tiene sentido considerar el conjunto: CF = {[a0 , a1 , a2 ] ∈ P(R3 ) | F (a0 , a1 , a2 ) = 0} ya que F ( el hecho de que F se anule en un punto no depende del representante de este que se elija porque F (a0 , a1 , a2 ) = 0 ⇒ F (ta0 , ta1 , ta2 ) = t2 F (a0 , a1 , a2 ) = 0.) Desde el punto de vista afı́n y en cada una de las tres cartas antes consideradas, el conjunto CF está descrito como sigue: 1. CF ∩ A0 tiene de ecuación y12 + y22 + 2y2 = 0 ⇒ y12 + (y2 + 1)2 = 1 con y1 = x1 /x0 , y2 = x2 /x0 , es decir la figura se ve como una circunferencia en la carta A0 2. CF ∩ A1 tiene de ecuación 1 + y22 + 2y1 y2 = 0 ⇒ y2 (y2 + 2y1 ) = −1 con y1 = x0 /x1 , y2 = x2 /x1 , es decir en esta carta se ve como una hipérbola 3. CF ∩ A2 tiene de ecuación y22 + 1 + 2y1 = 0 con y1 = x0 /x2 , y2 = x1 /x2 , es decir ahora la figura se ve como una parábola. Vemos ası́ que los conceptos elipse, hipérbola, parábola, no son conceptos proyectivos sino diferentes visiones afines de una sola realidad proyectiva. Ejercicios de la sección 3.5 Ejercicio 3.5.70 Se llaman casos reducidos de un enunciado proyectivo a 3.5. INMERSIÓN DEL ESPACIO AFÍN EN EL PROYECTIVO 121 los enunciados afines que se obtiene cuando alguno de los puntos o rectas del enunciado se lleva al infinito. Escribir casos reducidos del teoremas de Desargues. Ejercicio 3.5.71 Utilizar el teorema de Desargues para dibujar lo siguiente: 1. La recta que pasa por un punto del papel y por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera de él 2. La recta que pasa por el punto de corte de dos rectas que se cortan fuera del papel y es paralela a una recta dada Ejercicio 3.5.72 Dado en el plano real un paralelogramo, diseñar un método para construir con solo una regla una recta que pase por un punto dado y sea paralela a una recta dada Ejercicio 3.5.73 Se consideran el plano afı́n real, tres puntos no alineados A, B, C, y dos rectas concurrentes r, s no paralelas a los lados del triángulo ABC. Se construyen los paralelogramos con diagonales AB, AC, BC y lados paralelos a las rectas r, s. Probar que las segundas diagonales de los tres paralelogramos concurren en un punto. Considerando el plano afı́n sumergido en el proyectivo y tomando como recta del infinito una recta arbitraria, dibujar la figura correspondiente al problema. Ejercicio 3.5.74 Dado un triángulo T = [A1 , A2 , A3 ] del plano afı́n y una recta r que no pase por ninguno de sus vértices, probar que las rectas que unen cada vértice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentes a dicho vértice, cortan a los lados opuestos al vértice en puntos alineados. Ejercicio 3.5.75 Sean a, b, c, tres rectas en el plano afı́n A2 y tomemos paralelas a cada una de ellas, a0 , b0 , c0 . Demostrar que a ∩ b + a0 ∩ b0 , a ∩ c + a0 ∩ c0 y c ∩ b + c0 ∩ b0 , son tres rectas concurrentes. Ejercicio 3.5.76 Se consideran el plano afı́n real R2 y su compleción proyectiva sumergidos en el plano afı́n complejo C2 y su compleción proyectiva. Probar que una cónica afı́n real no degenerada es una circunferencia si y solo si pasa por los puntos cı́clicos del plano [0, 1, ±i] Ejercicio 3.5.77 1. Se consideran las curvas del plano afı́n dadas en una referencia afı́n por las ecuaciones : C1 : x2 + y 2 = 1, C2 : xy = 1, C3 : x2 − y = 0 Se sumerge el plano afı́n en el proyectivo y se pide encontrar cambios proyectivos de coordenadas que transformen la ecuación de Ci en la de Cj para 1 ≤ i ≤ j ≤ 3 2. Escribir las ecuaciones de las ası́ntotas de la curva real planas, de ecuación: x4 − 4x2 y 2 + 2x3 − 3y 2 = 0, 122 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO Ejercicio 3.5.78 En el espacio afı́n real de dimensión tres, R3 , sean π, π 0 , dos planos distintos. Consideramos R3 ⊂ P3R , Q complementario de π̄ y de π̄ 0 y ϕ, la proyección de π en π 0 desde Q. 1. Sea P ⊂ π un paralelogramo. À Qué condiciones deben satisfacer π, π 0 y Q para que la imagen de P por ϕ sea también un paralelogramo?. 2. Si π y π 0 tienen ecuaciones respectivamente: x−y = 0, x+z = 0 y Q tiene coordenadas (1, 2, 0) en una referencia afı́n de R3 , buscar las ecuaciones de las recta de π que se transforma por ϕ en la recta del infinito de π 0 y de la recta transformada de la recta del infinito de π̄ 3. Buscar las coordenadas de un punto T tal que la proyección del paralelogramo de π de vértices : (1, 1, 0)(0, 0, 2)(3, 3, 0)(5, 5, 4) sobre π 0 desde T sea un paralelogramo Ejercicio 3.5.79 Sean a, b, c, tres rectas en el plano afı́n A2 y tomemos paralelas a cada una de ellas, a0 , b0 , c0 . Demostrar que a ∩ b + a0 ∩ b0 , a ∩ c + a0 ∩ c0 y c ∩ b + c0 ∩ b0 , son tres rectas concurrentes. Ejercicio 3.5.80 Dado un cuadrilátero en un plano π del espacio euclı́deo real: 1. Buscar todos los pares (Q, α) tales que la proyección del cuadrilátero desde Q sobre α sea un paralelogramo 2. Id. sea un rectángulo 3. Id. sea un cuadrado 3.6. Apéndice: Topologı́a de los espacios proyectivos Si K es el cuerpo real o el complejo, el espacio K n admite una topologı́a natural en la cual la base de entornos de un punto α = (α1 , ..., αn ) es el conjunto de bolas abiertas centradas en el punto: Pi=n n 2 2 + BR | ² (α) = {x ∈ R i=1 (xi − αi ) < ² } para ² ∈ R en el caso K = R Pi=n n 2 2 + | BC ² (α) = {x ∈ C i=1 |xi − αi | < ² } para ² ∈ R en el caso K = C Para cuerpos arbitrarios el espacio afı́n K n se puede dotar siempre de la topologı́a de Zariski que es la topologı́a con base de abiertos: {D(f )}f ∈K[x1 ,...,xn ] , D(f ) = {(a1 , ..., an ) ∈ K n | f (a1 , .., an ) 6= 0}. El sistema de cartas descrito en la sección anterior permite trasladar esas topologı́as al espacio proyectivo de dimensión n sobre el cuerpo K. Para ello, fijamos una referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U } en PnK = P(K n+1 ), llamamos Hi 3.6. APÉNDICE: TOPOLOGÍA DE LOS ESPACIOS PROYECTIVOS 123 al hiperplano de ecuación xi = 0, y Ai = P − Hi , tenemos ası́ un total de n + 1 espacios afines n - dimensionales que recubren el espacio P. En cada uno de estos espacios Aj tenemos una referencia afı́n, como ya hemos visto, sin más que tomar una base normalizada asociada a R, {v0 , . . . , vn } y formar Rj = {Pj : cj , . . . , vn }. Si P ∈ P y P ∈ Aj , y P tiene en R coordenadas [x0 , . . . , xn ], v0 , . . . , v con xj 6= 0, entonces las coordenadas del punto P en la referencia Rj son \ (x0 /xj , . . . , x i /xj , . . . , xn /xj ). Por tanto la referencia R induce biyecciones: \ ϕj : Aj → K n , ϕj ([x0 , . . . , xn ]) = (x0 /xj , . . . , x i /xj , . . . , xn /xj ) estas biyecciones permiten llevar la topologı́a de K n a todas las cartas locales Aj . Proposición 3.6.1.– La familia de subconjuntos: T = {U ⊂ PnK | ϕj (U ∩ Aj ) abierto en Aj } es una topologı́a en PnK , y es independiente de la referencia elegida para construirla. Además una aplicación f : PnK −→ X, donde X es un espacio topológico, es continua si y solo si son continuas las aplicaciones f ϕj : K n −→ X para todos los ı́ndices j. Demostración: Es obvio que ∅ ∈ST , PnK ∈ T . La S propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección, ( i∈I Ui ) ∩ Aj = i∈I (Ui ∩ Aj ) prueba que T es cerrado para uniones arbitrarias. Tn Tr Como además ( i=1 Ui ) ∩ Aj = i=1 (Ui ∩ Aj ), T es también cerrado para intersecciones finitas y por tanto es una topologı́a. En la topologı́a construida los hiperplanos son cerrados, ya que dado un hiperplano H, si tomamos una carta afı́n, o H es el hiperplano complementario o la corta en un hiperplano afı́n que es cerrado. En consecuencia los conjuntos complementarios de hiperplanos son abiertos. Entonces dadas dos referencias R1 , R2 si T1 , T2 son las topologı́as asociadas, las cartas de cada una son abiertas en la otra, ya que son complementarias de hiperplanos, entonces U es abierto en T1 , como cada carta Aj de T1 es también abierta en T2 , U ∩ Aj es abierto en T2 para todos los ı́ndices j luego U es unión de abiertos en T2 y por tanto es abierto. El mismo razonamiento prueba que los abiertos en T2 lo son en T1 . La última afirmación es trivial de la construcción de los abiertos. Corolario 3.6.2.– Una base de abiertos de la topologı́a de Zariski de PnK es la familia de conjuntos: D(F ) = {[a0 , ..., an ] ∈ PnK | F (a0 , ..., an ) 6= 0} cuando F recorre los polinomios homogéneos en n + 1 variables con coeficientes en K 124 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO Demostración: Manteniendo las notaciones anteriores, es claro que, si para cada polinomio f ∈ K[x1 , ..., xn ] de grado r y cada ı́ndice j, llamamos: Fj (y0 , ..., yn ) = yjd+1 f ( y0 c yj yn , .., , .., ) yj yj yj entonces D(F ) = ϕ−1 j (D(f )). Como los Aj forman un recubrimiento abierto del proyectivo, la unión de bases de abiertos de estos espacios es una base de abiertos y se sigue el resultado Obsérvese que la topologı́a del espacio proyectivo queda descrita por la familia de cartas afines que constituyen lo que podemos llamar un atlas del espacio, la forma en que las distintas cartas afines se pegan unas con otras en el espacio proyectivo viene determinada por los homeomorfismos: ϕj .ϕ−1 : ϕi (Ai ∩ Aj ) −→ ϕj (Ai ∩ Aj ) i 3.6.1. Esferas y espacios proyectivos En los espacios proyectivos reales y complejos la topologı́a se puede describir también como topologı́a cociente de la de la de las esferas. Como es habitual podemos llamar n - esferas real y compleja a: Pi=n 2 SnR = {x ∈ Rn+1 | i=0 xi = 1} Pi=n 2 SnC = {x ∈ Cn+1 | i=0 |xi | = 1} Ambas esferas son compactas con la topologı́a inducida por la de su espacio ambiente y la aplicación: ψ : SnK −→ PnK , ψ(x = [x]) es sobre, porque cada punto proyectivo proviene de dos diametralmente opuestos en la esfera, y es continua ya que los conjuntos: K n 2 2 ψ −1 (ϕ−1 j (B² )(α) = {(x) ∈ SK | |(x0 /xj ) − α1 | + . . . + |(xj−1 /xj ) − αj | + +|(xj+1 /xj ) − αj+1 |2 + . . . + |xn /xj − αn |2 < ²} son abiertos, y la continuidad es una propiedad local. Como consecuencia de ser ψ continua y sobre y ser las esferas compactas, los espacios proyectivos reales y complejos son compactos, más aún ψ es abierta y el espacio proyectivo n-dimensional real o complejo es de hecho el cociente de la esfera por la relación que identifica puntos diametralmente opuestos. La relación entre espacios proyectivos y esferas es más fuerte solo en los casos de las rectas proyectivas real y compleja. En ambos casos la proyección estereográfica proporciona el resultado. Recordemos que se llama proyección estereográfica a la transformación que se obtiene fijando un punto P ∈ Sn = SRn , llamado polo de la proyección, identificando Rn con el hiperplano α paralelo por el centro de la esfera al hiperplano tangente a esta por el polo y definiendo 3.6. APÉNDICE: TOPOLOGÍA DE LOS ESPACIOS PROYECTIVOS D E A C A' F' ≡ F F B 125 x x E' ≡ Ε B' ≡ Β C' ≡ C D' ≡ D x x x A≡Α' A A' Β' F' C' E' D' P Bε(P) Bε(∞) Bε(P) Bε(∞) Bε (0) Bε(Q) Bε(Q) Q Figura 3.11: La recta proyectiva real es homeomorfa a la circunferencia la imagen p(X) de un punto X ∈ Sn − {P } por: p(X) = (P + X) ∩ α. Un calculo elemental de geometrı́a analı́tica permite establecer las ecuaciones de la proyección estereográfica de polo (0, ..., 1): p(x1 , .., xn+1 ) = (y1 , .., yn ), yi = xi , 1≤i≤n 1 − xn+1 y de su inversa: − p xi = y12 1 (y1 , .., yn ) = (x1 , .., xn+1 ) y12 + ... + yn2 − 1 2y1 , 1 ≤ i ≤ n, x = n+1 + ... + yn2 + 1 y12 + ... + yn2 + 1 Vistas las ecuaciones es claro que la proyección estereográfica es un homeomorfismo p : Sn − {P } −→ Rn Proposición 3.6.3.– La recta proyectiva real es homeomorfa a la circunferencia y la recta proyectiva compleja es homeomorfa a la 2-esfera. Demostración: Para la primera afirmación podemos dar dos pruebas, la primera consiste en utilizar que la recta proyectiva real se obtiene identificando en la circunferencia puntos diametralmente opuestos (v. figura 3.11, cortando la circunferencia por un diámetro AA0 e identificando antı́podas se obtiene una semicircunferencia en la que hay que identificar los extremos, con lo que se vuelve a tener una circunferencia. 126 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO X Y a γ a b Y X a X Y γ γ a b Y a X b A X γ X B a a γ Y γ γ γ a Y Y a b Y X b B γ X A Figura 3.12: Estructura topológica del plano proyectivo real. El ciclo γ es la recta del infinito. Se aprecia como se comportan dos bolas sobre la esfera a y b, la primera de las cuales corta a la recta del infinito, cuando se recorren los distintos pasos que llevan al modelo plano del plano proyectivo real La segunda consiste en identificar en R2 el eje x con la recta afı́n real y extender la inversa de la proyección estereográfica a la compleción proyectiva, ası́ definimos π : P1R −→ S1 por: π[1, y1 ] = p−1 (y1 ) = ( 2y1 y12 − 1 , ), π[0, 1] = (0, 1) + 1 y12 + 1 y12 es decir: π[x0 , x1 ] = ( 2x0 x1 x21 − x20 , ). x20 + x21 x21 + x20 Es un ejercicio inmediato comprobar que π es un homeomorfismo. Una construcción similar establece el segundo homeomorfismo, ya que identificando C ≡ R2 , z = x + iy ≡ (x, y), podemos construir γ : P1C −→ S2 por: γ[1, z] = p−1 (x, y) = ( 2x 2y x2 + y 2 − 1 , , ) x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 γ[0, 1] = (0, 0, 1) La aplicación ası́ construida es biunı́voca y sobre las cartas es trivial que es continua y abierta y por tanto homeomorfismo. Este homeomorfismo es de enorme interés en el análisis de variable compleja y proporciona el ejemplo más simple de la estructura llamada superficie de Riemann. 3.6. APÉNDICE: TOPOLOGÍA DE LOS ESPACIOS PROYECTIVOS 3.6.2. 127 Topologı́a del plano proyectivo real La estructura topológica del plano proyectivo real es mucho más compleja que la de las rectas proyectivas real y compleja. Al igual que todos los espacios proyectivos reales es homeomorfa al cociente de la esfera S2 por la relación que identifica puntos diametralmente opuestos. P A C A B B C C D D E B E A D D C C A B P A P B C D Figura 3.13: Una segunda construcción topológica del plano proyectivo Hay muchas formas de construir el espacio resultante de esta identificación, y la mejor descripción de la mayorı́a de ellas se encuentra en el texto de Apery [4]. La más próxima a nuestra forma de trabajar consiste en cortar la esfera por un plano diametral. Los puntos contenidos en dicho plano serı́an los de una recta proyectiva, que se puede considerar, y ası́ lo haremos en lo que sigue, la recta del infinito para una carta afı́n del plano proyectivo. De las dos semiesferas en que el plano divide a la esfera podemos quedarnos con una de ellas, cuyo borde serı́a precisamente la recta del infinito. Esta semiesfera contendrá a un representante de cada punto del proyectivo, cada uno de los puntos no contenidos en la recta del infinito tiene un representante único en la semiesfera, pero los puntos del infinito tienen dos representantes diametralmente opuestos en la circunferencia que es su borde, por tanto para obtener la representación del plano proyectivo hay que identificar los puntos diametralmente opuestos del borde de la semiesfera(ver la figura 3.12). Para hacer esta identificación transformamos primeramente, por proyección, la semiesfera en un circulo, en cuyo borde, que es la recta del infinito, se identifi- 128 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO can puntos diametralmente opuestos. El circulo se puede deformar a un cuadrado en cuyo borde se identifican también puntos diametralmente opuestos, una primera identificación de dos lados opuestos proporciona una banda de Möbius, cuyo borde habrı́a que cerrar de nuevo con una torsión, imposible de realizar en el espacio real tridimensional. La figura que se obtiene no tiene por tanto cabida en el espacio euclı́deo tridimensional, aunque puede ser sumergida en este de modo singular. Los libros ya citados de Hilbert y Cohn-Vossen [25] y Apery [4] contienen una buena descripción de las superficies resultantes de esta inmersión, la más conocida es la superficie de Boy. Y X D C A B C Y Y B A A C D C D B A B B C C A B B D C D B C A A D A D Y D C B X A D X B A C D X Figura 3.14: La orientación cambia al pasar por la lı́nea del infinito, porque a lo largo de ella el plano proyectivo se comporta como una banda de Möbius, según se aprecia a la derecha. En el toro no sucede lo mismo, como se ve a la izquierda Hay una forma de obtener otro modelo topológico del plano proyectivo real, que aparece en la figura 3.13. Como hemos indicado, el plano proyectivo se obtiene identificando en la esfera de R3 puntos diametralmente opuestos. Cortamos ahora la esfera por dos planos paralelos a un plano diametral, que podemos pensar que contiene al ecuador de la esfera, equidistantes de el y suficientemente próximos como para cortar a la esfera según dos paralelos. La esfera queda dividida en tres fragmentos, dos casquetes simétricos respecto al plano diametral y un anillo esférico. El paso al cociente identifica los dos casquetes, Y cortando el anillo por un meridiano se obtienen dos mitades que se identifican y solo hay que pegar el borde de un lado de una de las mitades con el otro lado, pero hay que hacerlo identificando puntos diametralmente opuestos. Resultan por tanto una banda de Möbius y un circulo y solo hay que tapar la banda con el cı́rculo ajustándolos borde con borde, naturalmente es imposible hacerlo dentro de R3 sin producir autointersecciones. Podemos obtener más detalles sobre la topologı́a de P2R considerándolo como completado del plano euclı́deo R2 . En este último cada recta determina dos 3.6. APÉNDICE: TOPOLOGÍA DE LOS ESPACIOS PROYECTIVOS 129 semiplanos que tienen la propiedad de que es imposible pasar de uno al otro sin cortar la recta. Esto no sucede en el plano proyectivo, si tomamos una recta cualquiera, su complementario es el plano afı́n y es por tanto convexo. Como la recta proyectiva es homeomorfa a la circunferencia, resulta que hay una curva cerrada que no divide al plano proyectivo en dos trozos. Otra propiedad interesante es la relativa a la orientación, si desplazamos un cuadrilátero, con los vértices marcados en un cierto orden por el plano afı́n de modo que tengamos un sentido de recorrido de su borde, el sentido de recorrido no se altera con los movimientos, pero si lo hacemos en el plano proyectivo, al pasar a través de la recta del infinito la orientación cambia (ver la figura 3.14) El plano proyectivo, lo mismo que la banda de Möbius es una superficie no orientable, es decir no se puede cubrir por una red, con propiedades razonables, de triángulos orientados de modo coherente. Además de en los textos citados, la topologı́a de las superficies y muchas propiedades topológicas interesantes de los espacios proyectivos pueden encontrarse en el texto de Ramı́rez Galarza y Seade [37]. 130 CAPÍTULO 3. ESPACIO PROYECTIVO Capı́tulo 4 Razón doble. Cuaternas armónicas La razón doble, tiene especial interés por ser invariante, de hecho el único, por la clase mas interesante de transformaciones proyectivas, que son precisamente las que dan el nombre a la geometrı́a que nos ocupa, las proyecciones y secciones. Por razones estratégicas preferimos colocarlas en un capı́tulo aparte y previo al dedicado al estudio de estas transformaciones. La justificación mas lógica de la introducción del concepto de razón doble está precisamente en la no invariancia por proyección de la razón simple. 4.1. Razón simple y coordenadas afines P2 P U2 U u2 O u1 U1 P1 Figura 4.1: Razón simple y coordenadas afines Dados tres puntos A, B, C en una recta afı́n (con B 6= A), se llama razón 131 132 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS −−→ −→ simple de A, B y C al numero [ABC] = λ tal que λ.AB = AC, o, en términos clásicos, usando como cuerpo base R, al numero AC AB cociente de las longitudes de los segmentos orientados AC y AB. La razón simple −−→ da, por tanto, la coordenada afı́n del punto C en la referencia {A; AB}. La razón simple es una magnitud afı́n, en el sentido de que es invariante por transformaciones afines. Es decir si φ : A → A es una afinidad de isomorfismo asociado f y por tanto: −−−−−−→ −−→ ∀P, Q ∈ A, φ(P )φ(Q) = f (P Q) y si A, B, C ∈ A están alineados, φ(A), φ(B), φ(C) ∈ A también lo están y: −−→ −→ −→ −−→ −−→ [A, B, C] = λ ⇔ λAB = AC ⇔ f (AC) = f (λAB) = λf (AB) ⇔ −−−−−−→ −−−−−−→ ⇔ (φ(A)φ(C) = λφ(A)φ(B) ⇔ [φ(A), φ(B), φ(C)] = λ Si trabajamos en R2 y tenemos una referencia {O; u1 , u2 }, las coordenadas de −−→ un punto P son (a, b) si y solo si OP = au1 + bu2 (ver la figura 4.1). Ahora bien, si llamamos U al punto (1, 1) y U1 , U2 a los puntos (1, 0), (0, 1), proyecciones respectivamente de U sobre los ejes OU1 y OU2 en las direcciones de u2 y u1 , y llamamos P1 , P2 respectivamente a las proyecciones de P en estas direcciones, es −−→ −→ −−→ ~ 2 = u2 OP = − OU1 = u1 OU OP1 + OP2 −−→ −−→ −−→ −−→ OP1 = au1 = aOU1 OP2 = bu2 = bOU2 luego [O, U1 , P1 ] = a; [O, U2 , P2 ] = b La misma construcción es valida para cualquier dimensión y de este modo, las coordenadas afines se pueden interpretar geométricamente como medidas por medio de la razón simple, aunque en rigor no se pueda medir en el espacio afı́n en que trabajamos. Si consideramos tres puntos distintos dos a dos en la recta proyectiva, se puede tomar siempre una carta afı́n que los contenga y calcular en dicha carta la razón simple de estos tres puntos. Ahora bien la razón simple ası́ calculada depende de la carta afı́n que se considere. En la figura 4.2 se observa como los puntos {Q = [2, 1], U = [1, 1], P = [1, 2]}, corresponden en la primera carta A0 a los puntos afines {2, 1, 1/2} y su razón simple en esta carta es 1/2−2 1−2 = 3/4 mientras que en la segunda carta A1 corresponden a los puntos afines {1/2, 1, 2} 2−1/2 y su razón simple en esta carta es 1−1/2 = 3/2. Por tanto la razón simple de tres puntos proyectivos no se puede definir como la razón simple de dichos puntos en una carta afı́n que los contenga. 4.2. RAZÓN DOBLE DE CUATRO PUNTOS P0 133 P = [2, 1] 2 U = [1, 1] Q= [1, 2] A1 0 1 2 0 P1 A0 Figura 4.2: la razón simple no es un concepto proyectivo La razón simple tampoco es invariante por una proyección general, ya que, aunque si proyectamos una recta en el plano afı́n sobre otra paralela a ella, esta proyección es una afinidad y la razón simple no cambia, pero si proyectamos una recta sobre otra no paralela a ella no sucede lo mismo. Por ejemplo: en la figura 4.3 es claro que [A1 , B1 , C1 ] 6= [A2 , B2 , C2 ]. A continuación vamos a introducir un concepto proyectivo que es independiente de la elección de referencia e invariante por proyecciones y que juega en la geometrı́a proyectiva el papel que juega la razón simple en la geometrı́a afı́n, este concepto es el de razón doble de cuatro puntos. 4.2. Razón doble de cuatro puntos Dados cuatro puntos alineados y distintos dos a dos A, B, C, D, en un espacio proyectivo P, los tres primeros definen una referencia {A, B; C} en la recta que los contiene; entonces, las coordenadas [α0 , α1 ] de D en esta referencia, están unı́vocamente determinadas y como D 6= A, α1 6= 0 y el numero α0 /α1 existe siempre. Entonces llamaremos razón doble de A, B, C, D y la representaremos por [A, B : C, D] al numero [A, B : C, D] = α0 α1 siendo, como hemos indicado, [α0 , α1 ] las coordenadas de D en la referencia {A, B; C}. La razón doble ası́ definida es intrı́nseca, es decir, no depende de la referencia elegida en el espacio P, puesto que en la definición no aparece ninguna mención a la misma, ni tampoco varia si consideramos nuestros puntos, no como puntos 134 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS A A2 A1 A1 B B1 = B2 C1 C C2 A2 Figura 4.3: La razón simple no es invariante por proyección de P sino como puntos de cualquier subespacio de P que los contenga; si S es un subespacio de P que contiene a la recta A + B, [A, B : C, D] no depende de que S o P sea el espacio ambiente considerado. Supongamos dada una referencia R = {P0 , · · · , Pn ; U } en Pn y que conocemos las coordenadas de los puntos A : [a0 , . . . , an ], B : [b0 , . . . , bn ], C : [c0 , . . . , cn ] y D : [d0 , . . . , dn ]. El hecho de que los cuatro puntos estén alineados se traduce en que el rango:   a0 . . . an  b0 . . . b n   r  c0 . . . cn  = 2 d0 . . . dn Para calcular la razón doble [A, B : C, D] necesitamos calcular las coordenadas de D en la referencia {A, B; C}, y para eso necesitamos conocer una base normalizada asociada a dicha referencia, es decir vectores a, b, tales que [a] = A, [b] = B y [a + b] = C. Si buscamos numeros α1 , α2 tales que (?) α1 (a0 , . . . , an ) + α2 (b0 , . . . , bn ) = (c0 , . . . , cn ) se verifica que los vectores de coordenadas {α1 (a0 , . . . , an ), α2 (b0 , . . . , bn )} en la base normalizada asociada a R forman la base buscada. Como A 6= B y A, B y C están alineados, es   µ ¶ a0 . . . a n a0 . . . an r = r  b 0 . . . bn  = 2 b0 . . . bn c0 . . . cn luego el sistema (?) tiene solución única que se calcula tomando dos ı́ndices i, 4.2. RAZÓN DOBLE DE CUATRO PUNTOS j, tales que ¯ ¯ ai ¯ ¯ bi y resolviendo el sistema ½ 135 ¯ aj ¯¯ 6 0 = bj ¯ α1 ai + α2 bi = ci α1 aj + α2 bj = cj cuyas soluciones son ¯ ¯ ¯ ¯ α1 = ¯¯ ¯ ¯ ci cj ai aj bi bj bi bj ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ α2 = ¯¯ ¯ ¯ ai aj ai aj ci cj bi bj ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Entonces, las coordenadas del punto D en la referencia {A, B; C} son [β0 , β1 ] con (d0 , . . . , dn ) = β0 α1 (a0 , . . . , an ) + β1 α2 (b0 , . . . , bn ). Ahora bien, como ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ α1 ai α2 bi ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = α1 α2 ¯ ai bi ¯ 6= 0 ¯ α1 aj α2 bj ¯ ¯ aj bj ¯ β0 , β1 son las soluciones del sistema di = β0 α1 ai + β1 α2 bj dj = β0 α1 aj + β1 α2 bj de donde ¯ ¯ ¯ ¯ di α2 bi ¯ ¯ di ¯ ¯ ¯ ¯ dj α2 bj ¯ ¯ dj ¯ ¯ ¯ β0 = ¯ = ¯ ai ¯ ¯ α1 ai α2 bi ¯ ¯ ¯ α1 aj α2 bj ¯ ¯ aj ¯ ¯ ¯ ¯ ai ¯ α1 ai di ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a ¯ α1 aj dj ¯ ¯= ¯ j β1 = ¯¯ ¯ ai ¯ ¯ α1 ai α2 bi ¯ ¯ ¯ α1 aj α2 bj ¯ ¯ aj Teniendo en cuenta estos valores, queda ¯ ¯ di ¯ ¯ dj β0 [A, B : C, D] = = ¯¯ β1 ¯ ci ¯ cj bi bj bi bj ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ bi bj bi bj di dj bi bj ai aj ai aj ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ α1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ α2 ¯ ¯ ¯ ci cj di dj ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Por razones nemotécnicas, se suele cambiar el orden en las columnas y escribir ¯ ¯ ¯ ¯ ai ci ¯ bi di ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ aj cj ¯ bj dj ¯ ¯ ¯ ¯ (??) [A, B : C, D] = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ai di ¯ . ¯ bi ci ¯ ¯ aj dj ¯ ¯ bj cj ¯ 136 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS donde debemos recordar que los ı́ndices i, j se eligieron de modo que: ¯ ¯ ¯ ai bi ¯ ¯ ¯ ¯ aj bj ¯ 6= 0 Observemos que las columnas de los determinantes del numerador de (??) corresponden a las coordenadas de los puntos primero y tercero,y segundo y cuarto (puntos medios), y las del denominador a las de los puntos primero y cuarto, segundo y tercero (puntos extremos). En caso de que consideremos n = 1, es decir trabajemos con un sistema de coordenadas de P1 , cada punto solo tiene dos coordenadas y: ¯ ¯ ¯ a0 b0 ¯ ¯ ¯ 6= 0 A 6= B ⇒ ¯ a1 b1 ¯ y la razón doble de los puntos A = [a0 , a1 ], [d0 , d1 ] es ¯ ¯ a0 c0 ¯ ¯ a1 c1 [A, B : C, D] = ¯¯ ¯ a0 d0 ¯ a1 d1 B = [b0 , b1 ], C = [c0 , c1 ] y D = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b0 d0 ¯ ¯.¯ ¯ ¯ ¯ b1 d1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b0 c0 ¯ ¯.¯ ¯ ¯ ¯ b1 c1 ¯ Si trabajamos en la recta afı́n A1 ⊂ P1 con referencias asociadas, los puntos A, B, C, D, de coordenadas afines, respectivamente, (a), (b), (c), (d), tienen como coordenadas proyectivas : [1, a], [1, b], [1, c], [1, d] y su razón doble es ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯.¯ ¯ ¯ a c ¯ ¯ b d ¯ ¯ ¯ ¯ [A, B : C, D] = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯.¯ 1 1 ¯ ¯ a d ¯ ¯ b c ¯ = AC.BD (c − a)(d − b) = (d − a)(c − b) AD.BC Con esta formula, podemos calcular el valor limite de la razón doble cuando A tiende a infinito o sea podemos tomar A = P1 con coordenadas [0, 1], en este caso es ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯.¯ ¯ ¯ 1 c ¯ ¯ b d ¯ d−b ¯ ¯ ¯= [P1 , B : C, D] = ¯¯ = [B, C, D] ¯ ¯ ¯ c−b ¯ 0 1 ¯.¯ 1 1 ¯ ¯ 1 d ¯ ¯ b c ¯ Y en este sentido, como indicábamos en 4.1, la razón doble generaliza la razón simple. Obviamente la razón doble de cuatro puntos puede cambiar cuando se varia el orden de éstos, pero de la fórmula de la razón doble es claro que ésta no cambia en los casos siguientes: 1. Si permutamos simultáneamente A y C y B y D, es decir [A, B : C, D] = [C, D : A, B] 4.2. RAZÓN DOBLE DE CUATRO PUNTOS 137 2. Si permutamos simultáneamente A y B y C y D, es decir [A, B : C, D] = [B, A : D, C] 3. Si aplicamos simultáneamente las dos permutaciones anteriores, es decir, si invertimos el orden de los puntos, [A, B : C, D] = [D, C : B, A] Este resultado justifica el que separemos los cuatro puntos en dos parejas. Por otra parte, como la razón doble no depende de la referencia, si [A, B : C, D] = β y elegimos {A, B; C} como referencia, D tiene coordenadas [β, 1] y como A = [1, 0], B = [0, 1], C = [1, 1], se comprueba inmediatamente que: [A, B : C, D] = [D, C : B, A] = [C, D : A, B] = [B, A : D, C] [A, B : D, C] = [C, D : B, A] = [D, C : A, B] = [B, A : C, D] [A, C : B, D] = [D, B : C, A] = [B, D : A, C] = [C, A : D, B] [A, C : D, B] = [B, D : C, A] = [D, B : A, C] = [C, A : B, D] [A, D : B, C] = [C, B : D, A] = [B, C : A, D] = [D, A : C, B] [A, D : C, B] = [B, C : D, A] = [C, B : A, D] = [D, A : B, C] = = = = = = β 1/β β/(β − 1) (β − 1)/β 1/(1 − β) 1−β Obsérvese que las seis funciones f0 (β) = β, f1 (β) = 1/β, f2 (β) = β/(β − 1), f3 (β) = (β − 1)/β, f4 (β) = 1 − β, f5 (β) = 1/(1 − β) forman, con la composición de aplicaciones como operación, un grupo. La razón doble se puede ampliar a cuaternas de puntos con dos puntos iguales; ya que teniendo en cuenta la definición, se puede convenir que [A, B : C, A] = 0/1 = 0, [A, B : C, C] = 1/1 = 1, [A, B : C, B] = 1/0 = ∞, de esta forma y teniendo en cuenta las igualdades anteriores, se verifica por ejemplo que: [A, B : C, A] = [A, C : B, A] = [C, A : A, B] = [B, A : A, C] = 1 = [A, B : A, C] = [A, C : A, B] = [C, A : B, A] = [B, A : C, A] y se pueden escribir igualdades similares para los valores 0 e ∞. Dada una referencia proyectiva {A0 , A1 ; U } de una recta r de un espacio P sobre un cuerpo K se puede añadir al cuerpo el sı́mbolo ∞, y establecer una correspondencia biunı́voca: θ : r −→ K ∪ {∞}, θ(X) = [A0 , A1 : U, X] Esta correspondencia se llama parámetro proyectivo asociado a la referencia. Como los hiperplanos de un espacio proyectivo forman a su vez un espacio proyectivo, se puede calcular también la razón doble de cuatro hiperplanos alineados H1 , H2 , H3 , H4 , donde decir hiperplanos alineados en un espacio de dimensión n, significa que dim(H1 ∩ H2 ∩ H3 ∩ H4 ) = n − 2. Por ejemplo, cuatro rectas alineadas del plano son cuatro rectas de un haz (es decir con un punto común) y cuatro planos del espacio tridimensional están alineados si son cuatro planos de un haz de planos ( es decir son planos con una recta común). Si en una referencia de P el hiperplano Hi tiene ecuación ai0 x0 + · · · + ain xn , Hi es un punto de P∗ que en la referencia dual tiene coordenadas [ai0 , . . . , ain ], 138 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS O = P0 x U r P1 P2 r1 A B r2 r3 r4 Figura 4.4: por tanto la razón doble [H1 , H2 : H3 , H4 ] se calcula por la fórmula (∗) ¯ ¯ ¯ ¯ a1i a3i ¯ a2i a4i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1j a3j ¯ a2j a4j ¯ ¯ ¯ ¯ [H1 , H2 : H3 , H4 ] = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1i a4i ¯ . ¯ a2i a3i ¯ ¯ a1j a4j ¯ ¯ a2j a3j ¯ siempre que ¯ ¯ a1i ¯ ¯ a1j ¯ a2i ¯¯ 6 0 = a2j ¯ y esta expresión no depende de la referencia elegida. Supongamos en particular que trabajamos con cuatro rectas concurrentes en un punto O, en un plano proyectivo P, r1 , r2 , r3 , r4 , y que r es una recta de P que no pasa por O. Podemos elegir una referencia de P {P0 , P1 , P2 ; U }, en la que O = P0 , r ∩ r1 = P1 , r ∩ r2 = P2 y U sea un punto de r3 , diferente de O y de r ∩ r3 (figura 4.4). En esta referencia, las ecuaciones de las rectas son: r1 r3 : : x2 x1 − x2 = = 0 0 r2 r4 : : x1 = 0 ax1 + bx2 = 0 y la fórmula (∗) dice que: ¯ ¯ ¯ ¯ [r1 , r2 : r3 , r4 ] = ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ 0 1 ¯¯ ¯¯ 1 0 1 −1 ¯ ¯ a b ¯¯ 0 1 ¯¯ ¯¯ 1 0 a b ¯ ¯ 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ =− ¯ a ¯ ¯ 4.2. RAZÓN DOBLE DE CUATRO PUNTOS 139 Por otra parte, r1 ∩ r r3 ∩ r = [0, 1, 0] = [0, 1, 1] r2 ∩ r r4 ∩ r = [0, 0, 1] = [0, b, −a] luego b = [r1 , r2 : r3 , r4 ] a En consecuencia, dadas cuatro rectas concurrentes y coplanarias, la razón doble de los cuatro puntos que intersecan sobre una recta cualquiera coplanaria con ellas y que no pase por su punto común, es igual a la razón doble de las cuatro rectas y por consiguiente es constante e independiente de la recta elegida. En consecuencia la razón doble de cuatro puntos alineados es invariante por proyección y sección. [r1 ∩ r, r2 ∩ r : r3 ∩ r, r4 ∩ r] = − O Q h h ß A B C P D C' R D' B' A' Figura 4.5: La razón doble se puede calcular en términos trigonométricos Este resultado se puede generalizar a radiaciones cualesquiera, y lo haremos usando álgebra lineal en el próximo capı́tulo. Vamos a ver a continuación, y a tı́tulo de ejemplo, que para rectas del plano euclı́deo se puede dar otra prueba utilizando trigonometrı́a. Usaremos que, dado un triángulo cualquiera P QR de altura correspondiente al lado P R igual a h (figura 4.5), el área del triángulo es: S= 1 1 |P R|.h = |P Q|.|P R|. sin β 2 2 \ (donde β = QP R se toma como ángulo no orientado). Entonces se tiene: |[A, B : C, D]| = |AD|.h.|BC|.h |AD|.|BC| = = |AC|.|BD| |AC|.h.|BD|.h 140 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS \ \ \ sin BOC \ |OA|.|OD| sin AOD.|OB|.|OC| sin BOC sin AOD. = [ \ [ sin BOD \ |OA|.|OC|. sin AOC.|OB|.|OD|. sin AOD sin AOC. Si usamos ángulos orientados de modo que el ángulo orientado positivamente se corresponda con un sentido elegido en la recta, entonces es inmediato que: = [A, B : C, D] = \ sin BOC \ sin AOD. [ sin BOD \ sin AOC. O2 O1 D A B C Figura 4.6: Tiene sentido hablar de razón doble de cuatro puntos de una circunferencia, definiéndola como la razón doble de sus proyecciones desde un quinto punto Este resultado prueba que la razón doble es invariante por proyección y sección ya que ( ver la figura 4.5) [A, B : C, D] = 0 OD 0 . sin B 0 OC 0 \ sin BOC \ \ sin AOD. sin A\ = = [A0 B 0 : C 0 D0 ] 0 0 0 0 [ \ \ \ sin AOC. sin BOD sin A OC . sin B OD Este resultado prueba también que dados cuatro puntos distintos en una circunferencia (figura 4.6) A, B, C, D, tomando un quinto punto O, la razón doble [OA, OB : OC, OD] es independiente del punto O, ya que al ser los ángulos [ AOD, \ etc, inscritos, su medida en radianes es la mitad del cociente por el AOC, _ _ radio de la circunferencia, de los arcos AC, AD, etc. y por tanto es independiente de O. Ejercicios de la sección 4.2 Ejercicio 4.2.81 Se considera un rectángulo del plano euclı́deo ABCD y sea Γ la circunferencia circunscrita al rectángulo. Calcular en, en función de las 4.3. RAZÓN DOBLE Y COORDENADAS PROYECTIVAS 141 longitudes de los lados del rectángulo la razón doble [A, B : C, D] (Recuérdese que la razón doble de cuatro puntos [A, B : C, D] de una circunferencia es la razón doble de las rectas [P +A, P +B : P +C, P +D] donde P ∈ Γ−{A, B, C, D} es un punto arbitrario) Ejercicio 4.2.82 Comprobar que la razón doble de cuatro puntos distintos dos a dos de una circunferencia, A, B, C, D, coincide con la de las rectas tA , A + B : A + C, A + D, donde tA es la tangente a la circunferencia por A. Ejercicio 4.2.83 Dado un triángulo T = [A1 , A2 , A3 ] del plano proyectivo, un punto P se dice polo de una recta r respecto de T , y r se llama polar de P respecto de T , si [Ai , Aj : (Ak + P ) ∩ (Ai + Aj ), r ∩ (Ai + Aj )] = −1, ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} 1. Probar que todo punto no contenido en un lado de T tiene polar y que toda recta que no pase por un vértice de T tiene polo. 2. Si se toma una referencia R = {A1 , A2 , A3 ; U } escribir en coordenadas la correspondencia polo polar 3. Estudiar como varia la correspondencia anterior si cambiamos el punto U 4. Comprobar si es cierto que las polares de todos los puntos de una recta r pasan por el polo de r. Ejercicio 4.2.84 Calcular la razón doble [a, b : c, d] cuando a, b son las raı́ces de x2 + px + q = 0 y c, d las de x2 + rx + s = 0. Averiguar la condición sobre los coeficientes para que esa razón valga −1. Ejercicio 4.2.85 Probar que si dos triángulos T1 , T2 de lados a1 , a2 , a3 y b1 , b2 , b3 respectivamente, verifican que los puntos ai ∩ bi , i = 1, 2, 3, están contenidos en una recta r todas las polares de los puntos de r respecto de ambos triángulos son concurrentes 4.3. Razón doble y coordenadas proyectivas Veamos como se pueden interpretar las coordenadas proyectivas de un punto del espacio en términos de la razón doble. Comencemos por los casos de dimensiones bajas. Notas 4.3.1.– 4.3.1.1. -( Caso de n = 1). Por definición de razón doble, el punto X tiene α0 coordenadas [α0 , α1 ] en la referencia {P0 , P1 ; U } si y solo si [P0 , P1 : U, X] = α 1 ó lo que es lo mismo, [P0 , P1 : U, X] = λ si y solo si las coordenadas de X en la referencia {P0 , P1 ; U } son [λ, 1]. 4.3.1.2. - (Caso de n = 2). Sea R = {P0 , P1 , P2 ; U } una referencia de P2 y sea X un punto de coordenadas [α0 , α1 , α2 ] en ella. Proyectemos U y X desde P0 sobre 142 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS X01 P0 U01 U U02 X X02 P1 U12 P2 X12 Figura 4.7: Razón doble y coordenadas proyectivas la recta P1 + P2 ( figura 4.7), obtenemos ası́ dos puntos U12 y X12 alineados con P1 y P2 . Calculemos [P0 , P1 : U12 , X12 ]; para ello observemos que en la referencia R: P1 y P2 tienen coordenadas [0, 1, 0] y [0, 0, 1], respectivamente. P1 + P2 es la recta de ecuación x0 = 0, y P0 + U es la recta de ecuación x1 − x2 = 0, luego U12 viene dado por el sistema ½ x0 = 0 x1 − x2 = 0 con solución [0, 1, 1] P0 + X tiene por ecuación α2 x1 − α1 x2 = 0, luego X12 viene dado por el sistema ½ x0 = 0 α2 x1 − α1 x2 = 0 cuya solución es [0, α1 , α2 ] luego [P1 , P2 : U12 , X12 ] = α1 /α2 . Por simetrı́a, llamando U02 y X02 a las proyecciones de U0 y X desde P1 sobre P0 + P2 y U01 , X01 a las realizadas desde P2 sobre P0 + P1 , se tiene: [P0 , P1 : U01 , X01 ] = α0 α1 α0 α2 luego se pueden interpretar todos los cocientes de dos coordenadas de X con la fórmula: [P0 , P2 : U02 , X02 ] = 4.3. RAZÓN DOBLE Y COORDENADAS PROYECTIVAS 143 X tiene coordenadas [α0 , α1 , α2 ] en {P0 , P1 , P2 ; U } si y solo si: ∀i, j, [Pi , Pj : Uij , Xij ] = αi /αj Observemos que necesariamente alguna de las coordenadas de X es distinta de cero, por ejemplo sea α2 6= 0, entonces es X = [α, β, 1] con α = α0 /α2 , β = α1 /α2 , y como consecuencia α = [P0 , P2 : U02 , X02 ] ; β = [P1 , P2 : U12 , X12 ] Los casos α = 0, β = 0 corresponden a casos limite en los que X está situado en las rectas P0 + P2 , P1 + P2 ó P2 + U pero se adaptan a la fórmula si extendemos la razón doble como se indica al final de 4.2. 4.3.1.3. - ( Caso general). En el caso general la situación es idéntica al caso n = 2. Fijada una referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U }, llamaremos para cada par de ı́ndices i, j cj + · · · + Pn Lij = P0 + · · · + Pbi + · · · + P Uij = (Lij + U ) ∩ (Pi + Pj ) Xij = (Lij + X) ∩ (Pi + Pj ) Observemos que en el caso n = 2, L12 = {P0 }, L01 = {P2 }, L02 = {P1 }, y que en el caso general Uij y Xij están bien definidos, como veremos a continuación calculando sus coordenadas. 1.- Coordenadas de Xij . Claramente dim(Lij ) = n − 2, y como X es un punto dim(X) = 0. Entonces si X ∈ / Lij dim(Lij + X) = dim(Lij ) + dim(X) − dim(Lij ∩ X) = dim(Lij ) + 1 = n − 1 luego Lij + X tiene una única ecuación implı́cita. Si X tiene de coordenadas [α0 , . . . , αn ], como X ∈ / Lij , αi 6= 0 ó αj 6= 0,en consecuencia la ecuación αj xi − αi xj = 0 no es el polinomio cero igualado a cero, y es satisfecha por (k) los puntos Pk : [0, . . . , 1 , . . . , 0], k 6= i, k 6= j, y por el punto X, luego es la ecuación de Lij + X. Por otra parte Pi + Pj tiene dimensión 1 y por tanto n − 1 ecuaciones independientes y como Pi y Pj verifican las n − 1 ecuaciones xk = 0, k 6= i, k 6= j, estas son las ecuaciones de esa recta. Entonces: (Lij + X) ∩ (Pi + Pj ) es el conjunto de soluciones del sistema ½ αj xi − αi xj = 0 xk = 0, k 6= i, k 6= j . (i) (i) Este sistema tiene solución única que es [0, . . . , αi , . . . , αj , . . . , 0] y αi 6= 0, αj 6= 0, si X no esta ni en el hiperplano xi = 0 ni en el xj = 0 2.- Coordenadas de Uij . Como U : [1, . . . , 1], aplicando el razonamiento (i) (j) anterior, Uij tiene coordenadas [0, . . . , 1 , . . . , 1 , . . . , 0]. 144 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS Proposición 4.3.2.– Dada una referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U }, en un espacio proyectivo P, si llamamos para cada par de ı́ndices i, j cj + · · · + Pn Lij = P0 + · · · + Pbi + · · · + P Uij = (Lij + U ) ∩ (Pi + Pj ) y ∀X ∈ P, X ∈ / Lij , Xij = (Lij + X) ∩ (Pi + Pj ) 1. Rij = {Pi , Pj ; Uij } es una referencia en la recta Pi + Pj S 2. Las coordenadas de un punto X ∈ P, X ∈ / i,j Lij respecto de R son [x0 , . . . , xn ] si y solo si las coordenadas de Xij respecto de Rij son [xi , xj ] S 3. Si X ∈ i,j Lij entonces existe un subconjunto propio mı́nimo {t1 , . . . , tr } ⊂ {0, 1, . . . , n} tal que X ∈ Pt0 + . . . + Ptr y en este caso, las coordenadas X respecto de R son [x0 , . . . , xn ] si y solo si xs = 0, ∀s ∈ / {t1 , . . . , tr } y para todo par de ı́ndices i, j ∈ {t1 , . . . , tr } las coordenadas de Xij respecto de Rij son [xi , xj ] Demostración: La nota anterior 3 contiene la demostración de las dos primeras afirmaciones, la primera parte de la tercera es trivial, las coordenadas no nulas de X corresponden a los ı́ndices de los puntos de la referencia de los que X depende efectivamente (es decir con coeficiente distinto de cero) y si Pi , Pj son dos de estos puntos X no puede depender de los restantes luego X ∈ / Lij con lo cual Xij esta bien definido y sus coordenadas son [xi , xj ] Consecuencia 4.3.3.– Con las notaciones anteriores X tiene coordenadas [x0 , . . . , xn ], si y solo si: ∀ i, j, 0 ≤ i, j ≤ n, con xj 6= 0, [Pi , Pj : Uij , Xij ] = xi xj Nota 4.3.4.– Si tomamos un hiperplano H de ecuación en la referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U } a0 x0 + · · · + an xn = 0 y llamamos Hij al punto de corte Hij = H ∩(Pi +Pj ); supuesto que Pi +Pj 6⊂ H, es decir que ai 6= 0 ó aj 6= 0. Entonces Hij es el punto dado por la solución del sistema: ½ ½ a0 x0 + · · · + an xn = 0 ai xi + aj xj = 0 ⇒ xk = 0 ∀k, k 6= i, k 6= j xk = 0 ∀k k 6= i, k 6= j (i) (j) Luego Hij tiene coordenadas [0, . . . , − aj , . . . , ai , . . . , 0] y [Pi , Pj : Uij , Hij ] = − aj ai obteniéndose ası́ una interpretación de los coeficientes de la ecuación de H. 4.4. CUATERNAS ARMÓNICAS 145 En el caso particular del hiperplano x0 + · · · + xn = 0 todas las razones dobles[Pi , Pj : Uij , Hij ] valen −1 y esta condición caracteriza completamente a este hiperplano que es el punto unidad de la referencia de hiperplanos asociada a la referencia R de partida. 4.4. Cuaternas armónicas Se llama cuaterna armónica a un conjunto de cuatro puntos alineados tales que su razón doble es −1. Observemos que decir que los puntos A, B, C, D forman una cuaterna armónica significa que D tiene coordenadas [1, −1] en la referencia {A, B; C}, esto es, que existen representantes a, b de A y B, respectivamente, tales que a+b representa a C y a − b representa a D. Las formulas obtenidas anteriormente que dan la variación de la razón doble de cuatro puntos al permutar estos, tienen como consecuencia que si A, B, C, D forman una cuaterna armónica, también forman una cuaterna armónica: (A, B, D, C), (B, A, C, D), (B, A, D, C), (C, D, A, B) (C, D, B, A), (D, C, A, B), (D, C, B, A) Es decir los pares de puntos {A, B}, {C, D} aparecen permutados y permutados entre si de todas las formas posibles esto justifica que si [A, B : C, D] = −1 se diga que los puntos A, B están armónicamente separados por C, D. La propiedad esencial de las cuaternas armónicas situadas en una recta contenida en un plano, es que se caracterizan geométricamente en términos de las operaciones del retı́culo de subespacios, por medio de los llamados cuadrivértices completos. Llamaremos cuadrivértice ,a un conjunto compuesto por cuatro puntos P , Q, R, S, situados en un plano y tales que tres cualesquiera de ellos no estén alineados, a estos puntos les llamaremos vértices. 1. Las rectas P + Q, Q + R,R + S y S + P se llaman lados 2. Los puntos E = (P + Q) ∩ (R + S), F = (P + S) ∩ (Q + R) se llaman puntos diagonales. 3. Las rectas P + R y Q + S se llaman diagonales (figura 4.8) Obviamente un cuadrivértice depende del orden de sus vértices, pero consideraremos como iguales dos cuadrivértices cuyos vértices difieren en una permutación circular. Los lados de un cuadrivértice son cuatro rectas tales que tres cualesquiera de ellas no son concurrentes y describen la figura dual de un cuadrivértice que se llama un cuadrilátero. El conjunto de siete puntos y sietes rectas formado por los vértices, los puntos diagonales, los lados, las diagonales, el punto de corte de 146 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS F E P P S e E R F S Q f f R Q e Figura 4.8: En un cuadrivértice completo (P QRS), P, Q, R, S se llaman vértices, P + Q, Q + R, R + S, S + P se llaman lados, E = (P + Q) ∩ (R + S), F = (P + S) ∩ (Q + R), se llaman puntos diagonales y e = P + R, f = Q + S, se llaman diagonales. las diagonales y la recta que une los puntos diagonales, se llama un cuadrivértice completo. Su figura dual se llama cuadrilátero completo y coincide con el cuadrivértice completo, por lo cual podemos llamarlo indistintamente con ambos nombres; el cuadrivértice completo de vértices P, Q, R, S se representará en lo sucesivo por (P, Q, R, S). Proposición 4.4.1.– Cuatro puntos alineados y distintos dos a dos A, B, C, D , en un espacio proyectivo P de dimensión mayor que uno definido sobre un cuerpo de caracterı́stica distinta de dos, forman una cuaterna armónica, si y solo si existe un cuadrivértice completo (P, Q, R, S) tal que A y B son los puntos diagonales del cuadrivértice y C y D los puntos de corte de la recta A + B con las dos diagonales del mismo. Demostración: Podemos hacer una demostración analı́tica de la forma siguiente: Sea (P, Q, R, S) un cuadrivértice; tomamos el plano que lo contiene y elegimos en él como referencia {P, Q, R; S}. Entonces, si A y B son los puntos diagonales ½ x2 = 0 A = (P + Q) ∩ (R + S) : ⇒ A = [1, 1, 0] ½ x0 − x1 = 0 x1 − x2 = 0 B = (P + S) ∩ (Q + R) : ⇒ B = [0, 1, 1] x0 = 0 A + B : {x1 − x0 − x2 = 0} Las diagonales son P + R = {x1 = 0} y Q + S = {x − 0 − x2 = 0 4.4. CUATERNAS ARMÓNICAS 147 R S Q P r1 r2 A s s1 s2 C B t D Figura 4.9: Cuaterna armónica y cuadrivértice completo Por tanto C = (A + B) ∩ (P + R) = [−1, 0, 1] D = (A + B) ∩ (Q + S) = [1, 2, 1] Entonces [A, B : C, D] = −1, ya que el menor compuesto por las dos primeras coordenadas de A y B es: ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯6 0 ¯ 0 1 ¯= y en consecuencia: ¯ ¯ ¯ ¯ [A, B : C, D] = ¯¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 1 2 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯.¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 ¯ 1.(−1) ¯ ¯ ¯= = −1 ¯ ¯ 0 ¯ 1,1 1 ¯.¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 ¯ (Obsérvese que el orden de elección de A y B como puntos diagonales, y C y D como corte de A + B con las diagonales, no influye en el resultado). Podemos llegar al mismo resultado sintéticamente, par ello basta recordar que la razón doble es invariante por proyección y sección y en consecuencia, llamando E al punto de corte de las diagonales, por proyección desde S y sección por R + P , es: [A, B : C, D] = [R, P : C, E] y por proyección desde Q y sección por A + B [R, P : C, E] = [B, A : C, D] 148 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS Entonces teniendo en cuenta las formulas que dan la variación de la razón doble al variar los puntos: [A, B : C, D] = [B, A : C, D] = 1 ⇒ [A, B : C, D]2 = 1 [A, B : C, D] y como al ser puntos distintos, [A, B : C, D] 6= 1, debe ser [A, B : C, D] = −1 Recı́procamente, si [A, B : C, D] = −1, podemos tomar, en un plano cualquiera que contenga a la recta soporte de los cuatro puntos, rectas r1 y r2 por A (figura 4.9) y una recta s por C. Si llamamos R = r1 ∩s, P = r2 ∩s y construimos rectas s1 = R + B, s2 = P + B, tenemos los puntos Q = s1 ∩ r2 , S = s2 ∩ r1 , que con P y R definen un cuadrivértice (P QRS) que tiene como puntos diagonales a A y B y verifica que la diagonal P + R corta a A + B en C, luego si X es el punto de corte de A + B con la diagonal Q + S, es [A, B : C, D] = −1 por hipótesis y [A, B : C, X] = −1 por la primera parte de la demostración, luego D tiene coordenadas [−1, 1] en {A, B; C} y por la misma razón, X tiene también coordenadas [−1, 1] en la misma referencia, luego D = X. [1,1,0] [0,1,0] [1,0,0] [1,1,1] [0,1,1] [0,0,1] [1,0,1] Figura 4.10: Si el cuerpo base es de caracterı́stica dos la recta x0 + x1 + x2 = 0 pasa por los puntos diagonales [1, 1, 0], [1, 0, 1] y por el punto de corte de las diagonales[1, 1, 0] La condición de caracterı́stica distinta de dos en el cuerpo base es imprescindible, ya se ve en la demostración la necesidad de que 2 6= 0, pero es que además el cuerpo base es de caracterı́stica dos si y solo si en todo cuadrivértice completo, los puntos diagonales y el punto de corte de las diagonales están alineados como se aprecia en la figura 4.10 llamada configuración de Fano Nota 4.4.2.– Recordemos que en el plano, el conjunto de rectas que pasan por un punto forman también una recta proyectiva, y que esta figura es dual de la recta del plano, ası́ se puede hablar de razón doble de cuatro rectas concurrentes, a, b, c, d, contenidas en un plano, y decir que [a, b : c, d] = λ si existe una 4.4. CUATERNAS ARMÓNICAS 149 referencia en la cual a es la recta x0 = 0, b es la x1 = 0, c es la x0 + x1 = 0 y d la recta a0 x0 + a1 x1 = 0 con a0 /a1 = λ. O R1 s S2 T S p d r S1 q R2 b c a Figura 4.11: Construcción dual del cuarto armónico Entonces dadas tres rectas a, b, c concurrentes en O, la construcción de la recta d tal que [a, b : c, d] = −1 se puede hacer como la dual de la anterior, es decir (figura 4.11): Tomamos puntos R1 y R2 en la recta a, un punto S en la recta c y construimos las rectas r = R1 + S, p = R2 + S, y los puntos S1 = r ∩ b, S2 = p ∩ b. Llamamos q = S1 + R2 y s = R1 + S2 . Se verifica que (p, q, r, s) es un cuadrilátero de vértices R2 , S1 , R1 , S2 , cuyas diagonales son a = R1 + R2 y b = S1 + S2 y cuyos puntos diagonales son S y T = s ∩ q. Ası́, O + S = a y O + T = d y se verifica que [a, b : c, d] = −1, ya que en la referencia {R1 , R2 , S1 ; S2 }, a = R1 + R2 es la recta x2 = 0, b = S1 + S2 es la recta x0 − x1 = 0, O es el punto [1, 1, 0] y S y T son, respectivamente, [1, 0, 1] y [0, 1, 1], luego c y d son las rectas x0 − x1 − x2 = 0, x1 − x0 − x2 = 0. Como consecuencia, en la referencia de rectas del plano asociada a la referencia elegida, las coordenadas de a, b, c y d son, respectivamente, [0, 0, 1], [1, −1, 0], [1, −1, −1] y [−1, 1, −1], luego [a, b : c, d] = −1. Vemos que al igual que con los puntos, cuatro rectas a, b, c, d, concurrentes en un punto O forman una cuaterna armónica, si y solo si existe un cuadrivértice completo que tiene a a y b por diagonales, a O por punto de corte de las diagonales, y c y d proyectan desde O los puntos diagonales del cuadrivértice. (como la razón doble es invariante por proyección este ultimo resultado se deduce directamente del primero). Nota 4.4.3.– Considerando ahora la recta afı́n sumergida en la proyectiva y referencias asociadas, el hecho de ser [[1, 0], [1, α], [0, 1], [1, α/2]] = −1 permite construir el punto afı́n α/2, conocido el α y en general, por ser [[1, α], [1, β] : [0, 1], [1, (α + β)/2]] = −1 150 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS podemos construir el punto medio del segmento AB en la recta afı́n de la manera siguiente: A=[1,0] D=[1,α/2] B=[1,α] C=[0,1] D=[1,2α] A=[1,α] C=`[0,1] B=[0,1] Figura 4.12: Dos casos lı́mite en la construcción de la cuaterna armónica 1. Se toman rectas r1 y r2 por [1, 0] (ver la figura 4.12), una recta s por [0, 1], es decir paralela a la recta de partida, y las rectas s1 , s2 por [1, α] y r1 ∩ s, r2 ∩ s, respectivamente . Tenemos ası́ el cuadrivértice cuya segunda diagonal corta a la recta en [1, α/2] 2. Como otro caso limite, tomando [[0, 1], [1, α] : [1, 0], [1, 2α]] = −1, podemos construir 2α a partir de α. Las rectas r1 y r2 deben ser ahora paralelas a la recta de partida (ver la figura 4.12) y el resto de la construcción se hace exactamente igual. Nota 4.4.4.– Con las notaciones de la nota 4.3.4 si llamamos H a la recta unidad de una referencia del plano {A0 , A1 , A2 ; U }, los puntos Hij en que corta H a la recta Ai + Aj son los conjugados armónicos respecto de Ai y Aj de las proyecciones Uij de U desde el tercer punto de la referencia. Entonces H (figura 4.13)es la recta que pasa por los puntos: P = (A0 +A1 )∩(U02 +U12 ), Q = (A0 +A2 )∩(U01 +U12 ), R = (A1 +A2 )∩(U01 +U02 ) Ejercicios de la sección Ejercicio 4.4.86 Dados cuatro puntos A, B, C, D situados en una recta proyectiva, si [A, B : C, D] = α calcular las razones dobles de todas las cuaternas de puntos resultantes de permutar estos cuatro. En particular si forman una cuaterna armónica, escritos en el orden dado, averiguar que permutaciones de ellos siguen siendo cuaternas armónicas. 4.4. CUATERNAS ARMÓNICAS 151 P A0 U01 U A1 U02 U12 A2 R Q Figura 4.13: Construcción de la recta unidad. Obsérvese que los puntos P, Q, R están alineados por Desargues aplicado a los triángulos A0 A1 A2 y U12 , U02 , U01 Ejercicio 4.4.87 Dados en el plano proyectivo real un punto A y tres rectas no concurrentes a, b, c tales que ninguna de ellas pase por A, trazar una recta que pase por A y corte a las rectas dadas en puntos que formen con A una cuaterna armónica Ejercicio 4.4.88 Dadas en el plano euclı́deo dos rectas a, b y un punto C no contenido en ellas trazar por C una recta que corte a las rectas a, b en puntos A, B de modo que de entre los tres puntos A, B, C uno sea el punto medio del segmento definido por los otros dos. Ejercicio 4.4.89 Dadas en el plano real dos rectas paralelas dividir en n partes iguales un segmento situado sobre una de ella usando solamente una regla no graduada. Ejercicio 4.4.90 Dado un triángulo T = [A1 , A2 , A3 ] del plano afı́n y una recta r que no pase por ninguno de sus vértices, probar que las rectas que unen cada vértice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentes a dicho vértice, cortan a los lados opuestos al vértice en puntos alineados. Ejercicio 4.4.91 Se consideran tres puntos alineados, A, B, C ,del plano euclı́deo real, sumergido en su completado proyectivo. Comprobar si las siguientes construcciones dan como resultado el cuarto armónico X de estos puntos: 1. Se toman por A y B dos rectas paralelas (diferentes de A + B) y por C una recta arbitraria que las corta en puntos M y N respectivamente. Se construyen los simétricos M 0 y N 0 de M y N respecto de A y B las rectas M + N 0 y M 0 + N se cortan en X 152 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS 2. Se traza por A una recta r (distinta de AB) y en ella se toman dos segmentos consecutivos iguales AL, LM , por la intersección de B +L y C +M se traza una paralela a r que corta a A + B en X 3. Se toma una circunferencia que pasa por A y B y el punto medio M de uno de los arcos en que la cuerda AB divide a la circunferencia, si C está entre A y B, se toma la recta M C que cortará a la circunferencia en un segundo punto N , la perpendicular por N a M N corta a AB en X. Si C no está entre A y B se toma la circunferencia de diámetro M C que cortará a la circunferencia inicial en otro punto N y la recta M N cortará a la AB en X 4.5. Redes de racionalidad Como hemos visto en 4.3.2, para construir un punto de coordenadas [α0 , . . . , αn ] basta construir en la recta puntos de coordenadas [αi , αj ]. Vamos a ver cómo se puede construir en la recta proyectiva real un punto, conocidas sus coordenadas en una referencia dada. P [0,1] ∞ [2, 27] [1, 6] [1, 1] [1, 0] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Figura 4.14: Con una regla se puede dibujar un punto dadas sus coordenadas proyectivas Dada una referencia {[1, 0], [0, 1]; [1, 1], } de una recta proyectiva en P2R , podemos tomar una recta s (que hará el papel de regla) que pase por [1, 0] y tomar en s una referencia con el punto [1, 0] en r ∩ s y el [0, 1] en el infinito, ası́ s es una recta afı́n, [1, 0] es el origen y el uno será otro punto U situado en s. Tomando la recta que une el uno, U, con el [1, 1] de r, el corte de esa recta con la paralela a s por el [0, 1] de r, da un punto P . La proyección desde P deja invariante el punto [1, 0], lleva el [1, 1] al U y el [0, 1] al infinito de s. Como veremos en la siguiente sección, las proyecciones y secciones no cambian coordenadas, ası́ el punto a de s se proyecta en el [1, a] de r (figura 4.14). Hay un método geométrico directo de construcción de puntos de coordenadas racionales con la ayuda de las cuaternas armónicas. Si α0 , α1 ∈ Q y si α0 = 4.5. REDES DE RACIONALIDAD 153 a0 /b0 , α1 = a1 /b1 , con a0 , a1 , b0 , b1 ∈ Z , es [α0 , α1 ] = [a0 b1 , a1 b0 ] y a0 b1 ∈ Z, a1 b0 ∈ Z. Como además [a, b] = [−a, −b], para construir todos los puntos de coordenadas racionales, basta construir los puntos [α, β] con α ∈ Z, β ∈ N; para hacer esta construcción, es suficiente observar las siguientes series de cuaternas armónicas 1. La siguiente serie permite construir [−n, 1], ∀n ∈ N (figura 4.15 (I)) [[1, 0][0, 1][1, 1][−1, 1]] [[1, 0][−1, 1][0, 1][−2, 1]] [[1, 0][−2, 1][−1, 1][−3, 1]] .. . = −1 = −1 = −1 .. . [[1, 0][−n, 1][−n + 1, 1][−n − 1, 1]] = −1 2. La siguiente serie permite construir [n, 1], ∀n ∈ N (figura 4.15 (II)) [[1, 0][0, 1][−1, 1][1, 1]] [[1, 0][1, 1][0, 1][2, 1]] [[1, 0][2, 1][1, 1][3, 1]] .. . = −1 = −1 = −1 .. . [[1, 0][n, 1][n − 1, 1][n + 1, 1]] = −1 3. La siguiente serie, que permite construir [a, n] dado [a, 1]; se obtiene combinando las anteriores, (figura 4.15 (III)) [[0, 1][a, 1][1, 0][a, 2]] [[0, 1][a, 2][a, 1][a, 3]] [[1, 0][−2, 1][−1, 1][−3, 1]] .. . = −1 = −1 = −1 .. . [[0, 1][a, n][a, n − 1][a, n + 1]] = −1 A titulo de ejemplo, explicaremos la construcción 1 ( figura 4.15 (I)). Para construir [−n, 1] ,como [[1, 0][0, 1][1, 1][−1, 1]] = −1, se trazan las rectas r y s por el punto [1, 0], se cortan por una recta t arbitraria que pase por el punto [1, 1], y se obtienen los puntos s ∩ t = P1 , r ∩ t = Q2 . Se unen P1 y Q2 con [0, 1] obteniéndose la rectas u1 y v1 que cortan, a r en Q1 , y a s en P2 , verificándose [−1, 1] = (Q1 + P2 ) ∩ l; llamamos u2 = Q1 + P2 . Para construir el punto [−2, 1], como [[1, 0][−1, 1][0, 1][−2, 1]] = −1, se siguen usando r y s por [1, 0], se cortan por v1 y se tiene P2 = v1 ∩ s y Q2 = v1 ∩ r. Se unen con el punto [−1, 1], con lo cual se repite u2 y se construye la recta v2 = Q2 + [−1, 1], que corta a s en el punto P3 . Entonces, (Q1 +P3 )∩l = [−2, 1]. Se llama u3 = Q1 +P3 y se continua el proceso, que se reduce a unir [−2, 1] con Q2 y se tiene v3 , se corta v3 con s y se tiene P4 , se proyecta desde P1 sobre l y se tiene [−3, 1], y ası́ sucesivamente. 154 CAPÍTULO 4. RAZÓN DOBLE. CUATERNAS ARMÓNICAS Q2 Q1 P P3 4 r [1,0] [1,0] [1,0] = [-1,0] s P1 P5 P2 u4 t u1 u2 u3 v4 v3 v1 v2 [1,1] [0,1] [1,-1] [1,-2] [1,-3] [4,1] [3,1] [2,1] [1,1] [-2,1] u5 [0,1] [1,-4] [-1,1] [-2,2] = [-1,1] [-2,3] [-2,4] Figura 4.15: Redes de racionalidad [0,1] Capı́tulo 5 Proyectividades El objetivo de este capı́tulo es describir las aplicaciones propias de la geometrı́a proyectiva es decir las proyectividades. En general cuando se habla de proyectividades, se consideran siempre proyectividades de un espacio P en si mismo, pero por comodidad y mayor generalidad, consideraremos proyectividades de un espacio P en otro P0 que puede ser igual o diferente de P pero siempre con la misma dimensión y el mismo cuerpo base. Podemos llegar al concepto de proyectividad por tres caminos distintos, como hemos visto en los capı́tulos 1 y 2. Como isomorfismos de los retı́culos de subespacios, o lo que es lo mismo biyecciones entre espacios proyectivos generalizados que conservan las rectas Como transformaciones definidas a partir de isomorfismos de espacios vectoriales Cuando los espacios inicial y final de la proyectividad se consideran como subespacios de un espacio proyectivo ambiente, podemos considerar como proyectividades a las composiciones de proyecciones y secciones. Vamos ası́ al origen de la geometrı́a proyectiva, que no es otra cosa que el estudio del conjunto de propiedades del espacio estables por proyección y sección. La relación entre estos conceptos de proyectividad, el primero de los cuales se debe a Staudt y el tercero a Poncelet, se aprecia claramente cuando se llevan al marco del álgebra lineal, es decir a la segunda de las formas de considerar las proyectividades descrita en el párrafo anterior. Por esta razón comenzaremos con la noción mas amplia de proyectividad en el marco del álgebra lineal, que es la definida a no a partir de isomorfismos sino por medio de unas transformaciones mas generales que las lineales. 155 156 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES O π'' P π S Q R Q' R' P' S' Figura 5.1: La proyección de un cuadrilátero puede ser un rectángulo, es decir ni ángulos ni razones de distancias son invariantes por proyección 5.1. Rectas de isomorfismos semilineales La propiedad básica de la geometrı́a proyectiva es la dependencia lineal de puntos, que se traduce en la dependencia lineal de vectores que los representan. Ahora bien, el hecho importante es la existencia de la relación de dependencia, no los coeficientes de dicha relación. Por ello vamos a introducir las aplicaciones mas generales que conserven la dependencia lineal, que no son necesariamente aplicaciones lineales de espacios vectoriales. Veamos un ejemplo: Ejemplo 5.1.1.– Consideramos el cuerpo complejo C y para cada complejo z = a + ib, representaremos por z = a − ib a su complejo conjugado. Recordemos que la conjugación es un automorfismo de C, es decir que: ∀z1 , z2 ∈ C, z1 + z2 = z1 + z2 , z1 .z2 = z1 .z2 Podemos construir la aplicación φ : Cn −→ Cn , φ(z1 , . . . , zn ) = (z1 , . . . , zn ) Esta aplicación no es lineal, pero verifica que: ∀v, w ∈ Cn , ∀a ∈ C, φ(v + w) = φ(v) + φ(w), φ(av) = aφ(v) Sin embargo es claro que los vectores {v1 , . . . , vn } son linealmente dependientes si y solo si lo son los vectores {φ(v1 ), . . . , φ(vn )}. Por tanto existen aplicaciones no lineales que conservan la dependencia lineal. Definición 5.1.2.– Sea K un cuerpo y τ un automorfismo de K. Dados dos espacios vectoriales V y W sobre K, se llama aplicación τ - semilineal de V en W a toda aplicación f : V −→ W tal que 5.1. RECTAS DE ISOMORFISMOS SEMILINEALES 157 1. ∀v, w ∈ V , f (v + w) = f (v) + f (w) 2. ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V , f (λv) = τ (λ)f (v) Llamaremos aplicación semilineal de V en W a toda aplicación de V en W que es τ - semilineal para algún automorfismo τ . Si τ = 1K las aplicaciones 1K -semilineales son exactamente las aplicaciones lineales. Las aplicaciones semilineales tienen propiedades prácticamente idénticas a la de las aplicaciones lineales, a continuación resumimos las que vamos a utilizar en este capı́tulo: Propiedades 5.1.3.– 5.1.3.1. - Si f y g son aplicaciones τ - semilineal y σ - semilineal, respectivamente, con τ, σ ∈ Aut(K), la composición gf es στ -semilineal. En efecto, gf (u + v) = gf (u) + gf (v), y : gf (λv) = g(τ (λ)v) = στ (λ)gf (v) 5.1.3.2. - Si f : V −→ W es una aplicación τ - semilineal y biyectiva, entonces f −1 : W −→ V es τ −1 - semilineal. En efecto, dados w1 , w2 del espacio W , por ser f biyectiva, ∃ v1 , v2 ∈ V con f (v1 ) = w1 , f (v2 ) = w2 . Entonces f −1 (w1 + w2 ) = = f −1 (λw1 ) f −1 (f (v1 ) + f (v2 )) = f −1 f (v1 + v2 ) v1 + v2 = f −1 (w1 ) + f −1 (w2 ) = f −1 (λf (v1 )) = f −1 (f (τ −1 (λ)v1 )) = τ −1 (λ)f −1 (w1 ) 5.1.3.3. - Como consecuencia de las propiedades anteriores, los endomorfismos semilineales de un K-espacio vectorial V forman, con la composición de aplicaciones un semigrupo, los elementos inversibles de este semigrupo, es decir los automorfismos semilineales, son exactamente los endomorfismos biyectivos, que forman un grupo al que llamaremos SAut(V ) . Si Γ es un subgrupo de Aut(K) los automorfismos τ - semilineales de V para τ ∈ Γ forman un subgrupo de SAut(V ) al que representaremos por SAutΓ (V ). En particular Aut(V ) = SAut{1K } (V ) es un subgrupo invariante de SAut(V ) y: SAut(V )/Aut(V ) ' Aut(K) En efecto : la aplicación δ : SAut(V ) −→ Aut(K) 7.16 que lleva a cada aplicación τ - semilineal sobre el automorfismo τ al que esta asociada, por 1 , es un homomorfismo de grupos cuyo núcleo es el conjunto de 158 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES automorfismos 1K - semilineales, que es precisamente Aut(V ). Como obviamente δ es sobre, se tiene el resultado. 5.1.3.4. - Si f es semilineal, Im(f ) es un subespacio de W y Ker(f ) un subespacio de V . Se verifica además que f es inyectiva ⇔ Ker(f ) = {0} En efecto, ∀w ∈ Im(f ) ∃ v ∈ V con f (v) = w, entonces ∀λ ∈ K, f (τ −1 (λ).v) = λw luego λw ∈ Im(f ) y como f es homomorfismo de grupos, Im(f ) es cerrado para la suma. Lo mismo sucede con Ker(f ) que es subgrupo aditivo de V y además ∀v ∈ Ker(f ), ∀λ ∈ K, f (λv) = τ (λ)f (v) = 0 ⇒ λv ∈ Ker(f ). Como además f es homomorfismo de grupos, f es inyectivo si y solo si Ker(f ) = {0}. 5.1.3.5. - Si B = {v0 , . . . , vn } es una base de un K-espacio vectorial V , τ es un automorfismo de K y {w0 , . . . , wn } son vectores de otro K-espacio vectorial W , existe una única aplicación τ - semilineal f : V −→ W con f (vi ) = wi , ∀i 0 ≤ i ≤ n. Pn En efecto; si v ∈ V , se escribe en forma única como v = i=0 ai vi y se define la aplicación f por f (v) = n X τ (ai )wi i=0 f es claramente τ - semilineal y es única pues si g es τ - semilineal y g(vi ) = wi ∀i, es ∀v ∈ V , X X X v= ai vi ⇒ f (v) = τ (ai )wi = τ (ai )g(vi ) X X = g(ai vi ) = g( ai vi ) = g(v) En consecuencia, si B 0 = {u0 , . . . , un } es una base de W y wi tiene coordenadas (ai0 , . . . , ain ) en B 0 , ∀i 0 ≤ i ≤ n, la ecuación matricial de f es      y0 a00 . . . an0 τ (x0 )  ..   ..  ..   ..  . = .  .  . ym a0m ... anm τ (xn ) Y la matriz  a00  .. M = . aom  an0 ..  .  . . . anm ... se llama matriz de f en las bases B y B 0 . 5.1.3.6. - Si M es la matriz de la aplicación τ - semilineal f entre los espacios vectoriales V y W de dimensiones respectivas n y m respecto de las bases B y B 0 , se verifica que 5.1. RECTAS DE ISOMORFISMOS SEMILINEALES 159 1. f es inyectiva ⇔ r(M ) = n 2. f es sobre ⇔ r(M ) = m 3. f es biunı́voca ⇔ m = n y |M | 6= 0 5.1.3.7. - Si f : V −→ W es una aplicación τ - semilineal, se verifica que 1. Si {v1 , . . . , vr } son linealmente dependientes {f (v1 ), . . . , f (vr )} son linealmente dependientes. 2. Si f es inyectiva, {v1 , . . . , vr } son linealmente dependientes si y solo si {f (v1 ), . . . , f (vr )} son linealmente dependientes. 3. Si f es inyectiva, v depende linealmente de {v1 , . . . , vr } ⇔ f (v) depende linealmente de {f (v1 ), . . . , f (vr )}. En efecto : 1. λ1 v1 + · · · + λr vr = 0 ⇒ 0 = f (λ1 v1 + · · · + λr vr ) = τ (λ1 )f (v1 ) + · · · + τ (λr )f (vr ) y ∃λi 6= 0 ⇒ τ (λi ) 6= 0 por ser τ isomorfismo de K en K. 2. µ1 f (v1 ) + · · · + µr f (vr ) = 0 ⇒ f (τ −1 (µ1 )v1 + · · · + τ −1 (µr )vr ) = 0 ⇒ τ −1 (µ1 )v1 + · · · + τ −1 (µr )vr = 0 y ∃i con µi 6= 0 ⇒ τ −1 (µi ) 6= 0 por ser τ −1 isomorfismo de cuerpos. 3. Es consecuencia de (1) y de (2). 5.1.3.8. - Si f : V −→ W es un isomorfismo semilineal, se verifica que 1. dim(V ) = dim(W ) 2. ∀ L subespacio de V , f (L) es subespacio de W , y dim(L) = dim(f (L)) 3. ∀ L1 , L2 subespacios de V ½ f (L1 ∩ L2 ) = f (L1 ) ∩ f (L2 ) f (L1 + L2 ) = f (L1 ) + f (L2 ) En efecto, (1) es consecuencia de la propiedad 7, (2) es inmediato de la propiedad 4 y de (1) , (3) se sigue de que por ser f biyectiva conserva la intersección y por la propiedad 7 conmuta con el operador de linealización, luego f conserva la suma. Sean P = P(V ), P0 = P(W ) dos espacios proyectivos de la misma dimensión, y sea ϕ : V −→ W un isomorfismo semilineal, ϕ induce una aplicación biunı́voca ϕ : P −→ P0 dada por ϕ([v]) = [ϕ(v)]. 160 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES Proposición 5.1.4.– Si ϕ y ψ son isomorfismos semilineales de V en W , donde V y W son espacios vectoriales sobre K de dimensión mayor que uno, ϕ = ψ si y solo si ∃λ ∈ K ∗ tal que ϕ = λψ. Demostración: Una implicación (la parte si) es trivial, veamos la otra. Si ϕ es τ - semilineal, ψ es σ - semilineal y ϕ(P ) = ψ(P ), ∀P ∈ P(V ), se verifica que ∀v ∈ V ∃λv verificando ϕ(v) = λv ψ(v); entonces λv no depende del vector v, es decir ∀v, u, λv = λu . En efecto, pueden presentarse dos casos: 1. Que u y v sean linealmente independientes, entonces ϕ(u + v) = λu+v ψ(u + v) = λu+v ψ(u) + λv+u ψ(v) ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) = λu ψ(u) + λv ψ(v) de donde, por ser ψ(u), ψ(v) linealmente independientes, se deduce que λu = λv = λv+u 2. Que u, v sean linealmente dependientes, entonces como dim(V ) ≥ 2, ∃t con v, t linealmente independientes, u, t linealmente independientes, luego: λt = λv , λt = λu , de donde es λv = λu Definición 5.1.5.– Llamamos recta de isomorfismos semilineales entre los espacios P y P0 asociada al isomorfismo semilineal ϕ , bien a la aplicación ϕ, bien a la clase de isomorfismos semilineales [ϕ] = {λϕ|λ ∈ K λ 6= 0}. A las rectas de isomorfismos semilineales, asociadas a un isomorfismo lineal, les llamaremos rectas de isomorfismos. Si V = W hablaremos de rectas de automorfismos semilineales Las rectas de automorfismos semilineales de P forman un grupo, SP GL(P), del cual, las rectas de automorfismos, forman un subgrupo invariante, P GL(P), y el grupo cociente SP GL(P) P GL(P) es isomorfo a Aut(K) (este resultado es exactamente (3) de 5.1.3 ) Notas 5.1.6.– 5.1.6.1. - Si π : P −→ P0 es una recta de isomorfismos semilineales: los puntos P1 , . . . , Pr ∈ P son linealmente dependientes en P si y solo si los puntos, π(P1 ), . . . , π(Pr ) son linealmente dependientes en P0 π transforma referencias en referencias S ⊂ P es un subespacio de P si y solo si π(S) ⊂ P0 es un subespacio de P0 y dim(S) = dim(π(S)). 5.1. RECTAS DE ISOMORFISMOS SEMILINEALES 161 Si S1 , S2 son subespacios del espacio proyectivo P, se verifica que π(S1 ∩ S2 ) = π(S1 ) ∩ π(S2 ) π(S1 + S2 ) = π(S1 ) + π(S2 ) 5.1.6.2. - (Ecuaciones de una recta de isomorfismos semilineales). Las ecuaciones de un isomorfismo τ - semilineal inducen las de una recta de isomorfismos semilineales. Dadas dos referencias R de P, R0 de P0 , las ecuaciones de una recta de isomorfismos semilineales π de automorfismo asociado τ son de la forma      y0 a00 . . . a0n τ (x0 )     ..   .. ρ  ...  =  ...  .  . yn donde an0 ...  a00  M =  ... an0 ... ... ann τ (xn )  a0n ..  .  ann se llama matriz de la proyectividad π. Si {v0 . . . vn }, {w0 . . . wn } son bases normalizadas asociadas a R y R0 respectivamente, las columnas de M son las coordenadas de los vectores imagen, por un representante de π, de los vi , 0 ≤ i ≤ n, en la base {w0 . . . wn } En particular, si π transforma la referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U } en la R0 = {Q0 , . . . , Qn ; U 0 }, con π(Pi ) = Qi , ∀i 0 ≤ i ≤ n, π(U ) = U 0 , las ecuaciones de π en las referencias R, R0 son:       y0 τ (x0 ) τ (x0 )       .. .. ρ  ...  = In+1  =  . . yn τ (xn ) τ (xn ) ya que debe ser    0 τ (x0 )  ..   ..  .   .     = M  τ (1) 1 (i) ρi      .   ..  ..   . 0 τ (0)   0   ..   .   =M 1     .   .. 0     (i)     de donde se deduce que es (ai0 , . . . , ain ) = (0, . . . , ρi , . . . , 0), luego   ρ0 . . . 0  ..  M =  ... .  0 . . . ρn 162 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES y puesto que π(U ) = U 0 , es      1 τ (1)      ρ  ...  = M  ...  = M  1 τ (1)  1 ..  .  1 de donde se deduce que ρ1 = . . . = ρn = ρ luego M = ρIn+1 y este ρ se puede incorporar al del primer miembro. Es decir, el punto de coordenadas [α0 , . . . , αn ] en R se transforma por π en el punto de coordenadas [τ (α0 ), . . . , τ (αn )] en R0 . 5.1.6.3. - De la ultima parte de la nota anterior se deduce que dadas dos referencias R = {P0 , . . . , Pn ; U } en P y R0 = {Q0 , . . . , Qn ; U 0 } en P0 y fijo un τ ∈ K, existe una única recta de isomorfismos semilineales π de automorfismo asociado τ con π(Pi ) = Qi , ∀i 0 ≤ i ≤ n, π(U ) = U 0 , ya que basta construir π en coordenadas respecto a las referencias fijadas por: π[α0 , . . . , αn ] = [τ (α0 ), . . . , τ (αn )] 5.1.6.4. - Como la razón doble se reduce a un cociente de coordenadas, se comporta bien por la acción de rectas de isomorfismos semilineales. Mas precisamente, si π es una recta de isomorfismos semilineales de automorfismo asociado τ , y si A, B, C, D están alineados y [A, B : C, D] = λ, entonces D tiene coordenadas [λ, 1] en la referencia {A, B; C}, luego π(D) tiene coordenadas [τ (λ), 1] en la referencia {π(A), π(B); π(C)} y por tanto [π(A), π(B) : π(C), π(D)] = τ (λ) En consecuencia las rectas de isomorfismos semilineales no conservan la razón doble. Sin embargo, si τ ∈ Aut(K), τ (1) = 1 ⇒ τ (−1) = −τ (1) = −1, luego si {A, B, C, D} es una cuaterna armónica, {π(A), π(B), π(C), π(D)} es también una cuaterna armónica, ası́ que aunque la razón doble no sea un invariante del grupo de rectas de automorfismos semilineales, si lo son las cuaternas armónicas. También si: τ = 1K , [π(A), π(B) : π(C), π(D)] = [A, B : C, D] Luego la razón doble es un invariante del grupo de rectas de automorfismos. Ejercicios de la sección 5.1 5.2. Proyectividades de Poncelet Como hemos indicado al principio del capitulo, vamos a llamar genéricamente proyectividades geométricas a las construidas por medios geométricos es decir bien sea como aplicaciones composición de proyecciones y secciones, bien sea como isomorfismos de retı́culos de los retı́culos de subespacios. Entre estos tipos de proyectividades hay dos diferencias esenciales, las primeras son siempre 5.2. PROYECTIVIDADES DE PONCELET 163 proyectividades entre dos subespacios de un espacio dado, y las segundas pueden ser proyectividades entre espacios distintos, esta diferencia como veremos en su momento es puramente formal. La segunda es que, como hemos visto en el capı́tulo dos, las composiciones de protecciones y secciones inducen isomorfismos de retı́culos, pero el recı́proco no es cierto. Dedicaremos esta sección al estudio de las composiciones de proyecciones y secciones a las que daremos el nombre de proyectividades de Poncelet por el primero que las usó de modo sistemático. Recordemos la construcción efectuada en ?? del espacio P/S, donde S es un subespacio de P = {P, V, φ} de dimensión r, P se identifica a P(V ) y S a P(L) con L subespacio de V , y el conjunto de subespacios de dimensión r + 1 de P que contienen a S se dota de estructura de espacio proyectivo identificándolo con el espacio P(V /L). Ası́ : 1. Los puntos de P(V /L) = P/S son clases [v + L] que parametrizan los subespacios de dimensión r + 1 que contienen a S , vı́a la identificación [v + L] ≡ [v] + S. 2. La correspondencia πS : P P −→ 7 → P +S P/S no es aplicación, porque si P ∈ S, P + S ∈ / P/S, pero está inducida por el homomorfismo de espacios vectoriales n: V −→ V /L v 7→ v+L en el sentido de que: πS [v] = [n(v)] Esta correspondencia se llama proyección desde S. 3. Si S 0 es un subespacio complementario de S, S 0 = P(L0 ) con L0 subespacio complementario de L; entonces la aplicación inducida por n ϕS : L0 −→ V /L w 7 → w+L es un isomorfismo, ya que es inyectiva ( pues ϕ(v) = ϕ(w) ⇒ v − w ∈ L, y si los vectores v y w están en L0 , como L ∩ L0 = {0}, es v = w) y dim(L0 ) = dim(V /L). Por tanto, la proyección desde S de S 0 πS : S0 P −→ P/S −→ P + S es una recta de isomorfismos ya que πS [v] = [ϕS (v)] y ϕS es un isomorfismo. 164 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES 4. a la inversa de πS , σS 0 se le llama sección por S 0 . σS 0 se construye geométricamente teniendo en cuenta que ∀T ∈ P/S, T ∩ S 0 se reduce a un punto, y si llamamos a este punto P , πS (P ) = P + S = T , ası́ la aplicación sección por S 0 esta definida geométricamente por ∀T ∈ P/S, σS 0 (T ) = πS−1 (T ) = T ∩ S 0 También la sección por S 0 , σS 0 es una recta de isomorfismos, la definida por ϕ−1 S 5. Si S1 = P(L1 ) y S2 = P(L2 ) son subespacios complementarios del subespacio S = P(L), a la composición de la proyección de S1 desde S con la sección por S2 πS σS 1 −→ P/S 7→ P + S S1 P 2 −→ S2 7→ (P + S) ∩ S2 se le llama perspectividad de vértice S de S1 en S2 y se representa por pS . pS es la recta de isomorfismos representada por ϕ−1 S2 ϕS1 S1 r1 r2 C1 B2 S2 B1 A2 C2 A1 S3 r A B C R Q P Figura 5.2: Una proyectividad de Poncelet es composición de proyecciones y secciones Definición 5.2.1.– Llamaremos proyectividad de Poncelet entre dos subespacios S y S 0 de un espacio proyectivo P a la composición de una cadena de perspectividades que empieza en S y termina en S 0 . Es decir (figura 5.2) una proyectividad de Poncelet de S en S 0 es una correspondencia: π : S −→ S 0 tal que existen subespacios S1 , S2 , . . . , Sn , T1 , T2 , . . . , Tn−1 de modo que: 5.2. PROYECTIVIDADES DE PONCELET 165 1. S = S1 ; S 0 = Sn 2. Ti es complementario simultáneamente de Si y de Si+1 , ∀i 1 ≤ i ≤ n − 1. 3. π = pTn . . . pT1 = σSn πSn−1 · · · σS3 πS2 σS2 πS1 Normalmente para indicar una perspectividad que transforma los puntos P1 , . . . , Pn en los Q1 , . . . , Qn se usa el sı́mbolo P1 , . . . , Pn Λ Q1 , . . . , Qn o el sı́mbolo: P1 , . . . , Pn ΛT Q1 , . . . , Qn si T es el centro de la perspectividad. Para indicar una proyectividad de Poncelet que produzca este mismo efecto se escribe: P1 , . . . , Pn Λ Q1 , . . . , Qn Las proyectividades de Poncelet son rectas de isomorfismos ya que son composición de perspectividades. En consecuencia si πS −→ S 0 es una proyectividad de Poncelet, dada una referencia R = {P0 , . . . , Pr ; U } en S, se verifica que R0 = {π(P0 ), . . . , π(Pr ); π(U )} es una referencia en S 0 y si un punto P ∈ S tiene en R las coordenadas [α0 , . . . , αr ], π(P ) tiene también las coordenadas [α0 , . . . , αn ] en R0 Vamos a probar ahora que toda recta de isomorfismos es una proyectividad de Poncelet. Para ello probaremos simplemente que toda recta de isomorfismos es producto de homologı́as y que toda homologı́a es producto de dos perspectividades. Lema 5.2.2.– Toda recta de automorfismos de un espacio proyectivo es producto de homologı́as Demostración: Como es bien conocido, toda matriz inversible es producto matrices elementales, las matrices elementales son matrices de uno de los tres tipos siguientes:  1  ..  .   0   Fij (λ) =  ...   0   .  .. ··· 0 ··· ··· ··· 0 .. . ··· 1 .. . ··· 0 .. . ··· 0 ··· 0 .. . ··· λ .. . ··· 1 .. . ··· 0 ···  0  ...     0      ...  , C (λ) =  i    0    ..  .  1 1 .. . ··· 0 .. . ··· 0 .. . ··· λ .. . ··· 0 ··· 0 ···  0 ..  .   0   ..  .  1 166 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES  1 ···  ..  .   0 ···   Cij =  ...   0 ···   .  .. 0 ··· 0 .. . ··· 0 .. . ··· 0 .. . ··· 1 .. . ··· 1 .. . ··· 0 .. . ··· 0 ··· 0 ···  0 ..  .   0   ..  .   0   ..  .  1 Entonces basta probar que estas matrices representan homologı́as, lo cual es obvio porque, según se comprueba por cálculo directo, para la Ci (λ) todos los puntos del hiperplano xi = 0 son invariantes, para la Fij (λ) los del xj = 0, y para la Cij los del xi = xj . Lema 5.2.3.– Si S es un subespacio propio de un espacio proyectivo P, toda homologı́a de S es producto de dos perspectividades Demostración: Según la proposición 2.5.9 una homologı́a queda unı́vocamente determinada por su eje H, su centro P y la imagen B de un punto A, entonces, dada por estos datos una homologı́a π, si construimos un producto de perspectividades φ que deje invariantes todos los puntos de H, con lo cual es una homologı́a, tenga centro en P y transforme A en B, necesariamente π = φ. En virtud de la proposición 2.4.11, podemos limitarnos a utilizar como ambiente cualquier subespacio que contenga estrictamente a S, en consecuencia podemos suponer dimP = dimS + 1 S' S' C C P' Q R R Q P A A H B B P H S S Figura 5.3: Toda homologı́a degenerada (a la derecha) ó no degenerada (a la izquierda) es producto de dos perspectividades Dadas S, H, P, A, B con H hiperplano de S, A, B, P alineados y distintos dos a dos y A ∈ / H, B ∈ / H, elegimos un punto T ∈ / S y llamamos S 0 = H + T , con 5.2. PROYECTIVIDADES DE PONCELET 167 lo cual S ∩ S 0 = H. Existe un punto R ∈ / S ∪ S 0 y como A ∈ / H, R + A corta a S 0 en un punto C. Como A, B, P están alineados, R + P y B + C son coplanarias y como son distintas se cortan en un punto Q (ver la figura 5.3. Si componemos las perspectividades φR : S −→ S 0 , φQ : S 0 −→ S, de centros R y Q, se obtiene una colineación φ = φQ φR que obviamente deja invariantes todos los puntos de H y el punto P , y además transforma A en B. Entonces si π es no degenerada P ∈ / H y es necesariamente el centro de φ. Y si π es degenerada P ∈ H y en este caso es inmediato por la construcción que φ no tiene puntos invariantes fuera de H luego es también degenerada, y como (A + φ(A)) ∩ H = P , P es también el centro de φ. Teorema 5.2.4.– Si S1 y S2 son subespacios de un espacio proyectivo P, toda recta de isomorfismos de S1 en S2 es producto de perspectividades: Demostración: Sea π : S1 −→ S2 unja recta de isomorfismos. Siempre podemos tomar un complementario común T a S1 y S2 y construir la perspectividad φT : S2 −→ S1 , que es también una recta de isomorfismos, entonces φT π es una recta de automorfismos de S1 y por los lemas anteriores es composición de perspectividades, y en consecuencia π también lo es. Nota 5.2.5.– Vamos a comprobar que si S1 y S2 son disjuntos, toda recta de isomorfismos de S1 en S2 es una perspectividad. Dado que una recta de isomorfismos queda unı́vocamente determinada por la imagen de una referencia y toda perspectividad es una recta de isomorfismos, el resultado que tenemos que probar es el siguiente: Si S1 y S2 son subespacios disjuntos de un espacio proyectivo P y R1 = {P0 , . . . , Pr ; U }, R2 = {Q0 , . . . , Qr ; V } son referencias en S! y S2 respectivamente, existe una perspectividad que lleva R1 a R2 . A la hora de construir esta perspectividad podemos suponer S1 + S2 = P, y en consecuencia n = dim(P) = dim(S1 ) + dim(S2 ) + 1 = 2r + 1 como hemos señalado mas arriba (ver 2.4.11) Construimos: T2 = [u0 + v0 ] + · · · [ur + vr ] donde {u0 , . . . , ur } y {v0 , . . . , vr } son respectivamente bases normalizadas asociadas a R1 y R2 . Obviamente dim(T ) = r = n−r −1 por ser {u0 +v0 , · · · , ur + vr } linealmente independientes. Además T ∩ S1 = ∅ pues en caso contrario como S1 = [u0 ] + · · · , [ur ], ∃λ0 , . . . , λr , µ0 , . . . , µr , no todos cero, con: λ0 u0 + · · · + λr ur = µ0 (u0 + v0 ) + · · · + µr (ur + vr ) ⇒ ⇒ (λ0 − µ0 )u0 + · · · + (λr − µr )ur = µ0 v0 + · · · + µr vr en contradicción con S1 ∩ S2 = ∅; del mismo modo T ∩ S2 = ∅. Ahora la perspectividad de vértice T , pT : S1 −→ S2 verifica que: pT ([ui ]) = ([ui ] + T ) ∩ S2 3 [vi ] 168 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES S R0 = [u0] T2 + [u0] R1 = [u1] T2 + [u1] W = [u0 + u1] T2 + [u0 + u1] [u0 + u1 + v1 + v2] [u1 + v1] V = [v0 + v1] Q1 = [v1] [ u2 + v2] T2 Q0 = [v0] Figura 5.4: Toda recta de isomorfismos entre dos subespacios disjuntos es una perspectividad ya que [vi ] ∈ S2 y vi = ui + vi − ui ⇒ [vi ] ∈ [ui ] + T y como pT ([ui ]) es un solo punto, pT ([ui ]) = [vi ]. El mismo razonamiento prueba que pT ([u0 + · · · + un ]) = [v0 + · · · + vn ]. Podemos definir ahora mas generalmente una proyectividad de Poncelet de la forma siguiente: Si P1 y P2 son espacios proyectivos sobre el mismo cuerpo K con dim(P1 ) < dim(P2 ) y P1 = P(V1 ) y P2 = P(V2 ), llamamos inmersión de P1 en P2 a toda correspondencia i : P1 −→ P2 [v] 7→ [ϕ(v)] donde ϕ : V1 −→ V2 es un homomorfismo inyectivo. Es claro que dar una inmersión equivale a fijar una referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U } en P1 y puntos R0 = {Q0 , . . . , Qn ; V } de P2 que sean una referencia de un subespacio S de dimensión n de P2 e identificar el punto P de coordenadas [α0 , . . . , αn ] en R con el punto de P2 con las mismas coordenadas en S respecto de R0 . Obviamente una inmersión está definida salvo rectas de isomorfismos, es decir si i1 , i2 son inmersiones de P1 en P2 , existe una recta de isomorfismos de i1 (P1 ) en i2 (P2 ), α, tal que αi1 = i2 . Entonces dados los espacios proyectivos P1 y P2 de la misma dimensión, se llama proyectividad de Poncelet de P1 en P2 a toda correspondencia π : P1 −→ P2 tal que existen inmersiones i1 : P1 −→ P, i2 : P2 −→ P y una proyectividad de Poncelet α entre los espacios i1 (P1 ) e i2 (P2 ) de P tales que π = i−1 2 αi1 . Obviamente por el caso (1) de la demostración del teorema anterior, si [ϕ] : P1 −→ P2 es una recta de isomorfismos, tomando un espacio P con dim(P) = 2dim(P1 )+1, [ϕ] es una proyectividad de Poncelet y como el recı́proco es trivial, proyectividades de Poncelet, con esta definición mas general, y rectas de isomorfismos coinciden. 5.3. COLINEACIONES 5.3. 169 Colineaciones Como hemos señalado en os dos primeros capı́tulos, la geometrı́a lineal proyectiva consiste en el estudio de las propiedades de los subespacios relacionadas con las operaciones básicas: contenido, intersección y suma, es decir con las propiedades caracterı́sticas de la estructura de retı́culo del conjunto de subespacios. Una aplicación entre espacios proyectivos π : P → P0 , lleva subconjuntos de P a subconjuntos de P0 es decir induce una aplicación a la que para evitar confusión llamaremos Π : P −→ P 0 por: Π(C) = π(C) = {π(X) | X ∈ C} que conserva el contenido, es decir: C1 ⊂ C2 ⇒ Π(C1 ) ⊂ Π(C2 ). Si además π es biunı́voca Π lo es también y es isomorfismo de retı́culos, esto es: C1 ⊂ C2 ⇔ Π(C1 ) ⊂ Π(C2 ). Pero una aplicación no lleva en general subespacios a subespacios y esta es realmente la propiedad caracterı́stica de las proyectividades. Las proposiciones siguientes recogen resultados que se presentaron ya en el capı́tulo tres, pero ahora en el contexto de espacios proyectivos asociados a espacios vectoriales. Proposición 5.3.1.– Si P y P0 son espacios proyectivos, π : P −→ P0 es una aplicación, y Π : P −→ P 0 es la aplicación inducida entre los retı́culos de subconjuntos de P y P0 , las condiciones siguientes son equivalentes: 1. La aplicación π es sobre y tal que ∀P1 , . . . , Pr ∈ P: {P1 , . . . , Pr } linealmente dependientes ⇔ {π(P1 ), . . . , π(Pr )} linealmente dependientes. 2. La aplicación π : P −→ P0 es biunı́voca y tal que: S subespacio de P ⇔ π(S) subespacio de P0 . 3. La aplicación Π lleva subespacios a subespacios e induce por tanto una aplicación: Π : L(P) −→ L(P0 ). Esta aplicación es biunı́voca y tal que S1 ⊂ S2 ⇔ Π(S1 ) ⊂ Π(S2 ) (es decir es isomorfismo de retı́culos). 4. La aplicación Π lleva subespacios a subespacios e induce por tanto una aplicación: Π : L(P) −→ L(P0 ). Esta aplicación es biunı́voca y verifica que: Π(S1 ∩ S2 ) = Π(S1 ) ∩ Π(S2 ) Π(S1 + S2 ) = Π(S1 ) + Π(S2 ) Demostración: (1) ⇒ (2) Si se verifica la condición (1), π es biunı́voca pues es sobre por hipótesis y es inyectiva porque: π(P ) = π(P 0 ) ⇔ {π(P ), π(P 0 )} lin.dep. ⇔ {P, P 0 )} lin.dep. ⇔ P = P 0 . Por tanto existe π −1 y transforma puntos dependientes en dependientes e independientes e independientes por la equivalencia que aparece en el 170 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES enunciado, ası́ que basta probar que la imagen por π de un subespacio es subespacio, y automáticamente π −1 tendrá esta misma propiedad. Observemos que S ⊂ P es subespacio de P si y solo si existen P1 , . . . , Pr linealmente independientes en S tales que ∀P ∈ P : {P, P1 , . . . , Pr } lin. dep. ⇒ P ∈ S , ya que al ser independientes P1 , . . . , Pr , la condición {P, P1 , . . . , Pr } dependientes, equivale a P depende linealmente de {P1 , . . . , Pr } Con esta hipótesis, π(P1 ), . . . , π(Pr ) ∈ π(S) son linealmente independientes y ∀P 0 ∈ P0 , como π es sobre, ∃P ∈ P, con π(P ) = P 0 y {P 0 , π(P1 ), . . . , π(Pr )} l. dependientes ⇒ {π(P ), π(P1 ), . . . , π(Pr )} l. dependientes ⇒ P ∈ S ⇒ P 0 = π(P ) ∈ π(S). Luego π(S) es subespacio de P0 (2) ⇒ (3) Obvio porque al ser π biunı́voca ella y su inversa conservan el contenido (3) ⇔ (4) Por definición de isomorfismo de retı́culos (4) ⇒ (1) Veamos en primer lugar que π es sobre. Como Π es biunı́voca: ∀Q ∈ P0 , ∃S ∈ L(P) | Π(S) = {Q} Hay que probar que S se reduce a un punto y esto se hace como sigue: P ∈ S ⇒ P + S = S ⇒ π(P ) + π(S) = π(S) ⇒ ⇒ π(P ) + Q = Q ⇒ π(P ) ⊂ Q ⇒ π(P ) = Q = π(S) ⇒ {P } = S Ahora solo queda reducir la condición de dependencia lineal a operaciones de retı́culos, pero es claro que: {P1 , . . . , Pr } lin.dep. ⇔ ∃ i Pi dep. lin.{P1 , . . . , P̂i , . . . , Pr } ⇔ ∃ i π(Pi ) dep. lin.{π(P1 ), . . . , π(P̂i , . . . , π(Pr )} ⇔ {π(P1 ), . . . , π(Pr )} lin.dep. Notas 5.3.2.– 5.3.2.1. - Si α : L(P) −→ L(P0 ) es un isomorfismo de retı́culos, es decir α es biunı́voca y S1 ⊂ S2 ⇔ α(S1 ) ⊂ α(S2 ), se verifica que: 1. α aplica puntos en puntos. En efecto, como ∅ ∈ L(P) es el único subespacio contenido en todos los subespacios, α(∅) = ∅ y si P es un punto {P } es un átomo, es decir S ⊂ {P }, S 6= P ⇔ S = ∅, y α(P ) es también un punto 5.3. COLINEACIONES 171 2. Si π : P −→ P0 es la aplicación definida por {π(P )} = α({P }), π es biunı́voca. En efecto π es inyectiva por serlo α y el mismo argumento de (4) ⇒ (1) de la proposición anterior indica que es sobre. 3. ∀S ∈ L(P), α(S) = π(S) En efecto ∀Q ∈ P0 ∃P ∈ P único con α({P }) = {π(P )} = {Q}, entonces Q ∈ α(S) ⇔ α({P }) ⊂ α(S) ⇔ P ∈ S ⇔ Q = π(P ) ∈ π(S) luego α(S) = π(S) 5.3.2.2. - (i) Si π : P −→ P0 verifica una de las propiedades equivalentes de la proposición anterior, π transforma referencias proyectivas en referencias proyectivas. (ii) Si dim(P) = 1, las condiciones de la proposición anterior equivalen simplemente a que π es biunı́voca (iii) Si dim(P) > 1 y π : P → P0 verifica las condiciones de la proposición anterior, si {A, B, C, D} es una cuaterna armónica {π(A), π(B), π(C), π(D)} también lo es. En efecto, {A, B, C, D} es cuaterna armónica si y solo si existe un cuadrivértice {P, Q, R, S} que tiene a A y B por puntos diagonales y cuyas diagonales cortan a AB en C, D. Entonces, el cuadrivértice {π(P ), π(Q), π(R), π(S)} tiene por puntos diagonales a π(A) y π(B), y sus diagonales cortan a la recta π(A)π(B) en π(C) y π(D), luego {π(A), π(B), π(C), π(D)} es una cuaterna armónica . Definición 5.3.3.– Si dim(P) > 1, llamaremos colineación ó proyectividad de Staudt a toda aplicación que cumpla una de las condiciones equivalentes de la proposición 5.3, Si dim(P) = 1 diremos que π : P −→ P0 es una proyectividad de Staudt si es una biyección y conserva las cuaternas armónicas Obsérvese que toda recta de isomorfismos semilineales es una proyectividad de Staudt, y ahora probaremos la afirmación recı́proca, aunque debido a la falta de homogeneidad de la definición de estas proyectividades, para comprobar esta afirmación, es preciso distinguir entre la dimensión 1 y el resto de las dimensiones. Teorema 5.3.4.– Teorema de Staudt en dimensión 1 (charactK 6= 2) Si π : P −→ P0 es una proyectividad de Staudt y dim(P) = 1,es decir si π es biunı́voca y transforma cuaternas armónicas en cuaternas armónicas existe un automorfismo τ de cuerpos y un isomorfismo τ - semilineal ϕ entre los espacios vectoriales asociados, tal que π = [ϕ] 172 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES Demostración: Teniendo en cuenta 2, si el teorema es cierto y tomamos una referencia de P R = {A0 , A1 ; U } y su imagen por π R0 = {A00 , A01 ; U 0 }, estos puntos forman una referencia de P0 y si un punto X tiene en R las coordenadas [x0 , x1 ], π(X) tiene en R0 las coordenadas [τ (x0 ), τ (x1 )]. Entonces la forma de construir el automorfismo solo puede ser la siguiente: Fijas R = {A0 , A1 ; U } como antes y su imagen R0 = {A00 , A01 ; U 0 }, utilizando coordenadas en estas referencias definimos una correspondencia τ : K −→ K por : ∀λ ∈ K, π([1, λ]) = [1, τ (λ)] La correspondencia τ es una aplicación biunı́voca que transforma cero en cero y uno en uno y usando que π conserva las cuaternas armónicas podemos probar que es homomorfismo de cuerpos. Para ello necesitamos las dos igualdades siguientes: 1. ∀α, β ∈ K, β 6= 0, α 6= β, [[1, α], [1, β], [0, 1], [1, (α + β)/2] = −1 2. ∀α, β ∈ K, {α, β} ∩ {0, 1} = ∅, α + β 6= 0 [[1, α], [1, β], [1, 0], [1, 2αβ/(α + β)] = −1 Las dos igualdades se prueban por calculo directo, pero son esencialmente la misma, la primera establece simplemente en la carta afı́n x0 6= 0 que el cuarto armónico de dos puntos de la recta respecto del infinito es su punto medio (baricentro), la segunda es la primera pero en la otra carta afı́n, en ella el infinito es [0, 1] y : [[a, 1], [b, 1], [1, 0], [(a + b)/2, 1] = −1 Entonces, si : α = 1/a, β] = 1/b [[1, α], [1, β], [1, 0], [1, 2αβ/(α + β)] = −1 Ahora solo hay que repetir el mismo proceso tres veces, suponiendo siempre {α, β} ∩ {0, 1} = ∅, estos casos son triviales: α τ (α) τ( ) = 2 2 En efecto, [[1, 0], [1, α], [0, 1], [1, α/2]] = −1 luego [π[1, 0], π[1, α], π[0, 1], π([1, α/2]] = −1 ahora bien, π[0, 1] = π(A1 ) = A01 = [0, 1], π[1, α] = [1, τ (α)], π[1, α/2] = [1, τ (α/2)], luego [[1, 0], [1, τ (α)], [0, 1], 1, τ (α/2)]] = −1 5.3. COLINEACIONES 173 y como [[1, 0], [1, τ (α)], [0, 1], [1, τ (α)/2]] = −1 debe ser α τ (α) τ( ) = 2 2 Veamos ahora que τ (α + β) = τ (α) + τ (β) Si α 6= β, por el razonamiento anterior: [[1, α], [1, β], [0, 1], [1, (α + β)/2] = −1 Entonces aplicando π es: [1, τ (α)], [1, τ (β)], [0, 1], [1, τ ((α + β)/2)] = −1 luego al ser: [1, τ (α)], [1, τ (β)], [0, 1], [1, (τ (α) + τ (β))/2] = −1 es: τ( α+β τ (α) + τ (β) )= 2 2 Pero, τ( α+β τ (α + β) )= 2 2 luego τ (α + β) = τ (α) + τ (β) Si α = β, es τ (2α) 2α = τ ( ) = τ (α) ⇒ τ (2α) = 2τ (α) = τ (α) + τ (α) 2 2 Para probar que τ transforma producto en producto, necesitamos un resultado adicional: τ (α2 ) = (τ (α))2 . Usando la segunda igualdad y el razonamiento usado ya dos veces: En efecto, ∀α, β ∈ K, α + β 6= 0, se cumple que (?) 2τ (α)τ (β) 2αβ = τ( ) τ (α) + τ (β) α+β Tomando α + β = 1 (con lo que α + β 6= 0) y para α 6= 1/2, es τ (α + β) = τ (α) + τ (β) = τ (1) = 1, y de (?) se tiene 2τ (α)(1 − τ (α)) = 2(τ (α) − (τ (α))2 ) = τ ( 2α(1 − α) ) = 2(τ (α) − τ (α2 )) 1 de donde se deduce que (τ (α))2 = τ (α2 ) como querı́amos demostrar. Si α = 1/2, se tiene τ ((1/2)2 ) = τ (1/4) = τ ( 1/2 τ (1/2) 1/2 )= = = 1/4 = (τ (1/2))2 2 2 2 174 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES Entonces (τ (α + β))2 = τ ((α + β)2 ) y: (τ (α) + τ (β))2 = (τ (α))2 + (τ (β))2 + 2τ (α)τ (β) = τ (α2 + β 2 + 2αβ) = τ (α2 ) + τ (β 2 ) + τ (2αβ) de donde se deduce 2τ (α)τ (β) = τ (2αβ) ⇒ τ (α)τ (β) = τ (2αβ) = τ (αβ) 2 Por tanto τ es automorfismo de cuerpos y en consecuencia si el punto X tiene coordenadas [α1 , α2 ] en la referencia {A0 , A1 ; U }, si α1 = 0, X = A0 = [1, 0] y π(X) es A00 y tiene también coordenadas [1, 0], y si α1 6= 0, X = [α0 /α1 , 1], entonces π(X) es [τ (α0 /α1 ), 1] = [τ (α0 )/τ (α1 ), 1] = [(τ (α0 ), τ (α1 )], luego la aplicación τ - semilineal ϕ que tiene matriz µ ¶ 1 0 0 1 respecto de las bases normalizadas asociadas a las referencias {A0 , A1 ; U }, y {A00 , A01 ; U 0 } verifica que [ϕ] = π. Y queda probado el teorema. Observemos que el automorfismo depende en principio de la referencia elegida, la prueba de que no lo hace es la siguiente: Proposición 5.3.5.– El automorfismo τ del teorema anterior no depende de la elección de {A0 , A1 ; U } en P, Demostración: Elijamos dos referencias en P, {A0 , A1 ; U }, {B0 , B1 ; V } y llamemos π(Ai ) = A0i , π(Bi ) = Bi0 , π(U ) = U 0 , π(V ) = V 0 y si P ∈ P tiene coordenadas [x0 , x1 ], [t0 , t1 ] en las referencias {A0 , A1 ; U } y {B0 , B1 ; V } respectivamente y π(P ) tiene coordenadas [y0 , y1 ]y[z0 , z1 ] en las referencias {A00 , A01 ; U 0 }y {B00 , B10 ; V 0 } respectivamente, se verifica que, si los automorfismos asociados a π en las dos parejas de referencias son τ y σ, [y0 , y1 ] = π[x0 , x1 ] = [τ (x0 ), τ (x1 )] [z0 , z1 ] = π[t0 , t1 ] = [σ(t0 ), σ(t1 )] por otra parte, por las fórmulas de cambio de referencia en P es µ ¶ µ ¶ t0 x0 ρ =M t1 x1 y aplicando las fórmulas de cambio de referencia en P0 en sentido contrario a π(P ), se tiene µ ¶ µ ¶ y0 z0 µ =N y1 z1 y aplicando σ a la primera de las ecuaciones, y sustituyendo las y y z en la segunda se obtiene: 5.3. COLINEACIONES µ σ(ρ) σ(t0 ) σ(t1 ) 175 ¶ µ σ(x0 ) σ(x1 ) = σ(M ) ¶ µ ,µ τ (x0 ) τ (x1 ) ¶ µ =N σ(t0 ) σ(t1 ) ¶ Substituyendo y agrupando los factores de proporcionalidad: µ ¶ µ ¶ τ (x0 ) σ(x0 ) λ =P τ (x1 ) σ(x1 ) (con λ variable según el punto y P = N σ(M ) ). Como τ y σ son automorfismos, es τ (1) = σ(1) = 1 , τ (0) = σ(0) = 0 , luego si µ ¶ a b P = c d es µ λ1 µ λ2 1 0 0 1 ¶ ¶ µ =P µ λ3 µ =P 1 1 ¶ 1 0 µ a c = ¶ 0 1 µ b d = ¶ µ =P 1 1 ¶ ⇒ c = 0, a = λ1 ¶ ⇒ b = 0, d = λ2 ¶ ⇒ λ1 = λ2 = λ3 luego P se puede tomar como µ y µ λ de donde τ (y0 ) τ (y1 ) 1 0 0 1 ¶ ¶ µ = σ(y0 ) σ(y1 ) ¶ τ (y0 ) σ(y0 ) y0 y0 = ⇒ τ ( ) = σ( ), ∀y0 , y1 ⇒ τ = σ τ (y1 ) σ(y1 ) y1 y1 Para probar el teorema general demostraremos tres resultados previos, el primero establece que toda colineación induce colineaciones entre las rectas y sus imágenes, y los dos últimos prueban que los automorfismos asociados a estas colineaciones entre rectas coinciden. Utilizando la proposición anterior podrı́amos suprimir uno de los lemas, pero no merece la pena porque al no hacerlo tenemos ası́ otra prueba geométrica de dicha proposición cuando la recta en que trabajamos se sumerge en un espacio de dimensión mayor que uno. Lema 5.3.6.– Si π : P −→ P0 es una colineación y dim(P) > 1,y si r es una recta de P la aplicación restringida: π|r : r −→ π(r) es una proyectividad de Staudt. 176 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES Demostración: π|r es biyección y conserva las cuaternas armónicas como hemos visto en 2 de 5.3.2 Lema 5.3.7.– Sea π : P −→ P0 una proyectividad de Staudt, sean r y s dos rectas de P con un punto común, y sean R = {A, B; C}, R0 = {A0 , B 0 ; C 0 } dos referencias de r y s, ninguna de las cuales contiene a r ∩ s, y tales que A + A0 , B + B 0 , C + C 0 concurren en un punto O, entonces las proyectividades π|r : r −→ π(r), π|s : s −→ π(s) tienen el mismo automorfismo asociado respecto a las referencias R y R0 respectivamente. Demostración: Sea E = r + s, E es un plano de P y tomando la perspectividad de r en s de vértice 0 en E, φO , un punto X de coordenadas [x0 , x1 ] en R se transforma en φO (X) = (O + X) ∩ s de coordenadas [x0 , x1 ] en R0 . Por otra parte si τ es el automorfismo asociado a π|r , π(X) tiene coordenadas [τ (x0 ), τ (x1 )] en π(R), y si σ es el automorfismo asociado a π|s , π(φO (X)) tiene coordenadas [σ(x0 ), σ(x1 )] en π(R0 ). Pero ∀ Y ∈ r, π(φO (Y )) = π((O + Y ) ∩ s) = (π(O) + π(Y )) ∩ π(s) = φπ(O) (π(Y )) Donde φπ(O) es la perspectividad en π(E) de vértice π(O), por tanto esta perspectividad transforma la referencia π(R) en la π(R0 ), y el punto π(X) de coordenadas [τ (x0 ), τ (x1 )] en π(R) en el φπ(O) (π(x)) = π(φO (X)) cuyas coordenadas en π(R0 ) deben ser al tiempo, [τ (x0 ), τ (x1 )] y [σ(x0 ), σ(x1 )], entonces: ∀x0 , x1 ∈ K, [τ (x0 ), τ (x1 )] = [σ(x0 ), σ(x1 )] ⇒ ⇒ ∃ρ ∈ K, τ (x0 ) = ρσ(x0 ), τ (x1 ) = ρσ(x1 ) Tomando x0 = 1, x1 = x, se sigue ahora que τ = σ Lema 5.3.8.– Sea π : P −→ P0 una proyectividad de Staudt, sean r y s dos rectas de P y sean R = {A, B; C}, R0 = {A0 , B 0 ; C 0 } dos referencias de r y s, entonces las proyectividades π|r : r −→ π(r), π|s : s −→ π(s) tienen el mismo automorfismo asociado respecto a las referencias R y R0 respectivamente. Demostración: Si r y s son rectas distintas, tomamos un punto P ∈ r y otro Q ∈ s no incluidos en las referencias seleccionadas y distintos de r ∩ s (dejamos al lector las sutilezas del cuerpo base Z/(3)) y llamamos t = P +Q, por proyección desde un punto del plano t + r no contenido ni en t ni en r, podemos construir una referencia en t R00 = {A00 , B 00 ; C 00 }, entonces los automorfismos correspondientes a r, R y t, R00 coinciden por el lema anterior, ası́ solo falta demostrar que coinciden también con el asociado a s, R0 , aquı́ la situación es la siguiente: Dos rectas s y t con un punto común Q y una referencia en cada recta, R0 = {A0 , B 0 ; C 0 }, R00 = {A00 , B 00 ; C 00 } ninguna de las cuales contiene a Q, pero ahora no hay una perspectividad que lleve una a la otra. Ahora bien si llamamos u = (A0 + B 00 ) ∩ (A00 + B 0 ) + (A0 + C 00 ) ∩ (A00 + C 0 ) 5.3. COLINEACIONES 177 s C’ B’ A’ u Q A’’ B’’ C’’ t Figura 5.5: Dadas dos rectas s y t con un punto común Q referencias en ellas, R0 = {A0 , B 0 ; C 0 }, R00 = {A00 , B 00 ; C 00 } ninguna de las cuales contiene a Q, existe una composición de dos perspectividades que lleva R0 sobre R00 el producto de las perspectividades de s en u de vértice A00 y de u en t de vértice A0 si las lleva (ver la figura 5.5), luego los automorfismos asociados coinciden. Teorema 5.3.9.– Teorema de Staudt en dimensión > 1 (charactK 6= 2) Si π : P −→ P0 es una proyectividad de Staudt y dim(P) > 1,es decir si π induce un isomorfismo entre los retı́culos de subespacios de P y P0 existe un automorfismo τ de cuerpos y un isomorfismo τ - semilineal ϕ entre los espacios vectoriales asociados, tal que π = [ϕ] Demostración: En efecto, tomamos una referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U } en P y su imagen por π, R0 = {P00 , . . . , Pn0 ; U 0 }, que es una referencia en P0 . Veremos que existe un automorfismo τ de K tal que si el punto P tiene coordenadas [α0 , . . . , αn ] en R, π(P ) tiene coordenadas [τ (α0 ), . . . , τ (αn )] en R0 . Para ello, observemos que π induce una proyectividad de Staudt entre Pi +Pj y Pi0 + Pj0 , luego existe τij ∈ Aut(K) tal que si Q ∈ Pi + Pj tiene en la referencia 0 {Pi , Pj ; Uij } las coordenadas [α0 , α1 ], π(Q) tiene, en la referencia {Pi0 , Pj0 ; Uij }, las coordenadas [τij (α0 ), τij (α1 )]. Pero τij es independiente de i, j, es decir τij = τ ∀i, j, entonces se verifica que: P tiene coordenadas [α0 , . . . , αn ] en R si y solo si ∀i, j Pij tiene coordenadas [αi , αj ] en {Pi , Pj ; Uij } (ver 4.3) ; entonces si P 0 = π(P ), Pij0 tiene coordenadas 0 [τ (αi ), τ (αj )] en {Pi0 , Pj0 ; Uij } , condición equivalente a que P 0 = π(P ) tenga por coordenadas [τ (α0 ), . . . , τ (αn )] en R0 . De lo visto en esta sección es claro que el teorema anterior se puede enunciar 178 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES también diciendo que: Dado un espacio proyectivo P sobre un cuerpo K y una referencia R de P, hay tantas colineaciones de P que dejan invariante R como automorfismos de K Vistos los resultados de esta sección omitiremos en lo sucesivo mencionar las rectas de isomorfismos semilineales y hablaremos de proyectividades de Poncelet para designar indistintamente las composiciones de perspectividades y las rectas de isomorfismos y de colineaciones ´ó proyectividades de Staudt para señalar las rectas de isomorfismos semilineales y los isomorfismos de retı́culos de subespacios. 5.4. Afinidades y Proyectividades Hemos comprobado (v. 3.5) que un espacio afı́n A se puede sumergir en un espacio proyectivo, que se obtiene añadiendo a A su subespacio de direcciones, al que designamos por A∞ y que no es otra cosa que el espacio proyectivo asociado al espacio vectorial asociado a A. Comprobaremos en esta sección, que las afinidades se extienden , de modo natural, a proyectividades que conservan el hiperplano del infinito. Para ello, si (f, ϕ) es una afinidad del espacio A, espacio afı́n de espacio vectorial asociado V , recordemos que f : A −→ A es una biyección, ϕ : V −→ V es un isomorfismo y se verifica que ∀A, B ∈ A −→ −→ f (A)f (B)= ϕ(AB) Tomemos en los espacios A y P = A referencias asociadas, esto es RP = {P0 , . . . , Pn ; U }, referencia en P de base normalizada asociada {v0 , . . . , vn } y RA = {P0 ; v1 , . . . , vn }, referencia asociada en A. De este modo, el punto de A de coordenadas (x1 , . . . , xn ) tiene en P las coordenadas [1, x1 , . . . , xn ] y el hiperplano del infinito es el x0 = 0. Entonces, si f (P0 ) tiene coordenadas (α0 , . . . , αn ) en la referencia RA y M = (aij ) es la matriz de ϕ en la base {v1 , . . . , vn } de V , (f ϕ) tiene como ecuaciones:      1 0.........0 1 1  x01   α1   α11 . . . α1n       x1   ..  =  ..   ..  .. ..  .   .  .  . . x0n αn αn1 ... αnn xn Si consideramos el endomorfismo del espacio W = K × V de matriz   0.........0 1  α1 α11 . . . α1n    M = .  .. ..  ..  . . αn αn1 . . . αnn 5.4. AFINIDADES Y PROYECTIVIDADES 179 este endomorfismo, al que llamaremos ϕ, es un automorfismo e induce por tanto una proyectividad [ϕ] que verifica las propiedades siguientes: 1. ∀P ∈ A ⊂ P = A, [ϕ](P ) = f (P ) En efecto, si P tiene coordenadas (a1 , . . . , an ) en A, sus coordenadas en P son [1, a1 , . . . , an ] y las de [ϕ](P ) son [1, a01 , . . . , a0n ] con    ρ  1 a01 .. .       =M   a0n 1 a1 .. .      an que son exactamente las de f (P ) en virtud de las ecuaciones de la afinidad. 2. ∀v ∈ V, [ϕ][v] = [ϕ(v)] En efecto, v ∈ V se identifica a (0, v) coordenadas  0  b1  M .  .. ∈ K × V = W y [ϕ(v)] tiene de      bn si v tiene coordenadas (b1 , . . . , bn ). Luego [ϕ(v)] = [(0, ϕ(v))] (que se identifica a [ϕ(v)]). 3. En consecuencia, [ϕ] extiende a ϕ a una proyectividad con [ϕ](A∞ ) ⊂ A∞ y lo hace de modo intrı́nseco ya que , aunque hemos construido [ϕ] usando una referencia, en (1) y (2) se prueba que [ϕ] no depende de su construcción. Recı́procamente, si π : A −→ A es una proyectividad y π(A∞ ) ⊂ A∞ y en consecuencia π(A) ⊂ A , π induce una afinidad . Podemos hacer una prueba intrı́nseca, pero también se puede proceder (y es mas fácil) como sigue: Tomando las referencias señaladas al principio, π tiene una ecuación:    y00 a00    ρ  ...  =  ... yn0 an0 ... ...  a0n ..   .  ann  y0 ..  .  yn i Como π(y0 = 0) = (y00 = 0) y es y00 = a01 y1 + · · · + a0n yn , al ser π(0, . . . , 1 , . . . , 0) ∈ (y0 = 0) ⇒ a0i = 0 ∀i 1 ≤ i ≤ n. Dado que la matriz de π es regular, es a00 6= 0 y como esta definida salvo un factor de proporcionalidad, se puede 180 CAPÍTULO 5. PROYECTIVIDADES dividir por a00 con lo cual la ecuación de π es  1 0 ... 0  a10 a11 . . . a1n  ρ . ..  .. . an0 an1 . . . ann también    y0    ..   .   yn Entonces, si P ∈ A y tiene coordenadas afines (x1 , . . . , xn ), P tiene coordenadas proyectivas [1, x1 , . . . , xn ] y π(P ) tiene coordenadas proyectivas [y00 , . . . , yn0 ] dadas por    0    1 y0 a00 . . . a0n    ..   .. ..   x1  ρ .  =  . ..  .   .  yn0 an0 . . . ann xn de donde se deduce ρy00 = 1 y si llamamos x0i = ρyi0 se      1 a . . . a 00 0n  x01      . ..    ..  =  ..   .  .   an0 . . . ann x0n tiene  1 x1   ..  .  xn que son las ecuaciones de una afinidad, luego π : A −→ A es una afinidad con lo cual hemos probado que si A ⊂ A, las afinidades de A son exactamente las proyectividades de A que dejan invariante el hiperplano del infinito. Se pueden definir de modo obvio las transformaciones semiafines, como pa−→ res (f, ϕ) donde f : V −→ V es un automorfismo τ - semilineal y f (A)f (B)= ~ ϕ(AB). Entonces, teniendo en cuenta la relación entre dependencia lineal y dependencia afı́n, se puede probar que f es semifinal si y solo si conserva la dependencia e independencia afines (Teorema fundamental de la Geometrı́a afı́n). Capı́tulo 6 Clasificación de proyectividades 6.1. Equivalencia lineal de endomorfismos Sea K un cuerpo llamaremos, como es usual, GLn (K) al grupo de matrices con elementos en K y determinante distinto de cero; también llamaremos gln (K) a la K-álgebra de matrices n × n con elementos en K (inversibles o no). Si V es un espacio vectorial de dimensión n, la elección de una base en V , B, induce un isomorfismo de K-álgebras: ϕB End(V ) ' gln (K) que asocia a cada endomorfismo su matriz en la base B, y que se restringe a un isomorfismo de grupos: ϕB Aut(V ) ' GLn (K) Si B y B 0 son dos bases de V y M es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B 0 en la base B, tenemos un diagrama conmutativo: (ver figura 6.1 (I)) donde ψM (P ) = M −1 P M . Ası́: matrices conjugadas en gln (K) (o en GLn (K)) son matrices del mismo endomorfismo (o automorfismo) de V , pero calculadas en distintas bases. Recı́procamente, podemos considerar también el diagrama conmutativo de la figura 6.1(II), donde δBB 0 (f 0 ) = δf 0 δ −1 , siendo δ el automorfismo de V que transforma la base B en la B 0 . Entonces: endomorfismos (o automorfismos) conjugados de V tienen la misma matriz respecto a bases adecuadamente elegidas. Diremos que dos endomorfismos f, g de V son linealmente equivalentes cuando verifican una de las siguientes condiciones equivalentes: 1. Son conjugados, es decir existe un automorfismo de V , h, tal que : g = h−1 f h 181 182 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES ϕΒ−1 gln(K) ϕΒ ψΜ End(V) ϕΒ’ gln(K) (I) End(V) δBB’ gln(K) ϕΒ’−1 End(V) (II) Figura 6.1: Cambios de base y matrices de endomorfismos 2. Si P y Q son las matrices de f y g respecto a una base B, existe una matriz inversible M tal que: Q = M −1 P M 3. Existen bases B1 , B2 tales que la matriz de f en B1 coincide con la matriz de g en B2 Vamos a recordar aquı́ la caracterización numérica de la equivalencia lineal de endomorfismos y a describir las clases de equivalencia lineal en Aut(V ) cuando el cuerpo base es arbitrario. Para ello dado un automorfismo ϕ de V ; vamos a buscar una base en la cual ϕ tenga una matriz que sea lo mas simple posible, y que sea calculable en términos de propiedades algebraicas de ϕ. Consideramos la aplicación δ : K[x] −→ End(V ) dada por δ(x) = ϕ, y en general para cada polinomio p(x) = a0 +a1 x+· · ·+as xs por: δ(p(x)) = p(ϕ) = a0 1V + a1 ϕ + · · · + as ϕs . Respecto de ella, señalaremos lo que sigue: Notas 6.1.1.– 6.1.1.1. - End(V ) es una K-álgebra no conmutativa, pero pese a ello un homomorfismo de K-álgebras, K[x] −→ End(V ) queda unı́vocamente determinado por la imagen de x. Como K[x] es conmutativo, Im(δ) es una subálgebra conmutativa de End(V ), cuyos elementos tienen la expresión general: a0 1V + a1 ϕ + · · · + ar ϕr En lo sucesivo, omitiremos 1V y escribiremos a0 + a1 ϕ + · · · + ar ϕr o mas generalmente p(ϕ) si p(x) es el polinomio a0 + a1 x + · · · + ar xr . 6.1.1.2. - Dado que End(V ) es de dimensión finita como K - espacio vectorial y K[x] tiene dimensión infinita, Ker(δ) 6= (0), Ker(δ) es un ideal principal de K[x] (pues K[x] es dominio de ideales principales) luego Ker(δ) = (m(x)), donde m(x) es el polinomio mónico de mı́nimo grado tal que m(ϕ) = 0, este polinomio recibe el nombre de polinomio mı́nimo de ϕ. Ası́ K[x]/(m(x)) ' Im(δ) 6.1. EQUIVALENCIA LINEAL DE ENDOMORFISMOS 183 En lo sucesivo, se representará a Im(δ) por K[ϕ]. K[ϕ] es un cuerpo si y solo si m(x) es un polinomio irreducible en K[x] y en este caso, V es también espacio vectorial sobre K[ϕ] con la operación p(ϕ).v = p(ϕ)(v), en particular, ϕ.v = ϕ(v) 6.1.1.3. - Observemos que si L es un subespacio de V como K- espacio vectorial, en general L no es subespacio de V considerado como K[ϕ] - espacio vectorial; para que esto suceda es necesario y suficiente que ∀p(x) ∈ K[x], ∀v ∈ L p(ϕ).v ∈ L En particular, como x ∈ K[x] debe ser ϕ(v) ∈ L, ∀v ∈ L ⇒ ϕ(L) ⊂ L. Recı́procamente si ϕ(L) ⊂ L es ∀v ∈ L, ∀n, ϕn (v) ∈ L y, por tanto, p(ϕ).v ∈ L, ∀v ∈ L, ∀p(x) ∈ K[x]. En consecuencia L es K[ϕ] - subespacio de V si y solo si L es invariante por ϕ. 6.1.1.4. - Si el polinomio mı́nimo m(x) de ϕ factoriza en factores irreducibles m(x) = q1 (x)r1 . · · · .qt (x)rt es: 1. V = Ker(q1 (ϕ)r1 ) + · · · + Ker(qt (ϕ)rt ) y la suma es directa. 2. Los subespacios Ker(qi (ϕ)ri ), son invariantes por ϕ. 3. Si Bi es una base de Ker(qi (ϕ)ri , 1 ≤ i ≤ t, los conjuntos {Bi }1≤i≤t son disjuntos, y B = B1 ∪ · · · ∪ Bt , es una base de V 4. La matriz de ϕ en la base B es de la forma M = diag(M1 . . . Mt ) donde Mi es la matriz de ϕ restringido a Ker(qi (ϕ)ri ) Teniendo en cuenta este resultado, nos podemos limitar al caso en que V = Ker(qi (ϕ)ri ), es decir, al caso en que el polinomio mı́nimo de ϕ sea qi (x)ri o sea, suprimiendo el subı́ndice, m(x) = q(x)r , con q(x) irreducible. Distinguiremos el caso en que r = 1 y por tanto m(x) = q(x) es irreducible, K[ϕ] es un cuerpo y V es un K[ϕ] - espacio vectorial, y el caso en que r > 1. En el primero en el que el polinomio mı́nimo de ϕ, q(x) = a0 +a1 x+· · ·+ar−1 xr−1 +xr es irreducible, se verifica que: 1. Si {v1 , . . . , vm } es una base de V como K[ϕ] - espacio vectorial B = {v1 , ϕ(v1 ), . . . , ϕr−1 (v1 ), . . . , vm , ϕ(vm ), . . . , ϕr−1 (vm )} es una base de V como K - espacio vectorial. 184 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES 2. La matriz de ϕ en B es: M = diag(N1 , . . . , Nm ) con     Ni =    0 0 ... 1 0 ... 0 1 ... .. .. . . 0 0 ... 0 0 0 .. . −a0 −a1 −a2 .. . 1 −ar−1        6.1.1.5. - Si el polinomio mı́nimo de ϕ es q(x)t , con q(x) = a0 + a1 x + · · · + ar−1 xr−1 + xr irreducible y t > 1 ,entonces existe una base de V en la cual la matriz de ϕ es de la forma: M = diag(P1 . . . Ps ) donde cada matriz Pi es de la forma:  A 0  E A   .. ..  . .   0 0 0 0 ... ... 0 0 .. . ... A ... E 0 0 .. .       0  A Con:    A=  0 1 .. . 0 0 .. . ... ... 0 0 .. . −a0 −a1 .. . 0 0 ... 1 −ar−1       , E =    0 0 .. . 0 0 .. . ... ... 0 0 .. . 1 0 .. . 0 0 ... 0 0      Definición 6.1.2.– La base U1 ∪ . . . ∪ Ut1 +...+tt se llama base de Jordán de ϕ y la matriz de ϕ en esta base se llama matriz de Jordán de ϕ Si llamamos orden de P al número de cajas r × r, el orden de P es h si P corresponde a un vector de Ker(q(ϕ)h ). Entonces como: dimΣ (V /Ker(q(ϕ)t−1 ) = dimΣ (V ) − dimΣ (Ker(q(ϕ)t−1 )) y por la relación entre Σ - bases y K - bases que es dimK (L) = r.dimΣ (L), podemos afirmar que el número de matrices P de orden t es dimK (V ) − dimK (Ker(q(ϕ)t−1 )) r 6.1. EQUIVALENCIA LINEAL DE ENDOMORFISMOS 185 el de matrices de orden t − 1 es dimΣ (V /Ker(q(ϕ)t−1 ) − dimΣ (Ker(q(ϕ)t−1 )/Ker(q(ϕ)t−2 ) = dimK (V /Ker(q(ϕ)t−1 )) − dimK (Ker(q(ϕ)t−1 /Ker(q(ϕ)t−2 )) r y ası́ sucesivamente; por tanto si llamamos pi = dimK (Ker(ϕ)i ) qi = dimK (Ker(ϕ)i )/Ker(ϕ)i−1 = pi − pi−1 ti = qi −qr i−1 La matriz de Jordán de ϕ, queda unı́vocamente determinada por el polinomio q(x) y los números {r, t1 , t2 , . . . , tt }. Volviendo al caso general, separando cada uno de los factores qi (x)ri , la matriz de Jordán de ϕ queda unı́vocamente determinada por la sucesión de polinomios q1 (x), q2 (x), . . . , qs (x) y los números {(t11 , . . . , t1r1 ), . . . , (ts1 , . . . , tsrs )}. Dos endomorfismo son entonces equivalentes cuando tienen la misma matriz de Jordán, es decir cuando coinciden para ellos los factores irreducibles de sus polinomios mı́nimos y los números tij . El problema es la imposibilidad, en general, de calcular los factores irreducibles del polinomio mı́nimo, por ello explicaremos cómo construir otro sistema completo de invariantes que sean calculables. Se prueba que si ϕ es un endomorfismo de un K-espacio vectorial V , existe una base de V en la cual ϕ tiene una matriz de la forma: diag(R1 , . . . , Rm donde cada Rj es de la forma:   0 0 ... 0 −cj0  1 0 ... 0 −cj1     0 1 ... 0 −cj2  Rj =    .. ..  .. ..  . .  . . 0 0 . . . 1 −cjtj −1 verificando además que si: Φj (x) = cj0 + cj1 x + · · · + cjtj −1 x + xtj , ∀j 1 ≤ j ≤ s. 1. Φ1 (x) es el polinomio mı́nimo de ϕ 2. Φj (x) | Φj−1 (x), ∀j 2 ≤ j ≤ s 3. Φ1 (x).Φ2 (x) . . . Φs (x) es el polinomio caracterı́stico de ϕ Definición 6.1.3.– Los polinomios Φj (x) se llaman factores invariantes de ϕ. Y la matriz diag(R1 , . . . , Rs ) se llama segunda matriz de Jordan de ϕ Los Φi (x) se pueden calcular a partir de la matriz de ϕ, del modo siguiente: Si M es la matriz de ϕ en una base dada, y sean: ∆i (x) = ∆i (M − xIn ), ∀i, 0 ≤ i ≤ n + 1 186 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES los máximos comunes divisores de los menores de orden i de la matriz (M −xIn ). Entonces los factores invariantes Φj (x) de ϕ son: Φj (x) = ∆n+1−j (x) , ∀j 1 ≤ j ≤ n ∆n−j (x) En resumen: 1. Dado un endomorfismo ϕ del espacio vectorial V de dimensión n + 1 de matriz M , si formamos la matriz M − xI, calculamos para cada i el m.c.d. ∆i de los menores de orden i de M − xI, construimos todos los cocientes ∆i /∆i−1 y llamamos Φ1 (x) = det(M − xI)/∆n , Φ2 (x) = ∆n /∆n−1 , etc, y cada Φi (x) = ci0 + ci1 x + · · · + cini −1 xni −1 + xni , entonces hay una base de V respecto de la cual la matriz de ϕ es diag(R1 , . . . , Rs ) con     Ri =    0 0 1 0 0 1 .. .. . . 0 0 ... ... ... 0 0 0 .. . −ci0 −ci1 −ci2 .. . ... 1 −cini −1        2. En consecuencia los endomorfismos ϕ1 y ϕ2 son conjugados en End(V ) ( las matrices M1 y M2 son conjugadas en gln(K) ) si y solo si tienen los mismos factores invariantes Φi (x) 3. A la familia de factores invariantes le corresponde una descomposición V = L1 + · · · + Lh donde la suma es directa, cada Li es invariante y ϕ|Li tiene polinomio mı́nimo a Φi (x). (Obsérvese que no es cierto que Li = Ker(Φi (ϕ)), puesto que Φ1 (x) = m(x), es V = Ker(Φ1 (ϕ))). 4. El hecho de que Li 6= Ker(Φi(x) ) hace que desgraciadamente no sea fácil encontrar la base en la cual la matriz de ϕ es la matriz N . No conocemos otro método que seguir el camino indicado por el método teórico. Nosotros usaremos el teorema solo a efectos de clasificación y por ello no nos preocupamos aquı́ de este tipo de problemas. 5. El teorema de Jordan sobre un cuerpo algebraicamente cerrado proporciona, para cada matriz M , una descomposición M =D+N donde D es diagonalizable, N es nilpotente y DN = N D; este resultado hace que se pueda utilizar para calcular la exponencial de M . Las formas canónicas descritas aquı́ no tienen la propiedad anterior, no obstante si K = R ó K = Z/(p), se pueden usar para efectuar cálculos similares a los efectuados con cuerpos algebraicamente cerrados 6.2. GRUPO LINEAL DE UN CUERPO FINITO 6.2. 187 Grupo lineal de un cuerpo finito Si Fq es el cuerpo finito de q elementos y V un espacio vectorial de dimensión n sobre Fq , V ' Fnq , y por tanto tiene #(V ) = q n vectores. Fijada una base de V , B = {v1 , . . . , vn }, un automorfismo de V queda unı́vocamente determinado por las imágenes de los vectores de B, que necesariamente deben formar otra base, por tanto el número de automorfismos de V coincide con el número de sus bases. Veamos cuantas bases B 0 se pueden construir en V : El primer vector de B 0 , w1 , solo tiene que ser distinto de cero; se puede pues elegir de q n − 1 formas. Elegido el primero, hay q vectores proporcionales a el, luego el segundo w2 se puede elegir de q n − q formas distintas, Ası́ elegidos w1 , . . . , wr el vector wr+1 hay que elegirlo fuera de L(w1 , . . . , wr ); como este espacio tiene q r vectores, hay q n − q r posibilidades de elegir wr+1 ), luego #(GLn (Fq ) = (q n − 1).(q n − q). · · · .(q n − q n−1 )) = (q n − 1).(q n−1 − 1). · · · .(q − 1).q.q 2 . · · · .q n−1 n n(n−1) Y 2 = q (q i − 1) i=1 Ası́ por ejemplo #(GL2 (F3 ) = 3.(3 − 1).(9 − 1) = 48; #(GL3 (F3 ) = 11,232. Se llama Grupo lineal especial n-dimensional y se representa por SLn (K), al compuesto por las matrices n × n de determinante uno . Como la aplicación: det : GLn (K) −→ K ∗ tiene por núcleo Ker(det) = SLn (K), el grupo especial es un subgrupo invariante del lineal, y como esta aplicación es sobre : GLn (K)/SLn (K) = K ∗ y en consecuencia ∗ #(GLn (K) = #(K ).#(SLn(K) ) ⇒ #(SLn(K) = q n(n−1) 2 n Y (q i − 1) i=2 Calculemos ahora los centros de estos grupos 1. El centro de GLn (K), ∀K 6= F2 , es Z(GLn (K)) = {a.In |a ∈ K ∗ }. En efecto, para demostrarlo veamos el siguiente resultado: Si dim(V) ≥ 2, v y w son vectores l.i. de V y ϕ, ψ son dos endomorfismos de V tales que ϕ(v) = λv, ϕ(w) = µw (λ 6= µ), ψ(v) = w, ψ(w) = v, entonces ϕ y ψ no conmutan. En efecto: ϕψ(v) = ϕ(w) = µw ; ψϕ(v) = ψ(λv) = λw 188 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES Entonces si ψ ∈ Aut(V ) y existe v ∈ V con ψ(v) y v linealmente independientes, ψ ∈ / Z(Aut(V )), puesto que si llamamos w = ψ(v), podemos construir otro automorfismo ϕ tal que ϕ(v) = λv, ϕ(w) = µw (λ 6= µ salvo si K = F2 ) y ϕ no conmuta con ψ. Por tanto, si ψ ∈ Z(Aut(V )) se verifica que, ∀v, ψ(v) depende linealmente de v, luego ψ(v) = λv .v: pero si λv 6= λw , ψ ∈ / Z(Aut(V )) por lo visto antes, luego ψ ∈ Z(Aut(V )) ⇒ ∃λ con ψ(v) = λv ∀v ⇒ ψ = λ1V . 2. También si K 6= F2 , Z(SLn (K)) = {aIn |an = 1} ya que se pude repetir la demostración anterior para este grupo, y comprobar que los elementos de Z(SLn (K)) son de la forma aIn , y como su determinante ha de ser 1, aIn está en SLn (K) si 1 = det(aIn ) = an . Se verifica por tanto que si q 6= 2, Z(GLn (Fq )) ' F∗q y Z(SLn (Fq )) es el grupo de raı́ces n - ésimas de 1 en Fq . Ahora bien : #(Fq ) = q − 1, luego ∀t ∈ F∗q , tq−1 = 1. Entonces, si llamamos d = m.c.d.(n, q − 1), se verifica que : xn = 1 ⇒ xd = 1 y además todas las raı́ces de xd = 1 son distintas. En efecto: Por definición de máximo común divisor d = nα + (q − 1)β y para cada raı́z n-sima de la unidad, an = 1 ⇒ ad = (an )α .(aq−1 )β = 1. Recı́procamente: n ad = 1 ⇒ an = (ad ) d = 1. q−1 Observemos ahora que x = 1 tiene como soluciones a todos los elementos de Fq , luego tiene q − 1 soluciones distintas, y como d|q − 1 xd − 1 es un factor de xq−1 − 1, luego xd − 1 tiene d soluciones distintas en F∗q . Por tanto: #(SLn (Fq )/ZSLn (Fq ) ⇒ #(ZSLn (Fq ))) = d = m.c.d.(q − 1, n) n 1 (n2 ) Y i = q (q − 1) d i=2 El número de clases de conjugación en GLn (Fq ) o en gln (Fq ) se puede computar calculando los polinomios de cada grado que aparecen en Fq [x] ya que el conjunto de clases de conjugación está en correspondencia biunı́voca con las familias de polinomios (Φ1 (x), . . . , Φr (x)) tales que Φr (x) | Φr−1 (x) | . . . | Φ1 (x) grado(Φ1 (x)) + · · · + grado(Φr (x)) = n Por ejemplo, si n = 2 hay solo dos posibilidades 1. grado(Φ1 (x)) = grado(Φ2 (x)) = 1 Φ2 (x) | Φ1 (x) ¾ ½ ⇒ Φ1 (x) = Φ2 (x) = x + a a ∈ Fq 6.2. GRUPO LINEAL DE UN CUERPO FINITO 189 de este tipo hay q clases de matrices µ ¶ a 0 0 a 2. grado(Φ1 (x)) = 2 ⇒ (Φ1 (x)) = x2 + ax + b De este tipo hay q 2 clases de matrices µ ¶ 0 −b 1 −a En el caso de n = 3 hay tres posibilidades 1. grado(Φ1 (x)) = grado(Φ2 (x)) = grado(Φ3 (x)) = 1 Φ3 (x) | Φ2 (x) | Φ1 (x) ¾ ⇒ Φ1 (x) = Φ2 (x) = Φ3 (x) y hay q clases de matrices  a  0 0  0 0 a 0  0 a 2.  ½ grado(Φ1 (x)) = 1  Φ2 (x) = x − a grado(Φ2 (x)) = 2 ⇒ Φ1 (x) = (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab  Φ2 (x) | Φ1 (x) de este tipo hay q 2 clases de matrices   a 0 0  0 0 ab  0 1 a+b 3. grado(Φ1 (x)) = 3 ⇒ Φ1 (x) = x3 + ax2 + bx + c hay q 3 clases de matrices  0  1 0 0 0 1  −c −b  −a Se puede ver fácilmente que, en general, el número de clases no es q+q 2 +· · ·+q r . Ya que en el caso n = 4, el número de clases es q + 2q 2 + q 3 + q 4 . 190 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES 6.3. El grupo general proyectivo Dado un cuerpo K representaremos por P GLn (K) al grupo de las proyectividades de Poncelet de K n+1 y en general si P(V ) es un espacio proyectivo, designaremos con P (P(V )) al grupo de las proyectividades de Poncelet de P(V ). Igual que en el caso vectorial, es claro que: 1. Cada referencia R de P(V ), dim(V ) = n + 1, induce un isomorfismo δR P(V ) ' P GLn (K) 2. Si tenemos dos referencias distintas R y R0 , existe una proyectividad π tal que [P (P(V ))‘P (P(V ))‘P GLn (K)0 ; δR ∼ ‘δRR0 ‘ ∼ δR0 ] donde δR δRR0 = δR0 y δRR0 (τ ) = πτ π −1 . Es decir la conjugación en P (P(V )) significa geométricamente coincidencia de matrices respecto a dos referencias adecuadamente elegidas. Además, de la construcción de las proyectividades como rectas de automorfismos, se deduce que si consideramos la aplicación ∆ GLn+1 (K) −→ P GLn (K) ϕ 7→ [ϕ] ∆ es homomorfismo de grupos y Ker(∆) = {λ,1K n+1 |λ ∈ K ∗ } y según hemos visto en ??, Z(GLn+1 (K)) = {λ,1K n+1 |λ ∈ K ∗ }, luego P GLn (K) ' GLm+1 (K)/Z(GLn+1 (K)) Entonces si π1 = [ϕ1 ] y π2 = [ϕ2 ], π1 y π2 son conjugados si y solo si ∃π = [ϕ] con [ϕ2 ] = π2 = ππ1 π −1 = [ϕ][ϕ1 ][ϕ]−1 = [ϕϕ1 ϕ−1 ] ⇔ ∃λ ∈ K ∗ con λϕ2 = ϕϕ1 ϕ−1 como las matrices de π1 y π2 en la referencia R son las de ϕ1 y ϕ2 en la base normalizada asociada, llamando M1 y M2 a estas matrices, se verifica que: π1 y π2 son conjugados si y solo si existe un λ ∈ K ∗ , tal que las matrices M1 y λM2 tienen los mismos factores invariantes. Por tanto, para clasificar proyectividades, solo tenemos que calcular los factores invariantes de λM en función de los de M y para ello, comenzaremos dando la siguiente definición: Definición 6.3.1.– Si p(x) y q(x) son polinomios de grado r en K[x], se dice que son semejantes si y solo si ∃λ ∈ K ∗ con x λ−r q(λx) = p(x) ⇔ q(x) = λr p( ) λ 6.3. EL GRUPO GENERAL PROYECTIVO 191 Es decir, si p(x) = p0 + p1 x + · · · + pr xr , q(x) = q0 + q1 x + · · · + qr xr λ−r q(λx) = = q0 q1 + r−1 x + · · · + qr xr λr λ p0 + p1 x + · · · + pr xr ⇔ qi = λr−i pi ∀i λ−r (q0 + q1 λx + · · · + qr λr xr ) = Claramente esta relación es de igualdad en K[x] y se verifica que: Proposición 6.3.2.– Si los factores invariantes de la matriz M son Φi (x), con grado(Φi (x)) = gi , los de la matriz λM son λgi Φi (x/λ) y por tanto los factores invariantes de M y λM son semejantes. Recı́procamente si los factores invariantes de M y N son semejantes, con un factor de semejanza común, existe un β ∈ K ∗ tal que M y βN son equivalentes. Demostración: En efecto λM − xI = λ(M − x x I) = λ(M − yI) con y = λ λ Entonces si ϕr (x) es un menor de orden r de M − xI, ϕr (y) es un menor de orden r de M − yI y λr ϕr (y) es un menor de orden r de λ(M − yI), luego los menores de orden r de M − xI y λM − xI son semejantes (con el mismo factor de semejanza λ) y en consecuencia lo son sus máximos divisores comunes que son los factores invariantes. Recı́procamente, si los factores invariantes de M y N son semejantes, con un factor de semejanza común λ, los factores invariantes de M y λ1 N coinciden y por tanto ambas matrices son equivalentes. En estas condiciones, si dado π ∈ P (P(V )) llamamos factores invariantes de π a los de una cualquiera de sus automorfismos representantes, los factores invariantes están determinados salvo un factor de semejanza común y se verifica que: π1 y π2 son conjugados si y solo si tienen factores invariantes semejantes con un factor de semejanza común. Obsérvese que si el cuerpo es algebraicamente cerrado y Φ(x) y Ψ(x) son polinomios semejantes, como Ψ(x) = λ−r Φ(λx), es Ψ(x) = 0 ⇔ Φ(λx) = 0 luego λα es raı́z de Φ(x) si y solo si α lo es de Ψ(x) y además ambas tienen la misma multiplicidad. Por tanto sobre cuerpos algebraicamente cerrados, llamando valores propios y partición de multiplicidades de la proyectividad a los de uno cualquiera de sus representantes, podemos afirmar que: Si π1 y π2 son proyectividades con valores propios (α1 , . . . , αh ) y (β1 , . . . , βl ), π1 y π2 conjugadas ⇔ es h = l y existen un λ ∈ K ∗ y una biyección: σ : {1, . . . , h} −→ {1, . . . , l} tal que ασ(i) y βi tienen la misma partición de multiplicidades ∀i y ασ(i) = λβi . 6.3.1. Proyectividades de P1K y P2K Hay que distinguir los casos de K algebraicamente cerrado y no algebraicamente cerrado, en el primer caso podemos usar valores propios y en el segundo hay que recurrir a los factores invariantes. 192 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES Proyectividades de P1K , con K algebraicamente cerrado 1. Dos valores propios distintos α y β. Aparece el tipo: µ ¶ µ ¶ β α 0 1 0 ∼ λ= 0 β 0 λ α De este tipo hay tantas proyectividades distintas como valores de λ ∈ K, λ 6= 0, λ 6= 1, 2. Un valor propio doble con una sola caja de tamaño dos µ ¶ µ ¶ α 0 1 0 ∼ 1 α 1 1 Hay pues un solo tipo. 3. Un valor propios doble y dos cajas µ ¶ µ α 0 1 ∼ 0 α 0 0 1 ¶ que es la identidad. En este caso todas las proyectividades tienen puntos invariantes, por ser el cuerpo base algebraicamente cerrado, una proyectividad es de tipo 1 si y solo si tiene dos puntos invariantes distintos, si estos puntos son A y B y la proyectividad se representa por π, el numero λ aparece como: [A, B, X, π(X)] = λ, ∀X ∈ P1K − {A, B} Todas las proyectividades involutivas (de cuadrado igual a la identidad) son de este tipo y son conjugadas de la correspondiente a λ = −1. Una proyectividad es del tipo 2 si y solo si tiene un único punto doble. Proyectividades de P1K con K no algebraicamente cerrado Recurrimos a los factores invariantes 1. Φ1 (x) = Φ2 (x) = x − a. La matriz es µ ¶ µ ¶ a 0 1 0 ∼ 0 a 0 1 que es la identidad. 2. Φ1 (x) = x2 − ax − b. La matriz es µ Podemos distinguir dos casos 0 1 b a ¶ 6.3. EL GRUPO GENERAL PROYECTIVO 193 a) a = 6 0. Entonces Φ1 (x) es semejante a (a−2 )Φ1 (ax) = x2 − x − b/a2 y la matriz es µ ¶ 0 b/a2 1 1 y hay tantos tipos como valores de b/a2 , es decir como elementos no nulos de K pues si b = 0 la matriz µ ¶ 0 0 1 a no corresponde a una proyectividad. b) a = 0. Entonces Φ1 (x) = x2 − b es semejante a λ−2 Φ1 (λx) = x2 − b/λ2 = x2 − ²2 b con ² = 1/λ. La matriz es µ ¶ 0 b 1 0 y hay tantos tipos como clases de b módulo cuadrados, es decir como 2 elementos del grupo K ∗ /K ∗ . 2 En el caso K = R es #(K ∗ /K ∗ ) = 2 luego solo hay dos clases de proyectividades de este tipo. Proyectividades de P2K con K algebraicamente cerrado 1. Tres valores propios distintos, las matrices son     α 1  ∼  β β/α γ γ/α 2. Dos valores iguales y uno distinto, con dos cajas en el valor propio doble. La matriz es     α 1  ∼  α 1 β β/α 3. Dos valores iguales con una caja, y un valor distinto. La matriz es     α 1  1 α ∼ 1 1  β β/α 4. Un valor triple y una caja. La matriz es     λ 1  1 λ ∼ 1 1  1 λ 1 1 194 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES 5. Un valor triple y dos cajas. La matriz es    λ 1  1 λ ∼ 1 λ 6. Un valor triple y una caja. La matriz es    1 λ ∼  λ λ   1 1   1 1 Proyectividades de P2K con K no algebraicamente cerrado 1. Φ1 (x) = Φ2 (x) = Φ3 (x) = x − a. La matriz es    a  ∼ a  1  1 a 1 2. Φ1 (x) = (x − a)(x − b), Φ2 (x) = x − a. La matriz es   0 −ab  a+b a 0  0 0 0 1 Como a 6= 0, Φ1 (x) ∼ (x−1)(x−a/b) = x2 −(a+b/a)x+b/a y llamando λ = b/a queda   1 0 0  0 0 −λ  0 1 1+λ Φ2 (x) ∼ x−1 3. Φ1 (x) = x3 − ax2 − bx − c. Si a 6= 0, Φ1 (x) ∼ a−3 Φ1 (x/a) = α = b/a2 , β = c/a3 queda  0  1 0 x3 − x2 − (b/a2 )x − c/a3 y llamando 0 0 1  β α  1 Si a = 0, b = 0, Φ1 (x) ∼ λΦ1 (λx) = x3 − c/λ3 si c ∈ K 3 queda   0 0 1  1 0 0  0 1 0 En los casos en que b ∈ / K3 o c ∈ / K 3 solo se puede quitar los factores “ de grado dos y tres” de b y c. En el caso de K = R, ∀c ∈ K, c ∈ R3 y ∀b ∈ K, b ∈ R2 ó −b ∈ R2 . 6.3. EL GRUPO GENERAL PROYECTIVO 6.3.2. 195 Elementos invariantes de una proyectividad Si π : P −→ P es una proyectividad de matriz M en una referencia R y correspondiente a una recta de automorfismos [ϕ], un punto P = [v] de coordenadas [x0 , . . . , xn ] en R es invariante por π si y solo si: π(P ) = P ⇔ [ϕ][v] = [v] ⇔ [ϕ(v)] = [v] ⇔ ∃λ, ϕ(v) = λv ½ ϕ − λ no automorfismo ⇔ ∃λ, (ϕ − λ)(v) = 0 ⇔ ∃λ v ∈ Ker(ϕ − λ) ½ det(ϕ − λ) = 0 ⇔ ∃λ v ∈ Ker(ϕ − λ) Por tanto para la determinación de los puntos invariantes por π se procede como sigue: 1. Hay que calcular los valores propios de π, es decir las soluciones en K de la ecuación , det(M − λI) = 0, λ1 , . . . , λr . 2. Para cada valor λi se resuelve el sistema (M −λi I)(x0 , . . . , xn )t = (0, . . . , 0)t y los puntos cuyas coordenadas pertenecen al espacio solución son invariantes por π. Observemos que puesto que π conserva la suma, si los puntos P1 , . . . , Pr son invariantes por π, el subespacio P1 +· · ·+Pr es invariante por π. Ahora bien, puede ser que un subespacio S sea invariante por π sin contener puntos invariantes. Para el estudio de hiperplanos invariantes, podemos proceder por dos vı́as: Trabajando en forma intrı́nseca, si P = P(V ) y π = [ϕ], el automorfismo ϕ induce un automorfismo ϕ∗ : V ∗ −→ V ∗ , ϕ∗ (f ) = f.ϕ que genera una proyectividad π ∗ : P(V ∗ ) −→ P(V ∗ ) Recordemos que P(V ∗ ) representa al espacio de hiperplanos de P(V ) via la siguiente identificación: Si H es un hiperplano de P(V ), H = P(T ) con T hiperplano de V , entonces H se representa en P(V ∗ ) por el punto [α∗ ] donde α∗ es un generador de: ω(T ) = {v∗ ∈ V ∗ | v∗ (v) = 0 ∀v ∈ T } es decir: Entonces: α∗ (v) = 0 ⇔ [v] ∈ H. π ∗ ([α∗ ]) = [ϕ∗ (α∗ )] = [α∗ .ϕ] y el hiperplano correspondiente a π ∗ ([α∗ ]) en V es ω(α∗ .ϕ) = {v | α∗ ϕ(v) = 0} = {v | ϕ(v) ∈ T } = ϕ−1 (T ) 196 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES luego π ∗ (H) = π −1 (H) por tanto π(H) = H ⇒ π −1 (H) = H ⇒ π ∗ (H) = H es decir, los hiperplanos invariantes por π son los puntos invariantes por π ∗ . Podemos también trabajar en coordenadas, eligiendo una referencia en P(V ), π tiene una matriz M y unas ecuaciones ρyt = M xt . Si H es un hiperplano, tiene una ecuación α0 x0 +· · ·+αn xn = 0 que en términos matriciales es αxt = 0, entonces [y] ∈ π(H) ⇔ ∃[x] ∈ H con π([x]) = [y] ½ ρyt = M xt ⇔ ∃x ∈ H αxt = 0 Eliminando x es xt = ρM −1 yt y ραM −1 yt = 0 ⇔ αM −1 yt = 0 Es decir π(H) tiene por ecuación en R βxt = 0 con β = αM −1 o equivalen−1 temente β t = M t αt , lo cual repite el resultado π ∗ (H) = π −1 (H) ya que la −1 matriz de π ∗ en R∗ es exactamente M t y π ∗ (H) = π(H). Entonces el hiperplano H es invariante si y solo si esta definido indistintamente por las ecuaciones αxt = 0 y αM −1 xt = 0 y estas ecuaciones definen el mismo hiperplano si y solo si existe λ ∈ K tal que α = λαM −1 ⇔ ⇔ ∃λ ∈ K | αM = λα ∗ ∃λ ∈ K | α(M − λI) = 0 ⇔ ½ det(M − λI) = 0 α(M − λI) = 0 Es decir, para calcular los hiperplanos invariantes por π es necesario hacer lo siguiente: 1. Se calculan los valores propios de π, λ1 , . . . , λr como soluciones e K de det(M − λI) = 0 2. Se calculan las soluciones de los sistemas α(M − λi I) = 0 3. Para cada solución (α0 , . . . , αn ), el hiperplano de ecuación (α0 x0 + · · · + αn xn = 0 es invariante. Observemos que puesto que π conserva la intersección, se verifica que si H1 , . . . , Hr son hiperplanos invariantes, su intersección H1 ∩ · · · ∩ Hr es también un hiperplano invariante. Sin embargo no todo subespacio invariante está necesariamente contenido en un un hiperplano invariante. Observemos también que puesto que existe una única proyectividad que transforma una referencia en otra dada, si un subespacio L de dimensión r contiene r + 2 puntos invariantes tales que r + 1 cualesquiera de ellos son independientes, (resp. está contenido en r + 2 hiperplanos invariantes tales que 6.4. HOMOLOGÍAS 197 r + 1 cualesquiera de ellos son independientes), π es la identidad sobre ese subespacio y el subespacio está compuesto de puntos invariantes. (resp. todos los hiperplanos que contienen al subespacio son invariantes): Para el cálculo de subespacios invariantes en general, se observa que si existe r con π r (A) = A, el subespacio generado por A, π(A), . . . , π r−1 (A)) es invariante pues π(A + π(A) + · · · + π r−1 (A)) = π(A + · · · + π r (A) = A Este método da una condición suficiente, que claramente no es necesaria, para que un subespacio sea invariante. Se puede dar un método de construcción general de todos los subespacios invariantes por π, pero para ello necesitaremos utilizar el álgebra exterior y las coordenadas de subespacios. 6.4. Homologı́as Recordemos que una Homologı́a de P es una proyectividad de Poncelet con un hiperplano e de puntos invariantes al que se llama su eje. Vamos a hacer aquı́ un estudio de las homologı́as con los métodos del álgebra lineal que duplica algunos de los resultados obtenidos en el capı́tulo 2 por medios geométricos. Las homologı́as tienen un interés especial porque generan el grupo proyectivo. Proposición 6.4.1.– Si π es una proyectividad de Poncelet de un espacio proyectivo P de dimensión n ≥ 2 distinta de la identidad, las condiciones siguientes son equivalentes: 1. π es una homologı́a 2. Existe un punto C ∈ P tal que todos los hiperplanos que pasan por O son invariantes por π 3. Existe un punto C ∈ P tal que todas las rectas que pasan por O son invariantes por π 4. O bien π es diagonalizable y tiene dos valores propios distintos, uno de los cuales tiene multiplicidad n, ó bien π tiene un único valor propio y su forma de Jordán tiene una caja de tamaño 2 y el reto de tamaño 1 Demostración: Como toda recta por C es intersección de hiperplanos que contienen a C, y todo hiperplano que contiene a C es suma de rectas que contienen a C, las condiciones 2 y 3 del enunciado son equivalentes. Sea π 6= todohiperpl1P una homologı́a de eje e y sea M una matriz de π en una referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U } construida tomando los puntos P0 , . . . , Pn−1 ∈ 198 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES e, como π(Pi ) = Pi , ∀i, 0 ≤ i ≤ n − 1 la matriz M debe ser de la forma:   ρ0 . . . 0 α0  0 ... 0 α1     .. . ..  .. M = . .     0 . . . ρn−1 αn−1  0 ... 0 αn como además [1, . . . , 1, 0] ∈ e y en consecuencia es invariante: ρ(1, . . . , 1, 0)t = M (1, . . . , 1, 0)t ⇒ ρ0 = · · · = ρn−1 = ρ luego dividiendo por ρ  1 ... 0 ... .. .    M =   0 0 0 0 .. . a0 a1 .. . 1 an−1 0 an        Entonces buscando los hiperplanos invariantes correspondientes al valor propio 1   0 ... 0 a0  0 ... 0 a1    α(M − I) = (α0 , . . . , αn )  . =0 . .. ..  ..  . 0 ⇒ 0 an − 1 a0 α0 + · · · + (an − 1)αn = 0 Si π 6= 1, (a0 , . . . , an ) 6= (0, . . . , 1). Luego, el hiperplano de ecuación α0 x0 +· · ·+ αn xn = 0 es invariante si y solo si α0 a0 + · · · + αn−1 an−1 + αn (an − 1) = 0, es decir si y solo si pasa por el punto C de coordenadas [a0 , . . . , an−1 , an − 1]. En consecuencia 1 ⇒ 2 El razonamiento dual prueba que 2 ⇒ 1. Y si observamos la matriz M , vemos que se pueden dar dos casos: 1. an 6= 1, entonces la matriz M es diagonalizable con los valores propios 1, an 6= 1 y el segundo de ellos tiene multiplicidad 1. 2. an = 1, entonces M tiene el valor propio 1 con multiplicidad n + 1 y su forma de Jordán es la indicada en la proposición. Luego 1 ⇒ 3 y la implicación recı́proca es trivial. Definición 6.4.2.– El hiperplano e de puntos invariantes se llama eje de la homologı́a . El punto C vértice del haz de hiperplanos invariantes se llama 6.4. HOMOLOGÍAS 199 centro de la homologı́a . Si C ∈ / e la homologı́a se llama no degenerada , y si C ∈ e se llama degenerada . Como hemos visto en la proposición anterior las homologı́as se pueden caracterizar en términos de sus valores propios y en la demostración hemos visto también la caracterización de las homologı́as degeneradas y no degeneradas: Proposición 6.4.3.– La proyectividad π es una homologı́a no degenerada si y solo si tiene un valor propio con multiplicidad n y otro con multiplicidad 1 y π es diagonalizable, y es una homologı́a degenerada si y solo si tiene un valor propio con multiplicidad n + 1, una caja de tamaño 2 y el resto de tamaño 1 Demostración: Por lo que hemos visto en la prueba de la proposición anterior, si π es una homologı́a se pueden dar dos casos: 1. an 6= 1, entonces tiene un valor propio con multiplicidad n y otro con multiplicidad 1 y O no esta en e, que en la referencia elegida es xn = 0. 2. an = 1, entonces tiene un valor propio con multiplicidad n + 1, una caja de tamaño 2 y el resto de tamaño 1 y O ∈ e Consecuencia 6.4.4.– Fija una referencia del espacio proyectivo, las proyectividades representadas en ella por matrices elementales son homologı́as y en consecuencia toda proyectividad es producto de homologı́as. Demostración: Aunque ya hemos probado esta afirmación en ??, usando el criterio anterior es trivial el resultado Consecuencia 6.4.5.– Dado un hiperplano H de un espacio proyectivo P una proyectividad de Poncelet π de H en si mismo es una homologı́a si y solo si existe otro hiperplano H 0 6= H y dos puntos A, B fuera de H y H 0 y π es composición de las perspectividades de H en H 0 de vértice A y de H 0 en H de vértice B Demostración: Claramente la composición de las dos perspectividades deja invariantes todos los puntos de H ∩ H 0 luego es una homologı́a. El recı́proco lo hemos probado en la sección anterior Proposición 6.4.6.– Todas las homologı́as degeneradas son conjugadas, y hay tantas clases de conjugación de homologı́as no degeneradas como elementos de K ∗ r{1}. Mas aun si λ y µ son los valores propios con multiplicidades respectivas n y 1 de una homologı́a degenerada de eje e y centro C , ∀ P 6= C, P ∈ / e, [C, (C + P ) ∩ e; P, π(P )] = µ/λ Y en consecuencia r = µ/λ es un invariante ( razón de la homologı́a ) que determina la clase de conjugación de la homologı́a. Demostración: 200 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES Si π es una homologı́a degenerada, hemos visto que admite una matriz   α 1 ... 0  0 α ... 0     .. .. ..   . . .  0 0 ... α pero esto significa que admite también la matriz   1 1 ... 0  0 1 ... 0     .. .. ..   . . .  0 0 ... 1 cuyos valores propios son proporcionales a los de la primera y tienen la misma partición de multiplicidad. Luego todas las homologı́as degeneradas admiten la misma matriz y son conjugadas. Si π es una homologı́a no degenerada, podemos elegir siempre una referencia en la que π tenga la matriz diag(λ, . . . , λ, µ) o lo que es lo mismo, diag(1, . . . , 1, r) donde r = λ/µ, en esta referencia:   C es [0, . . . , 1], si P es [a0 , . . . , an ], T = (C + P ) ∩ e = [a0 , . . . , an−1 , 0]  e es xn = 0 y π(P ) es [a0 , . . . , an−1 , ran ] luego ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a0 ¯ ¯ a0 a0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 an ¯ . ¯ 0 ran ¯ ¯ ¯ [C, T ; P, π(P )] = ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a0 ¯ . ¯ a0 a0 ¯ 1 ran ¯ ¯ 0 an ¯ ¯ ¯ ¯ (−a0 )a0 ran ¯= =r ¯ (−a0 )a0 an ¯ ¯ En consecuencia r está unı́vocamente determinado por la clase de conjugación de π ya que las proyectividades de Poncelet conservan la razón doble. Recı́procamente, es obvio que dos homologı́as no degeneradas con la misma razón son conjugadas pues tienen la misma forma de Jordán. Como r toma valores en K r {0, 1}, hay tantas clases distintas de conjugación de homologı́as no degeneradas como elementos en este conjunto. Proposición 6.4.7.– Si π es una homologı́a de centro C y eje e 1. ∀S subespacio de P si S pasa por C, S es invariante (y por supuesto también si S ⊂ e). / e, P 6= C, la recta P + π(P ) pasa por C. 2. ∀P ∈ 6.4. HOMOLOGÍAS 201 3. No hay mas subespacios invariantes que los que contienen a C y los que están contenidos en e y ∀S subespacio de P tal que C ∈ / S y S no contenido en e, es S ∩ π(S) ⊂ e. Demostración: La primera afirmación esta probada en 6.4.1. La segunda se sigue de que la recta C + P pasa por C luego es invariante y π(P ) ∈ C + P y de P 6= C,P ∈ / e se deduce que P 6= π(P ) luego P + π(P ) ⊂ C + P y como ambas son rectas, coinciden y C ∈ P + π(P ). Por último, como e es un hiperplano, S ∩ e es un hiperplano de S y como e es de puntos invariantes S ∩ e = π(S ∩ e) = π(S) ∩ π(e) = π(S) ∩ e luego S ∩ e ⊂ π(S) y si existiese algún punto Q ∈ S ∩ π(S) invariante tal que Q ∈ / e tendrı́a que ser Q = C que es el único posible punto invariante de π fuera de e y C ∈ S que no es posible por hipótesis, luego S ∩ π(S) = S ∩ e = π(S) ∩ e ⊂ e, y en consecuencia, con estas condiciones S no es invariante. Vamos a estudiar ahora algunas relaciones entre las homologı́as como generadores del grupo proyectivo, en particular vamos a comprobar cuando conmutan y vamos también a buscar subgrupos del grupo proyectivo. Proposición 6.4.8.– 1. Si π, π1 , π2 son proyectividades y π2 = ππ1 π −1 , un subespacio S es invariante por π si y solo si π(S) es invariante por π1 . 2. Si π1 y π2 son homologı́as no degeneradas de vértices C1 y C2 , ejes e1 y e2 y con la misma razón r, una proyectividad π verifica que π2 = ππ1 π −1 si y solo si π(C1 ) = C2 y π(e1 ) = e2 . 3. Si π1 es una homologı́a no degenerada de centro C1 y eje e1 y π es una proyectividad, ππ1 = π1 π ⇔ π(C1 ) = C1 π(e1 ) = e1 4. Si π1 y π2 son homologı́as no degeneradas π1 π2 = π2 π1 si y solo si o bien ambas tienen el mismo centro y el mismo eje, o bien el centro de cada una de ellas está sobre el eje de la otra. Demostración: La primera afirmación es trivial pues π2 (π(S)) = π(S) ⇔ ππ1 π −1 (π(S)) = π(S) ⇔ ππ1 (S) = π(S) ⇔ π1 (S) = S Para probar la segunda observemos que si π2 = ππ1 π −1 , como C1 es invariante por π1 , π(C1 ) es invariante por π2 y como todos los puntos de e1 son invariantes por π1 , todos los puntos π(e1 ) son invariantes por π2 ; pero π(e1 ) es 202 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES un hiperplano y por ser π2 una homologı́a tiene un hiperplano único de puntos invariantes, ee2 , ya que si tuviera mas de uno serı́a la identidad; entonces π(e1 ) = e2 y como π(C1 ) es invariante por π2 y no esta en su eje, π(C1 ) = C2 . Recı́procamente, ππ1 π −1 tendrı́a el hiperplano e2 de puntos invariantes, luego seria una homologı́a, π(C1 ) = C2 ∈ / e2 serı́a un punto invariante y como consecuencia ππ1 π −1 tendrı́a como centro a C2 y como la razón es invariante, ésta seria también r, por tanto π2 = ππ1 π −1 . El punto tercero se sigue del segundo porque ππ1 = π1 π ⇒ π1 = ππ1 π −1 . Para probar el cuarto se aplica el tercero y ½ π2 (C1 ) = C1 π2 π1 = π1 π2 ⇔ π2 (e1 ) = e1 entonces se pueden dar dos casos: C1 es el centro de π2 , es decir C1 = C2 entonces como e1 no pasa por C1 y es invariante por π2 , tiene que ser el hiperplano de puntos invariantes de π2 y como consecuencia es e1 = e2 . C1 no es el centro de π2 , entonces como C1 es invariante por π2 y no es su centro C1 ∈ e2 ; como π2 (e2 ) = e1 y e1 no puede coincidir con e2 ya que en ese caso C1 ∈ e2 = e1 y π1 seria degenerada, e1 debe ser un hiperplano que pasa por el centro C2 de π2 , luego C2 ∈ e2 . Proposición 6.4.9.– 1. Si π1 y π2 son homologı́as, π1 es no degenerada de centro C1 y eje e1 y π2 es degenerada de de centro C2 y eje e2 ½ C 1 ∈ e2 π1 π2 = π2 π1 ⇔ C 2 ∈ e1 2. Si π1 y π2 son homologı́as degeneradas de centros respectivos C1 y C2 y ejes e1 y e2 , π1 y π2 conmutan si y solo si C1 y C2 están en e1 ∩ e2 . Demostración: El primer punto se prueba como (4) de la proposición 6.4.8, pero de los dos casos que aparecen allı́, no puede presentarse el de C1 = C2 y e1 = e2 porque C1 ∈ / e1 y C2 ∈ e2 . Para la segunda afirmación, si π1 y π2 conmutan, como en (4) de la proposición 6.4.8, debe ser C1 = C2 y e1 = e2 ó C1 ∈ e2 y C2 = e1 ; dado que C1 ∈ e1 y C2 ∈ e2 ambas cosas en conjunto equivalen a {C1 , C2 } ⊂ e1 ∩ e2 . Recı́procamente si {C1 , C2 } ⊂ e1 ∩ e2 podemos tomar un hiperplano H con e1 ∩ e2 ⊂ H, entonces π1 y π2 dejan invariantes todos los puntos de e1 ∩ e2 luego π1 |H y π2 |H son homologı́as y como todo hiperplano de H que pase por C1 es sección de H por un hiperplano que contiene a C1 y que es entonces, al igual que H, invariante por π1 , dicho hiperplano es invariante por π1 |H , como consecuencia π1 |H es una homologı́a degenerada de eje e1 ∩ e2 y centro C1 y del mismo modo π2 |H es una homologı́a degenerada de eje e1 ∩ e2 y centro C2 . Dado que una homologı́a degenerada está determinada por su eje y la imagen 6.4. HOMOLOGÍAS 203 −1 de un punto, si π1 |H π2 |H π1 |−1 = π2 ya que claramente H = π2 |H , es π1 π2 π1 −1 π1 π2 π1 es una homologı́a degenerada. Ahora bien, como π1 |H y π2 |H tienen el mismo eje, si consideramos el espacio afı́n sumergido en el proyectivo de modo que el eje sea el hiperplano del infinito, π1 |H y π2 |H son traslaciones y por tanto conmutan. Proposición 6.4.10.– 1. Todas las homologı́as de eje e forman un grupo Ge , subgrupo del grupo proyectivo, dos de estos subgrupos son conjugados. 2. Todas las homologı́as degeneradas de eje e forman un subgrupo invariante Se de Ge y Ge /Se ' K ∗ . 3. Todas las proyectividades que dejan e invariante forman un grupo Pe y Ge es un subgrupo invariante de Pe . 4. Dos homologı́as de eje e y razones r y s respectivamente, tienen como producto una homologı́a no degenerada de razón r.s si r.s 6= 1, y, si r.s = 1 el producto es una homologı́a degenerada. Demostración: 1. El que Ge sea un grupo es obvio, pues si π1 y π2 son homologı́as de eje e, todos los puntos de e son invariantes por π1 y π2 por tanto lo son por π1 π2 y π1 π2 es una homologı́a de eje e. 2. La aplicación δ Ge −→ K ∗ definida por δ(π) = razon de π si π es no degenerada y δ(π) = 1 si π es degenerada, es homomorfismo de grupos y Ker(δ) = Se . 3. Es trivial. 4. Si llevamos e al plano del infinito, eligiendo una inmersión del espacio afı́n en el proyectivo, las homologı́as no degeneradas dan lugar a homotecias y las degeneradas a traslaciones, entonces este resultado es consecuencia de las propiedades de traslaciones y homotecias. Observemos por ultimo que las homologı́as degeneradas no pueden ser idempotentes pues si la homologı́a π es degenerada admite una matriz   1 1 0 ... 0  0 1 0 ... 0    M = . . . ..   .. .. .. .  0 0 0 ... 1 204 CAPÍTULO 6. CLASIFICACIÓN DE PROYECTIVIDADES y en esa referencia la matriz de π 2 es  1  0  M2 =  .  .. 2 1 .. . 0 0 .. . ... ... 0 0 .. . 0 0 0 ... 1      que como la caracterı́stica del cuerpo K es distinta de dos, no es la identidad. Las proyectividades no degeneradas son idempotentes si su razón r verifica r2 = 1; en particular, esto sucede si r = −1. Este tipo de proyectividades se llaman homologı́as armónicas y corresponden, cuando el centro está en el infinito, a las simetrı́as respecto de hiperplanos. No es cierto que, en general, las homologı́as armónicas generen el grupo proyectivo pero esto sucede en los espacios de dimensión uno. Capı́tulo 7 Cuádricas proyectivas 7.1. Geometrı́a de las cuádricas proyectivas Dedicaremos esta sección a introducir el lenguaje de cuádricas proyectivas como lenguaje geométrico del álgebra bilineal, introduciremos los conceptos proyectivos recordando al mismo tiempo los algebraicos, aunque estos se suponen conocidos por el lector. Haremos una excepción probando con detalle los teoremas de Witt que no se encuentran en los textos de álgebra lineal elemental. Supondremos también que la caracterı́stica del cuerpo base es distinta de dos 7.1.1. Cuádricas y formas cuadráticas Recordemos que una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es una aplicación F : V × V −→ K que verifica las dos propiedades siguientes: 1. F (v, w) = F (w, v) ∀v, w ∈ V 2. ∀a, b ∈ K, ∀v1 , v2 , w ∈ V , F (av1 + bv2 , w) = aF (v1 , w) + bF (v2 , w) La propiedad (b) se expresa diciendo que F es lineal en la primera componente y por la propiedad (a), F debe ser también lineal en la segunda componente.En lo sucesivo omitiremos la palabra simétrica y hablaremos simplemente de formas bilineales. Llamaremos forma cuadrática sobre un espacio vectorial V a toda aplicación Q : V −→ K que verifique las dos propiedades siguientes: i) ∀v ∈ V ∀λ ∈ K, Q(λv) = λ2 Q(v) ii) La aplicación FQ : V × V −→ K definida por FQ (v, w) = 1/2(Q(v + w) − Q(v) − Q(w)) 205 206 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS es una forma bilineal. Claramente la forma bilineal FQ , que se llama forma bilineal asociadaa Q, permite recuperar Q, pues: FQ (v, v) = 1/2(Q(v + v) − Q(v) − Q(v)) = Q(v) La correspondencia que asocia a cada forma cuadrática su forma bilineal asociada establece una correspondencia biunı́voca entre los conjuntos de formas de ambos tipos. Es inmediato comprobar que: Q(V ) = {Q : V −→ K | Q forma cuadratica} es un espacio vectorial (subespacio del espacio de aplicaciones de V en K) Definición 7.1.1.– Sea P = P(V ) un espacio proyectivo, llamaremos Cuádrica en P a todo conjunto de formas cuadráticas sobre V [Q] = {λQ |Q : V −→ K forma cuadratica, λ ∈ K∗} es decir a todo punto del espacio proyectivo P(Q(V )) Una cuádrica no es por tanto una aplicación, pero dados una cuádrica [Q] y un punto [v] en P(V ), el hecho de que Q(v) = 0 es independiente de los representantes elegidos. Definición 7.1.2.– Diremos que un punto P pertenece a una cuádrica [Q] si y solo si P = [v] y Q(v) = 0. Al conjunto de puntos de una cuádrica [Q] se le llama cuádrica de puntos . En general, usaremos la misma notación para señalar la cuádrica y su cuádrica de puntos, pero cuando pueda haber confusión, usaremos para la segunda la notación [[Q]]. Notas 7.1.3.– 7.1.3.1. - Es claro que la cuádrica de puntos está determinada por la cuádrica, pero en general no determina a esta. Como ejemplo, considérense en P2R las cuádricas [x20 + x21 ] y [x20 + 2x21 ], que son distintas pero tienen la misma cuádrica de puntos, {[0, 0, 1]}. la cuádrica de puntos de una cuádrica puede ser vacı́a, como lo es la de la cuádrica, también de P2R , [x20 +x21 +x22 ]. Se puede demostrar que si el cuerpo base es algebraicamente cerrado dos cuádricas con la misma cuádrica de puntos son iguales, y en particular la cuádrica de puntos de cualquier cuádrica es no vacı́a. 7.1.3.2. - Fijada una base B = {v0 , . . . , vn } de V , una forma bilineal F definida sobre V determina y queda unı́vocamente determinada por la matriz M = (F (vi , vj )) ∈ M(n+1)×(n+1) (K), llamada matriz de F en B, que es obviamente simétrica. Dada una forma cuadrática en V , Q, se llama matriz de Q en B a la de FQ . 7.1. GEOMETRÍA DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 207 La formula que relaciona F y M es: F (v, w) = (x)M (y)t donde (x) e (y) representan las coordenadas de los vectores v y w, en la base B. En consecuencia si M es la matriz de Q y (x) es el vector de coordenadas de un vector v : Q(v) = FQ (v, v) = (x)M (x)t Si M = (aij ) es:  a00 . . . a0n  ..   Q(v) = (x0 , . . . , xn )  ... .  a0n . . . ann Pn P 2 = i=0 aii xi + 2 0≤i<j≤n aij xi xj   x0 ..  .  xn Por tanto Q(v) es un polinomio homogéneo de segundo grado en n + 1 variables, correspondientes a las coordenadas de v. Recı́procamente, fija una base en V , todo polinomio homogéneo de segundo grado en n + 1 variables X f (x0 , . . . , xn ) = bij xi xj 0≤i≤j≤n representa, en forma matricial, una forma cuadrática, sin mas que hacer aii = bii , aij = 12 bij = aji , ∀i, j, y tomar la forma cuadrática que tiene matriz (aij ) en la base fijada. En consecuencia, cada base induce una correspondencia biunı́voca entre formas cuadráticas y polinomios homogéneos de segundo grado. Si [Q] es una cuádrica en P(V ), R es una referencia de P(V ) y B es una base normalizada asociada, un representante Q de la cuádrica tiene una matriz en B que se llama matriz de la cuádrica . La matriz M de [Q] está por tanto determinada salvo un factor de proporcionalidad. La ecuación: Q(x) = (x)M (x)t = 0 esta unı́vocamente determinada por la cuádrica (el factor de proporcionalidad no interviene en la ecuación) y se llama ecuación de la cuádrica. Claramente un punto P pertenece a la cuádrica de puntos si sus coordenadas verifican la ecuación de la cuádrica. 7.1.3.3. - Una forma bilineal, F induce aplicaciones lineales Fi : V −→ V ∗ Fd : V −→ V ∗ donde V ∗ = Hom(V, K), dadas por Fi (v) : V w −→ V∗ 7→ F (v, w) Fd (v) : V −→ V ∗ w 7→ F (w, v) El hecho de que F sea simétrica lleva consigo que Fi = Fd . Si fijamos una base B en V y tomamos su base dual B ∗ en V ∗ , la matriz de F en B es la misma que la matriz de Fi respecto a las bases B y B ∗ . KerFi es un subespacio vectorial de V , de dimensión igual a dimV − r(M ) al que se llama Núcleo o Radical de F y se representa por rad(F ). Ası́ si M es una matriz de F : 208 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS 1. rad(F ) queda descrito por el sistema M (x)t = (0)t 2. El rango de la matriz M verifica que: r(M ) = dim(V ) − dim(rad(F )) luego es intrı́nseco, es decir es independiente de la base elegida para calcular la matriz de F . r(M ) se llama rango de F representándolo por r(F ). En particular: r(F ) = dim(V ) ⇔ rad(F ) = {0} y en este caso se dice que F es no degenerada. Dada una forma cuadrática Q, al radical de FQ le llamaremos radical de Q y lo representaremos por rad(Q), al rango de FQ le llamaremos rango de Q y lo representaremos por r(Q) . Como antes : rad(Q) = {0} ⇔ r(Q) = dimV y en este caso se dice que Q es no degenerada. Dada una cuádrica [Q] el rango de uno de sus representantes es un invariante de [Q], se le llama rango de la cuádrica y se representa por r[Q]. Se llama vértice de [Q] al subespacio proyectivo asociado al radical de Q y se le representa por V[Q] . De la definición, se sigue que si M es una matriz de [Q] en una referencia R, se verifica que 1. Las ecuaciones de V[Q] en la referencia R son (x0 , . . . , xn )M = (0, . . . , 0) 2. dim(V[Q] ) = dimP − r(M ) = dimP − r[Q] La cuádrica [Q] se llama no degenerada si Q lo es, es decir, si V[Q] = ∅ o lo que es lo mismo si r[Q] = dimP + 1 Proposición 7.1.4.– Si [Q] es una cuádrica en un espacio proyectivo P se verifica que 1. V[Q] ⊂ [[Q]] 2. Si P ∈ [[Q]] es V[Q] + P ⊂ [[Q]] Demostración: El apartado (a) es trivial, veamos el (b). R ∈ V[Q] + P ⇔ R = [w] y w = t + v, con [t] ∈ V[Q] , [v] = P . Entonces Q(w) = Q(t) + Q(v) + 2FQ (t, v) y como t ∈ rad(Q), Q(t) = FQ (t, v) = 0, y dado que [v] ∈ [[Q]], es Q(v) = 0, luego Q(w) = 0, y R ∈ [[Q]] 7.1. GEOMETRÍA DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 209 Definición 7.1.5.– Dado un subespacio S de P(V ) llamamos [Q] ∩ S a la e definida en S = P(L) por la forma cuadrática sobre L: cuádrica [Q] e = Q |L : L −→ K Q Se verifica lo siguiente: Proposición 7.1.6.– Sea [Q] una cuádrica en P, sea S = P(L) un subespacio e de P y sea [Q] ∩ S[Q] e = [[Q]] ∩ S 1. [[Q]] 2. Si S es un complementario de V[Q] , entonces [Q] ∩ S es no degenerada y [ [[Q]] = ( (V[Q] + R)) ∪ V[Q] R∈[[Q]]∩S 3. Si V[Q] = P(L0 ) y representamos por [Q]/V[Q] a la cuádrica inducida en P/V[Q] por la forma cuadrática Q0 : V /L0 −→ K, Q0 (v + L) = Q(v) entonces [Q]/V[Q] es no degenerada. Demostración: El primer apartado es trivial. En el segundo, [Q] ∩ S es no degenerada pues [v] ∈ V[Q]∩S ⇒ FQ (v, w) = 0, ∀w ∈ L, y como FQ (v, t) = 0, ∀t ∈ rad(Q) y L + rad(Q) = V se deduce que v ∈ V[Q] y como v ∈ L, es S ∩ V[Q] 6= ∅, en contradicción con ser S y V[Q] complementarios. Teniendo en cuenta el apartado (2) de la proposición 7.1.4, es [ (V[Q] + R) ⊂ [[Q]] R∈[[Q]]∩S Recı́procamente, si A ∈ [[Q]] y formamos V[Q] + A, se pueden dar dos casos: i) Que A ∈ V[Q] , entonces A esta en el segundo miembro de la igualdad en el que figura V[Q] . Obsérvese que es necesario poner este termino pues la cuádrica [[Q]] puede reducirse a V[Q] , como sucede por ejemplo con la cuádrica de P2R , [x20 + x21 ]. ii) Que A ∈ / V[Q] , entonces V[Q] ⊂ A + V[Q] , estrictamente, luego (A + V[Q] ) ∩ S 6= ∅ y si R ∈ (A + V[Q] ) ∩ S, A + V[Q] , con lo que A esta en el segundo miembro de la igualdad. Para probar el tercer punto observemos en primer lugar que Q0 esta bien definida, pues si v − w ∈ L0 , es Q(v) = Q(w), luego Q0 (v + L0 ) = Q0 (w + L0 ). Además [Q]/V[Q0 ] es no degenerada pues [v + L0 ] ∈ V[Q] FQ (v, w) = 0 ∀w ∈ V ⇒ v + L0 ⊥Q0 w + L0 ∀w ∈ V ⇒ [v] ∈ V[Q] ⇒ ⇒ v ∈ L0 210 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS S V[Q] [Q] [Q] ∩S Figura 7.1: luego [v+L0 ] = [0] no define un punto. La diferencia entre las cuádricas descritas en (b) y en (c) es que la cuádrica no degenerada [Q] ∩ S es una cuádrica en el subespacio S y los puntos de los subespacios resultantes de sumar sus puntos con V[Q] son los puntos de [[Q]] (ver figura 7.1), mientras que la cuádrica : [Q]/V[Q] está en el espacio P(V )/V[Q] es decir, sus puntos son precisamente subespacios de dimensión igual a dim(V[Q] ) + 1 que contienen a V[Q] . En la figura 7.2, los puntos de la cuádrica serı́an las rectas que pasan por V[Q] y están contenidas en [Q]. Claramente la proyección desde V[Q] de [Q] ∩ S es [Q]/V[Q] o la sección por S de [Q]/V[Q] es [Q] ∩ S. 7.1.2. Ortogonalidad y polaridad Recordemos que dos vectores v y w se llaman ortogonales respecto de una forma bilineal F y se escribe v ⊥F w o simplemente v ⊥ w, si F (v, w) = 0. Claramente v ⊥ w ⇒ w ⊥ v. Si Q es una forma cuadrática, a la ortogonalidad respecto de FQ le llamaremos ortogonalidad respecto de Q, un vector v se llama isótropo respecto de Q si es ortogonal a si mismo es decir si Q(v) = 0 Si v tiene coordenadas (a0 , . . . , an ) en la base B, el conjunto de vectores ortogonales a v, que se representa por v⊥ esta compuesto por los vectores cuyas coordenadas verifican la ecuación: (a)M (x)t = 0 Por tanto, v⊥ puede ser un hiperplano de V , o todo V , según que sea (a)M 6= (0) o (a)M = (0) ⇔ v ∈ rad(F ). La relación de ortogonalidad se extiende a subconjuntos de V por \ ∀E ⊂ V E ⊥ = v⊥ = {w ∈ V | F (v, w) = 0, ∀ v ∈ E} v∈E 7.1. GEOMETRÍA DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS V 211 [Q] [Q]/V [Q] Figura 7.2: Pr Obviamente, si w ⊥ vi , 1 ≤ i ≤ r, es w ⊥ 1 λi vi , ∀λi ∈ K, por tanto se verifica que E ⊥ es un subespacio de V y que si L(E) es el subespacio generado por E, es (L(E))⊥ = E ⊥T. En particular, si {v1 , . . . , vr } generan un subespacio r L, se verifica que L⊥ = 1 vi⊥ . Si [Q] es una cuádrica en el espacio proyectivo P = P(V ), [Q] determina, salvo una constante, una forma cuadrática Q. La ortogonalidad no varia con esa constante. Entonces se puede establecer una correspondencia entre subespacios de P por: Definición 7.1.7.– Sea [Q] una cuádrica en un espacio proyectivo P, para todo S = P(L) subespacio de P, llamamos polar de S respecto de [Q] a: S ⊥ = P(L⊥ ) = {[v] ∈ P | FQ (v, w) = 0 ∀ [w] ∈ S} . Si Q es degenerada, la polaridad no es biunı́voca, pues si S ⊂ V[Q] , S ⊥ = P, pero si [Q] es no degenerada, la polaridad verifica obviamente que: 1. Es una correspondencia biunı́voca. 2. dim(S ⊥ ) = dim(P) − dim(S) − 1 3. (S1 + S2 )⊥ = S1⊥ ∩ S2⊥ ; (S1 ∩ S2 )⊥ = S1⊥ + S2⊥ 4. (S ⊥ )⊥ = S Estas propiedades se comprueban inmediatamente eligiendo una referencia y calculando las ecuaciones de S ⊥ . 212 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Si S = P(L) y {v0 , . . . vr } es una base de L, entonces, si en una referencia R, [Q] tiene la matriz M y vi las coordenadas ai = (ai0 , . . . , ain ), las ecuaciones de S ⊥ son: (ai )M xt = 0, 0 ≤ i ≤ r Si [Q] es no degenerada, det(M ) 6= 0 y los vectores (ai )M son linealmente independientes, luego dim(S ⊥ ) = n + 1 − (r + 1) − 1 = dimP − dimS − 1 (La dimensión vectorial es igual al numero de incógnitas menos el numero de ecuaciones y la dimensión proyectiva, una unidad menor ). Como obviamente S ⊂ S ⊥⊥ y dim(S ⊥⊥ ) = n − dim(S ⊥ ) − 1 = n − (n − dimS − 1) − 1 = dim(S) es S = S ⊥⊥ y en consecuencia, al ser la polaridad autoinversa es una biyección. La propiedad (3) es trivial. Sabemos además que si P ∈ P, P ⊥ es un hiperplano o el espacio completo, verificando esto ultimo si y solo si P ∈ V[Q] . Además es obvio que S ⊂ T ⇒ T ⊥ ⊂ S ⊥ y que S ⊂ S ⊥⊥ , sea o no degenerada la cuádrica [Q], luego se verifica siempre que: S ⊂ T ⊥ ⇒ T ⊂ T ⊥⊥ ⊂ S ⊥ . Proposición 7.1.8.– Dadas una recta r y una cuádrica [Q] con r 6⊂ [Q], si denotamos también por [Q] a la cuádrica de puntos, se verifica que r ∩ [Q] es o bien el vacı́o, o bien un punto único, o bien dos puntos. Demostración: Sean P = [v] y R = [w] dos puntos arbitrarios de r, y supongamos r ∩ [Q] 6= ∅, entonces se puede suponer P ∈ [Q] es decir Q(v) = 0. La recta r = P + R tiene como punto genérico a [αv + βw]; si buscamos los puntos de corte de r y la cuádrica [Q], debemos resolver la ecuación: (?) Q(αv + βw) = 0 ⇒ α2 Q(v) + 2αβFQ (v, w) + β 2 Q(w) = 0 Que, como Q(v) = 0, es la ecuación : 2αβFQ (v, w) + β 2 Q(w) = 0 que tiene la solución β = 0, que corresponde al punto P , y 2αFQ (v, w) + βQ(w) = 0, ecuación en la que pueden suceder dos cosas: 1) Que FQ (v, w) 6= 0. Entonces α = tQ(w), β = 2tFQ (v, w) 6= 0 definen un punto de corte diferente de P y la recta corta en dos puntos a la cuádrica. 2) Que FQ (v, w) = 0. Entonces, si Q(w) 6= 0 se repite la solución β = 0 y r corta a [Q] en un único punto, y si Q(w) = 0 , la ecuación se verifica para todos α, β y r ⊂ [Q]. Definición 7.1.9.– Dadas una recta r y una cuádrica [Q], se dice que r es secante a [Q], si la corta en dos puntos, exterior si no la corta y tangente si corta a [Q] en un solo punto o esta contenida en [Q]. 7.1. GEOMETRÍA DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 213 Notas 7.1.10.– 7.1.10.1. - Si P ∈ [Q], P ⊥ es el lugar geométrico de todas las rectas tangentes a la cuádrica o contenidas en ella y que pasan por P . En efecto: una recta r por P o esta contenida en la cuádrica, o la corta en otro punto o es tangente a ella en P . Como P ∈ [Q] estamos en el caso descrito en la demostración anterior y R ∈ P ⊥ ⇒ FQ (v, w) = 0 y por (2), la recta P + R es necesariamente tangente a la cuádrica o contenida en ella, y recı́procamente si P + R es tangente a la cuádrica o contenida en ella, como (1) se da solo en caso de recta secante, estamos en el caso (2), FQ (v, w) = 0 y R ∈ P ⊥ . 7.1.10.2. - si P ∈ / [Q] ⇒ Q(v) 6= 0 y queremos encontrar el lugar geométrico de las rectas que pasan por P y son tangentes a [Q]. Considerando como antes la recta P + R = r donde R es un punto arbitrario del espacio, la intersección de r y [Q] viene dada como antes por la ecuación (?), pero ahora Q(v) 6= 0 y podemos considerar la ecuación (?) como ecuación en α, su discriminante es: ∆ = β 2 (FQ (v, w)2 − Q(v)Q(w)) y r es tangente si y solo si la ecuación tiene solución única es decir: ∆ = 0. Por tanto la ecuación del lugar buscado es: FQ (v, w)2 − Q(v)Q(w) = 0 Si en una referencia [Q] tiene matriz M y P tiene coordenadas [a], la ecuación del lugar en ella es: ((a)M xt )2 − aM at .xM xt = 0 Definición 7.1.11.– Si [Q] es una cuádrica y P ∈ [Q], P ∈ / V[Q] , se llama hiperplano tangente a [Q] por P al hiperplano P ⊥ que es el lugar geométrico de las rectas tangentes a P ∈ [Q] o contenidas en [Q]) y que pasan por P . Si P ∈ / [Q] el lugar geométrico CP ([Q]) de las rectas tangentes a [Q] por P se llama cono circunscrito a [Q] con vértice P o cono tangente a [Q] desde P . Vamos a estudiar algunas propiedades del hiperplano tangente y el cono circunscrito, para ello necesitaremos algunos resultados previos. Si Q es una cuádrica en un espacio proyectivo P y S = P(L) es un subespacio de P, entonces [Q] ∩ S = [Q|L ] es una cuádrica en S. De esta manera, si T ⊂ S es un subespacio proyectivo de S y por tanto de P, se pueden construir los subespacios polares de T en P respecto de [Q] y de T en S respecto de [Q] ∩ S. La relación entre estos dos espacios, se deduce del hecho siguiente: Lema 7.1.12.– Si Q es una forma cuadrática en un espacio vectorial V , L es un subespacio de V , Q|L : L −→ K es la restricción de Q a L y R ⊂ L es un subespacio: Los subespacios ortogonales a R respecto de Q, R⊥ , y respecto de la restricción de Q a L, R⊥L verifican que: R ⊥L = R ⊥ ∩ L 214 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS P P Figura 7.3: Demostración: v ∈ R⊥L ⇔ F (v, w) = 0 ∀w ∈ R ⇒ v ∈ R⊥ luego R⊥L ⊂ R⊥ y como R⊥L ⊂ L de aquı́ se deduce que R⊥L ⊂ R⊥ ∩ L. Veamos el contenido contrario: Sea v ∈ R⊥ ∩ L, de donde es v ∈ L y F (v, w) = 0, ∀w ∈ R, luego v ∈ R⊥L y tenemos la otra inclusión. Proposición 7.1.13.– Sea [Q] una cuádrica en el espacio proyectivo P 1. Si [Q] es no degenerada, la correspondencia P 7→ P ⊥ es una proyectividad entre los espacios P y P∗ (espacio dual de P) 2. Si [Q] es no degenerada, el conjunto de hiperplanos tangentes a [Q] es la cuádrica de puntos de una cuádrica en P∗ ( que se llama cuádrica de hiperplanos asociada a [Q]). 3. Si [Q] es no degenerada y H es un hiperplano, H es tangente a [Q] si y solo si H ∩ [Q] es una cuádrica degenerada (figura 7.3). Demostración: 1. Como hemos visto en la nota 3 una forma cuadrática Q representante de la cuádrica induce una aplicación lineal: Fi : V −→ V ∗ ; Fi (v)(w) = F (v, w) 7.1. GEOMETRÍA DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 215 cuyo núcleo es rad(Q), y por tanto, como Q es no degenerada, es un isomorfismo, luego define una proyectividad de Poncelet de P en P∗ . Teniendo en cuenta la relación entre P∗ y el espacio de hiperplanos, la imagen del punto P = [v] es el hiperplano: P(ω(Fi (v)) = {z | Fi (v)(z) = 0} = P ⊥ Podemos repetir el resultado en términos de coordenadas: Si fijamos una referencia R en P y tomamos la referencia dual R∗ en P∗ , el punto P de coordenadas [a] tiene como polar el hiperplano P ⊥ de ecuaciones (a)M xt = 0, es decir las coordenadas de este hiperplano en R∗ son [b] con bt = M at (M = M t ). Es decir, la proyectividad de la proposición, tiene como matriz la de la cuádrica, que es la de Fi . 2. El hiperplano H de ecuación b0 x0 +· · ·+bn xn = 0 o en términos matriciales (b)(x)t = 0, es tangente a [Q] si existe un punto P de coordenadas [a] tal que ½ [a] ∈ [Q] ⇔ aM at = 0 P ⊥ = H ⇔ aM xt = λbxt ⇔ aM = λb Eliminando a entre las ecuaciones anteriores, a = λbM −1 , at = λM −1 bt , se tiene 0 = aM at = λ2 bM −1 M M −1 bt = λ2 bM −1 bt ⇔ bM −1 bt = 0 Es decir, son tangentes a la cuádrica los hiperplanos que, como puntos de P∗ , pertenecen a la cuádrica de matriz M −1 (o multiplicando por det(M ) la de matriz Ad(M )). 3. El hiperplano H es tangente a [Q] si y solo si ∃P ∈ [Q] con P ⊥ = H luego P es ortogonal respecto de [Q] a todos los puntos de H, luego P es ortogonal a todos los puntos de H respecto de [Q]∩H y como consecuencia, P ∈ V([Q]∩H) y [Q] ∩ H es degenerada Veamos ahora la implicación contraria. Supongamos [Q] ∩ H degenerada, es decir ∃P ∈ V ([Q] ∩ H) condición equivalente a que P es ortogonal a todos los puntos de H respecto de la cuádrica [Q] ∩ H, luego P ⊥[Q]∩H = H = P ⊥ ∩ H donde la segunda igualdad se verifica por el lema 7.1.12. Ahora bien, si P es un punto , o bien P ⊥ es todo el espacio, cosa imposible por ser [Q] no degenerada, o bien es un hiperplano, luego P ⊥ = H y H es tangente a [Q] como querı́amos demostrar. Proposición 7.1.14.– Sea [Q] una cuádrica en un espacio proyectivo P y P ∈ [Q], P ∈ / V[Q] (ver la figura7.5), se verifica que: 216 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS P R P =R Figura 7.4: 1. Si S es un subespacio del espacio P tal que P ∈ S ⊂ [Q], es S ⊂ P ⊥ 2. Si el punto R esta en P ⊥ ∩ [Q], es P + R ⊂ [Q] 3. Si R es otro punto, R 6= P , R ∈ [Q], se verifica que P ⊥ = R⊥ ⇔ (R + P ) ∩ V[Q] 6= ∅ En particular, si dos puntos distintos de [Q] tienen el mismo plano tangente, [Q] es degenerada 4. P + V[Q] ⊂ P ⊥ y ∀R ∈ P + V[Q] , R⊥ = P ⊥ Demostración: 1. Si S ⊂ [Q] y es S = P(L), es Q|L = 0, y en consecuencia ∀v, w ∈ L FQ (v, w) = 0. Entonces si P = [v] y R ∈ S, R = [w], es FQ (v, w) = 0 ⇒ R ∈ P⊥ 2. Si P = [v], R = [w], por estar ambos puntos en la cuádrica y ser R ∈ P ⊥ , es Q(v) = Q(w) = FQ (v, w) = 0 luego Q(αv+βw) = α2 Q(v)+β 2 Q(w)+ 2αβFQ (v, w) = 0 de donde se deduce que P + R ⊂ [Q] 7.1. GEOMETRÍA DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS P R 217 T P R T Figura 7.5: 3. Elegimos una referencia en la cual [Q] tenga la matriz M ; si en ella, los puntos P y R tienen coordenadas [a] y [b] respectivamente, P ⊥ y R⊥ tendrán por ecuaciones aM xt = 0 bM xt = 0 estas ecuaciones definen el mismo hiperplano si y solo si ∃λ con aM = λbM ⇔ (a − λb)M = 0 ⇔ [a − λb] ∈ V[Q] 4. Como V[ Q] ⊂ P ⊥ y P ⊥ es un subespacio de P que contiene a P , es P + V[Q] ⊂ P ⊥ . Además R ∈ P + V[Q] ⇔ (P + R) ∩ V[Q] 6= ∅ ⇔ P ⊥ = R⊥ Proposición 7.1.15.– El hiperplano polar del punto P respecto a una cuádrica no degenerada [Q] corta a la cuádrica en los mismos puntos que el cono tangente Demostración: Dado un punto R = [w], se verifica que: ½ FQ (v, w)2 − Q(v).Q(w) = 0 R ∈ CP ([Q]) ∩ [Q] ⇔ ⇔ Q(w) = 0 ½ ⇔ FQ (v, w) = 0 ⇔ R ∈ P ⊥ ∩ [Q] Q(w) = 0 Nota 7.1.16.– La proposición anterior nos permite dibujar la recta polar de un punto respecto de una cónica real. 218 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS t⊥ P R⊥ s⊥ P1 P P1 P⊥ R R t s P2 P2 (I) (II) (III) Figura 7.6: Si el punto P es .exterior.a la cónica, el cono tangente CP ([Q]) es real y corta a [Q] en dos puntos, P1 y P2 ; entonces P ⊥ = P1 + P2 (ver la figura 7.6(I)). Si R es un punto ”interior.a la cuádrica (ver la figura 7.6(II)), el cono CR [Q] es imaginario, pero si tomamos dos rectas s y t tales que s ∩ t = R, se pueden dibujar s⊥ y t⊥ y: R = s ∩ t ⇒ R⊥ = s⊥ + t⊥ Proposición 7.1.17.– Si [Q] es una cuádrica no degenerada y P ∈ / [Q], entonces P ⊥ es el hiperplano que contiene al conjunto de puntos R tales que (ver la figura 7.6(III)) (P + R) ∩ [Q] = {P1 , P2 } y [P1 , P2 , P, R] = −1 Demostración: Si P1 = [v1 ], P2 = [v2 ], es P = [α1 v1 + α2 v2 ], R = [β1 v1 + β2 v2 ] (siempre se pueden elegir v1 y v2 de modo que P = [v1 + v2 ]. Entonces R ∈ P ⊥ ⇔ FQ (v1 + v2 , β1 v1 + β2 v2 ) = 0 ↔ β1 Q(v1 ) + β2 Q(v2 ) + (β1 + β2 )F (v1 , v2 ) = 0 ↔ β1 + β2 = 0 ⇔ β1 = −β2 ⇔ [P1 , P2 , P, R] = −1 ya que Q(v1 ) = Q(v2 ) = 0 y FQ (v1 , v2 ) 6= 0. Notas 7.1.18.– 7.1.18.1. - Como ya hemos indicado, si [Q] es una cuádrica en el espacio proyectivo P y R es una referencia en dicho espacio, de base normalizada asociada {v0 , . . . , vn }, y M es la matriz de [Q] en esta referencia representaremos por Q(x) al polinomio de segundo grado (x0 , . . . , xn )M (x0 , . . . , xn )t = xM xt 7.1. GEOMETRÍA DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 219 El hiperplano polar del punto P de coordenadas [a0 , . . . , an ] = [a] viene dado por aM xt = 0. Obsérvese que puesto que: ∂x = (0, . . . , 1, . . . , 0) = ei ∂xi Se verifica que : ∂x ∂x ∂Q(x) = M x + xM ( )t = ei M xt + xM ei t = 2ei M xt ∂xi ∂xi xi pues M es simétrica. Entonces: n n X X ∂Q(x) ( )P xi = 2ei M at xi = 2xM at = 2aM xt ∂x i i=0 i=0 luego la ecuación del hiperplano polar de P se puede escribir como n X ∂Q(x) )P xi = 0 ( ∂xi i=0 Y esta ecuación sirve para cualquier cuerpo K ya que la derivada de un polinomio es puramente formal. En el caso en que P sea un punto de la cuádrica, esta es la ecuación de P ⊥ que es el plano tangente a la cuádrica por el punto P . 7.1.18.2. - Un punto esta en el vértice de [Q] si su polar es todo el espacio, es decir las ecuaciones del vértice son xM = 0 o lo que es lo mismo ∂Q(x) = 0, ∂xi 0≤i≤n 7.1.18.3. - Un hiperplano H de ecuación b0 x0 + · · · + bn xn = 0 es tangente a [Q] si existe un punto P tal que P ⊥ = H es decir si y solo si el sistema λ(b0 , . . . , bn ) = (x0 , . . . , xn )M t tiene solución con xM x = 0. La ecuación de todos los planos tangentes a una cuádrica no degenerada es entonces: (y0 , . . . , yn )M −1 (y0 , . . . , yn )t = 0 ⇔ (y0 , . . . , yn )Adj.(M )(y0 , . . . , yn )t = 0 Esta última ecuación se llama ecuación tangencial de la cuádrica 7.1.18.4. - Dado un punto P de coordenadas [a] = [a0 , . . . , an ]), la recta que pasa por P y por un punto genérico [(α0 , . . . , αn )], es tangente a la cuádrica si y solo si el discriminante ∆ = FQ (aα)2 − Q(a)Q(x) = 0 (V. 7.1.8) Por tanto el cono tangente desde el punto P a la cuádrica, tiene la ecuación: X ∂Q(x) (1/2 ( )P xi )2 − Q(x)Q(a) = 0 ∂xi 220 7.2. CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Correlaciones y polaridad Hemos visto anteriormente como una forma bilineal F : V × V −→ K induce homomorfismos Fi , Fd : V −→ V ∗ (ver 3), y que F es no degenerada si y solo si Fi y Fd son isomorfismos Recı́procamente un homomorfismo f : V −→ V ∗ induce formas bilineales: fi : V × V −→ K, fi (v, w) = f (v)(w) fd : V × V −→ K, fd (v, w) = f (w)(v) y f es isomorfismo si y solo si fi y fd son no degeneradas, lo cual es claro porque es un ejercicio simple comprobar que (fi )i = (fd )d = f . La forma F es simétrica si y solo si Fi = Fd , y podemos preguntarnos cual es la propiedad a requerir a f para que fi y fd sean iguales y en consecuencia simétricas. La forma más simple de responder a esta pregunta de modo algebraico, es fijar una base B de V y su base dual B ∗ en V ∗ , en estas condiciones sabemos que si la matriz en B de F es M , las matrices en B y B ∗ de Fi y Fd son respectivamente M y M t , y que si la matriz de f en B y B ∗ es P , las matrices de las formas bilineales fi y fd en la base B son respectivamente P y P t . Entonces fi = fd si y solo si P = P t , es decir si solo si la matriz P es simétrica. Recordemos que: 1. Toda aplicación lineal g : V −→ W induce una aplicación dual g ∗ : W ∗ −→ V ∗ por la fórmula: ∀α ∈ W ∗ , g ∗ (α) = αg 2. Si B1 y B2 son bases de V y W respectivamente y B1∗ y B2∗ son sus bases duales, la matriz de g en B1 y B2 es M si y solo si la matriz de g ∗ en B1∗ y B2∗ es M t 3. (V ∗ )∗ es canónicamente isomorfo a V , luego ambos espacios se pueden identificar, y si B ∗ es la base dual de B, B es la base dual de B ∗ Entonces la condición buscada para que fi = fd es que f = f ∗ . Pero esta condición algebraica tiene una interpretación geométrica en términos proyectivos en el caso no degenerado que dio lugar a la definición geométrica de cuádrica dada por Staudt en la forma que veremos en lo que sigue. Definición 7.2.1.– Llamaremos correlación sobre un espacio proyectivo P a toda proyectividad de automorfismo identidad π : P −→ P∗ De la definición se desprende que si P = P(V ) una correlación en P es simplemente una recta de isomorfismos [f ] generada por un isomorfismo f : V −→ V ∗ . En lo sucesivo llamaremos matriz de la correlación a una cualquiera de sus matrices en dos referencias duales de P y P∗ . Si M es una matriz de la correlación en las referencias R y R∗ y cambiamos la referencia en P a una referencia T , con matriz de cambio P , la matriz de cambio de referencia de 7.2. CORRELACIONES Y POLARIDAD 221 R∗ a T ∗ es (P t )−1 y en consecuencia la matriz de la correlación en las nuevas referencias es: ρ.P t M P . Consecuencia de este resultado es que la clasificación de correlaciones es una nueva clasificación de matrices, hasta ahora hemos clasificado las matrices por los criterios: 1. M ∼ N ⇔ ∃P, Q inversibles N = P M Q Clasificación de aplicaciones lineales 2. M ∼ N ⇔ ∃P inversible N = P −1 M P . Clasificación de endomorfismos 3. Si M y N son matrices inversibles M ∼ N ⇔ ∃P, inversible , ∃ρ ∈ K, N = ρP −1 M P .Clasificación de proyectividades 4. Si M y N son matrices simétricas M ∼ N ⇔ ∃P, P t M P .Clasificación de formas cuadráticas. 5. Si M y N son matrices simétricas M ∼ N ⇔ ∃P, inversible , ∃ρ ∈ K, N = ρP t M P . Clasificación de cuádricas. Ahora la clasificación de correlaciones proporciona otra clasificación de matrices inversibles. M ∼ N ⇔ ∃P, inversible , ∃ρ ∈ K, N = ρP t M P Encontrar los invariantes y las formas canónicas para esta clasificación no es fácil, el lector interesado puede encontrar estos resultados en el texto de Hodge - Pedoe [26] Otra consecuencia es que si una matriz M de una correlación es simétrica, todas lo son, porque: (ρ.P t M P )t = ρ.P t M t (P t )t = ρ.P t M P luego el hecho de que la matriz de una correlación sea simétrica es intrı́nseco. Un ejemplo de correlaciones con matriz simétrica es el siguiente: Si [Q] es una cuádrica no degenerada en P, la polaridad asociada a [Q] induce una correlación en P (ver 7.1.13)que hace corresponder a cada punto su hiperplano polar respecto de la cuádrica. Si tomamos en el espacio y su dual referencias duales, la matriz de la polaridad en esas referencias es, como hemos visto en 7.1.18, la matriz de la cuádrica. Ası́ se comprende que la fórmula de cambio de referencia, para la matriz de una correlación sea la misma que para la matriz de una cuádrica, y también que una correlación es la polaridad asociada a una cuádrica si y solo si su matriz es simétrica. Pero la simetrı́a no es la única propiedad que es intrı́nseca de la matriz de una correlación. Lo mismo sucede con el hecho de que la matriz de la correlación sea hemisimétrica, es decir M t = −M , ya que entonces: (ρ.P t M P )t = ρ.P t M t (P t )t = −ρ.P t M P Este resultado nos permite dar una nueva definición: 222 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Definición 7.2.2.– Llamaremos sistema nulo sobre un espacio proyectivo P a toda correlación π : P −→ P∗ cuya matriz sea hemisimétrica Incidentalmente observemos que solo puede haber sistemas nulos en espacios de dimensión impar, porque una matriz hemisimétrica de orden impar tiene determinante cero. El problema geométrico contrapartida del algebraico planteado al principio de la sección es el de caracterizar las polaridades entre las correlaciones y eso es lo que hacemos en la siguiente proposición. Proposición 7.2.3.– Una correlación π definida sobre un espacio proyectivo P induce un antiisomorfismo de retı́culos π : L(P) −→ L(P) y las condiciones siguientes son equivalentes: 1. π es una polaridad o un sistema nulo. 2. ∀P ∈ Pπ 2 (P ) = P 3. π 2 = Id. es decir π es involutiva. Demostración: Hemos visto (ver 3.4.1) que existe un antiisomorfismo canónico ϕ : L(P) −→ L(P∗ ), ϕ(P(L)) = P(w(L)) Si π es una correlación, π induce un isomorfismo π : L(P) −→ L(P∗ ) la composición: π = ϕ−1 π : L(P) −→ L(P) es entonces un antiisomorfismo de reticulos. Si elegimos en P y P∗ referencias asociadas y si en ellas una matriz de π es M , la imagen de un punto P de coordenadas [a] = [a0 , ..., an ], es el hiperplano de ecuación: (x0 , ..., xn )M (a0 , ...an )t = 0 y en general si: S ⊂ P, S = P1 + ... + Pr , Pi : [ai0 , ..., ain ] el subespacio π(S) está dado por el sistema de ecuaciones: (x0 , ..., xn )M (ai0 , ..., ain )t = 0, 1 ≤ i ≤ r En particular si H es el hiperplano π(P ) siendo P un punto de coordenadas [a0 , ..., an ], H está generado por n puntos independientes: {Pi }1≤i≤n , representados por vectores de coordenadas bi = (bi0 , ..., bin ), 1 ≤ i ≤ n, que son soluciones del sistema: (x0 , ..., xn )M (a0 , ...an )t = 0, es decir: (bi0 , ..., bin )M (a0 , ...an )t = 0, 1 ≤ i ≤ n Trasponiendo es: (a0 , ...an )M t (bi0 , ..., bin )t = 0, 1 ≤ i ≤ n 7.2. CORRELACIONES Y POLARIDAD 223 Luego si M es simétrica o hemisimétrica M = ±M t y (a0 , ...an )M t (bi0 , ..., bin )t = 0 ⇒ (a0 , ...an )M (bi0 , ..., bin )t = 0 Luego π(H) = P , y,π 2 (P ) = P Si ahora suponemos que: π 2 (P ) = P, ∀P ∈ P y tenemos en cuenta que al ser π un antisomorfismo, π 2 es un isomorfismo de retı́culos, se verifica que: S ⊂ P, S = P1 + ... + Pr ⇒ π 2 (S) = π 2 (P1 ) + ... + π 2 (Pr ) = P1 + ... + Pr = S Por último si π es una correlación de matriz M respecto a referencias duales, partiendo de un punto P de coordenadas [a0 , ..., an ], π(P ) es el hiperplano H de ecuación: (x0 , ..., xn )M (a0 , ...an )t = 0, y si el punto π(H) tiene coordenadas [c0 , ..., cn ], para todo punto de H [x0 , ..., xn ] debe ser: (c0 , ..., cn )M (x0 , ..., xn )t = 0 ⇔ (x0 , ..., xn )M t (c0 , ..., cn )t = 0 En consecuencia y para un cierto factor de proporcionalidad ρ, debe ser: M (a0 , ...an )t = ρM t (c0 , ..., cn )t y si π 2 es la identidad, los vectores (a0 , ...an ) y (c0 , ..., cn ) son proporcionales, luego para un cierto factor de proporcionalidad, que en principio depende del punto, pero que, según hemos visto al hablar de referencias, se prueba fácilmente que es constante, es: ∀[a0 , ..., an ], M (a0 , ...an )t = ρM t (a0 , ..., an )t ⇒ M = ρM t Entonces: M = ρM t ⇒ M t = ρM ⇒ M = ρ2 M ⇒ ρ2 = 1 ⇒ ρ = ±1 y π es una polaridad o un sistema nulo. En dimensión dos no hay sistemas nulos, por tanto las correlaciones involutivas son exactamente las polaridades asociadas a cónicas. En dimensión impar las polaridades y los sistemas nulos se diferencian por una propiedad geométrica que describimos a continuación. Definición 7.2.4.– Si π es una correlación, un punto P se dice autoconjugado para π si y solo si P ∈ π(P ) Proposición 7.2.5.– Una correlación es un sistema nulo si y solo si todos los puntos del espacio son autoconjugados respecto e ella. 224 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Demostración: Si la matriz de la correlación en referencias duales es M = (aij ) decir que el punto P de coordenadas (c0 , ..., cn ) es autoconjugado equivale a que: X X (c0 , ..., cn )M (c0 , ..., cn )t = 0 ⇔ (aij + aji )ci cj + aii c2i = 0 i<j i Entonces todos los puntos son autoconjugados si y solo si: X X ∀(c0 , ..., cn ), (aij + aji )ci cj + aii c2i = 0 ⇔ aij + aji = aii = 0 ∀i, j i<j i es decir si M es hemisimétrica Entonces una cuádrica (no degenerada) se puede definir de la manera siguiente: Definición 7.2.6.– [Staudt] Un subconjunto propio [Q] de un espacio proyectivo se dice que es una cuádrica si y solo si es el conjunto de puntos autoconjugados para una correlación involutiva. 7.3. Clasificación de las cuádricas proyectivas Nos podemos plantear, como hemos hecho con otros objetos geométricos el problema de clasificación de cuádricas, haremos la clasificación modulo la acción del grupo proyectivo, y usaremos dos medios distintos, el álgebra lineal para describir unos invariantes obtenidos por la reducción del problema al de clasificación de formas cuadráticas, y la geometrı́a para interpretar los invariantes algebraicos de la clasificación. Si Q es una forma cuadrática sobre W y φ : V −→ W es un isomorfismo, la composición Q.φ : V −→ K es una forma cuadrática, en particular podemos tomar V = W y ası́ el grupo Gl(V ) de automorfismos de V actúa sobre el espacio Q, y el problema es describir las orbitas de esta acción. Definición 7.3.1.– Dos formas cuadráticas Q1 y Q2 definidas en el mismo espacio vectorial V se dicen linealmente equivalentesemphLinealmente equivalentes y se escribe Q1 ∼ Q2 , si difieren en un automorfismo, es decir si existe un automorfismo de V , φ, tal que Q2 = Q1 .φ Dadas en un espacio proyectivo P una cuádrica [Q] y una proyectividad de Poncelet π = [φ] : P −→ P0 , llamaremos π([Q]) a la cuádrica de P0 : π([Q]) = [Q.φ−1 ] Dos cuádricas [Q1 ] y [Q2 ] definidas en el mismo espacio proyectivo P se dicen proyectivamente equivalentesemphProyectivamente equivalentes y se escribe [Q1 ] ∼ [Q2 ] si difieren en una proyectividad de Poncelet, es decir si existe una proyectividad π de P, tal que π([Q1 ]) = [Q2 ] Notas 7.3.2.– 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 225 7.3.2.1. - Si fijamos una base B en V y las matrices en dicha base de Q1 y φ−1 son respectivamente M1 y P , la matriz de Q1 .φ−1 es P t .M1 .P , en consecuencia si M2 es la matriz de Q2 en B: Q1 ∼ Q2 ⇔ M2 = P t .M1 .P Esta formula coincide con la de cambio de base para la matriz de una forma cuadrática. Si B1 y B2 son bases de V y P es la matriz del cambio de base, la formula anterior establece también la relación entre las matrices M1 y M2 de una forma cuadrática en ambas bases, en consecuencia: Dos formas cuadráticas Q1 y Q2 definidas en el mismo espacio vectorial V son linealmente equivalentes si y solo si difieren en un cambio de base, es decir si existen bases, B1 y B2 en V , tales que la matriz de Q1 en B1 coincide con la matriz de Q2 en B2 . Ası́ para caracterizar la equivalencia lineal de formas cuadráticas construiremos para cada forma cuadrática una base (base canónica) en la cual su matriz sea lo mas simple posible (matriz canónica). Entonces dos formas cuadráticas serán linealmente equivalentes si tienen la misma matriz canónica 7.3.2.2. - La razón de la construcción de π([Q] con la inversa de la proyectividad se entiende cuando buscamos los puntos de esta cuádrica: P = [v] ∈ [[Q]] ⇔ Q(v) = 0 ⇔ Q.φ−1 .(φ(v)) = 0 ⇔ π(P ) = [φ(v] ∈ π([[Q]] Luego la cuádrica de puntos de π([Q]) es la imagen por π de la cuádrica de puntos de [Q]. Del mismo modo, si S es un subespacio de P es inmediato también que: π([Q] ∩ S) = π([[Q]]) ∩ π(S) 7.3.2.3. - Si F es una forma bilineal asociada a la cuádrica [Q] una forma bilineal asociada a π([Q]) es F.φ−1 donde: F.φ−1 (v, w) = F (φ−1 (v), φ−1 (w)) Entonces: π(V[Q] ) = Vπ([Q]) . En efecto: P = [v] ∈ V[Q] ⇔ F (v, x) = 0, ∀x ∈ V ⇔ F.φ−1 .(φ(v, φ(x)) = 0, ∀x ∈ V ⇔ π(P ) = [φ(v] ∈ Vπ([Q ] Donde la ultima equivalencia se debe a que φ es sobre. 7.3.2.4. - Dos cuádricas [Q1 ] y [Q2 ] definidas en el mismo espacio proyectivo P son proyectivamente equivalentes si, con las notaciones de la definición: [Q2 ] = π([Q1 ]) = [Q1 .φ−1 ] ⇔ ∃ρ ∈ K ∗ | ρQ1 .φ−1 = Q2 ⇔ ρQ1 ∼ Q2 Si fijamos una referencia y tomamos matrices en ella de Q1 y Q2 , M1 y M2 respectivamente, el resultado anterior significa que: [Q1 ] ∼ [Q2 ] ⇔ ∃P ∈ Gln+1 (K), ρM1 = P t .M2 .P Hay dos casos en que este resultado se puede mejorar 226 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS 1. Si K es cuadráticamente cerrado, es decir si ∀α ∈ K, ∃ β ∈ K, β 2 = α √ normalmente se llama β = α. En este caso: 1 ρM1 = P t .M2 .P ⇔ M1 = Rt .M2 .R, R = √ ρ y se verifica que: [Q1 ] ∼ [Q2 ] ⇔ Q1 ∼ Q2 es decir: dos cuádricas son proyectivamente equivalentes si y solo si dos cualesquiera de sus representantes son formas cuadráticas linealmente equivalentes. √ √ 2. Si K verifica que ∀α ∈ K, ∃ α ó ∃ −α En este caso la misma construcción anterior establece que: [Q1 ] ∼ [Q2 ] ⇔ Q1 ∼ Q2 ó Q1 ∼ −Q2 Proposición 7.3.3.– Dos cuádricas [Q1 ] y [Q2 ] de un espacio proyectivo P son proyectivamente equivalentes, si y solo si sus vértices tienen la misma dimensión y existen subespacios complementarios de V[Q1 ] y V[Q2 ] , S1 y S2 respectivamente y una proyectividad de Poncelet δ : S1 −→ S2 tales que : δ(S1 ∩ [Q1 ])) = S2 ∩ [Q2 ] Demostración: Si [Q1 ] y [Q2 ] son proyectivamente equivalentes, existe una proyectividad π = [φ] de P tal que π([Q1 ]) = [Q2 ⇒ π(V[Q1 ] ) = V[Q2 ] y ambos tienen la misma dimensión. Tomando un complementario cualquiera S de V[Q1 ] ,π(S) es un complementario de V[Q2 ] y δ = π |S verifica la proposición. Recı́procamente si P = P(V ), S1 = P(L1 ), S2 = P(L2 ), δ = [ψ] con ψ : L1 −→ L2 isomorfismo y Q2 |L2 .ψ −1 = Q1 |L1 , como V = rad(Q1 ) + S1 = rad(Q2 ) + S2 , las sumas son directas, y rad(Q1 ) y rad(Q2 ) tienen la misma dimensión, podemos construir un isomorfismo σ : rad(Q1 ) −→ rad(Q2 ) y definir φ : V −→ V por: ∀ v ∈ V, v = v1 + v2 , v1 ∈ rad(Q1 ), v2 ∈ L1 , φ(v) = σ(v1 ) + ψ(v2 ) φ es un isomorfismo y Q1 .φ−1 = Q2 . En efecto, veamos que Q2 .φ = Q1 que es claramente una afirmación equivalente: (Q2 φ)(v) = Q2 (φ(v1 + v2 )) = Q2 (σ(v1 ) + ψ(v2 )) = = Q2 (σ(v1 ))+Q2 .ψ(v2 )+2F (σ(v1 ), ψ(v2 ) = Q2 (ψ(v2 )) = (Q2 ψ)(v2 ) = Q1 (v2 ) Donde hemos usado que σ(v1 ) ∈ rad(Q2 ) y la ultima igualdad se debe a que se puede cambiar Q1 por Q2 en toda la cadena de igualdades anteriores (suprimiendo σ y ψ). 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 227 Como consecuencia de este resultado siempre podremos suponer sin perdida de generalidad, y a efectos de clasificación que trabajamos con cuádricas no degeneradas. Establecemos ahora un resultado bien conocido de álgebra lineal que lleva a la clasificación de cuádricas en muchos casos. Definición 7.3.4.– Llamaremos espacio vectorial cuadráticoemphEspacio vectorial cuadrático a un par (V, Q) donde V es un espacio vectorial y Q una forma cuadrática en V . Un subconjunto E del espacio vectorial cuadrático V , se llama ortogonal emphConjunto ortogonal si ∀v, w ∈ E, v 6= w es v ⊥ w Proposición 7.3.5.– Todo espacio vectorial cuadrático de dimensión finita, admite una base ortogonal Demostración: La demostración es inmediata y se obtiene mediante el algoritmo siguiente: 1. Partimos de (V, F ), con dim(V ) = n + 1 ; se pueden presentar dos casos: i) Que ∀v ∈ V , F (v, v) = 0, entonces ∀v, w ∈ V es F (v, w) = 1/2(F (v + w, v + w) − F (v, v) − F (w, w)) = 0 de este modo, toda base de V es ortogonal y hemos terminado. ii) Que exista v0 ∈ V con F (v0 , v0 ) 6= 0. En este caso, v0 ∈ / v0⊥ de donde ⊥ se deduce que L0 = v0 6= V luego L0 es un hiperplano de V y podemos tomar el par (L0 , F |L0 ) con dim(L0 ) = n 2. Repetimos el proceso con (L0 , F |L0 ) observando que v0 ∈ / L0 , y en consecuencia podemos obtener una base ortogonal de V como unión de v0 y una base ortogonal de L0 . En términos matriciales, el resultado se puede enunciar diciendo que existe una base de V en la cual Q tiene matriz diagonal, y se puede leer en términos proyectivos como sigue: Si [Q] es una cuádrica en el espacio P existe una referencia R en la cual [Q] tiene matriz diagonal. Esta referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U }, al verificar que su base normalizada asociada {v0 , . . . , vn } es ortogonal, verifica que ∀i, j, i 6= j, es Pi ∈ Pj⊥ y se llama también Referencia autopolar asociada a la cuádrica (ver la figura 7.7). Entonces la matriz diagonal se puede refinar según el tipo de cuerpo base. Veremos ahora que se puede hacer con los cuerpos algebraicamente cerrados y en la siguiente sección con el cuerpo real. Notas 7.3.6.– K algebraicamente cerrado 228 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS P1 ⊥ P2 P0 ⊥ P0 ⊥ P1 P2 Figura 7.7: 7.3.6.1. - Dada la cuádrica [Q], podemos construir una referencia autopolar respecto de ella, es decir una referencia R = {P0 , . . . , Pn ; U } de base normalizada asociada {v0 , . . . , vn }}, en la cual la cuádrica [Q] tiene matriz M = diag.(²0 , . . . , ²n ). Si el rango de la cuádrica es r([Q]) = r+1, podemos cambiar el orden de los puntos de la referencia y obtener la matriz diag.(²0 , . . . , ²r , 0, . . . , 0) con ²i 6= 0 ∀i. Entonces, cambiando el punto unidad a: 1 1 U 0 = √ v0 + · · · + √ vr + vr+1 + · · · + vn ²0 ²r se puede conseguir una nueva base normalizada: 1 {w0 , . . . , wn }, wi = √ vi , 0 ≤ i ≤ r, wj = vj , r + 1 ≤ j ≤ n ²i y en esta referencia [Q] tiene la matriz diag.(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)), donde el numero de unos es el rango de [Q]. Por tanto: Dos cuádricas [Q] y [Q0 ] son proyectivamente equivalentes si y solo si tienen el mismo rango. Como consecuencia, existen en PK n , n + 2 tipos de cuádricas o mas precisamente (ya que dos cuádricas del mismo tipo solo difieren en un cambio de referencia), existen n + 2 cuádricas, de rangos, respectivamente, 0, 1, . . . , n + 1. Aunque como la cuádrica de rango cero, correspondiente a la ecuación de segundo grado 0 = 0, no es propiamente una cuádrica (de hecho esta excluida con nuestra definición de cuádrica), hay realmente n + 1 cuádricas distintas. La cuádrica no degenerada, es decir la de rango n + 1, tiene por ecuación x20 + · · · + x2n = 0 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 229 2 y en el otro extremo la de rango 1 es el hiperplano doble √ x0 = 0, y la de rango √ 2 2 2 el par de hiperplanos x0 + x1 = (x0 + −1x1 )(x0 − −1x1 ) = 0. 7.3.6.2. - Las cuádricas en P1C son entonces las siguientes: 1. Rango 2 : matriz canónica M = diag.(1, 1), ecuación reducida √ √ x20 + x21 = (x0 + −1x1 )(x0 − −1x1 ) = 0 La cuádrica es no degenerada y consiste en dos puntos distintos. 2. Rango 1: matriz canónica M = diag.(1, 0), ecuación reducida x20 = 0 La cuádrica consiste en un único punto (doble), es degenerada y coincide con su vértice. 7.3.6.3. - Las cuádricas en P2C , que se llaman cónicas proyectivas complejas, son las siguientes: 1. Rango 3: matriz canónica M = diag.(1, 1, 1), ecuación reducida x20 + x21 + x22 = 0 La cuádrica es no degenerada y se llama cónica no degenerada. 2. Rango 2 : matriz canónica M = diag.(1, 1, 0), ecuación reducida √ √ x20 + x21 = (x0 + −1x1 )(x0 − −1x1 ) = 0 La cuádrica consiste en un par de rectas que se cortan en el punto [0, 0, 1], que es el vértice de la cuádrica. Observemos que su sección por un complementario del vértice, la recta x2 = 0, es exactamente la cuádrica no degenerada sobre esa recta. Teniendo en cuenta las proposiciones 7.1.4, 7.1.6, este resultado es general, y las cuádricas degeneradas son proyección desde su vértice de una sección no degenerada. 3. Rango 1 : matriz canónica M = diag.(1, 0, 0), ecuación reducida x20 = 0 La cuádrica consiste en una única recta (doble), es degenerada y coincide con su vértice. 7.3.6.4. - Las cuádricas en P3C , son las siguientes: 1. Rango 4: matriz canónica M = diag.(1, 1, 1, 1), ecuación reducida x20 + x21 + x22 + x23 = 0 230 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS La cuádrica es no degenerada y se llama cuádrica no degenerada. Observemos que la ecuación se escribe como: √ √ √ √ (x0 + −1x1 )(x0 − −1x1 ) = −(x2 + −1x3 )(x2 − −1x3 ) Por tanto la familia de rectas de ecuaciones: ½ √ √ x0 + −1x √ 1 = λ(x2 + −1x √ 3) λ(x0 − −1x1 ) = −(x2 − −1x3 ) está contenida en la cuádrica, de hecho la cuádrica es exactamente la unión de las rectas de esta familia. 2. Rango 3: matriz canónica M = diag.(1, 1, 1, 0), ecuación reducida x20 + x21 + x22 = 0 La cuádrica es degenerada con vértice [0, 0, 0, 1], y esta compuesta por rectas que unen el vértice con los puntos de la cónica sección por x3 = 0, que es la cónica no degenerada cuya ecuación en la referencia inducida en dicho plano coincide con la de la cuádrica. Su nombre es cono complejo. 3. Rango 2: matriz canónica M = diag.(1, 1, 0, 0), ecuación reducida √ √ x20 + x21 = (x0 + −1x1 )(x0 − −1x1 ) = 0 La cuádrica consiste en un par de planos que se cortan en la recta x0 = x1 = 0, que es el vértice de la cuádrica. 4. Rango 1: matriz canónica M = diag.(1, 0, 0, 0), ecuación reducida x20 = 0 La cuádrica consiste en un único plano (doble), es degenerada y coincide con su vértice. 7.3.1. Cuádricas reales En el caso real, y mas generalmente cuando el cuerpo base es real-cerrado, se verifica que: √ √ ∀ a ∈ K, a ∈ K, o −a ∈ K entonces la elección de la referencia autopolar que hemos hecho en la sección anterior se puede refinar en forma obvia: Si tomamos una referencia autopolar R = {P0 , . . . , Pn ; U } de base normalizada asociada {v0 , . . . , vn }, y en ella la matriz de la cuádrica es: M = diag.(²0 , . . . , ²n ), entonces si el rango de la cuádrica es r([Q]) = r + 1, podemos cambiar el orden de los puntos de la referencia y obtener la matriz diag.(²0 , . . . , ²s , ²s+1 , . . . , ²r , 0, . . . , 0) de modo que: p √ ∃ ²i 6= 0, 0 ≤ i ≤ s, ∃ −²j 6= 0, s + 1 ≤ j ≤ r 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 231 . Entonces, cambiando el punto unidad al: 1 1 1 1 U 0 = √ v0 + · · · + √ vs − √ vs+1 − · · · − √ vr + vr+1 + · · · + vn ²0 ²s −²s+1 −²r se puede conseguir una nueva base normalizada {w0 , . . . , wn }: 1 1 wi = √ vi , 0 ≤ i ≤ s, wj = √ vj , s+1 ≤ j ≤ r, wt = vt , r+1 ≤ t ≤ n ( ²i ) ( −²j ) y en esta referencia [Q] tiene la matriz diag.(1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0), donde el numero total de unos y menos unos es el rango de [Q]. El proceso seguido no garantiza que el numero de unos y el de menos unos sean constantes, pero eso se puede demostrar: Proposición 7.3.7.– Teorema de inercia de Sylvester El numero de unos y el numero de menos unos de una matriz diagonal compuesta por unos y menos unos, de una forma cuadrática real no degenerada, no depende de la base ortogonal usada para construirla. Demostración: Supongamos que tenemos dos bases ortogonales {v0 , . . . , vn } y {w0 , . . . , wn } y que en ellas la forma cuadrática tiene matrices de unos y menos unos, la primera con a1 unos y b1 menos unos y la segunda con a2 unos y b2 menos unos y que a1 > a2 . Entonces, como a1 + b1 = a2 + b2 = n + 1, debe se necesariamente b2 > b1 . Llamamos L1 = L(v0 , . . . , va1 −1 ), L2 = L(wb2 , . . . , wn ). Ası́ dim(L1 ) + dim(L2 ) = a1 + b2 > n + 1 = dim(V ) luego L1 ∩ L2 6= {0} y existe un vector 0 6= v ∈ L1 ∩ L2 . Pero como v ∈ L1 , es Q(v) > 0 y como v ∈ L2 , es Q(v) < 0. Lo cual lleva a contradicción. Definición 7.3.8.– La diferencia entre el numero de mas unos y el de menos unos de una matriz diagonal compuesta por unos, menos unos y ceros de una forma cuadrática se llama signatura lineal. El valor absoluto de esta diferencia se llama signatura proyectiva de la cuádrica representada por la forma cuadrática. El teorema de inercia garantiza la coherencia de la definición de signatura lineal. Como dos formas cuadráticas que difieren en el producto por un escalar no nulo representan la misma cuádrica, al multiplicar por menos uno la forma cuadrática, sin variar la cuádrica, cambia el sino de la signatura, luego esta no es un invariante proyectivo, y si lo es la signatura proyectiva. De la definición es inmediato que dos formas cuadráticas reales son equivalentes si y solo si tienen el mismo rango y la misma signatura lineal y dos cuádricas proyectivas reales son equivalentes si y solo si tienen el mismo rango y la misma signatura proyectiva. Dada una matriz diagonal de una cuádrica compuesta por unos menos unos y ceros, como se puede multiplicar por −1, podemos suponer que el numero de +1 es mayor o igual que el de −1 y sp ([Q]) = ](+1) − ](−1) y esta matriz esta unı́vocamente determinada por rango y signatura. Si r([Q]) = r, los valores de 232 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS la signatura pueden ser, r si no hay ningún −1, r − 2, si hay r − 1 unos y 1 menos uno etc. bajando de dos en dos hasta cero si r es par o hasta uno si es impar. Veamos a continuación los tipos de cuádricas proyectivas reales en dimensiones bajas: Notas 7.3.9.– 7.3.9.1. -Cuádricas proyectivas reales en P1R Rango 2 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag.(1, −1), y su ecuación x20 − x21 = (x0 − x1 )(x0 + x1 ) = 0 Esta formada por dos puntos distintos ([1, 1] y [1, −1]) Rango 2 y signatura proyectiva 2 Su matriz es diag.(1, 1), y su ecuación x20 + x21 = 0 Es una cuádrica no degenerada y su cuádrica de puntos es vacı́a, pero puesto que x20 + x21 = (x0 − ix1 )(x0 + ix1 ) podemos decir que la cuádrica consta de los puntos imaginarios conjugados [i, 1], [i, −1]. Rango 1 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag.(1, 0) y su ecuación x20 = 0 Esta compuesta por el punto doble [0, 1] 7.3.9.2. -Cuádricas proyectivas reales en P2R Rango 3 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag.(1, 1, −1), y su ecuación x20 + x21 − x22 = 0 Su nombre, cónica proyectiva real no degenerada. Esta formada por puntos. Rango 3 y signatura proyectiva 3 Su matriz es diag.(1, 1, 1) y su ecuación x20 + x21 + x22 = 0 Su nombre es cónica imaginaria no degenerada. No tiene puntos. Rango 2 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag.(1, −1, 0) y su ecuación x20 − x21 = 0 Se descompone en x0 − x1 = 0 y x0 + x1 = 0 y es por tanto un par de rectas reales, es una cuádrica degenerada cuyo vértice es un punto y las rectas resultan de proyectar desde el vértice la sección de la cónica por la recta x2 = 0, que es un par de puntos reales. 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS P0 P1 233 P0 P1 P2 P0 Cónica real no degenerada Cónica imaginaria no degenerada P2 P2 P1 P2 P1 x2 = 0 P0 P1 P0 Par de rectas reales x2 = 0 Recta doble x2 = 0 P0 Par de rectas imaginarias Figura 7.8: Rango 2 y signatura proyectiva 2 Su matriz es diag.(1, −1, 0) y su ecuación x20 + x21 = 0 Contiene solo el punto [0, 0, 1] pero por analogı́a con la anterior, se llamapar de rectas imaginarias conjugadas. Rango 1 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag.(1, 0, 0) y su ecuación x20 = 0 y es unarecta doble (la de ecuación x0 = 0) coincidiendo con su vértice. 7.3.9.3. - Cuádricas proyectivas reales en P3R Rango 4 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag(1, 1, −1, −1). Su ecuación: x20 + x21 − x22 − x23 = 0 Como esta ecuación se escribe: x20 − x22 = −x21 + x23 ⇒ (x0 − x2 )(x0 + x2 ) = (−x1 + x3 )(x1 + x3 ) la familia de rectas de ecuaciones: ½ x0 + x2 = λ(x1 + x3 ) λ(x0 − x2 ) = −x1 + x3 234 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Cuadrica elíptica Cuadrica hiperbolica P3 Cuadrica imaginaria P3 x3 = 0 x3 = 0 Cono real x3 = 0 Planos reales Cono imaginario x3 = 0 Plano doble x3 = 0 Planos imaginarios Figura 7.9: esta contenida en la cuádrica, mas aun la cuádrica es la unión de las rectas de la familia. Las cuádricas compuestas por rectas se llaman de tipo hiperbólico. Esta cuádrica se llama cuádrica hiperbólica Rango 4 y signatura proyectiva 2 Su matriz es diag(1, 1, 1, −1). Su ecuación: x20 + x21 + x22 − x23 = 0 Esta cuádrica no contiene rectas y está compuesta por puntos. Las cuádricas compuestas por puntos se llaman de tipo elı́ptico, y esta se llama cuádrica elı́ptica Rango 4 y signatura proyectiva 4 Su matriz es diag(1, 1, 1, 1). Su ecuación: x20 + x21 + x22 + x23 = 0 y obviamente su cuádrica de puntos es vacı́a, se llama cuádrica imaginaria Rango 3 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag(1, 1, −1, 0). Su ecuación x20 + x21 − x22 = 0 El vértice es de dimensión cero, es decir un punto (el [0, 0, 0, 1]). Su sección por el plano x3 = 0, es la cónica real no degenerada, luego esta compuesta por rectas que pasan por el vértice y cortan en una cónica real no 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 235 degenerada a cualquier plano que no contenga al vértice. Se llama cono real Rango 3 y signatura proyectiva 3 Su matriz es diag(1, 1, 1, 0). Su ecuación: x20 + x21 + x22 = 0 Esta cuádrica se reduce al punto [0, 0, 0, 1] pero por analogı́a con la anterior, se llama cono imaginario Rango 2 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag(1, −1, 0, 0). Su ecuación: x20 − x21 = 0 Se descompone en el par de planos reales x0 − x1 = 0, x0 + x1 = 0, que se cortan en el vértice ¾ x0 − x1 = 0 ⇔ x0 = x1 = 0 x0 + x1 = 0 Rango 2 y signatura proyectiva 2 Su matriz es diag(1, 1, 0, 0). Su ecuación: x20 + x21 = 0 Solo contiene a su vértice que es la recta x0 = x1 = 0, pero por analogı́a con el tipo anterior, se le llama par de planos imaginarios Rango 1 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag(1, 0, 0, 0). Su ecuación: x20 = 0 Es el plano doble x0 = 0 7.3.2. Homogeneidad de las cuádricas. Teorema de Witt Vamos a probar en esta sección un teorema que establece la indistinguibilidad de los puntos de una cuádrica proyectiva no degenerada, y a obtener como aplicación la estructura dde las cuádricas y un teorema de Witt que permite la clasificación de las cuádricas proyectivas sobre un cuerpo arbitrario Teorema 7.3.10.– Si [Q] es una cuádrica en un espacio proyectivo P y P y R son dos puntos de [Q] no situados en su vértice, existe una proyectividad π de P que deja [Q] invariante y tal que π(P ) = R. Demostración: Sea P = [u], R = [v]. Comenzaremos probando el teorema cuando P ∈ / R⊥ y en consecuencia R ∈ / P ⊥ . En este caso al ser P ⊥ y R⊥ ⊥ ⊥ hiperplanos distintos es dim(P ∩ R ) = n − 2, y (P + R) ∩ (P ⊥ ∩ R⊥ ) = ∅, porque si T = [t] ∈ (P + R) ∩ (P ⊥ ∩ R⊥ ) entonces t = au + bv y F (t, u) = 236 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS R R P P Figura 7.10: 0 ⇒ F (v, u) = 0 ⇒ P ∈ R⊥ . Por tanto podemos construir una referencia del espacio: R = {P, R, P2 , ..., Pn ; U }, conP ⊥ ∩ R⊥ = P2 + .... + Pn En esta referencia la matriz de [Q] es  0 1 0  1 0 0   M =  0 0 a22  .. .. ..  . . . 0 0 an2 ... ... ... 0 0 a2n .. . ... ann        Entonces la proyectividad π, dada por: π(P ) = R, π(R) = P, π(Pi ) = Pi , f orall i, 2 ≤ i ≤ n, π(U ) = U es claramente la proyectividad buscada. En el caso en que R ∈ P ⊥ y en consecuencia P ∈ R⊥ (v. figura 7.11), los dos hiperplanos no son necesariamente iguales (cuando esto sucede la cuádrica es degenerada) pero si se verifica que: R ∈ P ⊥ ∩ R⊥ , P ∈ P ⊥ ∩ R⊥ y no podemos usar el razonamiento anterior, pero si demostramos que: (?) ∃T ∈ [Q], T ∈ / P ⊥ ∪ R⊥ 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 237 R P R P Figura 7.11: aplicando el caso anterior a P y T primero y a T y R después, se sigue el resultado. Probemos ahora la afirmación (?). Como el el espacio no es unión de dos hiperplanos, existe una recta r que pasa por P y no está contenida en P ⊥ ∪ R⊥ , entonces la recta no es exterior (pasa por P ) ni tangente (no esta contenida en P ⊥ , luego corta a la cuádrica en un segundo punto T ∈ / P ⊥ ∪ R⊥ , porque si T estuviese contenido en uno de los dos hiperplanos, como P esta contenido en ambos, la recta estarı́a contenida en el hiperplano que contiene a T . Consecuencia 7.3.11.– Si una cuádrica proyectiva [Q] contiene un subespacio S de dimensión d, la cuádrica es unión de espacios de dimensión d Demostración: Si S está contenido en el vértice de la cuádrica, la dimensión de este es mayor o igual que d y como la cuádrica es unión de subespacios de la forma V[Q] + P se sigue el resultado. Si S * V[Q] hay un punto de la cuádrica que no está en el vértice por el que pasa un subespacio contenido en la cuádrica y el resultado se sigue del teorema de homogeneidad. Teorema 7.3.12.– (Teorema de estructura de las cuádricas proyectivas). Si S1 y S2 son subespacios contenidos en una cuádrica proyectiva [Q], con r = dim(S1 ) < dim(S2 ) = d, existe un subespacio S de dimensión d contenido en [Q] y que contiene a S1 . En consecuencia todos los subespacios maximales contenidos en [Q] tienen la misma dimensión y [[Q]] es unión de subespacios maximales. 238 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Demostración: Como siempre hay que distinguir dos casos. Si S1 ⊂ V[Q] , S1 + S2 ⊂ [[Q]] y ∃S, S1 ⊂ S ⊂ (S1 + S2 ⊂ [[Q]], dim(S) = d y lo mismo sucede si S2 ⊂ V[Q] . Si ninguno de los dos subespacios esta contenido en el vértice, existen puntos P ∈ S1 , P ∈ / V[Q] , R ∈ S2 , R ∈ / V[Q] y aplicando el teorema de homogeneidad hay una proyectividad π que deja la cuádrica invariante y lleva R a P , entonces hay un subespacio T = π(S2 ) de dimensión d que pasa por P , pero este subespacio no contiene necesariamente a S1 . Tomamos ahora el hiperplano H = P ⊥ , en H tenemos la cuádrica [Q1 ] = [Q] ∩ H, y S1 ⊂ H, T ⊂ H y como hemos bajado la dimensión en una unidad el resultado se sigue por inducción. La segunda afirmación es trivial de la primera y de la consecuencia anterior. Teorema 7.3.13.– (Teorema de descomposición de Witt) Si [Q] es una cuádrica proyectiva en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un cuerpo K, existen, una referencia en la cual tiene la matriz:   0 1 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0  1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0     .. .. .. .. .. .. .. ..   . .  . . . . . .    0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 ... 0     0 0 ... 1 0 0 ... 0 0 ... 0      M =  0 0 . . . 0 0 α2t . . . 0 0 . . . 0   .. .. .. .. .. .. .. ..   . . . . . . . .     0 0 . . . 0 0 0 . . . αr 0 . . . 0     0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0     . . .. .. .. .. .. ..   .. .. . . . . . .  0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 Donde r es el rango de la cuádrica, t es un entero con 0 ≤ t ≤ r/2 y {α2t , ..., αr } son elementos del cuerpo base tales que: n X αi x2i = 0 ↔ xi = 0, ∀i 2r Demostración: Obviamente si [[Q]] = ∅ es r = n + 1, t = 0 y la matriz es la matriz diagonal de Q en una base ortogonal. Si [[Q]] 6= ∅, pero [[Q]] = V[Q] , tomando un complementario S de V[Q] , [Q] ∩ S = ∅ y en una referencia: R = {P0 , ..., Pn ; U }, S = P0 + ... + Pr−1 , V[Q] = Pr + ... + Pn 7.3. CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS PROYECTIVAS 239 tenemos la matriz buscada con t = 0 Si [[Q]] 6= ∅, [[Q]] 6= V[Q] tomamos P0 ∈ [[Q]] r V[Q] , entonces P0⊥ es un hiperplano y ∃P1 ∈ [[Q]]rP0⊥ . Como en la prueba del teorema de homogeneidad (P0 + P1 ) ∩ (P0⊥ ∩ P1⊥ ) = ∅ y existe una referencia: R1 = {P0 , P1 , R2 , ..., Rn ; U }, conP0⊥ ∩ P1⊥ = R2 + .... + Rn en la cual la matriz de [Q]es     M =   0 1 1 0 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 a22 .. . ... ... ... 0 0 a2n .. . an2 ... ann        Pasando ahora a [Q] ∩ (P0⊥ ∩ P1⊥ ) como la dimensión del ambiente ha decrecido en dos unidades y la situación se repite, por recurrencia queda probado el teorema. ¶ 0 1 que aparecen en la 1 0 matriz de [Q] descrita en el teorema anterior se llama ı́ndice de la cuádrica [Q]. La cuádrica con matriz diag(α2t ...αr) se llama resto definido de [Q] µ Definición 7.3.14.– El número de cajas M = Proposición 7.3.15.– El ı́ndice de una cuádrica menos una unidad es la dimensión de los subespacios maximales contenidos en la sección de la cuádrica por un subespacio arbitrario complementario del vértice, y es por tanto un invariante proyectivo. Demostración: Si tomamos dos complementarios S1 y S2 del vértice V[Q] de una cuádrica, la perspectividad de vértice V[Q] transforma S1 ∩ [Q] en S2 ∩ [Q], luego los subespacios maximales contenidos en una sección de la cuádrica por un complementario de su vértice no dependen de la sección elegida, entonces podemos tomar la sección dada por la referencia elegida en el teorema anterior. Trabajando en esta sección y con la referencia del teorema, la ecuación de la cuádrica es: 2x0 x1 + 2x2 x3 + ... + 2x2t−2 x2t−1 + α2t x22t + αr x2r = 0 entonces el subespacio S de ecuaciones: x0 = x2 = .... = x2t − 2 = x2t = .... = xr = 0 está contenido en la cuádrica y tiene dimensión t − 1, y si hay un espacio de dimensión d > t − 1 contenido en la cuádrica, por el teorema de estructura de las cuádricas hay un también un subespacio T de dimensión d contenido en la cuádrica y que contiene a S, En consecuencia T contiene a los puntos: [0, 1, 0, 0, .., 0, 0, .., 0], [0, 0, 0, 1, .., 0, 0, .., 0], ..., [0, 0, 0, 1, .., 0, 1, .., 0] 240 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS como además S $ T existe un punto P ∈ T r S. Supongamos que este punto tiene coordenadas [a0 , ..., ar ], entonces el punto [a0 , 0, a1 , 0, ..., a2t−2 , 0, a2t , ..., ar ] está también en la cuádrica, substituyendo en la ecuación debe ser: α2t a22t +....+ αr a2r = 0, y por la forma en que hemos seleccionado la matriz, es necesariamente a2t = ... = ar = 0, luego el punto [a0 , 0, a1 , 0, ..., a2t−2 , 0, 0, ..., 0] está en T , y alguna de sus coordenadas es distinta de cero, porque hemos supuesto que P ∈ / S, si por ejemplo es a0 6= 0 (y lo mismo se harı́a en otro caso cualquiera), como [0, 1, 0, 0, .., 0, 0, .., 0] esta en T también estarı́a en T y por tanto en la cuádrica [a0 , 1, a1 , 0, ..., a2t−2 , 0, 0, ..., 0] , que no verifica la ecuación de esta. Luego se llega a contradicción y S es maximal. Notas 7.3.16.– 7.3.16.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión 2, Q : V −→ K una forma cuadrática. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. Existe una base de V {v1 , v2 } tal que la matriz de Q en esta base es µ ¶ 0 1 1 0 2. Existe una base {u1 , u2 } ortogonal respecto de Q y tal que la matriz de Q en esta base es µ ¶ 1 0 0 −1 Para probar que esta afirmación es cierta basta tomar u1 = 1/2(v1 + 2v2 ), u2 = 1/2(v1 − 2v2 ) ó en sentido contrario, v1 = u1 + u2 , v2 = 1/2(u1 − u2 ) 7.3.16.2. - Si K es algebraicamente cerrado hay una referencia en la cual la matriz de la cuádrica es: diag(1, ..., 1, 0, ..., 0), donde el número de unos es el rango. Ahora como K es algebraicamente cerrado, un cambio del punto unidad permite construir una referencia en la que la matriz es de una dde las dos formas: diag(1, −1, 1, −1, ..., 1, −1, 0, ..., 0), diag(1, −1, 1, −1, ..., 1, −1, 1, 0, ..., 0) 7.4. CUÁDRICAS AFINES. CLASIFICACIÓN 241 según sea el rango par o impar. Usando el resultado de la nota anterior se pueden cambiar los pares de puntos de la referencia µ para¶que aparezcan, r/2 ó (r − 1)/2 0 1 (según sea r par o impar) cajas del tipo luego el ı́ndice de la cuádrica 1 0 es la parte entera de r/2 7.3.16.3. - Si K = R, podemos elegir una referencia en la cual una matriz de la cuádrica es diag(1, −1, 1, −1, ..., 1, −1, 1, ..,1, 0, ..., 0) donde si el número de unos es a y el de menos unos b, es r[Q] = a + b, sp ([Q]) = a − b, entonces por el mismo razonamiento de la nota anterior, el ı́ndice de la cuádrica es: r[Q] − sp ([Q]) i([Q]) = 2 7.3.16.4. - El problema de clasificación de cuádricas sobre un cuerpo arbitrario se reduce, por un segundo teorema de Witt que no probaremos aquı́, al de clasificar cuádricas sin puntos, problema que no esta aun completamente resuelto en toda su generalidad. 7.4. Cuádricas afines. Clasificación En lo que sigue, consideraremos una inmersión del espacio afı́n A en el espacio proyectivo P con plano del infinito H∞ . Supondremos que P = P(V con dim(V ) = n + 1 y que H∞ = P(L∞ ) con L∞ hiperplano vectorial de V . Definición 7.4.1.– Llamaremos cuádrica afı́n relativa a la inmersión A ,→ P a un par ([Q], [Q∞ ]), donde [Q] es una cuádrica en P y [Q∞ ]) = [Q] ∩ H∞ . Recordemos que dada la inmersión A ,→ P, para cada punto P ∈ A se fija un representante único v; ası́, elegida una forma cuadrática representante de [Q], tenemos una aplicación Q : A −→ K y, dos aplicaciones definen la misma forma cuadrática si son proporcionales. La expresión analı́tica de Q en términos de una referencia, se obtiene fácilmente, ya que si tomamos referencias afı́n y proyectivas asociadas RA = {P0 ; v1 , . . . , vn } ; RP = {P0 , P1 , . . . , Pn ; U } donde Pi = [0, vi ], U = [(1, 0) + (0, v1 ) + · · · + (0, vn )], la expresión de Q: Q(x0 , . . . , xn ) = (x0 , . . . , xn )M (x0 , . . . , xn )t se puede escribir en coordenadas afines por Q(1, y1 , . . . , yn ) = (1, y1 , P . . . , yn )M (1, y1P , . . . , yn )t P n n = a00 + i=1 2a0i yi + i=1 aii yi2 + 2 1≤i<j≤n aij yi yj 242 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS Entonces la aplicación Q determina la matriz M y por tanto determina , tanto [Q] como [Q∞ ] ya que podemos escribir M en cajas como: µ M= a00 at ¶ a M00 donde a = (a01 , . . . , a0n ) y M00 es la matriz de Q∞ en la base {v1 , . . . , vn }. Resumiendo, esencialmente las cuádricas afines son las ecuaciones completas de segundo grado en y1 , . . . , yn con coeficientes en K. Definición 7.4.2.– Dos cuádricas afines ([Q], [Q∞ ]) y ([Q0 ], [Q0∞ ]) se dicen afinmente equivalentes si existe una afinidad que transforma una en la otra. Recordemos que una afinidad F : A −→ A es una proyectividad de P tal que F (H∞ ) ⊂ H∞ entonces F es una recta de automorfismos F = [f ] con f (L∞ ) ⊂ L∞ , (H∞ = P(L∞ ) y el hecho de que [Q]F = [Q0 ] significa que Qf −1 = Q0 e implica por restricción a L∞ que Q∞ f −1 = Q0∞ , o lo que es lo mismo, que [Q∞ ]F = [Q0∞ ]. En términos matriciales, si µ M= a00 at a M00 ¶ µ 0 y M = a000 t a0 a0 0 M00 ¶ son, respectivamente, las matrices de Q y Q0 en una cierta referencia, la equivalencia afı́n significa que existe una matriz inversible: µ ¶ 1 0 N= bt N00 tal que: N tM N = M 0 0 t M00 N00 = M00 N00 La equivalencia afı́n lleva consigo que [Q] ' [Q0 ] y [Q∞ ] ' [Q0∞ ] como cuádricas proyectivas y veremos mas adelante que el recı́proco es cierto. Esta observación no es trivial, pues el recı́proco del resultado establecerı́a que si existen matrices A y B regulares verificando: At M A = M 0 0 B t M00 B = M00 existe una matriz N de la forma µ N= 1 bt 0 N00 ¶ verificando que N t M N = M 0 . Este resultado lo iremos probando en los distintos casos que estudiaremos a continuación, en lugar de dar una demostración general. 7.4. CUÁDRICAS AFINES. CLASIFICACIÓN 7.4.1. 243 Cuádricas con centro y sin centro Definición 7.4.3.– Dada la cuádrica afı́n QA = ([Q], [Q∞ ]), diremos que tiene centro si y solo si: ⊥ H∞ ∩ A 6= ∅ ⊥ y en este caso, llamaremos centro de la cuádrica a todo punto de H∞ ∩ A. ⊥ ⊥ Dado que H∞ es un subespacio del espacio proyectivo P, H∞ ∩ A es un subespacio afı́n de A (que puede reducirse a un punto). Si fijamos una referencia afı́n en A y: µ ¶ a00 a M= at M00 es la matriz de QA , como H∞ esta generado por los puntos [0, 1, . . . , 0], . . . , [0, 0, . . . , 1], ⊥ tiene como ecuaciones: H∞ (0, 1, . . . , 0)M xt = 0 .. . (0, 0, . . . , 1)M xt = 0 ecuaciones que se pueden  0 1 0 ...  ..  . 0 0 0 ... escribir en forma matricial:  0 ¶ µ a ..  a00 xt = 0 ⇔ (at |M00 )xt = 0 .  at M00 1 Entonces, la cuádrica tiene centro si este sistema tiene solución decir en A. Ahora bien, el sistema:    a10 x0 + a11 x1 + · · · + a1n xn = .. (S) .   an0 x0 + an1 x1 + · · · + ann xn = tiene solución con x0 6= 0 si el sistema  x1   a10 + a11 x0 + .. (S 0 ) .   an0 + an1 xx10 + ··· + a1n xxn0 ··· + ann xxn0 con x0 6= 0, es 0 .. . 0 = 0 .. . = 0 tiene solución, es decir si: r(at |M00 ) = r(M00 ) Esta es la condición necesaria y suficiente para que la cuádrica tenga centro y los centros de QA son exactamente las soluciones del sistema (S 0 ). En particular, QA tiene centro único si y solo si det(M00 ) 6= 0. Si QA es una cuádrica con centro, se puede elegir una referencia {P0 ; v0 , . . . , vn } de modo que 244 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS 1. P0 sea un centro de QA 2. {v0 , . . . , vn } sea una base ortogonal de L∞ Entonces, como P0⊥ ∈ H∞ , v0 es ortogonal a todos los vectores {v1 , . . . , vn } y la matriz de QA en esta referencia es M = diag.(α0 , α1 , . . . , αn ) con αi = Q(vi ), P0 = [v0 ]. En consecuencia, si QA = ([Q], [Q∞ ]) es una cuádrica con centro, se pueden dar dos casos: 1. α0 = 0 ⇔ r(Q) = r(Q∞ ) 2. α0 6= 0 ⇔ r(Q) = r(Q∞ ) + 1 ⊥ ⊂ H∞ y como los puntos del vértice Si QA no tiene centro, H∞ ∩ A = ∅ ⇒ H∞ ⊥ son ortogonales a todos los del espacio, V[Q] ⊂ H∞ ⊂ H∞ . Veamos que el primer contenido es estricto, para ello basta pasar a términos vectoriales donde tenemos rad(Q) ⊂ L∞ , tomar una base de rad(Q), {v1 , . . . , vr } y ampliar a una base {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } de L∞ , entonces: ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ L⊥ ∞ = v1 ∩ . . . ∩ vr ∩ vr+1 ∩ . . . ∩ vn = vr+1 ∩ . . . ∩ vn ⊥ es un pues vi ∈ rad(Q) ⇒ vi⊥ = V, 1 ≤ i ≤ r. En consecuencia y como vr+1 hiperplano, es: dim(L⊥ ∞ ) ≥ (n + 1) − (n − r) = r + 1 > r = dim(rad(Q)) y como consecuencia, existe un vector v ∈ L⊥ / rad(Q) de donde se deduce ∞, v ∈ ⊥ ⊥ que ∃[v] ∈ H∞ , [v] ∈ / V[Q] . Además como H∞ ⊂ H∞ , [v] ∈ H∞ y por tanto v ⊥ v y [v] ∈ [Q]. Llamemos P1 = [v1 ] al punto que acabamos de construir, que verifica P1 ∈ ⊥ ⊥ [Q] ∩ H∞ , P1 ∈ / V[Q] y puesto que v1 ∈ L⊥ ∞ , L∞ ⊂ v1 ⇒ v1 = L∞ y el ⊥ hiperplano tangente a [Q] por P1 es P1 = H∞ . Dado que todas las rectas tangentes a [Q] por P1 están en P1⊥ = H∞ , si r es una recta afı́n que pasa por P1 , r no es tangente a [Q] y por tanto corta a [Q] en un segundo punto P0 , además r = P(H) con H plano hiperbólico (ya que es secante a [Q]). Por otra parte P1 ∈ H ⇒ H ⊥ ⊂ P1⊥ = H∞ . Entonces V = H ] H ⊥ y tomando una base ortogonal en H ⊥ , {v2 , . . . , vn }, la matriz de QA es   0 a 0 ... 0  a 0  0 ... 0    0 0  α . . . 0 2 M =   .. .. .. ..   . . . .  0 0 0 . . . αn 7.4. CUÁDRICAS AFINES. CLASIFICACIÓN P1 = [ v1 ] x0 = 0 245 P2 = [ v2] P2 = [ v2] P 1 = [ v1 ] x0 = 0 P0 = O P1 = [ v1] A P2 = [ v2] P1 P0 = O B P1 A P2 P0 = O P0 = O x0 = 0 P1 B P2 O O P2 Figura 7.12: con a = FQ (v0 , v1 ) 6= 0, αi = Q(vi ) 2 6= i 6= n. Como se puede tomar cualquier matriz proporcional a M , se puede siempre suponer a = 1. En este caso,es trivial que r([Q∞ ]) = r(diag.(0, α2 , . . . , αn )) que a su vez es igual a     r   0 1 0 .. . 1 0 0 .. . 0 ... 0 ... α2 . . . .. . 0 0 0 .. . 0 0 0 αn ...      − 2 = r([Q]) − 2   En resumen, si [Q], [Q∞ ] es una cuádrica afı́n,se verifica que r([Q]) = r([Q∞ ]) o r([Q]) = r([Q∞ ]) + 1 o r([Q]) = r([Q∞ ]) + 2, dándose uno de los dos primeros casos si y solo si la cuádrica QA tiene centro y el tercero si y solo si QA es una cuádrica sin centro. 7.4.2. Clasificación de las cuádricas afines (K algebraicamente cerrado) Si el cuerpo K es algebraicamente cerrado, se pueden elegir los vectores de la base de modo que Q(vi ) = 1 o Q(vi ) = 0 y entonces podemos concluir que: 1. Si QA es una cuádrica con centro y r(Q) = r(Q∞ ) = r, QA tiene por matriz 246 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS              0            1 .. . 1 0 .. . 0 donde r es el numero de unos. 2. Si QA es una cuádrica con centro, y r(Q) = r(Q∞ ) + 1 = r + 1 QA tiene por matriz              1            1 .. . 1 0 .. . 0 donde el numero de unos es r + 1. 3. Si QA no tiene centro, es r(Q) = r(Q∞ ) + 2 = r + 2 y QA tiene por matriz  0  1              1 0              1 .. . 1 0 .. . 0 con r unos e la diagonal principal 7.4.3. Clasificación de las cuádricas afines (K = R) Si el cuerpo K es R, en las tres formas básicas: 1. Cuádricas con centro 7.4. CUÁDRICAS AFINES. CLASIFICACIÓN a)      247  ²0     ²1 .. . ²n b)       0     ²1 .. . ²n 2. Cuádricas sin centro  0  1       1 0       ²1 .. . ²n Podemos elegir la parte vectorial de la referencia y la matriz de modo que 1. Si ²0 6= 0 sea ²0 = ±1 2. En el tipo (1), (²1 , . . . , ²n ) = (1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0) donde el numero de ”+1.es mayor o igual que el numero de ”−1” 3. En el tipo (2), (²2 , . . . , ²n ) = (1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0) donde el numero de ”+1.es mayor o igual que el numero de ”−1” Entonces, si miramos rango y signatura de los tres tipos, encontraremos lo siguiente: (a) r(Q) = r(Q∞ ) + 1 y según que sea ² = +1 o ² = −1 es sp (Q) = sp (Q∞ ) + 1 o sp (Q) = sp (Q∞ ) − 1 (si el numero de +1 y de −1 es el mismo, ²0 siempre puede tomarse como +1). (b) r(Q) = r(Q∞ ) y como el numero de elementos distintos de cero en la matriz diagonal no se altera, sp (Q) = sp (Q∞ ) (2) r(Q) = r(Q∞ ) + 2 y como se puede elegir una referencia en el ambiente en la que la matriz sea diag.(1, −1, ²1 , . . . , ²n ), es sp (Q) = sp (Q∞ ) Por tanto, la matriz queda unı́vocamente determinada por los invariantes r(Q), sp (Q), r(Q∞ ), sp (Q∞ ), presentándose los siguientes tipos distintos: 248 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS 1. r(Q) = r(Q∞ )+1, sp (Q) = sp (Q∞ )+1 y matriz diag.(1|1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0). Si llamamos a al numero de +1 y b al de −1, es a= r(Q) + sp (Q) 2 b= r(Q) − sP (Q) 2 2. r(Q) = r(Q∞ )+1, sp (Q) = sp (Q∞ )−1 y matriz diag.(−1|1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0). 3. r(Q) = r(Q∞ ), sp (Q) = sp (Q∞ ), diag.(0|1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0) Con los mismos valores de a y b que en el tipo (1). 4. r(Q) = r(Q∞ ) + 2, sp (Q) = sp (Q∞ ) y matriz                0 1 1 0              1 .. . 1 −1 .. . −1 donde el numero de +1 en la diagonal es a y el de −1 es b, con a ≥ b y a= r(Q) + sp (Q) 2 b= r(Q) − sp (Q) 2 Entonces en este caso, también es cierto que QA = ([Q], [Q∞ ]) ' Q0A = ([Q0 ], [Q0∞ ]) ⇔ [Q] ' [Q0 ], [Q∞ ] ' [Q0∞ ] Las figuras que siguen son los tipos principales de cónicas y cuádricas afines reales en dimensión tres ya conocidas por el alumno, 7.4. CUÁDRICAS AFINES. CLASIFICACIÓN 249 P0 x0= 0 x0= 0 xo= 0 Elipse Parabola Elipse imaginaria Figura 7.13: Conicas afines no degeneradas Hiperbola 250 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS x0= 0 x0= 0 x0= 0 Rectas reales secantes Rectas reales paralelas Recta única P0 x0= 0 x0= 0 x0= 0 O Rectas imaginarias secantes Rectas imaginarias paralelas Figura 7.14: Conicas afines degeneradas Recta doble 7.4. CUÁDRICAS AFINES. CLASIFICACIÓN 251 x0=0 x0=0 x0=0 Elipsoide Paraboloide eliptico Hiperboloide eliptico x0=0 x0=0 Paraboloide hiperbolico Hiperboloide hiperbolico Elipsoide imaginario Figura 7.15: Cuadricas afines no degeneradas 252 CAPÍTULO 7. CUÁDRICAS PROYECTIVAS x0=0 x0=0 x0=0 Cono real Cilindro eliptico Cilindro parabolico x0=0 x0=0 x0=0 P3 Cilindro hiperbolico Cono imaginario Figura 7.16: Conos y cilindros Cilindro imaginario Bibliografı́a [1] E.A. Abbot. Planilandia. Guadarrama, Madrid, 1976. Traducción de Flatland (1884). [2] P. Abellanas. Unas reflexiones sobre la biografı́a de la Matemática. Univ. Complutense Madrid, 1979. Discurso de apertura del curso 1979-80. [3] C.C. Adams. 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