Conceptos Básicos Conceptos Básicos Conjuntos y Eventos

Universidad Técnica Federico Santa María
Conceptos Bá
Básicos
Departamento de Informática
ILI-280
¾
¾Experimento
Experimento aleatorio
aleatorio :: ξξ
¾
¾Espacio
Espacio Muestral
Muestral :: Ω
Ω
¾
¾Espacio
Espacio Muestral
Muestral :: Discreto
Discreto ,, Continuo
Continuo
¾
Evento
o
Suceso
¾ Evento o Suceso
¾
¾Sucesos
Sucesos elementales,
elementales, seguros
seguros ee imposibles
imposibles
¾
Probabilidad
:
grado
de
certidumbre
¾ Probabilidad : grado de certidumbre
¾
¾Probabilidad
Probabilidad yy Juegos
Juegos de
de Azar
Azar
¾
Probabilidad
y
Frecuencia
¾ Probabilidad y Frecuencia relativa
relativa
¾
Probabilidad
Subjetiva
(Personal)
¾ Probabilidad Subjetiva (Personal)
Capí
Capítulo 5
Modelos de Probabilidades
Estadí
Estadística Computacional
II Semestre 2005
Profesores:
Héctor Allende (hallende@inf.utfsm.cl)
Rodrigo Salas (rsalas@inf.utfsm.cl)
Página:
www.inf.utfsm.cl/~rsalas
Profesores: H. Allende R. Salas
Conceptos Bá
Básicos
Conjuntos y Eventos
¾¾ Experimento
ExperimentoAleatorio:
Aleatorio:
-Proceso
-Procesoque
quetiene
tiene22oomás
másresultados
resultadosposibles
posibles
¾¾ Evento
(
Suceso)
Elemental:
Evento ( Suceso) Elemental:
-“Resultado”
-“Resultado”de
deun
unexperimento
experimentoindivisible
indivisible
-“Mutualmente
Excluyentes”:
-“Mutualmente Excluyentes”:sisiocurre
ocurreuno
unono
noexiste
existe
posibilidad
posibilidadde
deobservar
observarotro
otro
-“Equiprobable”
-“Equiprobable”::Cada
Cadaevento
eventosimple
simpletiene
tieneidentica
identica
probabilidad
probabilidad
¾¾ Espacio
EspacioMuestral
Muestral
-El
-Elconjunto
conjuntoque
quecontiene
contienetodos
todoslos
losresultados
resultadosposibles
posibles
¾¾ Evento
Evento“A”
“A”
-El
-Elconjunto
conjuntode
detodos
todoslos
loseventos
eventoselementales
elementalesposibles
posiblesque
que
resultan
resultanen
enlalaocurrencia
ocurrenciadel
delevento
evento“A”
“A”
Ω (S): Espacio Muestral: Todos los posibles
s ∈ S, resultado elemental
ℑ :Familia de todos los eventos posibles de S
∅ ∈ ℑ , luego ∅ es un Evento
B
A
s ∈ ∅, luego ∅ evento imposible
E
S ∈ ℑ , luego S es el Evento Seguro
A y B ∈ ℑ, luego son eventos
A∪B ∈ ℑ; A∩B ∈ ℑ; Ac ∈ ℑ, son eventos
s∈Ω
Profesores: H. Allende R. Salas
Concepto de σ-álgebra de sucesos
4
Conjuntos vs. Eventos
¾
¾ Sea
Sea ℑℑuna
una clase
clase no
no vacía
vacía formada
formada por
por ciertos
ciertos
subconjuntos
subconjuntos del
del espacio
espacio muestral
muestral S.
S. ℑℑes
esuna
una σσalgebra
algebra de
de sucesos
sucesos si
si los
los sucesos
sucesos complementarios
complementarios
de
de aquellos
aquellos que
que están
están en
en ℑℑ también
también están
están en
en ℑ,
ℑ, así
así
como
como sus
sus uniones
uniones numerables
numerables (sean
(sean finitas
finitas oo
infinitas).
infinitas). Esto
Esto se
se puede
puede enunciar
enunciar como:
como:
⎧∀A ∈ ℑ ⇒ A ∈ A
⎪
n
ℑ es una σ − álgebra ⇔ ⎨
Ai ∈ ℑ
⎪⎩∀A1 ,..., An ∈ ℑ ⇒ iΥ
=1
c
Profesores: H. Allende R. Salas
resultados elementales
Ω (S)
3
Profesores: H. Allende R. Salas
2
5
Teoría Conjuntos
Teoría Probabilidades
S= Ω
Universo
Espacio Muestral
ℑ
Conjunto Potencia
Familia Clases de Eventos
A∈ℑ
A subconjunto de S
A es un Evento
s ∈A
s es elemento de A
Ocurre el evento A
∅
S
Conjunto vacío
Evento Imposible
Universo
Evento Seguro
A∪B
A unión B
Evento A o Evento B
A∩B
Ac
A intersección B
Evento A y Evento B
Complemento de A
Evento no-A
A⊂B
A es subconjunto de B
A implica B
A∩B= ∅
A y B son disjuntos
A y B mutuamente excluyentes
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6
Ejemplo Dado
Ejemplo
¾¾ Se
Serealiza
realizaun
unexperimento
experimentoaleatorio
aleatoriode
delanzar
lanzarun
undado
dadoalal
aire:
aire:
-Sucesos
-Sucesoselementales
elementales Æ
Æ {1},
{1},{2},
{2},{3},
{3},{4},
{4},{5},
{5},{6}
{6}
-Espacio
Muestral
Æ
S={1,2,3,4,5,6}
-Espacio Muestral
Æ S={1,2,3,4,5,6}
-Conjunto
Æ
-ConjuntoPotencia
Potencia
Æℑ
ℑ=P(S)={Ø,S,{1},{2},...,{1,2},...}
=P(S)={Ø,S,{1},{2},...,{1,2},...}
σ-álgebra
-Sucesos
-Sucesosaleatorios
aleatorios
Æ
Æ
¾¾ Si
Sise
serealiza
realizaun
unexperimento
experimentoaleatorio
aleatoriode
deesperar
esperarel
eltiempo
tiempo
14
que
se
quehace
hacefalta
faltapara
paraque
queun
unátomo
átomode
decarbono
carbonocatorce,
catorce,CC14,,se
desintegre
de
modo
natural,
se
tiene
que
desintegre de modo natural, se tiene que
S = Ω = ℜ+
sin
sinembargo,
embargo,el
el σ-álgebra
σ-álgebrade
desucesos
sucesosque
quese
seconsidera
considerano
noes
es
P(ℜ),
P(ℜ),que
quees
esuna
unaclase
clasedemasiado
demasiadocompleja
complejapara
paradefinir
definirsobre
sobre
sus
elementos
una
medida
de
probabilidad.
En
su
lugar
se
sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se
considera
considerael
elσ-álgebra
σ-álgebraformada
formadapor
portodos
todoslos
losintervalos,
intervalos,
abiertos
abiertosoocerrados,
cerrados,yysus
susuniones
unionesfinitas
finitas
ØØsuceso
sucesoimposible
imposible
SS suceso
sucesoseguro
seguro
{1,
{1,3,
3,5}
5}
{4,
{4,5,
5,6}
6}
C
{2,
{2,4,
4,6}={1,
6}={1,3,
3,5}
5}C
....
....
ℑℑ={Ø,
={Ø,ℜℜ+,,(1,2),...,(2,3],...}
(1,2),...,(2,3],...}
+
lo
loque
quepor
porsupuesto
supuestoincluye
incluyeaalos
lospuntos
puntosde
deℜℜ+. .
+
7
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Espacio Muestral
Experimento Aleatorio
1
Traspasar Roja # 1
I
1
II
II
1
2
1
1
2
2
3
3
4
5
6
1
3
2
8
Profesores: H. Allende R. Salas
I
3
Traspasar Verde # 1
II
3
2
3
7
8
1
2
9
9 Se toma al azar una esfera de la urna I
9 Se transfiere a la urna II, se mezclan bien.
9 Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II.
9 ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?
Traspasar Verde # 2
II
11
12
3
3
2
9
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Nociones de Probabilidad
Profesores: H. Allende R. Salas
10
Ejemplo
¾¾ Probabilidad
Probabilidades
esuna
unamedida
medidade
delalaincertidumbre
incertidumbre(Estimación
(Estimación
de
delalaprobabilidad)
probabilidad)
¾¾ Teórica
Teórica--“A
“APriori”
Priori”
-Pr
(Ai)
=
-Pr (Ai) =nn//NN
¾¾ nn==número
númerode
deposible
posibleformas
formasen
enque“Ai”
que“Ai”puede
puedeser
ser
observado
observado
¾¾NN==número
númerototal
totalde
deresultados
resultadosposibles
posibles
¾¾ Histórica
Histórica(empírica-frecuencia)
(empírica-frecuencia)--“A
“APosteriori”
Posteriori”
-Pr
-Pr(Ai)
(Ai)== n/N
n/N
¾¾nn==número
númerode
deveces
vecesque
queocurrio
ocurrio“Ai”
“Ai”
¾¾NN==número
númerototal
totalde
deobservaciones
observaciones
¾¾ Subjetiva
Subjetiva
-La
-La “Opinión
“Opiniónde
deun
unExperto”
Experto”
Profesores: H. Allende R. Salas
2
10
2
Distintas
formas como
puede
resultar el
experimento.
Ya que las
esferas has
sido sacadas
al azar, cada
uno de ellos
tiene la
misma
posibilidad de
ocurrir
11
¾¾ En
Enlalafigura
figurase
sepresenta
presentalalaevolución
evoluciónde
delalafrecuencia
frecuenciarelativa
relativa
del
delnúmero
númerode
decaras
carasobtenido
obtenidoen
enel
ellanzamiento
lanzamientode
deuna
una
moneda
monedaen
en100
100ocasiones
ocasiones(simulado
(simuladoen
enun
uncomputador).
computador).
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12
Cálculo de Probabilidades
(Eventos Equiprobables)
Equiprobables)
Modelo Probabilí
Probabilístico
¾
¾Sea
Sea una
una Distribución
Distribución de
de Probabilidad
Probabilidad P,
P,
función
que
asigna
a
cada
función que asigna a cada sub-conjunto
sub-conjunto
razonable
razonable de
de Ω
Ω un
un valor
valor entre
entre 00 yy 1.1.
Ω
¾
¾Sea
Seaℑ ⊂ 2 colección
colección de
de eventos
eventos razonables
razonables
de
Ω
(σ-álgebra)
de Ω (σ-álgebra)
P : ℑ → [0;1]
Modelo de Probabilidad = (Ω, ℑ, P )
¾
¾Noción
Noción intuitiva
intuitiva (regla
(regla de
de Laplace):
Laplace):
P ( A) =
Resultados favorables al evento A
Resultados posibles
¾
¾Noción
Noción frecuentista:
frecuentista:
¾
Sea
¾ Sea
N : N ° total de veces que se realiza un experiment o
N A : N ° total de veces que ocurre A
P ( A) = lim N → ∞
Profesores: H. Allende R. Salas
13
NA
N
14
Profesores: H. Allende R. Salas
Ejemplo Dado
Cálculo de Probabilidades
(Eventos Equiprobables)
Equiprobables)
¾
¾¿Cuál
¿Cuál es
es la
la probabilidad
probabilidad de
de que
que al
al lanzar
lanzar un
un
dado
se
tenga
par?
dado se tenga par?
¾¾ Observación
Observación
-En
-Enmuchas
muchasocasiones
ocasionesnos
nospreocupamos
preocupamosde
deelegir
elegirde
demanera
manera
aleatoria
aleatoriauno
unooomás
másobjetos
objetosdesde
desdeuna
unacolección
colecciónde
deobjetos
objetos
-El
-Elespacio
espaciomuestral
muestrales
es Ω={1,
Ω={1,2,
2,3,
3,4,
4,5}.
5}.Vamos
Vamosaallamar
llamarA,
A,
alalsuceso
sucesoconsistente
consistenteen
enque
queel
elresultado
resultadoes
esimpar,
impar,
A={1,3,5}.
A={1,3,5}.Como
Comono
nosuponemos
suponemosque
queninguna
ningunade
delas
lascaras
caras
ofrece
ofreceuna
unaprobabilidad
probabilidadde
deocurrencia
ocurrenciadiferente
diferenteaalas
las
demás,
demás,podemos
podemosaplicar
aplicarlalaregla
reglade
deLaplace
Laplacepara
paraobtener
obtener
que
que
¾¾ Sea
Sea NNelelnúmero
númerode
deobjetos.
objetos.
-Elegir
1
objeto
al
-Elegir 1 objeto alazar,
azar,significa
significa que
quecada
cadaobjeto
objetotiene
tienelala
misma
1/NN
mismaprobabilidad
probabilidadde
deser
serelegido.
elegido.P(elegir
P(elegiraai ))==1/
i
-Elegir
-Elegir22objetos
objetosalalazar
azarsignifica
significaque
quecada
cadapar
parde
deobjetos
objetostiene
tiene
lalamisma
mismaprobabilidad
probabilidadde
deser
serselecionado.
selecionado.Supongamos
Supongamosque
que
existen
existenKKde
detales
talespares,
pares,entonces
entonceslalaprobabilidad
probabilidadde
deelegir
elegir
un
unpar
parcualesquieres
cualesquiereses
es1/
1/K.
K.
número de casos favorables a A
número de casos posibles
3 1
= =
6 2
P[ A] =
Profesores: H. Allende R. Salas
-Elegir
-Elegirrrobjetos
objetosaleatoriamente,
aleatoriamente,rr<<N,
N,signifiva
signifivaque
quecada
cada
r-tupla
r-tuplade
deobjetos
objetostiene
tienelalamisma
mismaprobabilidad
probabilidadde
deser
ser
seleccionada
seleccionadaque
quecualquier
cualquierotra
otrar-tupla.
r-tupla.
15
Profesores: H. Allende R. Salas
Probabilidad Axiomá
Axiomática
¾
¾Axioma
Axioma 1:
1:
P ( A) ≥ 0
¾
¾Axioma
Axioma 2:
2:
P (Ω ) = 1
Propiedades
¾
¾Axioma
Axioma 3:3:-
Suponiendo que {A i } , i ∈ I sea mutuamente excluyente
se verifica que , P ( ∪ A ) =
∑ P( A )
i
i
Profesores: H. Allende R. Salas
16
17
1.1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
P(φ)
P(φ) == 00
P(A)
P(A) ≤≤ 11
C
P(A
P(AC)) == 11 -- P(A)
P(A)
Si
Si A
A ⊂⊂ BB ⇒
⇒ P(A)
P(A) ≤≤ P(B)
P(B)
P(A∪B)
=
P(A)
+
P(B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) -- P(A∩B)
P(A∩B)
P(∪Ai)
≤
Σ
P(Ai)
P(∪Ai) ≤ Σ P(Ai)
Si
Si A
A ⊆⊆ BB ⇒
⇒ P(B-A)
P(B-A) == P(B)
P(B) -- P(A∩B)
P(A∩B)
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18
Espacio Muestral Finito
Probabilidad Condicional
¾
¾Sea
Sea
S = { s1 , s 2 ,..., s N }
E i = {si }
¾
¾Sean
Sean A,
A, BB dos
dos sucesos
sucesos tal
tal que
que P(B)
P(B) >> 0.
0.
¾
La
probabilidad
de
A
condicionada
a
la
¾ La probabilidad de A condicionada a la
ocurrencia
ocurrencia de
de B,
B, denotada
denotada como
como P(A|B)
P(A|B) ::
Espacio Muestral Finito
i = 1,.., N
Evento Elemental
N
∴ Υ Ei = S
Mutuamente excluyente s de a pares
i
P( A | B) =
¾
¾Aplicando
Aplicando los
los axiomas
axiomas se
se tiene
tiene
P ( Ei ) = f i > 0
N
P (Υ Ei ) = 1
¾
¾Propiedades:
Propiedades:
i = 1,2 ,3 ,...,N
→
i
Como E i Ι E j = 0
∑
¾
¾1.1. P(A|B)
P(A|B) ≥≥ 00
¾
2.
P(Ω
¾ 2. P(Ω |B)
|B) == 11
¾
3.
P(∪Ai|B)
¾ 3. P(∪Ai|B) == ΣΣ P(Ai|B)
P(Ai|B)
con
con Ai∩Aj
Ai∩Aj == ∅
∅ ,∀
,∀ i,i, jj :: ii ≠j
≠j
fi = 1
∀i ≠ j → P ( Ei Ι E j ) = P ( Ei ) + P ( E j )
19
Profesores: H. Allende R. Salas
Probabilidad Condicional
Centra el foco de atención en el
hecho que se sabe que han ocurrido
el evento B
A
B
20
Profesores: H. Allende R. Salas
Probabilidad Condicional
Ω
P( A Ι B)
P(B)
Estamos indicando que el espacio
muestral de interés se ha “reducido”
sólo a aquellos resultados que
definen la ocurrencia del evento B
Entonces, P(A | B) “mide” la
probabilidad relativa de A con
respecto al espacio reducido B
También se ha encontrado que el
5% de la piezas que no tienen
fallas superficiales son
funcionalmente defectuosas
Por lo tanto el 90%
no tienen fallas
visibles en la
superficie.
Se ha encontrado que el 25%
de las piezas con fallas
superficiales son
funcionalmente defectuosas
Se sabe que el 10% de las
piezas manufacturadas
tienen fallas visibles en la
superficie.
100% piezas
Manufacturadas
Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa}
B = { pieza tiene una falla visible en la superficie}
P( A dado B) = P(A | B) ?
21
Profesores: H. Allende R. Salas
Casos Probabilidad Condicional
Si A ∩ B = ∅ Æ P(A | B) =
A
B
A
B
Si A ∩ B = A Æ P(A | B) =
Probabilidad Total
P(∅)
P(A ∩ B )
=
=0
P(B)
P(B)
P(A ∩ B )
P(A)
=
≥ P(A)
P(B)
P(B)
¾
¾Sean
Sean BB11,, BB22,....,B
,....,Bnn eventos
eventos mutuamente
mutuamente
excluyentes
:
excluyentes :
n
P (Υ B i ) = 1
i =1
Entonces
Entonces
P ( A) =
n
∑ P( A | B )P(B )
i =1
A
Si A ∩ B = B Æ P(A | B) =
B
Si A ∩ B ≠ ∅ Æ P(A | B) =
A
B
Profesores: H. Allende R. Salas
22
Profesores: H. Allende R. Salas
P(B)
P(A ∩ B )
=
=1
P(B)
P(B)
23
i
¾
¾Consecuencia
Consecuencia (Regla
(Regla de
de Bayes):
Bayes):
P ( Bi | A ) =
P(A ∩ B )
=
P(B)
i
P ( A | Bi ) P ( Bi )
P ( A)
Profesores: H. Allende R. Salas
24
Probabilidad Total
B1
A
Equipo
Fallado
B2
Regla de Bayes
B5
A∩B1
A∩B2
A∩B4
A∩B3
B4
Equipo
Manufacturado
en Planta B2
B3
n
Sean B1, B2,....,Bn
eventos mutuamente excluyentes
P ( Υ Bi ) = 1
i =1
Entonces
P ( A) =
∑ P( A | B )P(B )
i =1
i
i
i
i
Bi Ι B j = φ ;
j
n −1
i =1
i =1
¾¾ El
ElNúmero
Númerode
demaneras
maneras
diferentes
diferentesde
deelegir
elegiroosacar
sacarun
un
elemento
de
del
elemento de delconjunto
conjunto11que
que
tiene
elementos,luego
luegoun
un
tienenn11elementos,
elemento
elementode
deun
unconjunto
conjunto22que
que
tiene
elementos,......,,yy
tienenn22elementos,
finalmete
un
elemto
del
k-ésimo
finalmete un elemto del k-ésimo
conjunto
elemetos,
conjuntoque
quetiene
tienennkkelemetos,
en
endonde
dondeel
elorden
ordencomo
comose
se
selecciona
seleccionaes
esimportante
importante
P ( Ι Ai ) = P ( Ai ) P ( A2 | A1 )..... P ( An | Ι Ai )
n
P (Ι Ai ) > 0
i =1
Profesores: H. Allende R. Salas
26
Profesores: H. Allende R. Salas
Regla de la Multiplicació
Multiplicación
¾
¾Ley
Ley Multiplicativa:
Multiplicativa:
n
i≠ j
Υ Bj = S
j
Probabilidad Multiplicativa
n1
27
n2
n2
n2
nk
nn1**nn2**......*
1
2 ......* nk
Ejemplo 1
Profesores: H. Allende R. Salas
28
Solució
Solución
1)
1) Sean
Sean A,B
A,B sucesos
sucesos de
de un
un mismo
mismo modelo
modelo de
de
probabilidad
(Ω,
ℜ,
P)
tales
que:
probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que:
P(B)=0,4
P(B)=0,4
i
25
Profesores: H. Allende R. Salas
siempre
siempre que:
que:
¾
¾Se
Se pide
pide P(B
P(B33|A);
|A); pero
pero sólo
sólo se
se conoce
conoce
P(A
∩
B
),
i
=
1,
2,
3,
..
,
k
P(A ∩ Bi i),
i = 1, 2, 3, .. , k
¾
¾ Sabemos
Sabemos que
que
P(A
P(A ∩
∩ BBi)) == P(
P( AA || BBi )) P(B
P(Bi)) == P(B
P(Bi || A)
A) P(A)
P(A)
P ( A | Bi ) P ( Bi )
P ( Bi | A ) =
∑ P ( A | B j )P ( B j )
n
i
¾
¾Supongamos
Supongamos de
de que
que se
se elige
elige aleatoriamente
aleatoriamente
un
Equipo
y
se
encuentra
un Equipo y se encuentra que
que está
está fallado.
fallado.
¿cuál
es
la
probabilidad
que
sea
¿cuál es la probabilidad que sea
manufacturado
manufacturado en
en Planta
Planta BB33 ??
P(A∪B)=0,7
P(A∪B)=0,7 P(A|B)=0,75
P(A|B)=0,75
P(AC) = 1 - P(A)
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(A∩B) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3
P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6
P(AC) = 0,4
P(A-B) = P(A∩BC) = P(A) - P(A∩B) = 0,6 - 0,3 = 0,3
Determinar:
Determinar:
P(AC∪BC) = P(AC) + P(BC) - P(AC∩BC)
P(AC∩BC) = P(BC) - P(A∩BC) = 0,6 - 0,3 = 0,3
Luego P(AC∪BC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7
C
C
C
C
P(A
P(AC)) ;; P(A-B)
P(A-B) ;; P(A
P(AC∪B
∪BC)) ;; P(A|B
P(A|BC))
Profesores: H. Allende R. Salas
P(A/BC) = P(A∩BC) = 0,3 = 0,5
P(BC)
0,4
29
Profesores: H. Allende R. Salas
30
Ejemplo 2
Solució
Solución
¾
¾ Un
Un procesador
procesador para
para computadores
computadores puede
puede provenir
provenir
de
de cualquiera
cualquiera de
de tres
tres fabricantes
fabricantes con
con
probabilidades:
probabilidades: pp11 == 0,25;
0,25; pp22 == 0,50;
0,50; pp33 == 0,25.
0,25.
¾
Las
probabilidades
de
que
un
procesador
¾ Las probabilidades de que un procesador funcione
funcione
correctamente
correctamente durante
durante 10.000
10.000 horas
horas es
es 0,1;
0,1; 0,2
0,2 yy
0,4
0,4 respectivamente
respectivamente para
para los
los 33 fabricantes:
fabricantes:
¾
¾i)i) Calcular
Calcular la
la probabilidad
probabilidad de
de que
que un
un procesador
procesador
elegido
elegido al
al azar
azar funcione
funcione durante
durante 10.000
10.000 horas.
horas.
¾
ii)
Si
el
procesador
funcionó
correctamente
¾ ii) Si el procesador funcionó correctamente
durante
durante el
el período
período de
de 10.000
10.000 horas
horas ¿cuál
¿cuál es
es la
la
probabilidad
de
que
haya
provenido
del
3er
probabilidad de que haya provenido del 3er
fabricante?
fabricante?
Profesores: H. Allende R. Salas
¾
¾ P (C ) =
P (C | F3 ) P ( F3 )
P (C )
0.4 * 0.25
=
= 0.444
0.225
¾
¾ P ( F3 | C ) =
¾¾ Independencia
Independenciaprobabilística
probabilísticaConjunta
Conjunta⇒
⇒Independencia
Independencia
de
deaapares
pares
2.
2.Independencia
Independenciaprobabilística
probabilísticade
deaapares
pares⇒
⇒Independencia
Independencia
probabilística
probabilísticaConjunta
Conjunta
3.
Si
A,
B
son
eventos
independientes
3. Si A, B son eventos independientesprobabilísticamente.
probabilísticamente.
Entonces
Entoncesse
setiene
tiene
P ( A | B ) = P ( A)
P ( B | A) = P ( B )
φ ⊂ J ⊆ I = {1,2,3,..., k}
Ω
4.
4. Sea
Sea(Ω,
(Ω,22Ω,,P)
P)modelo
modelode
deprobabilidad.
probabilidad.
33
34
Profesores: H. Allende R. Salas
Ejemplo 3.4 : Independencia
Probabilí
Probabilística
Independencia Probabilí
Probabilística
Ejemplo
Ejemplo 3:
3:
Ω
Sea
(Ω,
2
Sea (Ω, 2Ω,, P)
P) modelo
modelo de
de probabilidad.
probabilidad.
Ω
=
{
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
Ω = { (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)
(1,1,1) }}
P({w
= 1/4
∀∀ ii == 1,
P({wi})
1, 44
i}) = 1/4
ΩΩ, P) :
Sean
A
,
A
,
A
eventos
de
(Ω,
2
Sean A11, A22, A33 eventos de (Ω, 2 , P) :
era
A
A11:: 11era coord.
coord. es
es 11
da
A
A22:: 22da coord.
coord. es
es 11
era
A
A33:: 33era coord.
coord. es
es 11
Estudiar
independencia
Estudiar independencia conjunta
conjunta yy de
de aa pares.
pares.
Profesores: H. Allende R. Salas
C
¾¾ A,
A,BBC son
sonindependientes.
independientes.
¾¾ AACC, ,BBCC son
sonindependientes
independientes
C
¾¾ AAC, ,BB son
sonindependientes
independientes
Estudiar
Estudiarindependencia
independenciaconjunta
conjuntayyde
deaapares
pares. .
j∈J
Profesores: H. Allende R. Salas
32
Profesores: H. Allende R. Salas
Observaciones
¾
¾ Sean
Sean {A
{Ai:i: ii ∈∈ II == {1,2,3,......,k}}
{1,2,3,......,k}} una
una colección
colección de
de
eventos
eventos de
de (Ω,
(Ω, ℑ,
ℑ, P).
P). Se
Se dice
dice que
que los
los elementos
elementos son
son
conjuntamente
conjuntamente independientes
independientes ssi:
ssi:
j∈J
i
= 0.1* 0.25 + 0.2 * 0.5 + 0.4 * 0.25
= 0.225
31
¾
¾ Sean
Sean A,
A, BB dos
dos eventos
eventos del
del modelo
modelo probabilístico
probabilístico
(Ω,
ℑ,
P).
A,
B
se
dicen
probabilísticamente
(Ω, ℑ, P). A, B se dicen probabilísticamente
independientes
independientes ssi:
ssi:
P ( Ι A j ) = ∏ P ( Ai )
i
i =1
Independencia Probabilí
Probabilística
P ( A Ι B ) = P ( A) P ( B ) ⇒
3
∑ P(C | F ) P( F )
35
1
2
B
A
3
4
Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan
independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B
P( E ) = P[( R1 Ι R2 ) Υ ( R3 Ι R4 )]; P( E ) = P[ R1 Ι R2 ] + P[ R3 Ι R4 ] − P[Ι Ri ] = 2 p 2 − p 4
2
1
5
B
A
3
4
Profesores: H. Allende R. Salas
36
Construcció
Construcción Modelos de Probabilidad
¾
¾Sea
Sea µµ una
una medida
medida en
en el
el Espacio
Espacio Muestral
Muestral
tal
que
µ
(Ω)
<
∞
:
Longitud
tal que µ (Ω) < ∞ : Longitud ;; Superficie
Superficie
Volumen.
Volumen. etc.
etc.
Ejemplo 3.5:
¾
¾Problema
Problema del
del encuentro:
encuentro:
Dos
Dosestudiantes
estudiantesacuerdan
acuerdan[9;
[9;10]
10]encontrarse
encontrarseen
enlala
biblioteca
bibliotecade
delalaUTFSM
UTFSM entre
entrelas
las99A.M.
A.M. yylas
las10
10A.M.
A.M.un
un
día
díalunes.
lunes.El
Elprimero
primeroque
quellega
llegaaalalabiblioteca
biblioteca,,espera
esperaalalotro
otro
10
10minutos
minutos(dentro
(dentrodel
delintervalo
intervalode
detiempo
tiempopactado).
pactado).Si
Sise
se
supone
suponeque
quecada
cadauno
unollega
llegaalalazar
azaren
enel
elintervalo
intervalode
detiempo
tiempo
convenido
convenidoyyque
quelos
lostiempos
tiemposde
dellegada
llegadason
sonindependientes.
independientes.
¿¿Cuál
Cuáles
eslalaprobabilidad
probabilidadque
queestos
estosestudiantes
estudiantesse
se
encuentren
encuentren??
¾¾ Solución:
Solución: X(t)
X(t)::Llegada
Llegadadel
delestudiante
estudiante11
Y(t)
Y(t)::Llegada
Llegada del
delestudiante
estudiante22
[X(t);Y(t)]
∈
[9;
10]x
[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x[9;
[9;10]=
10]=[0;
[0;60]X
60]X[0;
[0;60]=Ω
60]=Ω
A={[X(t);Y(t)]
:
|X(t);Y(t)|<
10}
A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10}
P(A)=
P(A)=µ(Α)/µ(Ω)=
µ(Α)/µ(Ω)=11/
11/36
36
¾
¾Entonces
Entonces existe
existe un
un función
función definida
definida en
en IR
IR
P:ℜ →ℜ
µ ( A)
P( A) =
µ (Ω)
es
es una
una medida
medida de
de Probabilidad
Probabilidad
37
Profesores: H. Allende R. Salas
Profesores: H. Allende R. Salas
Ejemplo 3.5:
38
Variaciones
Problema
Problemadel
delencuentro:
encuentro:
Dos
Dosestudiantes
estudiantesacuerd
acuerd[9;
[9;10]
10]an
anencontrarse
encontrarseen
enlala
biblioteca
bibliotecade
delalaUTFSM
UTFSM entre
entrelas
las99A.M.
A.M. yylas
las10
10A.M.
A.M.un
un
día
díalunes.
lunes.El
Elprimero
primeroque
quellega
llegaaalalabiblioteca
biblioteca,,espera
esperaalalotro
otro
10
minutos
(dentro
del
intervalo
de
tiempo
pactado).
Si
se
10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se
supone
que
cada
uno
llega
al
azar
en
el
intervalo
de
tiempo
supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo
convenido
convenidoyyque
quelos
lostiempos
tiemposde
dellegada
llegadason
sonindependientes.
independientes.
¿¿Cuál
es
la
probabilidad
que
estos
estudiantes
Cuál es la probabilidad que estos estudiantesse
se
encuentren
encuentren??
Solución:
Solución: X(t)
X(t)::Llegada
Llegadadel
delestudiante
estudiante11
Y(t)
Y(t)::Llegada
Llegada del
delestudiante
estudiante22
[X(t);Y(t)]
[X(t);Y(t)]∈∈[9;
[9;10]x
10]x[9;
[9;10]=
10]=[0;
[0;60]X
60]X[0;
[0;60]=Ω
60]=Ω
A={[X(t);Y(t)]
A={[X(t);Y(t)]:: |X(t);Y(t)|<
|X(t);Y(t)|<10}
10}
P(A)=
P(A)=µ(Α)/µ(Ω)=
µ(Α)/µ(Ω)=11/
11/36
36
¾¾ Def:
Def:Sea
SeaAAun
unconjunto
conjunto:: Card( A) = n,, se
sellama
llamavariación
variación
simple
simpleoosin
sinrepetición
repeticiónaatodo
todosubconjunto
subconjuntode
dennelementos
elementos
distinguiéndose
estos
entre
si,
en
los
elementos
que
distinguiéndose estos entre si, en los elementos quelo
lo
componen
componenyyen
enel
elorden
ordenen
enque
queestos
estoselementos
elementosvan
vancolocados
colocados
A = {x1 , x2 ,..., xn }
V (n,2) = n(n −1)
V (n,3) = n(n −1)(n − 2)
.....
V (n, k ) = n(n −1)(n − 2).....(n − k + 1)
¾¾ Obs:
Obs:Si
Silas
lasvariaciones
variacionesson
soncon
conrepetición
repetición
V 1 (n, k ) = nk
39
Profesores: H. Allende R. Salas
Profesores: H. Allende R. Salas
Permutac
Permutacione
iones
Número de maneras distintas de
sacar r elementos de lote de n Æ
CUANDO EL ORDEN IMPORTA :
Nota: Estudiar permutaciones con
repetición
40
Combinac
Combinacione
iones
¾
¾Combinaciones
Combinaciones (sin
(sin
repetición):
repetición):
n!
P =
(n − r )!
n
r
¾
¾Número
Número de
de maneras
maneras
distintas
distintas de
de sacar
sacar rr
elementos
de
elementos de lote
lote de
de nn
Æ
CUANDO
EL
ORDEN
Æ CUANDO EL ORDEN
NO
NO IMPORTA
IMPORTA
n objetos
C(n, r ) =
n!
r!(n − r )!
¾
¾Nota
Nota ::
----1
2
Profesores: H. Allende R. Salas
3
4
r
41
¾
¾Estudiar
Estudiar combinaciones
combinaciones
con
con repetición
repetición
CC11(n,r)=
(n,r)= (n+r-1)!/
(n+r-1)!/ r!(n-1)!
r!(n-1)!
Profesores: H. Allende R. Salas
42
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
ILI-280
Fin -- Capí
Capítulo 5:
Modelos de
Probabilidades
¿Preguntas?
Profesores:
Héctor Allende (hallende@inf.utfsm.cl)
Rodrigo Salas (rsalas@inf.utfsm.cl)
Página:
www.inf.utfsm.cl/~rsalas