El método de las Componentes Simétricas (continuación)

Departamento de Ingeniería Eléctrica
Área Electrotecnia
Universidad Nacional
de Mar del Plata
El método de las Componentes Simétricas
(continuación)
Autor:
Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia
EDICION 2015
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) - Departamento de Ingeniería Eléctrica - Area Electrotecnia
El método de las componentes simétricas – continuación
Índice
1
Efecto de las componentes simétricas sobre las impedancias.
2
Impedancias de secuencia o secuenciales.
3
Consideraciones sobre las leyes de Kirchhoff.
4
Consideraciones sobre el Teorema de Kennelly (transformación Y - )
5
Consideraciones sobre transformadores conectados en Y - .
Archivo página web:
http://www3.fi.mdp.edu.ar/dtoelectrica/catedras_3e3.htm
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El método de las componentes simétricas – continuación
1. Efecto de las componentes simétricas sobre las impedancias.
Veamos el resultado que se obtiene al aplicar el método de las componentes
simétricas a un conjunto de impedancias que pueden constituir una línea de un
sistema de potencia.
Supóngase que comenzamos definiendo con:
Vabc = [Zabc] Iabc
[1]
Donde [Zabc] es una matriz de 3 x 3 dando la auto y mutua impedancia en y entre las
fases.
Expresando la [1] en términos de componentes simétricas resulta:
[T] V012 = [Zabc] [T] I012
dado que:
Vabc = [T] V012
y
[2]
Iabc = [T] I012
Premultiplicando por [T] – 1 a ambos miembros de la [2] resulta:
Definimos:
V012 = [T] –1 [Zabc] [T] I012
[3]
Z012 = [T] –1 [Zabc] [T]
[4]
Así que:
V012 = [Z012 ] I012
[5]
La clave para comprender la importancia de las componentes simétricas radica en la
ecuación [5].
Para componentes de sistemas típicos de potencia la matriz [Z012] no es diagonal, pero
posee ciertas simetrías.
Estas son tales que [Z012] es diagonal, ya sea exacta o aproximadamente. Cuando
éste es el caso, el análisis se simplifica considerablemente.
2. Impedancias de secuencia o secuenciales.
Estas impedancias son también llamadas: la síncrona ZS es la presentada a las
corrientes directas, la asíncrona Za la presentada a las corrientes inversas y la de
secuencia cero Z0 la presentada a las corrientes homopolares.
En el cálculo de los circuitos por el método de las componentes simétricas se examinan
por separado los esquemas para las corrientes y tensiones de distintas secuencias.
La impedancia en el neutro no ejerce influencia sobre los sistemas simétricos de las
corrientes de secuencia directa e inversa, de allí que no se indiquen las impedancias en
el conductor neutro, para dichas secuencias.
En el esquema que se da para las corrientes y tensiones simétricas de secuencia nula se
introducen, en lugar de la impedancia ZN en el neutro, valores triplicados de dicha
impedancia en cada fase.
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Todos los cálculos se realizan para una fase llamada “fundamental”. Generalmente se
toma como fase fundamental la fase “a”, y para simplificar las notaciones se omite el
subíndice a.
En los circuitos estáticos trifásicos simétricos cualesquiera (circuitos que no contienen
máquinas giratorias), la inversión del ordenamiento de las fases de las tensiones
simétricas no modifica la magnitud de las corrientes; de allí que las impedancias y las
redes de secuencia directa e inversa son iguales.
En las máquinas eléctricas no solo Z0 se distingue de Z1 sino que tampoco Z2 es igual a
Z1. Aclararemos la causa de esto en el ejemplo de un motor asincrónico. En un régimen
normal de trabajo cuando en los arrollamientos del estator está aplicado un sistema
simétrico de tensiones de secuencia directa, el campo magnético y el rotor del motor
giran en un mismo sentido. La velocidad de giro del rotor es generalmente apenas en un
1.5 a 4 % menor de la velocidad del campo magnético giratorio. Otras son las
condiciones en un régimen simétrico con corrientes y tensiones de secuencia inversa. Si
se asegura a la rotación del rotor la misma velocidad y el mismo sentido que en el
régimen normal (por ejemplo con la ayuda de otro motor) y si se invierte al mismo tiempo
la secuencia de fases de las tensiones aplicadas a los arrollamientos del estator,
entonces en los arrollamientos del motor habrá un sistema simétrico de corrientes de
secuencia inversa que creará un campo magnético que girará con la misma velocidad
que en el régimen normal, pero en sentido contrario (al encuentro del movimiento del
rotor). Como resultado, el campo magnético giratorio tendrá respecto al rotor una
velocidad casi dos veces mayor que la del campo respecto al rotor en régimen normal.
En comparación con el régimen normal aumentarán bruscamente las corrientes inducidas
en el rotor. Según la Ley de Lenz ellas debilitarán en campo magnético que las induce,
en mayor medida que en las condiciones de funcionamiento normal. El debilitamiento del
campo giratorio reduce las f.e.m.s. inducidas por dicho campo en los arrollamientos del
estator. Dado que las tensiones aplicadas a los arrollamientos del estator se equilibran
fundamentalmente por esas f.e.m.s., su disminución hará que aumenten las intensidades
de las corrientes en el estator.
Como resultado, para magnitudes iguales de las tensiones simétricas aplicadas, de
secuencia directa e inversa y para una velocidad y un sentido invariables de la rotación
del rotor, las intensidades de las corrientes de secuencia inversa resultan mayores que
las intensidades de secuencia directa. Por consiguiente, la impedancia del motor para
corrientes de secuencia inversa es menor que la impedancia para las corrientes de
secuencia directa: Z2 < Z1.
Las corrientes de secuencia nula no crean un campo magnético giratorio, En
consecuencia, las condiciones del paso de las corrientes de secuencia nula en el motor,
se distinguen de las del paso de las corrientes de secuencia directa e inversa, y de allí
que Z1  Z0  Z2.
Podemos establecer algunos resultados de orden general:
a) Salvo las máquinas giratorias, la impedancia presentada a corrientes equilibradas es
independiente de la secuencia de fases Z1 = Z2.
b) En las máquinas giratorias, el campo debido a las corrientes inversas gira en sentido
contrario al producido por las corrientes directas y por la corriente de excitación:
Z1  Z2.
c) Los valores de Z0 dependen de la forma en que los puntos neutros están ligados a la
tierra o a un conductor de retorno. En el caso en que los puntos neutros están
aislados y en que la capacidad de los conductores respecto a tierra es despreciable,
las impedancias de secuencia cero son infinitas, pues la corriente homopolar
evidentemente no pueden cerrarse (recordar que Ih = 1/3( Ia + Ib + Ic).
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Algunos textos de Sistemas de Potencia designan a estas impedancias como
impedancia “directa”, “inversa” y “homopolar” y las simbolizan como Zd , Zi y Zh, lo
cual puede traer confusiones, ya que se las podría interpretar como componentes
simétricas de un sistema de impedancias desiguales (Za, Zb y Zc), lo cual no responde
de ningún modo a la realidad. Se trata de impedancias de secuencia y no de
componentes simétricas.
3. Consideraciones sobre las leyes de Kirchhoff.
La primera Ley de Kirchhoff puede ser formulada como:
“La suma fasorial de todas las corrientes de los conductores en un nodo es
igual a cero”
I=0
Si consideramos la fase R en un nodo donde concurren por ejemplo tres corrientes se
tiene:
I´R + I´´R + I´´´ R = 0
Análogamente para las fases S y T, resulta:
I´S + I´´S + I´´´ S = 0
y
I´T + I´´T + I´´´ T = 0
Considerando nuevamente la fase R, pero en términos de C.S.
(I´0R + I´ 1R + I´ 2R) + (I´´0R + I´´ 1R + I´´ 2R) + (I´´0R + I´´ 1R + I´´ 2R) = 0
(I´0R + I´´ 0R + I´´´ 0R) + (I´1R + I´´ 1R + I´´´ 1R) + (I´2R + I´´ 2R + I´´´ 2R) = 0
En forma similar para las otras fases:
(I´0R + I´´ 0R + I´´´ 0R) + a2 (I´1R + I´´ 1R + I´´´ 1R) + a (I´2R + I´´ 2R + I´´´ 2R) = 0
(I´0R + I´´ 0R + I´´´ 0R) + a (I´1R + I´´ 1R + I´´´ 1R) + a2 (I´2R + I´´ 2R + I´´´ 2R) = 0
Sumando las últimas expresiones y usando la relación (1 + a2 + a)=0, nos dará:
(I´0R + I´´ 0R + I´´´ 0R) = 0
Sumando la antepenúltima, “a” veces la anteúltima y a2 veces la última, resulta:
(I´1R + I´´ 1R + I´´´ 1R) = 0
Sumando la antepenúltima, “a” veces la anteúltima y a2 veces la última, resulta:
(I´2R + I´´ 2R + I´´´ 2R) = 0
Estos tres últimos resultados ponen en evidencia que las componentes
simétricas separadas de las corrientes que se encuentran en un nodo, obedecen
la 1º Ley de Kirchhoff del mismo modo que lo hacen las corrientes normales.
En cualquier nodo entonces se cumple:
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 IR0 = 0
 IR1 = 0
 IR2 = 0
Similares conceptos se podrán aplicar a las fases S y T.
Con relación a la 2º Ley de Kirchhoff se podrá decir:
“La sumatoria fasorial de f.e.m. en un lazo es igual a la suma fasorial de los
productos de las corrientes e impedancias de ramas que corresponden a dicho
lazo”
E =IZ
Ya se ha visto que las f.e.m.s. de una fase en particular, con una secuencia dada, en
C.S. produce solo corrientes de la misma secuencia de fases.
Cada una de las redes de secuencia individuales se podrán hallar siguiendo la
segunda ley de Kirchhoff que para el caso general se puede admitir que para cualquier
circuito cerrado, la sumatoria fasorial de f.e.m. de cualquier secuencia de fases (1,2 y
0) debe ser igual a la suma de las caídas de potencial en la misma secuencia:
 ER0 =  IR0 Z0
 ER1 =  IR1 Z1
 ER2 =  IR2 Z2
Indentidades similares pueden, por supuesto, escribiendo para las fases S y T.
4. Consideraciones sobre el Teorema de Kennelly (transformación Y - )
4.1. Transformaciones Y -  con corrientes.
Cuando se consideran conexiones de impedancias en ““, especialmente en
transformadores, es a menudo necesario convertir los valores de línea en valores de
fase y viceversa tratado por supuesto en componentes simétricas.
Sean IR, IS e IT las corrientes de línea y IRS, IST e ITR las corrientes de fase del triángulo.
Aplicando Kirchhoff en los nodos del “”, para cada secuencia de fases, tendremos:
 Para la secuencia homopolar:
IR0 = IRS0 – ITR0 = 0
 Para la secuencia 1: IR1 = IRS1 – ITR1 = a IST1 – a2 IST1 = ( a – a2 ) IST1 = j 3 IST1
Entonces:
IST1 = - j/3 IR1
 Para la secuencia 2: IR2 = IRS2 – ITR2 = a2 IST2 – a IST2 = ( a2 – a) IST2 = - j 3 IST2
Entonces:
IST2 = j/3 IR2
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I S2
w
w
I ST1
I ST2
90º
I TR1
90º
I R2
I R1
I T2
I RS1
4.2. Transformaciones  -  con tensiones.
En una configuración Y las tensiones de fase y de línea serán respectivamente:
VR , VS , VT y VRS , VST y VTR
Siendo:
VTS = VT – VS
Considerando la 2º de kirchhoff en C.S. resulta:
 Para la secuencia homopolar:
VTS0 = VT0 – VS0 = 0
 Para la secuencia 1: VTS1 = VT1 – VS1 = a VR1 – a2 VR1 = (a – a2) VR1 = j 3 VR1
Por lo tanto:
VR1 = - j / 3 VTS1
 Para la secuencia 2: VTS2 = VT2 – VS2 = a2 VR2 – a VR2 = (a2 – a) VR2 = - j 3 VR2
Por lo tanto:
VR2 = j/3 VTS2
5. Consideraciones sobre transformadores conectados en Y - .
En la siguiente figura se muestra un transformador trifásico Y -  que posee una
relación de transformación “n”.
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Transformador Y -  - Distribución de corrientes
R
I´R
T
IT = IST – ITR
ITR = n I´S
IST = n I´R
IR = ITR - IRS
R
I´T
IRS = n I´T
S
T
IS = IRS - IST
I´S
S
El objeto del presente apartado es considerar algunos aspectos relativos a lo que
acontece en estas máquinas estáticas cuando además de cambiar las magnitudes de
tensión y corriente entre los bobinados primario y secundario, se verifica un
desplazamiento de fases que será distinto según se trate de secuencia positiva o
negativa de las componentes simétricas de tensión y corriente.
La teoría de las máquinas eléctricas nos dice que para conexión Y - , primario y
secundario respectivamente, la relación de tensiones de línea es dada por: N = n 3.
5.1. Análisis de las corrientes.
Sean I´R , I´S e I´T las corrientes de línea en los bobinados en “Y” e IR , IS e IT las
corrientes de línea en el secundario en “”.
Las corrientes de fase en el  resultan:
IRS = n I´T
IST = n I´R
ITR = n I´S
Las corrientes de línea en el secundario del transformador, aplicando la 1º Ley de
Kirchhoff en los nodos correspondientes, resultarán:
IR = ITR - IRS = n (I´S – I´T) = N/3 (I´S – I´T)
IS = IRS - IST = n (I´T – I´R ) = N/3 (I´T – I´R)
IT = IST - ITR = n (I´R – I´S ) = N /3 (I´R – I´S)
 Consideremos que la terna aplicada es de secuencia positiva, luego las corrientes
las identificaremos con el subíndice 1 y valdrán:
IR1 = N/3 ( I´S1 – I´T1) = N/3 (a2 – a) I´R1 = - j N I´R1
IS1 = N/3 ( I´T1 – I´R1) = N/3 (a2 – a) I´S1 = - j N I´S1
IT1 = N/3 ( I´R1 – I´S1 ) = N/3 (a2 – a) I´T1 = - j N I´T1
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Entonces cuando se considera la relación de corrientes de una transformación
en configuración Y-  de un transformador trifásico, habrá un desplazamiento de
fase de – 90º, además del cambio de magnitud de las corrientes de la secuencia
positiva.
 En el caso de considerarse corrientes de secuencia 2:
IR2 = N/3 ( I´S2 – I´T2) = N/3 (a – a2) I´R2 = j N I´R2
IS2 = N/3 ( I´T2 – I´R2) = N/3 (a – a2 ) I´S2 = j N I´S2
IT2 = N/3 ( I´R2 – I´S2 ) = N/3 (a – a2) I´T2 = j N I´T2
El corrimiento de fase entre las correspondientes corrientes de secuencia
inversa en el primario y en el secundario se ve que ahora es de 90º.
 Para las componentes de secuencia nula se cumple:
IR0 = N/3 ( I´S0 – I´T0) = 0 , análogamente: I0S = I0T = 0
Este último resultado es muy importe, ya que expresa que mientras es posible que el
bobinado de la estrella circulen corrientes homopolares, también en los bobinados
secundarios (fases) circularán dichas corrientes pero sólo se constituirán como
corrientes de fase circulando internamente en el triángulo, pero no habrá corrientes
homopolares de línea en el secundario en .
En las figuras que siguen están representadas las corrientes de línea en los
transformadores con conexión Y - , donde se ponen de manifiesto las relaciones
encontradas.
I´1T
I´2S
n I´1T
I1S
I1T
n I´2R
I´2R
I2S
n I´1S
n I´2T
w
I´1S
w
n I´2S
I´1R
n I´1R
I2R
I1R
(a)
I2T
I´2T
(b)
a) Corrientes en transformadores Y -  secuencia positiva.
b) Corrientes en transformadores Y -  - secuencia negativa.
5.2. Análisis de las tensiones.
En un transformador ideal, como el de la figura siguiente, las tensiones compuestas
del primario y secundario son respectivamente: E´RS, E´ST, E´TR y ERS, EST, ETR,
mientras que las tensiones de fase del primario en estrella son: E´R, E´S y E´T.
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Transformador Y -  - Tensiones de línea
R
T
E´RS
ETR = E´S / n
E´R
E´TR
ETR
EST = E´R / n
E´T
E´S
T
E´ST
EST
R
S
ERS = E´T / n
ERS
S
En la conexión estrella se cumple:
E´RS = E´R – E´S = n ( EST – ETR) = N/3 (EST – ETR)
E´ST = E´S – E´T = n ( ETR – ERS) = N/3 (ETR – ERS)
E´TR = E´T – E´R = n ( ERS – EST) = N/3 (ERS – EST)
 Estas expresiones básicas para la secuencia positiva:
E´RS1 = N/3 (EST1 – ETR1) = N/3 (a – a2) ERS1 = j N ERS1
E´ST1 = N/3 (ETR1 – ERS1) = N/3 (a – a2) EST1 = j N EST1
E´TR1 = N/3 (ERS1 – EST1) = N/3 (a – a2) ETR1 = j N ETR1
De las cuales:
ERS1 = - j/N E´RS1
EST1 = - j/N E´ST1
ETR1 = - j/N E´ TR1
Resulta ser que con las componentes de secuencia 1 de las tensiones de línea,
existe un desfase de – 90º al igual que en el caso de la secuencia positiva para
las corrientes de línea.
Las corrientes y tensiones deberán poseer el mismo desfase relativo para cada
secuencia en cuestión con el fin de que las potencias activas y reactivas se
mantengan igual tanto para el primario como para el secundario en un trafo ideal.
 Expresando la secuencia de fases negativas de las tensiones de línea, resulta:
E´RS2 = N/3 (EST2 – ETR2) = N/3 (a2 - a) ERS2 = - j N ERS2
E´ST2 = N/3 (ETR2 – ERS2) = N/3 (a2 - a) EST2 = - j N EST2
E´TR2 = N/3 (ERS2 – EST2) = N/3 (a2 - a) ETR2 = - j N ETR2
O sea que:
ERS2 = - j/N E´RS2
EST2 = - j/N E´ST2
ETR2 = - j/N E´TR2
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El método de las componentes simétricas – continuación
Nuevamente el desplazamiento de fase entre las componentes negativas del
primario al secundario es de + 90º como en el caso de las corrientes homologas.
En lo concerniente a las componentes de tensión de secuencia cero, estas podrán
aparecer en las tensiones de fase pero no en las líneas del lado de la estrella y, en el
caso del secundario en triángulo estas darán origen a la circulación sólo dentro del
mismo de una corriente homopolar.
En las figuras que siguen están representadas las tensiones de línea en los
transformadores con conexión Y - , donde se ponen de manifiesto las relaciones
encontradas.
Tensiones en transformadores Y -  - secuencia positiva.
E´1TR
E1TR
E1ST
E´1RS
w
E´1ST
E1RS
Tensiones en transformadores Y -  - secuencia negativa.
E´2ST
w
E2RS
E´2RS
E2ST
E2TR
E´2TR
Glf/2015
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