Probabilidad y Estadística - UTN FRGP

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Gral. Pacheco
Ingenierías Civil, Eléctrica y Mecánica
Cátedra: Probabilidad y Estadística
Profesores: Adrian Canzian y Tito Lasanta
Ayudantes: Carlos Krujovsky, Leire Bisagno y
Gabriela Arguindegui
-2012-
Calendario* de Probabilidad y Estadística 2012.
Carreras de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Civil.
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Receso
invernal
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Tema
Conjuntos, Conteo(T), Probabilidad Elemental (T)
Probabilidad condicional. Sucesos Independientes Total y Bayes (T)
Probabilidad (P)
Probabilidad (P)
Probabilidad (P)
Variables aleatorias (T)
Variables aleatorias (P)
Distribución Binomial y Poisson (T)
Distribución Normal (T)
Binomial, Poisson y Normal (P)
Binomial, Poisson y Normal (P)
Variables aleatorias multidimensionales (T/P)
Estadística descriptiva (T)
Estadística descriptiva (P)
Primer Parcial
Recuperatorio primer parcial
Estimadores
Estimación puntual de parámetros (T)
Estimación puntual de parámetros (P)
Distribuciones especiales 2, t y F. Estimación por intervalos (T)
Intervalos de confianza (T)
Intervalos de confianza (P)
Intervalos de confianza (P)
Prueba de Hipótesis (T)
Prueba de Hipótesis y Bondad de ajuste(T)
Prueba de Hipótesis y Bondad de ajuste (P)
Prueba de Hipótesis y Bondad de ajuste (P)
Regresión lineal (T)
Regresión lineal (P)
Consultas
Segundo Parcial
Diciembre Recuperatorio primero o segundo
Febrero
Recuperatorio primero o segundo
Nota: Carácter de la clase: Teórica (T), Práctica (P).
Calendario sujeto a posibles modificaciones.
*
Fecha de parciales* y recuperatorios* por especialidad. Los horarios y el aula serán confirmados
por el docente.
Civil
Eléctrica
Mecánica
Mecánica
(2da 1ra)
(2da 2da)
Primer Parcial
02/7
14/7
10/7
11/7
Recuperatorio
16/7
21/7
17/7
18/7
Segundo Parcial
5/11
10/11
6/11
7/11
Recuperatorio
12/11
17/11
13/11
14/11
Recuperatorio
20/02
20/02
20/02
20/02
*
Calendario sujeto a posibles modificaciones.
Trabajo Práctico N° 1
Técnicas de conteo. Conjuntos. Probabilidad elemental. Probabilidad condicional.
Sucesos independientes. Probabilidad total. Fórmula de Bayes.
1. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una fila de 7 personas en 7 sillas?.
2. ¿De cuántas maneras 3 niñas y 2 niños pueden sentarse en una fila si:
a. los niños se sientan juntos y las niñas también?
b. sólo las niñas se sientan juntas?
3. ¿Cuántas señales diferentes pueden formarse utilizando 6 banderas si están disponibles 4 rojas y
2 azules?
4. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto por 3 hombres y 2 mujeres, de un
grupo de 5 hombres y 7 mujeres?
5. Entre 12 estudiantes se seleccionan 4 para representar al grupo.
a. ¿De cuantas maneras puede escogerse la delegación?
b. ¿De cuantas maneras si dos estudiantes están casados entre sí y solo asisten si van juntos?
6. ¿De cuantas maneras pueden repartirse 7 juguetes en tres chicos, si el menor recibe 3, y los
otros dos cada uno?
7. Un hombre juega a lo sumo 5 veces a la ruleta. En cada juego gana o pierde 1 peso. Comienza
con un capital de 1 peso. Deja de jugar si perdió todo o si ganó 3 pesos. ¿De cuántas maneras
distintas puede ocurrir tal situación?
8. Se buscan estudiantes de ingeniería para ocupar tres puestos diferentes.
Se ofrecen 10 estudiantes. ¿De cuantas maneras distintas pueden ocuparse los puestos?
9. En el consorcio de un edificio de 20 departamentos hay un presidente, un secretario general y un
tesorero. Indique de cuantas maneras distintas puede formarse la comisión tomando un
representante por departamento.
10. En un equipo de 22 jugadores, hay 3 arqueros, 8 defensores 7 mediocampistas y 4 delanteros.
¿De cuántas maneras distintas puede formarse el equipo si el DT decide la estrategia 1-4-4-2. ?.
11. Dados los conjuntos A y B (no son excluyentes). Realizar el diagrama de Venn. Escribir los
siguientes conjuntos:
(a) Sólo A, (b) alguno de ellos, (c) sólo uno de ellos, (d) ambos.
12. Indique el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos:
(a) Tirar dos veces un dado.
(b) Tirar tres veces una moneda.
(c) Extraer al azar dos bolillas de una urna con 4 blancas y 7 negras.
(d) Idem pero con reposición.
(e) Tirar una moneda hasta obtener cara.
13. En una ciudad con 25.000 habitantes existen 3 bancos, que se utilizan de la siguiente manera:
CANTIDAD
5000
4500
6000
2000
1000
700
100
BANCO QUE UTILIZAN
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
(a) Representar mediante un diagrama de VENN.
(b) Se toma una persona al azar, calcular la probabilidad de que:
(b1). sólo utilice el banco A
(b2). sólo utilice el banco B
(b3). sólo utilice el banco A y B
(b4). no utilice ningún banco.
14. En una caja que contiene 900 resistencias se introducen 100 defectuosas (Total = 1000) Calcular
la probabilidad de tomar una resistencia y que resulte defectuosa.
15. Se tira una moneda cargada tal que la probabilidad de cara duplica la probabilidad de ceca.
Construya su modelo probabilístico.
16. 1000 motores se someten a dos controles A y B, : 50 fallan en A, 20 en B, y 10 en ambos. Si se
toma un motor al azar, calcule:
(a) la probabilidad de que falle en un control,
(b) la probabilidad de que falle en ambos.
17. Dado el espacio muestral E = (a1, a2, a3, a4), indique cual de las siguientes
alternativas conforma un espacio de probabilidad:
a. P(a1) = 0.5,
b. P(a1) = 0.5,
c. P(a1) = 0.5,
d. P(a1) = 0.5,
P(a2) = 1/8,
P(a2) = 1/4,
P(a2) = 1/4,
P(a2) = 1/4,
P(a3) = 1/4,,
P(a3) = -1/4,
P(a3) = 3/4,
P(a3) = 1/4,
P(a4) = 1/5
P(a4) = 1/2
P(a4) = -3
P(a4) = 0
18. Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad
de que ninguna de las tres sea defectuosa.
19. Juan puede llegar a su trabajo por tren o bien por colectivo. El 35% de las veces emplea el
colectivo y el resto el tren. Si viaja en colectivo, ingresa al trabajo tarde el 5% de las veces;
mientras que si viaja en tren ingresa al trabajo tarde el 7% de las veces. Se sabe que hoy arribó
tarde al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en colectivo?
20. Sean 10 cartones numerados del 1 al 10. Se los ubica al azar en una hilera. Hallar la
probabilidad de que:
(a) el 1 y el 2 aparezcan uno a continuación del otro,
(b) el 1, el 2, y el 3 aparezcan uno a continuación del otro.
21. Sea una bolsa con 3 fichas azules y 7 blancas. Se extraen las fichas de a una al azar. Hallar la
probabilidad de que las tres azules estén juntas.
22. Diez personas esperan en una cola. Hallar la probabilidad de que entre Juan y José halla
exactamente tres personas.
23. Una empresa cuenta con 60 trabajadores, de los cuales 50 son operarios. Entre los
administrativos hay 8 mujeres. Entre los operarios hay 38 hombres. Se toma un trabajador al
azar. Hallar la probabilidad de que:
(a) sea operario
(b) sea administrativo y mujer.
(c) siendo operario, sea hombre.
(d) sea mujer u operario.
24. La probabilidad de que pieza textil tenga una falla es 0.15. Un inspector debe detectarlas, para
lo cual toma una muestra de 5 unidades: si encuentra 2 o más prendas con falla, aplica una
multa a la fábrica. Hallar la probabilidad de que:
(a) le aplique una multa.
(b) no le aplique una multa.
(c) no encuentre fallas.
(d) la primera prenda fallada sea la tercera que obtiene.
25. Sea un edificio con planta baja y seis pisos. Un ascensor sale de la planta baja con 6 pasajeros.
Indicar la probabilidad de que en ningún piso bajen 2 o más personas.
26. Sea una bolsa b1 con tres bolas azules y 1 blanca, y otra bolsa b2 con 2 azules y 1 blanca. Se
pasa una bola de b1 a b2 sin mirarla. Luego se extrae una bola de b2. Indicar la probabilidad de
que sea azul.
27. Sea la ecuación x2 + 2bx + c = 0. Suponga que los coeficientes b y c se obtuvieron tirando un
dado. Indicar la probabilidad de que b2 > c.
28. Se realizan tres tiros de moneda. En cada tiro se coloca en una bolsa una bola azul si sale ceca, y
blanca si sale cara. Indicar la probabilidad de que al sacar luego una bola de la bolsa, sea azul.
29. Por una carretera pasa un 25 % de camiones y un 75 % de autos. Las probabilidades que paren
en una estación de servicio son 0.01 y 0.02 respectivamente. Indicar la probabilidad de que el
próximo vehículo en detenerse sea un camión.
30. Se tiran dos dados. Hallar la probabilidad de que la suma de los números supere o iguale 10, si
aparece un 5 en el primer dado.
31. Se tiran dos dados. Los dos números son distintos. Hallar la probabilidad de que la suma sea 6.
32. Tres máquinas producen respectivamente el 50 %, 30 % y 20 % de la producción. Sus
porcentajes de desperfectos son 3 %, 4 % y 5 %, respectivamente. Se elige un artículo al azar.
Hallar la probabilidad de que:
(a) sea defectuoso.
(b) sea producido por la máquina A y resulte defectuoso.
(c) sea producido por la primera máquina, sabiendo que resultó defectuoso.
33. Un médico tiene 4 pacientes que conocen su teléfono particular. La probabilidad de que NO lo
llamen a su domicilio en la noche es 0.95; 0.97; 0.96; y 0.75.
(a) Hallar la probabilidad de que una noche no llame nadie.
(b) Hallar la probabilidad de que lo llamen los cuatro.
34. En una ciudad el 65 % de los varones adultos son casados. El 80 % de ellos ve fútbol. Del resto
de los varones adultos, solo el 30 % ve fútbol. Se toma al azar un varón adulto:
(a) si ve fútbol, hallar la probabilidad de que no este casado.
(b) hallar la probabilidad de que sea casado y no vea fútbol.
(c) hallar la probabilidad de que sea soltero o vea fútbol.
(d) hallar la probabilidad de que no vea fútbol o sea soltero.
(e) hallar la probabilidad de que no sea casado y no vea fútbol.
35. Un inversor planea comprar gran cantidad de acciones de una empresa, sabiendo que la
cotización se relaciona con el Producto Bruto Nacional. Si el PBN aumenta, la probabilidad de
que las acciones aumenten es 0.8. Si no varía, la probabilidad es 0.2, y si disminuye, 0.1. Para
el próximo año las probabilidades de que aumente, no varíe y disminuya el PBN son 0.4; 0.3; y
0.3 respectivamente.
(a) hallar la probabilidad de que las acciones aumenten en el próximo año.
(b) si el valor de las acciones aumenta, hallar la probabilidad de que el PBN también aumente.
(c) si las acciones aumentan, hallar la probabilidad de que el PBN no haya variado o haya
disminuido.
36. Entre las centrales telefónicas A y B hay una cantidad de canales tal que una llamada tiene una
probabilidad de encontrar congestión del 5 %. Si encuentra, la llamada es derivada a una ruta
alternativa en la cual la probabilidad de congestión es “p”. Si la llamada encuentra congestión
en la ruta alternativa, se pierde. Calcular “p” para que la probabilidad de perdida de una llamada
sea 0.01.
37. De una bolsa que contiene 5 bolas azules y 5 blancas se transfieren 5 al azar a una bolsa vacía.
Se saca una bola de esta última bolsa y resulta azul. Hallar la probabilidad de que las 5 bolas
transferidas de la 1º bolsa a la 2º hayan sido todas azules.
38. Demuestre que si A y B son sucesos independientes, entonces no pueden ser a la vez
incompatibles.
39. Sean A y B sucesos cualesquiera de un espacio muestral E, tal que P(A) ≠ 0. Demuestre que
P(B/A) define una distribución de probabilidad sobre A.
40. Demostrar que si A, B y C son independientes y tienen probabilidades no nulas entonces:
P(A  B  C) = 1 – P( A ).P( B ).P( C ).
41. Demostrar que si A y B son independientes y P(A)  0 y P(B)  0 entonces también son
independientes A y B , A y B, y A y B .
Trabajo Práctico N° 2
Variables aleatorias. Distribuciones: Binomial; Poisson y Normal.
Suma de variables aleatorias independientes. Teorema Central del Límite.
1. Un gerente elabora un plan para el año entrante. El beneficio, B, es función del costo fijo, Y, y
de las ventas, X, y viene dado por la siguiente relación: B = $ 20.X ─ Y.
Las ventas y los costos son variables aleatorias independientes, con los siguientes valores
esperados, y desvíos:
VALOR ESPERADO
DESVIO
COSTOS
150.000
50.000
VENTAS
10.000
2.000
¿Cuál es el valor esperado y el desvío de la variable aleatoria “Beneficio”?
2. Dada la variable aleatoria X, con función de densidad de probabilidad:
0  x 1
2.(1  x)
f ( x)  
en otro caso
 0
(a) hallar la función de distribución acumulada y representarlas.
(b) hallar la probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 0.2
(c) hallar la probabilidad de que la variable este comprendida entre 0.2 y 0.7
(d) Si se estima que la variable NO es inferior a 0.7, hallar la probabilidad de que sea mayor que
0.8.
3. El tiempo que tarda un empleado para almorzar se puede tratar como una variable aleatoria. Se
desea modelizar la función de densidad, a partir de la función:
x
f ( x)  k .( x 2  ) con 0  x  2 , x en horas.
3
(a) Determine el rango de valores de x y el valor de k para que f(x) corresponda a una función de
densidad de probabilidad.
(b) Halle la función de distribución acumulada y represente gráficamente.
(c) Determine el tiempo esperado que tarda un empleado para almorzar y halle el desvío estándar.
(d) Halle la probabilidad de que un empleado tarde menos de ½ hora en almorzar.
(e) Halle la probabilidad de que tarde más de una hora.
(f) Si se sabe que un empleado tardó menos de una hora y media en almorzar, halle la
probabilidad de que haya tardado menos de una hora.
4. Una empresa tiene dos sucursales independientes, una en Gral. Pacheco, otra en Zárate. Las
ganancias esperadas para el próximo trimestre y los desvíos estándar son:
GANANCIA ESPERADA
DESVÍO
sucursal GRAL. PACHECO
5.2
0.8
sucursal ZARATE
4.9
0.3
Halle la ganancia esperada y el desvío estándar de toda la empresa.
5. De los postulantes para un trabajo administrativo, se comprobó que el 20 % no sabían ingles ni
computación, el 70 % cumplían uno de los dos requisitos, y el 10 % ambos. Si se toma como
variable aleatoria la cantidad de requisitos que cumplimenta el postulante,
(a) Determine la función de distribución de probabilidades para la variable aleatoria.
(b) Determine la función de distribución de probabilidad acumulada para la variable aleatoria
(c) Halle la Esperanza y la Varianza.
6. En una encuesta, el 20 % de las personas encuestadas no tenían habilidad alguna; el 40 %
hablaban Inglés y un 50 % manejaban la computadora. Se define la variable aleatoria, X, como
número de habilidades de las personas encuestadas.
(a) Determine la función de distribución de probabilidad acumulada para la variable aleatoria
(b) Halle la Esperanza y la Varianza.
7. Una variable aleatoria discreta, X, tiene como función de probabilidades:
P(X = x) = p(x)= 0.7 . (0.3) x , para x= 0,1,2,3,…
(a) Verifique que corresponde a una función de distribución de probabilidad.
(b) Halle P( X > 3); P(4 < X < 6) y P(X > 3 / X > 1)
8. Un fabricante de galletitas tiene un ingreso diario, I, que puede expresarse en forma simplificada
mediante la ecuación: I = 1.600 – 50 . Y, donde Y es el número de averías por día de la máquina
que produce las galletitas. Se sabe que el máximo de averías es de tres por día, también, se sabe
que la probabilidad de que en un día NO ocurran averías es del 10 %, de que haya una sola
avería es del 20 % , y la probabilidad de que en un día ocurran tres averías es del 30 %. Calcule
el ingreso diario esperado.
9. En un proceso de montaje el costo fijo es $ 12 y el costo variable, que depende del tiempo es de
$ 0.20 por segundo. Si el tiempo empleado es una variable aleatoria con media de 98 segundos y
varianza de 68 segundos 2. Determine la media y la varianza del costo total de operación.
10. La duración de una llamada telefónica es una variable aleatoria con función de densidad de
e  t
t0
probabilidad: f (t )  
 0 en otro caso
(a) Halle la función de distribución.
(b) Halle la probabilidad de que una comunicación dure más de una unidad de tiempo.
(c) Halle el valor medio y la varianza de la V.A.
11. En el carretel de un piolín de 100 de largo hay un metro ubicado al azar pintado de otro color.
Se pide calcular la probabilidad de que los 10 primeros metros de piolín sean del mismo color.
12. La vida útil en horas de un circuito integrado es una variable aleatoria con función de densidad
 e0,001 t
t0

de probabilidad: f (t )   1000
 0
en otro caso

(a) Halle la función de distribución de probabilidad acumulada.
(b) Halle la probabilidad de que un circuito elegido al azar supere 500 horas de duración.
(c) Halle el valor medio y la varianza de la V.A.
13. Una variable aleatoria, X, tiene una función de densidad de probabilidad:
x
0 x4

f ( x)   8
 0 en otro caso
Calcule P( – 2 . X < X <  + 2 . X).
14. El agua que se potabiliza, proviene de un río con limo en suspensión. El contenido de limo es
una variable aleatoria con función de densidad dada por:
 x1/ 3
0  x 1

f ( x)  3  2 x 1  x  3 / 2
 0
en otro caso

Calcule la esperanza y varianza de la variable aleatoria.
15. Para reparar una obra de drenaje en un área donde la probabilidad de día lluvioso es 0.1, se
deben emplear 12 días. Calcule la probabilidad de que NO sea necesario interrumpir la obra de
reparación por causa de lluvia.
16. En un circuito se colocan tres elementos en serie que actúan independientemente. La
probabilidad de falla de cada circuito es de 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya
corriente en el circuito?
17. Al probar neumáticos para camión se encontró que el 25 % no superaban la prueba.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 5 neumáticos, al menos tres no pasen la
prueba?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 5 neumáticos, más de 2 pasen la prueba?
18. Cada 5 personas en un supermercado, una compra un artículo de perfumería.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 15 personas al menos 8 compren un artículo de
perfumería?.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que de 15 personas a lo sumo 3 compren un artículo de
perfumería?.
(c) ¿Cuántas personas es esperable que compren un artículo de perfumería?.
19. La producción, en una fábrica, se detiene si de 15 artículos que integran una muestra tomada al
azar, dos o más resultan fallados. La probabilidad de encontrar un artículo fallado es 0.05. ¿Cuál
es la probabilidad de que un día cualquiera la producción se detenga?
20. La probabilidad de muerte por causa de una vacuna contra la gripe es 0.00002. Se administra la
vacuna a 100.000 personas.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que muera una persona?.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que muera AL MENOS una persona?.
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que muera NO más de 2 personas?.
(d) ¿Cuál es la esperanza de la cantidad de víctimas?.
21. Un alumno decide resolver un examen de estadística con 15 preguntas del tipo verdadero – falso
adivinando, tirando una moneda. El examen se aprueba contestando correctamente por lo menos
nueve preguntas.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen adivinando?
(b) ¿Cuántas preguntas se esperan se contesten en forma correcta?
22. Un hotel 5 estrellas multa a los mozos que demoran en responder a una solicitud de un cliente
en una cena de gala. Los mozos suelen tener una demora cada 20 solicitudes. ¿Cuál es la
probabilidad de que en 30 solicitudes un mozo demore en más de dos?.
23. Una embotelladora cuenta con 10 máquinas de funcionamiento independiente, con probabilidad
de 0.9 de descomponerse.
(a) ¿qué probabilidad hay de que todas las máquinas funcionen normalmente?
(b) ¿qué probabilidad hay de que sólo 4 máquinas funcionen normalmente?
(c) ¿qué probabilidad hay de que sólo 4 máquinas estén descompuestas, si se sabe que están
descompuestas menos de 6?
24. El 30 % de las obras civiles están en infracción. Ocho inspectores visitarán cada uno 10 obras
seleccionadas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos la mitad de los inspectores
encuentren exactamente 4 obras en infracción?
25. A un banco llegan 120 clientes por hora.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos tres clientes?
(b) ¿Cuántos clientes se espera lleguen en ½ hora?
26. Una central de quejas telefónicas recibe 5 llamadas por día.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres días no se reciban quejas?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se reciban menos de tres quejas, si se sabe que
hubo por lo menos una?
(c) ¿Cuántas llamadas se esperan por semana?
27. Una máquina fabrica bujes cuyo diámetro es una variable aleatoria con distribución N( 12,2).
Otra máquina fabrica ejes, cuyos diámetros siguen una N( 11,3). Se toma un buje y un eje al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que el eje entre en el buje?
28. Un semáforo esta en verde el 40 % del tiempo, y en rojo el 60 %. Un señor pasa en su auto 4
veces en un día por el semáforo. Hallar la probabilidad de que encuentre el semáforo en verde 0,
1, 2, 3, o 4 veces.
29. El coeficiente de inteligencia del género humano tiene una distribución normal (100,8).
(a) Calcular la probabilidad de que una persona tomada al azar tenga un coeficiente superior a
140.
(b) Calcular la probabilidad de que una persona tomada al azar tenga un coeficiente entre 90 y
110.
30. Las larvas de algunas mariposas monarcas concentran glucósidos a partir de ciertas plantas, que
las hacen repugnantes para los pájaros, los cuales las evitan, después de un primer encuentro. La
concentración media de glucósidos es 0.2 con varianza 0.012. La probabilidad de que una
concentración al azar este comprendida en un intervalo alrededor de la media es 0.95. ¿Cuál es
ese intervalo?. Suponga que la concentración sigue una distribución normal.
31. Una familia tiene 6 hijos. Hallar la probabilidad de 4 varones y 2 nenas. Hallar el número
esperado de nenas.
32. La probabilidad de un día lluvioso es de 0.2, de acuerdo con la información de una estación
meteorológica. ¿Cuál es la probabilidad de que en el año próximo llueva por lo menos 110 días?
33. En el problema 28, el señor pasa 5.000 veces por el semáforo. ¿Cuál es la probabilidad de que
encuentre verde por lo menos 2100 veces?
34. En el problema 17, se prueban 6.000 neumáticos. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1550
neumáticos pasen la prueba?
35. Una partida de embragues viene con el 10 % de defectuosos. Si se necesita equipar 14
automóviles con embragues buenos y se compran 16 embragues: a) ¿cuál es la probabilidad de
no tener que comprar más embragues? b) ¿qué probabilidad existe de tener que comprar dos
embragues más para terminar los catorce automóviles?.
36. En un computadora fallan en promedio dos transistores por hora según una distribución de
Poisson. Mientras menos de siete transistores estén fallados la computadora funciona
normalmente, parándose en caso contrario. Hallar la probabilidad de que la computadora pueda
desarrollar un cálculo que insume 3 horas.
37. Los errores de imprenta de una cierta editorial son en promedio de 2,5 por página, según una
distribución de Poisson. Si un cierto libro tiene 50 páginas, ¿cuál es la probabilidad de que en
alguna de ellas haya 5 ó más errores?
38. Una central tiene 5 centrales automáticas independientes entre sí, donde para cada una de ellas
el número de conexiones erróneas por día obedece a una distribución de Poisson con 
conexiones erróneas. a) Calcular la probabilidad de que se produzcan exactamente 3 conexiones
erróneas en la ciudad durante un día. b) Un ingeniero quiere aumentar la confiabilidad del
sistema modificando el valor de . ¿Para qué valor de 
ingeniero podrá afirmar que la
probabilidad de una o más conexiones erróneas en la ciudad en un día cualquiera es igual a
0,02?
39. En una tela existen dos tipos de fallas independientes: de hilado y de estampado. La primera
ocurre en promedio 1 cada 10 m2. La segunda tiene un promedio de 1 cada 20 m2. ¿Cuál es la
probabilidad de encontrar una falla de cada tipo en una pieza de 5 m2?
40. Juan tira un dado cargado cuya función de probabilidad es: p(x) = k x para x = 1; 2; 3; 4; 5; 6;
p(x) = 0 para otro x. Juan gana en dólares el cuadrado del número que obtiene al tirar el dado.
(a) ¿Cuál es la función de probabilidad de la ganancia que obtiene Juan?.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane por lo menos 9 dólares?.
(c) ¿Cuál es la media en dólares de Juan?
41. Se le hurtan las 4 ruedas a un automóvil. Al encontrarlas se las repone al azar. ¿Qué valores
toma la variable aleatoria: número de ruedas repuestas en el mismo lugar en que estaban?. Halle
su esperanza matemática.
42. Una pieza de tubo de PVC debe insertarse dentro de otra pieza. La longitud de la primera está
normalmente distribuida con media 20 pulgadas y desviación estándar 0,5 pulgadas. La longitud
de la segunda es una variable aleatoria normal con media 15 pulgadas y desviación estándar 0,4
pulgadas. La cantidad de caño superpuesta está normalmente distribuida con media 1 pulgada y
desviación estándar 0,1 pulgada. Suponga que las longitudes y la cantidad de traslape son
independientes una de otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud total después de la
inserción está comprendida entre 34,5 y 35 pulgadas?.
43. Sea un pico de caudal constante de 1 l/seg usado en una planta embotelladora. Sea T la variable
aleatoria correspondiente al tiempo que una botella está debajo del pico. Supóngase que T sea
normal (m ; 0,01), siendo m el valor de ajuste de un dispositivo que hace circular las botellas.
Supóngase que las botellas sean de un litro. Indicar que valor de ajuste ha de tomarse para tener
una probabilidad de 0,999 de que el líquido no rebalse. Tomando el valor de ajuste recién
hallado, indicar la probabilidad de que una botella tomada al azar tenga menos de 950 cc.
44. La especificación de la longitud de una pieza es (93,0  2,1) cm. Hay 3 piezas provenientes de 3
fabricantes distintos cuyas producciones son normales (93,01 ; 1,07); (92,9 ; 1,2) y (94 ; 1,7)
respectivamente. Se toma una pieza que resulta estar dentro de la tolerancia. Indicar la
probabilidad de que provenga del segundo fabricante.
45. Se especifica que el diámetro exterior de una flecha debe ser de 4 pulgadas. El diámetro real de
la misma es una V. A. N. (4; 0,01) pulgadas. Si el diámetro real difiere del especificado en más
de 0,005 pulgadas, pero en menos de 0,008 pulgadas la pérdida del fabricante es de $ 0,5. Si
difiere en más de 0,008, la pérdida es de $ 1 y si difiere en menos de 0,005, el fabricante no
tiene pérdida. a) Hallar la distribución de probabilidades de la pérdida del fabricante. b) ¿Cuál
es la pérdida esperada del fabricante?
46. Un ascensor está calculado para una carga máxima de 1000 kg. ¿Cuál debe ser el cartel
indicador del máximo de personas para que el riesgo de que supere esa carga sea menor al 1 en
10000?. Suponga que el peso de las personas sigue una distribución normal con media 75 kg y
desviación 13 kg.
47. Dos aviones vuelan en la misma dirección en corredores paralelos adyacentes. En el tiempo
t = 0, el primer avión está 10 km adelante del segundo. La velocidad del primer avión, en km/h
está normalmente distribuido con media 520 y desviación 10, la del segundo avión, está
normalmente distribuida con media y desviación 500 y 10 respectivamente. ¿Cuál es la
probabilidad de que, después de 2 horas de vuelo, el segundo avión no haya alcanzado al
primero?.
Trabajo Práctico N° 3
Estadística descriptiva. Medidas de posición y de dispersión.
1. En la sección de control de calidad de una empresa se registran las resistencias eléctricas de
100 bobinas en .
3.37
3.29
3.35
3.32
3.35
3.38
3.29
3.31
3.40
3.35
3.34
3.36
3.36
3.37
3.33
3.39
3.41
3.33
3.35
3.36
3.38
3.30
3.30
3.34
3.38
3.34
3.27
3.35
3.37
3.39
3.32
3.31
3.32
3.38
3.37
3.32
3.36
3.34
3.35
3.31
3.33
3.33
3.33
3.36
3.44
3.30
3.41
3.35
3.35
3.31
3.28
3.34
3.35
3.37
3.31
3.39
3.37
3.34
3.36
3.30
3.34
3.34
3.35
3.36
3.36
3.36
3.36
3.31
3.38
3.35
3.31
3.36
3.34
3.31
3.32
3.40
3.37
3.36
3.35
3.33
3.33
3.39
3.32
3.33
3.29
3.32
3.33
3.37
3.31
3.35
3.34
3.34
3.38
3.30
3.35
3.33
3.36
3.35
3.34
3.31
(a) Tabular los valores y agrupar en intervalos de clase.
(b) Realizar el histograma y el gráfico de frecuencias acumuladas.
(c) Calcular las medidas de posición y dispersión.
(d) Calcular el porcentaje de datos que caen en x   ; x  2 y x  3 .
(e) Mediante el programa Excel halle las medidas de forma ( curtosis y coeficiente de asimetría).
2. Los datos siguientes representan el octanaje de varias mezclas de nafta:
88,5
94,7
84,3
90,1
89,0
89,8
91,6
90,3
87,7
91,1
89,7
91,0
90,5
88,4
92,3
87,8
87,5
87,8
89,2
90,6
92,2
91,1
87,6
88,6
88,3
94,2
90,4
89,2
87,8
89,2
92,0
88,6
89,2
91,5
88,2
84,3
84,6
88,6
89,2
90.5
89.0
89.2
91.3
86.5
84.1
83.9
91.5
89.2
92,5
93,0
89,2
88,9
88,6
92,0
91,5
89,2
81,5
86,7
89,2
88,7
91,0
90,8
89,2
92,1
89,2
84,6
92,4
91,0
89,0
89,2
89,1
91,3
89,0
87,8
88,9
90,0
89,2
86,9
81,9
84,9
(a) Tabular los valores y agrupar en intervalos de clase.
(b) Realizar el histograma y el gráfico de frecuencias acumuladas.
(c) Calcular las medidas de posición y dispersión.
(d) Calcular el porcentaje de datos que caen en x   ; x  2 y x  3 .
(e) Mediante el programa Excel halle las medidas de forma ( curtosis y coeficiente de asimetría).
3. Los siguientes datos representan el número de ciclos transcurridos hasta que una pieza de
aluminio presenta una falla.
1215
1350
1180
1190
1352
1330
1189
1201
1252
1263
1189
1252
1400
1398
1354
1289
1198
1201
1210
1310
1198
1256
1300
1256
1312
1300
1268
1312
1278
1300
1256
1289
1312
1256
1300
1302
1256
1176
1163
1256
1196
1200
1301
1256
1308
1256
1346
1296
1174
1256
1372
1256
1190
1100
1164
1230
1256
1304
1358
1176
1234
1286
1298
1256
1304
1276
1275
1199
1201
1234
1256
1300
1256
1305
1264
1256
1299
1165
1401
1296
(a) Tabular los valores y agrupar en intervalos de clase.
(b) Realizar el histograma y el gráfico de frecuencias acumuladas.
(c) Calcular las medidas de posición y dispersión.
(d) Calcular el porcentaje de datos que caen en x   ; x  2 y x  3 .
(e) Mediante el programa Excel halle las medidas de forma ( curtosis y coeficiente de
asimetría).
4. La siguiente tabla representa pruebas realizadas para medir la rigidez de cierto número de
canales de una aleación de aluminio. Donde la rigidez representa el punto medio del intervalo de
clase y la frecuencia es la cantidad de piezas cuya rigidez caían en cada intervalo de clase.
Rigidez
Frecuencia
2160
1
2200
3
2240
5
2280
14
2320
22
2360
35
2400
41
2440
33
2480
25
2520
28
2560
3
(a) Completar la tabla.
(b) Realizar el histograma y el gráfico de frecuencias acumuladas.
(c) Calcular las medidas de posición y dispersión.
(d) Calcular el porcentaje de datos que caen en x   ; x  2 y x  3 .
5. Se probaron 300 lámparas de 40w y se controló el tiempo de duración (en horas) de cada una
hasta que se quemaron. En la siguiente tabla la duración es el punto medio del intervalo de
clase, mientras que el número de lámparas representa la frecuencia de cada intervalo
Duración
N° Lámparas
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100
4
9
19
36
51
58
53
37
20
9
3
1
(a) Completar la tabla.
(b) Realizar el histograma y el gráfico de frecuencias acumuladas.
(c) Calcular las medidas de posición y dispersión.
(d) Calcular el porcentaje de datos que caen en x   ; x  2 y x  3 .
6. Con el objeto de controlar la producción de cierto componente en dos máquinas distintas se
toman 10 unidades consecutivas. Se obtuvieron los siguientes datos:
Máq. I : 89.60; 89.60; 89.70; 89.20; 89.95; 89.70; 89.95; 89.55; 89.30 y 89.40
Máq.II : 89.45; 89.65; 89.40; 89.10; 89.65; 89.45; 89.80; 89.85; 89.65 y 89.45
Calcular en ambos casos el promedio y el desvío estándar. Determinar cuál de las dos
máquinas resulta regular.
Trabajo Práctico N° 4
Muestreo. Estimación puntual. Estimación por intervalos
1. Se toman todas las muestras de tamaño 2, que pueden obtenerse con reemplazo de un bolillero
que tiene 3 bolas numeradas: 2, 5, 9. Hallar la media y la desviación estándar de la distribución
muestral de medias y comparar con la media y la desviación estándar de la población
2. Las edades de 5 chicos son: 2, 3, 6, 8 y 11. Considere todas las muestras de tamaño 2 con
reemplazo. Hallar la media y la desviación estándar de la distribución muestral de medias y
comparar con la media y la desviación estándar de la población.
3. Se tiene una población que sigue una distribución Poisson con media 2,5. Se extrae una muestra
de tamaño 200 de esa población. Determine la distribución de la media de la muestra.
4. Una compañía electrónica fabrica resistores que tienen una resistencia promedio de 100  y una
desviación estándar de 10 . Halle la probabilidad de que al tomar una muestra de n = 100
resistores, la resistencia promedio de éstos sea superior a 98 .
5. Se tiene la variable aleatoria X  U ( 0 , 1 ). Suponga que se toma una muestra de 60
observaciones de esta distribución. Encuentre la distribución de la media muestral.
6. Una población normal tiene una media de 100 y una varianza de 25. ¿De qué tamaño debe ser la
muestra aleatoria que se tome de esta población para que el error estándar del promedio de la
muestra sea 1,5?
7. Se desea estimar la media  de una población normal N(; 1). Para eso se proponen dos
estimadores:
1 = (4 X1 + X2) / 5 y 2 = (3X1 + X2) / 6.
¿Cuál es preferible? Justifique la respuesta.
8. En una serie de m experiencias binomiales se registran X éxitos, y en una serie posterior de n
experiencias binomiales se registran Y éxitos (n m). Se proponen los siguientes estimadores
del parámetro p:
p1 = ½ (X/m + Y/n) y p2 = (X + Y) / (m + n).
¿Cuál es preferible? Justifique la respuesta.
9. Se proponen dos estimadores para el parámetro  de una distribución Poisson:
1 = (X1 + X2 + X3) / 4 y 2 = (X1 + 2X2 + 3X3) / 6.
Elija el mejor estimador, justificando la respuesta.
Se tiene una población normal con media µ y desvío estándar . Se proponen los siguientes
x x x
2x  x
estimadores para estimar µ. ˆ1  1 2 3 y ˆ 2  1 2 . ¿Cuál conviene emplear?.
3
6
Justifique.
11. El número de accidentes que se produce en un cruce de rutas sigue una distribución de Poisson
con parámetro  desconocido. Durante una semana se registra el número de accidentes que
ocurren diariamente: 0; 3; 1; 0; 2; 1; 0. Encuentre un estimador para el parámetro .
10.
12. Una máquina llenadora de botellas dosifica volúmenes variables con distribución normal, con
una desviación estándar del que se sabe que es muy estable y vale 14 cm3. Sin embargo, el
volumen medio, que debiera valer 990 cm3, al salirse de punto la máquina, presenta variaciones;
razón por la cual debe controlárselo periódicamente y ajustarlo, de ser necesario. A estos efectos
se toman muestras periódicas de 5 envases y se mide su contenido neto, calculando luego su
media y un intervalo de confianza del 90 %. Si dicho intervalo no contiene al valor especificado
(990 cm3), se efectúa una revisión cuidadosa de la máquina. En una muestra el valor medio fue
de 983 cm3. (a) Calcule el intervalo de confianza del 90 % e indique la decisión a tomar. (b)
¿Qué tamaño de muestra habría que tomar para poder dar un intervalo cuyo error máximo
probable de muestreo sea 5 cm3?.
13. Suponga que la distribución de las concentraciones de SO4 para una estación de contaminación
es normal con una desviación estándar de 4 p.p.m. (partes por millón). Captando 16 muestras de
una hora de duración cada una, seleccionadas al azar, en un período de estudio, se obtuvo una
media de 9 p.p.m. Se pide: a) ¿cuál es el intervalo de confianza del 95% de nivel de confianza
para estimar la verdadera media?; b) ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea que el
error sea igual o inferior a 0,25 p.p.m., con una confianza del 90%?; c) ¿cuál es el intervalo de
confianza del 95% para estimar la media si el desvío fue estimado a partir de los datos de la
muestra (igual a 4 p.p.m.)?
14. Suponga que una muestra de 9 barras extraídas al azar de una producción arrojan una media de
20 cm y que la longitud de las barras es una variable aleatoria normal con una desviación
estándar  = 3 cm. Se pide que halle: (a) El intervalo de confianza del 90% de nivel de
confianza para estimar la longitud media de las barras. (b) ¿Cuántas barras adicionales deben ser
medidas para aumentar la confianza del mismo intervalo al 95%?. (c) Si la desviación
9
poblacional se desconoce pero las 9 mediciones arrojaron un valor:
 ( x  20)
i 1
i
2
 84,5 , ¿cuáles
son los intervalos de confianza del 90% para estimar la media, la varianza y la desviación de la
longitud de las barras?.
15. Las ventas de una revista semanal han sido las siguientes (en miles de ejemplares) en las
últimas 4 semanas; 15,4; 18,5; 16,3; 19,2. (a) Calcular un intervalo de confianza al 95 % para el
promedio semanal de las ventas. (b) ¿Cuántos datos más harían falta para calcular un intervalo
de confianza con un error máximo probable del muestreo de  1000 ejemplares? .
16 En un lote de novillos, se desea calcular el tamaño de una muestra para poder dar un intervalo
de confianza para el peso promedio de los mismos. A tal efecto, se sabe que el desvío estándar
de sus pesos es aproximadamente de 20 kg y se desea que el error de muestreo valga 10 kg.
Calcule el tamaño de la muestra para un nivel de confianza del 90 %.
17. Se desea estimar el ingreso medio de los habitantes de una ciudad, a cuyo efecto se tomó una
muestra de 100 personas, que arrojó una media de $ 625 y una desviación estándar de $ 576.
(a) Halle un intervalo de confianza del 90 % para el ingreso medio de los habitantes de la
ciudad. (b) ¿Qué tamaño de muestra adicional deberá tomarse si se desea un error de muestreo
de  $50?. El ingreso medio es una variable aleatoria que no es normal, ¿Queda invalidado el
cálculo hecho? Justifique su respuesta.
18. Una empresa dedicada a la fabricación de envases de vidrio cuenta con un plantel numeroso de
operarios, y desea estimar el tiempo medio de tardanza de los mismos. El estudio se realizará
sobre la base de las tarjetas horarias estableciendo que: 1) el máximo error muestral admitido
debe ser de 2 minutos; 2) el nivel de confianza del 99 %; 3) la desviación estándar poblacional
es de 5 minutos, conocido por ensayos anteriores. Se pide que calcule el tamaño adecuado de la
muestra a elegir.
19. La variabilidad entre parcelas de un mismo cultivo es inherente a las mismas parcelas e
independiente de la variable de cultivo que se somete a prueba. Se realizó un experimento con
una nueva variedad sobre 20 parcelas de 100 m2, que arrojó un rendimiento medio de 37,8 kg y
una desviación estándar de 4,2 kg. (a) Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el
rendimiento medio verdadero. (b) ¿Qué tamaño de muestra habría que tomar para tener un error
muestral de 1 kg?.
20. Se determinó la cantidad de expansión lateral para una muestra de n = 16 soldaduras de arco de
metal y gas accionado por pulsos, que se emplean en tanques contenedores de gas licuado
natural en barcos. La desviación estándar muestral resultante fue s = 2.81. Si se supone
normalidad, derive un intervalo de confianza de 95 % para .
21. Se hicieron las siguientes observaciones de resistencia a la fractura de placas de acero:
69,5
79,7
71,9
79,9
72,6
80,1
73,1
82,2
73,3
83,7
73,5
93,7
75,5
77,0
75,7
77,9
75,8
78,1
76,1
79,6
Halle un intervalo de confianza de 99 % para la desviación estándar de la distribución de la
resistencia a la fractura. ¿Qué condiciones adicionales se deben pedir para construir el
intervalo?.
22. Se piensa que la concentración del ingrediente activo de un detergente líquido para ropa, es
afectada por el tipo de catalizador utilizado en el proceso de fabricación. Se sabe que la
desviación estándar de la concentración activa es de 3 g/l, sin importar el tipo de catalizador
empleado. Se realizan 10 observaciones con cada catalizador, y se obtienen los siguientes datos:
Catalizador 1: 57,9; 66,2; 65,4; 65,4; 65,2; 62,6; 67,6; 63,7; 67,2; 71,0
Catalizador 2: 66,4; 71,7; 70,3; 69,3; 64,8; 69,6; 68,6; 69,4; 65,3; 68,8
Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia entre las medias de las
concentraciones activas para los dos catalizadores.
Trabajo Práctico N° 5
Test de hipótesis. Bondad de ajuste.
1. Sea X la variable aleatoria correspondiente a la vida de una producción de tubos fluorescentes.
Probados 100 tubos resultó x = 1570 y s = 120. Se pide verificar la hipótesis:
H0:  = 1600
siendo la hipótesis alternativa:
H1:  < 1600
con un nivel de significación igual a 0,05.
2. Una universidad afirma que sus profesores cobran en promedio $ 7200 anuales, con una
desviación típica de $ 2000. En una muestra al azar de 400 profesores se encontró un promedio
de $ 6000 anuales. Se pide:
(a) Con un nivel de significación igual a 0,05, verificar si la afirmación de la facultad es cierta.
(b) Si el sueldo medio anual verdadero fuera de $ 6000 con la misma desviación típica, indicar
el error tipo II que se cometería al aceptar la afirmación de la facultad.
3. Un fabricante de arandelas afirma que el espesor de las mismas sigue una ley normal
(1 ; 0,1). Se toman 100 arandelas y resulta que el espesor promedio resultó 0,99.
Con un nivel de significación de 0,05, comprobar la afirmación del fabricante.
4. Sea un nuevo producto farmacéutico que tiene una cierta toxicidad. El proceso de fabricación
determina una distribución para la toxicidad a la cual corresponde una variable aleatoria normal
T. Se sabe que una toxicidad de 130 ya es ligeramente nociva, y el fabricante desea tener una
probabilidad igual a 0,99 de que el 99,9 % de las píldoras que salen al mercado no superen
dicho valor. Con ese fin analizó 10000 píldoras, lo que arrojó un resultado de t = 97 y
s = 10.
Indicar si este resultado determina o no que el fabricante logró su objetivo.
5. Una máquina embolsadora de papas debe estar regulada para embolsar 112 Kg / bolsa por lo
menos. Un inspector sospecha de dicha regulación, toma 8 bolsas al azar y obtiene los
siguientes resultados:
115
110
109
107
108
102
111
113
Indicar si las sospechas del inspector son justificadas o no.
6. Una máquina ha producido arandelas de 0,05 cm de espesor. Para comprobar si la máquina sigue
en buenas condiciones se toma una muestra de 10 arandelas resultado x = 0,0515 cm y s = 0,003
cm. Supóngase que la distribución del espesor de las arandelas es normal. Se pide averiguar si la
máquina está o no en buenas condiciones de ajuste con un nivel de significación igual a 0,05.
7. En una chimenea se ha instalado un sistema de precipitación de sólidos con el cual se cree que la
concentración de los mismos bajará de 1,8 g/m3 a 0,6 g/m3. Puesto en marcha el nuevo sistema
se efectuaron 10 mediciones cuyos resultados fueron:
0,6
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,66
0,67
¿Cree Usted que el nuevo sistema cumple con lo deseado?
0,73
8. De un conjunto de 17 plantas, 9 de ellas fueron sometidas a un tratamiento químico, y el número
de frutas que dieron fue respectivamente:
17
27
18
25
27
29
27
23
17
A las 8 plantas restantes no se las sometió a ningún tratamiento y su rendimiento en frutos fue:
16
16
20
16
20
17
15
21
Indicar si puede considerarse que el tratamiento fue eficaz.
9. Sea X la variable aleatoria correspondiente al nivel mental de los alumnos de la universidad A, y
sea Y la variable aleatoria correspondiente al nivel mental de los alumnos de la universidad B.
Se toman 20 alumnos de la universidad A y 22 de la B. Se halló x = 90, s X2 = 100, y = 110 y
sY2 = 80.
Se desea saber con un nivel de significación igual a 0,01 si hay una diferencia significativa entre
los alumnos de esas dos universidades.
10. Sea un proceso de fabricación de bombas de luz con las cuales se obtiene una calidad tal que a
lo sumo el 1 % de las bombas resultan malas. Se introduce una modificación en el proceso de
fabricación que, se espera, no altere dicha calidad. Se fabricaron 300 bombas con la nueva
modificación de las cuales 5 resultaron malas. Se pide:
(a) Determinar si se puede establecer conclusivamente que ha habido un deterioro en la calidad
con un nivel de significación igual a 0,05.
(b) Usando la región crítica hallada para a), hallar P(II) si la calidad de las bombas bajó del 1 %
de malas a 2 % de malas.
11. Se quiere verificar la hipótesis de que el nacimiento de varones sigue la ley binomial con
p = ½ . En una muestra de 100 000 nacimientos resultaron 48 600 varones y 51 400 mujeres.
Indicar si este resultado confirma o no la hipótesis con un nivel de significación de 0,005.
12. La flor de una cierta planta de adorno puede venir de 4 colores distintos. Un experimento sobre
217 plantas arrojó los siguientes resultados:
Color:
A
B
C
D
Cantidad:
120
48
36
13
Según las leyes de la genética la probabilidad de aparición de dichos colores es: P(A) = 916 ,
P(B) = 316 , P(C) = 316 y P(D) = 116 .
Indicar si los resultados obtenidos concuerdan con esta ley con un nivel de significación de
0,05.
13. Sea una muestra de 60 circuitos impresos bastante complejos.
Aparecieron:
Con 0 falla:
32 circuitos
Con 1 falla:
15 circuitos
Con 2 falla:
9 circuitos
Con 3 falla:
4 circuitos
Indicar si las cantidades de fallas de este tipo de circuito sigue una ley de Poisson con
P(I) = 0,05.
14. Se supone que la duración de las llamadas telefónicas tienen una duración exponencial negativa:
0
para t < 0
1 – e-t
para t > 0
P(T < t) =
Se hacen 100 llamadas, y sus y sus duraciones respectivas fueron tales que:
T  1 : 42
1 < T  2 : 21
2 < T  3 : 12
3 < T  4 : 12
4<T5:7
T>5:6
Supóngase que el promedio de duración de dichas llamadas haya sido t = 1,98 minutos.
Se pide hallar con un nivel de significación igual a 0,05 si los datos obtenidos provienen en
efecto de una distribución exponencial negativa.
Trabajo Práctico N° 6
Regresión lineal
1. La siguiente información resultó de un estudio realizado para examinar la relación entre una
medida de la corrosión del hierro y la concentración de NaPO4.(en Brit. Corrosion J., 1979 pp
176-178).
Corrosión 7,68
NaPO4
2,5
6,95
5,03
6,30
7,6
5,75
11,6
5,01
13,0
1,43
19,6
0,93
26,2
0,72
33,0
0,68
40,0
0,65
50,0
0,56
55,0
Se desea examinar una relación lineal entre la corrosión y la concentración de NaPO4.
(a) Construya una gráfica de dispersión. (Tome como variable independiente a NaPO4).
(b) Halle la recta de regresión lineal. Calcule el coeficiente de determinación.
2. Varios estudios han demostrado que los líquenes son excelentes indicadores biológicos de la
contaminación del aire. Un artículo publicado sobre el depósito de x = NO-3 en húmedo
(g N/m2), y = liquen N (% peso en seco) se presenta en la siguiente tabla:
x
y
0,05
0,48
0,10
0,55
0,11
0,48
0,12
0,50
0,31
0,58
0,37
0,52
0,42
1,02
0,58
0,86
0,68
0,86
0,73
0,88
0,85
1,04
0,92
1,70
Se pide que halle la recta de regresión lineal y estime el valor de liquen (N) para un depósito
de NO-3 = 0,5.
3. La resistencia del cemento (r) depende, entre otras cosas, del tiempo de secado del cemento (t).
En un experimento se obtuvo la resistencia de bloques de cemento con diferentes tiempos de
secado los resultados fueron los siguientes:
Tiempo
(días)
1
1
1
2
2
2
3
Resistencia
13
13,3
11,8
21,9
24,5
24,7
29,8
Tiempo
(días)
3
3
3
7
7
7
7
Resistencia
28
24,1
24,2
32,4
30,4
34,5
33,1
Tiempo
(días)
7
28
28
28
28
28
Resistencia
35,7
41,8
42,6
40,3
35,7
37,3
Se pide que grafique los datos anteriores y halle la recta de regresión de la resistencia en función
del tiempo de secado. Halle el coeficiente de determinación e interprete.
4. El contenido en hierro de las escorias de los altos hornos puede ser determinada por una prueba
química en laboratorio o, de forma más barata y rápida, por un test magnético. Se está
interesado en estudiar la relación entre los resultados del test químico y del test magnético. En
particular, se desea saber si a partir de los resultados del test magnético (M) se pueden estimar
los resultados del test químico (Q ) sobre el contenido del hierro. Para ello, se han realizado los
dos test a un conjunto de lotes recogidos secuencialmente en el tiempo. Los resultados
obtenidos son los de la tabla adjunta.
Q
24
16
24
18
18
10
14
16
25
18
20
21
20
21
M
25
22
17
21
20
13
16
14
28
19
10
23
20
19
Q
15
16
15
25
17
19
16
15
15
13
24
22
32
21
M
15
16
16
36
12
15
15
15
15
17
18
16
40
18
Q
24
15
20
20
25
27
22
28
20
24
24
23
29
24
M
22
20
21
21
25
22
18
33
21
18
20
25
20
22
Q
15
20
20
25
27
22
28
20
24
24
23
29
27
23
M
20
21
21
25
22
18
33
21
18
20
25
20
18
19
Q
19
25
25
15
16
27
27
30
29
26
19
25
25
15
M
16
33
16
16
26
28
28
30
32
28
16
33
16
16
Se pide que grafique los datos anteriores y halle la recta de regresión del test químico en función
del test magnético. Halle el coeficiente de determinación e interprete.
5. En los sistemas productivos de ovejas tiene un gran interés controlar las necesidades energéticas
de cada animal ya que influyen en la predicción de la producción de carne. Por ello, se ha
tomado una muestra de 64 ovejas australianas y, a cada una de ellas, se le controló su peso X
(en kilogramos), y sus necesidades energéticas diarias Y medidas en Mcal/día.
Peso Energía Peso Energía Peso Energía Peso Energía
22.1
1.31
34.9
1.00
28.9
1.74
52.7
3.15
26.2
1.27
49.2
2.53
31.8
1.60
31.8
1.39
33.2
1.25
53.3
2.66
34.1
1.36
45.9
2.36
34.3
1.14
28.4
1.27
52.4
2.28
27.5
0.94
49.0
1.78
31.0
1.50
37.1
2.11
25.9
1.36
52.6
1.70
33.1
1.82
26.2
1.05
30.2
1.12
27.6
1.39
52.1
2.67
26.4
1.27
33.8
1.46
31.0
1.47
46.7
2.21
25.7
1.20
44.9
1.93
32.6
1.75
29.2
1.80
30.2
1.01
52.5
1.65
44.6
2.25
34.4
1.63
33.9
1.03
26.7
1.26
52.6
3.73
25.1
1.00
43.7
1.73
29.7
1.44
28.6
2.13
30.0
1.23
51.8
1.92
32.1
1.80
34.4
1.85
33.2
1.47
25.1
1.39
44.4
2.33
25.1
1.46
42.6
1.81
29.3
1.54
53.1
2.73
27.0
1.21
51.8
1.87
32.0
1.67
36.1
1.79
33.2
1.32
23.9
1.37
34.2
1.59
36.8
2.31
Se pide que grafique los datos anteriores y halle la recta de regresión. Halle el coeficiente de
determinación e interprete.
6. La dureza de los árboles es difícil de medir directamente, sin embargo la densidad si es
relativamente fácil de medir. Por ello es de gran interés disponer de un modelo que permita
predecir la dureza de un árbol a partir de su densidad. Por este motivo se ha tomado una muestra
de 36 eucaliptos australianos y se les midió su densidad (X) y su dureza (Y ). Los resultados
obtenidos son los de la tabla adjunta.
Densidad
24,7
24,8
27,3
28,4
28,4
29
30,3
32,7
35,6
38,5
38,8
39,3
Dureza
484
427
413
517
549
648
587
704
979
914
1070
1020
Densidad
39,4
39,9
40,3
40,6
40,7
40,7
42,9
45,8
46,9
48,2
51,5
51,5
Dureza
1210
989
1160
1010
1100
1130
1270
1180
1400
1760
1710
2010
Densidad
53,4
56
56,5
57,3
57,6
59,2
59,8
66
67,4
68,8
69,1
69,1
Dureza
1880
1980
1820
2020
1980
2310
1940
3260
2700
2890
2740
3140
Se pide que grafique los datos anteriores y halle la recta de regresión. Halle el coeficiente de
determinación e interprete. Estime la dureza para una densidad de 50.
7. Un método para medir la aceleración de la gravedad en un laboratorio consiste en utilizar un
péndulo. Para pequeños apartamientos de la vertical, el período de un péndulo viene dado por la
l
siguiente relación: T  2.
, donde T es el período de oscilación; l la longitud del péndulo y
g
g la aceleración de la gravedad.
T (en seg)
l ( en m )
0,58
0,10
0,91
0,20
1,10
0,30
1,30
0,40
1,39
0,50
1,50
0,60
1,70
0,70
1,80
0,80
1,90
0,90
2,00
1,00
Por medio de una recta de regresión lineal adecuada, encuentre la aceleración de la gravedad.
Tabla de valores para la distribución Normal Estándar. Z  N ( 0 ; 1)
1
f ( z) 
.e
2.
-3,5
-3,4
-3,3
-3,2
-3,1
-3,0
-2,9
-2,8
-2,7
-2,6
-2,5
-2,4
-2,3
-2,2
-2,1
-2,0
-1,9
-1,8
-1,7
-1,6
-1,5
-1,4
-1,3
-1,2
-1,1
-1,0
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,00
0,00023
0,00034
0,00048
0,00069
0,00097
0,00135
0,00187
0,00256
0,00347
0,00466
0,00621
0,00820
0,01072
0,01390
0,01786
0,02275
0,02872
0,03593
0,04457
0,05480
0,06681
0,08076
0,09680
0,11507
0,13567
0,15866
0,18406
0,21186
0,24196
0,27425
0,30854
0,34458
0,38209
0,42074
0,46017
0,50000
0,01
0,00024
0,00035
0,00050
0,00071
0,00100
0,00139
0,00193
0,00264
0,00357
0,00480
0,00639
0,00842
0,01101
0,01426
0,01831
0,02330
0,02938
0,03673
0,04551
0,05592
0,06811
0,08226
0,09853
0,11702
0,13786
0,16109
0,18673
0,21476
0,24510
0,27760
0,31207
0,34827
0,38591
0,42465
0,46414
0,50399
1
 .z 2
2
0,02
0,00025
0,00036
0,00052
0,00074
0,00104
0,00144
0,00199
0,00272
0,00368
0,00494
0,00657
0,00866
0,01130
0,01463
0,01876
0,02385
0,03005
0,03754
0,04648
0,05705
0,06944
0,08379
0,10027
0,11900
0,14007
0,16354
0,18943
0,21770
0,24825
0,28096
0,31561
0,35197
0,38974
0,42858
0,46812
0,50798
; donde:  = 0 y  = 1
0,03
0,00026
0,00038
0,00054
0,00076
0,00107
0,00149
0,00205
0,00280
0,00379
0,00508
0,00676
0,00889
0,01160
0,01500
0,01923
0,02442
0,03074
0,03836
0,04746
0,05821
0,07078
0,08534
0,10204
0,12100
0,14231
0,16602
0,19215
0,22065
0,25143
0,28434
0,31918
0,35569
0,39358
0,43251
0,47210
0,51197
0,04
0,00027
0,00039
0,00056
0,00079
0,00111
0,00154
0,00212
0,00289
0,00391
0,00523
0,00695
0,00914
0,01191
0,01539
0,01970
0,02500
0,03144
0,03920
0,04846
0,05938
0,07215
0,08691
0,10383
0,12302
0,14457
0,16853
0,19489
0,22363
0,25463
0,28774
0,32276
0,35942
0,39743
0,43644
0,47608
0,51595
0,05
0,00028
0,00040
0,00058
0,00082
0,00114
0,00159
0,00219
0,00298
0,00402
0,00539
0,00714
0,00939
0,01222
0,01578
0,02018
0,02559
0,03216
0,04006
0,04947
0,06057
0,07353
0,08851
0,10565
0,12507
0,14686
0,17106
0,19766
0,22663
0,25785
0,29116
0,32636
0,36317
0,40129
0,44038
0,48006
0,51994
0,06
0,00029
0,00042
0,00060
0,00084
0,00118
0,00164
0,00226
0,00307
0,00415
0,00554
0,00734
0,00964
0,01255
0,01618
0,02068
0,02619
0,03288
0,04093
0,05050
0,06178
0,07493
0,09012
0,10749
0,12714
0,14917
0,17361
0,20045
0,22965
0,26109
0,29460
0,32997
0,36693
0,40517
0,44433
0,48405
0,52392
0,07
0,00030
0,00043
0,00062
0,00087
0,00122
0,00169
0,00233
0,00317
0,00427
0,00570
0,00755
0,00990
0,01287
0,01659
0,02118
0,02680
0,03362
0,04182
0,05155
0,06301
0,07636
0,09176
0,10935
0,12924
0,15151
0,17619
0,20327
0,23270
0,26435
0,29806
0,33360
0,37070
0,40905
0,44828
0,48803
0,52790
0,08
0,00031
0,00045
0,00064
0,00090
0,00126
0,00175
0,00240
0,00326
0,00440
0,00587
0,00776
0,01017
0,01321
0,01700
0,02169
0,02743
0,03438
0,04272
0,05262
0,06426
0,07780
0,09342
0,11123
0,13136
0,15386
0,17879
0,20611
0,23576
0,26763
0,30153
0,33724
0,37448
0,41294
0,45224
0,49202
0,53188
0,09
0,00032
0,00047
0,00066
0,00094
0,00131
0,00181
0,00248
0,00336
0,00453
0,00604
0,00798
0,01044
0,01355
0,01743
0,02222
0,02807
0,03515
0,04363
0,05370
0,06552
0,07927
0,09510
0,11314
0,13350
0,15625
0,18141
0,20897
0,23885
0,27093
0,30503
0,34090
0,37828
0,41683
0,45620
0,49601
0,53586
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
0,00
0,50000
0,53983
0,57926
0,61791
0,65542
0,69146
0,72575
0,75804
0,78814
0,81594
0,84134
0,86433
0,88493
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