XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009 (pp. 1–8) Resolución de la ecuación de Ondas en 2-D y 3-D utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad. Álvaro Casasús Acevedo1 , Juan José Benito Muñoz1 , Francisco Ureña Prieto2 , Luis Gavete Corvinos3 1 3 Dpto. de Construcción y Fabricación, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid. E-mail: pepcasasus@gmail.com, jbenito@ind.uned.es. 2 Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. E-mail: francisco.urena@uclm.es. Dpto. de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Politécnica de Madrid. E-mail: lu.gavete@upm.es. Palabras clave: diferencias finitas generalizadas, ecuación de ondas, método explı́cito, estrella. Resumen En esta comunicación se presenta la utilización del Método de Diferencias Finitas Generalizadas para la resolución de la ecuación de onda, para 2-D y 3-D. Para ambos casos se inicia la comunicación con la obtención de las expresiones explı́citas en diferencias finitas generalizadas. a partir de estas expresiones se estudia el error de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia. En la comunicación se incluyen algunos resultados, de entre los numerosos casos analizados, como ejemplos representativos de la resolución de la ecuación de ondas, que pretenden ilustrar el buen comportamiento del método. 1. Introducción La aplicación de métodos numéricos en la resolución de problemas de Fı́sica e Ingenierı́a ha estado presente a lo largo de la historia de las matemáticas. Sin embargo, la incorporación de las computadoras les ha dado una importancia aún mayor. Uno de los métodos tradicionales en la resolución de problemas definidos por medio de ecuaciones diferenciales es el de diferencias finitas. Los trabajos de Benito, Gavete y Ureña [1, 2]. Los artı́culos [3, 5] muestran la aplicación del método de diferencias finitas generalizadas a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo. En esta comunicación se obtienen, en primer lugar, las expresiones explı́citas, utilizando 1 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 1: Estrella en 2D ; Estrella en 3D diferencias finitas generalizadas, de la ecuación de ondas. En la siguiente sección se estudia la consistencia y estabilidad, condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de la formulación explı́cita obtenida en la primera sección. 2. Diferencias finitas generalizadas y método explı́cito en 2-D Se considera la resolución numérica de la ecuación de ondas para la función U (x, y, t) 2 ∂ 2 U (x, y, t) ∂ 2 F (x, y, t) 2 ∂ F (x, y, t) = c [ + ] t > 0, ∂t2 ∂x2 ∂y 2 (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 (1) con las condiciones iniciales U (x, y, 0) = f1 (x, y); ∂U (x, y, 0) = f2 (x, y) ∂t (2) y la condición de contorno aU (x0 , y0 , t) + b ∂U (x0 , y0 , t) = g(t) ∂n in Γ (3) siendo f1 (x, y), f2 (x, y) y g(t) dos funciones conocidas, c2 es una constante que representa la velocidad de propagación de la onda y Γ la frontera del dominio Ω. Para la obtención de las fórmulas explı́citas en diferencias finitas de las derivadas espaciales, una vez discretizado el dominio Ω ∪ Γ, se define el nodo central con un conjunto de nodos a su alrededor, al conjunto de dichos nodos se le denomina estrella, estableciendo una relación entre una estrella y su nodo central (ver figura 1). Si U0 es el valor de la función en el nodo central de la estrella y Uj son los valores de las funciones en el resto de los nodos, con j = 1, · · · , 8, entonces, de acuerdo con la serie de expansión de Taylor Uj = U0 + hj ∂U0 h2j ∂U02 kj2 ∂U02 ∂U02 ∂U0 + kj + + + h k + ··· j j ∂x ∂y 2 ∂x2 2 ∂y 2 ∂x∂y 2 (4) Resolución de la ecuación de ondas en 2-D y 3-D utilizando GFDM donde (x0 , y0 ) son las coordenadas espaciales del nodo central, (xj , yj ) las coordenadas del nodo j en la estrella, hj = xj − x0 , kj = yj − y0 . Si en la ecuación 4 los términos de orden superior al segundo son eliminados, se obtiene la aproximación de segundo orden para Uj . Si se representa este valor por uj . Entonces es posible definir B(u) = 8 X j=1 [(u0 − uj + hj ∂u0 ∂u0 h2j ∂u20 kj2 ∂u20 ∂u20 + kj + + + h k )w(hj , kj )]2 (5) j j ∂x ∂y 2 ∂x2 2 ∂y 2 ∂x∂y donde w(hj , kj ) es la función de ponderación. Si la expresión 5 es minimizada con respecto a las derivadas parciales, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales A5 Du5 = b5 (6) Resolviendo el sistema 6 y teniendo en cuenta que hj = kj = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales 1 ∂ 2 U (x0 , y0 , n4t) ∂ 2 U (x0 , y0 , n4t) + = 2 (−20un0 +4un1 +un2 +4un3 +un4 +4un5 +un6 +4un7 +un8 ) ∂x2 ∂y 2 6h (7) Aproximando la derivada segunda respecto del tiempo en el nodo central de la estrella por ∂U 2 (x0 , y0 , n4t) un+1 − 2un0 + u0n−1 0 = ∂t2 (4t)2 (8) son los valores aproximados de la función U (x, y, t) en el nodo central donde un0 y un+1 0 de coordenadas espaciales (x0 , y0 ) para los tiempos n4t y (n + 1)4t respectivamente. Sustituyendo las ecuaciones 7 y 8 en la ecuación 1, se obtiene la ecuación lineal + (4t)2 = 2un0 − un−1 un+1 0 0 3. c2 [−20un0 + 4un1 + un2 + 4un3 + un4 + 4un5 + un6 + 4un7 + un8 ] 6h2 (9) Convergencia en 2-D De acuerdo con el teorema de equivalencia de Lax [4], si la condición de consistencia es satisfecha, la estabilidad es necesaria y suficiente para la condición de convergencia. 3.1. Error de truncamiento. Consistencia Si se designan por T Et y T E(x,y) los errores de truncamiento temporal y espacial, respectivamente, se tiene U (x0 , y0 , t + 4t) − 2U (x0 , y0 , t) + U (x0 , y0 , t − 4t) ∂ 2 U (x0 , y0 , t) = − 2 ∂t (4t)2 (4t)2 ∂ 4 U (x0 , y0 , t1 ) + Θ((4t)4 ), t < t1 < t + 4t (10) 12 ∂t4 3 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, en la serie de expansion de Taylor se incluyen los términos hasta de cuarto orden. Si se designa por B5∗ (u) la expresión 5 en la cual se han incluido los nuevos términos, y minimizando dicha expresión respecto de las derivadas parciales de primer y segundo orden, se obtiene T E(x,y) = − ∂ 4 U (x1 , y1 , t) ∂ 4 U (x1 , y1 , t) h2 2 ∂ 4 U (x1 , y1 , t) + 2 + )] + Θ(h4 ) (11) [c ( 12 ∂x4 ∂x2 ∂y 2 ∂y 4 donde (x1 , y1 ) es un punto del interior del dominio definido por la estrella. La expresión 11 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales. La suma de ambos errores de truncamiento nos da el error de truncamiento total. Por tanto, el método es consistente. 3.2. Estabilidad Si se define un0 = ξ n eiν Tx 0 ; unj = ξ n eiν Tx j (12) donde ν = (νx , νy )T es el vector columna de los números de onda, x0 = (x0 , y0 ) es el vector de las coordenadas del nodo central de la estrella y xj = (xj , yj ) son las coordenadas del resto de los nodos de la estrella, con xj = x0 + hj y ξ es denominado factor de amplificación. Si el módulo del factor de amplificación es mayor que la unidad, (kξk > 1, el método es inestable. Sustituyendo 12 into 9, y operando, se tiene ξ 2 − 2ξ[1 − (4t)2 c2 hλ h(λ + ν) [16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( ) 2 12h 2 2 hν h(λ − ν) + 16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( )] + 1 = 0 (13) 2 2 y denominando (4t)2 c2 hλ h(λ + ν) [16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( ) 2 12h 2 2 hν h(λ − ν) +16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( )] 2 2 la ecuación 14 se puede escribir p p ξ 2 − 2bξ + 1 = 0 ⇒ ξ1 = b + b2 − 1; ξ1 = b − b2 − 1 b=1− (14) (15) Para que el algoritmo sea inestable kξk 1, y de acuerdo con 15 se tiene que |b| > 1 ⇒ kξk 1 Si |b| > 1se tiene que ξ es complejo, puesto que de acuerdo con 16 p ξ1 = b ± i 1 − b2 ⇒ kξk = 1 4 (16) (17) Resolución de la ecuación de ondas en 2-D y 3-D utilizando GFDM por tanto la condición de estabilidad viene dada por (4t)2 c2 hλ h(λ + ν) [16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( ) 12h2 2 2 h(λ − ν) hν )] ≤ 1 ⇔ + 16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( 2 2 (4t)2 c2 hλ h(λ + ν) 0≤ [16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( ) 2 12h 2 2 h(λ − ν) hν )] ≤ 2 (18) + 16 sen2 ( ) + 4 sen2 ( 2 2 − 1 ≤ b ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 1 − La condición de estabilidad viene dada por (4t)2 c2 0 ≤ 40 ≤ 2 ⇔ 0 < 4t ≤ 12h2 4. r 3h2 5c2 (19) Diferencias finitas generalizadas y método explı́cito en 3-D La ecuación de ondas, es 2 ∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t) 2 ∂ U (x, y, z, t) = c [ + + ] ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (20) Obteniendo las ecuaciones 4 y 5 para tres dimensiones y minimizando respecto de las derivadas parciales, se obtiene el sistema para 3-D, similar al 6, A9 Du9 = b9 (21) Resolviendo el sistema 21 y teniendo en cuenta que hj = kj = lj = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales espaciales. Obteniéndose la expresión lineal en diferencias finitas para 3-D 1 [−356un0 +36un1 +9un2 +36un3 +9un4 +36un5 +9un6 +36un7 +9un8 + 88h2 36un9 + 9un10 + 4un11 + 9un12 + 4un13 + 9un14 + 4un15 + 9un16 + 4un17 +(4t)2 = un0 −un−1 un+1 0 0 + 36un18 + 9un19 + 4un20 + 9un21 + 4un22 + 9un23 + 4un24 + 9un25 + 4un26 ] (22) 5. 5.1. Convergencia Error de truncamiento. Consistencia. ∂ 2 U (x0 , y0 , z0 , t) U (x0 , y0 , z0 , t + 4t) − 2U (x0 , y0 , z0 , t) + U (x0 , y0 , z0 , t − 4t) = − 2 ∂t (4t)2 (4t)2 ∂ 4 U (x0 , y0 , z0 , t1 ) + Θ((4t)4 ), t < t1 < t + 4t (23) 12 ∂t4 5 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete (4t)2 ∂ 4 U (x0 , y0 , z0 , t1 ) + Θ((4t)4 ), t < t1 < t + 4t (24) 12 ∂t4 Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, se sigue el mismo procedimiento que en 2-D, obteniéndose (T Et ) = − T E(x,y,z) = − h2 2 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) 51 ∂ 4 U (x1 , y1 , z1 , t) [c (2 +2 +2 + 24 ∂x4 ∂y 4 ∂z 4 11 ∂x2 ∂y 2 4 4 51 ∂ U (x1 , y1 , z1 , t) 51 ∂ U (x1 , y1 , z1 , t) + + ) + Θ2 (h4 ) (25) 11 ∂x2 ∂z 2 11 ∂y 2 ∂z 2 La expresión 25 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales, donde (x1 , y1 , z1 ) es un punto interior del dominio definido por la estrella. La suma de ambos errores de truncamiento es el error de truncamiento total (TTE). Por tanto, el algoritmo es consistente. 5.2. Estabilidad Al igual que para el caso en 2-D, se utiliza el análisis de von Neumann para establecer la condición de estabilidad. Para el caso tridimensional un0 = ξ n ei{λ,ν,ϕ} T {x 0 ,y0 ,z0 } ; unj = ξ n ei{λ,ν,ϕ} T {x j ,yj ,zj } (26) donde {λ, ν, ϕ} es el vector columna de los números de ondas, {x0 , y0 , z0 } es el vector de las coordenadas del nodo central de la estrella y {xj , yj , zj } son las coordenadas del resto de los nodos de la estrella (ver figura), siendo: {xj , yj , zj } = {x0 , y0 , z0 } + {hj , kj , lj } (27) Sustituyendo 28 y 29 en 22, y después de operar y teniendo en cuenta lo mostrado para el caso 2-D, la condición de estabilidad viene dada por r 44h2 0 < 4t ≤ (28) 89c2 6. Resultados numéricos En esta sección se muestran dos ejemplos de resolución numérica de ecuación de onda en 2-D y 3-D. Las funciones de ponderación utilizadas han sido 1 w(hj , kj ) = q (h2j + ; kj2 )3 1 w(hj , kj , lj ) = q (h2j (29) + kj2 + lj2 )3 y el criterio de selección de los nodos el del cuadrante. El error global ha sido calculado para cada paso de tiempo usando la siguiente norma q PN T j=1 (sol(j)−exac(j)) Error NT global = |exacmax | 2 × 100 (30) where sol(j) es el valor de la solución aproximada en el nodo j, exac(j) es la valor de la solución exacta en el nodo j, exacmax es el máximo valor de la solución exacta en los nodos interiores de de la malla considerada y N T es el número de nodos del interior. 6 Resolución de la ecuación de ondas en 2-D y 3-D utilizando GFDM Figura 2: Error 6.1. global versus n o nodos ; Error global versus 4t Ejemplo 2-D ∂ 2 U (x, y, t) ∂t2 = ∂ 2 U (x, y, t) ∂ 2 U (x, y, t) + ∂x2 ∂y 2 t > 0, 0 < x, y < 1 (31) con la condición inicial U (x, y, 0) = sen πx sen πy (32) y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta √ U (x, y, t) = cos 2π sen πx sen πy (33) En la figura 2 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo (4t = 0,0001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 2 se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 441 nodos. 6.2. Ejemplo 3-D ∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t) ∂ 2 U (x, y, z, t) = + + ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 t > 0, 0 < x, y < 1 (34) U (x, y, z, 0) = sen πx sen πy sen πz y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta √ U (x, y, z, t) = cos 3π sen πx sen πy sen πz (35) (36) En la figura 3 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo (4t = 0,001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 3 se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 441 nodos. 7 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 3: Error 7. global versus no nodos ; Error global versus 4t Conclusiones En esta comunicación se ha obtenido el error de truncamiento y, por tanto, la consistencia ha sido demostrada. Igualmente, se ha obtenido el criterio de estabilidad utilizando el análisis de von Neumann. Los ejemplos resueltos, de los numerosos a los que se ha aplicado el GFDM, muestran su buen comportamiento. Agradecimientos Los autores agradecen la ayuda recibida del Ministerio de Ciencia e Innovación de España en el proyecto TISMANCA, Ref.: CGL2008-01757/CLI. Referencias [1] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Influence of several factors in the generalized finite difference method. Applied Mathematical Modelling,2512,1039-1053(2001). [2] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, R. Alvarez, An h-adaptive method in the generalized finite differences. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192,735-759(2003). [3] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Solving parabolic and hyperbolic equations by Generalized Finite Difference Method. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol 209, Issue 2, 15 December 2007, Pages 208-233. [4] A.R. Mitchell, D.F. Griffiths, The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering (1980). [5] F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete, R. Alvarez, Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales dependientes del tiempo de segundo orden utilizando Diferencias Finitas Generalizadas. Revista Internacional de Métodos Numéricos para cálculo y diseño en ingenierı́a. Vol. 19, 3, 331-340 (2003). 8