ejercicios de derivadas

2º BACHILLERATO- -HOJA 2 DERIVABILIDAD
1.-Calcular las derivadas en los puntos que se indica:
en x=-5
en
x=2
en x = 3.
en x=1
2.-Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva
en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.
3.-¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t 2 en el quinto
segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
4.-Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza
su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al
variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:
Se pide:
1. Verificar que la población es función continua del tiempo.
2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].
3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.
5.-Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su
gráfica.
6.-Hallar los puntos en que y = |x
representando su gráfica.
2
− 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado
7.-Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función
definida por:
8.-Dada la función:
¿Para qué valores de a es derivable?
9.-Estudiar para qué valores de a y b la función es
continua y derivable:
10.-Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:
la derivada en x = 2.
11.-Calcula el valor de
12.-Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t², siendo t
el tiempo medido en horas. Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.
2. La velocidad instantánea de crecimiento.
3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10 horas.
13.-Hallar los puntos en que y = 250 − |x² −1| no tiene derivada.
14.-Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
15.-Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) =
b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD
1.-Dada la función f(x) = 1 – x2, se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a, f(a)), donde
0<a<1.
b)Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y
horizontal respectivamente.
c) Determinar el valor de a OE (0, 1) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P(a, f(a)) es
el doble de la distancia entre el punto B y el punto P(a, f(a)).
2.-Dada la función : f(x)=
1
𝑥
,se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto ( a , f(a) ) para a > 0.
b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a) con los dos ejes
coordenados.
c)Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima.
3.-Dada la función:
𝐿𝑛(1+𝑎𝑥)−𝑏𝑥
f(x) ={
𝑠𝑖 1 + 𝑎𝑥 > 0 𝑦 𝑥 ≠ 0
𝑥2
−1
𝑠𝑖 𝑥 = 0
2
se pide:
a) Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la función f es continua en x = 0.
b) Para a = b = 1, estudiar si la función f es derivable en x = 0 aplicando la definición de derivada.
4.- Dada f(x)=
función es 1.
𝑥
1−𝑥 2
halla los puntos de la gráfica en los que la pendiente de la recta tangente a la
3
5.- Sea f(x)={ √𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 se pide:
𝑥(𝑥 − 2) 𝑠𝑖 𝑥 < 2
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x).
b) Hallar la ecuación de la recta tangente en x=-1
6.- Sea f(x) una función de variable real ,derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal
que f(0)=1, f(1)= 2, f’(0)=3 , f’(1)=4
a)Calcular g’(0) , g(x)= f(x+f(0))
b)Calcular lim
2(𝑓(𝑥))2 −𝑓(𝑥+1)
𝑒 𝑥 −1
𝑥→0
7.- Sea f(x)= { 7
12
1−
𝑥2
4
𝑠𝑖 𝑥 <
2]
[1 − (𝑥 − 2)
3
2
𝑠𝑖 𝑥 ≥
3
2
Estudia su continuidad y derivabilidad.
8.-Sea f(x)= Asenx+Bx2 + Cx +D, determinar los valores de A,B,C y D para los que la gráfica de f(x)
tiene tangente horizontal en (0,4) y su derivada segunda es f’’(x)= 3senx-10