Introducción a la Teorıa Cinética

Introducción a la Teorı́a Cinética
Tarea 5 — Entrega 24 de abril de 2008
Profesor: Rodrigo Soto
Departamento de Fı́sica, Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas, Universidad de Chile
1. Estimación del gap cinético para un gas de esferas duras
Se busca estimar el valor del gap entre los valores propios neutros y el primer valor propio no nulo del operador lineal de
Boltzmann. Para eso se usará el método variacional existente para operadores hermı́ticos.
Dado un espacio funcional, con un producto interno (φ , χ ), para un operador hermı́tico L de valores y funciones propias
definidas por
Lψi = λi ψi
normalizadas, (ψi , ψi ) = 1, se cumple:
Son ortogonales: (ψi , ψk ) = δik
Los valores propios son reales: λ ∈ ℜ
Las funciones propias constituyen una base.
a) Muestre que si φ es cualquier función del espacio de funciones, entonces
(φ , Lφ )
≥ λ0
(φ , φ )
donde λ0 es el mı́nimo valor propio.
b) De igual forma, si φ es ortogonal a las n primeras funciones propias (φ , ψi ) = 0;
i = 0, . . . , n − 1, muestre que
(φ , Lφ )
≥ λn
(φ , φ )
c) Dado el operador lineal de Boltzmann I[φ ] se define el operador L como
−1
I[φ ] =
Lφ = ϕMB
Z
ϕMB (~c2 )(φ1 + φ2 − φ1′ − φ2′ ) gb dbd ε d 3 c2
Muestre que L es hermı́tico con el siguiente producto interno
(φ , χ ) =
Z
ϕMB (~c)φ (~c)χ (~c) d 3 c
d) Dado todo lo anterior encuentre una cota para el primer valor propio no nulo de L en el caso de un gas de esferas
duras de diámetro σ , densidad n y temperatura T . Compare este valor con los otros tiempos carácterı́sticos de un gas
de esferas duras.
2. Rango de validez de la separación de escalas cinéticas e hidrodinámicas
~ = ∇ ×~v, la cual para casos
En un gas, uno de los modos hidrodinámicos más simples de analizar es el de la vorticidad ω
cerca del equilibrio satisface
ρ
~
∂ω
~
= η ∇2 ω
∂t
donde ρ es la densidad de masa y η la viscosidad de cizalle (dinámica). Esto significa que su tiempo de decaimiento para
perturbaciones con vectores de onda k es
τhidro =
ρ
η k2
A partir del resultado anterior, determine el máximo valor de k y, por lo tanto, la mı́nima longitud de onda, de manera que
se tenga una buena separación de escalas temporales en un gas en condiciones atmosféricas.
3. Flujo de calor en regimen molecular
Lea el artı́culo Heat transfer in a gas between parallel plates: Moment method and molecular dynamics de P.-J. Clause y
M. Mareschal, Phys. Rev. A 38, 4241 (1988).
http://www.dfi.uchile.cl/∼rsoto/docencia/IntroTeoCin2008/p4241 1.pdf
En él se describe la comparación entre dos métodos para resolver la ecuación de Boltzmann asociada a la conducción de
calor entre dos placas en el regimen molecular y los resultados de las simulaciones de dinámica molecular para un gas de
esferas duras. El método de dinámica molecular consiste en resolver numéricamente (en el computador) las ecuaciones
de movimiento para N partı́culas en una caja, tomando en cuenta todas las interacciones entre ellas (colisiones de esferas
duras en este caso).
a) Comente el método de 4 momentos y explique cómo se obtienen las ecuaciones que permiten determinar las cuatro
funciones incógnitas.
b) ¿Cómo se comparan las predicciones del método de 4 momentos con los resultados de las simulaciones?
Note que en el artı́culos hay algunos errores de tipeo. En la tabla I, la segunda vez que aparece Lx /Λ debe decir Ly /Λ.
También la ecuación (A8) deberı́a ser
p
p
b(x) = T+ (x) − T− (x)