Infinito Talento Matemático Real Academia de Ciencias JLF Primavera de 2001 Infinito. JLF Talento Matemático. Real Academia. El Hotel de Hilbert El Hotel de Hilbert tiene infinitas habitaciones: una habitación por cada uno de los números naturales. Hay una habitación con el número 1, luego una con el número 2, y ası́ sucesivamente. Todas las habitaciones son individuales. i) El Hotel de Hilbert está lleno: todas las habitaciones están ocupadas. Llega un nuevo D. Hilbert cliente, pide una habitación, y el recepcionista le dice que no hay problema. Les pide a todos los clientes que . . . , y ası́ logra que quede una habitación vacı́a. ii) Con el hotel lleno, ¿cómo se acomoda un autobús de Hilbert lleno? (Sı́, un autobús de Hilbert tiene infinitos asientos, numerados con los números naturales.) iii) Con el hotel lleno, ¿cómo acomodarı́as un tren de Hilbert? (En efecto, un tren de Hilbert tiene infinitos vagones numerados, 1, 2, . . . , y cada vagón tiene infinitos asientos numerados 1, 2, . . . 1 Infinito. JLF Talento Matemático. Real Academia. Número innombrables Hacer una lista es ordenar: decir quien es el primero, el segundo, el tercero, etc., hasta incluirlos todos. Se pide hacer una lista con los números entre 0 y 1 que tienen a lo sumo dos decimales. ¿Podemos hacer una lista similar con los número entre 0 y 1 que tienen a lo sumo 7 decimales? ¿Podemos hacer una lista similar de todos los números entre 0 y 1 que tienen una cantidad finita de decimales? Intentar hacer una lista con todos los números entre 0 y 1. ¿Es posible? Un número (entre 0 y 1) se dice nombrable si se puede describir (de manera inequı́voca con una frase). ¿Hay número innombrables? 2 Infinito. JLF Talento Matemático. Real Academia. Infinitas bolas de ping-pong Se trata de un proceso de una hora en el que se usan infinitas bolas de ping-pong. Disponemos de dos inmensos toneles A y B que inicialmente están vacı́os. • Durante la primer media hora se realiza la siguiente operación: se ponen dos bolas en el tonel A y después se coge una de de esas dos bolas y se pasa al tonel B . Tras este primer paso, tanto en A como en B hay una bola. • Durante los 15 minutos siguientes se toman otras dos bolas y se ponen en el tonel A. De las tres bolas que ahora hay en A se toma 1 y se pasa a B . Tras este segundo paso en A y en B hay dos bolas. • Cada paso sucesivo se realiza en la mitad de tiempo que el anterior, pero siempre se ponen dos bolas nuevas en A y después se pasa una (de las que están en A) a B Al final de la hora, ¿cuántas bolas hay en A? 3