Progressions Aritmètiques

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES
Karl Friederich Gauss és considerat com el príncep de les Matemàtiques. D'ell expliquen la següent història :
...Un dia el professor de la classe on estudiava Gauss els va castigar. Els va dir que al final de l'hora es
quedarien fins que haguessin fet la següent suma:
1+2+3+4+5+..................+96+97+98+99+100
Al cap d'uns moments, i quan tots els seus companys estaven sumant desesperadament, Gauss, de sis o set
anys d'edat, es va aixecar, va anar cap el professor i li va dir que l'esmentada suma donava 5.050.
El professor, que ja coneixia el resultat, va quedar meravellat i li va preguntar com ho havia fet. El jove
Gauss li va contestar i en aquell instant va descobrir aquesta teoria de les progressions....
Intentarem desenvolupar aquest teoria i entendre el raonament del gran matemàtic.
DEFINICIÓ
Una progressió aritmètica és una successió de números de tal manera que un s'obté de l'altre sumant
una mateixa quantitat anomenada diferència de la progressió
Exemple 1: Escriure una p.a. on el primer terme sigui 5 i la diferència sigui d =3
5, 8, 11, 14, 17, ..... (fàcil....)
Exemple 2: Escriure una p.a. on el primer terme és i la diferència és
(No tan fácil....)
Exercicis:
1.− Escriu els 7 primers termes d'una p.a. sabent que
i) el primer és −3 i d=5
ii) el primer és i d = −2
iii) el quart és 15 i d = 2
iv) el tercer és 9 i el quart és 6
v) el quart és 12 i el sisé 18
2.− De les següents successions de números, indica quines són p.a., i calcula la diferència:
• 7, 15, 23, 31, ....
• −9, −5, −1, ....
• 12, 8, 4, 0, ....
• 1, 3, 6, 10, 15,....
1
• Explica com es pot obtenir la diferència d'una p.a. (fonamental)
QÜESTIÓ DE SIMBOLOGIA
Fixem−nos que fins ara hem hagut de parlar de: Primer, quart ....o sisè terme. Si volem fer matemàtiques de
forma correcte hauríem d'inventar−nos una simbologia. Anem a veure−ho.
Al valor del primer terme d'una p.a. li direm una lletra amb el subíndex 1
Al valor del segon terme .........................................................subíndex 2
I així successivament
Exemple 3:
En la progressió −1, 5, 11, 17, 23, 29,... el val 23
el val 5
la diferència d val 6
Exercici 3
• Escriure els 5 primers termes d'una progressió sabent que
• De la progressió anterior que val ?
• Escriu els cinc primers termes d'una progressió aritmètica on
FÓRMULA DEL TERME GENERAL.
Fixem−nos que l'únic que hem fet és fer correspondre el subíndex amb l'ordre del terme.
En lloc de parlar del podríem parlar del quan
En lloc de parlar del podríem parlar del quan
Exemple 4:
Escriu els termes de la successió i veure si és una p.a.. En aquest cas calcular la diferència.
Si
Si
Si
Si
I així successivament. Per tant la successió és −3, −1, 1, 3,.... i efectivament és una p.a. de diferència 2.
Exercici 4:
Escriu uns quants termes de les següents successions i esbrina si és p.a.. En aquest cas calcula la diferència:
2
i)
ii)
iii)
A una fórmula com les anteriors se'n diu fórmula del Terme general.
El problema que ens proposem resoldre és el següent.
Suposem la p.a. : 3, 7, 11, 15, 19 ...
Evidentment
Quina és la fórmula del terme general ?
Dit de una altra manera; hem d'obtenir una fórmula que al anar substituint la per 1, 2, 3, 4 anem obtenint
DEDUCCIÓ
Intentem entendre línia a línia el següent raonament
Si hem entès aquests raonaments ja estem capacitats per entendre la fórmula general
Si l'apliquem al nostre cas ens queda
Resumint
Comprovem−ho
Efectivament. El resultat és el que buscàvem.
Ara cal memoritzar la fórmula
PROBLEMES SOBRE LA FÓRMULA DEL TERME GENERAL
Exemple 5
Calcular la diferència d'una p.a. on el vuitè terme és 12 i el primer és − 4.
(Fixem−nos que en la fórmula del terme general hi ha quatre incògnites: )
A l'enunciat del nostre problema hem de localitzar tres incògnites i calcular la quarta que és la incògnita.
Quan diu que el vuitè terme és 12 vol dir que per altra banda diu que .
De la fórmula
Exemple 6
3
Els termes d'una p.a. són 15, 13, 11, ...........−3 . Quants termes hi ha en la p.a?
Evidentment no ho hem de calcular seguint la progressió i comptant. Ho hem de fer a través de la fórmula.
Localitzem les dades i la incògnita
Aplicant la fórmula
Exercici 5
• Calcular el dotzè terme (sense continuar la progressió) de
• Quin és el primer terme d'una p.a. on la diferència é − 4 i el desè terme és 1?
• Quants termes de la progressió hem d'agafar per arribar a 715.?
SUMA DELS TERMES D'UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA
Anem a veure, ara que ja estem en condicions, el mecanisme que va utilitzar Gauss per fer de forma
immediata l'operació que li van proposar. Deduirem una fórmula general.
DEDUCCIÓ
Imaginem 8 termes d'una p.a. de primer terme
5 8 11 14 17 20 23 26
sumen 31
−−−−−−−−−−
sumen 31
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
sumen 31
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
sumen 31
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Fixem−nos que la suma del primer terme i l'últim que la suma del segon i el penúltim que la suma del tercer i
l'avantpenúltim i que la suma del quart i del quart per la cua .
Per tant si els volguéssim sumar tots podríem
¡¡¡¡ MULTIPLICAR ¡¡¡¡¡
Es a dir, hem sumat el primer més l'últim i ho hem multiplicat per la meitat de termes. Si anomenem a la suma
dels n primers termes d'una p.a
Això ens porta a la segona fórmula fonamental
4
Apliquem aquesta fórmula a l'exemple de Gauss. No oblidem la operació que havia de fer
¡¡Eureka¡¡
Exemple 7
Calcular la suma dels següents termes −3 + 2+ 7+ ...............+ 52 + 57
Es una p.a. on . Per poder aplicar la fórmula de la suma ens falta saber el número de termes. Per
aconseguir−ho farem servir la fórmula del terme general
Per tant hi ha 13 termes. Ara apliquem la fórmula de la suma
Exercici 6
• Sumar els 20 primers múltiples de 3
• Sumar els 15 primers termes de la p.a. −8, −11, −14,....
• Sumar −7+(−5)+(−3)+................+53
• El quinzè terme d'una p.a. de diferència 4 val 43. Calcular el primer terme i la suma de tots
• El primer i l'últim terme d'una progressió són −3 i50 respectivament. Si entre tots sumen 235 calcular el
número de termes i la diferència. Escriu la progressió.
INTERPOLACIÓ
Exemple 8
Imaginem−nos que tenim dos números; per exemple: 3 i 23, i ens demanen que entre aquests dos números hi
situem 4 números i que entre tots formin una progressió aritmètica.
A una situació com la anterior se li diu: Interpolar entre 3 i 23 quatre números aritmètics.
Per solucionar−ho podem interpretar els següent:
3, .................................., 23 és una progressió aritmètica on
La n=6 ja que comptem els quatre termes que hem d'interpolar juntament amb els dos dels extrems.
Ara, per tant, hem d'aplicar la fórmula del terme general:
Si la diferència és 4, la progressió és : 3, 7, 11, 15, 19, 23.
Compte per que la diferència pot ser fraccionaria o negativa.
Exercici 7
Interpola 5 números aritmètics entre −4 i −21
5