CONTENIDO - Web del Profesor

CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CONTENIDO
Pág.
1
LA POLIGONAL CERRADA: ................................................................................................ 2
1.1
CASO DE TENER EL AZIMUT DE P1 a P2 (SENTIDO ANTIHORARIO, ÁNGULOS INTERNOS) 2
1.2
CASO DE TENER EL AZIMUT DE P1 A P5 (SENTIDO HORARIO, ÁNGULOS EXTERNOS) ..... 19
2
LA POLIGONAL ABIERTA................................................................................................. 23
2.1
CÁLCULO DE LA POLIGONAL ABIERTA EN LA DIRECCIÓN DE XX A MY ........................ 24
2.2
CÁLCULO DE LA POLIGONAL ABIERTA EN LA DIRECCIÓN DE MY A XX ........................ 42
REFERENCIAS……………………………………………………………………………………………………………………..51
1
CÁLCULO DE POLIGONALES
POLIGONAL:
RICARDO URRIOLA
Es una sucesión de segmentos de recta, unidos entre si, mediante ángulos
horizontales. Los segmentos de recta son los lados de la poligonal, los puntos de unión son los
vértices o puntos poligonales y en ellos se miden los ángulos de la poligonal.
Las poligonales se pueden clasificar en:
1. CERRADAS: Son aquellas cuyos puntos de arranque y llegada coinciden, por ser una figura
cerrada (polígono irregular) cumple las formulas válidas para estos.
2. ABIERTAS: Son aquellas cuyo punto de arranque no coincide con el punto de llegada, también
se denominan poligonales lineales o longitudinales.
1 LA POLIGONAL CERRADA:
1.1 CASO DE TENER EL AZIMUT DE
ANTIHORARIO, ÁNGULOS INTERNOS)
P1
a
N
P2
P2
AZ P1 = 67 º 09’ 41’’
P4
PUNTO
P1
α P4
P3
P5
α P5
α P2
AZ
α P1
COORDENADAS
NORTE
ESTE
64,66
162,95
ÁNGULOS MEDIDOS
96° 34’ 10’’
α P1
128° 02’ 10’’
α P2
108° 36’ 11’’
α P3
97° 11’ 25’’
α P4
109° 35’ 30’’
α P5
α P3
N P1
(SENTIDO
P2
P1
P2
P1
E
E P1
2
P1
P2
P3
P4
P5
DISTANCIAS
– P2
– P3
– P4
– P5
– P1
MEDIDAS
178,18
177,40
180,84
233,66
188,85
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CONTROL DE CIERRE ANGULAR
En todo polígono cerrado se cumple la condición angular:
Σ ángulos = (n±2) 180°
(+) Para ángulos externos
( - ) Para ángulos internos
donde
n = número de ángulos del polígono
Por lo tanto, el error angular se determina por la diferencia entre la suma de los ángulos medidos
en el campo, menos la suma determinada por la condición angular:
f α = Σ α – (n±2) 180°
f α = error de cierre angular
Σ α = suma de los ángulos medidos en el campo = 539° 59’ 26’’
n
= número de ángulos medidos = 5
Aplicando al problema presente
f α = 539° 59’ 26’’ – (5 – 2) 180° = 539° 59’ 26’’ – 540°
f α = – 34’’
CORRECCIÓN ANGULAR (Cα)
El error angular fα determinado en el paso anterior, se compara con la tolerancia angular.
Suponiendo que el máximo error angular tolerable sea de ± 16” n , luego:
Tolerancia = ± 16” n
=
± 16” 5
= ± 35,78’’
f α = – 34’’ < Tolerancia = ± 35,78’’
3
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
Si el error angular hubiese sido mayor que el tolerable, habría sido necesario revisar para hallar la
causa y medir nuevamente los ángulos equivocados. En este caso, como el error está dentro de la
tolerancia se debe distribuir proporcionalmente entre los ángulos medidos.
Cα = –
fα
− 34"
=–
= + 6,8”
5
n
Correcciones angulares con cifras decimales, sólo se justifican en poligonales de altísima precisión.
Por tanto, siendo fα = – 34’’ y
n = 5, se procede a distribuir las correcciones como se indica a
continuación:
Ángulos
Corrección a c/u
4
+7’’
1
+6’’
Total
28’’
6’’
34’’
Observaciones:
a) El signo de las correcciones (Cα) es siempre contrario al de fα.
b) Las correcciones mayores se le aplican a los ángulos cuya medición se realizó en
condiciones menos favorables.
c) En caso de que fα sea menor que n, se aplicarán correcciones de 1’’ solamente en algunos
ángulos, hasta distribuir el error total, siguiendo para ello el mismo criterio que en el punto
anterior.
Se aplica la corrección angular Cα a cada uno de los ángulos medidos, y se procede al cálculo de
P2
los azimut intermedios a partir del AZ P1 .
Ángulos corregidos:
α P1 = 96° 34’ 10’’ + 6” = 96° 34’ 16’’
α P2 = 128° 02’ 10’’ + 7” = 128° 02’ 17’’
α P3 = 108° 36’ 11’’ + 7” = 108° 36’ 18’’
4
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
α P4 = 97° 11’ 25’’ + 7” = 97° 11’ 32’’
α P5 = 109° 35’ 30’’ + 7” = 109° 35’ 37’’
Para el cálculo de los azimut intermedios, de las proyecciones y de las coordenadas, se puede
utilizar la planilla para el cálculo de poligonales:
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
P1
°
67
'
09
"
41
P2
128
02
10
P3
108
36
11
D I S T.
178,18
P4
97
11
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
ESTE
64,66
162,95
109
35
30
P1
96
34
10
P1
AZ P2
P1
P2
177,40
α P2
180,84
α P3
233,66
α P4
P3
25
P5
E S T.
P4
P5
188,85
α P5
P1
α P1
P2
P2
(Sin correg.)
FÓRMULAS UTILIZADAS
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 958,93
CIERRE MÉTRICO:
α = 539°59'26" C α =- - 34" =+6,8"
5
f α = 539°59'26" - 540° = - 34"
CÁLCULO DE LOS AZIMUT INTERMEDIOS
Para el cálculo de los azimut intermedios se aplica la fórmula:
AZ
sigue
= AZ anterior + α ± 180°
5
OBSERVACIONES
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
P3
N
Si se observa el gráfico, puede notarse que el azimut
P3
que se desea determinar (AZ P2 ) es igual a:
AZ P3
P2
AZ P2
P1
N
α P2
AZ
P2
P1
P2
Simplificando
P2
18 0
°
α
0°(3 6
P1
P3
AZ P2 = AZ P1 + 180° – (360° – α P2 )
P2)
P3
P2
AZ P2 = AZ P1 + α P2 – 180°
En forma general:
AZ
Si
sigue
= AZ anterior + α ± 180°
AZ anterior + α
<
180°
+ 180°
AZ anterior + α
>
180° y < 540°
– 180°
AZ anterior + α
>
540°
– 540°
P3
P2
Por lo tanto, el azimut que sigue (AZ P2 ), es igual al azimut de atrás (AZ P1 ), sumado al ángulo de
vinculación corregido (α
P2)
y luego se le suma o resta 180°, según que la suma de los dos
primeros términos de la ecuación sea menor o mayor a 180° respectivamente. Si la suma de los
dos primeros términos es mayor de 540°, se puede restar directamente 540°.
P2
Aplicándolo al presente problema, se comienza con el AZi (AZ P1 ) y se van calculando los valores
intermedios usando sucesivamente los “ángulos medidos ya corregidos”, hasta llegar
P2
nuevamente al AZi (AZ P1 ). Si no se obtiene como resultado AZi, se debe verificar nuevamente las
operaciones hasta lograrlo para poder continuar con el cálculo de la poligonal.
6
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
AZ P2
67° 09' 41"
AZ inicial
P1 =
α P2 = 128° 02' 17" (corregido)
P1
°
67
'
09
"
41
P2
128
15
02
11
10
58
195° 11' 58" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ P3
15° 11' 58"
P2 =
α P3 = 108° 36' 18" (corregido)
123° 48' 16" < 180°
+ 180° 00' 00"
+7"
P3
108
303
36
48
11
16
+7"
P4
97
220
11
59
25
48
+7"
P5
109
150
35
35
30
25
+7"
P1
96
67
34
09
10
41
+6"
P2
AZ P4
303° 48' 16"
P3 =
α P4 = 97° 11' 32" (corregido)
Chequeo
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
Dato conocido
400° 59' 48" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ P5
220° 59' 48"
P4 =
α P5 = 109° 35' 37" (corregido)
330° 35' 25" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ P1
150° 35' 25"
P5 =
α P1 = 96° 34' 16" (corregido)
247° 09' 41" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ P2
P1 =
67° 09' 41"
AZ inicial
Dato conocido
Se verifica que el valor del último azimut calculado sea exactamente el mismo que el azimut inicial,
cuyo dato es conocido. De ser así, puede continuarse con el cálculo de la poligonal.
El cálculo de los azimut intermedios puede realizarse directamente en la planilla de cálculo de
poligonales o en una hoja aparte y posteriormente introducirlos en la planilla.
CÁLCULO DE LOS RUMBOS
Conocidos los azimut de todas las líneas intermedias de la poligonal, se procede a calcular los
rumbos correspondientes a cada una.
7
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
Los rumbos se determinarán de acuerdo al cuadrante en que se encuentre el azimut:
VALOR AZIMUT
CUADRANTE
RUMBO
0° a 90°
I
N ( AZ = R ) E
90° a 180°
II
S ( 180° - AZ ) E
180° a 270°
III
S ( AZ - 180° ) W
270° a 360°
IV
N ( 360° - AZ ) W
N
0°
IV Cuadrante
I Cuadrante
W 270°
90° E
III Cuadrante
II Cuadrante
180°
S
I CUADRANTE
I CUADRANTE
R = N ( AZ ) E
R P2
N ( 67° 09' 41" ) E
P1 =
P2
P1
R = N ( AZ P3
P2 ) E
R P3
=
N
(
15°
11' 58" ) E
P2
P2
P1
P3
P2
N
N
AZ
AZ P2
P1
R P2
P1
P3
R P3
P2
P2
P1
P2
8
P3
P2
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
IV CUADRANTE
III CUADRANTE
R = N ( 360° - AZ ) W
R P4
N ( 360° - 303° 48' 16" ) W
P3 =
P4
R P3 = N ( 56° 11' 44" ) W
P4
P3
P4
P3
P5
P4
N
P4
R
II CUADRANTE
R = S ( AZ - 180° ) W
R P5
S ( 220° 59' 48" - 180°) W
P4 =
P5
R P4 = S ( 40° 59' 48" ) W
P5
P4
R = S ( 180° - AZ P1
P5 ) E
R P1
=
S
(
180°
150°
35' 25" ) E
P5
P1
R P5 = S ( 29° 24' 35" ) E
P1
P5
N
P4
P3
AZ
P3
P5
AZ P1
P5
AZ P5
P4
P4
P4
P3
N
P5
R P5
P4
R P1
P5
S
S
P1
Calculados los rumbos, se procede a registrarlos en la planilla.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
E S T.
P1
°
67
N 67
128
P2
15
N 15
108
P3
303
N 56
97
P4
220
S 40
109
P5
150
S 29
96
P1
67
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
'
09
09
02
11
11
36
48
11
11
59
59
35
35
24
34
09
"
41
41
10
58
58
11
16
44
25
48
48
30
25
35
10
41
D I S T.
E
+7"
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
ESTE
64,66
162,95
P2
P2
E
+7"
W
+7"
W
+7"
E
+6"
177,40
R P1
180,84
R
P3
P2
R
P4
P3
R
P5
P4
R
P1
P5
P3
P4
233,66
P5
188,85
P1
P2
(Sin correg.)
FÓRMULAS UTILIZADAS
(Corregido)
d = 958,93
CIERRE MÉTRICO:
- 34"
C α ==+6,8"
5
= 539°59'26" - 540° = - 34"
α = 539°59'26"
fα
P1
178,18
P2
CIERRE ANGULAR:
E S T.
9
OBSERVACIONES
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES Y CONTROL DE CIERRE LINEAL
N
N
Cos R P2P1 =
∆N P2P1
D P2P1
⇒
∆N P2P1 = D P2P1 x Cos R P2P1
Sen R P2P1 =
∆E P2P1
D P2P1
⇒
∆E P2P1 = D P2P1 x Sen R P2P1
P2
E P1
P2
N P1 R P1
Di
st
P2
P
P1 2
AZ
P2
P2
P1
Por lo tanto, las proyecciones ∆N y ∆E se calcularán sobre la
P1
E
base de estas fórmulas, para cada uno de los lados de la
poligonal.
El producto de la distancia por el coseno se colocará en N(+) o N o N(-) o S según lo indique el
rumbo; de igual forma el producto de la distancia por el seno se colocará en E(+) o E o E(-) o W
dependiendo de lo indicado en el rumbo.
También se podrán calcular las proyecciones ∆N y ∆E con los azimut calculados:
∆N P2P1 = D P2P1 x Cos AZP2P1
y
∆E P2P1 = D P2P1 x Sen AZ P2P1
En este caso el signo de las proyecciones se obtiene directamente.
Calculando las proyecciones en el problema presente:
∆N P2P1 = D P2P1 x Cos AZP2P1 = 178,18 x Cos 67°09’41” = + 69,16 m
∆N P3P2 = D P3P2 x Cos AZP3P2 = 177,40 x Cos 15°11’58” = + 171,19 m
∆N P4P3 = D P4P3 x Cos AZP4P3 = 180,84 x Cos 303°48’16” = + 100,61 m
∆N P5P4 = D P5P4 x Cos AZP5P4 = 233,66 x Cos 220°59’48” = – 176,35 m
∆N P1P5 = D P1P5 x Cos AZP1P5 = 188,85 x Cos 150°35’25” = – 164,51 m
∆E P2P1 = D P2P1 x Sen AZ P2P1 = 178,18 x Sen 67°09’41” = + 164,21 m
∆E P3P2 = D P3P2 x Sen AZP3P2 = 177,40 x Sen 15°11’58” = + 46,51 m
10
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
∆E P4P3 = D P4P3 x Sen AZP4P3 = 180,84 x Sen 303°48’16” = – 150,27 m
∆E P5P4 = D P5P4 x Sen AZP5P4 = 233,66 x Sen 220°59’48” = – 153,28 m
∆E P1P5 = D P1P5 x Sen AZP1P5 = 188,85 x Sen 150°35’25” = + 92,74 m
Estos cálculos pueden realizarse directamente en la planilla de cálculo de poligonales.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
E S T.
P1
°
67
N 67
128
P2
15
N 15
108
P3
303
N 56
97
P4
220
S 40
109
P5
150
S 29
96
P1
67
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
'
09
09
02
11
11
36
48
11
11
59
59
35
35
24
34
09
"
41
41
10
58
58
11
16
44
25
48
48
30
25
35
10
41
D I S T.
E
+7"
178,18
E
+7"
177,40
W
+7"
180,84
W
+7"
233,66
E
+6"
188,85
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
69,16
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
ESTE
64,66
162,95
P2
171,19
46,51
P3
100,61
150,27
P4
176,35
153,28
P5
164,51
92,74
P1
P2
(Sin correg.)
340,96
-340,86
303,46
-303,55
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
fα
P1
164,21
P2
d = 958,93
CIERRE MÉTRICO:
- 34"
=+6,8"
5
= 539°59'26" - 540° = - 34"
α = 539°59'26"
E S T.
C α =-
En las poligonales cerradas se cumple:
11
FÓRMULAS UTILIZADAS
OBSERVACIONES
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
N
N
P4
P5
E P3
E P4
P4
P4
P4
N P3
P5
N P4
P3
∑∆N = 0
P3
P5
P5
P3
N P2
∑∆E = 0
P1
N P5
P2
P2
P2
N P1
P1
P1
E P5
P1
P2
E P1
E
P3
E P2
E
Por lo tanto el error de cierre lineal en una poligonal cerrada viene dado por:
FN = ∑ ∆ N (+) – ∑ ∆ N (-)
= 340,96 – 340,86 =
FE = ∑ ∆ E (+) – ∑ ∆ E (-)
= 303,46 – 303,55 = – 0,09 m
0,10 m
donde:
FN = error de proyección norte.
FE = error de proyección este.
FS = ±
FN 2 + FE 2 ( error de cierre lineal )
FS = ±
FN 2 + FE 2
ε =
ε =
=
±
FS
(error relativo)
∑d
FS
FS
∑ d FS
=
1
=
∑d
FS
(0,10) 2 + (−0,09) 2
⇒
FS = ± 0,1345362405
∑ d = suma de las distancias
1
958,93
=
0,1345362405
12
1
7127,67
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
ε = 1 : 7127,67
Si asumimos que la tolerancia sea de 1: 5000, es decir, un error de 1 metro en una longitud de
5000 m, en este caso se cumple con esta condición ya que estamos cometiendo el mismo error de
1 m en una distancia mayor, por lo que estamos dentro de la tolerancia y se puede continuar con
el cálculo.
DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES DE CORRECCIÓN
CN = –
0,10
FN
= –
= – 0,000104282
∑d
958,93
y
CE = –
− 0,09
FE
= –
= +0,000093854
∑d
958,93
CN = – 0,000104282
(Factor de corrección de proyección norte)
CE = + 0,000093854
(Factor de corrección de proyección este)
CORRECCIÓN DE LAS PROYECCIONES
Para corregir las proyecciones se multiplican los factores de corrección por la distancia del lado
respectivo, de la siguiente forma:
Lado P1 – P2:
Corrección norte =
CN x D P2P1
=
-0,000104282 x 178,18
=
- 0,018580966
Corrección este
=
P2
CE x D P1
=
0,000093854 x 178,18
=
0,016722905
Corrección norte =
CN x D P3P2
=
-0,000104282 x 177,40
=
- 0,0184996268
Corrección este
CE x D P3P2
=
0,000093854 x 177,40
=
0,0166496996
= - 0,02
=
0,02
Lado P2 – P3:
=
13
= - 0,02
=
0,01
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
Lado P3 – P4:
Corrección norte =
CN x D P4P3
=
-0,000104282 x 180,84
=
- 0,018858356
Corrección este
=
CE x D P4P3
=
0,000093854 x 180,84
=
0,016972557
Corrección norte =
CN x D P5P4
=
-0,000104282 x 233,66
=
- 0,024366532
Corrección este
=
P5
CE x D P4
=
0,000093854 x 233,66
=
0,021929925
Corrección norte =
CN x D P1P5
=
-0,000104282 x 188,85
=
- 0,0196936557
Corrección este
CE x D P1P5
=
0,000093854 x 188,85
=
0,0177243279
= - 0,02
=
0,02
Lado P4 – P5:
= - 0,02
=
0,02
Lado P5 – P1:
=
= - 0,02
=
0,02
Calculadas las correcciones de las proyecciones de los diferentes lados de la poligonal, se procede
a registrarlas en la planilla.
14
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
E S T.
P1
°
67
N 67
128
P2
15
N 15
108
P3
303
N 56
97
P4
220
S 40
109
P5
150
S 29
96
P1
67
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
'
09
09
02
11
11
36
48
11
11
59
59
35
35
24
34
09
"
41
41
10
58
58
11
16
44
25
48
48
30
25
35
10
41
D I S T.
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
-0,02
E
+7"
178,18
COORDENADAS
E(-) o W
ESTE
64,66
162,95
E S T.
69,16
177,40
W
+7"
180,84
2
FS =
FN + FE
164,21
46,51
P3
FS =
0,1345362405
d FS = 7127,67
0,02
-0,02
100,61
2
1
d FS
N=
0,01
171,19
150,27
P4
N=
1 : 7127,67
0,02
-0,02
233,66
OBSERVACIONES
P1
P2
E
+7"
176,35
153,28
P5
0,02
-0,02
E
+6"
NORTE
0,02
-0,02
W
+7"
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
188,85
164,51
92,74
P1
P2
P2
CN = FACTOR DE CN x DIST
CE = FACTOR DE CE x DIST
(Sin correg.)
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 958,93
α = 539°59'26" C α =- - 34" =+6,8"
5
f α = 539°59'26" - 540° = - 34"
340,96
340,90
-340,86
-340,90
303,46
303,51
-303,55
-303,51
FÓRMULAS UTILIZADAS
FACTOR DE CN = -
CIERRE MÉTRICO:
FN = 340,96 - 340,86 = 0,10
FE = 303,46 - 303,55 = -0,09
FACTOR DE CE = -
FN
d
FE
d
= = -
0,10
958,93
- 0,09
958,93
= - 0,000104282
= + 0,000093854
CÁLCULO DE LAS COORDENADAS
Calculadas las proyecciones y sus correspondientes correcciones, se procede a calcular las
coordenadas de los demás puntos.
Se procede a calcular las coordenadas del punto P2, partiendo de las coordenadas del punto P1
(conocidas), sumadas a las proyecciones ∆N P2P1 y ∆E P2P1 .
15
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
N
P4
N P2 = N P1 + ∆N P2P1 corregido
N P2 = 64,66 + (69,16 – 0,02)
P3
N P2 = 133,80 m
P5
E P2 = E P1 + ∆E P2P1 corregido
P2
N P2
E P2 = 162,95 + (164,21 + 0,02)
P2
N P1
N P1
P1
E P2 = 327,18 m
P2
E P1
E P1
E
E P2
N
P4
N P3 = N P2 + ∆N P3P2 corregido
N P3 = 133,80 + (171,19 – 0,02)
P3
N P3
N P3 = 304,97 m
P5
P3
N P2
N P2
E P3 = E P2 + ∆E P3P2 corregido
E P3 = 327,18 + (46,51 + 0,01)
P2
P3
P1
E P2
E P3 = 373,70 m
E P2 E P3
16
E
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
N
P4
E P3
P4
N P4
N P4 = N P3 + ∆N P4P3 corregido
P4
N P3
N P3
N P4 = 304,97 + (100,61 – 0,02)
P3
N P4 = 405,56 m
P5
E P4 = E P3 + ∆E P4P3 corregido
P2
E P4 = 373,70 + (–150,27 + 0,02)
P1
E P4 = 223,45 m
E P4
E
E P3
N
P5
E P4
N P4
P4
N P5 = N P4 + ∆N P5P4 corregido
P5
N P4
N P5
P3
N P5 = 405,56 + (–176,35 – 0,02)
N P5 = 229,19 m
P5
E P5 = E P4 + ∆E P5P4 corregido
P2
E P5 = 223,45 + (–153,28 + 0,02)
P1
E P5 = 70,19 m
E P5
E
E P4
17
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
N
Como chequeo, se calculan nuevamente las
coordenadas del punto P1, partiendo de las
P4
coordenadas del punto P5 y de las proyecciones
∆N P1P5 y ∆E P1P5 .
P3
N P5
N P1 = N P5 + ∆N P1P5 corregido
P5
N P1 = 229,19 + (–164,51 – 0,02)
N P1 = 64,66 m
P1
N P5
E P1 = E P5 + ∆E P1P5 corregido
P2
N P1
E P1 = 162,95 m
P1
P1
E P5
E P5
E P1 = 70,19 + (92,74 + 0,02)
E
E P1
Estos cálculos pueden realizarse directamente en
la planilla de cálculo de poligonales.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
E S T.
P1
°
67
N 67
128
P2
15
N 15
108
P3
303
N 56
97
P4
220
S 40
109
P5
150
S 29
96
P1
67
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
'
09
09
02
11
11
36
48
11
11
59
59
35
35
24
34
09
"
41
41
10
58
58
11
16
44
25
48
48
30
25
35
10
41
D I S T.
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
-0,02
E
+7"
178,18
E
+7"
177,40
W
+7"
180,84
COORDENADAS
E(-) o W
69,16
162,95
OBSERVACIONES
P1
133,80
327,18
P2
2
FN + FE
304,97
373,70
P3
0,1345362405
405,56
223,45
P4
229,19
70,19
P5
64,66
162,95
P1
N=
1 : 7127,67
0,02
176,35
153,28
-0,02
164,51
FS =
d FS = 7127,67
0,02
150,27
-0,02
2
1
d FS
N=
0,01
46,51
100,61
188,85
64,66
E S T.
FS =
-0,02
E
+6"
ESTE
164,21
171,19
233,66
NORTE
0,02
-0,02
W
+7"
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
0,02
92,74
P2
P2
CN = FACTOR DE CN x DIST
CE = FACTOR DE CE x DIST
(Sin correg.)
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 958,93
α = 539°59'26" C α =- - 34" =+6,8"
5
f α = 539°59'26" - 540° = - 34"
340,96
340,90
-340,86
-340,90
303,46
303,51
-303,55
-303,51
FÓRMULAS UTILIZADAS
FACTOR DE CN = -
CIERRE MÉTRICO:
FN = 340,96 - 340,86 = 0,10
FACTOR DE CE = -
FE = 303,46 - 303,55 = -0,09
18
FN
d
FE
d
= -
0,10
958,93
- 0,09
958,93
= - 0,000104282
= + 0,000093854
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
1.2 CASO DE TENER EL AZIMUT DE P1 A P5 (SENTIDO HORARIO,
ÁNGULOS EXTERNOS)
Conocidos los ángulos internos, los ángulos externos se determinan de la siguiente manera:
β P1
β P2
β P3
β P4
β P5
= 360º – α P1
=
360º – 96º34’10” = 263º25’50”
= 360º – α P2
=
360º – 128º02’10” = 231º57’50”
= 360º – α P3
=
360º – 108º36’11” = 251º23’49”
= 360º – α P4
=
360º – 97º11’25” = 262º48’35”
= 360º – α P5
=
360º – 109º35’30” = 250º24’30”
El azimut de P1 a P5 es un dato conocido.
P5
AZ P1 = 330 º 35’ 31’’
N
β P4
P4
COORDENADAS
NORTE
ESTE
64,66
162,95
PUNTO
β P3
P1
P3
ÁNGULOS MEDIDOS
263° 25’ 50’’
231° 57’ 50’’
251° 23’ 49’’
262° 48’ 35’’
250° 24’ 30’’
β P5
β P1
β P2
β P3
β P4
β P5
P5
P2
AZ
β P2
P5
P1
P1
N P1
β P1
E
E P1
19
P1
P2
P3
P4
P5
DISTANCIAS
– P2
– P3
– P4
– P5
– P1
MEDIDAS
178,18
177,40
180,84
233,66
188,85
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CONTROL DE CIERRE ANGULAR
f β = Σ β – (n + 2) 180° = 1260° 00’ 34’’ - (5 + 2) 180° = 1260° 00’ 34’’ - 1260°
f β = + 34’’
CORRECCIÓN ANGULAR (C β)
Si asumimos que el máximo error angular tolerable sea de ± 16” n , luego:
Tolerancia = ± 16” n
=
± 16” 5
= ± 35,78’’
f β = + 34’’ < Tolerancia = ± 35,78’’
Cβ =–
fβ
34"
=–
= – 6,8”
n
5
Correcciones angulares con cifras decimales, sólo se justifican en poligonales de altísima precisión.
Por tanto, siendo f β = 34’’ y
n = 5, se procede a distribuir las correcciones como se indica a
continuación:
Ángulos
Corrección a c/u
4
– 7’’
1
– 6’’
Total
28’’
6’’
34’’
Ángulos corregidos:
β P1
β P2
β P3
β P4
= 263° 25’ 50’’ – 7” = 263° 25’ 43’’
= 231° 57’ 50’’ – 6” = 231° 57’ 44’’
= 251° 23’ 49’’ – 7” = 251° 23’ 42’’
= 262° 48’ 35’’ – 7” = 262° 48’ 28’’
20
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
β P5 = 250° 24’ 30’’ – 7” = 250° 24’ 23’’
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
P1
P5
P4
°
330
'
35
"
31
250
24
30
262
48
D I S T.
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
188,85
AZ
233,66
β P5
180,84
β P4
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
ESTE
64,66
162,95
251
23
49
P2
231
57
50
P1
263
25
50
P1
P5
P1
P5
35
P3
E S T.
P4
P3
177,40
β P3
P2
178,18
β P2
P1
β P1
P5
P5
(Sin correg.)
FÓRMULAS UTILIZADAS
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 958,93
CIERRE MÉTRICO:
β = 1260°00'34" C β =- 34" =- 6,8"
5
f β = 1260°00'34" - 1260° = 34"
CÁLCULO DE LOS AZIMUT INTERMEDIOS
Para el cálculo de los azimut intermedios se aplica la fórmula:
AZ
sigue
= AZ anterior + β ± 180°
21
OBSERVACIONES
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
AZ P5
330° 35' 31" AZ inicial
P1 =
β P5 = 250° 24' 23" (corregido)
580° 59' 54" > 540°
- 540° 00' 00"
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
AZ P4
40° 59' 54"
P5 =
β P4 = 262° 48' 28" (corregido)
P1
°
330
'
35
"
31
P5
250
40
24
59
30
54
- 7"
P4
262
123
48
48
35
22
- 7"
P3
251
195
23
12
49
04
- 7"
P2
231
247
57
09
50
48
- 6"
P1
263
330
25
35
50
31
- 7"
P5
303° 48' 22" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ P3
123° 48' 22"
P4 =
β P3 = 251° 23' 42" (corregido)
375° 12' 04" > 180°
- 180° 00' 00"
Chequeo
E S T.
Dato conocido
AZ P2
195° 12' 04"
P3 =
β P2 = 231° 57' 44" (corregido)
427° 09' 48" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ P1
247° 09' 48"
P2 =
β P1 = 263° 25' 43" (corregido)
510° 35' 31" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ P5
P1 =
330° 35' 31"
AZ inicial
Dato conocido
El resto de los cálculos se realizarán directamente en la planilla para el cálculo de poligonales.
De los resultados obtenidos, podemos observar que los rumbos son los mismos en valor angular
que los calculados en el caso anterior, pero en este caso tienen orientación contraria; por ejemplo:
el rumbo de P1 a P2 en el caso anterior (sentido antihoraria) es N 67° 09’ 41” E y para este caso
(sentido horario) el rumbo es de S 67° 09’ 48” W.
Igualmente, en el cálculo de las proyecciones se puede observar que son las mismas, pero en un
sentido tendrán un signo y en el otro tendrán el signo contrario, por ejemplo: la proyección ∆N P2P1
en el caso anterior (sentido antihoraria) es igual a +69,16 m y en este caso (sentido horario) es
igual a – 69,15 m.
22
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
De los resultados obtenidos de las coordenadas de cada uno de los puntos, podemos observar que
son las mismas en ambos casos.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
E S T.
P1
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
°
330
N 29
250
P5
40
N 40
262
P4
123
S 56
251
P3
195
S 15
231
P2
247
S 67
263
P1
330
'
35
24
24
59
59
48
48
11
23
12
12
57
09
09
25
35
"
31
29
30
54
54
35
22
38
49
04
04
50
48
48
50
31
D I S T.
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
0,02
W
- 7"
188,85
E
- 7"
233,66
E
- 7"
180,84
164,52
162,95
OBSERVACIONES
P1
2
FS =
FN + FE
229,20
70,20
P5
405,57
223,47
P4
2
1
d FS
N=
- 0,02
100,62
FS =
0,1272792206
d FS = 7534,07
- 0,02
150,26
0,01
304,97
373,71
P3
133,79
327,18
P2
64,66
162,95
P1
N=
1 : 7534,07
- 0,01
171,19
46,52
0,02
- 0,02
69,15
178,18
64,66
E S T.
153,29
0,02
W
- 7"
ESTE
92,73
176,35
177,40
NORTE
- 0,02
0,02
W
- 6"
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CÁ
A L C U L O DE P O L I G O N A L E S
164,21
P5
P5
CN = FACTOR DE CN x DIST
CE = FACTOR DE CE x DIST
(Sin correg.)
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
34"
=- 6,8"
5
= 1260°00'34" - 1260° = 34"
β = 1260°00'34"
fβ
d = 958,93
C β =-
340,87
340,91
340,96
340,91
303,55
303,51
303,46
303,51
FÓRMULAS UTILIZADAS
FORMULAS
FACTOR DE CN = -
MÉTRICO:
CIERRE METRICO:
FN = 340,87 - 340,96 = - 0,09
FE = 303,55 - 303,46 = 0,09
FACTOR DE CE = -
FN
d
FE
d
= = -
- 0,09
958,93
- 0,09
958,93
= + 0,000093854
= + 0,000093854
2 LA POLIGONAL ABIERTA
Son aquellas cuyo punto de arranque no coincide con el punto de llegada.
Cuando las poligonales abiertas no están ligadas a ningún punto de coordenadas conocidas, la
única comprobación consistirá en repetir las mediciones y los cálculos.
El caso ideal de una poligonal abierta es cuando se tienen dos puntos de coordenadas conocidas al
inicio y dos puntos de coordenadas conocidas al final. En este caso, se podrá determinar el control
de cierre angular (azimut) y lineal (coordenadas).
23
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
2.1 CÁLCULO DE LA POLIGONAL ABIERTA EN LA DIRECCIÓN DE XX
A MY
α4
α2
XY
α MY
α3
4
2
α1
MY
3
α XX
1
XX
MX
DATOS DE PUNTOS DE APOYO
COORDENADAS
PUNTO
NORTE
ESTE
XY
438,51
3005,75
XX
164,67
2930,94
MY
387,16
4115,73
MX
143,27
3874,21
ÁNGULOS MEDIDOS
60° 41’ 15’’
α XX
147° 22’ 25’’
α 1
244° 04’ 34’’
α 2
115° 31’ 11’’
α 3
240° 29’ 37’’
α 4
301° 17’ 07’’
α MY
DISTANCIAS MEDIDAS
LADOS
DISTANCIAS
XX – 1
294,49
1 – 2
246,10
2 – 3
300,18
3 – 4
187,85
4 – MY
324,58
Resolviendo la poligonal en la dirección de XX a MY, los ángulos considerados en los cálculos,
deben ser los medidos en campo y suministrados como datos conocidos, según el sentido de
avance.
24
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
XX
MX
En este caso el azimut inicial es el AZ XY y el azimut final es el AZ MY .
CÁLCULO DEL AZIMUT INICIAL Y DEL AZIMUT FINAL
N
N
XX
Tg R XY
2930,94 - 3005,75
∆E XX
E XX - E XY
XY
=
=
=
XX
164,67 - 438,51
∆N XY
N XX - N XY
AZ XX
XY
XY
R XX
XY
N XX
XX
Tg R XY =
S
XX
E
Nota: Los valores entre barras indican valores absolutos
N XX
XY = N XX - N XY
N XY
XX
XY
=E
E XX
XX
- 74,81
= 0,2731887233
- 273,84
- E XY
E
E XY
XX
R XY = arcTg 0,2731887233 = S 15° 16’ 47” W
AZ
XX
XY
XX
= R XY + 180° (3er Cuadrante)
XX
AZ XY = 195 ° 16’ 47’’ ( AZinicial )
S
MX
MX
E MX
MX
MY
N MX
MY = N MX - N MY
R MX
MY
E MY = E
AZ
Tg R MY =
3874,21 - 4115,73
∆E MX
E MX - E MY
MY
=
=
MX
∆N MY
N MX - N MY
143,27 - 387,16
AZ MX
MY
MY
N MY
N MX
MX
N
N
MX
Tg R MY =
R
MX
MY
- 241,52
= 0,9902825044
- 243,89
= arcTg 0,9902825044 = S 44° 43’ 13” W
- E MY
MX
E MY
E
AZ
MX
MY
=R
= 224 ° 43’ 13’’ ( AZfinal )
25
MX
MY
+ 180° (3er Cuadrante)
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
El problema se reduce a una poligonal abierta en el cual se conocen: el azimut inicial y el azimut
final (control de cierre angular), y un punto de coordenadas conocidas al inicio (punto XX) y al final
(punto MY) (control de cierre lineal):
N
α4
α2
AZ XX
XY
XY
N
α MY
α3
4
2
α1
AZ MX
MY
MY
3
α XX
1
XX
MX
CONTROL DE CIERRE ANGULAR
Por definición:
f α = AZ fobs – AZ fcalc
fα
= error de cierre angular.
AZ fobs =
es el azimut final observado y se obtiene en función del azimut inicial y de los ángulos
medidos en el campo.
AZ fcalc = es el azimut final calculado y se obtiene en función de los dos puntos de coordenadas
conocidas.
Cálculo del azimut final observado:
AZ fobs = AZ inicial + Σ α – n x 180°
donde:
26
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
AZ inicial = es el azimut inicial calculado en función de los dos puntos de coordenadas conocidas.
Σ α = suma de los ángulos medidos en el campo.
n = número de ángulos medidos en el campo.
Aplicando al presente problema:
AZ fobs = 195° 16’ 47’’ + 1109° 26’ 09” – 6 x 180°
AZ fobs =
224° 42’ 56”
Por lo tato:
f α = 224° 42’ 56” – 224 ° 43’ 13’’ = – 17” (error de cierre angular)
CORRECCIÓN ANGULAR (Cα)
El error angular fα determinado en el paso anterior, se compara con la tolerancia angular.
Suponiendo que el máximo error angular tolerable sea de ± 10” n , luego:
Tolerancia = ± 10” n
=
± 10” 6
= ± 24,49’’
f α = – 17’’ < Tolerancia = ± 24,49’’
Si el error angular hubiese sido mayor que el tolerable, habría sido necesario revisar para hallar la
causa y medir nuevamente los ángulos equivocados. En este caso como el error está dentro de la
tolerancia, se debe distribuir proporcionalmente entre los ángulos medidos.
Cα = –
fα
− 17"
=–
= + 2,83”
6
n
Correcciones angulares con cifras decimales, sólo se justifican en poligonales de altísima precisión.
27
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
Por tanto, siendo fα = – 17’’ y
n = 6, se procede a distribuir las correcciones como se indica a
continuación:
Ángulos
Corrección a c/u
5
+3’’
1
+2’’
Total
15’’
2’’
17’’
Observaciones:
d) El signo de las correcciones (Cα) es siempre contrario al de fα.
e) Las correcciones mayores se le aplican a los ángulos cuya medición se realizó en
condiciones menos favorables.
f) En caso de que fα sea menor que n, se aplicarán correcciones de 1’’ solamente en algunos
ángulos, hasta distribuir el error total, siguiendo para ello el mismo criterio que en el punto
anterior.
Se aplica la corrección angular Cα a cada uno de los ángulos medidos, y se procede al cálculo de
XX
los azimut intermedios a partir del azimut inicial (AZ XY ).
Ángulos corregidos:
α XX
α1
α2
α3
α4
α MY
=
60° 41’ 15’’ + 2” =
60° 41’ 17’’
= 147° 22’ 25’’ + 3” = 147° 22’ 28’’
= 244° 04’ 34’’ + 3” = 244° 04’ 37’’
= 115° 31’ 11’’ + 3” = 115° 31’ 14’’
= 240° 29’ 37’’ + 3” = 240° 29’ 40’’
= 301° 17’ 07’’ + 3” = 301° 17’ 10’’
Para el cálculo de los azimut intermedios, de las proyecciones y de las coordenadas, se puede
utilizar la planilla para el cálculo de poligonales:
28
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
XY
°
'
195 16
"
47
XX
60
41
15
1
147
22
25
2
244
04
34
D I S T.
PROYECCIONES
N(+) o N
115
31
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
ESTE
XY
164,67
2930,94
240
29
37
MY
301
224
17
43
07
13
1
246,10
α1
300,18
α2
187,85
α3
2
3
4
α4
324,58
387,16
4115,73
MX
AZ
MX
MY
(Sin correg.)
FÓRMULAS UTILIZADAS
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 1353,20
CIERRE MÉTRICO:
α = 1109°26'09" C α =- - 17" =+2,83"
6
f α = 224°42'56" - 224°43'13" = - 17"
CÁLCULO DE LOS AZIMUT INTERMEDIOS
Para el cálculo de los azimut intermedios se aplica la fórmula:
Si
MY
α MY
MX
AZ
XX
α XX
11
4
E S T.
AZ XX
XY
294,49
3
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
sigue
= AZ anterior + α ± 180°
AZ anterior + α
<
180°
+ 180°
AZ anterior + α
>
180° y < 540°
– 180°
AZ anterior + α
>
540°
– 540°
29
OBSERVACIONES
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
AZ XX
XY =
α XX =
195° 16' 47" AZ inicial
60° 41' 17" (corregido)
Dato conocido
255° 58' 04" > 180°
- 180° 00' 00"
E S T.
XY
°
'
195 16
"
47
XX
60
75
41
58
15
04
+2"
1
147
43
22
20
25
32
+3"
2
244
107
04
25
34
09
+3"
3
115
42
31
56
11
23
+3"
4
240
103
29
26
37
03
+3"
MY
301
224
17
43
07
13
+3"
1
AZ XX
=
75° 58' 04"
α 1 = 147° 22' 28" (corregido)
223° 20' 32" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ 21 =
α2 =
43° 20' 32"
244° 04' 37" (corregido)
287° 25' 09" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ 32 = 107° 25' 09"
α 3 = 115° 31' 14" (corregido)
Chequeo
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
222° 56' 23" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ 43 =
42° 56' 23"
α 4 = 240° 29' 40" (corregido)
283° 26' 03" > 180°
- 180° 00' 00"
MX
AZ MY
103° 26' 03"
4 =
α MY = 301° 17' 10" (corregido)
404° 43' 13" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ MX
224° 43' 13"
MY =
AZ final
Dato conocido
XX
Se comienza el cálculo con el azimut inicial (AZ XY ), y se van calculando los valores de los azimut
intermedios, usando sucesivamente los ángulos medidos ya corregidos hasta llegar al azimut final
(AZ
MX
MY
), previamente calculado. Si no se obtiene como resultado el azimut final, se debe verificar
nuevamente las operaciones hasta lograrlo para poder continuar con el cálculo de la poligonal.
El cálculo de los azimut intermedios puede realizarse directamente en la planilla de cálculo de
poligonales o en una hoja aparte y posteriormente introducirlos en la planilla.
30
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CÁLCULO DE LOS RUMBOS
Conocidos los azimut de todas las líneas intermedias de la poligonal, se procede a calcular los
rumbos de las mismas.
Los rumbos se determinarán de acuerdo al cuadrante en que se encuentre el azimut:
VALOR AZIMUT
CUADRANTE
RUMBO
0° a 90°
I
N ( AZ = R ) E
90° a 180°
II
S ( 180° - AZ ) E
180° a 270°
III
S ( AZ - 180° ) W
270° a 360°
IV
N ( 360° - AZ ) W
N
0°
IV Cuadrante
I Cuadrante
W 270°
90° E
III Cuadrante
II Cuadrante
180°
S
31
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
II CUADRANTE
I CUADRANTE
I CUADRANTE
R =
R 12 =
R = N ( AZ ) E
1
R XX
= N ( 75° 58' 04" ) E
1
XX
1
XX
R 32 = S ( 180° - AZ 32 ) E
R 32 = S ( 180° - 107° 25' 09" ) E
R 32 = S ( 72° 34' 51" ) E
N ( AZ ) E
N ( 43° 20' 32" ) E
2
1
2
1
N
N
N
AZ
AZ XX
XY
R
2
1
2
AZ 32
2
R1
1
XX
2
1
1
XX
3
R2
S
II CUADRANTE
I CUADRANTE
R 34 =
R 34 =
N ( AZ 43 ) E
N ( 42° 56' 23" ) E
R MY
S ( 180° - AZ MY
4 =
4 ) E
R MY
=
S
(
180°
103°
26' 03" ) E
4
MY
R 4 = S ( 76° 33' 57" ) E
N
AZ 43
N
4
4
AZ MY
4
R3
4
3
MY
R
MY
4
S
Calculados los rumbos, se procede a registrarlos en la planilla.
32
3
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
XY
°
'
195 16
60
75
N 75
147
1
43
N 43
244
2
107
S 72
115
3
42
N 42
240
4
103
S 76
301
MY
224
XX
D I S T.
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
NORTE
E(-) o W
ESTE
15
04
04
25
32
32
34
09
51
11
23
23
37
03
57
07
13
OBSERVACIONES
XY
"
47
41
58
58
22
20
20
04
25
34
31
56
56
29
26
33
17
43
E S T.
164,67
+2"
E
+3"
E
+3"
E
+3"
E
+3"
E
+3"
2930,94
XX
294,49
1
246,10
R
1
XX
R
2
1
R
3
2
R
4
3
R
MY
4
2
300,18
3
187,85
4
324,58
387,16
4115,73
MY
MX
MX
(Sin correg.)
FÓRMULAS UTILIZADAS
(Corregido)
d = 1353,20
CIERRE ANGULAR:
CIERRE MÉTRICO:
α = 1109°26'09" C α =- - 17" =+2,83"
6
f α = 224°42'56" - 224°43'13" = - 17"
CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES Y CONTROL DE CIERRE LINEAL
N
N
Cos R XX1 =
∆N XX1
D XX1
⇒
∆N XX1 = D XX1 x Cos R XX1
Sen R XX1 =
∆E XX1
D XX1
⇒
∆E XX1 = D XX1 x Sen R XX1
1
E XX
1
N XX R XX
Di
st
1
X 1
X
AZ
1
1
XX
XX
Por lo tanto, las proyecciones ∆N y ∆E se calcularán sobre la
E
base de estas fórmulas, para cada uno de los lados de la
poligonal.
33
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
El producto de la distancia por el coseno se colocará en N(+) o N o N(-) o S según lo indique el
rumbo; de igual forma el producto de la distancia por el seno se colocará en E(+) o E o E(-) o W
dependiendo de lo indicado en el rumbo.
También se podrán calcular las proyecciones ∆N y ∆E con los azimut calculados:
∆N XX1 = D XX1 x Cos AZXX1
y
∆E XX1 = D XX1 x Sen AZXX1
En este caso el signo de las proyecciones se obtiene directamente.
Calculando las proyecciones en el problema presente:
∆N XX1 = D XX1 x Cos AZXX1
= 294,49 x Cos 75°58’04” = + 71,40 m
∆N 12 = D 12
x Cos AZ12
= 246,10 x Cos 43°20’32” = + 178,98 m
∆N 32
= D 32
x Cos AZ32
= 300,18 x Cos 107°25’09” = – 89,86 m
∆N 34
= D 34
x Cos AZ34
= 187,85 x Cos 42°56’23” = + 137,52 m
∆N MY4 = D MY4
x Cos AZMY
= 324,58 x Cos 103°26’03” = – 75,41 m
4
∆E XX1 = D XX1 x Sen AZXX1
= 294,49 x Sen 75°58’04” = + 285,70 m
∆E 12 = D 12
x Sen AZ12
= 246,10 x Sen 43°20’32” = + 168,91 m
3
∆E 2
3
= D2
3
x Sen AZ2
= 300,18 x Sen 107°25’09”
= + 286,41 m
∆E 3
= D3
x Sen AZ3
= 187,85 x Sen 42°56’23”
= + 127,97 m
4
4
4
∆E MY4 = D MY4 x Sen AZMY4
= 324,58 x Sen 103°26’03” = + 315,70 m
Estos cálculos pueden realizarse directamente en la planilla para el cálculo de poligonales.
34
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
XY
°
'
195 16
60
75
N 75
147
1
43
N 43
244
2
107
S 72
115
3
42
N 42
240
4
103
S 76
301
MY
224
XX
41
58
58
22
20
20
04
25
34
31
56
56
29
26
33
17
43
D I S T.
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
ESTE
OBSERVACIONES
XY
"
47
15
04
04
25
32
32
34
09
51
11
23
23
37
03
57
07
13
E S T.
164,67
+2"
E
+3"
294,49
E
+3"
246,10
E
+3"
300,18
E
+3"
187,85
E
+3"
324,58
71,40
2930,94
XX
285,70
1
178,98
168,91
2
89,86
286,41
3
137,52
127,97
4
75,41
315,70
387,16
4115,73
MX
MY
MX
(Sin correg.)
387,90
- 165,27
1184,69
FÓRMULAS UTILIZADAS
(Corregido)
d = 1353,20
CIERRE ANGULAR:
CIERRE MÉTRICO:
α = 1109°26'09" C α =- - 17" =+2,83"
6
f α = 224°42'56" - 224°43'13" = - 17"
En una poligonal abierta si se conocen las coordenadas de un punto de partida y las coordenadas
de un punto de llegada se cumple:
N MY
XX = N MY - N XX
MY
MY
N XX ( )
N XX =
N
4
2
N MY
N 32
N 21
N MY
4
N 43
MY
3
1
N XX
1
N XX
XX
E XX
1
E XX
2
3
E1
E
MY
XX
4
E2
= E MY - E XX =
35
E3
E
MY
XX
(
E
)
MY
4
E MY
E
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
Por lo tanto el error de cierre lineal en la poligonal viene dado por:
– ∆N MY
FN = ∑ ∆ N MY
XX
XX
FE = ∑ ∆ E MY
XX
– ∆E MY
XX
donde:
FN = error de proyección norte.
FE = error de proyección este.
∑ ∆ N MY
= ∑ ∆ N MY
(+) – ∑ ∆ N MY
(–) = 387,90 – 165,27 = + 222,63 m
XX
XX
XX
∑ ∆ E MY
= ∑ ∆ E MY
(+) – ∑ ∆ E MY
(–) = 1184,69 – 0,00 = + 1184,69 m
XX
XX
XX
= N MY – N XX =
∆ N MY
XX
387,16 – 164,67 =
222,49 m
∆ E XX = E MY – E XX = 4115,73 – 2930,94 = 1184,79 m
MY
FN = 222,63 – 222,49 =
0,14 m
FE = 1184,69 – 1184,79 = – 0,10 m
FS = ±
FN 2 + FE 2 ( error de cierre lineal )
FS = ±
FN 2 + FE 2
ε =
ε =
=
FS
(error relativo)
∑d
FS
FS
∑ d FS
=
±
(0,14) 2 + (−0,10) 2
⇒
FS = ± 0,1720465053
∑ d = suma de las distancias
1
1
=
1353,20
∑d
FS
0,1720465053
ε = 1 : 7865,32
36
=
1
7865,32
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
Si asumimos que la tolerancia sea de 1: 6000, es decir, un error de 1 metro en una longitud de
6000 m, en este caso se cumple con esta condición ya que estamos cometiendo el mismo error de
1 m en una distancia mayor, por lo que estamos dentro de la tolerancia y se puede continuar con
el cálculo.
DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES DE CORRECCIÓN
CN = –
FN
0,14
= –
= – 0,000103458
1353,20
∑d
y
CE = –
FE
− 0,10
= –
= +0,000073898
1353,20
∑d
CN = –0,000103458
(Factor de corrección de proyección norte)
CE = + 0,000073898
(Factor de corrección de proyección este)
CORRECCIÓN DE LAS PROYECCIONES
Para corregir las proyecciones se multiplican los factores de corrección por la distancia del lado
respectivo, de la siguiente forma:
Lado XX – 1:
Corrección norte =
CN x D XX1
= –0,000103458 x 294,49
=
Corrección este
CE x D XX1
=
0,000073898 x 294,49
=
0,021762222
=
- 0,030467346
= - 0,03
=
0,02
Lado 1 – 2:
Corrección norte =
CN x D 12
=
–0,000103458 x 246,10
=
- 0,0254610138
Corrección este
=
CE x D 12
=
0,000073898 x 246,10
=
0,0181862978
Corrección norte =
CN x D 32
=
–0,000103458 x 300,18
= - 0,03
=
0,02
Lado 2 – 3:
37
=
- 0,031056022
= - 0,03
CÁLCULO DE POLIGONALES
Corrección este
RICARDO URRIOLA
=
CE x D 32
=
0,000073898 x 300,18
=
0,022182701
=
Corrección norte =
CN x D 34
=
–0,000103458 x 187,85
=
- 0,0194345853
Corrección este
CE x D 34
=
0,000073898 x 187,85
=
Corrección norte =
CN x D MY
4
= –0,000103458 x 324,58
=
- 0,033580397
Corrección este
CE x D MY
4
=
=
0,023985812
0,02
Lado 3 – 4:
=
= - 0,02
0,0138817393
=
0,02
Lado 4 – MY:
=
0,000073898 x 324,58
= - 0,03
=
0,02
Calculadas las correcciones de las proyecciones de los diferentes lados de la poligonal, se procede
a registrarlas en la planilla.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
XY
°
'
195 16
60
75
N 75
147
1
43
N 43
244
2
107
S 72
115
3
42
N 42
240
4
103
S 76
301
MY
224
XX
41
58
58
22
20
20
04
25
34
31
56
56
29
26
33
17
43
D I S T.
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
E S T.
ESTE
XY
"
47
15
04
04
25
32
32
34
09
51
11
23
23
37
03
57
07
13
OBSERVACIONES
2
FS =
164,67
+2"
-0,03
E
+3"
294,49
E
+3"
246,10
71,40
285,70
1
168,91
2
-0,03
300,18
89,86
N=
1 : 7865,32
0,02
286,41
187,85
0,02
137,52
127,97
4
-0,03
E
+3"
0,1720465053
3
-0,02
E
+3"
FS =
d FS = 7865,32
0,02
178,98
2
1
d FS
N=
0,02
-0,03
E
+3"
XX
2930,94
FN + FE
75,41
324,58
0,02
315,70
387,16
4115,73
MY
MX
MX
CN = FACTOR DE CN x DIST
CE = FACTOR DE CE x DIST
(Sin correg.)
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 1353,20
α = 1109°26'09" C α =- - 17" =+2,83"
6
f α = 224°42'56" - 224°43'13" = - 17"
387,90
387,82
- 165,27
- 165,33
1184,69
1184,79
FÓRMULAS UTILIZADAS
FACTOR DE CN = -
CIERRE MÉTRICO:
FN = 222,63 - 222,49 = 0,14 m
FACTOR DE CE = -
FE = 1184,69 - 1184,79 = -0,10 m
38
FN
d
FE
d
= = -
0,14
1353,20
- 0,10
1353,20
= - 0,000103458
= + 0,000073898
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CÁLCULO DE LAS COORDENADAS
Calculadas las proyecciones y sus correspondientes correcciones, se procede a calcular las
coordenadas de los demás puntos.
Se procede a calcular las coordenadas del punto 1, partiendo de las coordenadas del punto XX
(conocidas), sumadas a las proyecciones respectivas ∆N XX1 y ∆E XX1 , luego las del punto 2, luego
las del punto 3, hasta llegar al punto final (MY) con las mismas coordenadas.
N 1 = N XX + ∆N XX1 corregido
N 1 = 164,67 + (71,40 – 0,03)
N
N
1
1
N 1 = 236,04 m
1
N XX
N XX
1
E XX
XX
E XX
E
E
E 1 = E XX + ∆E XX1 corregido
1
E 1 = 2930,94 + (285,70 + 0,02)
E 1 = 3216,66 m
N 2 = N 1 + ∆N 12 corregido
N
2
N2
N 2 = 236,04 + (178,98 – 0,03)
N 21
N1
1
N 2 = 414,99 m
2
E1
E1
E2
E
E 2 = E 1 + ∆E 12 corregido
39
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
E 2 = 3216,66 + (168,91 + 0,02)
E 2 = 3385,59 m
N 3 = N 2 + ∆N 32 corregido
N
N 3 = 414,99 + (–89,86 – 0,03)
2
N2
N 32
N3
N 3 = 325,10 m
3
3
E2
E2
E3
E
E 3 = E 2 + ∆E 32 corregido
E 3 = 3385,59 + (286,41 + 0,02)
E 3 = 3672,02 m
N 4 = N 3 + ∆N 34 corregido
N
N 4 = 325,10 + (137,52 – 0,02)
4
N4
N3
N 4 = 462,60 m
N 43
3
4
E 4 = E 3 + ∆E 34 corregido
E3
E3
E4
E
E 4 = 3672,02 + (127,97 + 0,02)
40
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
E 4 = 3800,01 m
Se verifica que se obtengan las coordenadas del punto MY, partiendo de las coordenadas del punto
y ∆E MY
.
4 y de las proyecciones ∆N MY
4
4
N MY = N 4 + ∆N MY
corregido
4
N
N MY = 462,60 + (–75,41 – 0,03)
4
N4
N MY = 387,16 m
N MY
4
N MY
E
E MY = E 4 + ∆E MY
corregido
4
MY
MY
4
E4
E MY = 3800,01 + (315,70 + 0,02)
E MY = 4115,73 m
E
E MY
Estos
cálculos
pueden
realizarse
directamente en la planilla para el cálculo de poligonales.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
XY
°
'
195 16
60
75
N 75
147
1
43
N 43
244
2
107
S 72
115
3
42
N 42
240
4
103
S 76
301
MY
224
XX
41
58
58
22
20
20
04
25
34
31
56
56
29
26
33
17
43
D I S T.
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
E S T.
ESTE
XY
"
47
15
04
04
25
32
32
34
09
51
11
23
23
37
03
57
07
13
OBSERVACIONES
2
FS =
+2"
294,49
E
+3"
246,10
71,40
89,86
-0,02
187,85
137,52
1
d FS
N=
FS =
0,1720465053
d FS = 7865,32
414,99
3385,59
2
325,10
3672,02
3
462,60
3800,01
4
387,16
4115,73
MY
N=
1 : 7865,32
0,02
286,41
127,97
75,41
324,58
1
2
0,02
-0,03
E
+3"
3216,66
168,91
-0,03
E
+3"
236,04
0,02
178,98
300,18
XX
285,70
-0,03
E
+3"
2930,94
0,02
-0,03
E
+3"
164,67
FN + FE
0,02
315,70
MX
MX
CN = FACTOR DE CN x DIST
CE = FACTOR DE CE x DIST
(Sin correg.)
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 1353,20
α = 1109°26'09" C α =- - 17" =+2,83"
6
f α = 224°42'56" - 224°43'13" = - 17"
387,90
387,82
- 165,27
- 165,33
1184,69
1184,79
FÓRMULAS UTILIZADAS
FACTOR DE CN = -
CIERRE MÉTRICO:
FN = 222,63 - 222,49 = 0,14 m
FE = 1184,69 - 1184,79 = -0,10 m
FACTOR DE CE = -
41
FN
d
FE
d
= = -
0,14
1353,20
- 0,10
1353,20
= - 0,000103458
= + 0,000073898
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
2.2 CÁLCULO DE LA POLIGONAL ABIERTA EN LA DIRECCIÓN DE MY
A XX
4
XY
2
β4
3
β MY
MY
β2
1
β3
β XX XX
β1
MX
DATOS DE PUNTOS DE APOYO
COORDENADAS
PUNTO
NORTE
ESTE
XY
438,51
3005,75
XX
164,67
2930,94
MY
387,16
4115,73
MX
143,27
3874,21
ÁNGULOS MEDIDOS
299° 18’ 45’’
β XX
212° 37’ 35’’
β 1
115° 55’ 26’’
β 2
244° 28’ 49’’
β 3
119° 30’ 23’’
β 4
58° 42’ 53’’
β MY
DISTANCIAS MEDIDAS
LADOS
DISTANCIAS
XX – 1
294,49
1 – 2
246,10
2 – 3
300,18
3 – 4
187,85
4 – MY
324,58
Resolviendo la poligonal en la dirección de MY a XX, los ángulos considerados en los cálculos,
deben ser el complemento para completar los 360° de los ángulos suministrados como datos
conocidos, según el sentido de avance.
42
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
Conocidos los ángulos medidos en el campo, los ángulos considerados en los cálculos se
determinan de la siguiente manera:
β XX = 360º – α XX
β 1 = 360º – α 1
β 2 = 360º – α 2
β 3 = 360º – α 3
β 4 = 360º – α 4
β MY = 360º – α MY
=
360º – 60º41’15” = 299º18’45”
=
360º – 147º22’25” = 212º37’35”
=
360º – 244º04’34” = 115º55’26”
=
360º – 115º31’11” = 244º28’49”
=
360º – 240º29’37” = 119º30’23”
=
360º – 301º17’07” =
58º42’53”
MY
XY
En este caso el azimut inicial es el AZ MX y el azimut final es el AZ XX .
CÁLCULO DEL AZIMUT INICIAL Y DEL AZIMUT FINAL
N
N
MY
Tg R MX =
MY
N MY
MX = N MY - N MX
N MY
N MX
AZ
MY
MX
R MY
MX
Nota: Los valores entre barras indican valores absolutos
MX
MY
E
MY
MX
E MX
4115,73 - 3874,21
∆E MY
E MY - E MX
MX
=
=
MY
∆N MX
N MY - N MXX
387,16 - 143,27
=E
Tg R MX =
- E MX
MY
E MY
241,52
= 0,9902825044
243,89
E
MY
R MX = arcTg 0,990285044 = N 44° 43’ 13” E
AZ
MY
MX
MY
= R MX = 44° 43’ 13” (1er Cuadrante)
MY
AZ MX = 44° 43’ 13” ( AZinicial )
43
CÁLCULO DE POLIGONALES
N
N
N XX
XY
Tg R XX =
XY
N XY
XX = N XY - N XX
N XY
RICARDO URRIOLA
AZ XY
XX
∆E XY
E XY - E XX
3005,75 - 2930,94
XX
=
=
XY
∆N XX
N XY - N XX
438,51 - 164,67
R XY
XX
Nota: Las cifras entre barras indican valores absolutos.
XX
XY
XY
E XX = E
E XX
XY
Tg R XX =
- E XX
74,81
= 0,2731887233
273,84
E
E XY
XY
R XX = arcTg 0,2731887233 = N 15° 16’ 47” E
AZ
XY
XX
XY
= R XX = 15° 16’ 47” (1er Cuadrante)
XY
AZ XX = 15° 16’ 47” ( AZfinal )
El problema se reduce a una poligonal abierta en la que se conocen: el azimut inicial y el azimut
final (control de cierre angular), y un punto de coordenadas conocidas al inicio (punto MY) y al final
(punto XX) (control de cierre lineal):
N
4
XY
2
AZ XY
XX
β4
3
β MY
N
β2
1
AZ MY
MX
β3
β XX XX
β1
MX
44
MY
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CONTROL DE CIERRE ANGULAR
Por definición:
f β = AZ fobs – AZ fcalc
fβ
= error de cierre angular.
AZ fobs =
es el azimut final observado y se obtiene en función del azimut inicial y de los ángulos
medidos en el campo.
AZ fcalc = es el azimut final calculado y se obtiene en función de los dos puntos de coordenadas
conocidas.
Cálculo del azimut final observado:
AZ fobs = AZ inicial + Σ β – n x 180°
donde:
AZ inicial = es el azimut inicial calculado en función de los dos puntos de coordenadas conocidas.
Σ β = suma de los ángulos medidos en el campo.
n = número de ángulos medidos en el campo.
Aplicando al presente problema:
AZ fobs = 44° 43’ 13’’ + 1050° 33’ 51” – 6 x 180°
AZ fobs = 15° 17’ 04”
Por lo tanto:
f β = 15° 17’ 04” – 15 ° 16’ 47’’ =
17” (error de cierre angular)
45
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
CORRECCIÓN ANGULAR (C β)
El error angular fβ determinado en el paso anterior, se compara con la tolerancia angular. Si
asumimos que el máximo error angular tolerable sea de ± 10” n , luego:
Tolerancia = ± 10” n
fβ =
=
± 10” 6
= ± 24,49’’
17’’ < Tolerancia = ± 24,49’’
Si el error angular hubiese sido mayor que el tolerable, habría sido necesario revisar para hallar la
causa y medir nuevamente los ángulos equivocados. En este caso como el error está dentro de la
tolerancia, se debe distribuir proporcionalmente entre los ángulos medidos.
Cβ =–
fβ
17"
=–
= – 2,83”
n
6
Correcciones angulares con cifras decimales, sólo se justifican en poligonales de altísima precisión.
Por tanto, siendo f β = 17’’ y
n = 6, se procede a distribuir las correcciones como se indica a
continuación:
Ángulos
Corrección a c/u
5
– 3’’
1
– 2’’
Total
15’’
2’’
17’’
Observaciones:
g) El signo de las correcciones (C β) es siempre contrario al de f β.
h) Las correcciones mayores se le aplican a los ángulos cuya medición se realizó en
condiciones menos favorables.
46
CÁLCULO DE POLIGONALES
i)
RICARDO URRIOLA
En caso de que fβ sea menor que n, se aplicarán correcciones de 1’’ solamente en algunos
ángulos, hasta distribuir el error total, siguiendo para ello el mismo criterio que en el punto
anterior.
Se aplica la corrección angular Cβ a cada uno de los ángulos medidos, y se procede al cálculo de
MY
los azimut intermedios a partir del AZ MX .
Ángulos corregidos:
β XX =
β1 =
β2 =
β3 =
β4 =
β MY =
299° 18’ 45’’ – 3” = 299° 18’ 42’’
212° 37’ 35’’ – 3” = 212° 37’ 32’’
115° 55’ 26’’ – 3” = 115° 55’ 23’’
244° 28’ 49’’ – 3” = 244° 28’ 46’’
119° 30’ 23’’ – 3” = 119° 30’ 20’’
58° 42’ 53’’ – 2” =
58° 42’ 51’
Para el cálculo de los azimut intermedios, de las proyecciones y de las coordenadas, se puede
utilizar la planilla para el cálculo de poligonales:
47
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
MX
MY
°
44
'
43
"
13
58
42
53
D I S T.
PROYECCIONES
N(+) o N
119
30
23
3
244
28
49
2
115
55
26
1
212
37
35
AZ
18
16
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
ESTE
4115,73
β4
3
β3
2
246,10
β2
294,49
β1
1
45
47
164,67
2930,94
XX
β XX
XY
AZ XY
XX
(Sin correg.)
FÓRMULAS UTILIZADAS
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 1353,20
CIERRE MÉTRICO:
β = 1050°33'51" C β =- 17" =-2,83"
6
f β = 15°17'04" - 15°16'47" = 17"
CÁLCULO DE LOS AZIMUT INTERMEDIOS
Para el cálculo de los azimut intermedios se aplica la fórmula:
Si
MY
4
XY
AZ
E S T.
MY
MX
387,16
300,18
299
15
E(+) o E
β MY
187,85
XX
N(-) o S
MX
324,58
4
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
sigue
= AZ anterior + β ± 180°
AZ anterior + β
<
180°
+ 180°
AZ anterior + β
>
180° y < 540°
– 180°
AZ anterior + β
>
540°
– 540°
48
OBSERVACIONES
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
AZ MY
MX =
β MY =
44° 43' 13"
AZ inicial
58° 42' 51" (corregido)
Dato conocido
103° 26' 04" < 180°
+ 180° 00' 00"
E S T.
MX
°
44
'
43
"
13
MY
58
283
42
26
53
04
- 2"
4
119
222
30
56
23
24
- 3"
3
244
287
28
25
49
10
- 3"
2
115
223
55
20
26
33
- 3"
1
212
255
37
58
35
05
- 3"
299
15
18
16
45
47
- 3"
XX
AZ my4 = 283° 26' 04"
β 4 = 119° 30' 20" (corregido)
402° 56' 24" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ 34 =
β3 =
222° 56' 24"
244° 28' 46" (corregido)
467° 25' 10" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ 23 = 287° 25' 10"
β 2 = 115° 55' 23" (corregido)
Chequeo
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
403° 20' 33" > 180°
- 180° 00' 00"
AZ 12 = 223° 20' 33"
β 1 = 212° 37' 32" (corregido)
435° 58' 05" > 180°
- 180° 00' 00"
XY
AZ XX1 = 255° 58' 05"
β XX = 299° 18' 42" (corregido)
555° 16' 47" > 540°
- 540° 00' 00"
AZ XY
XX =
15° 16' 47"
AZ final
Dato conocido
El resto de los cálculos se realizarán directamente en la planilla para el cálculo de poligonales.
De los resultados obtenidos, podemos observar que los rumbos son los mismos en valor angular
que los calculados en el caso anterior, pero en este caso tienen orientación contraria.
Igualmente, en el cálculo de las proyecciones se puede observar que son las mismas, pero en un
sentido tendrán un signo y en el otro tendrán el signo contrario.
De los resultados obtenidos de las coordenadas de cada uno de los puntos, podemos observar que
son las mismas en ambos casos.
49
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES "EZEQUIEL ZAMORA"
VICE - RECTORADO DE PRODUCCION AGRICOLA
AZIMUT
RUMBO
ÁNGULO
E S T.
MX
°
44
'
43
"
13
58
283
N 76
119
4
222
S 42
244
3
287
N 72
115
2
223
S 43
212
1
255
S 75
299
XX
15
42
26
33
30
56
56
28
25
34
55
20
20
37
58
58
18
16
53
04
56
23
24
24
49
10
50
26
33
33
35
05
05
45
47
MY
D I S T.
POLIGONAL No.
LEVANTADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
CALCULADO POR: ING. RICARDO URRIOLA
C Á L C U L O DE P O L I G O N A L E S
PROYECCIONES
N(+) o N
N(-) o S
E(+) o E
COORDENADAS
E(-) o W
NORTE
E S T.
ESTE
OBSERVACIONES
MX
2
FS =
- 2"
0,03
W
- 3"
324,58
W
- 3"
187,85
75,41
137,52
1
d FS
N=
FS =
0,1720465053
d FS = 7865,32
325,10
3672,02
3
414,99
3385,59
2
236,04
3216,66
1
164,67
2930,94
XX
N=
1 : 7865,32
286,41
178,98
71,40
294,49
4
-0,02
-0,02
168,91
0,03
W
- 3"
3800,01
2
-0,02
89,86
246,10
462,60
127,97
0,03
W
- 3"
MY
315,70
0,03
300,18
4115,73
-0,02
0,02
W
- 3"
387,16
FN + FE
-0,02
285,70
XY
XY
CN = FACTOR DE CN x DIST
CE = FACTOR DE CE x DIST
(Sin correg.)
(Corregido)
CIERRE ANGULAR:
d = 1353,20
β = 1050°33'51" C β =- 17" =-2,83"
6
f β = 15°17'04" - 15°16'47" = 17"
165,27
165,33
- 387,90
- 387,82
- 1184,69
- 1184,79
FÓRMULAS UTILIZADAS
FACTOR DE CN = -
CIERRE MÉTRICO:
FN = -222,63 - (- 222,49) = - 0,14 m
FACTOR DE CE = -
FE = -1184,69 - (-1184,79) = 0,10 m
50
FN
d
FE
d
= = -
-0,14
1353,20
0,10
1353,20
= + 0,000103458
= - 0,000073898
CÁLCULO DE POLIGONALES
RICARDO URRIOLA
REFERENCIAS
Ballesteros, N. 1998. Topografía, editorial Limusa, S.A., México.
Carciente, J. 1985. Carreteras, 2da edición, ediciones Vega, Madrid.
García, D. 1990. Topografía, McGRAW-HILL, México.
López, S. 1993. Topografía, ediciones Mundi-Prensa, Madrid.
Wolf, P. y Brinker, R. 2001. Topografía, editorial Alfaomega, S.A., 9ª edición, Bogotá.
51