MICROECONOMÍA II (UBA) Profesor Martín Rossi Ayudante Martín Alfaro GUÍA 2 Juegos dinamicos de información completa 1. Una pareja debe elegir qué película ir a ver un sábado a la noche noche sin saber cuál elegirá la otra persona. Sin embargo, antes de tomar esta decisión en forma simultánea, la mujer tiene la opción de elegir quedarse en casa leyendo un libro. Luego, el hombre observa esta opción. Si la mujer decide quedarse en casa, el juego termina. Si decide no quedarse en casa, luego ambos deciden simultáneamente qué película ver. Hay dos posibles: el hombre pre ere una de acción mientras que la mujer una romántica. Ambos pre eren ir al lugar preferido con su pareja a que la mujer se quede en casa leyendo un libro; pero pre eren que la mujer se quede en casa leyendo un libro antes que salir con su pareja y ver la película menos preferida. Lo peor para ambos es salir y permanecer en cines distintos. (a) Dibuje el juego en forma extensiva. (b) Determine las estrategias de cada jugador. (c) Encuentre los equilibrios de Nash. (d) Determine cuáles de estos equilibrios son subjuego perfectos. 2. Suponga que el Estado está evaluando gravar las ventas de un monopolista. Este se comporta como un maximizador de recaudación. A su vez, el monopolista enfrenta una demanda inversa lineal tal que p (q) = a bq y posee costos lineales c (q) = cq: El juego consta de dos periodos. En el primero el Estado ja la alícuota del impuesto y en el segundo periodo la empresa produce y vende esas cantidades. Determine el resultado perfecto en subjuegos. 3. El jugador 1 puede decidir terminar un juego o que continúe. Si decide terminarlo, los pagos son (1; 1). Si decide continuar, el jugador 2 tiene que anunciar un número entre 0 y 100; luego el jugador 1, sin observar el anuncio del jugador 2, debe anunciar un número entre 0 y 100. El pago de cada jugador es el producto de los anuncios. Encuentre todos los equilibrios subjuego perfecto. 4. Un ladrón tiene la posibilidad de robar o no un banco. Si roba obtiene un botín de 500 pero es detectado por un policía. El policía le ofrece un trato, no denunciarlo a cambio de un soborno (un número entero jado por el policía). El ladrón puede aceptar el trato o no. Si lo rechaza el ladrón es denunciado, pierde el botín y sufre un castigo de 100. El policía sufre una pérdida de 50 si no realiza la denuncia (si realiza la denuncia se queda con 0). (a) Encuentre el equilibrio por inducción hacia atrás. 1 (b) Encuentre el equilibrio por inducción hacia atrás si cambiamos el juego de manera tal que el que realiza la oferta de soborno es el ladrón y por lo tanto el policía puede aceptar o rechazar la oferta (en cuyo caso realiza la denuncia). 5. Bart y Milhouse encuentran $1 tirado en el piso y deben decidir cómo repartírselo. La forma en que se lo repartirán es a través de una secuencia de ofertas. En primer lugar, Bart le ofrecerá quedarse con una cantidad 1 x1 , correspondíendole a Milhouse x1 : Milhouse deberá aceptar o rechazar. En caso de que acepte se termina el juego. En caso de que rechace, ofrecerá hacer un reparto del peso tal que él se queda con x2 y Bart 1 x2 : En caso de que Bart acepte el juego se termina, si rechaza se reparten el peso equitativamente. Ambos jugadores consideran que, en términos presentes, la valoración subjetiva de $1 hoy es diferente al de $1 mañana. Los factores de descuento para Bart y Milhouse, respectivamente, son 1 ; 2 (no necesariamente iguales) (a) Determine el resultado perfecto en subjuegos (b) Suponga que en el tercer periodo, Bart se quedaría con el peso entero. Determine el resultado perfecto en subjuegos (c) Ahora asuma que, dado que Milhouse percata que Bart se quedaría nalmente con el peso si no llegan a un acuerdo, le avisa a su madre, la cual establece que si no logran ponerse de acuerdo en los dos primeros periodos con el mecanismo establecido, en el tercer periodo ella se quedará con el peso. ¿Qué lo habrá motivado a Milhouse a avisarle a su madre si en de nitiva no le regalará el peso a él? 6. Los miembros de un grupo de n leones caníbales enfrentan una presa. Si el león 1 no come a la presa, el juego termina. Si come a la presa, entonces se vuelve pesado y lento, y el león dos se lo puede comer. Si el león 2 no come al león 1, el juego termina. Si lo come, el león 3 puede comerlo a él, y así sucesivamente. Cada león pre ere comer a quedarse con hambre, pero pre ere quedarse con hambre a ser comido. (a) Encuentre todos los equilibrios de subjuego perfecto (ayuda: considere por separado el caso n par y n impar). (b) Dado un n > 1, ¿existe algún equilibrio de Nash que no sea un equilibrio subjuego perfecto? 7. Suponga un juego entre una empresa y un sindicato. El sindicato posee el poder de monopolio para ofrecer la fuerza de trabajo a la empresa. Asimismo, mientras el sindicato tiene poder exclusivo sobre los salarios, denotado por w, la rma controla el nivel de empleo, denotado L. La función de producción de la empresa es q(L) = 100L L2 y la función de utilidad del sindicato depende del valor del trabajo, es decir, Us = wL: La demanda que enfrenta la empresa es perfectamente elástica al precio de p. El juego es secuencial: en el primer periodo el sindicato efectúa una demanda salarial y en un segundo periodo la empresa observa el salario y escoge entonces el nivel de empleo (a) Encuentre el resultado perfecto en subjuegos 2 (b) Muestre que la forma de determinación de los salarios y el nivel de empleo conduce a un resultado ine ciente. (c) Suponga que el nivel de salarios está acotado tal que w 2 [0; 1000]. Muestre que, si el juego fuera simultáneo, existe un único equilibrio de Nash. 8. Suponga ahora que el juego anterior sufre algunas modi caciones. Ahora se juega en tres etapas. En la primera el sindicato ofrece un determinado nivel de salario y empleo, mientras que la rma puede aceptar la oferta (en cuyo caso el juego naliza) u ofrecer una determinada combinación de las variables. En el segundo periodo, el sindicato acepta, en cuyo caso termina el juego, o rechaza, en cuyo caso se pasa a una tercera etapa donde un arbitro jará ambas cantidades. Se sabe de manera certera que éste último determinará la cantidad de empleados sujeto a que el salario sea de $100 y el bene cio de la empresa sea el mismo que en condiciones de competencia perfecta. Además se sabe que los agentes descuentan los pagos a una tasa de 0,8 Determine la oferta que realizará el sindicato en la primera etapa. 9. Un vendedor posee una unidad indivisible de cierto bien, a la cual valora en cero. Tres compradores potenciales, cada uno de los cuales valora esa unidad por igual, en un monto v, ofrecen en forma simultánea lo que están dispuestos a pagar por esa unidad del bien. Habiendo recibido todas las ofertas, el vendedor decide cuál, si alguna, aceptar. Si no acepta ninguna, no hay transacción y todos los pagos son 0. En otro caso, el comprador cuya oferta es aceptada paga la oferta p y recibe el bien; su pago neto es v p; el pago de todos los otros compradores es 0 y el pago del vendedor es p. (a) Muestre que ofrecer más que su propia valuación no está estrictamente dominada (de hecho, únicamente se encuentra débilmente dominada) (b) Muestre que la estrategia de los compradores de ofrecer su propia valuación puede ser parte de un equilibrio perfecto en subjuegos (c) ¿Existen otros equilibrios donde al menos uno de los compradores no ofrece su propia valuación? (d) Ahora asuma que las valoraciones de los compradores son tales que v1 > v2 > v3 > 0. ¿Es un equilibrio que todos ofrezcan su propia valuación? (asuma que, en caso de empate, el bien se le otorga al que más lo valora) 10. Este juego intenta mostrar que las corridas bancarias pueden surgir como profecías autovalidadas. Dos inversores han depositado cada uno de ellos una cantidad D en un banco. El banco ha invertido estos depósitos en un proyecto a largo plazo. El juego consta de dos periodos. En t = 1 la inversión del banco no ha madurado, mientras que en t = 2 sí. Si el banco se ve obligado a liquidar su inversión antes de que el proyecto madure, puede recuperar un total de 2r; donde D > r > D=2: Sin embargo, si el banco deja que la inversión llegue a su vencimiento, el proyecto rendirá un total de 2R; donde R > D: A su vez, si ambos inversores sacan el dinero en la fecha 1, cada uno recibe r y el juego se acaba. Si solo un inversor saca dinero en la fecha 1, ese inversor recibe D; el otro recibe 2r D y el juego se acaba. Finalmente, si ninguno de los inversores saca el dinero en la fecha 1, el proyecto llega a su vencimiento y los inversores deciden 3 si sacar el dinero o no en la fecha 2. Si los dos inversores deciden sacan el dinero en la fecha 2, cada uno de ellos recibe R y el juego se acaba. Si solo un inversor saca el dinero en la fecha 2, ese inversor recibe 2R D; el otro recibe D y el juego se acaba. Si ninguno de los inversores saca el dinero en la fecha 2, el banco devuelve R a cada inversor y el juego se acaba. Suponga que no existe factor de descuento. Determine los equilibrios perfecto en subjuegos. 4