2.2.13. Calcular lim sup y lim inf . Solución: Como 0 ≤ φ(n) ≤ n

2.2.13. Calcular lim supn→∞
φ(n)
n
y lim inf n→∞
φ(n)
.
n
Solución: Como 0 ≤ φ(n) ≤ n, tenemos que 0 ≤
superior e inferior también estarán entre 0 y 1.
Tomando la sucesión
φ(pn )
pn
=1−
1 n→∞
−−−→
pn
lim sup
n→∞
φ(n)
n
≤ 1, y por tanto los lı́mites
1, vemos que:
φ(n)
=1
n
.
Tomando la sucesión xn =
n
Qn
i=1
pn , y usando 1 − x ≤ e−x , vemos que:
n
n
n
X 1 n→∞
Y −1
1
φ(xn ) Y φ(pi ) Y
=
=
(1 − ) ≤
e pi = exp(−
) −−−→ e−∞ = 0
xn
p
p
p
i
i
i
i=1
i=1
i=1
i=1
y por tanto:
lim inf
n→∞
φ(n)
=0
n
Problema escrito por Rubén Garcı́a-Valcárcel Sen