medida de viscosidad de fluidos

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA TÉRMICA Y DE FLUIDOS
ÁREA DE MECÁNICA DE FLUIDOS
PRÁCTICAS DE PROCESOS FLUIDOTÉRMICOS
1.- MEDIDA DE VISCOSIDAD DE FLUIDOS
Medida de viscosidad
Índice
Introducción
2
Modelo molecular de los efectos viscosos
2
Medida experimental de la viscosidad
Medida de viscosidad en tubos de caı́da libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fundamento teórico de los viscosı́metros de rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
8
Realización de la práctica
Medida de la viscosidad utilizando los tubos de caı́da libre . . . . . .
Medida de la viscosidad de aceite SAE 30 y aceite de vaselina
Medida de la viscosidad de la glicerina . . . . . . . . . . . . .
Medida de µ con el viscosı́metro rotacional . . . . . . . . . . . . . .
Realización de las medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variación de la viscosidad con la temperatura . . . . . . . . . .
1
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Medida de la viscosidad
Introducción
Si consideramos un fluido, éste se moverá siempre y cuando haya fuerzas presentes que
produzcan el movimiento. Sin embargo, para la mayorı́a de los fluidos, una fuerza de deformación
finita producirá una velocidad de deformación finita. En la mayorı́a de los fluidos que se utilizan
comúnmente, tales como el agua, aire, aceite, etc, los esfuerzos asociados a una velocidad de
deformación dada son una función lineal de esa velocidad de deformación. Este tipo de fluidos se
llaman fluidos Newtonianos y el factor de proporcionalidad lineal se conoce como coeficiente de
viscosidad o simplemente viscosidad dinámica. El coeficiente de viscosidad depende únicamente
del estado termodinámico del fluido. De este modo tenemos que los esfuerzos cortantes en el
plano XY vienen dados por:
∂Ux ∂Uy
+
τxy = µ
(1)
∂y
∂x
donde µ es el coeficiente de viscosidad, Ux es la componente de velocidad en la dirección x y Uy
es la componente de velocidad en la dirección y.
Y
U(y)
X
Figura 1: Ejemplo de modelo unidireccional.
Modelo molecular de los efectos viscosos
En el caso de gases ideales, las moléculas están tan alejadas unas de otras que las fuerzas
intermoleculares son despreciables. La única fuente de generación de esfuerzos cortantes es el
transporte de cantidad de movimiento a través del movimiento de las moléculas. Consideremos,
por ejemplo, un flujo unidireccional donde la componente x de la velocidad es únicamente
función de la coordenada vertical y, Ux (y), tal y como se muestra en la figura 1.
Utilizando un modelo sencillo de teorı́a cinética de gases se puede ver que la viscosidad viene
dada por:
r
2
mkT
µ=
(2)
2
3d
π3
donde d es el diámetro de las moléculas de gas, m es la masa molecular, k es la constante
universal de Boltzmann y T es la temperatura. La ecuación 2 muestra que la viscosidad
aumenta con el peso de las moléculas y disminuye con su tamaño. Para un tipo de gas en
2
Medida de la viscosidad
concreto la viscosidad es únicamente función de la temperatura, aumentando conforme aumenta
ésta.
En el caso de lı́quidos, el modelo es más complicado. Las moléculas están más cerca unas
con otras y las fuerzas de atracción intermolecular son muy importantes. No obstante se ha
observado que la viscosidad es también función de la temperatura, disminuyendo conforme la
temperatura aumenta. Este efecto es contrario al caso de gases.
Como los lı́quidos se pueden asemejar a los sólidos en el sentido de que sus moléculas
se encuentran agrupadas, podemos utilizar el estado sólido para ayudarnos a comprender el
efecto de la viscosidad en lı́quidos. Si aplicamos un esfuerzo tangencial a un sólido en forma de
cubo, tal y como se muestra en la figura 2, éste se deformará y la cara en contacto con la fuerza
tangencial se desplazará un diferencial de longitud ∆x. Los esfuerzos cortantes son directamente
proporcionales a la deformación tal y como se describe por la ley de Hooke,
τ=
F
∆x
=G
= G tgγ ≈ G γ
A
∆y
(3)
donde F es la fuerza cortante deformadora, A es el área donde se aplica la fuerza, ∆x es la
deformación en la dirección x, ∆y es el lado del cubo, G es el módulo de Young y γ es el ángulo
de deformación.
A
F
∆x
∆y
γ
Figura 2: Deformación de un sólido sometido a un fuerza tangencial.
Durante el proceso de deformación del cubo se realiza un trabajo debido a los esfuerzos
cortantes, τ . Cuando la fuerza F deja de ejercerse el paralelógramo se comporta como un
muelle y cede energı́a al sistema recuperando su forma original (cubo) siempre y cuando no
se haya excedido de su estado elástico durante la deformación. Los lı́quidos tienen distancias
intermoleculares del mismo orden que los sólidos, la única diferencia es que las moléculas no están
fijas y la configuración cambia constantemente. Si se aplica un esfuerzo cortante a un lı́quido,
la deformación continúa mientras el esfuerzo continúe. El ejemplo más claro es el movimiento
introducido en un fluido que se encuentra confinado entre dos placas planas de superficie A
como se muestra en la figura 3. Si se aplica una fuerza, de magnitud F , tangente a la placa
superior, la placa comenzará a moverse arrastrando el fluido en contacto con ella que se moverá
3
Medida de la viscosidad
F
A
U(y)
∆y
U(y)
Figura 3: Deformación de un lı́quido sometido a un fuerza tangencial.
a la misma velocidad U . La diferencia más importante con respecto al caso de un sólido es
que, en el caso de un lı́quido, el ángulo de deformación γ aumenta conforme se aplica la fuerza
deformadora F . Si calculamos el perfil de velocidades que se obtiene en el fluido (problema
resuelto en clase) observaremos que se obtiene un perfil de velocidades lineal, U (y). El fluido
en contacto con la placa superior adquiere la velocidad mayor, U , y el fluido en contacto con
la placa inferior permanece en reposo. El esfuerzo cortante viene determinado por τ = F/A, y,
aplicando la fórmula 1 obtenemos:
∂U (y)
(4)
τ =µ
∂y
Las dimensiones de la viscosidad vienen dadas por:
kg m/s2 m−2
kg
F/A
=
=
[µ] =
U/y
m/s m−1
ms
(5)
Dado que 1 kg m−1 s−1 = 1 P a.s, una forma tı́pica de expresar la viscosidad en el entorno industrial es en Pascales multiplicado por segundo o un submúltiplo suyo, milipascales multiplicado
por segundo, 1 mP a.s = 10−3 P a.s. Otra de las unidades utilizadas como unidad de viscosidad
es el P oise expresado en el sistema cegesimal:
1 p = 1 P oise = 1 gr cm−1 s−1
(6)
de modo que una centésima de Poise es igual a una milésima de Pascal multiplicado por segundo.
1 cp = 10−2 P oise = 10−2 gr cm−1 s−1 = 10−3 kg m−1 s−1 = 1 mP a.s
(7)
Además de la viscosidad dinámica, debido a su importancia en una gran cantidad de aplicaciones
de mecánica de fluidos, se define la viscosidad cinemática, ν, como la viscosidad por unidad de
densidad:
µ
(8)
ν=
ρ
y cuyas unidades son m2 /s en el Sistema Internacional o Stokes (St) en el sistema cegesimal,
donde 1 St = 1 cm2 /s. De este modo tenemos que una centésima de Stoke es igual a 10−6 m2 /s.
4
Medida de la viscosidad
Como punto de referencia tenemos que tanto las viscosidades cinemática como la dinámica del
agua son una centésima en el sistema cegesimal:
µag = 10−3 kg m−1 s−1 = 1 cp (centiPoise)
νag = 10−6 m2 s−1 = 1 cSt (centiStoke)
Durante esta práctica estudiaremos experimentalmente la viscosidad tanto cinemática como
dinámica de varios fluidos newtonianos.
Medida experimental de la viscosidad
El objetivo de esta práctica es medir experimentalmente la viscosidad de diferentes fluidos
combinada con la resolución de problemas tı́picos que aparecen en mecánica de fluidos. Para
ello utilizaremos dos tipos de medida de la viscosidad:
- Tubos de caı́da libre.
- Viscosı́metro comercial de rotación.
Medida de viscosidad en tubos de caı́da libre.
Db
U
ρb
ρµ
H
Figura 4: Tubo de caı́da libre.
Consideremos el problema de una esfera de diámetro Db y densidad ρb cayendo a una velocidad U en un fluido de densidad ρ y viscosidad µ tal y como se muestra en la figura 4. El
problema es similar a considerar una esfera en reposo sumergida en un fluido que se mueve a una
5
Medida de la viscosidad
velocidad constante de valor U como se ve en figura 5. La ecuación de cantidad de movimiento
que, en coordenadas cartesianas se expresa como
1
(u.∇)u = − ∇p + ν∇2 u + g
ρ
(9)
0 = −∇p + µ∇2 u
(10)
queda reducida a
para bajos números de Reynolds, donde u es el vector de velocidad y p el campo de presiones.
Este problema se puede resolver introduciendo la función de corriente de Stokes, ψ(r, θ), y
resolviendo la ecuación de arriba en coordenadas esféricas. El campo de velocidades depende
únicamente de la coordenada radial r y la coordenada tangencial θ de modo que tenemos:
u = [ur (r, θ), uθ (r, θ), 0]
quedando ψ(r, θ) definida como;
ur =
1 ∂ψ
,
r 2 sinθ ∂θ
uθ = −
1 ∂ψ
rsinθ ∂r
(11)
Después de ciertas manipulaciones algebraicas, la ecuación 10 expresada en coordenadas
uθ
ur
r
θ
Rb
U
Figura 5: Flujo alrededor de una esfera.
esféricas queda reducida a:
sinθ ∂
∂2
+ 2
∂r 2
r ∂θ
1 ∂
sinθ ∂θ
2
ψ=0
(12)
que se puede resolver sujeta a la condición de no deslizamiento en las paredes de la esfera,
ψ(r = Rb ) = 0,
∂ψ
(r = Rb ) = 0
∂r
(13)
junto con la condición que para distancias muy alejadas de la esfera la velocidad del fluido es
U,
ur = U cosθ,
uθ = −U sinθ para r → ∞
6
(14)
Medida de la viscosidad
Las correspondientes componentes de la velocidad son,
" #
1
Rb 3
ur
Rb
= cosθ
+2
−3
U
2
r
r
#
" 1
Rb 3
Rb
uθ
+4
= sinθ −
−3
U
4
r
r
(15)
Calculando los esfuerzos cortantes, obtenemos:
τrθ
3 µU
sinθ
=
2 Rb
Rb
r
4
τrϕ = τϕθ = 0
τrr = −2τϕϕ = −2τθθ
µU
= −3
cosθ
Rb
"
Rb
r
2
−
Rb
r
4 #
(16)
y en las paredes de la esfera únicamente se tienen esfuerzos τrθ en el plano rθ,
τrθ (r = Rb ) =
3 µU
sinθ
2 Rb
(17)
La presión puede ser calculada integrando la ecuación 10 a partir del campo de velocidades
obteniendo:
3 µU Rb 2
cosθ
(18)
p = p∞ +
2 Rb
r
Integrando la presión y los esfuerzos viscosos sobre la superficie de la esfera podemos calcular
la fuerza total que el fluido ejerce sobre la esfera,
F = 6πµ Rb U
(19)
La ecuación 19, llamada ley de Stokes, válida para bajos números de Reynolds, Re < 0.5.
Consideremos de nuevo el problema de una bola esférica cayendo verticalmente en un tubo
que contiene un lı́quido muy viscoso tal y como se muestra en la figura 4. La esfera está sometida
a unas fuerzas viscosas que se oponen a su movimiento dadas por la ecuación 19. Por otro lado
está sujeta a una fuerza gravitatoria que produce su descenso vertical dada por:
4
Fg = (ρb − ρ) g πRb3
3
(20)
donde ρb es la densidad de la bola esférica, ρ es la densidad del fluido viscoso y Rb es el radio de
la esfera. En estado estacionario, podemos calcular la velocidad terminal de caı́da simplemente
igualando las ecuaciones 19 y 20,
2 g Rb2 ρb
−1
(21)
U=
9 ν
ρ
7
Medida de la viscosidad
Si medimos experimentalmente la velocidad de caı́da de la bola cronometrando el tiempo que
tarda en recorrer una distancia conocida, se puede calcular la viscosidad cinemática utilizando
la ecuación 21,
2 g Rb2 ρb
ν=
−1
(22)
9 U
ρ
Fundamento teórico de los viscosı́metros de rotación.
Ω1
Ω2
R1
R2
Figura 6: Modelo de viscosı́metro de rotación
Sea un cilindro de radio R1 que gira a velocidad Ω1 inmerso en un lı́quido de viscosidad µ
y densidad ρ conocidas, y concéntrico con otro cilindro de radio R2 que gira a velocidad Ω2 ,
como se representa en la fig 6. En el movimiento estacionario del fluido que ocupa el espacio
∂
= 0. Las ecuaciones de continuidad y de
entre ambos cilindros se tiene que ur = uz = 0 y ∂z
cantidad de movimiento según los ejes r y θ quedan:
∂uθ
=0
∂θ
u2
∂p
−ρ θ = −
r
∂r
∂ 1 ∂
(r uθ )
0=µ
∂r r ∂r
(23)
(24)
(25)
(26)
La tercera de las ecuaciones se puede integrar, dando para la velocidad acimutal del fluido la
siguiente expresión:
uθ = Ar +
8
B
r
(27)
Medida de la viscosidad
siendo A y B constantes de integración. Para determinarlas se deben imponer las condiciones
de contorno en las paredes móviles:
uθ (r = R1 ) = Ω1 R1
(28)
uθ (r = R2 ) = Ω2 R2
(29)
resultando
Ω2 R22 − Ω1 R12
R22 − R12
(30)
(Ω1 − Ω2 ) R12 R22
R22 − R12
(31)
A=
B=
En el caso particular del viscosı́metro de rotación, la pared exterior se considera infinı́tamente
alejada y además en reposo, con lo que la velocidad uθ queda:
Ω1 R12
(32)
r
A partir de esta velocidad es fácil calcular el esfuerzo cortante en la pared del cilindro interior,
que resulta
uθ =
∂ uθ (33)
|r=R1 = −2 µ Ω1
∂r r
El par ejercido por el fluido sobre el cilindro interior por unidad de longitud del mismo es
τrθ |r=R1 = µ r
T = 2πR12 τrθ |r=R1 = −4πµΩ1 R12
(34)
indicando el signo negativo que el par tiene sentido opuesto al del giro del cilindro, como cabı́a
esperar. Como se observa en la ecuación 34, conocido el radio y la velocidad de giro del cilindro,
es posible obtener la viscosidad del lı́quido que lo baña a partir del par que el fluido ejerce sobre
el rotor.
9
Medida de la viscosidad
Realización de la práctica
Medida de la viscosidad utilizando los tubos de caı́da libre
Para la medida de la viscosidad de fluidos muy viscosos utilizaremos los tubos de caı́da libre
descritos en la sección de teorı́a. La instalación consiste de tres columnas cilı́ndricas verticales
que contienen tres fluidos de diferente viscosidad. Los fluidos utilizados son aceite de vaselina,
aceite SAE 30 y glicerina, cuyas propiedades aparecen en la tabla 1.
Fluido
Aceite vaselina
Aceite SAE 30
Glicerina
ρ (kg/m3 )
880
875
1259
µ (kg/ms)
217 × 10−3
309 × 10−3
1435 × 10−3
ν (m2 /s)
247 × 10−6
353 × 10−6
1139 × 10−6
Tabla 1: Tabla de valores de densidad y viscosidad a 20 o C.
Medida de la viscosidad de aceite SAE 30 y aceite de vaselina
Durante la medida de la viscosidad de estos aceites se utilizarán tres tipos de bolas diferentes:
a) Perdigones amarillos de diámetro Db = 6 mm y densidad ρ = 973 kg/m3 .
b) Bolas de cristal, diámetro Db = 4 mm y densidad ρ = 2475 kg/m3 .
c) Bolas de cristal, diámetro Db = 6 mm y densidad ρ = 2475 kg/m3 .
Los pasos a seguir son:
1- Introducir inicialmente una de las bolas de tipo a), b) o c) y cronometrar el tiempo que
tarda en recorrer un distancia conocida, 60 cm.
2- Repetir el proceso con un total de 5 bolas de cristal de cada tamaño y 4 perdigones de
plástico para obtener tiempos de caı́da más precisos y reducir los errores de operación.
3- Una vez medida la velocidad media de caı́da de cada tipo de bola, calcular con cada una de
ellas la viscosidad del aceite que se este considerando utilizando la ecuación 22.
4- Comparar los valores de la viscosidad obtenidos con los dos tipos de bolas diferentes con los
presentados en la tabla 1.
5- Calcular el número de Reynolds medio obtenido con los tres tipos de bolas y comprobar si
es aplicable la ecuación de Stokes.
10
Medida de la viscosidad
Anotar el tiempo de cada de cada ensayo en las siguientes tablas:
Amarillas (D= 6 mm)
Cristal (D= 4 mm)
Cristal (D= 6 mm)
Tabla 2: Tabla de resultados del aceite SAE 30.
Amarillas (D= 6 mm)
Cristal (D= 4 mm)
Plástico blanco (D= 6 mm)
Tabla 3: Tabla de resultados del aceite de Vaselina.
Medida de la viscosidad de la glicerina
Durante la medida de la viscosidad la glicerina se utilizarán 3 tipos de bolitas:
a) Bolas de cristal de diámetro Db = 10 mm y densidad ρ = 2610 kg/m3 .
b) Bolas de cristal de diámetro Db = 6 mm y densidad ρ = 2475 kg/m3 .
c) Bolas de cristal de diámetro Db = 4 mm y densidad ρ = 2475 kg/m3 .
Los pasos a seguir son:
1- Introducir inicialmente una bola de cristal y cronometrar el tiempo que tarda en recorrer un
distancia conocida, 60 cm.
11
Medida de la viscosidad
2- Repetir el proceso con un total de 5 bolas de cristal para obtener tiempos de caı́da más
precisos y reducir los errores de operación.
3- Una vez obtenida la velocidad media de caı́da de las bolas de cristal, calcular la viscosidad
de la glicerina utilizando la ecuación 22.
4- Repetir los pasos 1, 2 y 3 con el resto de las bolitas de diámetros 10 mm, 6 mm y 4 mm.
5- Comparar los valores de la viscosidad obtenidos con los presentados en la tabla 1.
6- Calcular el número de Reynolds medio obtenido con los tres tipos de bolas y comprobar si
es aplicable la ecuación de Stokes en este tipo de flujo.
Anotar los resultados en la siguiente tabla:
Cristal (D= 10 mm)
Cristal (D= 6 mm)
Cristal (D= 4 mm)
Tabla 4: Tabla de resultados de la glicerina.
Medida de µ con el viscosı́metro rotacional
El viscosı́metro consiste de un cilindro o disco suspendido de un muelle de cobre-berilio que
gira mediante un motor sincróno dentro del lı́quido muestra. Para una combinación dada de
velocidad de giro y rotor, la medida de viscosidad se lee directamente en el dial, expresada en
cP.
Realización de las medidas
1- Prepare los fluidos a medir (Aceite SAE, aceite de Vaselina y Glicerina) en un recipiente
cilı́ndrico controlado con precisión la temperatura.
2- Instale el protector del rotor, girando hacia la derecha para colocarlo y hacia la izquierda
para quitarlo.
3- Enrosque el rotor seleccionado en la rosca del motor, girando hacia la izquierda para
enroscar y hacia la derecha para desenroscar. Introduzca el recipiente con el fluido lentamente
12
Medida de la viscosidad
hasta que el rotor esté sumergido hasta la marca circular. Presione la varilla de control del
indicador, ponga el rotor en marcha. Después de varias vueltas la lectura tenderá a ser estable.
4- Cuando el valor indicado es demasiado alto o demasiado bajo, cambie el rotor o la velocidad
de giro.
En primer lugar estime el rango aproximado de viscosidad del fluido a medir, entonces
seleccione la velocidad y el rotor apropiado para dicho rango de acuerdo con la tabla que se
encuentra en el laboratorio.
Cuando la viscosidad aproximada es difı́cil de predecir, se deberá suponer una elevada
viscosidad e ir probando con los rotores desde mayor al menor y las velocidades de menor a
mayor hasta hallar el más adecuado a la viscosidad del fluido.
5- Anote la viscosidad obtenida y la temperatura a la que se encuentra el lı́quido.
6- Repetir los pasos 2-5 con los diferentes fluidos (glicerina, aceite SAE, aceite de vaselina).
Variación de la viscosidad con la temperatura
Para estudiar la influencia de la temperatura en la viscosidad de los lı́quidos se van a realizar
medidas a 3 temperaturas distintas para los lı́quidos estudiados. Una de las temperaturas será
la temperatura ambiente medida anteriormente. Las otras dos temperaturas a las que se medirá
son 50 ◦ C y 70 ◦ C.
Para calentar los fluidos de trabajo se emplearán los baños térmicos existentes en el
laboratorio. Como el tiempo que se tarda en calentar es elevado, se tratará de tener siempre un
lı́quido calentando para optimizar recursos.
Para cada lı́quido y temperatura se tomarán dos medidas con dos rotores y velocidades
distintas. Es importante anotar junto a cada medida de viscosidad obtenida cual es la temperatura del lı́quido en el instante en que se mide, puesto que difı́cilmente la temperatura será
exáctamente la deseada.
13