EJERCICIOS TEMA 1.2 RELACIONES. Relaciones de equivalencia

Matemática Discreta I (MI grupo B)
Departamento de Matemática Aplicada, ETSIINF, UPM
EJERCICIOS
Curso 15-16
TEMA 1.2
RELACIONES. Relaciones de equivalencia. Aplicaciones
1.12. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4} y B = {1,3,5} y la relación de A en B definida por:
aRb si a<b, describir los pares de la relación y su matriz.
1.13. Dados los conjuntos A = {2,3,4,5} y B = {3,6,7,10} y la relación de A en B definida por
la divisibilidad describir los pares de la relación y su matriz.
1.14. Hallar el dominio y la imagen de cada una de las siguientes relaciones:
(a) R = {(1,5), (4,5), (1,4), (4,6), (3,7), (7,6)}  NN
(b) R definida en N por xRy si 2x + y = 16
1.15. Estudiar las propiedades de las siguientes relaciones:
(a) en A = {1,2,3,4,5} la relación S definida por aSb si a  b
(b) en A = {1,2,3,4,5} la relación T definida por T = {(1,2), (1,4), (1,5), (2,2), (2,4),
(2,5), (4,2), (4,4), (4,5)}
(c) en N la relación R definida por aRb si a – b = 3k con kZ
1.16. Averiguar qué propiedades cumplen las relaciones cuyas matrices son:
 1 1 1


 1 1 1
 0 1 1


1

1
0

1

0
1
1
0
1
0
0
0
0

1
1

1 
1

0
1

0

0
1
1
1
1
1
1
0
0

1
0

1 
0

0
0

0

0
1
0
1
0
0
1
1
0

1
1

1 
1.17. En el conjunto Z(Z – {0}) se define la relación (a,b) R (c,d) si a·d = b·c. Averiguar si es
de equivalencia y si lo es calcular la clase del elemento (4,8).
1.18. En el conjunto ZZ se define la relación (a,b) S (c,d) si a + d = b + c. Averiguar si es de
equivalencia y si lo es calcular la clase del elemento (4,8). Describir el conjunto cociente.
1.19. En R2 se define la relación (a,b) R (c,d) si a·b = c·d. Comprobar que es de equivalencia y
calcular el conjunto cociente.
1.20. En Z se define la relación xRy si x2 – y2 = x – y. Comprobar que es de equivalencia y
calcular el conjunto cociente.
1.21. En Q se define la relación xRy si existe hZ tal que x =(3y + h)/3 . Comprobar que es
de equivalencia. Razonar si los elementos 2/3 y 4/5 pertenecen a la misma clase.
1.22. En R2 se define la relación (a,b) R (c,d) si b = d. Comprobar que es de equivalencia y
describir el conjunto cociente.
1.23. Sea A un conjunto y B un subconjunto de A. En P(A) se considera la relación definida
así: X R Y  XB = YB. Estudiar si es de equivalencia y, en caso afirmativo,
describir el conjunto cociente.
1.24. Sea S el conjunto de los seres humanos y sean x e y dos seres humanos. Decimos que x
está relacionado con y si x e y son hermanos. Probar que esta relación es de equivalencia.
¿Qué son las clases de equivalencia?
Matemática Discreta I (MI grupo B)
Departamento de Matemática Aplicada, ETSIINF, UPM
Curso 15-16
1.25. Estudiar si las siguientes relaciones son aplicaciones. En caso afirmativo estudiar si son
inyectivas, suprayectivas y/o biyectivas:
En N
(a) aRb si a + b = 1
(b) aRb si a + 2b = 1
(c) aRb si 2a + b = 1
En R
(d) xRy si y = x 2
(e) xRy si x = y2
(f) xRy si y = |x| + 3
1.26. Demostrar que la relación f de N en Z definida por f(n) = n/2 si n es par, f(n) = (n – 1)/2
si n es impar, es una aplicación. ¿Es inyectiva? ¿Es suprayectiva?
1.27. Sean A y B dos conjuntos y f: A  B una aplicación. Se define en A la relación Rf así:
a Rf b  f(a) = f(b). Se pide:
(a) Comprobar que Rf es de equivalencia.
(b) Si f es inyectiva, ¿qué es Rf?
(c) Llamemos A/f al conjunto cociente de A por Rf . Dar explícitamente una biyección
entre A/f e Im(f)
1.28. Si X es un conjunto finito y g:XX verifica que g(g(x)) = x para todo xX, demostrar
que g es una biyección.
1.29. Demostrar que si f: A  B y g: B  C son aplicaciones tales que:
(a) g  f es biyectiva y f es suprayectiva, entonces g es inyectiva
(b) g  f es biyectiva y g es inyectiva, entonces f es suprayectiva
1.30. Sean A, B  E y se define f : P(E)  P(A)  P(B) así: f(X) = (XA, XB). Probar
que:
(a) f es inyectiva  A  B = E
(b) f es suprayectiva  A  B = 
1.31. Sea F el conjunto de todas las aplicaciones de R en R y S la relación en F definida por
fSg  f(0) = g(0) . Demostrar que S es una relación de equivalencia. Además se define
h: F/S  R como h([f]) = f(0). Comprobar que h es una aplicación, ¿es biyectiva?