TRIGONOMETRÍA ` ` ` ` ` ` AB BC CD ABBCCD = = = AOB

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
TRIGONOMETRÍA
Estudia las relaciones existentes entre las longitudes de los lados y las amplitudes de los
ángulos de un triángulo.
TRIÁNGULO
Polígono de tres lados. Porción de plano limitada por
tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos.
Sexagesimal (DEG en la calculadora)
La unidad de medida es el ángulo que resulta de dividir el círculo en 360 partes
iguales. La amplitud de este ángulo se llama grado sexagesimal y se escribe 1°. Si
dividimos el grado en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto (‘). Cada
minuto se divide en 60 segundos (”). Por tanto: 1° = 60’ y 1’ = 60”
Los tres segmentos que limitan el triángulo se llaman “lados”
(con letras minúsculas), y los extremos de los lados, “vértices”
(con letras mayúsculas). El propio triángulo se designa con las
tres letras mayúsculas de sus vértices, precedidas del signo ∆.
En la figura, los vértices son A, B y C; los lados a, b y c; y el
ABC.
triángulo propiamente dicho
△
ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
- Ángulo interior: el formado por
dos lados.
- Ángulo exterior: el formado por un
lado y la prolongación de otro.
En todo triángulo, la suma de los
ángulos interiores es 180°.
En todo triángulo, un ángulo
exterior es igual a la suma de los
dos ángulos interiores no
adyacentes.
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS (dos triángulos son iguales cuando tienen…)
• Iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
• Iguales dos lados y el ángulo comprendido.
• Los tres lados iguales.
Centesimal (GRA en la calculadora)
La unidad de medida es el ángulo que resulta de dividir el círculo en 400 partes
g
iguales. La amplitud de este ángulo se llama grado centesimal y se escribe 1 . Si
m
dividimos el grado en 100 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto ( ). Cada
s
g
m
m
s
minuto se divide en 100 segundos ( ). Por tanto: 1 = 100 y 1 = 100
Circular (RAD en la calculadora)
La unidad de medida es el radián, siendo esta la medida
de un ángulo que tiene el vértice en el centro de la
circunferencia y la longitud el arco que abarca es igual al
radio de dicha circunferencia. Como la longitud de la
circunferencia es 2πr, un círculo completo tiene una
amplitud de 2π radianes.
Arco
= radio x ángulo (en radianes)
RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
• En todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
• En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
• Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales uno a uno (por tanto
el 3º también lo es).
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo
comprendido.
Terminología
Definición
ángulo
ángulo
ángulo
ángulo
ángulo
0º < α < 90º
90º < α < 180º
α = 90º
α + β = 90º
α + β = 180º
agudo
obtuso
recto
complementario
suplementario
1º ≈ 0, 0175 radianes
1 radián ≈ 57,295º
360º = 2π rad = 400 g = 4 rectos
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas concurrentes son cortadas por
varias rectas paralelas, los segmentos
determinados en una de ellas son
proporcionales a los segmentos
correspondientes interceptados en la otra.
AB
BC
CD
=
=
= ...
A ' B ' B 'C ' C ' D '
TIPOS DE TRIÁNGULOS
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
Ortocentro, O
─ alturas
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo
punto, llamado Ortocentro. Se llama altura de un triángulo
a la recta que pasa por un vértice perpendicularmente al
lado opuesto.
Incentro, I
─ bisectrices
Las bisectrices de los tres ángulos se cortan en un mismo
punto, llamado Incentro, y además es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo. Se llama bisectriz a
una recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
Circuncentro, C
ÁNGULO
En geometría, un ángulo se define como el conjunto de
puntos determinado por dos semirrectas, l1 y l2, que
tienen el mismo punto extremo O. Si A y B son puntos
de l1 y l2, nos referimos al ángulo AOB como ∠ AOB
En trigonometría, con frecuencia se interpretan los
ángulos como rotaciones de líneas. Hacemos girar una
semirrecta alrededor de O en un plano hasta una
determinada posición. A l1 se le llama lado inicial y a l2 lado terminal. Podemos dar varias
(revoluciones) vueltas en cualquier dirección. Dos ángulos cualesquiera de este tipo se
llaman coterminales.
Si introducimos un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar
de un ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen de coordenadas y hacer que el
lado inicial l1 coincida con el eje X positivo. El ángulo se considera positivo si gira en
dirección contraria a las manecillas del reloj y negativo si gira a favor de ellas.
─ mediatrices
Las tres mediatrices de los lados se cortan en un punto
llamado Circuncentro.
El Circuncentro del triángulo es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo. Se llama mediatriz de un segmento
a la recta perpendicular a éste que pasa por su punto medio.
Baricentro, G
─ medianas
Las tres medianas se cortan en un punto llamado
Baricentro.
Este punto es el centro de gravedad del triángulo, y se
cumple que la distancia de un vértice al baricentro es
doble que la distancia de éste al lado opuesto. Se llama
mediana de un triángulo a una recta que pasa por un
vértice y el punto medio del lado opuesto.