TEMA II EL OJO TEÓRICO I - El ojo como sistema óptico: ojos

Diplomatura en Óptica y Optometría
Óptica Fisiológica. Tema II: El ojo teórico
Adelina Felipe Marcet
TEMA II
EL OJO TEÓRICO
I - El ojo como sistema óptico: ojos teóricos.
II - La córnea
II.1 - La córnea en el ojo teórico
II.2 - La córnea simplificada
III - El cristalino
IV - El ojo teórico de Legrand
IV.1 - Asociación de córnea y cristalino
IV.2 - Diafragma de apertura y pupilas
V - Otros modelos de ojo teórico completo
VI - El ojo teórico simplificado
VII - El ojo teórico reducido
VIII - Métodos de valoración de parámetros oculares. Imágenes de Purkinje
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Óptica Fisiológica. Tema II: El ojo teórico
Adelina Felipe Marcet
I - El ojo como sistema óptico
La primera idea del ojo como sistema óptico formador de imagen aparece en el
S. XV desde la experiencia de Leonardo da Vinci de la cámara oscura. Si la luz que
entraba por un pequeño orificio en una habitación oscura, formaba la imagen invertida
de un objeto en la pared, se pensó que el ojo debía formar en la retina una imagen
similar.
En la actualidad es indudable que las leyes de la óptica geométrica son
aplicables al ojo como a cualquier otro instrumento óptico, por ser éste un sistema
óptico vivo. Sin embargo surgen cuestiones ineludibles antes de abordar cualquier tipo
de cálculo óptico con el ojo: ¿es el ojo un sistema centrado? ¿es posible aplicar al
ojo la aproximación paraxial? Contestar a estas dos preguntas es importante, porque
toda la teoría de la representación óptica que conocemos ha sido desarrollada para
sistemas centrados trabajando en aproximación paraxial y, en consecuencia, sólo es
rigurosamente válida para tales sistemas. Como se estudia en Anatomía y Optometría
las superficies del ojo no poseen ejes de revolución que, además, sean coincidentes
entre sí para dar un único eje del sistema. Por lo tanto no puede decirse que el ojo sea un
sistema centrado. En cuanto a la aproximación paraxial diremos, en primer lugar, que no
se puede ignorar la naturaleza ondulatoria de la luz al analizar la imagen retiniana, dado
que el tamaño de la figura de difracción de Airy es del orden de magnitud de los
fotorreceptores de la retina y, en segundo lugar, que no siempre la altura h de los rayos.
que inciden por el borde de la pupila de entrada (PE) es suficientemente pequeña como
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para quedarnos con el primer término h/r del desarrollo en serie de la tangente o el seno
del ángulo ϕ. La respuesta estricta a ambas preguntas es por tanto negativa. De ahí que,
siempre tendremos presente al aplicar las ecuaciones de la óptica geométrica paraxial, el
hecho de que en aquellas situaciones que lo requieran habrá que considerar, bien el
efecto de la difracción si el tamaño de la PE es pequeño (efecto difractivo importante),
bien el efecto de las aberraciones si el tamaño de la PE es grande (alto valor de h) y no
pueden despreciarse los términos de orden superior al primero del desarrollo en serie.
A pesar de todas estas limitaciones, en el presente capítulo, vamos a aplicar al
ojo las ecuaciones de la óptica paraxial para obtener un modelo de ojo teórico, que en
adelante nos será útil para estudiar la formación de imágenes y otras características de la
refracción en un ojo cualquiera.
En los siguientes apartados calcularemos el sistema equivalente de la córnea, el
sistema equivalente del cristalino y, finalmente, el sistema resultante del acoplamiento
entre córnea y cristalino, que será el sistema equivalente del ojo. Para estos cálculos
utilizaremos los datos de la Tabla 1B e iremos obteniendo los resultados del sistema
equivalente, que denominaremos ojo teórico completo (o de Le Grand). Dejaremos para
el lector, o para el apartado dedicado a la resolución de cuestiones prácticas, la
obtención del ojo teórico con los datos de la Tabla 1A (ojo teórico simplificado de
Gullstrand-Emsley) o con los de la Tabla 1C (ojo simplificado).
II - La córnea
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II.1 - La córnea en el ojo teórico
La córnea puede considerarse como la
asociación de dos dioptrios de radios de curvatura
r1 y r2 acoplados a una distancia d=0’55 mm
1
n
n’
S
(Figura 1). La potencia de cada dioptrio se obtiene
de la expresión:
P' =
n'−n
r
Figura 1
Primer dioptrio : n = 1, n' = 1.3771, r1 = 7.8 ⋅ 10 -3 m ⇒ P1 = 48.35 dioptrías
Segundo dioptrio : n = 1.3771, n' = 1.3374, r2 = 6.5 ⋅ 10 -3 m ⇒ P1 = −6.11 dioptrías
La potencia total de la córnea se calcula con la relación:
P’C = P’1 + P’2 - δ P’1P’2
en donde δ = d/n = 0.55 ⋅ 10-3/1.3771 = 3.99 ⋅ 10-4 m, obteniéndose el valor de PC =
42.36 dioptrías. Así mismo, el cálculo de las posiciones de los planos principales de la
córnea se realiza con las ecuaciones del acoplamiento, resultando:
P' 2
− 6.11
= - 5.76 ⋅10 -5 m
= 3.99 ⋅10 −4 ⋅1⋅
P'
42.36
P'
48.35
H'2 H'C = −δ n' 1 = - 3.99 ⋅10 −4 ⋅1.3374 ⋅
= −6.10 ⋅10 − 4 m
P'
42.36
H1H C = δ n
El punto HC está 0.0576 mm por delante del vértice, S, de la córnea. El punto
HC’ se encuentra a 0.610 mm hacia adelante desde la segunda cara de la córnea; es
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decir, 0.060 mm delante de S. Se tiene que SHC ≅ SHC’ ≅ 0.06 mm como se representa
en la Figura 2.
La posición de los focos se obtiene de:
n
1
=−
= −2.361 ⋅ 10− 2 m = −23.61 mm
P
42.36
n' 1.3374
H' F' = =
= 3.157 ⋅ 10− 2 m = 31.57 mm
P' 42.36
HF = −
H’
H S
H H’ < 0
Figura 2
Desde el vértice de la córnea los focos están situados como sigue: SF = -23.67 mm y
SF’ = 31.52 mm.
II.2 - La córnea simplificada
En determinados casos, se pueden simplificar los cálculos suponiendo H y H'
confundidos en el punto S. Esto significa considerar la córnea como un único dioptrio
de vértice S y radio r. Calculemos qué valor tendrá que asignarse entonces al radio de la
córnea r para que ésta siga teniendo la misma potencia.
n=1
S
n' =1'3374
F
Figura 3
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P' =
n'
n'− n
=
r
SF'
⇒
r=
n'-n
SF'
n'
⇒
r=
0'3374
× 31'52 = 7'95mm ≈ 8mm
1'3374
La córnea puede también considerarse como una lente delgada de índice n =
1’3771, rodeada de un medio (humor acuoso) de índice 1’3374, ya que generalmente
sobre la córnea existe una capa de lágrima. En este caso tendremos que acoplar la
potencia del dioptrio entre lágrima y aire, con la potencia de la lente menisco
convergente.
1’3374
n'− n
0'3374
=
= 43'26 dp
P1 =
r1
7'8 ⋅ 10 − 3
⎛1 1⎞
P2 = (n − n 0 )⎜⎜ − ⎟⎟ =
⎝ r1 r2 ⎠
(1'3771 − 1'3374)⎛⎜ 1 −3 − 1 −3
6'5 ⋅ 10
⎝ 7'8 ⋅ 10
P = P1 + P2 = 42'24 dp
1’3771
⎞
⎟ = −1'02 dp
⎠
Figura 4
III.- El cristalino en el ojo teórico
El sistema equivalente del cristalino se calcula considerando a éste como una lente
biconvexa, de índice de refracción 1'42 y radios de curvatura 10'2 y 6'1 mm
respectivamente, que se encuentra inmersa entre dos medios de distinto índice, el humor
acuoso (1'3374) y el humor vítreo (1'336). La potencia de cada una de las caras del
cristalino es:
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⎫
⎪
n = 1'3374 ⎬
r1 = 10'2 ⋅ 10− 3 ⎪⎭
⎫
⎪
n = 1'42
⎬
−3 ⎪
r1 = -6'10 ⋅ 10 ⎭
n' = 1'336
n' = 1'42
P1 = 8'10 dp
P2 = 14 dp
La potencia total del sistema equivalente se calcula considerando que el espesor de la
lente es: δ=d/n=4⋅10-3m/1'42=2'88⋅10-3m y resulta.
PL = P1 + P2 - δ P1P2 = 8'10 + 14 - 2'82⋅10-3 ⋅8'10⋅14 = 21'78 dp
La posición de los planos principales se obtiene utilizando las fórmulas de acoplamiento
de sistemas, con lo que obtendremos H1H y H'2H'.
P2
14
= 1'3374 ⋅ 2'82 ⋅ 10− 3 ⋅
= 2'42 ⋅ 10− 3 m = 2'42mm
P
21'78
P
8'1
H'2 H' = − n' δ 1 = −1'336 ⋅ 2'82 ⋅ 10− 3 ⋅
= −1'40 ⋅ 10− 3 m = −1'40mm
P
21'78
H1H = nδ
A continuación, dado que se desea conocer la posición de todos los elementos del ojo
respecto del vértice, S, de la córnea, obtendremos las distancias SH y SH’ utilizando
como dato las posiciones, SH1=3'60 mm y SH’2=7'6 mm , de las caras del cristalino
respecto del vértice corneal. Nótese que la deferencia entre la posición de ambas
superficies, o espesor del cristalino, es de 4mm como ya hemos visto anteriormente.
SH = SH 1 + H 1 H = 3'60 + 2'42 = 6'02 mm
SH' = SH' 2 + H' 2 H' = 7'6 + (−1'40) = 6'20 mm
La posición de los focos F y F' se obtiene del valor de la potencia siendo:
n
1'3374
=−
= −0'0614 m = −61'4 mm
P'
21'78
n' 1'336
H' F' = =
= 0'06134 m = 61'34 mm
P' 21'78
HF = −
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Tomando el punto S como origen de distancias, la posición de los focos es:
SF = SH + HF = 6'02 + (−61'40) = −55'38 mm
SF' = SH'+ H' F' = 6'20 + 61'34 = 67'54 mm
IV - El ojo teórico de Legrand
IV.1 - Asociación de córnea y cristalino
El ojo teórico completo se obtiene de la asociación de la córnea con el cristalino.
en adelante denominaremos con el subíndice "C" (o el 1)los planos principales, focos y
potencias de la córnea y, con el subíndice "L" (o el 2) los de la lente o cristalino. Los
planos principales, focos y potencias sin ningún subíndice serán los del ojo completo u
ojo teórico.
Procedamos pues a la asociación de dos sistemas de potencias PC = 42'36 dp y
PL = 21'78 dp con una separación entre ellos dada por:
d = H'1 H 2 = H'1 S + SH 2 = H' C S + SH L = 0'06 + 6'02 = 6'08 mm
δ =
d 6'08 ⋅ 10 − 3
=
= 4'55 ⋅ 10 − 3 m
n
1'3374
La potencia total del sistema del ojo es:
P' = P'C + P'L - δ ⋅ P'C ⋅ P'L = 59'94 dp
Y la posición de .los planos principales la obtenemos calculando:
P'2
21'78
= 4'55 ⋅ 10− 3 ⋅ 1 ⋅
= 1'65 mm → SH = SH C + H C H = −0'06 + 1'65 = 1'59 mm
P'
59'94
P'
42'36
H'2 H' = − δn' 1 = −4'55 ⋅ 10− 3 ⋅ 1'336 ⋅
= −4'29 mm → SH' = SH'L + H'L H' = 6'20 − 4'29 = 1'91 mm
P'
59'94
H1H = δn
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Por último situemos los focos del ojo completo respecto del vértice corneal S:
n
1
=−
= −16'68 ⋅10 −3 m
P'
59'94
n' 1'336
f' = H' F' = =
= 22'29 ⋅10 −3 m
P' 59'94
f = HF = −
SF = SH +HF = 1'59 + 16'68 = -15'09 mm
SF' = SH' + H'F' = 1'91 + 22'29 = 24'20 mm
IV.2 -. Diafragma de apertura y pupilas
El diafragma real del ojo (el iris) actua como diafragma de apertura DA (en el
ojo, al igual que en una cámara fotográfica, la propia retina o plano imagen actúa como
diafragma de campo). Así, la pupila de entrada PE la obtendremos calculando la imagen
del DA hacia el espacio objeto a través de la córnea. En la Figura 5, el punto D del eje
representa el centro del diafragma de apertura y el punto C el centro de la pupila de
entrada. Dado que el DA es tangente a la primera cara del cristalino dista +3'6 mm
desde el vértice S de la córnea, de modo que:
x' = H'CS+SD = 0'06+3'6 = 3'66 mm
PE
DA
C
D
X = X' - P'C
siendo P'C = 42'36 dp y
H'C
HC
S
X' = n'/x' = 1'3374/3'66 10-3 = 365'4 dp
x
Figura 5
X = 323'04 dp = n/x
⇒
x'
x = 1/323'04 = 3'10 10-3 m = 3'10 mm
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HCC = HCS + SC = 0'06 + SC = 3'10
⇒
SC = 3'04 mm
la pupila de entrada se encuentra + 3'04 mm detrás del vértice de la córnea y su tamaño
será:
β' =
y'DA X 323'04
= =
= 0'884 → y PE = 1'13 y'DA
y PE X' 365'4
La pupila de salida, PS, es la imagen del iris a través del cristalino. Su centro
será un punto C' del eje conjugado de C a través del sistema completo. Por ello se
calcula como sigue:
x = HH1 = −2'42mm
⇒
X=
n
1'3374
=
= −552'6 dp
x − 2'42 ⋅13−3
apliquemos la ecuación de Gauss siendo P' L = 21'78 dp
X' = X + P' L = - 552'64 + 21'78 = - 530'86 dp
H'CC' = H'CS + SC'
β' =
⇒
-2'52 = -6'20 + SC'
y'PS X − 552'64
= =
= +1'04
y DA X' − 530'86
φ PS 1'04
=
= 0'92
φ PE 1'13
⇒
⇒
⇒
x' =
⇒
1'336
= - 2'52 ⋅10 -3 m
530'86
SC' = 6'20-2'52 = 3'68 mm
φPS = 1'04 φDA
φ PS = 0'92 φ PE
Las pupilas de entrada y salida son conjugadas respecto del ojo teórico completo y el
aumento entre ellas (0'92) se denomina aumento pupilar.
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V - Otros modelos de ojo teórico completo
Ya hemos comentado en el apartado I que existen otros modelos de ojo teórico
diferentes del de LeGrand calculado aquí. Además de los dos que acompañan al de
LeGrand en la Tabla I es también bastante conocido el de Ivanoff. En esta asignatura,
mientras no se indique lo contrario, siempre que se haga referencia a algún dato del ojo
teórico estaremos considerando el modelo de LeGrand. No obstante cuando se nos
indique el uso de otro modelo para algún ejercicio particular, sólo hay que tomar los
datos de la tabla correspondiente y operar exactamente igual que hemos hecho con el
ojo teórico utilizado.
VI - El ojo teórico simplificado
Este modelo es de mucha utilidad cuando se quiere una mayor rapidez de
cálculo. Como su nombre indica es una simplificación del modelo anterior, que consiste
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básicamente en considerar al cristalino como lente delgada de potencia 22'44 dioptrías y
a la córnea como un único dioptrio esférico de potencia 42 dioptrías. La córnea estaría
separada del cristalino 6'37 mm siendo iguales los índices de los humores acuoso y
vítreo (1'336).
Se podrían determinar las potencias de córnea y cristalino, P'C y P'L, y la
separación entre ambos elementos, d, en el ojo simplificado, poniendo como
condiciones que los valores de la potencia total y los planos principales coincidan con
los del ojo teórico completo. Así se escribirían tres ecuaciones con tres incógnitas, pero
el resultado se aleja mucho de la realidad, ya que se obtiene 33 dioptrías
aproximadamente para la córnea.
Por esa razón, para obtener el ojo simplificado se pone como condición que H' y
F' coincidan con los valores del ojo teórico de LeGrand, y como condición arbitraria que
el radio de la córnea sea 8 mm (valor que vimos que resultaba correcto para la córnea
simplificada). Se encuentra entonces que el cristalino ha de considerarse a 6'37 mm de S
y con una potencia de 22'44 dioptrías. El cristalino, con radios de 10'2 y 6 mm como el
ojo teórico, resulta de índice 1'4208 muy similar al índice admitido para el cristalino
(ver tablas).
VII - El ojo teórico reducido
Este modelo es muy útil para realizar estudios y cálculos en ojos que presentan
astigmatismo corneal, como se comprobará cuando abordemos el estudio del
astigmatismo. Consiste en tratar al ojo como un único dioptrio. Con el vértice a 1'75
mm del punto S, para que la potencia sea 60 dioptrias con n = 1 y n' = 1'336 resulta que
el radio es r = 5'6 mm.
Otro modelo de ojo reducido es el (de Listing) que damos a continuación:
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radio de la córnea = 5'12 mm
índice de refracción = 1'3376
espesor = 20'3 mm
con estos datos se obtiene una potencia de 65'9 dioptrías.
Donders con n' = 4/3 y r = 5 mm obtiene una potencia de 66'7 dioptrías que se
aleja mucho de la realidad.
VIII - Métodos de valoración de parámetros oculares. Imágenes de Purkinje
Son imágenes que se ven por la reflexión de la luz en las distintas superficies del
ojo. En concreto, se pueden ver hasta tres. La primera imagen de Purkinje es la que se
forma por reflexión en la primera cara de la córnea. La segunda se forma al reflejarse la
luz en la segunda superficie corneal y la tercera se ve debido a la luz reflejada en la
primera cara del cristalino.
Primera imagen de Purkinje: Su posición y tamaño se obtendrá considerando la primera
superficie de la córnea como un espejo esférico. Así:
1 1 2
+ =
x x' r
siendo r el radio de curvatura de la primera cara de la córnea
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