Cálculo y Estadística

Cálculo y Estadística
PROBABILIDAD, VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES
4ª Prueba de Evaluación Continua
20-1-15
Test en Moodle correspondiente a la parte de Probabilidad, Variables Aleatorias y
Distribuciones
(2 Puntos)
1.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de
que un caso se deba remitir al bufete A es 0.3; de que se remita al bufete B es 0.5 y de que se remita
al bufete C es 0.2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ganado en los tribunales
es 0.6; para el bufete B esta probabilidad es 0.8 y para el bufete C es 07.
a) Calcular la probabilidad de que la empresa gane un caso.
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, hallar la probabilidad de que lo haya llevado el bufete A
(2 puntos)
2.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años,
que se distribuye según la función de densidad f (t) =
1 − 4t
e para todo t>0. Se pide:
4
a) Obtener la función de distribución.
b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años.
c) ¿Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos?
d) Esperanza matemática de la distribución.
(2 puntos)
3.- Cierta compañía de alquiler de automóviles compra neumáticos en lotes de 100 para aprovechar
los descuentos por compras al mayor. Por experiencias anteriores, la compañía sabe que el 1% de los
neumáticos nuevos así adquiridos salen defectuosos y se deben reemplazar durante la 1ª semana de
uso. Encuentre la probabilidad de que en un envío de 100 neumáticos:
a) Haya solamente uno defectuoso.
b) No más de 3 defectuosos
c) Al menos 5 defectuosos.
(2 puntos)
4.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de
una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos
a1) Tengan una separación menor que 149.
a2) Tengan una separación comprendida entre 149.5 y 149.9.
a3) Tengan una separación mayor que 149.9.
b) Cuartiles de la distribución.
(2 puntos)
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Cálculo y Estadística
EXAMEN FINAL (Primera Parte)
20-1-15
Test en Moodle correspondiente a toda la asignatura.
(2 Puntos)
1.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de
que un caso se deba remitir al bufete A es 0.3; de que se remita al bufete B es 0.5 y de que se remita
al bufete C es 0.2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ganado en los tribunales
es 0.6; para el bufete B esta probabilidad es 0.8 y para el bufete C es 07.
a) Calcular la probabilidad de que la empresa gane un caso.
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, hallar la probabilidad de que lo haya llevado el bufete A
(0,5 puntos)
2.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años,
que se distribuye según la función de densidad f (t) =
1 − 4t
e para todo t>0. Se pide:
4
a) Obtener la función de distribución.
b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años.
c) ¿Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos?
d) Esperanza matemática de la distribución.
(0,5 puntos)
3.- Cierta compañía de alquiler de automóviles compra neumáticos en lotes de 100 para aprovechar
los descuentos por compras al mayor. Por experiencias anteriores, la compañía sabe que el 1% de los
neumáticos nuevos así adquiridos salen defectuosos y se deben reemplazar durante la 1ª semana de
uso. Encuentre la probabilidad de que en un envío de 100 neumáticos:
a) Haya solamente uno defectuoso.
b) No más de 3 defectuosos
c) Al menos 5 defectuosos.
(0,5 puntos)
4.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de
una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos
a1) Tengan una separación menor que 149.
a2) Tengan una separación comprendida entre 149.5 y 149.9.
a3) Tengan una separación mayor que 149.9.
b) Cuartiles de la distribución.
(0,5 puntos)
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EXAMEN FINAL (Segunda Parte)
20-1-15
5.- Dada la función=
f (x) x 2 ln(x + 1) , se pide:
a) Hallar el dominio de la función f(x)
b) Hallar una aproximación de f(0.5) usando el polinomio de Mac Laurin de grado 5.
c) Acotar el error cometido en el apartado anterior.
d) Observando el polinomio de Mac Laurin de f(x), ¿podemos afirmar que en x = 0 la función
tiene un punto de inflexión?
(1 punto)
1

 x(t) = cosh ( t )
6.-Se considera la curva de ecuación: 
. Estudiar:
 y(t) = t − t g h ( t )

a)
b)
c)
d)
e)
f)
Simetrías de la curva.
Asíntotas.
Puntos críticos, puntos de tangencia horizontal y vertical, puntos singulares.
Crecimiento y decrecimiento de la curva por ramas.
Puntos de cortes con los ejes coordenados.
Dibujo aproximado de la curva.
(1 punto)
7.-
1
, x = -2 y el eje Y.
x + x2 − 2

t(1 − t 2 )
=
x(t)

1+ t2
b) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide 
2
 y(t) = 1 − t
1+ t2

a) Calcular el área encerrada por f(x) =
3
c) La curva r(α) = cos(α) gira alrededor del eje polar. Calcular la superficie engendrada
x 2 y2
d) La elipse de ecuación
+
=
1 gira alrededor del eje de abscisas. Calcular el volumen del
9
4
cuerpo de revolución que se obtiene.
(2 puntos)
8.- En la tabla se muestra los coeficientes de inteligencia (C.I) de 250 jóvenes estudiantes de ESO.
a) Si una madre afirma que exactamente la mitad de los jóvenes del colegio tienen un C.I. superior
al de su hijo. ¿Qué coeficiente de inteligencia tiene su hijo?
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b) Supongamos que se quieren hacer estudios sobre el proceso de aprendizaje de
los jóvenes con mayor C.I., pero que el psicólogo solo puede atender al 15%
de los jóvenes del colegio. ¿Qué C.I. deberá tener un joven como mínimo
para ser considerado dentro de ese grupo de elegidos?
c) Calcular la media y la desviación estándar.
d) Represente el diagrama de caja de la muestra (Boxplot).
(1 punto)
9.- Los siguientes datos representan los resultados, notas, de una determinada
asignatura (Y) y el número de horas de estudio semanales (X) de 16 alumnos.
∑x
i
∑y
= 96
i
i
= 64
i
∑x
i
2
i
= 657
∑x
i
Clase
[70-78)
[78-86)
[86-94)
[94-102)
[102-110)
[110-118)
[118-126)
[126-134)
ni
4
17
46
86
55
28
12
2
⋅ y i = 492
i
∑y
2
i
= 526
i
Se pide:
a) Estimar el modelo de regresión simple que relaciona los resultados obtenidos con el
número de horas dedicadas al estudio.
b) Calcule una medida de la bondad del ajuste e interprete el resultado.
c) Si un alumno ha estudiado 8 horas, ¿qué nota espera obtener en el examen?
d) ¿Cuál es el número de horas mínimo que un alumno debe estudiar para superar la
asignatura? Considerad que el 5 es el aprobado.
(1 punto)
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Cálculo y Estadística
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
1.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La
probabilidad de que un caso se deba remitir al bufete A es 0.3; de que se remita al bufete B es
0.5 y de que se remita al bufete C es 0.2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A
sea ganado en los tribunales es 0.6; para el bufete B esta probabilidad es 0.8 y para el bufete C
es 07.
a) Calcular la probabilidad de que la empresa gane un caso.
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, hallar la probabilidad de que lo ganase el bufete A
Solución:
a) Definamos el suceso “ganar un caso" por G. Entonces, utilizando el teorema de la probabilidad
total tenemos la probabilidad pedida:
( A ) + P ( B) P ( G B) + P ( C ) P ( G C) = 0,3·0.6+0.5·0.8+0.2·0.7= 0.72
P (G ) = P (A) P G
b) En este caso, debemos hacer uso del teorema de Bayes:
( )
G
P ( A  G ) P ( A )·P A
0.3·0.6
=
= = 0.25
P (G )
P (G )
0.72
( )
A
P=
G
2.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T
1 − 4t
en años, que se distribuye según la función de densidad f (t) = e para todo t>0. Se pide:
4
a) Obtener la función de distribución.
b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años.
c) ¿Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos?
d) Esperanza matemática de la distribución
Solución:
x
a) F(x)= P(X ≤ x)=
∫ f (t)dt , en nuestro caso,
−∞
x
x
−
1 − 4t
4
, resulta,
=−
e
dt
1
e
∫0 4
si x>0 tenemos F(x) =P(X ≤ x) =
x
−

4
1
e
si x > 0
−
F(x) = 
 0 si x ≤ 0
3
1 −x
b) P(X < 3) =∫ e 4 dx =1 − e −3/ 4 ≈ 0.5276334472
4
0
c) La vida útil t pedida, es la solución de la ecuación F(t)=0.95
t
1 −x
F(t)
= P(X < t)
= ∫ e 4 dx
= 0.95 ⇒=
t 4 ln(20) ≈ 11.98292909
4
0
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Cálculo y Estadística
∞
1 − x4
d) µ ∫ =
=
x e dx 4
4
0
3.- Cierta compañía de alquiler de automóviles compra neumáticos en lotes de 100 para
aprovechar los descuentos por compras al mayor. Por experiencias anteriores, la compañía
sabe que el 1% de los neumáticos nuevos así adquiridos salen defectuosos y se deben
reemplazar durante la 1ª semana de uso. Encuentre la probabilidad de que en un envío de 100
neumáticos:
a) Haya solamente uno defectuoso.
b) No más de 3 defectuosos
c) Al menos 5 defectuosos.
Solución:
Sea X la v. a. “el envío contiene defectuosos”. En cada envío existen dos posibles sucesos “hay algún
defectuoso” y “no hay defectuosos”. Que existan defectuosos o no es independiente en cada envío,
por tanto, se puede asumir que X sigue una distribución binomial de parámetros n = 100, p = 0.01
(puede aproximarse por una distribución de Poisson de parámetro n·p = 1).
100 
99
a) P(X= 1)= 
 0.01·0.99 = 0.36972964
1 
b) Hay no más de 3 si hay 3 ó menos de 3, por tanto,
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X =3) = F(3) = 0.98162596.
c) Hay al menos 5 defectuosos, si hay 5 o más de cinco.
P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – F(4) = 0.00343232
4.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo
de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos:
a1) Tengan una separación menor que 149.
a2) Tengan una separación comprendida entre 149.5 y 149.9.
a3) Tengan una separación mayor que 149.9.
b) Cuartiles de la distribución.
Solución:
Si designamos con X a la variable aleatoria “distancia entre dos aerogeneradores vecinos”, se tiene:
a1) P(X < 149) = F(149) ≈ 0.006210
a2) P(149.5 < X <149.9) = F(149.9) − F(149.5) ≈ 0.295644
a3) P(X>149.9 ) = 1-P(149.9 < X) = 1 − F(149.9) ≈ 0.5987063256
b) Primer cuartil=Q1
F(Q1)=P(X<Q1)=0.25, luego Q1 = 149.7302040
Segundo cuartil es la mediana que coincide con la media 150
Tercer cuartil=Q3
F(Q3)=P(X<Q3)=0.75, luego Q3 = 150.2697958
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5.- Dada la función=
f (x) x 2 ln(x + 1) , se pide:
a)
b)
c)
d)
Hallar el dominio de la función f(x)
Hallar una aproximación de f(0.5) usando el polinomio de Mac Laurin de grado 5.
Acotar el error cometido en el apartado anterior.
Observando el polinomio de Mac Laurin de f(x), ¿podemos afirmar que en x = 0 la
función tiene un punto de inflexión?
Solución:
a) Domf(x) es el conjunto de valores de x para los cuales existe valor real de f(x) ⇒ si x + 1 > 0
⇒ x > -1. Domf = [-1, ∞].
b) f(0) = f’(0) = f”(0) = 0; f”’(0) = 6; fIV(0) = -12; fV(0) = 40
6
12
40
1
1
T5 [f (x), a =
0] = x 3 − x 4 + x 3 =
x3 − x 4 + x5
3!
4!
5!
2
3

1
1 1
1
1
f   ≈ T5 [f (x), x = , a = 0] = 3 − 5 + 5 ≈ 0.10416
2
2 2 3·2
2
1
1
f 6) (c) 1
1 6)

|
R
(x)
|
max
f (c) con 0 ≤ c ≤
=
≤
=
c) E  x =
5

6
6
2
6! 2
6!2
2

f 6) (c) =
12 ( c 2 + 6c + 15 )
( c + 1)
6
En la gráfica se observa que el máximo valor de |f6)(c)| con 0 ≤ c ≤
1
2
se alcanza para c = 0 ⇒ |f6)(c)| ≤ 180, por tanto,
1
f 6) (c) 1
180

E =
x =
=
≤
≈ 0, 039 ≤ 4·10-3
 | R 5 (x) |≤ max
6
2
6! 2
6!26

solo podemos asegurar el valor exacto de las dos primeras cifras
decimales.
'(0) f=
"(0) 0 y f "'(0) ≠ 0 , por tanto, existe un punto de inflexión.
d) f=
1

 x(t) = cosh ( t )
6.-Se considera la curva de ecuación: 
. Estudiar:
 y(t) = t − t g h ( t )

a) Simetrías de la curva.
b) Asíntotas.
c) Puntos críticos, puntos de tangencia horizontal y vertical, puntos singulares.
d) Crecimiento y decrecimiento de la curva por ramas.
e) Puntos de cortes con los ejes coordenados.
f) Dibujo aproximado de la curva.
Solución:
Dominio: R
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Cálculo y Estadística
a) Simetrías
1
1

=
= x(t)
( −t )
x =
cosh(− t) cosh(t)
.

 y ( − t ) =− t − tgh(− t) =−(t − tgh(t)) =− y ( t )

Luego: es simétrica respecto el eje OX
¿Qué intervalo se debe tomar para el estudio de la curva?
El intervalo será:[0, ∞),ya que para t y (–t), las x coinciden.
b) Asíntotas
Buscaremos las asíntotas considerando los límites de las funciones cuando t → 0; t → ∞
1

lím
x(t)
lím
1
=
=
 t →0
t → 0 cosh ( t )
⇒ P(1, 0) No hay asíntota

lím y(t) =
lím t − t g h ( t ) =
0
t →0
 t →0
1

=
x(t) lím
= 0
lím
t →∞
t →∞ cosh ( t )
Hay asíntota vertical en x=0

lím y(t) =
lím t − t g h ( t ) =
∞
t →∞
 t →∞
Puntos críticos, singulares y de tangencia horizontal y vertical
c) Puntos críticos

2e 2t (1 − e 2t )
 x '(t) =
0
1 =

2t 2
x(t)
=

+
1
e
(
)

cosh ( t ) ⇒ 

4t
2t
− 2e + 1

t )  y '(t) e=
0
 y(t) = t − t g h (=

2t 2
1
+
e
(
)

P(1,0) es el único punto crítico que resulta ser singular
Rama
x(t)
y(t)
x’(t)
y’(t)
0<t
1>x>0
0< y
-
+
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y’x= y’(t)/x’(t)
-
↓
Cálculo y Estadística
Estudio del punto singular


Para t=0: F ( x ''(0), y ''(0) ) = (−1, 0) ; F ( x '''(0), y '''(0) ) = (0, 2) no son proporcionales, punto de
retroceso de 1ª especie y de tangente horizontal.
d) Crecimiento y decrecimiento
Decreciente para t>0
e) Puntos de corte
P(1,0) con el eje de abscisas
f) Dibujo
7.-
1
, x = -2 y el eje Y.
x + x2 − 2

t(1 − t 2 )
=
x(t)

1+ t2
b) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide 
2
 y(t) = 1 − t

1+ t2
a) Calcular el área encerrada por f(x) =
3
c) La curva r(α) = cos(α) gira alrededor del eje polar. Calcular la superficie engendrada
x 2 y2
d) La elipse de ecuación
+
=
1 gira alrededor del eje de abscisas. Calcular el volumen del
9
4
cuerpo de revolución que se obtiene.
Solución:
a)
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Cálculo y Estadística
1
Área= ∫ =
dx
−2 x 3 + x 2 − 2
0
−2
1
x −1

2
1
− artg ( x + 1)  =
dx  ln
∫=
2
0 x3 + x 2 − 2
x + 2x + 2 5
5
0
−2


−2 − 1
2
2
 1

 1 ln
− artg ( −2 + 1)  − =
− ln 2 − artg (1) 

2
5
  10
5

( −2 ) + 2(−2) + 2 5


1
1
2π 1
2π
1
= ln 3 − ln 2 +
+ ln 2 +
=
( ln 3 + π ) u2
5
10
5 2 10
52
5
b) L
=
∫
t1
t0
x '2 (t) + y '2 (t)dt
⎡
2
2 ⎤
⎢ t·(1 - t )
1 - t ⎥
#3:
⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢
2
2 ⎥
⎣
1 + t
1 + t ⎦
Buscamos el punto de cruce o punto doble, en este caso el (0,0):
#4:
#5:
#6:
#7:
#8:
⎛
2
⎞
⎜ t·(1 - t )
⎟
SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜
2
⎟
⎝
1 + t
⎠
t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0
⎛
2
⎞
⎜ 1 - t
⎟
SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜
2
⎟
⎝ 1 + t
⎠
t = -1 ∨ t = 1
⎡
2
2 ⎤
d ⎢ t·(1 - t )
1 - t ⎥
⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
dt ⎢
2
2 ⎥
⎣
1 + t
1 + t ⎦
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Cálculo y Estadística
⎡
4
2
⎤
⎢
t + 4·t - 1
4·t
⎥
⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢
2
2
2
2 ⎥
⎣
(t + 1)
(t + 1) ⎦
#9:
#10:
#11:
1
⌠
⎛⎛
4
2
⎞2
⎞
⎮
⎜⎜
t + 4·t - 1 ⎟
⎛
4·t
⎞2⎟
⎮
√⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dt
⎮
⎜⎜
2
2
⎟
⎜
2
2 ⎟ ⎟
⌡
⎝⎝
(t + 1)
⎠
⎝
(t + 1) ⎠ ⎠
-1
1
⌠
4
2
⎮
√(t + 6·t + 1)
2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt ≈2.48959727 u
⎮
2
⌡
t + 1
0
c)
#12:
r = COS(α)
#13:
#14:
#15:
#16:
SOLVE(0 = COS(α), α, Real)
3·


α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
2
2
2
SOLVE(1 = COS(α), α, Real)
α = - 2· ∨ α = 2· ∨ α = 0
θ2
SL =π
2 ∫ rsenθ r 2 + r '2 dθ
θ1
#17:
#18:
#19:
#20:
d
⎯⎯ COS(α)
dα
- SIN(α)
/2
⌠
2
2
⌡
2··COS(α)·SIN(α)·√((- SIN(α)) + COS(α) ) dα
0
u2
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d)
#1:
x
y
⎯⎯ + ⎯⎯ = 1
9
4
Corte con OX:
2
2
x
0
#2:
⎯⎯ + ⎯⎯ = 1
9
4
2
x
⎯⎯ = 1
9
#3:
#4:
⎛ 2
⎞
⎜ x
⎟
SOLVE⎜⎯⎯ = 1, x, Real⎟
⎝ 9
⎠
#5:
Volumen de revolución:
x = -3 ∨ x = 3
b
V=
∫ π ( f ( x ) ) dx
2
a
#7:
3
⌠
⎛ ⎛
2 ⎞⎞
⎮
⎜ ⎜
x ⎟⎟
⎮
·⎜4·⎜1 - ⎯⎯⎟⎟ dx
⌡
⎝ ⎝
9 ⎠⎠
-3
16· u3
#8:
8.- En la tabla se muestra los coeficientes de inteligencia (C.I) de 250 jóvenes estudiantes de
ESO.
Clase
[70,78)
[78,86)
[86,94)
[94,102)
ni
4
17
46
86
[102,110) [110,118) [118,126) [126,134)
55
28
12
2
a) Si una madre afirma que exactamente la mitad de los jóvenes del colegio tienen un C.I.
superior al de su hijo. ¿Qué coeficiente de inteligencia tiene su hijo?
b) Supongamos que se quieren hacer estudios sobre el proceso de aprendizaje de los jóvenes
con mayor C.I., pero que el psicólogo solo puede atender al 15% de los jóvenes del colegio.
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Cálculo y Estadística
¿Qué C.I. deberá tener un joven como mínimo para ser considerado dentro de ese grupo
de elegidos?
c) Calcular la media y la desviación estándar.
d) Represente el diagrama de caja de la muestra.
e) Solución:
a) En este apartado debemos calcular la mediana.
(125 − 67 ) 8 ≈ 99.4
n
=125 ⇒ M =94 +
2
86
b) El C.I. del 15% de los estudiantes con mayor C.I. corresponde al percentil 85.
( 212.5 − 208) 8 ≈ 111.2
85
n = 212.5 ⇒ P85 = 110 +
100
28
c)
Clase
70 - 78
78 -86
86 - 94
94 - 102
102 - 110
110 - 118
118 -126
126 - 134
Sumas
xi
74
82
90
98
106
114
122
130
(
ni xi − X
)
2
ni Ni
ni xi
4
4 296
2707,33
17
21 1394
5517,80
46
67 4140
4614,73
86 153 8428
349,53
55 208 5830
1969,45
28 236 3192
5475,46
12 248 1464
5799,55
2
250 260
1798,08
250
25004
28231,94
X = 100,016 σ2 = 112,93
σ= 10.6
d)
140
130
120
110
100
90
80
70
60
9.- Los siguientes datos representan los resultados, notas, de una determinada asignatura (Y) y
el número de horas de estudio semanales (X) de 16 alumnos.
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Cálculo y Estadística
∑x
i
∑y
= 96
i
= 64
i
i
∑x
i
⋅ y i = 492
i
= 657
2
i
∑x
i
∑y
2
i
= 526
i
Se pide:
a) Estimar el modelo de regresión simple que relaciona los resultados obtenidos con el
número de horas dedicadas al estudio.
b) Calcule una medida de la bondad del ajuste e interprete el resultado.
c) Si un alumno ha estudiado 8 horas, ¿qué nota espera obtener en el examen?
d) ¿Cuál es el número de horas mínimo que un alumno debe estudiar para superar la
asignatura? Considerad que el 5 es el aprobado.
Solución:
a)
16
16
yi
∑ x i 96
∑
64
=i 1 =
i 1
=
= = 6; =
= = 4
X
Y
n
16
n
16
16
∑x
=
σ2x
i =1
n
2
i
( )
2
− X=
657 2
=
-6 5, 0625
16
16
2
σ=
y
∑y
i =1
2
i
n
( )
2
− Y=
526 2
− 4= 16,875
16
16
σ xy=
∑x y n
i
i
i
n
i
− XY=
492
− 6⋅=
4 6, 75
16
La ecuación de la recta de Y sobre X es:
σ xy
6, 75
4
−4
y −=
Y
x − X ⇒ y=
y
x−4
( x − 6) ⇒ =
2
σx
5, 0625
3
(
b)=
rxy
σ xy
=
σx σy
)
6,75
≈ 0,7302967433
5, 0625 16,875
por tanto, la relación lineal es directa y buena
c) Si x=8 horas, entonces y =
4
⋅ 8 − 4 ≈ 6, 6
3
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d) Recta de regresión de X sobre Y: x −=
X
=
x-6
σ xy
σ 2y
( y − Y ) e y=5
6,75
( 5 − 4 ) ⇒ x = 6, 4 horas
16,875
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