Sobre el descubrimiento de los números irracionales.

Sobre el descubrimiento de los números irracionales.
Por Francisco Rivero Mendoza.
Profesor Titular de la Facultad de Ciencias. ULA. Mérida.
Una de las grandes tragedias de la matemática griega, que detuvo el avance del algebra durante
siglos, fue el haberse encontrado con números inconmensurables o irracionales.
¿Quién fue el primero que se topó con esta anomalía? ¿Cómo fue la primera demostración?
Existe una prueba muy bonita que se acredita a Euclides, sobre la irracionalidad de la raíz
cuadrada de dos que aparece en todos los libros de algebra. Veremos otro tipo de prueba de tipo
geométrico. El argumento central del razonamiento de dicha demostración se basa en el muy
socorrido principio de descenso al infinito: Si tenemos un número entero, entonces no podemos
dividirlo infinitamente entre otro número.
La siguiente exposición sigue bastante de cerca el libro de Jean – PierreTignol “ Galois’ Theory of
Algebraic Equations”, P, 6 -7.
El descubrimiento de los números irracionales fue hecho entre los seguidores de Pitágoras,
probablemente entre 430 y 410 A.C. (Ver Knorr [ p. 49]) Se acostumbra acreditar este resultado a
Hippasus de Metapontum, de quien se dice que murió ahogado en el mar por dar un
contraejemplo a la Doctrina Pitagórica que establece “ Todas las cosas son números”. Sin
embargo, no contamos con una demostración directa de cómo se llega a este descubrimiento y
todo está envuelto en conjeturas. Por otro lado, se acepta que las primeras magnitudes
demostradas como inconmensurables son la diagonal y el lado de un cuadrado. La reconstrucción
de la prueba ha sido propuesta por Knorr.
Suponga que el lado AB y la diagonal AC del cuadrado ABCD son ambas medidas con un segmento
común: Entonces AB y AC representan números (enteros) y los cuadrados de ellos, que
simbolizamos por ABCD y EFGH representan números al cuadrado.
ES claro que el cuadrado ABCD es el doble del cuadrado EFGH. Para ver esto, cuente los triángulos
en la figura de arriba. Luego se tiene que
EFGH = 2
ABCD.
Y por lo tanto EFGH es un número par. Luego el lado EF del cuadrado también es un número par.
Por lo tanto, la mitad de este segmento, EB representa un número entero. Y por lo tanto su
cuadrado EBKA es un número al cuadrado.
Puesto que el cuadrado ABCD es el doble del cuadrado EBKA, usando el mismo argumento de
antes, concluimos que AB es un número par. Por lo tanto la mitad de él A’B’ es un número entero.
Tenemos entonces que A’B’ y A’C’ (= EB) representan el lado y la diagonal de un cuadrado y
ambos representan números. Podemos entonces repetir los pasos del procedimiento anterior
para demostrar que ellos son divisibles entre dos.
Iterando este proceso, veremos que los números Ab y Ac son infinitamente divisibles entre dos.
Esto es imposible y la contradicción demuestra que AB o AC son inconmensurables.
Bibliografía:
1. Jean- Pierre Tignol. Galois’ Theory of Algebraic Equations. World Scientific. Singapur. 2004.
2. W.R. Knorr, The evolution of Euclidean elements. Synthese Historical Lib. 15,D. Reidel,
Dordrecht, 1975.