Convergencias estocásticas Sean X , Xn : (Ω, A, P) −→ (R, BR ) v.a., n ∈ N. ¿Qué significa Xn −−−→ X ? n→∞ • Convergencia en probabilidad Decimos que {Xn }n∈N converge a X en probabilidad y lo P denotamos Xn −−−→ X si, para todo > 0, n→∞ lim P{|Xn − X | ≥ } = 0 n→∞ o equivalentemente lim P{|Xn − X | < } = 1. n→∞ En Análisis este tipo de convergencia se llama convergencia en medida. Estadı́stica I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baı́llo Convergencias estocásticas (Tema 2) 1 • Convergencia casi segura Decimos que {Xn }n∈N converge a X casi seguro (o con probabilidad uno o en casi todo punto) y lo denotamos c.s. Xn −−−→ X si n→∞ P{ω ∈ Ω : Xn (ω) −−6 −→ X (ω)} = 0 n→∞ o equivalentemente si, para todo > 0, P{ lim |Xn − X | < } = 1. n→∞ Estadı́stica I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baı́llo Convergencias estocásticas (Tema 2) 2 Ejemplo de convergencia en probabilidad pero no c.s. Consideramos una sucesión de v.a. construidas del siguiente modo. Primero definimos una v.a. U uniforme en el intervalo [0,1] y luego le aplicamos ciertas funciones indicatrices 1Ain , siendo i Ain = i−1 n , n , i = 1, . . . , n, n ≥ 1: 1 Ai U n (Ω, A, P) −→ (R, B) −→ (R, B). Para un ω ∈ Ω fijo, U(ω) es una observación concreta extraı́da de la distribución uniforme en [0,1]. La sucesión de v.a. X11 = 1A1 (U), 1 X31 = 1A1 (U), 3 X21 = 1A1 (U), 2 X32 = 1A2 (U), 3 X22 = 1A2 (U), 2 X33 = 1A3 (U), . . . 3 converge a 0 en probabilidad pero no c.s. Estadı́stica I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baı́llo Convergencias estocásticas (Tema 2) 3 • Convergencia débil o en distribución Sean F y Fn las funciones de distribución de X y Xn respectivamente. Decimos que {Xn }n∈N converge a X débilmente d o en distribución y lo denotamos Xn −−−→ X si n→∞ lim Fn (x) = F (x) n→∞ para todo x ∈ R en el que F sea continua. Sean φ y φn las funciones caracterı́sticas de X Xn R y itx itX respectivamente, es decir, φ(t) = E(e ) = R e dF (x). Se cumple que d Xn −−−→ X ⇔ φn (t) −−−→ φ(t), ∀t ∈ R. n→∞ n→∞ También se cumple que d Xn −−−→ X ⇔ E(g (Xn )) −−−→ E(g (X )) n→∞ n→∞ para toda g : R → R continua y acotada. Estadı́stica I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baı́llo Convergencias estocásticas (Tema 2) 4 Se satisfacen las siguientes implicaciones: c.s. P Xn −−−→ X ⇒ Xn −−−→ X Xn −−−→ X ⇒ Xn −−−→ X n→∞ P n→∞ n→∞ d P n→∞ d n→∞ n→∞ Xn −−−→ c, con c constante ⇒ Xn −−−→ c Teorema de Slutsky: Sean {Xn }n e {Yn }n sucesiones de v.a. y X d P una v.a. Si Xn −−−→ X e Yn −−−→ c, siendo c ∈ R una n→∞ n→∞ constante, entonces d (i) Xn + Yn −−−→ X + c n→∞ d (ii) Xn Yn −−−→ c X (iii) n→∞ d Xn −−→ X Yn − n→∞ c siempre que c 6= 0. Estadı́stica I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baı́llo Convergencias estocásticas (Tema 2) 5