Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Ingeniero Industrial Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2004/2005) EXAMEN FINAL. Convocatoria de Junio–Julio. 28/Junio/2005 MECÁNICA (Primer Cuatrimestre) APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EJERCICIO 3. M OVIMIENTO Valor: 3 puntos (1er cuatrimestre). Duración: 1 hora. RELATIVO . Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia L) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a ω, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo OXY Z (sólido “1”) del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine: 20 . a) ω20 y α O O y a20 . b) v20 c) Eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}. Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, ası́ como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio. SOLUCIÓN (sólo se corregirá, como máximo, una hoja adicional a la suministrada con este enunciado): Los movimientos {21} y {01} son sendas rotaciones de eje fijo, cuya caracterización cinemática es directa a partir de la lectura del enunciado y de la inspección de la figura: Z L 2 L 1 0 OY A X B O OX Y −→ ⎪ ⎪ ⎪ B ⎪ (t) = 0 ⎩ v 21 −→ ⎧ ⎪ ⎪ ω (t) = −ω j ⎪ ⎪ ⎨ 01 w ⎪ ⎪ ⎪ A ⎪ (t) = 0 ⎩ v 01 w ω 20 . Apartado (a.1): Determinación de Ley composición velocid. angulares ⎧ ⎪ ⎪ ω (t) = ωı ⎪ ⎪ ⎨ 21 −→ Apartado (a.2): Determinación de α 20 . −→ −→ dω 21 α 21 = = 0 dt 1 B dv 21 B = 0 a21 = dt 1 α 01 A a01 dω 01 = = 0 dt 1 A dv 01 = 0 = dt 1 (Valor máximo: 0.5 puntos) 01 ω 21 = ω 20 + ω =⇒ ω 20 = ω 21 − ω 01 = ω (ı + j ) (Valor máximo: 0.5 puntos) Ley composición acelerac. angulares −→ α 21 = α 20 + α 01 + ω 01 ∧ ω 20 =⇒ α 20 = α 21 − α 01 − ω 01 ∧ ω 20 = − ω 2 k O Apartado (b.1): Determinación de v 20 . Ecuación campo velocid. {21} −→ Ecuación campo velocid. {01} −→ −−→ O B v 21 = v 21 +ω 21 ∧ BO = −ωL k −→ O A v 01 = v 01 + ω 01 ∧ AO = −ωL k O O O = v 20 + v 01 v 21 −→ Ley composición velocid. (Valor máximo: 0.75 puntos) O Apartado (b.2): Determinación de a 20 . Ecuación campo acelerac. {21} −→ Ecuación campo acelerac. {01} −→ −→ Ley composición acelerac. =⇒ E.I.R.{20} O O O v 20 = v 21 − v 01 = 0 (Valor máximo: 0.75 puntos) −−→ −−→ O B = a 21 +α 21 ∧ BO + ω 21 ∧ (ω 21 ∧ BO ) = ω 2 L j a 21 −→ −→ O A = a 01 +α 01 ∧ AO + ω 01 ∧ (ω 01 ∧ AO ) = ω 2 Lı a 01 O O O O a 21 = a 20 +a 01 +2 ω 01 ∧ v 20 Apartado (c): Determinación del E.I.R.{20}. Se sabe que el −−→ (donde se ha tenido en cuenta que BO = −L j ) −→ (donde se ha tenido en cuenta que AO = −Lı ) O O O O a 20 = a 21 −a 01 −2 ω 01 ∧ v 20 = ω 2 L(−ı + j ) =⇒ (Valor máximo: 0.5 puntos) O pasa por el punto O(0, 0, 0) (pues v 20 = 0) y tiene la dirección del vector ω 20 = ω (ı + j). Sus ecuaciones son: y z x = = ω ω 0 −→ y=x z=0 Otra posibilidad para determinar el E.I.R.{20} es utilizar la expresión teórica de su ecuación vectorial paramétrica (llamando I(x, y, z) a un punto genérico de dicho eje): ⎧ ⎪ ⎨ x = λω O −→ ω 20 ∧ v 20 y = λω OI = + λω 20 = λ ω (ı + j) −→ ⎪ | ω 20 |2 ⎩ z=0 Z L 2 L 1 0 O a 20 w01 X A a20O w20 B w21 w10 E.I.R.{20} Y