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Ejercicios
Ejercicio 5. Suponga que los tiempos de falla de cierto dispositivos se presentan
de forma uniforme dentro de un intervalo (a, b). Determine la expresión que
caracteriza las funciones de:
a)
b)
c)
d)
Densidad
Fiabilidad
Riesgo
Riesgo Acumulado
Compruebe que la función de fiabilidad se puede utilizar para calcular el tiempo
medio de falla.
Tiempo de Medio de Vida
(MTTF- Mean Time to Failure)
∞
∞
o
o
E (T ) : ∫ tf (t )dt = ∫ R (t )dt =
TIEMPO RESTANTE DE VIDA
Rt = T − t : Tiempo restante de vida , una vez se ha superado el tiempo t
RRt ( x) = P( Rt > x) = P(T > t + x | T > t ) =
f Rt ( x) =
f (t + x)
R(t )
R(t + x)
R(t )
∞
∞
o
o
E ( Rt ( x)) : ∫ xf Rt ( x)dx = ∫
∞
1
RRt ( x)dx =
R(u )du
∫
R (t ) t
20
EL MODELO EXPONENCIAL
f (t) = λ exp (-λ
λt),
f (t) = λ exp (-λ
λ(t- γ ),
t≥0
t≥0
F(t) = 1 - exp(-λ
λt), t ≥ 0
F(t) = 1 - exp(-λ
λ(t -γ ), t ≥ 0
R(t) = exp (-λ
λt ),
R(t) = exp (-λ
λ(t -
tα = −
1
λ
Ln(1 − α )
t≥0
λ
= h(t)
tα = γ −
1
λ
γ
),
t≥0
Ln(1 − α )
Calcule el tiempo restante de vida de un dispositivo con tiempo de falla
exponencial, cuando este ha superado un tiempo inicial t
OTRAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD
Generalmente las funciones de densidad han surgido como resultado del
planteamiento de un modelo hipotético sobre la función de riesgo
β
h(t ) =
η
t 
η 
 
β −1
β t − γ 
h(t ) = 
η  η 
β −1
OTRAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD
Generalmente las funciones de densidad han surgido como resultado del
planteamiento de un modelo hipotético sobre la función de riesgo
β
h(t ) =
η
t 
η 
 
β −1
β t − γ 
h(t ) = 
η  η 
β −1
Este planteamiento fue el propuesto
por Weibull (1939).
γ ≥0
Denota el tiempo a partir del cual se
generaría la primera falla.
η >0
Es un parámetro que ajusta la escala de
tiempo de observación.
β
Determina la velocidad de crecimiento y
curvatura de la función de riesgo.
DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Es quizás la más utilizada en el campo del análisis de tiempo de fallo, dada
su versatilidad y capacidad de ajuste a diferentes funciones de riesgo.
Tres Parametros
Dos Parametros
β
f (t ) =
η
t 
η 
 
F (t ) = 1 − e
R(t ) = e
t
− 
η 
β −1
t
− 
η 
e
t
− 
η 
β
β t − γ 
f (t ) = 
η  η 
β
F (t ) = 1 − e
β
R(t ) = e
E (T ) = ηΓ(1 + β −1 )
tα = η (− ln(1 − α ))
1
β
MTTF
 t −γ 
−

 η 
 t −γ 
−

 η 
β −1
e
 t −γ 
−

 η 
β
β
E (T ) = γ + ηΓ(1 + β −1 )
tα = γ + η (− ln(1 − α ))
1
β
β
Ejercicio
• Simule 100 números aleatorios de una distribución Weibull de dos
parámetros (usted escoge los parámetros).
• Demuestre que el tiempo de vida que no es superado por el
α % de
los dispositivos se puede expresar como:
tα = η (− ln(1 − α ))
1
ln( − ln(1−α ))
β
tα = elnη .e
β
• Linealice esta expresión y construya un grafico probabilístico que le
permita estimar los parámetros la distribución.
•Repita el procedimiento para una distribución con 3 parámetros